2019学年湘教版数学选学2-2当堂检测：几个幂函数的导数一些初等函数的导数表

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高中数学湘教版选修2-2(课件)4.2导数的运算

4．2 导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表
4.2.2
学习目标课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练
学习目标
1.能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式． 3．能应用基本初等函数的导数解决有关问题．
3
(3)y′＝(x x)′＝(x 2
)′＝3x
3 1 2
＝3
x.
2
2
(4)y′＝(x14)′＝ (x－ 4)′＝－ 4x－ 4－ 1＝－ 4x－ 5＝－x45 .
(5)y′＝(5
x3 )′＝(x
3 5
)′＝3x
3 5
-1＝3x
-
2 5
5
5
＝3 .
5 5
x2
(6)y′＝(2x)′＝ 2x公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验．
∴ y′＝ (lgx)′＝(log1 0x)′＝x·ln110.
(5)∵ y＝(s inx＋ cosx)2 － 1 22
＝ sin2x2＋ 2·s inx2·cos x2＋ cos 2x2－ 1＝ s inx.
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求在点P处的切线方程
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0 ＝ f′(x0)·(x－ x0)．
1
点为(x0，y0)，因为 y＝ x＝x 2 ，可根据幂函数的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出所求切线的方程．

2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：几个幂函数的导数一些初等函数的导数表

4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36 B ．0 C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案1 2e2解析∵y′＝(e x)′＝e x，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝12×1×||－e2＝12e2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

高中湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-3三次函数的性质：单调区间和极值 Word版含解析

4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为 ( )A.B. C. D.答案 A 解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．(2)求最值的步骤：①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．。

新湘教版高中数学选择性必修第二册1.2.1几个基本函数的导数

1
1
x2
则＝k，e ＝k，所以x1＝，x2＝ln
x1
k
k，
1
k
可得直线y＝kx与函数f(x)＝ln x＋a的切点为( ，1)，
直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(ln k，k ln
1
ln + a = 1
k)，∴ቐ k
，解得a＝2.
eln k = k ln k
方法归纳
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
x
2
(4)y＝1－2sin .
(4)因为y＝1－2sin2 ＝cosx，所以y′＝－sin x．
2
x
2
方法归纳
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1
若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．
1
x ln 3
答案：3x2－
1
，
x ln 3
解析：∵f′(x)＝2，g′(x)＝
当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，
1
1
则 ×|a－1|×|1－a|＝，又a>0，解得a＝2.
2
2
(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．
1
x
解析：(2)由已知f′(x)＝，g′(x)＝ex，
设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
1．2.1 几个基本函数的导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点一常见幂函数的导数❶
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)

湘教版数学选修2-2分层训练4-2-14-2-2几个幂函数的导数一些初等函数的导数表 Word版含解析

．导数的运算
．几个幂函数的导数
．一些初等函数的导数表
一、基础达标
．下列结论中正确的个数为
( )
①＝，则′＝；②＝，则′＝＝－；③＝，则′＝；
④＝，则′＝).
．．．．
答案
解析①＝为常数，所以′＝.①错．②③④正确．
．过曲线＝上一点的切线的斜率为－，则点的坐标为
( ) 或
答案
解析′＝′＝－＝－，＝±，故选.
．已知()＝，若′(－)＝－，则的值等于
( ) ．．－．．－
答案
解析′()＝－，′(－)＝(－)－＝－，＝.
．函数()＝的斜率等于的切线有
( ) ．条．条．条．不确定
答案
解析∵′()＝，设切点为(，)，则＝，得＝±，即在点和点处有斜率为的切
线．
．曲线＝在点()处的切线方程是．
答案＋－＝
解析∵′＝－，∴′
＝－，
＝
∴过点()的斜率为－的切线方程为：
－＝－(－)即＋－＝.
．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为，则＝.
答案
解析
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为．
令＝得；令＝得＝.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
＝··＝，∴＝.
．求下列函数的导数：
() ＝；()＝；()＝－；
()＝－.
解()′＝′＝＝.
()′＝′＝(－)′＝－－－＝－－＝－.
()∵＝－
＝＝＝，
∴′＝( )′＝ .
()∵＝－＝，
∴′＝()′＝).。

