广东省广州市第五中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题
2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线370x y +-=的一个方向向量为（ ） A ．(3,1) B ．(1,3)C ．(3,1)-D ．(1,3)-【答案】D【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由直线方程知：直线方向向量有()1,3-及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．两平行直线3210x y --=和6430x y -+=间的距离是（ ） A ．51326B ．41313C ．21313D ．31313【答案】A【分析】将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得；【详解】解：直线3210x y --=即为6420x y --=，所以两平行直线6420x y --=和6430x y -+=间的距离()22236513264d --==+-；故选：A4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB = A ．2 B ．42C ．6D ．210【答案】C【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.【解析】切线长5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点，则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．1010C ．22D ．1【答案】A【分析】分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1AG 和EF 的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()12,0,2A 、()1,0,0G 、()2,1,0E 、()0,1,1F ，所以()11,0,2AG =--，()2,0,1EF =-， 设异面直线1A G 与EF 所成角为θ， 则()()111221cos 055AG EF AG EF θ⋅-⨯--⨯===⨯⋅ ，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.6．如图，己知二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l ．若4,6,8,217AB AC BD CD ====α与平面β的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，进而确定平面α与平面β的夹角为CAE ∠，结合已知及题图确定二面角的大小.【详解】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，由BD l ⊥且BD β⊂，故//AE BD 且AE BD =，又AC l ⊥，AC α⊂，l αβ=，所以平面α与平面β的夹角为CAE ∠，且ABDE 为矩形，即DE AE ⊥，由//DE l ，则DE AC ⊥，又AC AE A ⋂=，,AC AE ⊂面CAE ，则DE ⊥面CAE ，CE ⊂面CAE ，故DE CE ⊥，又4,6,8,17AB AC BD CD ====8,4AE ED ==， 在直角△CDE 中22213CE CD ED -在△CAE 中，2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以，如图，锐二面角的大小为π3.故选：C7．已知直线20kx y -+=和以(3,1),(2,5)--M N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．72≤-kB ．13k ≥C ．7123-≤≤kD ．72≤-k 或13k ≥【答案】D【分析】先求出20kx y -+=所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k 的范围. 【详解】由题设，20kx y -+=恒过点(0,2)A -，则121303AM k -+==-，527202AN k +==---，又A 在y 轴上，,M N 在y 轴两侧，故直线20kx y -+=的斜率71(,][,)23k ∞∞∈--⋃+.故选：D8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1， 设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，1B (1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C (0,1，1)，()1B E a 1,1,c 1=---，DB (1,=1，0)，1DC (0,=1，1)，设平面1DBC 的法向量n (x,=y ，z)， 则1n DB 0n DC 0x y y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-， 1B E //平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=，解得a c 1+=，()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，设直线1B E 与直线AB 所成角为θ， AB (0,=1，0)，(11AB B E cos θAB B Ea ⋅∴==⋅2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，sin θ∴===≥=∴直线1B E 与直线AB故选B ．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC10．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．． 【答案】BD【分析】A 令0k =即可判断正误；B 由2l 过定点(0,1)-，再由定点与1l 的关系判断正误；C 令12k =-即可判断正误；D 利用直线垂直的判定判断k 值的存在性即可. 【详解】A ：当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，错误；B ：2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，正确；C ：当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，错误；D ：要使1l 与2l 都垂直则(1)(1)0k k ++-=，显然不存在这样的k 值，正确. 故选：BD11．已知(1,0),(4,0)A B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有（ ） A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则弦MN 的中点的轨迹方程是221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为422- 【答案】BCD【分析】A 由定点到圆心距离及圆的半径判断；B 首先判断A 在圆C 内，再根据所截弦长最短知直线与CA 垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C 由题意E 的轨迹是以CA 为直径的圆，即可得圆的方程；D 根据切线性质判断D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.【详解】由题设，圆心C 为(0,0)且半径2r =，则||4OB =，故||422OB r -=-=， 所以圆C 上到B 的距离为2的点有一个，A 错误；由221014+=<，即A 在圆C 内，故过A 的直线被圆C 所截得的弦长最小，只需直线与CA 垂直，故直线为1x =，此时2||2123MN r =-=，B 正确；若过A 的直线被圆C 所截得的弦MN 的中点为E ，则CE AE ⊥，故E 的轨迹是以CA 为直径的圆，所以轨迹方程为2211()24x y -+=，C 正确；若D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，所以D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，即228x y +=，而||4OB =， 故该圆上点到B 的最小值为422-，D 正确. 故选：BCD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则下列命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4B ．点C 到平面11ABCD 的距离为22C ．异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4D ．线段PQ 长度的最小值为433【答案】ABD【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证1CB ⊥面11ABC D ，进而确定直线BC 与平面11ABC D 所成的角、C 到平面11ABC D 的距离，由11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠求大小，过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ，利用线面垂直及勾股定理求PQ 的最小值.【详解】正方体中AB ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，故1AB CB ⊥，又11BC CB ⊥，由1AB BC B =，1,AB BC ⊂面11ABC D ，故1CB ⊥面11ABC D ，而BC面11BCC B B =，故直线BC 与平面11ABC D 所成的角1π4CBC ∠=，A 正确； C 到平面11ABC D 的距离为142222CB ==B 正确； 因为11//BC AD ，故异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠， 而△1CD A 为等边三角形，故1π3CD A ∠=，C 错误； 过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ， 面1DCC ⊥面ACD ，面1DCC 面ACD CD =，PE ⊂面1DCC ，故PE ⊥面ACD ，AC ⊂面ACD ，则PE AC ⊥，又PE EQ E =，,PE EQ ⊂面PEQ ，所以AC ⊥面PEQ ，易知：PQ 即为异面直线1C D ，AC 上两点的距离， 令[0,4]DE PE x ==∈，则4CE x =-，2)EQ x =-， 所以2222224323()(4)381633222x x x x PQ PE EQ x -+--+=++=当43x =时，min 164333PQ ==，D 正确.故选：ABD三、填空题13．若平面α的一个法向量为()2,6,s m =-，平面β的一个法向量为()1,,2n t =，且αβ∥，则s t -=______．【答案】7【分析】由αβ∥，得m n ∥，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由αβ∥，得m n ∥，所以2612s t -==，解得3t =-，4s =，∴7s t -=． 故答案为：714．已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数=a ______． 【答案】57【分析】由12l l //由12210A B A B -=有(2)(75)0a a --=，即可求a ，然后验证1l 、2l 是否重合. 【详解】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线； 当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //；∴57a =， 故答案为：5715．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，高为1，则点D 到平面ACD 1的距离是_____．【答案】63163【分析】利用等体积法，根据11D ACD D ACD V V --=可得.【详解】因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，2AD CD ==，11DD =，所以1122,5AC AD CD ===，记AC 中点为O ，则1D O AC ⊥，所以2211523D O AD AO =-=-=，记三棱锥1D ACD -的高为h ，因为11D ACD D ACD V V --=，所以11112212233232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得63h =. 故答案为：63.16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A -、()2,4B ，其欧拉线的方程为0x y -=，则ABC 的外接圆方程为______. 【答案】()()221110x y -+-=【分析】求出线段AB 的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出ABC 的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出ABC 的外接圆方程.【详解】直线AB 的斜率为40122AB k -==+，线段AB 的中点为()0,2M ， 所以，线段AB 的垂直平分线的斜率为11AB k k =-=-， 则线段AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，即20x y +-=，联立200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即ABC 的外心为()1,1D ，所以，ABC 的外接圆的半径为()()22210110r AD ==--+-=因此，ABC 的外接圆方程为()()221110x y -+-=. 故答案为：()()221110x y -+-=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．四、解答题17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）32120x y +-=；（2）5200x y +-=． 【分析】（1）先根据斜率公式得23=BC k ，由于BC 边上的高与BC 所在直线垂直且过()4,0A ，故根据点斜式求解即可；（2）由题知BC 中点为()3,5M ，故5,AM k =-再根据点斜式求解即可. 【详解】（1）BC 边所在直线的斜率732603BC k -==- 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为1-，所以BC 高线的斜率为32-，又因为BC 高线所在的直线过()4,0A所以BC 高线所在的直线方程为30(4)2y x -=--，即32120x y +-=（2）设BC 中点为M ，则中点()3,5M ，又5,AM k =-所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为：5(3)5y x =--+，即：5200x y +-=【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为1-，考查运算求解能力，是基础题.18．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：2260x y x m +-+=.(1)若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值;(2)在(1)的条件下，若直线l 过点(2，1)，且与圆2C 的相交弦长为23，求直线l 的方程. 【答案】(1)m=5 (2)20x -=或10y -=【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【详解】（1）圆1C ：221x y +=，则1(0,0)C ，半径r 1=1， 由圆2C ：2260x y x m +-+=，得22(3)9x y m -+=-， 则2(3,0)C ，半径29(9)r m m =-<.∵圆1C 与圆2C 外切， ∴1212C C r r =+，∴913m -+=，解得m=5. （2）由(1)得m=5，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，则2(3,0)C ，r 2=2.由题意可得圆心2C 到直线l 的距离24(3)1d =-=， 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-，化为一般形式为210kx y k --+=，则圆心(3，0)到直线l 的距离2111k d k +==+，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l 的方程为20x -=或10y -=.19．如图，在棱长为4的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．【答案】(1)证明见解析； (2)22.【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF a ==且04a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数a ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF a ==且04a ≤≤，所以(0,4,4)C '，(4,0,4)A '，(4,,0)E a ，(4,4,0)F a -，则(4,4,4)C E a '=--，(,4,4)A F a '=--，故44(4)160C E A F a a ''⋅=-+-+=， 所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1），三棱锥B BEF '-体积取最大，即△BEF 面积()()21142222S a a a =-=--+最大， 所以，当2a =时max 2S =，故,E F 为AB ，BC 上的中点，所以(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(4,4,4)B '，故(0,2,4),(2,0,4)EB FB ''==，若(,,)m x y z =为面B EF '的法向量，则240240m EB y z m FB x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅''=+=⎪⎩，令1z =-，故(2,2,1)m =-，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11|cos ,|||||313||||m n m n m n ⋅-<>===⨯，由图，平面B EF '与平面BEF 的夹角正切值为220．（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【答案】（1）x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0；（2）x ＋y －2＝0【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点()4,3-可得； （2）求出M ，N 两点坐标，利用坐标表示出OMN 面积，分离常数后使用基本不等式可得.【详解】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1， 解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. （2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +， ∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2， 当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立． 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.21．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，,E F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．(1)证明：BA BC ⊥(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大？ 【答案】(1)证明见解析 (2)112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用线面垂直性质可知111BB A B ⊥，结合11BF A B ⊥可证得11A B ⊥平面11BCC B ，由11//AB A B和线面垂直性质可证得结论；（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，1BB ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111BB A B ∴⊥，又11BF A B ⊥，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，1BB BF B ⋂=， 11A B ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，11BC A B ∴⊥；四边形11AA B B 为正方形，11//AB A B ∴，BA BC ∴⊥.（2）以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 为,,x y z 轴可建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0E ，()0,2,1F ，设1B D a =，则(),0,2D a ，则()1,1,1EF =-，(),2,1FD a =-， 设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则020EF n x y z FD n ax y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，解得：1y a =+，2z a =-，()3,1,2n a a ∴=+-； 又平面11BCC B 的一个法向量()1,0,0m =，()()222cos ,912127222m n m n m na a a ⋅∴<>===⋅+++-⎛⎫-+⎪⎝⎭ 则当12a =时，max 6cos ,m n <>=即当112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大.22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【分析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上, ∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,00r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQPNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PN x y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P在圆M上,()()223318x y∴-+-=,即22660x y x y+--=,()()()()2222221161610x y x yλλλλ∴-+-----=,()22226122220aaλλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232aλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q为33,22⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
2024—2025学年广东省广州市第五中学高二上学期第一次段考数学试卷
