数学中的几种创造性思维

高等数学 与创新思维
北京航空航天大学 李心灿
引言
全国科技大会上指出：“创新是一个 民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭 动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立 于世界民族之林。”
教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其
是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。”
“一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不 能没有理论思维。”
(1 x )2
(1 x )3
f ( 4 ) ( x ) ( 1 )3 3! , ...... (1 x )4
从而归纳出 f ( n ) ( x ) ( 1 )n1 ( n 1 )!
(1 x )n
例2.已知函数 f ( x )具有任意阶导数，且 f ( x ) f ( x )2 ，
f
(i)(x0)(x
x0)i

Rn
其中
Rn

1 ( n 1 )!
f
( n1 ) ( x0
( x x0
试求 f ( n ) ( x )。
解 因为 f (x) 2 f (x) f (x)
2 f (x) f (x)2 2 f (x)3 ,
f ( x ) 2 3 f ( x )2 f ( x ) 3! f ( x )4 ,
……
从而归纳 f ( n ) ( x ) n! f ( x ) n1 .
素数对于不少数学家总是有一种极神秘的吸引力。 有一位数学家在结婚时与其妻约定:只有在素数的日子 才与其……
②二项式系数 (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5= ┊ (a+b)n=
（哥德巴赫猜想）
60=3+57 （57=19×3，不是素数） 60=5+55 （55=11×5，不是素数)
？！
60=7+53（7和53都是素数） ……. 一直到现在还没有一个人推翻它，但也还没有一个人 证明它。
哥德巴赫提出这个问题时，欧拉在1742年6月30日 的回信中说：他相信这个猜想，但他不能证明。于是引 起了很多人研究它，但在120年间，一直没有多大进展。
Z
Z

X
===== X
+
52=32+42
Y Y
公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)
===== z
Z3 = x3 + Y3
+
x
y
(X,Y,Z 为正整数)
Zn = xn+ Yn (n>2)(Wiles 1994)
多元函数与单元函数 在学习多元函数的微分学和积分学时，应注意与已经 学习过的一元函数的微积分相应的概念、理论、方法进行 类比。例如：
从而 可以归纳出
（uv)(n)

u (n) v
nu(n-1)
v
n(n 1) u(n-2) 2!
v
...
n
C knu (nk)v(k).
k 0
又如：从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通 解的结构及其求解方法，可以归纳出n 阶常系数线性齐 次方程通解的结构及其求解方法。
K·L·米斯拉指出：“数学是代表人类抽象思维方 面的最高成就和胜利。”
因此我认为：数学教学不但应该给数学知识，还 应该培养学生的创新思维。
讲五个问题
一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、（数学）猜想
我主要结合高等数学中的内容来讲解，同时也 适当讲解一些数学史上的问题。
但 16
5 1 4 10 20
65 年
6 1 5 15
才
在
71 6
巴
黎
81
正
式
9
出
版
杨辉三角形 1
11 121 1331 14 641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
宋朝数学家杨辉1261年写的《详解九章算法》*就 解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。
在高等数学中，许多重要结果的得出，都用到了归 纳思维。例如：
再如：多元函数求条件极值的拉格朗日乘数法，从 两个自变量、一个约束条件，推广到n个自变量、m个 约束条件，也是用归纳的方法得出的。
总之：在高等数学中，有不少内容使用了归纳思维。
科尔莫哥洛夫在《我是如何成为数学 家》中说：我在6、7岁时我已经感受到数 学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边 的等式：
1 12, 1 3 22, 1 3 5 32, 1 3 5 7 42, 1 3 5 7 9 ? 1 3 5 7 9 11 ? ......
他的这个发现，后来被刊登在由几个小学生 自己编辑的《春燕》杂志上。
二、类比思维
著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指 出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家 康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比 这个方法往往能指引我们前进。”
类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系 的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似 的推理。
一、归纳思维
归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。
著名数学家高斯曾说：“我的许多发 现都是靠归纳取得的。”
著名数学家拉普拉斯指出：“在数学 里，发现真理的主要工具和手段是归纳和 类比。”
归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析……） 对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总 结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象 具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理 方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中 找出共性和本质的东西的抽象化思维。
在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2
在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
等等。
费马猜想：X2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整数，n<m;
X3+Y3=Z3 是否有正整数解？ X4+Y4=Z4 是否有正整数解？ Xn+Yn=Zn , n>2是否有正整数解？
-------恩格斯
创造性人才的创造活动是在相应的创造性 思维的支配下，所进行的一种积极的能动的活动。 创造性思维是一切创造活动的核心和灵魂。
R·培根指出：“数学是打开科学大门的钥匙。” H·G·格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发
现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头 脑的开发功能。” 赫巴特说：“数学一般通过直接激发创造精神和活跃 思维的方式来提供最佳服务。”
从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定 理、法则、……的形成，都经历过积累经验的过程，从 大量观察、计算……,然后归纳出其共性和本质的东西， 例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。
归纳的方法
例如，我们看到： 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素数*。 10， 20， 30 都是偶数。
直到20世纪20年代，才开始有了眉目，当时有人证 明了(*)：任何一个大于4的偶数： A=[a1×a2×…×a9]+[b1×b2×…×b9], (9+9) 其 中 ai,bi(i=1,2,3…9)都是素数，才为这个猜想的证明开辟了 道路。
(*) 1920年挪威数学家布朗（V.Brun）用“筛法”证明
素数是构造整数的“素材”。 每一个整数要么它自己是素数,要么它可以唯一地表
示为一些素数的乘积。 例如: 3, 5, 7 是素数;
4=2×2, 6=2×3, 8=2×2×2
毕达哥拉斯(学派)认为: “万物皆数”,“数是万物的元素”,他们企图通过揭
示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。 素数与密码学
蝉：生命的素数现象北美北部17年、北美南部13 年、12年
这是数学向人类智慧的挑战!
*
*
*
这个猜想吸了不少人
2000年3月中旬：英国一家出版社悬赏100万美元征“哥德巴 赫猜想”之解，时限两年,截止日期定在2002年3月20日。
( 奖金比中国最高科学奖还高、Nobel奖)
素数与素数定理
素数:只能被1和其自身整除的大于1的正整数。 如：2，3，7，11，13，23，……
例3. 若函数 u u( x ) 及 v v(x) 都在点x处具有n阶导数
求 ( u v )( n )
解 因为 （u v) u v u v , （u v) u v 2u v u v , （u v) u v 3u v 3u v u v ,
在一元函数中，若f(x)在点x0的邻域内有（n+1）阶
导数，且x为此邻域内任意一点，则有一元函数的n阶泰 勒公式：
f
(x)