高二数学配套课件4.2.1+2 几个幂函数的导数一些初等函数的导数表(湘教版选修2-2)

题型二可化为基本初等函数的求导【例2】求下列函数的导数： (1)y＝log4x3－log4x2； 2x2＋1 (2)y＝－2x； x x 2x (3)y＝－2sin (2sin －1)． 2 4
解 (1)∵y＝log4x3－log4x2＝log4x， 1 ∴y′＝(log4x)′＝ . xln 4 2x2＋1 2x2＋1－2x2 1 (2)∵y＝－2x＝＝ . x x x 1 1 ∴y′＝( )′＝－ 2. x x x x 2x 2x (3)∵y＝－2sin (2sin －1)＝2sin (1－2sin ) 2 4 2 4 x x ＝2sin2 cos2＝ sin x．∴y′＝(sin x)′＝cos x. 点评熟练掌握导数基本公式，并灵活运用对数性质及三角
1 x (x>0)；
(2)(xα)′＝
(3)(ex)′＝ (4)(ax)′＝ (5)(ln x)′＝
(6)(logax)′＝
1 xln a
(a>0，a≠1，x>0)；
(7)(sin x)′＝
(8)(cos x)′＝ (9)(tan x)′＝ (10)(cot x)′＝
cos x；－sin x ；
变换公式，转化为基本初等函数的导数．
2．求下列函数的导数： (1)y＝(1－
3 2
x) 1＋
3 2
1 ＋ x； x
(2)y＝(x ＋1)(x －1)＋1.
解 (1)∵y＝(1－
∴y′＝
x) 1＋
1 1－x 1 ＋ x＝＋ x＝， x x x
典例剖析
题型一幂函数的导数【例1】求下列函数的导数： (1)y＝x
2 011
4 3 1 ；(2)y＝ 3；(3)y＝ x . x

湘教版高中数学选修2-2《几个幂函数的导数》导学案

3.2.1 几个幂函数的导数典例剖析:题型一求函数的导数例1.求函数3()y f x x==的导数题型二求函数的导数值例2.函数2()y f xx==，求)2(f'的值。

备选题例3：证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1<x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.点击双基1.质点运动方程是S=3t 。

则质点在t=2时的瞬时速度为（）A ．6B ．12C ．8D ．92.求曲线f(x)= 2x 在点P （-2，4）处的切线方程为（）A ．y=4x-4,B ．y=4x+4C ．y=-4x+4D ．y=-4x-43.下列各式中不正确的是（）A ．y=8,则'y =0,B ．y=3x, ,则'y =3C ．y=x 1,则'y =21x. D ．y=3x ,则'y =32x 4.曲线y=21x 在点（2，21）处的切线斜率k= . 5.抛物线y=2x 上到直线x+2y+4=0距离最短的点的坐标 . 课外作业一．选择题，1.曲线3x -y=0在点（-2，-8）处切线方程是（）A ．y=12x-16B ．y=6x-16C ．y=12x+16D ．y=6x+82.曲线f(x)=x 点（4，2）处切线方程是（）A ．x-4y+4=0B ．x+4y+4=0C ．4x-y+4=0.D ．4x+y+4=03.曲线2y x =在点（21，41）处的倾斜角为（） A ．1 B ．4π C ．4π- D ．45π 4.已知3)(x x f =，则)3(f '的值为（）A ．3B ．9C ．27D ．- 275.曲线f(x)= 2x 在点P （2，4）处的切线与x 轴以及 M直线x=3所围成的三角形的面积为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 6.曲线3x -y=0在点P 处切线方程是3x-y-2=0,则P 点坐标是（）A ．（1，1）B ．（-1，-1）C ．（1，1），（-1，-1）D ．（2，8）7.曲线xy=1在点（1，1）处的切线与直线y=x 的夹角为（）A ．2πB ．4πC ．6π D ．0 8.若右图是y=f(x)的导数图像则f(x)的解析式可能是（）A ． y=3xB ．y=-2xC ．y=2xD ．y=-3x 0 x 二．填空题9.已知y x =，则在5=x 处的导数 .10.如果曲线3x -y=0的切线与直线y=6x+3平行，则切线方程是 .11.抛物线y=2x 上的点到直线y=x-2的最短距离为 .三．解答题12.求f(x)=3x 在点P （1，1）处的导数及切线方程。