2024—2025学年广东省广州市第五中学高二上学期第一次段考数学试卷一、单选题(★★) 1. 中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知非零向量，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件(★★) 3. 已知点，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（）A．B． 4C．D．(★★) 4. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1， 2，3， 4表示命中， 5， 6， 7， 8， 9， 0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： 137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．B．C．D．(★★) 5. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“不能被2整除”，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，，，，，则（）A．事件A与B互斥B．事件A与B相互独立C．事件A与C互斥D．事件A与C相互独立(★★★) 10. 下列四个命题中，正确命题的有（）A．已知向量，，共面，则实数t的值为0B．若向量，且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为C．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则(★★★) 11. 如图，在三棱柱中，侧面与是边长为2的正方形，平面平面，分别在和上，且，则（）A．直线平面B．当时，线段的长最小C．当时，直线与平面所成角的正切值为D．当时，平面与平面夹角的余弦值为三、填空题(★) 12. 已知向量，，若与垂直，则___________ .(★★) 13. 某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考.据调查，这两项考试的合格率依次为，，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考一次的概率为 ______ .(★★★) 14. 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则 __________ .四、解答题(★★) 15. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求(★★★) 16. 如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别为和的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 一个不透明的袋中有3个红球， 1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示(1)写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.(2)甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.(★★★) 18. 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求丙连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.(★★★★) 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；(1)求证：；(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．。
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，2,1为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .2．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可． 【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上， 因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b ，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =， 所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．3．平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】由点到平面距离的向量法计算． 【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,5n PA n PA n PA⋅-<>===所以点()1,2,3P 到平面α的距离为cos ,d PA n PA =<>==故选：C ．4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且a b ⊥，//b c ，则||a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据a b ⊥，//b c ，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且由a b ⊥得10x y ++=，由//b c ，得124y=- 解得2,1y x =-=，所以向量()1,1,1a =，(1,2,1)b =-， 所以()2,1,2a b +=-，所以(2||23a b +=+ 故选：C5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+【答案】A【分析】计算得出569a a =，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果. 【详解】564756218a a a a a a +==，所以，569a a =， 故()()553132310312103563log log log log log log 910a a a a a a a a +++====．故选：A ．6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.7．如图已知矩形,1,3ABCD AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，当二面角B AC D --的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．102【答案】C【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,3ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅3BE DF ∴==， 则12AE CF ==，即211EF =-=，平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13-，cos EB ∴<,13FD >=-，BD BE EF FD =++，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，51512()32322FD >=--=+=， 则3BD =，即B 与D 故选：C ．8．12F F ､是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．89B ．56C ．23D ．78【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得，以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠， 因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故选：D二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，713S S =，则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 是递减数列 B ．120a >C ．200S <D ．n S 最小时，10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项10a <可得：公差0d >且11100a a =->即可判断等差数列{}n a 是递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且713S S =，所以137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=，则有0111a a =-，因为10a <，所以公差0d >，且11100a a =->，所以等差数列{}n a 是递增数列，故选项A 错误； 12110a a >>，故选项B 正确；因为12010112020()20()022a a a a S ++===，故选项C 错误； 由11100a a =->可知：等差数列{}n a 的前10项均为负值，所以n S 最小时，10n =，故选项D 正确， 故选：BD .10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA =B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【答案】BCD【分析】求出OP ，由勾股定理求解PA ，即可判断选项A ；利用PO 为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B ；利用AB OP ⊥，求出直线AB 的斜率，即可判断选项C ；求出直线PO 和AB 的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项D .【详解】对于A ，由题意可得：OP =2PA ==，故选项A 错误；对于B ，由题意知，PB OB ⊥，则PO 为所求圆的直径，所以线段PO 的中点为112（，），则所求圆的方程为2215(1)()24x y -+-=，化为一般方程为222x y x y +=+，故选项B 正确；对于C ，由题意，其中一个切点的坐标为0,1（），不妨设为点B ，则AB OP ⊥，又12OP k =，所以2AB k =-，所以直线AB 的方程为21y x =-+，故选项C 正确； 对于D ，因为AB OP ⊥，且直线OP 的方程为12y x =，直线AB 的方程为21y x =-+，联立方程组2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两条直线的交点坐标为21(,)55D，则BD =PD =故PBD △的面积为1425=，所以PAB 的面积为85，故选项D 正确，故选：BCD .11．已知()0,πα∈，曲线22:sin cos 1C x y αα+=，下列说法正确的有（ ） A ．当π4α=时，曲线C 表示一个圆 B ．当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线 C ．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线D ．当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【详解】对于A ，当π4α=时，曲线22sin cos 1x y αα+=表示圆22x y +=，所以A 正确； 对于B ，当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线1x =±，所以B 正确． 对于C ，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线22:sin cos 1C x y αα-=表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．对于D ，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin cos 1αα<<<，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 2D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π 【答案】ABC【分析】利用面面垂直的判定知A 正确；利用11B MB C C BB M V V --=，可知三棱锥1B MB C -体积最大时，1BB MS最大，由此可计算确定B 正确；以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知C 正确； 在C 中的空间直角坐标系中，假设()101AM AB λλ=≤≤，得到()1,,1M λλ-，假设所成角可以为4π，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得λ的值，知D 错误. 【详解】对于A ，BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ，1,AB BB ⊂平面1AA M ，BC ∴⊥平面1AA M ，又BC ⊂平面BCM ，∴平面BCM ⊥平面1A AM ，A 正确；对于B ，11111133B MBC C BB M BB MBB MV V SBC S--==⋅=，M 为1AB 上动点，∴当M 与A 重合时，1BB MS取得最大值为11122AB BB ⋅=， ()1max111326B MB CV -∴=⨯=，B 正确； 对于C ，以1D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，当M 为1AB 中点时，111,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，又()11,1,0B ，()0,1,1C ，()0,0,1D ，()11,1,1B D ∴=--，111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1112cos ,632B D CM B D CM B D CM⋅∴<>===⋅⨯，∴当M 为1AB 中点时，直线1B D 与直线CM 所成的角的余弦值为23，C 正确；对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系，设()1,,M y z ，()101AM AB λλ=≤≤， 又()1,0,1A ，()10,1,1AB ∴=-，()0,,1AM y z =-，()()0,,10,,y z λλ∴-=-， 则y λ=，1z λ=-，()1,,1M λλ∴-，()1,1,CM λλ∴=--，又()11,0,1A D =-， ()112211cos ,112CM A D CM A D CM A Dλλλ⋅--∴<>==⋅+-+⨯若直线CM 与1A D 所成的角为4π()2212112λλλ--=+-+⨯， 解得：23λ=[]0,1λ∈，∴当23λ=()123AM AB =-时，直线CM 与1A D 所成的角为4π，D 错误. 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD 选项中的异面直线所成角，可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成余弦值求解错误.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为______．【答案】20224045【分析】由1n n n a S S -=-求得21n a n =-，再由裂项相消法即可求出.【详解】因为2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=，满足11a =， 所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-=⎪⎝⎭. 故答案为：20224045. 14．设点A 的坐标为(，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线2x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为__________. 【答案】4【解析】根据抛物线的定义可知，当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为()2,0，根据抛物线的定义可知，PF d =，所以当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，最小值为4AF =. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．设P 是椭圆22:12x M y +=上的任一点，EF 为圆22:0N x y y +-=的任一条直径，则PE PF ⋅的最大值为__________． 【答案】94【分析】设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤，计算得出21924⎛⎫=-++ ⎪⎝⋅⎭y PE PF ，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】圆2211:24⎛⎫+-= ⎪⎝⎭N x y 的圆心为10,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径长为12，设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以()()22221124⎛⎫=+⋅-=-=-+- ⎪⎭⋅⎝PN NE PN N P E PN NE y E PF x222211192222424⎛⎫⎛⎫=-+--=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y ，所以，当12y =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()max94⋅=PE PF. 故答案为：94.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．16．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）【答案】40000【分析】设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果. 【详解】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000.【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21n n a =- （2）解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+19．如图，三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ∠=∠=︒，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ．设AB a =，AC b =，1A A c =．(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥． 【答案】(1)11133A M a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.（2）通过计算10AM AB ⋅=来证得1A M AB ⊥. 【详解】（1）因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122AN AB AC =+，23AM AN =， 所以11112111133333A M A A AM A A AN A A AB AC a b c =+=+=++=++． （2）设三棱柱的棱长为m ，则2222111111111033333322A M AB a b c a a a b c a m m m ⎛⎫⋅=++⋅=+⋅+⋅=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以1A M AB ⊥．20．已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42l 的方程；(2)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3460x y +-=或2x = (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得． 【详解】（1）∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-. 又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为42，故弦心距1d =，由232211k k k +-=+，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. 故l 的方程为3460x y +-=或2x =.（2）把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上. 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =. 由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．(1)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(2)若PB 6=PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在；1PQQB=【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE ⊥平面POB ，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【详解】（1）连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP ＝O ， OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴AD ＝DE ＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE ＝BC ＝2，∴△P AE 正三角形， ∴3OP =3OB = ∵6PB = ∴OP 2+OB 2＝PB 2， ∴OP ⊥OB ，由（1）可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，OE OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 (003P ，，，A （﹣1，0，0），()03B ，，，()23C ，，，E （1，0，0）， ∴()(033233PB PC =-=，，，，，，()200AE =，，， 设()01PQ PB λλ=＜＜，()1333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=，，， 设平面AEQ 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()203330x x y z λλ=⎧⎪⎨++-=⎪⎩取x ＝0，y ＝1，得1z λλ=-，∴n =(0，1，1λλ-)，设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅===，即23315151011λλλλ+⋅-=⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点，即1PQQB =时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23，长轴的左，右顶点分别为A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS DO λ=，DT DO μ=（O 为坐标原点），当直线l 的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围． 【答案】(1)22195x y += (2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得22,a b ，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据,DS DO DT DO λμ==确定λμ， 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【详解】（1）由题意可得：2222623a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得：222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程：22195x y+= （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，， 设直线():3,0l y kx k =->，由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >， 所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =， 解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()2233y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++， 所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++． ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭．。
广东省广州市广大附属实验学校高二数学上学期期中试题 理(答案不全)新人教A版
