实验三求代数方程的近似根

实验三求代数方程的近似根（解）

一、问题背景和实验目的

二、相关函数（命令）及简介

三、实验容

四、自己动手

一、问题背景和实验目的

求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数

方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．

当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．

本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，

可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．

通过本实验希望你能：

1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；

2. 求代数方程（组）的解．

二、相关函数（命令）及简介

1．abs( )：求绝对值函数．

2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．

diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．

diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．例如：

syms x t

diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)

ans=

720*sin(x^2)

3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式

的所有根．例如：

求解：．

p = [1 -6 -72 -27];

r = roots(p)

r =

12.1229

-5.7345

-0.3884

4．solve('表达式')：求表达式的解．

solve('2*sin(x)=1')

ans =

1/6*pi

5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．

例如：

A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];

linsolve(A, b)

ans=

[ 1/9]

[19/72]

6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“函数名”方式进行调用．

例如：

fzero(sin, 3)

ans=

3.1416

7．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．例如：

subs('x^2 ', 'x ', 2)

ans = 4

三、实验容

首先，我们介绍几种与求根有关的方法：

1．对分法

对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间的单实根或奇重实根．

设在上连续，，即，或，

．则根据连续函数的介值定理，在至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：

(1)令，计算；

(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．

若，则令，，若，则令，；．

……，有、以及相应的．

(3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果

；

反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．

当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有

以上公式可用于估计对分次数．

分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由

于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．

2. 迭代法

1)迭代法的基本思想：

由方程构造一个等价方程

从某个近似根出发，令

，

可得序列，这种方法称为迭代法．

若收敛，即

，

只要连续，有

即

可知，的极限是的根，也就是的根．

当然，若发散，迭代法就失败．

以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：

定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．

定理1：设，在的某个邻域连续，并且，，

则对任何，由迭代决定的序列收敛于．

定理2：条件同定理 1，则

定理3：已知方程，且

(1) 对任意的，有．

(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代

生成的序列收敛于的根，且．以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：

当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛(参见附录3)．

2) 迭代法的加速：

a) 松弛法：

若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．

迭代方程是：

其中，令，试确定：

当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，

松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．

b) Altken方法：

松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：

，是它的根，是其近似根．