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章章末小结含解析

1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x ＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集． (2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2.∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数．又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x 2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数． ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ，且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0；当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0，所以设h (x )＝e x －1－x .则h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)．设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点，则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0，得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数；当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；(2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln x x 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎨⎧1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，x ∈(80，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x，由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤－3π4，5π4上的图象，它们共产生三个交点，分别为⎝⎛⎭⎫－3π4，－22，⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22. 在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝⎠⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝2⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎡⎦⎤F ⎝⎛⎭⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解：设切点A (x 0，y 0)，则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝⎛⎭⎫12，0，∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎡⎦⎤12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝⎛⎭⎫32，－2.∴S ＝⎠⎜⎛32(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e .答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减．答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是()解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x .∴⎠⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π3－F ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 答案：D8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e πC ．－1－e 2 020π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z)，又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 018π＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是()解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)．答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，e 28 C.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤0，e 24 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝e x x2.设f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12 log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x .取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c . ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝⎛⎭⎫－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减，又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48. 又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0，当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4， ∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， ∴－43<k <283.4 3，28 3.∴实数k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－。

湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1x ＞0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．答案(2，＋∞)(－∞，2)解析y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．。

湘教版高中数学选修2-2《一些初等函数的导数表》导学案

3.2.2一些初等函数的导数表典例剖析:题型一函数导数的求法例1.求下列函数导数：（1）5-=x y （2）x y 4=题型二函数导数的简单应用例2.①求函数x e y =在e x =处的切线的方程；②过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.备选题例3.求下列函数的导数：（1）y x x =, (2)y=2cos2x sin 2x点击双基1. 若3'0(),()9f x x f x ==，则0x 的值为（）A ．1B ．3C ．-1D ．3±2. f(x)=sinx,则'f (2π)=（） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2π 3. f(x)=n x ,若'f （2）=12，则n=（）A ．3B ．4C ．5D ．64曲线y=lnx 在x=e 点处的切线方程为 .5. 某质点运动的方程为y=x 2，求时间x=3时的瞬时速度 . 课外作业1、3x y =的导数是（）A ．3xB ．x 31C ．3231--xD ．3231-x 2、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319B ．316C ．313D ．310 3、下列各结论正确的是（） A ．'3)(x lon =x 31 B ．（x 2）'=2x C ．')(sin x =cosx D ．(cosx)'=sinx 4、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=5、函数f(x)=x a (a>0且a ≠1), 'f （2）=2a ,则a=（）A ．2B ．eC ．4D ．2e6、曲线y=sinx ， x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ 的一条切线m 平行于直线x-y-3=0, 则m 的方程为（）A ．y=2πx B ． y=x C ．y=x+1 D ．不存在 7 、曲线x e y =在点)e (2,2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．249e B ．22e C ．2e D ．2e 2 8、)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+，，)(N n ∈，则=')(2009x f （） .sin .sin .cos .cos A x B x C x D x --二．填空题9、函数y=2e ,则'y = .10、已知函数()sin ln f x x x =+，则()f x '= .11、已知f(x)=lnx, g(x)=x. 且f '(x)-g '(x)>0，则x 的取值范围是 .三．解答题12、求函数的导数：)3)(2)(1(+++=x x x y .13、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.14、f(x)=lnx,若4f '(x)+x ≥a 恒成立，求a 的取值范围.思悟小结基本初等函数的导数公式记忆：第一类为幂函数，1)'(-=a a ax x )0(≠a （注意幂函数a 为任意实数）；第二类为指数函数，()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且，当e a =时，x e 的导数是)('x a 的一个特例；第三类为对数函数，11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且，当e a =时，x ln 也是对数函数的一个特例；第四类为三角函数，可记住正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数的相反数，正切函数的导数是余弦函数平方的倒数，余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数的相反数。