广大附校2013－2014学年(上)期中考试高二年级 数学试题(理科)本试卷共20小题，满分150分,考试用时120分钟参考公式： 标准差[]22221)()()(1x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=, 其中 ∑==n i i x n x 11. 第Ⅰ卷 （共40分）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. )330sin(ο-等于（ ）A． B ．12-C ．12D2. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10 种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样 的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 73. 设,R x ∈则“1<xe ”是“0>x ”的 （ ） A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且∥，则32+=（ ） A . )8,4(-- B ．)4,2(--C ．)6,3(--D ．)10,5(--5.已知命题:p 椭圆2222=+y x 的焦距是2; 命题:q )1(14cos sin ,≠-+=-∈∃t t t x x R x . 下列命题中,为真命题的是( ）A ．q p ∨⌝)(B . )()(q p ⌝∧⌝ C.)(q p ⌝∧ D. q p ∧6.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=( ) A. )41(16n-- B. )21(16n --C.)41(332n -- D. )21(332n -- 7.如图,△ABC 是边长为a 的正三角形,现随机向圆所在区域投一点,则该点恰好落在 △ABC 内的概率是( ) A.π322 B . π433 C.π334 D. π228.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A ．450 B ．470 C ．495 D ．510 第Ⅱ卷 （共110分） 二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则 输出s 的值是____________; 10. 函数x x x x f cos sin 22cos 3)(-=)(R x ∈的最大值是___________;11. 从正六边形的6个顶点中随机选取3个顶点,则以它 们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_______; 12. 在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中 间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的41,且样本容量为120,则中间一组的频数是______; 13.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于______;图 114.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点，且021=⋅PF ,若21F PF ∆的面积为9，则=b ___________.三.解答题:（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤）15. (本小题满分12分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为)6,5,4,3,2,1(=n n 的 同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:(1) 求第6位同学的成绩6x 及这6位同学的成绩的标准差s ; (6分)(2) 从前5位同学中随机选2位同学,求恰有一位同学成绩在区间()75,68中的概率. (6分)16. (本小题满分13分) 已知函数.),12cos(2)(R x x x f ∈-=π(1) 求)6(π-f 的值；(5分)(2) 若3cos 5θ=,)2,23(ππθ∈,求)32(πθ+f ．(8分)17. (本小题满分13分)已知△ABC 中,,3,2==AC AB 且1)cos cos sin (sin 4-=-C B C B .(1) 求BC 的长和△ABC 的面积；(7分) (2) 求-2. (6分)18. (本小题满分14分)已知命题:p 方程122=-+tk y x 表示焦点在y 轴上的椭圆; 命题:q 函数1)(2+-=kx x x f 有两个不同的零点.(1) 当0=t 时,“q p ∨”为真,且“q p ∧”为假,求实数k 的取值范围;(8分) (2) 若p 是q ⌝的必要不充分条件,求实数t 的取值范围.(6分)19. (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,111=+-+nn n S a S ,且421,,a a a 成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式; (7分) (2) 设nn S S S S T 1111321+⋅⋅⋅+++=, 求证: 1≤2<n T . (7分)20. (本小题满分14分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,3(-,其离心率是21. (1) 求这个椭圆的标准方程; (4分)(2) 斜率为1的直线l 与椭圆交于B A ,两点,椭圆上是否存在一点P ,使四边形OAPB 为平行 四边形? 若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (10分)。
广东省广州市三校联考2024-2025学年高二上学期期中考试物理试题(广大附、铁一、广外)(含解析)
2024-2025学年第一学期期中三校联考高二物理问卷本试卷共6页，15小题，满分100分，考试用时75分钟。
第I卷选择题（46分）一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，两质量均为m的小球A和B分别带有＋q和－q的电量，被绝缘细线悬挂，两球间的库仑引力小于球的重力mg．现加上一个水平向右的匀强电场，待两小球再次保持静止状态时，下列结论正确的是（ ）A．悬线OA向右偏，OA中的张力大于2mgB．悬线OA向左偏，OA中的张力大于2mgC．悬线OA不发生偏离，OA中的张力小于2mgD．悬线AB向左偏，AB线的张力比不加电场时要大2．高压电线落地可能导致行人跨步电压触电。
如图所示，若高压输电线掉落在水平地面上的O点，且O点附近地质结构分布均匀，将在地面形成以O为圆心的一系列同心圆等势线。
下列说法正确的是（ ）A．图中A点的电场强度小于B点的电场强度B．图中A点的电场强度等于B点的电场强度C．行人无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大跨步电压越大D．行人无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大跨步电压越小3．如图甲是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．如图乙是喷涂原理示意图，静电喷涂利用了电荷之间的相互作用．下列表述正确的有（ ）A ．图甲中，对矿粉分离的过程，带正电的矿粉落在右侧，静电力对矿粉做正功B ．图甲中，对矿粉分离的过程，带正电的矿粉落在左侧，静电力对矿粉做负功C ．图乙中，涂料微粒带负电，喷嘴与工件之间的电场为非匀强电场D ．图乙中，涂料微粒带正电，喷嘴与工件之间的电场为匀强电场4．如图所示，A ，B ，C 为三个相同的灯泡，a 、b 、c 为与之串联的三个元件，为直流电源，为交流电源．当开关S 接“1”时，A 、B 两灯均正常发光，C 灯不亮；当开关S 接“2”时，A 灯仍正常发光，B 灯变暗，C 灯正常发光．由此可以判断a 、b 、c 可能分别为（）A ．a 组件是电阻器，b 组件是电感器，c 组件是电容器B ．a 组件是电感器，b 组件是电阻器，c 组件是电容器C ．a 组件是电容器，b 组件是电感器，c 组件是电阻器D ．a 组件是电阻器，b 组件是电容器，c 组件是电感器5．某学习小组探究一段金属导体的导电特性，通过实验，得到了如图所示的U -I 图像，以下关于这段金属导体的说法正确的是（ ）A ．由图像可知电流增大时电阻变小B ．根据图中P 点的斜率可得P 点的电阻为12.5Ω1E 2eC ．流过导体的电流为0.8A 时，电阻为3.75ΩD ．该金属导体是线性元件6．如图所示某电场等势面分布关于图中虚线上下对称，F 点在虚线上。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
2023-2024学年广东省广州市铁一中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市铁一中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|y =√1−2x}，B ＝{x |y ＝ln （2x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ） A ．{x|0≤x ＜12}B ．{x|0＜x ≤12}C ．{x|0≤x ≤12}D ．{x|0＜x ＜12}2．已知x ＜y ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1x ＞1yB ．2﹣x ＜2﹣yC ．lg （x 2+1）＜lg （y 2+1）D ．x 13＜y 133．“方程x 29−m +y 2m−5=1的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A ．“m ＝7” B ．“7＜m ＜9”C ．“5＜m ＜9”D ．“5＜m ＜9”且“m ≠7”4．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4x +2ay +a 2+3＝0和圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4ay +4a 2﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2的公切线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为h ＝m •a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（ ）（已知lg 2≈0.3，结果取整数） A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天6．已知sinα+cos(π6−α)=√33，则cos(2α+π3)=（ ）A ．−79B ．79C ．−13D ．137．已知向量a →=（2，0），b →=（sin α，√32），若b →在a →上的投影向量为c →=（12，0），则向量a →与b →的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π38．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm ，两底面对角线EG 、E 1G 1的长分别为14cm 、62cm ，水深为12cm ．则玻璃容器里面水的体积是（ ）A ．3336cm 3B ．3337cm 3C ．3338cm 3D ．3339cm 3二、选择题：本题共4小题，每小题5份，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年广东省广州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝02．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．83．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣14．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4 C ．1或4 D ．4或86．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√558．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝312．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 ． 14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 ．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AA 1B 1B 为矩形，AB ＝3，BC ＝5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值； （3）求点C 到平面A 1C 1B 的距离．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ADEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AE 和BD 上移动，且EM 和DN 的长度保持相等，记EM =DN =a(0＜a ＜√2)，活动弹子Q 在EF 上移动． （1）求证：直线MN ∥平面CDE ； （2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）Q 为EF 上的点，求EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝0解：由题意可得，直线的斜率k ＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y ＝﹣x ﹣1即x +y +1＝0 故选：A ．2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：∵直线l ∥平面α，∴l 的方向向量（2，m ，1）与平面α的一个法向量（1，12，2）垂直， ∴2×1+m ×12+1×2＝0， ∴m ＝﹣8． 故选：C ．3．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣1解：因为直线ax +（1+a ）y ＝3与（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，所以A 1A 2+B 1B 2＝0， 即：a （1+a ）+（1+a ）（3﹣2a ）＝0，解得：a ＝﹣1或 a ＝3． 故选：C ．4．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →解：∵M 为BC 的中点， ∴AM →=12(AB →+AC →)，∵N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，∴A 1N →=13A 1C 1→=13AC →，∴MN →=MA →+AA 1→+A 1N →=−12(AB →+AC →)+AA 1→+13AC →=−12(a →+b →)+c →+13b →=−12a →−16b →+c →，∴NM →=12a →+16b →−c →．故选：A ．5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4C ．1或4D ．4或8解：∵椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，知m ＞0， 当m ＞4时，椭圆焦点在x 轴上，此时a 2＝m ，b 2＝4， ∴c 2a 2=m−4m=34，解得m ＝16，则a ＝4，∴椭圆的长轴长为2a ＝8；当0＜m ＜4时，椭圆焦点在y 轴上，此时a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2a 2=4−m 4=34，解得m ＝1，满足题意，此时a ＝2，∴椭圆的长轴长为2a ＝4．综上，该椭圆的长轴长为4或8． 故选：D ．6．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)解：直线l ：mx +y +m ﹣1＝0，即m （x +1）+y ﹣1＝0， 则直线l 过定点C （﹣1，1），∵A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），C （﹣1，1）， ∴k AC =−3−12+1=−43，k BC =−2−1−5+1=34，∵直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点， ∴−m ≥34或﹣m ≤−43，解得m ≤−34或m ≥43，故实数m 的取值范围为（﹣∞，−34]∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√55解：取AC 中点E ，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，如图，∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC ，△ACD 均为等边三角形，不妨设AC ＝2，则△ABC ，△ACD 的边长都为2，且BE ⊥AC ，∵平面BAC ⊥平面DAC ，BE ⊥AC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC ，BE ⊂平面BAC ， ∴BE ⊥平面DAC ， 又CD ⊂平面DAC ， ∴BE ⊥CD ，又EF ⊥CD ，BE ∩EF ＝E ，且都在平面BEF 内， ∴CD ⊥平面BEF ， ∴∠BFE 为所求二面角，在△BEF 中，∠BEF ＝90°，BE =√22−1=√3，EF =1×sin60°=√32， ∴BF =√3+34=√152，∴cos ∠BFE =√32152=√55．故选：D ．8．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2解：如图，设∠OPC ＝α，则−π4≤α≤π4， 根据题意可得：∠APO ＝45°， ∴PA →⋅PD →=|PA →|⋅|PD →|⋅cos(α+π4) =1×√2cosαcos(α+π4) ＝cos 2α﹣sin αcos α =1+cos2α−sin2α2=12+√22cos(2α+π4)，又−π4≤α≤π4， ∴当2α+π4=0，α=−π8，cos （2α+π4）＝1时， PA →⋅PD →取得最大值12+√22． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切解：直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角θ，可得tan θ＝sin α∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π），所以A 正确；“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”，可得√32+42=3．解得c ＝5，c ＝﹣25，所以“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确； 直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0），所以C 正确； 直线y ＝﹣2x +5即2x +y ﹣5＝0与直线2x +y +1＝0平行，√22+12=√5，所以直线y ＝﹣2x +5与圆x 2+y 2＝5相切， 所以D 正确； 故选：ACD ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：对于A ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，∵−12≠21，∴A →B 与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ：AB →=(2，1，0)，则与AB 同向的单位向量是AB→|AB →|=√5(2，1，0)=(2√55，√55，0)，故B 正确；对于C ：AB →=(2，1，0)，BC →=(−3，1，1)，∴cos〈AB →，BC →〉=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)， 设平面ABC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=(1，−2，5)，故D 正确． 故选：AC ．11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝3解：将圆化为标准方程可得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 所以，圆心C （1，1），半径r ＝2．对于A 项，由已知可得P A ⊥AC ，|CP|=√(5−1)2+(1−1)2=4． 所以，|PA|=√|CP|2−|AC|2=2√3． 同理可得，|PB|=2√3．故A 错误；对于B 项，因为P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以∠P AC ＝∠PBC ＝90°， 所以点A ，B 都在以PC 为直径的圆上， 所以P ，A ，C ，B 四点共圆．故B 正确； 对于C 项，因为|CP |＝4，|AC |＝2，在Rt △ACP 中，有sin ∠APC =|AC||CP|=12，所以∠APC ＝30°． 同理可得，∠BPC ＝30°． 所以∠APB ＝60°．故C 正确；对于D 项，线段PC 的中点为E （3，1），|CE|=12|CP|=2． 所以，圆E 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4． 显然，AB 是圆C 与圆E 的公共弦． 两圆方程作差，整理可得x ＝2．所以，直线AB 的方程为x ＝2．故D 错误． 故选：BC ．12．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 解：对于A ：△AA 1D 的面积不变，点P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长， 所以三棱锥P ﹣AA 1D 的体积的体积不变，且V P−AA 1D =13S △AA 1D ⋅AB =13×12×2×2×2=43，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系， 可得A 1（2，0，2），D 1（0，0，2），C 1（0，2，2），设P （x ，2﹣x ，0），0≤x ≤2，则D 1P →=(x ，2−x ，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设直线D 1P 与A 1C 1所成角为θ， 则cosθ=cos〈D 1P →，A 1C 1→〉=|D 1P →⋅A 1C 1→||D 1P →||A 1C 1→|=|x−1|√(x−1)+3，因为0≤|x ﹣1|≤1，当|x ﹣1|＝0时， 可得cos θ＝0，所以θ=π2； 当0＜|x ﹣1|≤1时，cosθ=|x−1|√(x−1)2+3=1√1+3|x−1|2≤12，由θ∈[0，π2]，所以π3≤θ＜π2，所以异面直线D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]，所以B 正确；对于C ，由B 1（2，2，2），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，2）， 设P （m ，n ，0），0≤m ≤2，0≤n ≤2，则CB 1→=(2，0，2)，CD 1→=(0，−2，2)，FP →=(m −2，n −1，−2)， 设平面CB 1D 1的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅CD 1→=−2b +2c =0n →⋅CB 1→=2a +2c =0， 取a ＝1，可得b ＝﹣1，c ＝﹣1，所以n →=(1，−1，−1)，因为PF ∥平面B 1CD ，所以FP →⋅n →=(m −2)−(n −1)+2=0，可得n ＝m +1， 所以|FP →|=√(m −2)2+(n −1)2+4=√2m 2−4m +8=√2(m −1)2+6≥√6， 当m ＝1时，等号成立，所以C 错误．对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°， 由AA 1⊥平面ABCD ，得直线AP 与AA 1所成的角为45°， 若点P 在平面DCC 1D 1和平面BCC 1B 1内， 因为∠B 1AB ＝45°，∠D 1AD ＝45°，故不成立； 在平面ADD 1A 1内，点P 的轨迹是AD 1=2√2； 在平面ABB 1A 1内，点P 的轨迹是AB 1=2√2； 在平面A 1B 1C 1D 1时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为∠P AM ＝45°，所以PM ＝AM ，又因为PM ＝AB ， 所以AM ＝AB ，所以A 1P ＝AB ，所以点P 的轨迹是以A 1点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P 的轨迹的长度为14×2π×2=π，综上，点P 的轨迹的总长度为π+4√2，所以D 正确； 故选：ABD ．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 （2，0，0） ． 解：空间向量a →=(2，2，1)和b →=(1，0，0)， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|a →⋅b→|a →||b →|b→|b →|=a →⋅b→|b →|2b →=2×112(1，0，0)=（2，0，0）． 故答案为：（2，0，0）．14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√322=1．故答案为：1．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 x 2+（y ﹣3）2＝4 ． 解：由已知可得，圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4的圆心C （3，0），半径r ＝2， 设点C （3，0）关于直线y ＝x 对称的点为C 1（x 0，y 0），则有{y 02=x 0+32y 0−0x 0−3=−1，解得{x 0=0y 0=3，即点C 1（0，3），所以圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝4． