数学联赛考前练习题三套

高中数学奥林匹克模拟真题（五）一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列{}n a 中，12a =，21a =-，且21n n n a a a ++=-，1,2,n = ．则2011a ＝ ．2．设a ，b ，c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，666log log log 6a b c ++=，则a b c ++= ．3．一列数123,,,a a a 满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 4．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =_______． 5．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{}1,2,,500 中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1100，则n 的最大值是 . 6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 .7．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN-的体积最大时，BAC ∠=_________．8．直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则AB = .二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分） 9.（本小题满分16分）设[),,1x y z ∈+∞，，证明不等式2222(22)(22)(22)()22x x y y z z xyz xyz -+-+-+≤-+．10.（本小题满分20分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =，3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（本小题满分20分） 设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑.加 试1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式222221234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++都成立，求a 的最大值．2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ．F CBA3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值；(2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点12,,,n A A A ，则在2nC 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120︒．2012年高中数学奥林匹克模拟真题（五）答案一 试1. 0．因为12a =，21a =-，33a =，44a =，51a =，63a =，72a =，81a =，91a =，100a =，111a =，121a =，130a =，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2011a =0．2． 111．由题意，2b ac =，6log 6abc =，所以，66abc =，故2636b ==，236ac =． 于是，36－a 是平方数，所以，a 只可能为11，20，27，32，35，而a 是236的约数，故27a =．进而，48c =．所以，111a b c ++=．3．33100． 当2n ≥时，有312n a a a n +++= ， 3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+， 所以11111(),2,3,13(1)31n n a n n n n==-=--- 故23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 4． 32-．由1a <-及2x ax x +≤-得：0(1)x a ≤≤-+，设222()()24a a f x x ax x =+=+-．若(1)2aa -+<-，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-．若(1)2a a -+≥-，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =． 5． 81.由题设知，n 恰有5个约数.设n 的质因数分解是11k k n p p αα= ，则n 的约数个数为1(1)(1)k αα++ ，所以1(1)(1)k αα++ ＝5，故n 具有4p的形式，而44381,5625500==>，故n 的最大值为81.6． 22010．令f (x )=(1+x )(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2011),问题中要求的答案为f (x )的展开式中，x 的奇次项的系数和．故所求的答案为21(f (1)－f (－1))=22010.7．． 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面，所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面．13S AMN ANM V SM S -∆=⋅⋅，由2SA AB ==得：AM SM =，而AN NM ⊥，AMN ∆1AN MN ==时取到，此时，arccos3BAC ∠=．8．设()()1122,,,A x y B x y ，由228ky y =-，即28160k y y --=，所以，1212816, y y y y k k +==-，因此()12128444y y k x x k k=+=+-=-，即220k k --=，因直线2y kx =-过()0,2-和122,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，则0k >，于是2k =，再由22y x =-，28y x =，解得((2 2, 2 2A B -+，所以AB =9.注意到1,1x y ≥≥，所以222(22)(22)(()22)x x y y xy xy -+-+--+ 222(22)(624)(242)y x y y x y y =-++--+-+22(1)((2)1)y x y x y =--+-+-2(1)(1)(1)0y x x y =---+-≤，所以 222(22)(22)()22x x y y xy xy -+-+≤-+．同理，因为1,1xy z ≥≥，所以222(()22)(22)()22xy xy z z xyz xyz -+-+≤-+．