塑性力学1应力应变
塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系
3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
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另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
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5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
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一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
材料力学知识点
材料力学知识点材料力学是研究材料内部结构和材料在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
以下是材料力学的一些重要知识点：1. 应力和应变：应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力；应变是物体长度或体积的相对变化，可以分为纵向应变和剪切应变。
应力和应变之间的关系可以用本构关系来描述。
2. 弹性力学：弹性力学研究的是材料在外力作用下的弹性变形行为。
经典弹性力学假设材料在小应变范围内具有线性弹性行为，可以通过胡克定律来描述。
3. 塑性力学：塑性力学研究的是材料在外力作用下的塑性变形行为。
塑性变形主要包括应力的塑性变形和材料内部晶体结构的塑性变形。
当应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形。
4. 断裂力学：断裂力学研究的是材料在外力作用下发生破坏的行为。
断裂可以分为静态断裂和疲劳断裂。
静态断裂研究的是材料在静态加载下的破坏行为，疲劳断裂研究的是材料在循环加载下的破坏行为。
5. 损伤力学：损伤力学研究的是材料内部发生损伤的行为及其对材料性能的影响。
材料的损伤可能包括裂纹、孔洞、位错等。
损伤会导致材料的刚度和强度降低。
6. 微观结构与力学性能：材料的力学性能与其微观结构关系密切。
材料的晶体结构、晶界、孪晶、析出相等微观结构对材料的力学性能具有重要影响。
7. 强度理论和设计：强度理论研究的是材料的强度如何与其内部应力、应变和结构参数相联系。
强度理论为材料的设计提供了基本依据，可以用来预测材料的破坏行为和使用寿命。
8. 材料的超塑变形：超塑变形是指在高温和大应变速率条件下，材料可以表现出很高的变形能力。
超塑变形对材料的加工和成形具有重要意义。
综上所述，材料力学是工程领域中非常重要的学科，掌握材料力学的知识可以帮助我们更好地理解和应用材料的力学行为，从而设计和改进材料的性能。
材料力学结构变形知识点总结
材料力学结构变形知识点总结材料力学是研究物体受力后产生的变形规律的一门学科，它涵盖了材料的力学性能以及结构受力后的变形特点。
在这篇文章中，我将对材料力学结构变形的相关知识点进行总结。
一、应力与应变1. 定义：应力是单位面积上的内力，它描述了物体受力后所产生的内部分子间的相互作用；应变是物体在受到外力作用下发生的形变，它描述了物体的相对位移。
2. 计算方法：应力等于物体表面上的受力除以受力点所在的面积；应变等于物体发生形变的长度变化与原始长度的比值。
二、材料的力学性质1. 弹性力学：当物体受到外力作用后，能够恢复原状的性质称为弹性；2. 塑性力学：当物体受到外力作用后，形状改变并保持新形状，失去弹性恢复能力；3. 破坏力学：当物体受到外力作用后，无法恢复原状，发生破裂或破坏。
三、结构变形的类型1. 拉伸变形：物体在受到拉力作用下发生的变形，导致长度增加，横截面积减小；2. 压缩变形：物体在受到压力作用下发生的变形，导致长度减小，横截面积增加；3. 弯曲变形：物体在受到弯矩作用下发生的变形，导致形状发生弯曲；4. 扭转变形：物体在受到扭矩作用下发生的旋转变形；5. 剪切变形：物体在受到切割力作用下发生的变形，导致相邻层之间发生滑动。
四、材料的力学性能指标1. 弹性模量：描述物体在受到外力作用下发生弹性变形的能力，是应力与应变的比值；2. 屈服强度：描述物体在受到外力作用下发生塑性变形的能力，是材料开始出现塑性变形时的应力值；3. 抗拉强度：描述物体在拉伸变形过程中的最大承受力；4. 弯曲强度：描述物体在弯曲变形过程中的最大承受力。
五、结构变形的影响因素1. 材料性质：不同材料具有不同的力学性能，会对结构变形产生影响；2. 外力作用：外力的大小、方向以及施加位置都会影响结构的变形；3. 结构形状与尺寸：结构的形状与尺寸决定了其抵抗变形的能力。
六、应用领域1. 建筑工程：材料力学结构变形的研究为建筑工程的安全设计提供了重要依据，使结构能够承受各种力学作用；2. 航空航天工程：飞行器的结构变形对飞行性能具有重要影响，材料力学可以提供合理的结构设计；3. 汽车工程：材料力学能够应用于汽车的碰撞安全设计，以及车身结构的优化。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具
幂函数型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为幂函数形式，适用于描述岩石等材料 的弹塑性行为。
双曲线型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为双曲线形式，适用于描述某些复合材 料的弹塑性行为。
弹塑性本构模型的选用原则