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝4．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于2√55．解：如图，圆锥面与其内切球O 1、O 2分别相切与B ，A ，连接O 1B ，O 2A ，则O 1B ⊥AB ，O 2A ⊥AB ，过O 1作O 1D ⊥O 2A 于D ， 连接O 1F ，O 2E ，EF 交O 1O 2于点C ．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt △O 1O 2D 中，DO 2＝3﹣1＝2，O 1D =√82−22=2√15． ∴cos α=O 1D O 1O 2=2√158=√154． ∵O 1O 2＝8， CO 2＝8﹣O 1C ， ∵△EO 2C ∽△FO 1C ， ∴8−O 1C O 2E=O 1C O 1F，解得O 1C ＝2．∴CF =√O 1C 2−FO 12=√22−12=√3． 即cos β=CFO 1C =√32． 则椭圆的离心率e =cosβcosα=√32154=2√55．O 故答案为：2√55．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．解：（1）3x +2y +2＝0的斜率为k =−32，则与其垂直的直线的斜率为23，则过点A（2，2）的直线方程为y−2=23(x−2)，化简得2x﹣3y+2＝0；（2）由题意，①当直线过原点时，设其方程为y＝kx，∴4＝3k，k=4 3，∴y=43x，即4x﹣3y＝0；②当直线不过原点，设方程为xa +ya=1(a≠0)，则3a +4a=1，解得a＝7，x 7+y7=1，即x+y﹣7＝0，综上可得：所求直线方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB ＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面ABC1与平面A1C1B所成角的正弦值；（3）求点C到平面A1C1B的距离．解：（1）证明：因为侧面AA1C1C为正方形，AA1B1B为矩形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，因为AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC；（2）解：由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB2+AC2＝BC2即AB⊥AC，如图，以A为原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B （0，3，0），A 1（0，0，4），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），C （4，0，0），连接AC 1， 所以AB →=(0，3，0)，AC 1→=(4，0，4)，A 1B →=(0，3，−4)，A 1C 1→=(4，0，0)， 设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，故m →⊥AB →，m →⊥AC 1→， 则{m →⋅AB →=0m →⋅AC 1→=0，即{3y 1=04x 1+4z 1=0，令z 1＝1，则x 1＝﹣1，y 1＝0，可得m →=(−1，0，1)，设平面A 1C 1B 的法向量为n →=(x ，y ，z)，故n →⊥A 1B →，n →⊥A 1C 1→， 则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1C 1→=0，即{3y −4z =04x =0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，可得n →=(0，4，3)， 设平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=32×5=3√210，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−18100=√8210； 故所求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为√8210； （3）由（1）知平面A 1C 1B 的法向量为n →=(0，4，3)，CC 1→=(0，0，4)， 则点C 到平面A 1C 1B 的距离为d =|CC 1→⋅n →||n →|=3×4√4+3=125， 故点C 到平面A 1C 1B 的距离为125．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值．解：（1）由题意可得{a 2=b 2+c 2=22c a=√32，解得：a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{y =12x +m x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0， ∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2，∴|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√52√4m 2−8m 2+8=√5⋅√2−m 2=√5， 解得m ＝±1．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．解：（1）易知圆O 的圆心（0，0），半径为1，圆M 的圆心（2，1），半径为3，已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，即x 2﹣4x +y 2﹣2y ＝4， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为l ：4x +2y +3＝0， 所以点O 到l 的距离为d =|3|√16+4=3√510，所以公共弦长为|AB|=2√12−(3510)2=√555，故两圆公共弦直线方程为l：4x+2y+3＝0，公共弦长为√55 5；（2）因为圆O的圆心（0，0），半径为1，圆M的圆心（2，1），半径为3，由图象可知，有一条公切线为：x＝﹣1，直线OM：y=12x与x＝﹣1的交点为(−1，−12)，设另一条公切线的方程为y+12=k(x+1)，即kx−y+k−12=0，则点M（2，1）到此公切线的距离d=|3k−32|√k+1=3，解得k=−34，所以另一条公切线的方程为y=−34x−54，即3x+4y+5＝0综上，两圆的公切线方程为x＝﹣1和3x+4y+5＝0．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记EM=DN=a(0＜a＜√2)，活动弹子Q在EF上移动．（1）求证：直线MN∥平面CDE；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）Q为EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图1，在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN，∵MG ∥DE ，∴AM ME=AG GD．由已知可得，AE =BD =√2，EM ＝DN ＝a ， ∴AM ＝BN ，AM ME=BN ND，∴AG GD=BN ND=AM ME，∴GN ∥AB ．又AB ∥CD ，∴GN ∥CD ．∵MG ⊄平面CDE ，MG ∥DE ，DE ⊂平面CDE ， ∴MG ∥平面CDE ， 同理可得，GN ∥平面CDE ．∵MG ⊂平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，MG ∩GN ＝G ， ∴平面MNG ∥平面CDE ．∵MN ⊂平面MNG ，∴直线MN ∥平面CDE ．（2）由（1）可知，MG ∥DE ，AM =AE −EM =√2−a ， ∴MG ED=AM AE，∴MG =AM⋅ED AE =√2−a2． 同理可得，GN =DN⋅AB DB =a2． 又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， ∴ED ⊥平面ABCD ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥CD ． ∵MG ∥DE ，GN ∥CD ，∴MG ⊥GN ， ∴△MGN 是直角三角形， ∴MN 2=MG 2+GN 2=(√2−a 2)2+(a 2)2=a 2−√2a +1=(a −√22)2+12．又0＜a ＜√2，∴a =√22，即M ，N 为线段中点时，MN 2有最小值12，∴当a =√22时，MN 的长度最小，最小值为√22．（3）由（2）知，ED ⊥平面ABCD ． 又DA ⊥DC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示，则D （0，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），B （1，1，0），设Q （b ，0，1），0≤b ≤1， ∴EB →=(1，1，−1)，DC →=(0，1，0)，DQ →=(b ，0，1)． 设n →=(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=y =0n →⋅DQ →=bx +z =0，取x ＝1，则n →=(1，0，−b)是平面QCD 的一个法向量． 设EB 与平面QCD 所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈EB →，n →〉|=|EB →⋅n →||EB →||n →|=√3×√b +1．当b ＝0时，sinθ=√33；当0＜b ≤1时， 有sin 2θ=(√3×√b +1)2=b 2+2b+13(b 2+1)=2b 3(b 2+1)+13=23(b+1b)+13． ∵b +1b ≥2√b ⋅1b =2，当且仅当b =1b ，即b ＝1时等号成立， ∴b +1b ≥2，0＜1b+1b≤12， ∴sin 2θ=23(b+1b )+13≤23×12+13=23． ∵sin θ＞0，∴sinθ≤√23=√63．综上所述，EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：（1）设P （x ，y ），由题意可得，|P A |＝2|PB |，即√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，化简得（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）设Q （x 0，y 0），由题意可得（x ﹣2）2+y 2＝4，{x 0+x =2×1y 0+y =0，即{x =2−x 0y =−y 0，代入上式可得x 02+y 02=4， ∴Q 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，|QB |2+|QC |2＝（x ﹣1）2+y 2+（x ﹣5）2+（y ﹣8）2＝2x 2+2y 2﹣12x ﹣16y +90＝﹣12x ﹣16y +98＝﹣4（3x +4y ）+98．令z ＝3x +4y ，∴3x +4y ﹣z ＝0，d =|z|5≤r ＝2， ∴﹣10≤z ≤10，因此，|QB |2+|QC |2的最大值为138；（3）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0． 显然Δ＞0，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2， ME →=(x 1−m ，y 1)，MF →=(x 2−m ，y 2)，∴ME →⋅MF →=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝m 2−2mk21+k 2+k 2−41+k 2+k 2 （k 2−41+k 2+2k 21+k 2+1）=(m 2−m−2)k 2+m 2−41+k 2要使上式为定值，需m 2﹣2m ﹣2＝m 2﹣4，解得m ＝1，∴ME →⋅MF →为定值﹣3，当直线l 的斜率不存在时E （1，√3），F （1，−√3），由M （1，0）可得ME →=（0，√3），MF →=（0，−√3），∴ME →⋅MF →=−3，综上所述，在x 轴上是否存在点M （1，0），使ME →⋅MF →恒为定值﹣3．。
广东省广州市第五中学11-12学年高一上学期期中考试生物试题
第一卷问卷一．选择题（本题共42小题，包括38小题单选题，4小题多项选择题。
共73分）（一）单项选择题（单项选择题包括38小题，共63分。
其中1至26题，每小题1.5分，占39分；27至38题，每小题2分，占24分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
请把正确答案用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）1．下列各项中，细胞结构中不具有核膜的生物是A.酵母菌B.炭疽杆菌C.衣藻D.草履虫2．最基本的生命系统是A.碳链B.蛋白质分子C.病毒D.细胞3．大肠杆菌、酵母菌和蓝藻共同具有的结构是A．线粒体B．核糖体 C．染色体 D．细胞核4．细胞学说建立于19世纪30年代，其最主要的意义是A．论证了生物界的统一性 B．使人们对生物体的结构认识进入微观领域C．证明病毒不具有细胞结构 D．发现动、植物细胞的不同之处5．科学家说“碳是生命的核心元素”，其原因是碳原子A.参与所有化合物质组成B.是细胞中含量最多的C.构成生物大分子的骨架D.是生物界特有的6．检测生物组织中还原糖、淀粉、蛋白质、脂肪所用的试剂依次是：①双缩脲试剂②斐林试剂③稀碘液④苏丹Ⅲ染液A．①②③④B．②①④③ C．①③②④D．②③①④7.以下可作生物组织中脂肪检测的理想材料是A．玉米 B．黄豆 C．苹果D．花生8．构成细胞的化学元素中没有一种是生命物质所特有的，这个事实说明A．生物体是由无机物组成的 B．生物与非生物完全相同C．生物界与非生物界具有统一性 D．生物与非生物完全不同9．DNA的基本组成单位是A.核苷酸B.核糖核苷酸C.脱氧核糖核酸D.脱氧核苷酸10．细胞生命活动所需的主要能源物质是A.ATPB.葡萄糖C.乳糖D.纤维素11．活细胞中含量最多的化合物是A.水B.无机盐C.糖类D.蛋白质12．海豹皮下含量丰富的储能物质是A.脂肪B.葡萄糖C.淀粉D.糖原13．剧烈运动大量出汗后，应多喝A.开水B.淡盐水C.茶水D.汽水14．胰岛素分子有两条多肽链，共由51个氨基酸组成，胰岛素分子中肽键的数目是A.48个B.49个C.50个D.51个15．牛以草为食物，草的主要成分为纤维素，组成纤维素的基本单位是A．氨基酸 B．核昔酸 C．脂肪酸 D．葡萄糖16．人体肌肉主要由蛋白质构成，但骨骼肌、心肌、平滑肌的功能各不相同，这是因为A．肌细胞形状不同 B．在人体中分布的部位不同C．支配其运动的神经不同D．构成肌细胞的蛋白质分子结构不同17．下列对核酸的叙述不正确的是A ．核苷酸由含氮碱基、核糖和磷酸组成B ．核酸的基本组成单位是核苷酸C ．核酸是生物的遗传物质D ．DNA 一般是双链结构18．马拉松赛跑进入最后阶段，发现少数运动员下肢肌肉抽搐，这是由于随着大量出汗而向体外排出了过量的A ．水B ．钙盐C ．钠盐D ．尿素19．下图表示某多肽片段，该片段含有的氨基、羧基和肽键数分别是A ．1、1、5B ．1、1、4C ．5、1、4D ．1、5、420．下列关于核酸生理功能的叙述中，不包括．．．A ．作为遗传信息的载体，存在于每个细胞中B ．是绝大多数生物的遗传物质C ．是生物体进行生命活动的主要承担者D ．对遗传变异和蛋白质的生物合成有重要作用21．医生给低血糖休克的病人静脉注射5%的葡萄糖溶液，其目的主要是A ．供给全面营养B ．调节细胞的渗透压C ．供给能源D ．供给水分22．在动物体内作为储能物质的主要是A ．乳糖和蔗糖B ．蛋白质和核酸C ．葡萄糖和ATPD ．脂肪和糖原23．在探索外星球是否存在生命的过程中，科学家始终把寻找水作为最关键的环节，这是因为水在生命中的意义主要是A ．水是细胞鲜重中含量最多的化合物B ．水在生物体内可以流动C ．能与蛋白质结合，体现生命活动D ．细胞内的生物化学反应都是在水中进行24．下列物质中，不属于．．．组成生物体蛋白质的氨基酸的是25．科学家在利用无土栽培法培养一些名贵花卉时，培养液中添加了多种必需化学元素。
广东省执信中学2013-2014学年高二上学期期中数学理试卷Word版含答案
2013-2014学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（ ）A.{|2}x x >B.{|02}x x <<C.{|12}x x <<D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该三棱锥的体积是（ ） A ．31cm B ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ， 则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域000x y x y y ⎧+≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（ ） A ．2πB ．3πC ．6πD ．4π8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为 ； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是 ； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 ；12．若22x y +=，则39x y +的最小值是 ； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则 满足n n a a a a a a 2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ； （Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值． 17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关 系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程；（Ⅱ）过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值；②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．•••••••••••••••••O19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F 是1CC 上一点，且a CF 2=． （Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1；（Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．2013-2014学年度第一学期高二级数学期中考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。
2023-2024学年广东省广州八十九中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州八十九中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）2．过A （0，4），B(√3，1)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．﹣60°B ．60°C ．120°D ．150°3．圆C 1：(x −1)2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．已知向量a →=(λ，2，3)，b →=(−1，2，−3)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=（ ） A ．10B ．2√13C ．2√10D ．4√55．两条平行直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0之间的距离为（ ） A ．315B ．3110C ．235D ．23106．设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→⋅PF 2→=0，则|PF 1|•|PF 2|＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B （﹣1，﹣4），若将军从点A （﹣1，2）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3．则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√13B ．√17C ．2√17D ．108．设点P 是圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0上的动点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则cos ∠APB 的最大值为（ ） A ．29B ．12C ．79D ．4149二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线l ：√3x +y −2=0，则下列选项中正确的有（ ） A ．直线l 在y 轴上的截距是2 B ．直线l 的斜率为√3C ．直线l 不经过第三象限D ．直线l 的一个方向向量为v →=(−√3，3)10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法中正确的是（ ）A ．D ＝﹣4，E ＝﹣2B ．对∀k ∈R ，直线l 与圆M 一定相交C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝﹣1时，圆M 上存在着4个点到直线l 的距离为1211．下列四个命题中正确的是（ ）A ．已知{a →，b →，c →}是空间的一组基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底 B ．n →是平面α的法向量，a →是直线l 的方向向量，若a →⋅n →=0，则l ∥αC ．已知向量a →=(9，4，−4)，b →=(1，2，2)，则a →在b →方向上的投影向量为（1，2，2）D ．直线l 的方向向量为m →=(1，1，0)，且l 过点A （1，1，1），则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为212．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ＝1，AA 1＝2，P 为线段BB 1上的动点，且B 1P →=λB 1B →，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在λ使得A 1P ⊥BCB ．当λ=12时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比值为9C ．当λ=14时，异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35D ．过P 且与直线AB 和直线B 1C 1所成角都是75°的直线有三条 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点（1，﹣2），且与直线2x +3y ﹣1＝0垂直，则l 的方程为 ．14．在平面直角坐标系中，点P 到点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之和为10，则点P 到轨迹方程是 ． 15．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距离城市120√3km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北30°方向移动（如图所示）如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为 小时．16．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，则B 与D 之间距离为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，给定长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝6，点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|．设AA 1→=a →，AB →=b →，AD →=c →． （1）试用a →，b →，c →表示向量AE →； （2）求AD →⋅BD 1→．18．（12分）已知△ABC 的顶点C （2，﹣8），直线AB 的方程为y ＝﹣2x +11，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x +3y +2＝0． （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求△ABC 面积．19．（12分）如图，在棱长为2正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1D 1； （2）求点A 到平面BDC 1的距离．20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，求该圆的方程．21．