2012年数学一轮复习精品试题第11讲 函数的图象

第十一讲 函数的图象
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )
解析：将函数y ＝ln x 的图象关于y 轴对称，得到y ＝ln(－x )的图象，再向右平移1个单位即得y ＝ln(1－x )的图象．
答案：C
2．为了得到函数y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度
解析：y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫13－1·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫13x －1
，故它的图象是把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象向右平移1个单位长度得到的．
答案：D
3．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )
A ．①甲，②乙，③丙，④丁 B. ①乙，②丙，③甲，④丁 C. ①丙，②甲，③乙，④丁 D. ①丁，②甲，③乙，④丙
解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它
应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①.
答案：D
4．函数y ＝f (x )的曲线如图(1)所示，那么函数y ＝f (2－x )的曲线是图(2)中的( )
(1)
(2)
解析：把y ＝f (x )的图象向左平移2个单位得到y ＝f (x ＋2)的图象，再作关于y 轴对称的变换得到y ＝f (－x ＋2)＝f (2－x )的图象，故选C.
答案：C
5．函数f (x )＝1
x －x 的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x
解析：∵f (x )＝1x －x ，∴f (－x )＝－1
x
＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )．
∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于坐标原点对称． 答案：C
6．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f (x )＝a x 与函数 g (x )＝－log b x 的图象可能是( )
解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg ab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1
a ，∴g (x )＝－log
b x ＝log a x ，∴函数f (x )
与g (x )互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故正确答案是B.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知下列曲线：
以下编号为①②③④的四个方程：
①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.
请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________． 解析：按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围． 答案：④②①③
8．(2010·西安五校联考)已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与y ＝|log 5x |的图象的交点个数为________．
解析：由下图象可知有5个交点．
答案：5个
9．设函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y ＝f (x )是偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；②若y ＝f (x ＋2)是偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x －2)＝f (2－x )，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④y ＝f (x －2)和y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称．其中正确的命题序号是________(填上所有正确命题的序号)．
解析：对于①，y ＝f (x ＋2)关于x ＝－2对称；对于③，当f (2＋x )＝f (2－x )时，f (x )的图象关于x ＝2对称，而当f (2－x )＝f (x －2)时，则应关于x ＝0对称．
答案：②④
10．(2010·青岛模拟题)已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)
解析：画出示意图(如图)．
f (x )*
g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2－x 2
(x ≤－2)，x (－2<x <1)，
2－x 2 (x ≥1)，
其最大值为1. 答案：1
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知函数f (x )定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；
(1)y ＝f (x ＋1)；
(2)y＝f(x)＋1；
(3)y＝f(－x)；
(4)y＝－f(x)；
(5)y＝|f(x)|；
(6)y＝f(|x|)；
(7)y＝2f(x)；
(8)y＝f(2x)．
解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可．
(1)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y＝f(x＋1)，x∈[－3,1]的图象，如图①.
(2)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得到y＝f(x)＋1，x∈[－2,2]的图象，如图②.
(3)函数y＝f(－x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于y轴对称，如图③.
(4)函数y＝－f(x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于x轴对称，如图④.
(5)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的部分不变，得到y＝|f(x)|的图象，如图⑤.
(6)考虑到函数y＝f(|x|)为[－2,2]上的偶函数，所以函数y＝f(x)，x∈[－2,2]在y轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y轴对称的图象即可得到y＝f(|x|)的图象，如图⑥.
(7)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2f (x )的图象，如图⑦.
(8)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，
得到y ＝f (2x )的图象，如图⑧.
误区指津：注意区别y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)这两个函数图象的作法．后者一定是偶函数，但前者却不一定．因此在作后者图象时，我们先作出y ＝f (x )的图象，并去掉y 轴左侧的图象，再将y 轴右侧的图象“拷贝”一份，并关于y 轴对称“粘贴”到y 轴的左侧，即得y ＝f (|x |)的图象．
评析：许多有关函数图象变换的题目都是建立在以上8种基本作图的基础之上，应充分运用这些变换技巧作图．请注意，我们在作已知解析式的函数的图象时，应先在定义域范围内对已知解析式进行化简，转化成熟悉的函数作图．
12．如图函数y ＝x 3
＋x 1
3的图象沿x 轴向右平移a 个单位，得曲线C ，设曲线C 的方程y ＝f (x )对任意t ∈R 都有f (1＋t )＝－f (1－t )，试求f (1)＋f (－1)的值．
解：由题意得f (x )＝(x －a )3
＋(x －a )1
3. ∵f (1＋t )＝－f (1－t )，
∴点P (1＋t ，y )与点Q (1－t ，－y )在曲线C 上，
对于任意t ∈R ，线段PQ 中点M (1,0)为定点，即曲线C 上任意一点P 关于点M 的对称点Q 都在曲线C 上．
故曲线C 关于点M (1,0)对称．
又因为y ＝(x －a )3
＋(x －a )1
3的图象关于点(a,0)对称，且仅有一个对称中心，所以a ＝1. 即f (x )＝(x －1)3
＋(x －1)1
3. 故f (1)＋f (－1)＝－8－3
2.
评析：(1)y ＝f (x )图象关于x ＝a 对称⇔任意x ∈D ，有f (x ＋a )＝f (a －x )；(2)y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔定义域中任意x ，f (a ＋x )＝－f (a －x )．
13．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .
(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|，G(x)＝m ，画出F(x)的图象如图所示：
由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个根；
当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个根． (2)令f(x)＝t ，H(t)＝t 2＋t ，
∵H(t)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－1
4
在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴H(t)>H(0)＝0，因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0.
评析：借助函数图象利用数形结合思想解题，形象直观、简洁明快．解题时应注意合理选取辅助函数，使函数图象易作，变化趋势清晰，同时应注意图象的草图应能真实反映函数的变化规律，以免因图象的粗糙性而产生错误．。