数学选修2-2配套课件：4-2-14-2-2几个幂函数的导数一些初等函数的导数表

【评析】
这一段非常有趣，让我们看到了孔子普通人的一面。我觉得这是儒家思想比基督教可爱的地方之一。儒教不千方百计把孔子打扮成神，基督教则不但把普通人耶酥打扮成神，还要再虚构一个上帝之神来做耶酥的父亲。基督教的做法在人类的愚昧阶段是有一定的实际效果，但是也有一个很大的危险，就是其基础极其脆弱，因为它将一切关键的东西都建立在谎言的基础上，一旦谎言被识破，还有谁去信它呢？
＝－23×
＝－326，
故所求切线的斜率k＝－7229.
要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数
(1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13；(4)y＝5 x3；(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝
1 x4
可以写成y
＝x－4，y＝5 x3＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
跟踪演练1 求曲线y＝3 1x2在点P(27，19)处的切线斜率．
解 ∵y＝ 1 ＝
，∴
，
3 x2
∴y′|x＝27＝－23×
(4)y′＝5
x3′＝
＝3； 55 x2
(5)y′＝(log3x)′＝xln1 3.
规律方法求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
跟踪演练2
求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝

湘教版(2019)选择性必修第二册课本例题1.2.1 几个基本函数的导数

湘教版（2019）选择性必修第二册课本例题1.2.1 几个基本函数的导数一、解答题(共98 分)1.不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？【答案】12．【分析】直接根据立方体体积、表面积公式和基本初等函数函数的导数即可得到答案.【详解】立方体的体积V(x)=x3，表面积S(x)=6x2．因为V′(x)=(x3)′=3x2，所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的12．2.写出过点A(−4,2)，并且和曲线xy−1=0相切的直线方程．【答案】x+y+2=0和x+4y−4=0【分析】曲线xy−1=0化为y=1x ，求出导函数，设过点A(−4,2)的直线与曲线y=1x相切于点(x0,1x0)，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，将点A(−4,2)代入切线方程，求出切点坐标，从而得出答案.【详解】当x=0时，上式化为0⋅y−1=0，这样的曲线不存在，故x≠0，所以曲线xy−1=0化为y=1x ，其导函数为y′=−1x2设过点A(−4,2)的直线与曲线xy=1相切于点(x0,1x0)，则切线的斜率为k=−1x02所以切线方程为y−1x0=−1x02(x−x0)由切线过点A (−4,2)，所以2−1x 0=−1x 02(−4−x 0)，解得x 0=−1或x 0=2当x 0=−1时，切线方程为：x +y +2=0当x 0=2时，切线方程为：x +4y −4=0因此，过点A 有两条切线，方程分别为x +y +2=0和x +4y −4=0，如图1.2-1所示．用基本初等函数的导数公式计算：3. (√x 23)′；4. (log 2x )′；5. (2x )′；6. (sinx cosx )′．【答案】3. 23x −134. 1xln25. 2x ln26. 1cos 2x【分析】（1）（2）（3）（4）根据初等函数的导数即可得到答案.【3题详解】(√x 23)′=23x −13．【4题详解】(log 2x )′=1xln2．【5题详解】(2x)′=2x ln2．【6题详解】(sinx cosx )′=cos2x−sinx(−sinx)cos2x=1cos2x．7.（1）求曲线y=sinx在x=0处的切线方程；（2）利用切线的斜率求sin1∘的近似值．【答案】（1）y=x；（2）0.01745【分析】（1）利用导数求切线方程；（2）根据切线可知sinx≈x，进而可得.【详解】解（1）y′=(sinx)′=cosx.当x=0时，切线的斜率k=y′=cos0=1．又当x=0时，y=sin0=0，故所求切线方程为y=x，如图（2）记f(x)=sinx．当x→0时，f(x)−f(0)x−0=sinxx→f′(0)=cos0=1．这说明：当|x|很小时，有近似公式sinx≈x．因此，sin1°=sinπ180≈π180≈0.01745．。