（12分）将△ABC沿它的中位线DE折起，使顶点C到达点P的位置，使得P A＝PE，得到如图所示的四棱锥P﹣ABDE，且AC=√2AB=2，AC⊥AB，F为PB的中点．（1）证明：平面P AE⊥平面ABDE；（2）求直线AP与平面ADF的夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）t＝1时，求P A、PB方程（点A在点B上方）；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．2023-2024学年广东省广州八十九中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）解：由空间直角坐标系的性质知：点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1）． 故选：A ．2．过A （0，4），B(√3，1)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．﹣60°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π），A （0，4），B(√3，1)， 则k AB =4−10−3=−√3，故tan θ=−√3，解得θ=2π3．故选：C ．3．圆C 1：(x −1)2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切解：由题意，圆C 1：(x −1)2+y 2=4， 则圆心C 1（1，0），半径r 1＝2， 圆C 2：x 2+y 2=1，则圆心C 2（0，0），半径r 2＝1， 所以两圆圆心距|C 1C 2|＝1＝r 1﹣r 2， 所以两圆内切． 故选：D ．4．已知向量a →=(λ，2，3)，b →=(−1，2，−3)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=（ ） A ．10B ．2√13C ．2√10D ．4√5解：由题意得a →⋅b →=(λ，2，3)⋅(−1，2，−3)=−λ+4−9=0，解得λ＝﹣5， 故a →+b →=(−5，2，3)+(−1，2，−3)=(−6，4，0)，|a →+b →|=√(−6)2+42=2√13． 故选：B ．5．两条平行直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0之间的距离为（ ） A ．315B ．3110C ．235D ．2310解：由于直线3x +4y ﹣10＝0与ax +8y +11＝0互相平行，所以：a ＝6； 故直线6x +8y +11＝0转换为：3x +4y +112=0， 平行线间的距离d =|−10−112|√3+4=3125=3110； 故选：B ．6．设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→⋅PF 2→=0，则|PF 1|•|PF 2|＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4解：已知F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，则|PF 1|+|PF 2|=2√5，又PF 1→⋅PF 2→=0，则PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=16，则2|PF 1|•|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|2+|PF 2|2)=20﹣16＝4，即|PF 1|•|PF 2|＝2． 故选：C ．7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B （﹣1，﹣4），若将军从点A （﹣1，2）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3．则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√13B ．√17C ．2√17D ．10解：设点A （﹣1，2）关于直线x +y ＝3的对称点为C （m ，n ）， 则{n−2m−(−1)⋅(−1)=−1m−12+n+22=3，解得m ＝1，n ＝4，∴C （1，4），∴|BC |=√(−1−1)2+(−4−4)2=2√17， ∴“将军饮马”的最短总路程为2√17． 故选：C ．8．设点P 是圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0上的动点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则cos ∠APB 的最大值为（ ） A ．29B ．12C ．79D ．4149解：圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +24＝0，即（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，圆心C （3，4），r 1＝1，圆O：x2+y2＝4，圆心O（0，0），r2＝2，所以cos∠APB=cos2∠APO=1−2sin2∠APO=1−2(r2|PO|)2=1−8|PO|2，当|PO|最大时，cos∠APB最大，|PO|max＝|CO|+r1＝5+1＝6，此时cos∠APB=7 9．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线l：√3x+y−2=0，则下列选项中正确的有（）A．直线l在y轴上的截距是2B．直线l的斜率为√3C．直线l不经过第三象限D．直线l的一个方向向量为v→=(−√3，3)解：对于A，直线方程可变为y=−√3x+2，截距是2，故A正确；对于B，斜率k=−AB=−√3，故B错误；对于C，由直线方程y=−√3x+2可知，故直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为(1，−√3)，与v→=(−√3，3)平行，故D正确．故选：ACD．10．已知直线l：kx﹣y﹣k＝0，圆M：x2+y2+Dx+Ey+1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法中正确的是（）A．D＝﹣4，E＝﹣2B．对∀k∈R，直线l与圆M一定相交C．直线l被圆M截得的最短弦长为2√3D．当k＝﹣1时，圆M上存在着4个点到直线l的距离为1 2解：A选项：圆M：x2+y2+Dx+Ey+1＝0，即(x+D2)2+(y+E2)2=D 2+E2−44，D2+E2−44＞0，由圆心为（2，1），得{−D 2=2−E 2=1，解得D ＝﹣4，E ＝﹣2，故A 正确；圆M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，圆心M （2，1），半径r ＝2，B 选项：由直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，即y ＝k （x ﹣1）恒过点A （1，0），且（1﹣2）2+（0﹣1）2＝2＜4，所以点A （1，0）在圆M 内，所以∀k ∈R ，直线l 与圆M 一定相交，故B 正确；C 选项：由已知当直线l 与MA 垂直时，弦长最小，k MA =1−02−1=1，所以k ＝﹣1，l ：﹣x ﹣y +1＝0，即x +y ﹣1＝0，此时d =|MA|=√(2−1)2+(0−1)2=√2，所以弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2，故C 错误； D 选项：当k ＝﹣1时，d =√2，此时r −d =2−√2＞12，所以圆M 上存在着4个点到直线l 的距离为12，故D 正确． 故选：ABD ．11．下列四个命题中正确的是（ ）A ．已知{a →，b →，c →}是空间的一组基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底 B ．n →是平面α的法向量，a →是直线l 的方向向量，若a →⋅n →=0，则l ∥αC ．已知向量a →=(9，4，−4)，b →=(1，2，2)，则a →在b →方向上的投影向量为（1，2，2）D ．直线l 的方向向量为m →=(1，1，0)，且l 过点A （1，1，1），则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为2解：对于A ，假设a →，b →，m →共面，则存在x ，y ∈R ，使得m →=a →+c →=xa →+yb →，则c →=(x −1)a →+yb →， 因为{a →，b →，c →}是空间的一组基底，即a →，b →，c →不共面，与c →=(x −1)a →+yb →矛盾， 所以a →，b →，m →不共面，则{a →，b →，m →}也是空间的一组基底，故A 正确； 对于B ，当l ∈α时，满足条件，但直线l 不平行于平面α，故B 错误；对于C ，a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=(1，2，2)，故C 正确；对于D ，由条件得AP →=(1，1，−2)，m →=(1，1，0)，所以AP →在m →方向上的投影为|AP|→⋅cos〈AP →，m →〉=AP →⋅m →|m →|=2√2=√2，则点P （2，2，﹣1）到直线l 的距离为d =√|AP →|2−(√2)2=2，故D 正确； 故选：ACD ．12．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ＝1，AA 1＝2，P 为线段BB 1上的动点，且B 1P →=λB 1B →，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在λ使得A 1P ⊥BCB ．当λ=12时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比值为9C ．当λ=14时，异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35D ．过P 且与直线AB 和直线B 1C 1所成角都是75°的直线有三条解：取AC 的中点O ，以O 为原点，以OB ，OC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，以过点O 平行与AA 1的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，对于A 中，由B 1P →=λB 1B →，可得A 1(0，−12，2)，P(√32，0，2−2λ)，B(√32，0，0)，C(0，12，0)，可得A 1P →=(√32，12，−2λ)，BC →=(−√32，12，0)，则A 1P →⋅BC →=−34+14=−12≠0，所以A 正确；对于B 中，当λ=12时，即点P 的中点，可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V =√34×12×2=√32，三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积为V 1=13×√34×12×1=√312， 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与三棱锥P ﹣A 1B 1C 1的体积比为6，所以B 错误；对于C 中，由A 1(0，−12，2)，P(√32，0，32)，B(√32，0，0)，C 1(0，12，2)，可得A 1P →=(√32，12，−12)，C 1B →=(√32，−12，−2)，则|cos ＜A 1P →，C 1B →＞|=|A 1P →⋅C 1B →||A 1P →||C 1B →|=35， 即异面直线A 1P 和C 1B 所成角的余弦值为35，所以C 正确；对于D 中，如图所示，在平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1内，分别作PD ∥AB ，PE ∥B 1C 1，由异面直线所成角的定义知，过点P 的直线与直线AB 和直线B 1C 1所成的角，即为过点P 的直线与直线PD 和直线PE 所成的角，因为△PDE 为等边三角形，可得∠DPE ＝60°，即直线PD 与PE 所成的角为60°，根据空间中直线的位置关系，可得过点P 的直线与直线PD 和直线PE 所成的角为75°的直线有四条，所以D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点（1，﹣2），且与直线2x +3y ﹣1＝0垂直，则l 的方程为 3x ﹣2y ﹣7＝0 ． 解：直线2x +3y ﹣1＝0的斜率为−23，则直线l 的斜率为−1−23=32，故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=32(x −1)，即3x ﹣2y ﹣7＝0．故答案为：3x ﹣2y ﹣7＝0．14．在平面直角坐标系中，点P 到点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之和为10，则点P 到轨迹方程是 x 225+y 216=1 ．解：由圆锥曲线性质，P 的轨迹为椭圆，焦距为6，长轴为10，焦点在x 轴上， 所以设P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1，（a ＞0，b ＞0），其中a ＝5，a 2﹣b 2＝32，解得，b ＝4，所以P 的轨迹方程为x 225+y 216=1．故答案为：x 225+y 216=1．15．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距离城市120√3km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北30°方向移动（如图所示）如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为 6 小时．解：设台风移动M 处的时间为t 小时，则|PM |＝20tkm ，根据题意，可得∠APM ＝60°﹣30°＝30°，在△APM 中，由余弦定理得AM 2＝P A 2+PM 2﹣2•P A •PM •cos30°＝（120√3）2+（20t ）2﹣2×120√3×20t ×√32，根据题意，该城市受台风侵袭，等价于AM ≤120km ，即（120√3）2+（20t ）2﹣120×20×3t ≤1202，整理得t 2﹣18t +72≤0，解得6≤t ≤12．所以该城市受台风侵袭的时间为12﹣6＝6小时．故答案为：6．16．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，则B 与D 之间距离为 √1055． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，如图，∵矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，∴AC =√AB 2+BC 2=√5，∴12×AB ×BC =12×AC ×BE ，∴BE ＝DF =2√55，AE ＝CF =√55，∴EF =3√55，∵沿对角线AC 将△ABC 折起，使二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角的大小为2π3，∴cos ＜EB →，FD →＞=−12， ∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2=（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →⋅EF →+2EF →⋅FD →+2BE →⋅FD →=45+95+45+2×2√55×2√55×12 =215， ∴B 与D 之间距离为|BD →|=√1055．故答案为：√1055． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，给定长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝6，点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|．设AA 1→=a →，AB →=b →，AD →=c →．（1）试用a →，b →，c →表示向量AE →；（2）求AD →⋅BD 1→．解：（1）因为点E 在棱CC 1的延长线上，且|C 1E |＝|CC 1|，所以CE →=2CC 1→=2AA 1→，则AE →=AB →+BC →+CE →=AB →+BC →+2AA 1→=2a →+b →+c →．（2）由题意得AA 1→⋅AD →=0，AB →⋅AD →=0，|AD →|=|AA 1→|=2，|AB →|=6，又BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=AA 1→+AD →−AB →，所以AD →⋅BD 1→=AD →⋅(AA 1→+AD →−AB →)=AD →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AB →=4．18．（12分）已知△ABC 的顶点C （2，﹣8），直线AB 的方程为y ＝﹣2x +11，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x +3y +2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC面积．解：（1）联立直线AB，BH的方程，可得{y=−2x+11x+3y+2=0，解得{x=7y=−3，即B（7，﹣3），设A（a，b），显然AC的斜率存在，则k AC=b+8a−2，k BH=−13，由题意可得：{b+8a−2=3b=−2a+11⇒{a=5b=1⇒A(5，1)，所以A（5，1），B（7，﹣3）；（2）由（1）结合点到直线的距离公式，可知C到直线AB的距离d=√2+1=3√5，由两点距离公式，得|AB|=√(7−5)2+(−3−1)2=2√5，所以S△ABC=12d⋅|AB|=15．19．（12分）如图，在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BD，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1D1；（2）求点A到平面BDC1的距离．解：（1）证明：连接AC，由正方体的特征可知BD∩AC＝E，且E是AC的中点，所以EF∥B1A，又EF⊄平面AB1D1，B1A⊂平面AB1D1，所以EF∥平面AB1D1；（2）由正方体的特征可知BD=BC1=DC1=2√2，S△ABD=12×2×2=2，S△C1BD=√34×(2√2)2=2√3，设点A到平面BDC1的距离为d，由V A−BDC1=13d⋅S△BDC1=V C1−ABD=13CC1⋅S△ABD⇒d=CC1⋅S△ABDS△BDC1=2√33，即点A到平面BDC1的距离为2√3 3．20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，求该圆的方程．解：（1）由圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上可设圆心为C（a，3a），由于该圆与x轴相切．，故圆的半径r＝3|a|，故可设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），又圆C经过点（4，3），故（4﹣a）2+（3﹣3a）2＝9a2，即a2﹣26a+25＝0，解得a＝1或a＝25，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x﹣25）2+（y﹣75）2＝5625．（2）由（1）知圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），圆心C（a，3a）到直线x﹣y＝0的距离为d=|a−3a|2=√2|a|，圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为2√7，故r2=7+(√2|a|)2，即9a2＝7+2a2，解得a＝±1，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9．21．（12分）将△ABC沿它的中位线DE折起，使顶点C到达点P的位置，使得P A＝PE，得到如图所示的四棱锥P﹣ABDE，且AC=√2AB=2，AC⊥AB，F为PB的中点．（1）证明：平面P AE⊥平面ABDE；（2）求直线AP与平面ADF的夹角的余弦值．解：（1）证明：因为DE为△ABC的中位线，所以DE∥AB，因为AC⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥PE，又AE ∩PE ＝E ，且AE ，PE ⊂平面P AE ，所以DE ⊥平面P AE ，又DE ⊂平面ABDE ，所以平面P AE ⊥平面ABDE ．（2）取AE 的中点为O ，连接PO ，因为P A ＝PE ＝AE ＝1，所以PO ⊥AE ，PO =√32，又平面P AE ⊥平面ABDE ，平面P AE ∩平面ABDE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，所以PO ⊥平面ABDE ，以O 为原点，以OC ，OP 所在直线为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，√32)，B(√2，−12，0)，D(√22，12，0)，A(0，−12，0)，F(√22，−14，√34)， 所以AP →=(0，12，√32)，AD →=(√22，1，0)，AF →=(√22，14，√34)， 设平面ADF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0，即{√22x +y =0√22x +14y +√34z =0， 令x =√2，则n →=(√2，−1，−√3)，设直线AP 与平面ADF 的夹角为θ，则sinθ=|cos〈AP →，n →〉|=|AP →⋅n →||AP →|⋅|n →|=|−12−32|1⋅√6=√63， 则cosθ=√1−sin 2θ=√1−(√63)2=√33，即直线AP 与平面ADF 的夹角的余弦值为√33． 22．（12分）如图，已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，点P （﹣1，t ）为直线l ：x ＝﹣1上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）t＝1时，求P A、PB方程（点A在点B上方）；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．解：（1）圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，则圆M的圆心M（2，0），半径r＝1，当t＝1时，P（﹣1，1），设过点P的直线方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，又过点F引圆M的两条切线，则√k2+1=1，解得：k=0或k=−34．因为点A在点B上方，即直线P A的方程为：y﹣1＝0，直线PB的方程为：y−1=−34(x+1)，故P A的方程为y＝1；直线PB的方程为：y=−34x+14．（2）由（1）知：M（2，0），圆M的半径r＝1，又P（﹣1，t），则|PM|=√9+t2，|AM|＝r＝1，即|P A|2＝|PM|2﹣|AM|2＝t2+8，故以P为圆心，|P A|为半径的圆P的方程为（x+1）2+（y﹣t）2＝t2+8，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，则直线AB的方程为（x+1）2﹣（x﹣2）2+（y﹣t）2﹣y2＝t2+8﹣1．即3x﹣ty﹣5＝0，点由{3x−5=0，−y=0⇒{x=53y=0，所以直线AB过定点(53，0)设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：当H，F不重合时，则HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M），又H(53，0)，M（2，0），故该圆圆心为(116，0)，半径12|HM|=2−116=16，且不经过M（2，0）．所以点F的轨迹方程为(x−116)2+y2=136(x≠2)；故线段AB中点的轨迹方程(x−116)2+y2=136(x≠2)．（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，故M（2，0）到直线kx﹣y+k+t＝0的距离d=|3k+t|√k+1=1，即8k2+6kt+t2﹣1＝0，设P A，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=−3t4，k1k2=t2−18，把x＝0代入kx﹣y+k+t＝0，得y＝k+t，则|ST|=|k1+t−(k2+t)|=|k1−k2|=√(k1+k2)2−4k1k2=√9t216−t2−12=√t2+84，故当t＝0时，|ST|取得最小值为√2 2．。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
