现代控制理论控制系统的状态空间模型_图文
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现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
现代控制工程第2章状态空间数学模型课件
性变换 x(t) Px(t) x(t) P1x(t)
系统的状态空间模型变换为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y Cx
Px APx Bu
y CPx
x P 1 APx y CPx
P 1Bu
A P 1 AP , B P 1 B , C CP
P? 第5章介绍
可选择物体在某一时刻的位移及速度 为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态
4
2.1 状态与状态空间的概念
状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部 输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为 是充分且必要的。
系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统 各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为 状态变量。
状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些 状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相 似意义下是唯一的。 可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范 的标准型，从而简化系统的分析和设计。
17
2.3.3 状态方程的线性变换
设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为
x(t) Ax(t) Bu(t)
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.521
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构 ，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统 的内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
系统的状态空间模型变换为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y Cx
Px APx Bu
y CPx
x P 1 APx y CPx
P 1Bu
A P 1 AP , B P 1 B , C CP
P? 第5章介绍
可选择物体在某一时刻的位移及速度 为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态
4
2.1 状态与状态空间的概念
状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部 输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为 是充分且必要的。
系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统 各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为 状态变量。
状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些 状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相 似意义下是唯一的。 可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范 的标准型，从而简化系统的分析和设计。
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2.3.3 状态方程的线性变换
设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为
x(t) Ax(t) Bu(t)
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.521
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构 ，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统 的内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
现代控制理论：控制系统的状态空间模型
输出方程： y(t) g[x(t),u(t),t]
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
2020/8/8
图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
2020/8/8
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
2020/8/8
2
1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
2020/8/8
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
2020/8/8
图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
2020/8/8
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
2020/8/8
2
1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
2020/8/8
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论1控制系统的状态空间模型3
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17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
现代控制理论第1章_控制系统状态空间表达式
对于系统输出，通常要求是物理上可以测取的，而状态 变量则不要求一定是可以测取的(而且通常是不能完全测 取的)；但在工程实践中，为便于构造状态反馈，应尽量 选择物理上易于测取的变量作为状态变量。
对于仅描述输出与输入关系的动力学系统(以微分方程或 传递函数描述)，在建立其状态空间表达式时，状态变量 的选取具有非唯一性。这种非唯一性是由系统结构的未 知性或不确定性造成的。对同一系统，状态变量选取不 同，状态空间表达式也会不同(实现的非唯一性)。
本节学习内容及目标
学习、理解和掌握状态空间方法的基本概念 状态、状态变量(状态向量) 状态空间、状态轨线 状态方程 输出方程 状态空间表达式
掌握状态空间表达式的书写形式(特别是向量 矩阵形式）
输入输出关系不同的两类系统
一类系统只要知道输入信息即可获得输出信息(系统的 输出和输入之间是简单的代数方程的关系）；
b：n×1维， c：1×n维， d：1×1维(标量)
取：x
x1
x2
；
A
a1 1 a2 1
a12 a22
a1n
a2
n；
b1
b
b2
；
c c1
dd
c2
cn
xn
an 1
an2
an
n
bn
“状态空间表达式”向量矩阵形式书写练习(单输入 单输出系统)：
x•1 2x1 x2 2u • x2 x2 u y x1 2x2 3u
1.1 状态变量及状态空间表达式
经典控制理论：对线性定常系统，用输入输出关 系的常微分方程或传递函数描述——外部描述； 实际系统还包含其它独立的变量，无法描述。
现代控制理论中的状态空间分析法：用一组状态 变量所构成的一阶微分方程组来描述系统的动态 特性，能反映全部独立变量变化——内部描述； 且可方便处理初始条件；可应用于非线性系统和 时变系统、多输入多输出系统及随机过程。
对于仅描述输出与输入关系的动力学系统(以微分方程或 传递函数描述)，在建立其状态空间表达式时，状态变量 的选取具有非唯一性。这种非唯一性是由系统结构的未 知性或不确定性造成的。对同一系统，状态变量选取不 同，状态空间表达式也会不同(实现的非唯一性)。
本节学习内容及目标
学习、理解和掌握状态空间方法的基本概念 状态、状态变量(状态向量) 状态空间、状态轨线 状态方程 输出方程 状态空间表达式
掌握状态空间表达式的书写形式(特别是向量 矩阵形式）
输入输出关系不同的两类系统
一类系统只要知道输入信息即可获得输出信息(系统的 输出和输入之间是简单的代数方程的关系）；
b：n×1维， c：1×n维， d：1×1维(标量)
取：x
x1
x2
；
A
a1 1 a2 1
a12 a22
a1n
a2
n；
b1
b
b2
；