f
(x0 )
f
(x0 )(x

x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
...
1 n!
f
(n) (x0 )(x

x0 )n

Hale Waihona Puke Baidu
Rn

n1 i0 i!
是否两个奇素数之和都是偶数呢？ 这是显然的。但是（逆向思维） 任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和？
6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 … 这样下去总是对的吗？即 任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？ 大于4的偶数=奇素数+奇素数？
同年王、潘又证明了（1+4）； 1965年 布赫斯塔勃、维诺格拉多夫、庞比利证明了（1+3）； 1966年 陈景润证明了（1+2）；(发表在《中国科学》
1973. p.111-128）
1. 吴文俊说：哥德巴赫猜想是一场攻坚战和接力赛。 2. 解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础。 3. 王元1956年证得：大偶数=3+4；
类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造” 的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式， 从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：
著名天文学、数学家开普勒说： “我珍 类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖 的老师，它能揭示自然的奥秘……。”
著名数学家、教育学家波利亚说： “类比是一个伟大的引路人，求解立体几 何问题往往有赖于平面几何中的类比问
1957年又得出：大偶数=2+3。 4. 潘承洞1962年证得：大偶数=1+4。 5. 陈景润1966年证得：大偶数=1+2；
1972年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。 6.苏步青说： 要想取得1+1就得把世界上八十多种方法
融会贯通，博取众长。
1998 年 利 用 超 级 计 算 机 ， 验 证 这 个 猜 想 对 于 每 一 个 小 于 4×1014的偶数都是正确的。但没有一项计算技术可以对直至无 穷的每一个偶数确认这个猜想成立。关键是要找出一个抽象严格 的证明。
帕斯卡 三 角 形
123456789 21 1 1 1 1 1 1 31 2 3 4 5 6 4 1 3 6 10 15 5 1 4 10 20 6 1 5 15 71 6 81 9
帕斯卡 三 角 形
印
刷
123456789
于
21 1 1 1 1 1 1
16 54
31 2 3 4 5 6
年 ，
4 1 3 6 10 15
求某一函数的 n 阶导数，通常的方法是求出其一阶、 二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出 n 阶导数的表达式。
例1. 设 f ( x ) 1 , 试求 f ( n ) ( x ) 1 x
解 因为 f ( x ) ln( 1 x )
f ( x ) 1 , f ( x ) ( 1 )2 2! ,
1924年 拉德马哈尔 证明了（7+7）； 1932年 爱斯尔曼 证明了（6+6）； 1938年 布赫斯塔勃 证明了（5+5）,
1940年又证明了（4+4）； 1956年 维诺格拉多夫 证明了（3+3）； 1956年 王元 证明了（3+4）； 1957年 王元 证明了（2+3）； 1962年 潘承洞证明了（1+5）；
在平面解析几何中,两点的距离是：
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
在空间解析几何中,两点的距离是：
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
在平面解析几何中直线的截距式是：
x y 1 ab
在空间解析几何中平面的截距式是：
x

y
z
1;
a bc