2023-2024学年广东省广州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分 1．直线√3x +y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．120°D ．60°2．（多选）从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ） A ．至少有1个红球与都是红球B ．恰有1个红球与恰有2个红球C ．至少有1个红球与至少有1个白球D ．至多有1个红球与恰有2个红球3．已知点A （2，1），点B 在直线x ﹣y +3＝0上，则|AB |的最小值为（ ） A ．√5B ．√26C ．2√2D ．44．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝07．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225 C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A ．表面积为3m 2的球体B ．体积为0.3m 3的正四面体C ．体积为0.4m 3的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.8m 的圆锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 ．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 ．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[−π2，π2]上的单调减区间．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作⊙C的切线，求切线的方程；（2）若⊙C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A＝PB＝PC＝AC＝BC，AC⊥BC，N为AB的中点．（1）证明：PN⊥平面ABC；（2）若M是线段PC上的点，且平面MAB与平面P AB的夹角为45°，求AM与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，CD=√2．（1）若BC=√2，求AC的长；（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．22．（12分）已知点A，B关于原点O对称，点A在直线x+y＝0上，|AB|＝2，⊙C过点A，B且与直线x+1＝0相切，设圆心C的横坐标为a．（1）求⊙C的半径；（2）若a＜2，已知点P（0，1），点M，N在⊙C上，直线MN不经过点P，且直线PM，PN的斜率之和为﹣1，PD⊥MN，D是垂足，问：是否存在一定点Q，使得|DQ|为定值．2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分1．直线√3x+y﹣2＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．120°D．60°解：设倾斜角为α，直线√3x+y﹣2＝0的斜率为−√3，则tanα=−√3，∵0≤α＜180°，∴α＝120°，故选：C．2．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球B．恰有1个红球与恰有2个红球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．至多有1个红球与恰有2个红球解：根据题意，依次分析选项：对于A：“至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件，都包含有“取出3个红球”的事件，故不是互斥事件，故A错误；对于B：“恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故B正确；对于C：“至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“恰有1个红球”与“恰有2个红球”两个事件，故不是互斥事件，故C错误；对于D：“至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故D正确．故选：BD．3．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（）A．√5B．√26C．2√2D．4解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离，即√1+1=√2=2√2．故选：C ．4．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →解：点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，则OP →=12OA →，PG →=12PQ →，BQ →=12BC →， 故OG →=OP →+PG →=OP →+12PQ →=OP →+12(OQ →−OP →)=12OP →+12OQ →=14OA →+12(OB →+BQ →)=14OA →+12(OB →+12BC →) =14OA →+12OB →+14BC →=14OA →+12OB →+14(OC →−OB →)=14OA →+14OB →+14OC →=14a →+14b →+14c →．故选：A ．5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解：直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行，则1m=1+m 2≠−24，则m ＝1，故“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行的充要条件， 故选：D ．6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝0解：⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心M （1，1），半径r ＝2．由题意可得∠P AM ＝∠PBM ＝90°，可得四点A ，P ，M ，B 共圆，且以PM 为直径．由PM ⊥AB ，可得四边形P AMB 的面积为12|PM |•|AB |＝2S △P AM ＝|P A |•|AM |，即为|PM |•|AB |＝2|P A |•|AM |＝4|P A |＝4√|PM|2−4， 当|PM |取得最小值时，|PM |•|AB |最小．当PM ⊥l 时，|PM |取得最小值，此时直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1）， 即y =12（x +1），联立直线2x +y +2＝0，解得P （﹣1，0）， 则以PM 为直径的圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y ﹣1）y ＝0，即x 2+y 2﹣y ﹣1＝0，与圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0联立，可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0． 故选：A ．7．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]解：若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根， 则√4x −x 2=−x ﹣b +3有两个不等的实根，y =√4x −x 2，即（x ﹣2）2+y 2＝4（0≤y ≤2），表示以（2，0）为圆心，半径为1的圆的上半部分， y ＝﹣x ﹣b +3表示斜率为﹣1的一组平行线，则半圆y =√4x −x 2与直线y ＝﹣x ﹣b +3有两个不同的交点， 直线与半圆相切时，√2=2，∴b ＝1±2√2，结合图形，直线y ＝﹣x ﹣b +3的纵截距﹣b +3＞0，∴b ＝1﹣2√2， 直线过点（4，0）和点（2，2）时，﹣b +3＝4，b ＝﹣1， 所以当这两个函数图象有两个交点时，根据图象， 4≤﹣b +3＜2√2+2，实数b 的取值范围为（1﹣2√2，﹣1]．故选：B ．8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010解：如图：过B 作BH 垂直OA 的延长线，垂足为H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ， 因为平面OAB ⊥平面α，且平面OAB ∩平面α＝OA ， BH ⊂平面OAB ，PF ⊂α，所以BH ⊥α，PF ⊥平面OAB ， 所以OP 在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故∠AOP 就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即∠AOP ＝θ， 因为AP ⊂α，所以P A ⊥BH ，又P A ⊥PB ，PB ∩BH ＝B ， PB ⊂平面PBH ，BH ⊂平面PBH ， 所以P A ⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，则P A ⊥PH ，所以点P 的轨迹是平面α内以线段AH 为直径的圆（A 点除外），因为OA =√3，AB ＝2，∠AOB =5π6， 所以∠BAH =π6，AH =2cosπ6=√3， 所以PE =12AH =√32，当且仅当PE ⊥OP ， 即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值， 则sin θ的最大值为PEOE=√32√3+√32=13．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 解：直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），所以A 正确；圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√2， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2≠2√3，所以C 不正确；当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：ABD ．10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面解：对于A ，∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)， ∴OA →⋅OB →=4×(−3)=−12，故A 错误；对于B ：∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)，OA →⋅OB →=−12， ∴cos〈OA →，OB →〉=OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=12√4+3×√(−3)+4=−1225，故B 正确；对于C ：∵BO →=(3，0，−4)，BC →=(8，6，0)， ∴cos〈BO →，BC →〉=BO →⋅BC→|BO →|⋅|BC →|=24√3+(−4)×√8+6=1225，∴sin〈BO →，BC →〉=√1−cos 2〈BO →，BC →〉=√48125，∴点O 到直线BC 的距离为|BO →|sin〈BO →，BC →〉=5×√48125=√4815，故C 错误；对于D ：∵OA →=(4，3，0)，BC →=(8，6，0)， ∴BC →=2OA →，∴BC →，OA →是共线向量， ∴O ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确． 故选：BD ．11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根解：对A 选项，设∠BAC ＝θ，则θ+2θ+2θ＝180°， ∴θ＝36°，∴∠DAC ＝18°，∴cos ∠DAC =cos18°=cos(360°−18°)=cos342°=ADAC，∴A 正确； 对B 选项，∵AD CD=tan2θ=tan72°， ∴cos27°+sin27°cos27°−sin27°=1+tan27°1−tan27°=tan(27°+45°)=tan72°，∴B 正确；对C 选项，根据题意可知BC =√5−1，∴AB ＝AC ＝2，∴cos ∠BAC =22+22−(√5−1)22×2×2=√5+14， 过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∴AB →在AC →上的投影向量为AE →=cos∠BAC ⋅AC →=√5+14AC →，∴C 错误；对D 选项，由图可知cos2θ＝cos （π﹣θ﹣2θ）， ∴2cos 2θ﹣1＝﹣cos （θ+2θ）＝﹣cos θcos2θ+sin θsin2θ＝﹣cosθ（2cos2θ﹣1）+2sin2θcosθ，设cosθ＝x，则2x2﹣1＝﹣x（2x2﹣1）+2（1﹣x2）x，整理得4x3+2x2﹣3x＝1，∴D正确．故选：ABD．12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．表面积为3m2的球体B．体积为0.3m3的正四面体C．体积为0.4m3的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.8m的圆锥解：选项A，设球半径为R，4πR2＝3得R=√34π＜12，A能够放入；选项B，设正四面体棱长为a，如图正四面体ABCD，O是面BCD中心，AO是四面体的高，OD=√33a，AO=√a2−(33)2=√63a，体积为V=13×√34a2×√63a=0.3，所以a3=52=9√25，在边长为1的正方形PQMN中，如下右图，∠NPS＝∠QPR＝15°，R，S分别在边QM，NM上，PS＝PR=1cos15°，QR＝NS＝tan15°，因此MR＝MS＝1﹣tan15°，所以，RS=√2(1−tan15°)=√2(cos15°−sin15°)cos15°=2(√22cos15°−√22sin15°)cos15°=1cos15°=PS，△PES 是等边三角形，易得，RS =46+2=√6−√2，RS 3=(√6−√2)3=12√6−20√2=√2(12√3−20)， 12√3−20−95=√432−(21+45)＜21−(21+45)＜0， 所以RS 3＜a 3，RS ＜a ，因此B 中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；选项C ，体积为0.4m 3的圆柱体，只有当底面直径不大于1m ，高也不大小1m 可放入棱长为1的正方体中，当高大于1m ，或底面直径大于1m 时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m 时，高为120π＞√3，就不能放入；选项D ，圆锥底面直径为1.2m ，高为0.8m ，如果能放到正方体中， 根据对称性，把圆锥的轴放在正方体的对角线上， 如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则A 1C =√3，可证明A 1C ⊥平面BDC 1（通过证明BD ⊥平面ACC 1A 得BD ⊥A 1C ，同理得BC 1⊥A 1C ，从而得证）， 因此圆锥的底面在平面BDC 1或与之平行的平面内，△BDC 1是等边三角形，边长为√2，其内切圆半径为13×√32×√2=√66≈0.408＜0.6，因此题中圆锥的底面不可能在平面BDC 1内，也不可能在平面BDC 1与点C 之间， 设平面BDC 1与A 1C 的交点为M （E 是底面正方形中心，A 1C ∩C 1E ＝M ）， 如图，M 是△BDC 1中心，由A 1C ⊥平面BDC 1可得A 1C ⊥C 1E ，cos ∠A 1CA =AC A 1C =CM CE ，因此CM =AC⋅CE A 1C =√2×√223=√33，从而A 1M =2√33≈1.155＞0.8，重新取正六边形HIJKLP ，如图，各顶点是相应棱中点，易证平面HIJ ∥平面BDC 1， 从而也有A 1C ⊥平面HIJ ，而正六边形HIJKLP 的边长为√22， 其内切圆半径为√32×√22=√64≈0.61＞0.6，KJ ∩A 1C 1＝R ，PH ∩AC ＝Q ，RQ ∩A 1C ＝S ，由A 1R ＝CQ =3√24可得S 是A 1C 中点，而A 1S =√32≈0.866＞0.8， 因此题设圆锥可能放到正方体中，D 能放入． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√32+42=1．故答案为：1．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 (x −2)2+(y −32)2=1 ．解：设AB 的中点M （x ，y ），A （x 1，y 1），又B （4，3），由中点坐标公式得：{x 1+42=x y 1+32=y ，即{x 1=2x −4y 1=2y −3，∵点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，∴x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4，整理得：(x −2)2+(y −32)2=1， 线段AB 的中点M 的轨迹为(x −2)2+(y −32)2=1． 故答案为：(x −2)2+(y −32)2=1．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 x ﹣2y +2＝0 ． 解：设对称的直线方程的点为（x ，y ），对称点为（x 1，y 1）， 直线l 1：x ﹣y +1＝0斜率为1，则有{x+x 12−y+y12+1=02x 1−y 1+1=0y−y 1x−x 1=−1，消去x 1，y 1得x ﹣2y +2＝0，故答案为：x ﹣2y +2＝0．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= 2√22 ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 10√2+4√10 ．解：根据题意，如图所示，取CC 1，CD 上的点分别为N ，M ，连接AM ，MN ，B 1N ，AB 1，使得AB 1∥MN ，所以A ，B 1，N ，M 四点共面，且四边形AB 1NM 为梯形，因为MN ⊥D 1C ，MN ⊥BC ，且D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面CD 1E ， 所以MN ⊥平面CD 1E ，又因为D 1E ⊂平面CD 1E ，所以D 1E ⊥MN ， 同理可证：AM ⊥平面DD 1E ，因为D 1E ⊂平面DD 1E ，所以D 1E ⊥AM ， 又因为MN ∩AM ＝M ，且MN ，AM ⊂平面AB 1MN ，所以D 1E ⊥平面AB 1MN ， 因为点P 在正方体的表面上移动，且B 1P ⊥D 1E ， 所以点P 的运动的轨迹为梯形AB 1MN ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则B 1（6，0，6），D 1（0，6，6），E （6，4，0），N （6，6，m ），可得B 1N →=(0，6，m −6)，D 1E →=(6，−2，−6)，因为B 1P ⊥D 1E ，所以B 1N →⊥D 1E →，所以B 1N →⊥D 1E →=0×6+6×(−2)+(m −6)×(−6)=0，解得m ＝4， 所以|CN |＝2|C 1N |＝4，所以当点P 在CC 1上时，可得|AP|=|AN|=√|AC|2+|CN|2=√(6√2)2+42=2√22， 又因为|MN|=4√2，|AB 1|=6√2，|AM|=|B 1N|=2√10， 所以梯形AB 1NM 为等腰梯形，所以梯形AB 1NM 的周长为l =|AB 1|+|MN|+2|AM|=6√2+4√2+2×2√10=10√2+4√10． 故答案为：2√22；10√2+4√10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[−π2，π2]上的单调减区间．解：（1）f(x)=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=2sin(2x−π3 )，f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）∵−π2≤x≤π2，∴−4π3≤2x−π3≤2π3，解−4π3≤2x−π3≤−π2，得−π2≤x≤−π12；解π2≤2x−π3≤2π3，得5π12≤x≤π2，∴f（x）在[−π2，π2]上的单调递减区间为：[−π2，−π12]，[5π12，π2]．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．解：（1）由频率分布直方图得{10a +0.65=0.7(2a +b +0.065)×10=1，解得{a =0.005b =0.025，所以每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，因为0.05+0.25+0.45＝0.75＜0.8，0.05+0.25+0.45+0.2＝0.95＞0.8， 所以第80百分位数在区间[75，85）内，设第80百分位数为x ， 可得0.75+0.02（x ﹣75）＝0.8， 解得x ＝77.5，所以第80百分位数为77.5．（2）设第二组、第三组的平均数与方差分别为x 1，x 2，s 12，s 22， 则x 1=58，x 2=72，s 12=28，s 22=140，可知第二组、第三组的频率之比为0.25：0.45＝5：9， 而成绩在[55，75）的平均数x =5×58+9×7214=67， 成绩在[55，75）的方差s 2=514[s 12+(x 1−x)2]+914[s 22+(x 2−x)2] =514[28+(58−67)2]+914[140+(72−67)2]=145， 故估计面试成绩在[55，75）的方差是145．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作⊙C 的切线，求切线的方程； （2）若⊙C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（1）由题设，知圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点， 联立方程{y =2x −4y =x −1，解得{x =3y =2，即两直线的交点坐标为（3，2），所以点C 的坐标为（3，2），圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1， 当过点A （3，0）的切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝3，不满足条件；当过点A （3，0）的切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，由题意得√k 2+1=1，解得k =±√3，所以切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0；综上所述：所求切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0． （2）因为圆心C 在直线y ＝2x ﹣4上，所以设点C 的坐标为（a ，2a ﹣4）， 圆C 的方程为（x ﹣a ）2+[y ﹣2（a ﹣2）]2＝1， 设点M （x ，y ），因为|MA |＝2|MO |， 所以√(x −3)2+y 2=2√x 2+y 2，化简得x 2+y 2+2x ﹣3＝0，即（x +1）2+y 2＝4，所以点M 在以点D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M （x ，y ）在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤|CD |≤2+1，即1≤√(a +1)2+(2a −4)2≤3，解得45≤a ≤2，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[45，2]．20．（12分）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，N 为AB 的中点． （1）证明：PN ⊥平面ABC ；（2）若M 是线段PC 上的点，且平面MAB 与平面P AB 的夹角为45°，求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明：连结PN ，CN ，因为P A ＝AC ，PB ＝BC ，AB ＝AB ，所以△P AB ≌△CAB ，所以∠APB ＝∠ACB ＝90°， 即△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以PN ＝CN =√22AC =√22PC ， 所以PN 2+CN 2＝PC 2，即PN ⊥CN ， 因为P A ＝PB ，N 为AB 的中点， 所以PN ⊥AB ，又CN ∩AB ＝N ，CN 、AB ⊂平面ABC ， 所以PN ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以NP ＝NA ＝NB ＝NC ，即点N 是球心， 连接MN ，因为P A ＝PB ，AC ＝BC ，PC ＝PC ，所以△ACP ≌△BCP ，所以MA ＝MB ， 因为点N 是AB 的中点，所以MN ⊥AB ，又PN ⊥AB ，所以∠PNM 就是平面MAB 与平面P AB 的夹角，即∠PNM ＝45°， 以N 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，√2，0），B （0，−√2，0），C （√2，0，0），P （0，0，√2），M （√22，0，√22），所以AM →=（√22，−√2，√22），BC →=（√2，√2，0），BP →=（0，√2，√2）， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0，即{√2x +√2y =0√2y +√2z =0， 令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=（1，﹣1，1）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AM →＞|=|n →⋅AM →||n →|⋅|AM →|=√22×2+√2√12+2+12=2√23，故AM 与平面PBC 所成角的正弦值为2√23． 21．（12分）在△ABC 中，AB ＝2，D 为AB 中点，CD =√2． （1）若BC =√2，求AC 的长； （2）若∠BAC ＝2∠BCD ，求AC 的长．