根据材料的性质选择合适的弹塑性本 构模型，以确保能够准确描述材料的 力学行为。
在选择本构模型时，需要考虑模型的 复杂性和计算效率，以便在实际工程 中得到广泛应用。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质 。
当外力卸载后，物体发生弹性恢复，但需要一定的时间才能完成。这种 现象称为弹性后效。弹性后效的大小与材料的性质、温度和加载速率等 因素有关。
03
塑性应力应变关系
塑性应力应变关系定义
塑性应力应变关系
01
描述材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。
特点
02
当材料受到超过屈服点的外力时，会发生塑性变形，此时应力
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
第五章：屈服准则与塑性应力应变关系
2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。 注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。 因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以 下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条 件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准 则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑 性变形，对于Mises屈服准则：
工程塑性理论应力应变关系
2
E
m
y
m
1 E
y
z
x
1 2
E
m
z
m
1 E
z
x y ｛｝
1
2
E
m
x m , y m ,
x y
x m , y m ,
xy y z
xyzymmmm
,
z z m
z
z
m
Gz 2z1Em
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
即应变增量张量就是应变增量偏张量。
在上述假设基础上，可假设应变增量与 应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d x d y d z d xy d yz d zx d x m y m z m xy yz zx
式中：dλ—正的瞬时常数，在加载的不同 瞬时是变化的，在卸载时，dλ=0。
d ij ij d
d x x m d
x
x
y
3
z
d
2 3
d
x
1 2
y
z
d x
2 3
d
x
1 2
y
z
,
d y
2 3
d
y
1 2
z
x ,
d z
2 3
d
z
1 2
x
y
,
d xy
xy
d
d yz yzd
d zx zx d
将上式正应变两两相减，并写出切应变公式：
yz
2G
zx
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载（后继屈服）条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只 是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
量,硬化参量记为 .
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种：
1．塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2．有效塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
4．塑性体应变
p v
p x
p y
p z
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中， 是弹塑性柔度张量，表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来，则有 其中 从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
•
数学表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力
塑性材料真实应力计算公式
塑性材料真实应力计算公式在工程材料力学中，塑性材料是一类具有塑性变形特性的材料，其在受力作用下会发生塑性变形。
在工程设计和分析中，了解塑性材料的真实应力是非常重要的，因为它可以帮助工程师和设计师更好地理解材料的性能和行为。
本文将介绍塑性材料真实应力的计算公式及其应用。
首先，我们需要了解塑性材料的应力-应变曲线。
在材料力学中，应力-应变曲线是描述材料受力变形过程中应力和应变之间关系的重要曲线。
对于塑性材料来说，其应力-应变曲线通常包括弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，材料的应力和应变呈线性关系，而在塑性阶段，材料的应力和应变不再呈线性关系，而是出现了明显的塑性变形。
塑性材料的真实应力可以通过应力-应变曲线来计算。
在塑性阶段，材料的真实应力可以通过以下公式来计算：\[ \sigma = \frac{F}{A_0} \]其中，σ表示真实应力，F表示受力，A0表示材料的原始横截面积。
这个公式的基本原理是通过受力与材料横截面积的比值来计算材料的真实应力。
这个公式适用于一般的塑性材料，可以帮助工程师和设计师更准确地了解材料在受力作用下的行为。
在实际工程中，塑性材料的真实应力计算公式可以帮助工程师和设计师更好地进行材料选择、结构设计和性能分析。