(优选)2019年高中数学第四章4.2.1几个幂函数的导数4.2.2一些初等函数的导数表分层训练湘教版选修2-2

4．2.1 几个幂函数的导数4．2.2 一些初等函数的导数表一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝axa －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______.答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案22解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析

4．2导数的运算[读教材·填要点] 1．求导公式(1)几个幂函数的导数：(2)基本初等函数的导数公式：2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2(a 为常数)．提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1.求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 44x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ； (5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1；(4)y ＝(x －1)2x ；(5)y ＝1(1＋3x )4；(6)y ＝x ·e －x . 解：(1)y ′＝(2x cos x －3x log 2x )′＝(2x )′cos x ＋2x (cos x )′－3[x ′log 2x ＋x (log 2x )′] ＝2x ln 2cos x －2x sin x －3(log 2x ＋x ·1x ln 2)＝2x ln 2cos x －2x sin x －3log 2x －3ln 2. (2)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3 ＝18x 2－8x ＋9.法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(4)法一：y ′＝[(x －1)2]′x －(x －1)2·x ′x 2＝(x 2－2x ＋1)′x －(x －1)2x 2＝(2x －2)x －(x －1)2x 2＝1－1x2.法二：∵y ＝x 2－2x ＋1x ＝x －2＋1x ，∴y ′＝1－1x2.(5)函数y ＝1(1＋3x )4＝(1＋3x )－4可以看作函数y ＝t －4和t ＝1＋3x 的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x ′＝y t ′·t x ′＝(t －4)′·(1＋3x )′＝(－4t －5)·3＝－12(1＋3x )－5.(6)函数y ＝e－x可以看作函数y ＝e u 和u ＝－x 的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－x )′＝－e u ＝－e －x ，所以y ′＝(x e －x )′＝x ′e －x ＋x (e －x )′＝e －x ＋x (－e －x )＝(1－x )e －x .“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7，∴h ′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降．如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ，则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ，化简得h ＝1－0.01πt ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切，显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝2. 答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B4．若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________. 解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0，解得a ＝e2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)．切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27，解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33. 答案：C2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ，故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1，所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C 4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x，把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.答案：－46．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：18．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8；(2)y ＝2x sin x；(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x sin x ′＝(2x )′·sin x －2x·(sin x )′(sin x )2＝2x ln 2·sin x －2x ·cos xsin 2x . (3)y ′＝1＋x 2＋x [(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.1导数概念含答案