解：（1）在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC22BD⋅CD =√24，cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD cos ∠ADC ＝4，∴AC ＝2；（2）法一：设AC ＝x ，BC ＝y ， 在△ADC ，△BDC 中，由正弦定理，可得√2sin∠BAC =x sin∠ADC ，1sin∠BCD =y sin∠BDC，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，得sin∠BAC sin∠BCD=√2yx， 在△BDC 中，由余弦定理得cos ∠BCD =y 2+2−12√2y，由∠BAC ＝2∠BCD ，有sin ∠BAC ＝sin2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ，∴√2yx =2•22√2y，整理得2y 2＝x （y 2+1）①，又由cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，22√2=−22√2，整理得x 2+y 2＝6②，联立①②得：x 3﹣2x 2﹣7x +12＝0，即（x ﹣3）（x 2+x ﹣4）＝0 又√2−1＜x ＜√2+1，故x =−1+√172， ∴AC =−1+√172． 法二：如图：构造等腰△ACE ，则∠BCD ＝∠E ， 易知△EBC ∽△CBD ，故EB CB=BC BD，即2+b a=a 1，∴a 2＝1+b ，结合a 2+b 2＝2（CD 2+AD 2）＝6， 可解得b =−1+√172．22．（12分）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线x +y ＝0上，|AB |＝2，⊙C 过点A ，B 且与直线x +1＝0相切，设圆心C 的横坐标为a ． （1）求⊙C 的半径；（2）若a ＜2，已知点P （0，1），点M ，N 在⊙C 上，直线MN 不经过点P ，且直线PM ，PN 的斜率之和为﹣1，PD ⊥MN ，D 是垂足，问：是否存在一定点Q ，使得|DQ |为定值．解：（1）∵⊙C过点A，B，∴C在AB的中垂线上，∵点A在直线x+y＝0上，且点A，B关于原点O对称，∴C在直线x+y＝0上，则点C的坐标为（a，a），∵⊙C与直线x+1＝0相切，∴圆C的半径为|a+1|，连接AC，由已知得|AO|＝1，又CO⊥AO，∴|a+1|2＝（√2a）2+1，解得a＝0或a＝2，∴圆C的半径为r＝1或r＝3；（2）由（1）及a＜2，得a＝0，则圆C的方程为x2+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m（m≠±1），代入圆的方程可得：（1+k2）x2+2kmx+m2﹣1＝0，则Δ＝（2km）2﹣4（1+k2）（m2﹣1）＝4（﹣m2+k2+1）＞0，得﹣m2+k2+1＞0，且x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，而（y1﹣1）x2+（y2﹣1）x1＝（kx1+m﹣1）x2+（kx2+m﹣1）x1＝2kx1x2（m﹣1）（x1+x2）∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=(y1−1)x2+(y2−1)x1x1x2=2k+(m−1)(x1+x2)x1x2＝2k−(m−1)⋅2kmm2−1=2k−2kmm+1，∵直线PM，PN的斜率之和为﹣1，∴2k−2kmm+1=−1，得m＝﹣2k﹣1，代入y＝kx+m，得y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，∴直线MN恒过定点T（2，﹣1），当直线MN斜率不存在时，x1＝x2，y2＝﹣y1，∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=−2x1，∴−2x1=−1，∴x1＝2，但﹣1＜x1＜1，且x1≠0，故不合题意，舍去，综上，直线MN恒过定点T（2，﹣1），又PD⊥MN，D是垂足，所以当Q为P，T的中点时，Q（1，0），此时|DQ|=12|PT|=√2为定值．第21页（共21页）。
2023-2024学年广东省广州市仲元中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0≤2﹣x ≤4}，B ＝{x |1﹣x ＞0}，则A ∩∁R B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{2}D ．{x |﹣2≤x ＜1}2．已知复数z 满足（4+3i ）z ＝﹣i ，则z 的虚部为（ ） A ．−425B ．425C ．−425iD ．425i3．已知边长为2的菱形ABCD 中，∠DAB =π3，点E 是BC 上一点，满足BE →=3EC →，则AE →⋅BD →=（ ）A ．12B ．−12C ．−43D ．﹣34．若直线l 1：x +ay ﹣2＝0与l 2：2x +(a 2+1)y −2=0平行，则两直线之间的距离为（ ） A ．√2B ．1C ．√22D ．25．已知空间四边形OABC ，点M 在线段OA 上，且OM →=2MA →，点N 为BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则NM →=（ ） A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．23a →−12b →−12c →D ．23a →+12b →−12c →6．设直线ax +y ﹣a +1＝0（a ∈R ）与圆x 2+y 2＝4交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围为（ ） A ．[2√2，4] B ．[√2，4]C ．[2，2√2]D ．[2，4]7．双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 与另一渐近线交于点N ，若M 是FN 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2C ．√3D ．38．已知点P 是圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2上的动点，线段AB 是圆C ：（x +1）2+（y +1）2＝4的一条动弦，且|AB|=2√3，则|PA →+PB →|的最大值是（ ） A ．3√2B ．8√2C ．5√2D ．8√2+2二．多选题（共4小题）9．已知函数f(x)=sin(2x −π6)，则不成立的是（ ）A ．将y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到f （x ）的图象B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在(−π6，π3)上单调递增D ．点(−5π12，0)是f （x ）图象的一个对称中心10．点P 在圆C 1：x 2+y 2＝1上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2﹣6x +8y +24＝0上，则（ ） A ．|C 1C 2|＝2B ．两个圆心所在的直线斜率为−43C ．|PQ |的最大值为7D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x ﹣8y ﹣23＝011．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A 表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3“，B 表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则（ ） A ．P(A)=23B ．P(B)=118C ．P(A +B)=1318 D ．事件A 与B 相互独立12．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，侧面P AD 是边长为2√6的正三角形，底面ABCD 为矩形，CD =2√3，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面P ADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为2√23C ．B 到平面AQC 的距离为2D ．四棱锥Q ﹣ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为24√3 三．填空题（共4小题）13．如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为 ．（保留2位小数）14．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，自点A （﹣1，4）作圆C 的切线l ，则切线l 的方程 ． 15．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且斜率为√3的直线交椭圆于点P ，若∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则椭圆E 的离心率为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，以点F （1，0）为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =√2，点E （2，1）为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为 ．四．解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC +(√2b +c)cosA =0． （1）求角A 的大小；（2）若D 是线段BC 的中点，且AD =√2，AC =4，求△ABC 的面积． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1经过点(3，√2)，其中一条渐近线为y =√33x ．（1）求双曲线C 的方程；（2）一条过双曲线C 的右焦点F 且纵截距为﹣2的直线l ，交双曲线C 于P ，Q 两点，求OP →⋅OQ →的值． 19．（12分）已知半径为4的圆C 与直线l 1：3x ﹣4y +8＝0相切，圆心C 在y 轴的负半轴上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 2：kx ﹣y +3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线l 2的方程． 20．（12分）如图，O 1，O 分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形ABCD ，P ，Q 分别是其上、下底面圆周上的动点，已知P ，Q 位于轴截面ABCD 的异侧，且∠AOQ ＝∠DO 1P ＝θ（0＜θ＜π2）．（1）当A ，P ，O 1，Q 四点共面时，求θ； （2）当θ=π4时，求二面角A ﹣PO ﹣O 1的正弦值．21．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝（a ﹣x ）|x |． （1）若a ＝1，求f （x ）的单调区间；（2）若函数y ＝f （x +2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，且对于任意的x ∈[﹣2，2]，不等式mx 2+m ＞f [f （x ）]恒成立，求实数m 的范围． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过点B （0，b ）且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ． （1）求证：2F 1F 2→+F 2D →=0→；（2）若点D （﹣3，0），过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P ，Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M ，Q ，N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0≤2﹣x ≤4}，B ＝{x |1﹣x ＞0}，则A ∩∁R B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{2}D ．{x |﹣2≤x ＜1}解：集合A ＝{x |0≤2﹣x ≤4}＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |1﹣x ＞0}＝{x |x ＜1}， ∴∁R B ＝{x |x ≥1}，则A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}． 故选：B ．2．已知复数z 满足（4+3i ）z ＝﹣i ，则z 的虚部为（ ） A ．−425B ．425C ．−425i D ．425i解：由题意得z =(−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=−4i+3i 225=−3−4i 25=−325−425i ，所以z 的虚部为−425．故选：A ．3．已知边长为2的菱形ABCD 中，∠DAB =π3，点E 是BC 上一点，满足BE →=3EC →，则AE →⋅BD →=（ ）A ．12B ．−12C ．−43D ．﹣3解：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则D(1，√3)，B(2，0)，C(3，√3)，A(0，0)，设E （m ，n ）， 则BE →=(m −2，n)，EC →=(3−m ，√3−n)，因为BE →=3EC →，所以{m −2=3(3−m)n =3(√3−n)，解得{m =114n =3√34，故E(114，3√34)，则AE →⋅BD →=(114，3√34)⋅(−1，√3)=−114+94=−12．故选：B ．4．若直线l 1：x +ay ﹣2＝0与l 2：2x +(a 2+1)y −2=0平行，则两直线之间的距离为（ ） A ．√2B ．1C ．√22D ．2解：因为直线l 1：x +ay ﹣2＝0与l 2：2x +(a 2+1)y −2=0平行，所以{2a =a 2+1−2a ≠−2(a 2+1)，解得a ＝1，直线l 1：x +y ﹣2＝0与l 2：2x +2y ﹣2＝0，即x +y ﹣1＝0平行， 所以该两条平行直线的距离为√122=√22． 故选：C ．5．已知空间四边形OABC ，点M 在线段OA 上，且OM →=2MA →，点N 为BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则NM →=（ ） A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．23a →−12b →−12c →D ．23a →+12b →−12c →解：由OM →=2MA →，知OM →=23OA →，因为点N 为BC 的中点，所以ON →=12（OB →+OC →），所以NM →=OM →−ON →=23OA →−12（OB →+OC →）=23a →−12b →−12c →． 故选：C ．6．设直线ax +y ﹣a +1＝0（a ∈R ）与圆x 2+y 2＝4交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围为（ ） A ．[2√2，4]B ．[√2，4]C ．[2，2√2]D ．[2，4]解：直线ax +y ﹣a +1＝0（a ∈R ），即为（x ﹣1）a +y +1＝0， 由{x −1=0y +1=0，可得{x =1y =−1，∴直线过定点P （1，﹣1）， 且圆x 2+y 2＝4的圆心为C （0，0），半径r ＝2， 由于12+（﹣1）2＜4，∴P （1，﹣1）在圆内，又|CP|=√12+(−1)2=√2，则当CP 与直线垂直时，|AB |最小， ∴|AB |min =2√4−2=2√2，当AB 为直径时，|AB |最大，∴|AB |max ＝4， ∴|AB |的取值范围为[2√2，4]． 故选：A ．7．双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 与另一渐近线交于点N ，若M 是FN 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2C ．√3D ．3解：设F （c ，0）相对应的渐近线：y =b ax ，由题意直线FN 的斜率为−a b， 可得直线FN 的方程为：y =−ab（x ﹣c ），联立{y =ba x y =−a b(x −c)，可得x =a 2c ，y =b a •a 2c =ab c ， 即M (a 2c ，ab c )，由中点坐标公式可得N （2a 2−c 2c，−b(2a 2−c 2)ac ），可得OM 为线段NF 的中垂线， 可得|ON |＝|OF |，即（2a 2−c 2c）2+[−b(2a 2−c 2)ac]2＝c 2， 整理可得：（2a 2﹣c 2）2＝a 2c 2，即2a 2﹣c 2＝ac 或2a 2﹣c 2＝﹣ac ，因为c ＞a ＞0， 解得ca =2，即离心率为2．故选：B ．8．已知点P 是圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2上的动点，线段AB 是圆C ：（x +1）2+（y +1）2＝4的一条动弦，且|AB|=2√3，则|PA →+PB →|的最大值是（ ） A ．3√2B ．8√2C ．5√2D ．8√2+2解：圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2的圆心为M （2，2），半径为√2， 圆C ：（x +1）2+（y +1）2＝4的圆心为C （﹣1，﹣1），半径为2， 如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，连接CB ，所以D 为AB 中点，即|BD|=√3，又|CB |＝2， 所以|CD|=√|CB|2−|BD|2=√4−3=1， 故点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，则点D 的轨迹方程为（x +1）2+（y +1）2＝1， 因为D 是AB 中点，所以PA →+PB →=2PD →，则|PD →|max =|CM|+√2+1=√(−1−2)2+(−1−2)2+√2+1=4√2+1， 所以|PA →+PB →|的最大值为2(4√2+1)=8√2+2． 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知函数f(x)=sin(2x −π6)，则不成立的是（ ）A ．将y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到f （x ）的图象B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在(−π6，π3)上单调递增 D ．点(−5π12，0)是f （x ）图象的一个对称中心 解：将y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度， 可得到y ＝sin （2x −π3）的图象，故A 错误； 对于函数f （x ）＝sin （2x −π6），其最小正周期为2π2=π，故B 正确；当x ∈（−π6，π3）时，2x −π6∈（−π2，π2），显然此时f （x ）单调递增，故C 正确；令x =−5π12，则f （x ）＝0，所以点（−5π12，0）是f （x ）图象的一个对称中心，故D 正确， 故选：A ．10．点P 在圆C 1：x 2+y 2＝1上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2﹣6x +8y +24＝0上，则（ ） A ．|C 1C 2|＝2B ．两个圆心所在的直线斜率为−43C ．|PQ |的最大值为7D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x ﹣8y ﹣23＝0解：C 1（0，0），半径为r ＝1，圆C 2的标准方程为（x ﹣3）2+（y +4）2＝1， 则C 2（3，﹣4），半径为R ＝1，对选项A ：|C 1C 2|=√32+42=5，故A 错误；对选项B：k C1C2=−43，故B正确；对选项C：|PQ|max＝|C1C2|+R+r＝5+1+1＝7，故C正确；对选项D：由于|C1C2|＝5＞R+r＝2，所以两圆相离，不相交，故D错误．故选：BC．11．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3“，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则（）A．P(A)=23B．P(B)=118C．P(A+B)=1318D．事件A与B相互独立解：根据题意，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球，其结果有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共36个基本事件；依次分析选项：对于A，事件A包括24个基本事件，则P（A）=2436=23，A正确；对于B，事件B包含4个基本事件，则P（B）=436=19，B错误；对于C，事件A+B包含26个基本事件，则P（A+B）=2636=1318，C正确；对于D，事件AB包含2个基本事件，则P（AB）=236=118，则P（AB）≠P（A）P（B），D错误．故选：AC．12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，侧面P AD是边长为2√6的正三角形，底面ABCD 为矩形，CD=2√3，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ ⊥平面P ADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为2√23C ．B 到平面AQC 的距离为2D ．四棱锥Q ﹣ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为24√3 解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连结OE ，OP ， 因为三角形P AD 为等边三角形，所以OP ⊥AD ， 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，因为AD ⊥OE ，所以OD ，OE ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则O(0，0，0)，D(√6，0，0)，A(−√6，0，0)，P(0，0，3√2)， C(√6，2√3，0)，B(−√6，2√3，0)，因为点Q 时PD 的中点，所以Q(√62，0，3√22)，平面P AD 的一个法向量为m →=(0，1，0)，QC →=(√62，2√3，−3√22)， 显然m →与QC →不共线，所以CQ 与平面P AD 不垂直，故选项A 不正确； PC →=(√6，2√3，−3√2)，AQ →=(3√62，0，3√22)，AC →=(2√6，2√3，0)， 设平面AQC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AQ →=3√62x +3√22z =0n →⋅AC →=2√6x +2√3y =0，令x ＝1，则y =−√2，z =−√3，所以n →=(1，−√2，−√3)，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则sin θ=|n →⋅PC →||n →|⋅|PC →|=2√66√6=13，所以cos θ=2√23，所以B 正确； C 选项：平面AQC 的法向量为n →=(1，−√2，−√3)，AB →=(0，2√3，0)，则B 到平面AQC 的距离为d =|AB →⋅n →||n →|=√66=2，所以C 正确； 设四棱锥Q ﹣ABCD 外接球的球心为M （0，√3，a ），则MQ ＝MD ，所以(√62)2+(√3)2+(a −3√22)2=(√6)2+(√3)2+a 2，解得a ＝0，即M （0，√3，0）为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ﹣ABCD 外接球的半径为3，设四棱锥Q ﹣ABCD 外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为√22x ，所以3(√22x)2=62，得x 2＝24， 所以正四面体的表面积为4×√34x 2=24√3，所以D 正确．故选：BD ．三．填空题（共4小题）13．如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为 15.83 ．（保留2位小数）解：根据题意，可得[5，10）这组数据的频率f 1＝5×0.04＝0.2，[10，15）这组数据的频率f 2＝5×0.1＝0.5，故[15，20）这组数据的频率f 3＝1﹣0.2﹣0.5＝0.3，小矩形的高为0.3÷5＝0.06，因此，设75%分位数为x ，则0.7+（x ﹣15）×0.06＝0.75，解得：x ≈15.83．故答案为：15.83．14．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，自点A （﹣1，4）作圆C 的切线l ，则切线l 的方程 x ＝﹣1或4x +3y ﹣8＝0 ．解：由已知圆心为（1，﹣2），半径r ＝2，又（﹣1﹣1）2+（4+2）2＝40＞4，所以点A （﹣1，4）在圆外，当直线l 斜率不存在时，直线的方程为x ＝﹣1．