通过计算材料的真实应力，可以更准确地了解材料在受力作用下的性能和行为，从而指导工程设计和分析工作。
除了计算真实应力，塑性材料的应力-应变曲线还可以用于计算材料的屈服强度、抗拉强度、屈服点等重要参数。
这些参数对于工程设计和分析来说都非常重要，可以帮助工程师和设计师更好地了解材料的性能和行为，从而指导工程实践工作。
总之，塑性材料的真实应力计算公式是工程材料力学中的重要内容，它可以帮助工程师和设计师更好地了解材料的性能和行为，指导工程设计和分析工作。
通过计算材料的真实应力，可以更准确地了解材料在受力作用下的行为，为工程实践提供重要的参考依据。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，同时也希望工程师和设计师能够在工程实践中更好地应用塑性材料的真实应力计算公式。
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
工程塑性力学(第一章)
σ′
σ′
σs
σs
O
εp ε
εe
ε
O
εp ε
εe
ε
图 1-2
卸载和再加载
σ ′′
图 1-3 卸载后反向加载到屈服
1.2.2 没有明显屈服阶段的拉伸曲线（铝合金类）
屈服极限（应力）规定：0.2%塑性应变对应的应力， σ 0.2
σ σb σ0.2
σ′
O
0.2%
ε
σ ′′
图 1-4 没有明显屈服平台的应力应变曲线
1.5.2 卸载
从介于 Ps 和 Pe 之间的某一值 P * 卸载 ΔP ，服从弹性规律。应力应变的改变 量为
Δσ 1 = Δσ 3 =
Δε 1 = Δε 3 =
σ s ⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ， Δσ 2 = σ s ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ 2 ⎝ Pe ⎠ ⎝ e ⎠
（1-20） （1-21）
σ
σs
E’
E
εs
图 1-7
ε
幂强化模型
σ = Aε n ， 0 ≤ n ≤ 1
（1-3）
σ
n =1
A
n = 1/ 2 n = 1/ 3 n=0
1
ε
图 1-8
Ramberg-Osgood 模型
σ /σ0
ε / ε 0 = σ / σ 0 + (σ / σ 0 ) n
3 7
(1-4)
1
n = 0 n =1 n=2 n=5 n=∞
位移：
(1-18)
δ y = ε 2 ⋅ l = 2ε1l =
或
2σ 1 l E
δy P = (1 + 2 ) − 2 δe Pe
塑性力学 第二章 应力状态与应变状态
c 平均应力为 m 3 因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
26
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系 1 1、小变形情况 ij ui , j u j ,i 2 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐 标为ai a1 , a2 , a3 ，经过变形后，在t时刻它移 到 A 。相对于同一坐标系的坐标为 xi x1, x2 , x3 变形前后的位置一一对应，可由 xi 的单值连续 函数表示 xi xi a j , t 。同样也可以表示为 a i 的 单值连续函数 ai ai x j , t 。
1 MP1 max ( 1 3 ) 2 MP2 MP 1P 2P 1
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
1925年Lode提出参数
20
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
22
（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上 的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 （2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平 面—— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
17
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间
一、三向应力圆
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
塑性力学知识点
1 / 12
1. 在主应力空间内，过任一点（代表某物理点的应力状态）作一个特殊的微截面，该微截面 的法向与三个应力主轴夹角相等；每个象限作一个，则形成一个封闭的正八面体，这 8 个微截面上的应力称八面体应力。 2. 八面体（8 个微截面上的）正应力 oct m ，表征应力状态的球量部分，与弹性体积变形 有关。 3. 八面体（8 个微截面上的）剪应力 oct
第一章 应力状态（与应变状态）
1. 材料连续、均匀。 2. 静水应力只引起弹性的体积变形、不影响塑性剪切变形（岩土、软金属不适用） 。 3. 温度不高时忽略流变（蠕变、松弛…）效应，应变率不高时忽略应变率效应。
1. 指一点附近的受力情况，即过该点的所有微截面上的应力大小和方向（应力矢量） 。 2. 注意到任意截面的应力矢量可以用三个特殊微分面上的 9 个应力分量 （6 个独立） 来表征。
2. Lode 参数：由上式反推，
1
1
2 2 ( 1 3 ) ，或 3 tan( ) . 1 3
2 / 12
3. Lode 角：应力状态矢在 π 平面的投影 ρ 与 x 轴的夹角，
1 3
arctan( ) .