4．1导数概念[读教材·填要点]1．物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝f(t＋d)－f(t)d在d趋于0时的极限．2．函数y＝f(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数y＝f(x)的曲线上任一点P(u，f(u))处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u))，Q(u＋d，f(u＋d))两点割线P Q的斜率k(u，d)＝f(u＋d)－f(u)d在d趋于0时的极限．3．导数的概念(1)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数：设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值f(x0＋d)－f(x0)d在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)，简述为：f(x0＋d)－f(x0)d→f′(x0)(d→0)．(2)导函数：当x0为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数，若f′(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)，类似地，可以定义三阶导数f(x)等等．[小问题·大思维]1．若函数f(x)在[x1，x2]内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？提示：不能说明．理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的差商为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)，f ′(x 2)和f ′(x 3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A ，B 处的切线斜率大于零且k A >k B ，在C 处的切线斜率小于零，所以f ′(x 1)>f ′(x 2)>f ′(x 3)． 3．f ′(x 0)与f ′(x )的区别是什么？提示：f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，d 无关；f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与d 无关．求函数在某一点处的导数求函数f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[自主解答] 法一：f (3＋d )－f (3)＝2(3＋d )2＋4(3＋d )－(2×32＋4×3) ＝12d ＋2d 2＋4d ＝2d 2＋16d ，∴f (3＋d )－f (3)d ＝2d 2＋16d d ＝2d ＋16. ∴d →0时，f ′(3)＝16.法二：2(x ＋d )2＋4(x ＋d )－(2x 2＋4x )d ＝4x ·d ＋2d 2＋4d d＝4x ＋2d ＋4→4x ＋4(d →0)，即f ′(x )＝4x ＋4， ∴f ′(3)＝4×3＋4＝16.在本例中，若函数在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．解：根据导数的定义，f (x ＋d )－f (x )d ＝2(x ＋d )2＋4(x ＋d )－(2x 2＋4x )d＝4xd ＋2d 2＋4dd＝4x ＋2d ＋4→4x ＋4(d →0)， ∴f ′(x )＝4x ＋4. 令f ′(x 0)＝4x 0＋4＝8，解得x 0＝1.根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的差分f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求差商f (x 0＋d )－f (x 0)d ； (3)取极限，d →0得导数f ′(x 0)．1．求函数f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：f (1＋d )－f (1)＝(1＋d )－11＋d －⎝⎛⎭⎫1－11＝d ＋d 1＋d，f (1＋d )－f (1)d ＝d ＋d1＋d d ＝1＋11＋d ， ∴d →0时，f ′(1)＝1＋1＝2.求瞬时速度一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数，且y ＝f (t )＝3t .求函数y＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．[自主解答] 根据导数的定义， f (2＋d )－f (2)d ＝3(2＋d )－3×2d ＝3， ∴f ′(2)＝3.f ′(2)的意义是：水流在2 s 时的瞬时流量为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s ＝s (t )；(2)求时间改变量d ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋d )－s (t 0)； (3)求平均速度Δsd ；(4)求瞬时速度，v ＝li m d →0 Δsd .2．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m.)．解：设这辆车在t ＝2附近的时间步长为d ，则位移的差分[2(2＋d )2＋3]－(2×22＋3)＝8d ＋2d 2，差商＝8＋2d →f ′(2)＝8(d →0)．所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．[自主解答] 设P 点坐标为(x 0，y 0)， (x ＋d )2－x 2d ＝2x ·d ＋d 2d ＝2x ＋d →y ′＝2x (d →0)， ∴切线的斜率为k ＝2x 0.又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上， ∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)． ∴切线方程为y －4＝4(x －2)．即4x －y －4＝0.若将本例中的“平行”改为“垂直”，其它条件不变，如何求解？解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，(x ＋d )2－x 2d＝2x ·d ＋d 2d＝2x ＋d →2x (d →0)，∴y ′＝2x ，故切线斜率为k ＝2x 0. 又∵切线与直线4x －y ＋2＝0垂直， ∴2x 0＝－14，即x 0＝－18.∴y 0＝x 20＝164. ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－18，164. 切线方程为y －164＝－14⎝⎛⎭⎫x ＋18，即16x ＋64y ＋1＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．3．已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．∵f (2＋d )－f (2)＝13(2＋d )3＋43－13×23－43＝4d ＋2d 2＋13d 3，∴f (2＋d )－f (2)d ＝4d ＋2d 2＋13d 3d ＝4＋2d ＋13d 2，当d 趋于0时，f (2＋d )－f (2)d 趋于4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线的斜率为k ＝4，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)2(x ＋4)＝0. 解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).