此时，圆心（1，﹣2）到直线l 的距离d ＝|1﹣（﹣1）|＝2＝r ，所以直线x ＝﹣1是圆的切线，当直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线的方程为y ﹣4＝k （x +1），整理可得kx ﹣y +4+k ＝0，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝r ＝2，即d =|k+2+4+k|√k +1=2，解得k =−43，所以切线方程为：−43x −y +4−43=0，即4x +3y ﹣8＝0， 综上所述所求的切线方程为：x ＝﹣1或4x +3y ﹣8＝0，故答案为：x ＝﹣1或4x +3y ﹣8＝0．15．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且斜率为√3的直线交椭圆于点P ，若∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则椭圆E 的离心率为 √3−1 ． 解：因过点F 1斜率为√3的直线交椭圆于点P ，则有∠PF 1F 2＝60°，因为∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则∠PF 2F 1＝30°，在△PF 1F 2中，可得∠F 1PF 2＝90°，令椭圆半焦距为c ，在Rt △PF 1F 2中可得：|PF 1|＝|F 1F 2|cos60°＝c ，|PF 2|=|F 1F 2|sin60°=√3c ，由椭圆定义得：2a =|PF 1|+|PF 2|=(√3+1)c ，可得e =c a =2√3+1=√3−1， 所以椭圆E 的离心率是e =√3−1．故答案为：√3−1．16．如图，在平面直角坐标系中，以点F（1，0）为圆心作半径为1的圆，点B，C为圆F上的动点，且BC=√2，点E（2，1）为一定点，倍长EB至D，则线段CD的最大值为√5+√2．解：设B（cosθ+1，sinθ）（θ∈[0，2π）），因E（2，1），倍长EB至D，则D，E中点为B，则D（2cosθ，2sinθ﹣1）．又BC=√2，圆F半径为1，则∠BFC＝90°，得C(cos(θ+π2)+1，sin(θ+π2))，即C（1﹣sinθ，cosθ）．则|DC|=√(2cosθ+sinθ−1)2+(2sinθ−cosθ−6)=√7−2√10sin(θ+φ)，其中tanφ=13，则当θ+φ=32π时，|DC|≤√7+2√10=√(√5+√2)2=√5+√2．故答案为：√5+√2．四．解答题17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+(√2b+c)cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若D是线段BC的中点，且AD=√2，AC=4，求△ABC的面积．解：（1）∵acosC+(√2b+c)cosA=0，∴由正弦定理可得sinAcosC+√2sinBcosA+sinCcosA=0，整理sin(A+C)+√2sinBcosA=0，即sinB+√2sinBcosA=0，又∵B∈（0，π），则sin B≠0，∴cosA=−√22，又A∈（0，π），∴A=3π4．（2）法一：如图，取AC 中点E ，连接DE ，∵D 是线段BC 的中点，∴DE ∥AB ，DE =12AB ，在△ADE 中，∠AED =π4，AE =2，AD =√2，由余弦定理可得DE 2−2√2DE +2=0，∴DE =√2，AB =2√2，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =4．法二：因为D 是线段BC 的中点，2AD →=AB →+AC →，4AD →2=AB →2+2AB →⋅AC →+AC →2，即8=AB →2+2|AB →|⋅4⋅−√22+|AC →|2， ∴|AB →|=2√2，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =4．18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1经过点(3，√2)，其中一条渐近线为y =√33x ．（1）求双曲线C 的方程；（2）一条过双曲线C 的右焦点F 且纵截距为﹣2的直线l ，交双曲线C 于P ，Q 两点，求OP →⋅OQ →的值．解：（1）由题意，{9a 2−2b 2=1b a =√33，解得a 2＝3，b 2＝1． ∴双曲线C 的方程为x 23−y 2=1；（2）由（1）得，c =√a 2+b 2=2，则F （2，0），又直线l 的纵截距为﹣2，∴直线l 过（0，﹣2），可得直线l ：x 2+y −2=1，即x ﹣y ﹣2＝0．联立{x −y −2=0x 23−y 2=1，可得2x 2﹣12x +15＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2＝6，x 1x 2=152，则y 1y 2＝（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=152−2×6+4=−12．∴OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=152−12=7． 19．（12分）已知半径为4的圆C 与直线l 1：3x ﹣4y +8＝0相切，圆心C 在y 轴的负半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 2：kx ﹣y +3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线l 2的方程． 解：（1）由已知可设圆心C （0，b ）， 则√32+42=4，解得b ＝﹣3或b ＝7（舍），所以圆C 的方程为x 2+（y +3）2＝16；（2）设圆心C 到直线l 2的距离为d ， 则|AB|=2√16−d 2，S △ABC =12|AB|×d =d√16−d 2=8，即d 4﹣16d 2+64＝0，解得d =2√2，又d =|3+3|√k +1，所以k 2=72，解得k =±√142， 所以直线l 2的方程为√14x −2y +6=0或√14x +2y −6=0．20．（12分）如图，O 1，O 分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形ABCD ，P ，Q 分别是其上、下底面圆周上的动点，已知P ，Q 位于轴截面ABCD 的异侧，且∠AOQ ＝∠DO 1P ＝θ（0＜θ＜π2）．（1）当A ，P ，O 1，Q 四点共面时，求θ； （2）当θ=π4时，求二面角A ﹣PO ﹣O 1的正弦值．解：（1）连接O 1A ，∵平面O 1PD ∥平面OAQ ，且平面O 1PD ∩平面AQO 1P ＝PO 1，平面OAQ ∩平面AQO 1P ＝AQ ，∴PO 1∥AQ ，又DO 1∥AO ，∴∠PO 1D ＝∠QAO ，又∠AOQ ＝∠DO 1P ＝θ，∴∠PO 1D ＝∠QAO ＝∠AOQ ，得△AOQ 为等边三角形，则θ=π3；（2）如图，取AQB̂的中点M ，以O 为坐标原点， 分别以OA 、OM 、OO 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），P (√22，−√22，2)，O 1（0，0，2）， OA →=(1，0，0)，OP →=(√22，−√22，2)，OO 1→=(0，0，2)，设平面POO 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，由{m →⋅OO 1→=2z 1=0m →⋅OP →=√22x 1−√22y 1+2z 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，1，0)； 设平面POA 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{n →⋅OA →=x 2=0n →⋅OP →=√22x 2−√22y 2+2z 2=0，取y 2＝2√2，得n →=(0，2√2，1)． 设二面角A ﹣PO ﹣O 1的平面角为α，则|cosα|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|2√2|1+1⋅8+1=23， ∴sinα=√1−cos 2α=√53．故二面角A ﹣PO ﹣O 1的正弦值为√53．21．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝（a ﹣x ）|x |．（1）若a ＝1，求f （x ）的单调区间；（2）若函数y ＝f （x +2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，且对于任意的x ∈[﹣2，2]，不等式mx 2+m ＞f [f （x ）]恒成立，求实数m 的范围．解：（1）由题设f(x)=(1−x)|x|={x −x 2，x ≥0x 2−x ，x ＜0， 所以，f （x ）的图象如下：由图知：f （x ）在(−∞，0)，(12，+∞)上递减，在(0，12)上递增，所以f （x ）单调递减区间为(−∞，0)，(12，+∞)；单调递增区间为(0，12)．（2）由y ＝f （x +2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，即f （x ）关于原点对称，所以f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以（a +x ）|﹣x |＝﹣（a ﹣x ）|x |，即（a +x ）|x |＝（x ﹣a ）|x |在x ∈R 上恒成立，所以a +x ＝x ﹣a ，故a ＝0，则f （x ）＝﹣x |x |，故f [f （x ）]＝﹣（﹣x |x |）|﹣x |x ||＝x 3|x |，所以x ∈[﹣2，2]，则mx 2+m ＞f[f(x)]⇒m ＞f[f(x)]x 2+1=x 3|x|x 2+1恒成立， 由x 3|x|x 2+1≤x 4x 2+1=x 2+1+1x 2+1−2，令t ＝x 2+1∈[1，5]，结合对勾函数的单调性知y =t +1t −2在[1，5]上递增，所以y ∈[0，165]，故x 3|x|x 2+1≤165， 综上，m ＞165，即m 的取值范围是（165，+∞）． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过点B （0，b ）且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ．（1）求证：2F 1F 2→+F 2D →=0→；（2）若点D （﹣3，0），过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P ，Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M ，Q ，N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．（1）证明：设椭圆Γ的半焦距为c ，因为e =c a =√1−b 2a 2=12，所以c =12a ，b =√32a ， 又因为F 1(−c ，0)，F 2(c ，0)，k BF 2=−b c =−√3，所以k BD =−1k BF 2=√33， 所以直线BD ：y =√33x +b ，令y ＝0，解得x =−√3b ，所以D(−√3b ，0)，所以F 1F 2→=(2c ，0)=(a ，0)，F 2D →=(−√3b −c ，0)=(−2a ，0)， 所以2F 1F 2→+F 2D →=0→；（2）解：若点D （﹣3，0），则−√3b =−3，解得b =√3，则a ＝2，c ＝1， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1，如图所示，设直线l 的方程为x ＝ty +1，t ≠0，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则M （x 1，﹣y 1），联立方程组{x 24+y 23=1x =ty +1，整理得（4+3t 2）y 2+6ty ﹣9＝0， 则Δ＝36t 2+36（4+3t 2）＞0，且y 1+y 2=−6t 4+3t 2，y 1y 2=−94+3t 2， 直线MQ 的方程为x −x 1=x 2−x 1y 1+y 2(y +y 1)，令y＝0，可得x=(x2−x1)y1y1+y2+x1=x2y1−x1y1+x1y1+x1y2y1+y2=x2y1+x1y2y1+y2=(ty2+1)y1+(ty1+1)y2y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=2ty1y2y1+y2+1=2t×(−9)−6t+1=4，故在x轴上存在一个定点N（4，0），使得M，Q，N三点共线．。
广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题12．2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，四、解答题15．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．(1)求2个白球都被甲取出的概率；(2)求将球全部取出才停止取球的概率．16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋❑√3asin C －b－c ＝0.(1)求A ；（1）求证：平面（2）求直线PB与平面PCD（3）在棱上是否存在点的值；若不存在，说明理可得()()()()110100f g g f éù-=-=ëû，结合()10f ¹得()100g -=，()01g =， 再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+éùëû，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+éùëû，因为()10f ¹，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===åL ，故D 正确.故选：D..设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.与平面所成角的正弦值为.所以直线（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，BM∥即，解得.求解.。
2024-2025学年广东省广州市真光中学高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省广州市真光中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{a,b,c}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )A. a+b，b+c，a−cB. a+2b，b，a−cC. 2a+b，b+2c，a+b+cD. a+c，b+2a，b−2c2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2,−1,1)，B(1,1,2)，若点C与点B关于平面xOz对称，则|AC|=( )A. 2B. 6C. 14D. 223.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则( )A. A3与A4为对立事件B. A1与A3为相互独立事件C. A2与A4为相互独立事件D. A2与A4为互斥事件4.如图，以等腰直角△ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是( )A. AB⋅AC=1B. AB⊥DCC. BD⊥ACD. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直5.若直线l沿x轴向左平移3各单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为( )A. 13B. −13C. 3D. −36.点P 是椭圆x 216+y 27=1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当点P 在第一象限时，P 点的纵坐标为( )A. 2B. 73C. 53D. 947.已知曲线C ：x 2+y 2−2|x|−2|y|=0，则下列说法错误的是( )A. 曲线C 围成图形面积为8+4πB. 曲线C 的长度为42πC. 曲线C 上任意一点到原点的最小距离为2D. 曲线C 上任意两点间最大距离428.已知圆C ：x 2+y 2+6x−4y +9=0关于直线ax +by +3=0对称，过点P(a,b)作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为( )A. 2764B. 2964C. 1932D. 2732二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题(含答案)
2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将1枚质地均匀的硬币抛掷2次，恰好出现1次正面向上的概率是( )A. 0B. 14C. 12D. 342.直线3x+3y+3=0的倾斜角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知空间向量a=(−2,1,m)，b=(1,−1,0)，c=(−1,2,n)，若a、b、c共面，则m+n=( )A. −1B. 0C. 1D. 24.已知直线l1:x−y+3=0，l0:x−y−1=0，若l1关于l0对称的直线为l2，则直线l2的方程是( )A. x−y−3=0B. x−y+5=0C. x−y+3=0D. x−y−5=05.已知过点P(4,m)(m≠0)作圆C:x2+y2−4y=0的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB必过定点( )A. (2,1)B. (1,2)C. (1,1)D. (1,12)6.若直线ax+by−1=0(a>0,b>0)平分圆(x−1)2+(y−1)2=4，则1a +2b的最小值是( )A. 2B. 5C. 3+22D. 427.在平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD−A1B1C1D1中，有∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，AB=AD=2，AC1=22，则AA1=( )A. 22B. 2C. 2D. 48.已知圆C1:x2+y2−2x−4y−7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是( )A. 圆C1和圆C2关于直线8x+6y−5=0对称B. 圆C1和圆C2的公共弦长为223C. |PQ|的取值范围为[0,5+23]D. 若M为直线x−y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为109−43二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州市第五中学2022-2023学年高一上学期期末线上模拟测试数学试卷
广州市第五中学高一年级2022学年第一学期线上模拟测试数学试卷一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|x−3x+2<0}，B ={x|−3≤x ≤1,x ∈Z}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.3B. 5C. 无数个D. 42. 已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sinα=( )A. √32B. −√32C. 12D. −123. 命题“∀x ≥0，x 3+1<0”的否定是( )A. ∀x ≥0，x 3+1<0B. ∀x <0，x 3+1≥0C. ∃x ≥0，x 3+1<0D. ∃x ≥0，x 3+1≥04. 函数f (x )=√log 3(4x −5)的单调递增区间为( )A. (54,+∞)B. (54,32]C. [32,+∞)D. (54,32)5. 函数f(x)=2ln x +x −4的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6. 已知α∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则tanα=( )A. √53B. 23C. 13D.−√527. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB. c <a <bC. b <c <aD. a <c <b8. 已知函数()cos (0)[0]f x x x ωωωπ=+>在，上有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A.1723[,)66B. 1117[,)66C.1723(,)66 D. 1117(,)66二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．设实数a ，b 满足a >b >0，则下列不等式一定正确的为（ ）A ．ab >a +bB ．−a <−bC ．D ．2b aa b+>10．R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a −+>恒成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．10a ≤B ．04a <<C ．D ．102a <<11．把函数cos2y x =的图象先向左平移6π个单位长度，然后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再向上平移个单位长度后得到函数()f x ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的解析式为，且是偶函数B ．函数()f x 图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间[0,5π12]上单调递减D ．函数()f x 在区间[0,π2]上的最小值为12．已知函数()2e 1,68,x x f x x x x λλ⎧−≤=⎨−+−>⎩（R λ∈），()()g x f x m =−，则下列说法正确的是（ ）A ．当0λ=时，函数()f x 有3个零点B ．当2λ=时，若函数()g x 有三个零点123,,x x x ，则123(6,6ln 2)x x x ++∈+C ．若函数()f x 恰有2个零点，则[2,4)λ∈D ．若存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则λ∈(−∞,3]三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．函数g(x)=√−x 2−2x +24的定义域为____________. 14. 已知集合A ＝{x |3−xx +4≥0}，B ＝{x|3m ≤x ≤m +4}．若A ∩B =∅，则m 的取值范围为____________．15．已知OPQ 是半径为1，面积为 π12 的扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，则2AB ×AD 的最大值为________.16．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++−≤=⎨−+−>⎩，，，．若对任意x ∈[−3,12)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.17、(10分)在①已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y =2x 上；②1−tan 2θ2tanθ2=1，在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解． 问题：已知θ满足 ，求值：sin(π−θ)(1+sin2θ)sin(π2+θ)+cos(π2−θ).18、(12分) 已知函数f (x )=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5)，b =f (log 25)，c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．19.（12分）已知函数f(x)=(2√3sinx +2cosx)cosx +m −1， (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )在区间[−π12，π2]上的最小值为0，求实数m 的值； (3)若f (θ2)=√63+m ，求sin (2θ−π6)的值.20.（12分）已知函数()1log )(+=x x f a ，()x x g a −=3log )( （1）若2=a ，解关于x 的不等式：)()(x g x f >;（2）若函数)()()(x g x f x h +=的最小值为4−，求实数a 的值.21．（12分）某开发商计划2023年在景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2023年有x 万名游客，则需另投入成本()R x 万元，且()240,030,250081820,30x x x R x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+−>⎪⎩当时当时该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2023年该项目的利润()W x （万元）关于游客数量x （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少万人时，该项目所获利润最大？最大利润是多少万元？22．（12分） 函数21()log axf x x+=. (1)当1a =时，求函数()f x 在[1,10]上的最大值；(2)若关于x 的方程2()log [(3)24]f x a x a =−+−有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．。