x-y-L
1. 将应力主轴 σ1、σ2、σ3 向 π 平面投影，得线性相关的三个偏应力轴 S1、S2、S3；在 π 平面 上，取 S2 为 y 轴，其垂直方向为 x 轴；在 π 平面外，取静水轴 L 为第三轴，则得正交 坐标系 x-y-L（由 σ1-σ2-σ3 坐标系旋转而得） 。 2. 传统塑性力学只关心应力偏量（π 平面上的应力状态） ，即只需要用到 x-y 坐标系，比如 Lode 角正是应力偏矢与 x 轴的夹角。
忽略静水应力对屈服的影响时，可简化为 2 个应力偏量不变量的函数：
塑性力学第一章
——采用塑性力学分析
三、塑性力学目的
研究在哪些条件下可以允许结构中某些 部位的应力超过弹性极限的范围，以充 分发挥材料的强度潜力
研究物体在不可避免地产生某些塑性变 形后，对承载能力和（或）抵抗变形能 力的影响
O
力应变曲线才以（1）式的规律沿MN
N M'
向下降。为了区分以上这种加载和卸
A'
载所具有的不同规律，就必须给出相
M ''
应的加卸载准则。
图2（a）
五、影响材料性质的其它几个因素
1、温度当温度上升时，材料的屈服应力将会 降低而塑性变形的能力则有所提高。
2、应变速率 如果实验时将加载速度提高几个数量 级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应 变形能力会有所下降。 3．静水压力 当静水压力不太大时，材料体积的变 化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。
y2l(E2)l(E sl)P (Pe) ——垂直向下位移
若令
P
Pe
e
sl
E
,
P1 Pe 2
则当P由零增至Pe时，在图9的
坐标中为区间[0，1]上斜率等于
1的直线段OA。
O
线性强化
A
B 理想塑性
y e
图9
载荷-位移曲线
弹塑性解:
2 s.