10.（1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =，双曲线方程化为222213x y a a-=．又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，221232m a x x --=． 因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，123x x =-．结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232m a x x --=，得2223342m a m ---=，化简得226m a =．又 1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，且3OA OB ⋅=．所以21a =．此时，m2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=． （2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=--，00tan Q M y QMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++．于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-． 当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合2QFM QMF ∠=∠．所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，．11.必要性：若12,,,,n x x x 是一个等比数列，设1k k x ar -=，则22(1)1112111211n n n n k k k k k x x r x x x rr----==+=∑∑2(1)22(2)2111n n r r rr ---=+++=-＝2212221n x x x x --.充分性：当n ＝2时，两边都等于1.当n ＝3时，有222233311222122321x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 化简得2132x x x =，所以，123,,x x x 成等比数列.假设121,,,n x x x - 成等比数列（4n ≥），记1k k x ar -=，1,2,,1k n =- ，n n x au =，则2232522111111n n n n nu u r r r r r u r --⎛⎫-++++=⎪-⎝⎭ ， 2242632224(1)(1)(1)n n n n n n u r r r r u r u r---⎡⎤+++++-=-⎣⎦ ， 21324()0n n n n n u r r u r ------=，()()130n n nn ur u r ---+=，因为0n u >，所以1n n u r -=，即1n n x a r-=，从而12,,,n x x x 成等比数列.由数学归纳法知，12,,,,n x x x 是一个等比数列.加 试1． a．因为当123451,2,1x x x x x =====时，得a ≤又当a =2222212345222222223322441522332233x x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12233445x x x x x x x ≥+， 所以，a的最大值为3．2．连接DE ，DF ，则△BDF 是等腰直角三角形．于是45FPD FDB ∠=∠=︒，故45DPC ∠=︒．又PDC PFD ∠=∠，所以△PFD ∽ △PDC ，所以PF PDFD DC=． ① 又由AFP ADF ∠=∠，AEP ADE ∠=∠，所以，△AFP ∽ △ADF ，△AEP ∽ △ADE ，于是EP AP AP FPDE AE AF DF===，故由①得 EP PDDE DC=． ② 因为EPD EDC ∠=∠，结合②得，△EPD ∽ △EDC ，所以，△EPD 也是等腰三角形，于是PED EPD EDC ∠=∠=∠，所以，PE ∥BC ．F CBA3．（1）由于231n n ++是大于3的奇数，故()1f n ≠．若()2f n =，则231n n ++只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，即231n n ++=101k +，k 是大于1的整数．于是(31)25k k n n +=⋅，由于(),311n n +=，所以2,315,k kn n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩于是314425k kn n +≤=⋅<，矛盾！故()2f n ≠． 又当n =8时，231n n ++=201，所以(8)3f =． 综上所述，()f n 的最小值为3. （2）事实上，令101kn =-，则22313105103k k n n ++=⨯-⨯+1129999500003k k --=， 他的数码和为29(1)5391k k +-++=+．由于100=9×11+1，所以，取11101n =-，则()f n =100.4．首先，当n ＝90时，如图，设AB 是圆O 的直径，在点A 和B 的附近分别取45个点，此时，只有245245441980C =⨯=个角不超过120︒，所以，n ＝90不满足题意．当n ＝91时，下面证明至少有2011个角不超过120︒．把圆周上的91个点1291,,,A A A 看作一个图的91个顶点，1291,,,v v v ，若120i j A OA ∠>︒，则在它们对应的顶点,i j v v 之间连一条边，这样就得到一个图G ．设图G 中有e 条边，易知，图中没有三角形．若e ＝0，则有29140952011C =>个角不超过120︒，命题得证．若1e ≥，不妨设顶点12,v v 之间有边相连，因为图中没有三角形，所以，对于顶点(3,4,,91)i v i = ，它至多与12,v v 中的一个有边相连，所以12()()89291d v d v +≤+=，其中()d v 表示顶点v 的度，即顶点v 处引出的边数．因为1291()()()2d v d v d v e +++= ，而对于图G 中的每一条边的两个顶点,i j v v ，都有()()91i j d v d v +≤，于是，上式对每一条边求和可得2221291(())(())(())91d v d v d v e +++≤ ，由柯西不等式222221*********[(())(())(())][()()()]4d v d v d v d v d v d v e +++≥+++= ，所以 222212914(())(())(())9191e d v d v d v e ≤+++≤ ， 故29120714e ≤<，所以，91个顶点中，至少有291207120242011C -=>个点对，它们之间没有边相连，从而，它们对应的顶点所对应的角不超过120︒．综上所述，n 但最小值为91．A。