设P 为曲线C ：f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，求点P 横坐标的取值范围． [巧思] 曲线C 在点P 处的切线的倾斜角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，即切线的斜率k ∈[0,1]，故曲线C 在P 点处的导数的取值范围为[0,1]．[妙解] 设点P (x 0，y 0)，则(x 0＋d )2＋2(x 0＋d )＋3－x 20－2x 0－3d＝2x 0＋d ＋2 →2x 0＋2(d →0)． ∴f ′(x 0)＝2x 0＋2. ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4， ∴0≤tan θ≤1. 即0≤2x 0＋2≤1.解得－1≤x 0≤－12.∴点P 横坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－12.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋d C ．2D ．1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为f ′(1)，则(1＋d )2－1d ＝2＋d →2(d →0)，∴f ′(1)＝2.答案：C2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是( )A ．7 米/秒B ．6 米/秒C ．5 米/秒D ．8 米/秒解析：∵[1－(3＋d )＋(3＋d )2]－[1－3＋32]d ＝5＋d →5(d →0)，∴s ′(3)＝5. 答案：C3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以选A.答案：A4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax ＋4，∴f (1＋d )－f (1)d →f ′(1)＝a (d →0)．又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2. 答案：25.函数f (x )的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，错误!的大小关系为______．解析：设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为B Q ，如图所示．则f (3)－f (1)3－1＝k AB ，f ′(3)＝k B Q ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线B Q 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k B Q <k AB <k AT ，∴0<f ′(3)<f (3)－f (1)2<f ′(1)．答案：0<f ′(3)<f (3)－f (1)2<f ′(1)6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝s (d )－s (0)d＝3d －d 2－0d ＝3－d →3(d →0)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝s (2＋d )－s (2)d＝3(2＋d )－(2＋d )2－(3×2－4)d＝－d 2－dd ＝－d －1→－1(d →0)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.一、选择题1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定解析：由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.答案：B2．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故A 、B 错误；f ′(x 0)不存在，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线也可能存在，此时切线方程为 x ＝x 0，故C 错误．答案：D3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8D ．2解析：曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数． 2(x ＋d )2－2x 2d ＝4x ·d ＋2d 2d →4x (d →0)．∴f ′(x )＝4x .则f ′(2)＝8. 答案：C4．已知曲线C ：y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(2,8) C ．(－1，－1)或(1,1) D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 解析：设P (x 0，y 0)，则(x 0＋d )3－x 30d→3x 20(d →0)，f ′(x 0)＝3x 20.令3x 20＝3，解得x 0＝1或x 0＝－1. ∴P (1,1)或(－1，－1)．答案：C 二、填空题5．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．解析：差商＝3(3＋d )2－3×32d ＝18＋3d →18(d →0)． s ′(3)＝18. 答案：186．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________. 解析：差分＝7(t 0＋d )2－13(t 0＋d )＋8－7t 20＋13t 0－8 ＝14t 0·d －13d ＋7d 2.∴差商＝14t 0－13＋7d →14t 0－13(d →0)． ∴s ′(t 0)＝14t 0－13＝1. ∴t 0＝1. 答案：17．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3. 答案：38．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．解析：f (－2＋d )－f (－2)d ＝2－2＋d ＋1d＝1－2＋d→－12(d →0)．∴f ′(－2)＝－12.故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.答案：x＋2y＋4＝0三、解答题9．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋d的平均速度，并求当d＝1，d＝0.1与d＝0.01时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．解：(1)差分＝s(2＋d)－s(2)＝3(2＋d)2＋2(2＋d)＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14d＋3d2，v＝差商＝14＋3d，当d＝1时，v＝17；当d＝0.1时，v＝14.3；当d＝0.01时，v＝14.03.(2)由(1)可知，14＋3d→14(d→0)，∴s′(2)＝14.∴当t＝2时的瞬时速度为14.10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解：设切点的坐标为(x0，y0)，则差分＝2(x0＋d)2＋1－2x20－1＝4x0·d＋2d2.∴差商＝4x0＋2d.当d无限趋近于零时，差商无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14.∴该切点为⎝⎛⎭⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4. 得x 0＝1.∴该切点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8. 即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴该切点为(2,9)．。

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