当P由零逐渐增大到Pe时，第2杆的应力也逐渐增大而达到屈服状态： 如果P的值再继续增加，则（17）式已不再适用，相应的本构方程应改
6. 等向强化模型及随动强化模型
塑性力学知识点总结
塑性力学知识点总结塑性力学是一门研究材料在超过其弹性极限后的行为和变形特性的学科。
塑性力学的研究对象包括金属、塑料、土壤、岩石等各种材料。
本文将从材料的塑性变形、应力应变关系、本构关系、塑性失稳等方面对塑性力学的知识点进行总结。
1. 塑性变形材料在受到外力作用时，如果超过了其弹性极限，就会发生塑性变形。
塑性变形是指材料在受力情况下，沿着某一方向发生永久性位移的过程。
塑性变形的特点是在加载过程中出现应力和位移的不同步现象。
塑性变形的方式有很多种，例如屈曲、扭曲、剪切等。
2. 应力应变关系在塑性变形的过程中，材料的应力应变关系是很重要的。
塑性变形时，材料的应力应变关系是非线性的，而且还与材料的屈服强度、屈服点以及变形硬化等因素有关。
在材料受到加载后，应力随着应变的增加而逐渐增加，直到达到材料的屈服点，然后应力将继续增加，但是应变仍然保持在一个限定值内。
这个称为屈服强度。
在超过屈服强度之后，应力和应变的关系将进一步发生变化。
此时，材料的塑性变形将会明显增加。
3. 本构关系材料的本构关系是指材料在受力过程中，应力和应变之间的关系。
不同的材料具有不同的本构关系。
根据塑性力学的基本假设，通常用应力张量σij和应变张量εij来描述材料的本构关系。
一般情况下，塑性材料的本构关系是非线性的，并且还与材料的应变率、应力路径、温度、压力等参数有关。
4. 塑性失稳塑性失稳是指材料在受到外力作用时，由于材料内部的应力分布不均匀而导致的材料失稳破坏的过程。
当材料发生塑性失稳时，通常会出现局部的应力集中和应变集中现象。
这将会导致材料的局部破坏，并且会扩展到整个结构中。
塑性失稳的研究对于材料的设计和使用具有重要的意义。
5. 塑性加工塑性加工是通过外力作用使原材料发生塑性变形，以获得理想的形状和性能的过程。
塑性加工的方式有拉伸、压缩、弯曲、拉拔、冷拔、冷轧等。
塑性加工的重要性在于可以提高材料的抗拉强度、硬度、韧性和延展性等性能。
塑性力学第3章-应力和应变分析
yz
zx
应变张量
x ij yx zx
xy y zy
xz yz z
x 1 2 yx 1 2 zx
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主 剪 应 力
任意斜截面上的应力，可由以三个圆周为 界限的阴影区中的某一点来表示。
移轴: 平均正应力与应力偏张量
在已知的应力状态上叠加一个静水应力
1 OO ( 1 2 3 ) m 3 OP 1 1 m S1 OP2 2 m S 2 OP3 3 m S3
xy y zy
xz m yz 0 z 0
m
0
ij m ij eij
应变张量的不变量 主应变：
1 , 2 , 3
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
第 3章
应力和应变分析
指标表示法 张量定义 应力张量
应力张量 的分解
应力(偏)张量 等效应力 等效剪应力 的不变量
三向Mohr圆 应力空间 Lode应力参数
指标表示法
指标表示
求和约定
求导简记Βιβλιοθήκη 克氏符号张量定义坐标变换
张量：如果某些量依赖于坐标轴的选择。在坐标变换时， 按以下指定的形式变化，称这些量的总体为张量。
已知某点的应力状态为：
s x 50 , s y 10 , m 50 ,
xy 0, yz 20 ,
zx 0
求：主应力和应力强度（等效应力）。
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3'
1200 1200
1'
1200
2'
2. 应变状态
－应变张量
应变张量
x 1 ij yx 2 1 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 11 12 1 yz 21 22 2 31 32 z
* ij ＝
1 u i , j u j ,i 1 vi , j v j ,i dt 2 2 * ij，使 ij ij dt d ij 定义t时刻的应变率为 ＝
1 vi , j v j ,i 称为应变率张量 2 d 小变形时 ij＝d ij / dt ij ij d dt t ij dt 应变率张量增量d ij＝ ij＝ 则
oct
得到八面体上的剪应力为：
oct
结论：
1 3
1 2 2＋ 2 3 2＋ 3 1 2
oct 代表平均应力 m；
1 3 S ij S ij i 代表应力强度。 3 2 八面体剪应力在推导塑性力学的屈服准则时有用处。
oct＝
传统塑性力学
第一章 第 章 应力状态和应变状态
地下建筑与工程系
课程内容
应力状 1 应力状态 2 应变状态 3 应变率张 4 小结1. 应力状态
－应力张量
应力张量
x xy xz 11 12 ij yx y yz 21 22 zx zy z 31 32
－ π平面
L直线方程： 1 2＝ 3 代表 m ij , 其Sij 0 通过原点O作与L垂直的平面： 1＋ 2＋ 3＝0
平面上各点的平均应力为零，故平面上各
点是和应力偏量Sij 相关的。 传统塑性力学只研究与塑性变形相关的Sij，故 以后在平面上来表示塑性力学的屈服准则。
4 小结 4.