c c1
dd
c2
cn
xn
an 1
an2
an
n
bn
“状态空间表达式”向量矩阵形式书写练习(单输入 单输出系统)：
x•1 2x1 x2 2u • x2 x2 u y x1 2x2 3u
1.1 状态变量及状态空间表达式
经典控制理论：对线性定常系统，用输入输出关 系的常微分方程或传递函数描述——外部描述； 实际系统还包含其它独立的变量，无法描述。
现代控制理论中的状态空间分析法：用一组状态 变量所构成的一阶微分方程组来描述系统的动态 特性，能反映全部独立变量变化——内部描述； 且可方便处理初始条件；可应用于非线性系统和 时变系统、多输入多输出系统及随机过程。
现代控制理论：控制系统的状态空间模型资料
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
2020/10/7
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
2020/10/7
15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
2020/10/7
13
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
输出方程： y(t) g[x(t),u(t),t]
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/10/7
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
现代控制理论课件PPT控制系统的状态空间描述
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； fi 是线性或非 线性函数。
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
为 l cos 。按照物理定律，摆杆
和小车的运动方程如下：
摆杆的转动方程：
J
d 2
dt 2
Vl sin
Hl cos
摆杆重心的水平运动：
m
d2 dt 2
x
l
sin
H
西华大学电气与电子信息学院
摆杆重心的垂直运动
m
d2 dt 2
l
cos
V
mg
小车的水平运动：
M
d2x dt 2
u
H
西华大学电气与电子信息学院
e(t)
diL dt
( R1
R1 R2
)
L
uC
R1R2 (R1 R2 )L
iL
( R1
R2 e(t) R2 )L
所以状 态方程 为：
uC
(
R1
1 R2
)C
iL
R1 (R1 R2 )L
( R1
R1
R2
)C
uC 1
(
R1
R2
)C
e
(t
)
R1R2 (R1 R2 )L
3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：
L
di dt
Ri
eb
u(t)
4、对电机转轴，根据牛顿定律，有 T J&& &
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
为 l cos 。按照物理定律，摆杆
和小车的运动方程如下：
摆杆的转动方程：
J
d 2
dt 2
Vl sin
Hl cos
摆杆重心的水平运动：
m
d2 dt 2
x
l
sin
H
西华大学电气与电子信息学院
摆杆重心的垂直运动
m
d2 dt 2
l
cos
V
mg
小车的水平运动：
M
d2x dt 2
u
H
西华大学电气与电子信息学院
e(t)
diL dt
( R1
R1 R2
)
L
uC
R1R2 (R1 R2 )L
iL
( R1
R2 e(t) R2 )L
所以状 态方程 为：
uC
(
R1
1 R2
)C
iL
R1 (R1 R2 )L
( R1
R1
R2
)C
uC 1
(
R1
R2
)C
e
(t
)
R1R2 (R1 R2 )L
3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：
L
di dt
Ri
eb
u(t)
4、对电机转轴，根据牛顿定律，有 T J&& &
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
现代控制理论第1章 控制系统的状态空间描述
现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼： 状态空间法
卡尔曼： 能控性与能观性
现代控制理论的主要特点 研究对象：线性系统 非线性系统 时变系统 多变量系统 连续与离散系统 数学上：状态空间法
方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能
内容上：线性系统理论、系统辩识、最优控制、 自适应控制、鲁棒控制
现代控制理论与经典控制理论的比较
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x n (t )
4．状态空间
以n个状态变量x1(t),x2(t)…,xn(t)为坐标构 成的n维欧氏空间称为状态空间。
5．状态轨线
系统在任意时刻t的状态,在状态空间中用一点来 表示。随着时间的推移，系统的状态在变化，并在状 态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态 空间中随时间变化的轨迹为状态轨迹（线）。
[例1.2-1] 试列写如图所示RLC的电路方程， 建立系统的状态空间表达式。 解： 1.设状态变量为：
x1 i, 1 x2 u c idt C (1)
2.根据基尔荷夫定律组成系统的原始方程。 1 di 1 y u0 idt (3) Ri L idt ui (2) dt C C ３)通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出 方程。
第1章 动力学系统的状态空间描述
1.1 控制系统状态空间表达式
1.2 根据系统的物理机理建立状态空间表达式
1.3 根据系统微分方程建立状态空间描述 1.4 传递函数变换为状态空间表达式 1.5 结构图分解法建立状态空间表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵)
1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念 1．动力学系统 ：一个能贮存输入信息的系统
现代控制理论第一章 控制系统数学模型
解 （1）待定系数法
选择状态变量如下
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
其中
0 b3 0
1 b2 a20 0
2 b1 a10 a01 160 192 0 640 0 160
3 b0 a00 a11 a22 640 18160 2240
第二十九页，共80页。
x Ax Bu y Cx Du
x1
x
x2
xn
u1
u
u2
ur
y1
y
y2
ym
第五页，共80页。
a11 a1n
A
an1 ann nn
c11 c1n
C
cm1 cmn mn
b11 b1r
B
bn1 anr nr
d11 d1r
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
第二十八页，共80页。
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192 y 640 y 160u 640u
试求系统的状态空间表达式。
首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量 x1 y
x2 y
x3 y
则有 x1 x2 x2 x3 x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
M
d2 y dt2
m
d2 dt2
现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件
uAA R11 R11ixix121200 11uuuu1212
[例]试列出在外力f作用
下，以质块 M1, M2 的 位移 y为1, 输y2出的状态
空间表达式。
k1
yv11 k 2
M1
B1
B2
yv
2
2
f
M2
解：质量块受力图如下：
M1 y1
k1 y1
k2(y2y1)
M1
M2
B1 y1
B2(y2y1)
x1 x3 x2 x4
状态方程
x3
k1 k2 M1
x1
k2 M1
x2
B1 B2 M1
x3
B2 M1
x4
x4
k2 M2
x1
k2 M2
x2
B2 M2
x3
B2 M2
1 x4 M2
f
输出方程
y1 y2
x1 x2
写成矩阵形式：
x Ax bu y Cx du
0
x
0 k1
k2
解： n 3 ,a 2 9 ,a 1 8 ,a 0 0
b 3 0 ,b 2 1 ,b 1 4 ,b 0 1
x1 0 1 0x1 0 x20 0 1 x20u x3 0 8 9x3 1
x1
y 1
4
1
x
2
x3
1.5 状态矢量的线性变换
P：非奇异线性变换矩阵
单输入 单输出
系统
x Axbu y cx du
特征值，非零向量 x称为 A的对应于 的特征 向量。
xAx (A)x0 (IA)x0
方阵 的 n次多项式 f()IA为 A的特征
多项式。IA 0为 A的特征方程。