张量 偏量 张量不变量 偏量不变量
应力 应变 应变率 应变率 增量
强度 σi εi dغ dεi
i
σij εij
sij eij ēij deij
I1, I2 ,I3 I1’, I2’,I3’
I1, I2 ,I3 J1’, J2’,J3’
غij
dεij
在主状态下： I1 1＋ 2＋ 3，I 2 － 1 2＋ 2 3＋ 3 1 ，I 3 1 2 3
1. 应力状态
－Bridgeman实验
Bridgeman实验(各向均匀压缩) )-金属材料 现象：弹簧钢在1000个大气压下体积缩小2.2%，但卸 载后变形恢复。 结论：静水压力只引起体积变化，与塑性变形无关。 （特别注意：对岩土塑性力学此假设需修订）
1. 应力状态
－应力分解及应力偏量
设应力球张量(静水压力)
m
1 x y z , 3 则应力可分解为：
x xy xz ij yx y yz zx zy z x－ m xy xz m 0 － ＋ yx y m yz m zx zy z－ m m 0 记为： ij＝Sij＋ m ij
1. 应力状态
－八面体剪应力
在主应力坐标系下，作一特 殊平面，使此平面的三个外 法线v与三个主方向成相等 的夹角。v 13 , 13 , 13 每个象限一个，可以作出8 个，形成一个封闭的正八面 体，这些面上的应力称为八 面体应力。
1. 应力状态
－八面体剪应力
由 r x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn xz ln 由： 得八面体上的应力： 1 1 2 3 3 根据 ij n j X i 可求出斜截面上的合力F，从而可以
1. 应力状态 应力状
－π平面
取三个主应力和主方向作为 坐标系，则该空间中的任一 点对应于物体内某点的应力 状态，称该空间为应力空间。 如图中OA表示此点的应力 状态矢。
1 3
1 1 1 L , , 3 3 3
m ij ijj 2
S ij
平面
1. 应力状态
与塑性变形有关 只引起体积变化，与塑性变形无关
1. 应力状态
－应力分解及应力偏量
应力偏量Sij的主值满足三次方程： Sij ij 3 J12 J 2 J 3 0 1 其中：J1 Sii 0 , J 2 ij ij , J 3 Sij 2 称为应力偏量的三个不变量 在主状态下： J1 0，J 2 －S1S 2＋S 2 S3＋S3 S1 ，J 3 S1S 2 S3
x－ m eij yx zx 同理eij 有三个不变量J1' , J 2' , J 3'
定义 i
2 2 J 2' eij eij 3 3 称为应变强度（或等效应变、当量应变）
3 应变率张量 3.
运动时，用Vx , y , z 表示质点的速度，即 度 V＝v i i v i为速度分量 从t时刻起，经历dt，位移为u i＝v i dt 则t ~ t dt的应变为
13 23 33
主应力σ1、 σ2、 σ3满足
ij ij 3 I12 I 2 I 3 0
其中：I1 ii , I 2 1 ij ij ii jj , I 3 ij 2 称为应力张量的三个不变量
y
1 zy 2
13 23 33
与应力张量类似，可以定义 三个应变不变量I1' , I 2' , I 3'
2. 应变状态
－应变分解及应变偏量
与应力分解对应，应变可分解为：
ij＝eij＋ m ij
其中平均应变： m 1 x y z , 3 xy xz y－ m yz zy z－ m
不变量J 2也可以表达为 ij的形式： 1 2 2 2 x y 2＋ y z 2＋ x z 2 6 xy yz xz 6 主状态下： J2 J2 1 1 2 2＋ 2 3 2＋ 3 1 2 6