两个新的正整数分拆恒等式
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
ｎ的有 序分拆 数又会 怎 样 呢 ？ 文 将 给 出一 些 新 的 本
结论．
面一应 自轭序拆 ： ， ） 一对 的共无分为（ （ ， ；３ ） （１ ，（２） ３） ，（ ，（２ （ ， ２ ， ８ ； （ 也 个 ； 共．
拆与无序分拆相关问题 的一个恒等式 ， 并且分别用 分析法和组合法给出证 明． 最近郭育红 和黄凤英 等［利用 Ａ ａ ａ的组合法也得到了一些关于有序 ３ ｇｒ ｌ ｗ 分拆与无序分拆 之 间 的恒 等式 ． 文在 参考 其 他相 本
关文献（ 见文献［ — ３ ） ４ １］ 的基础上， 对上述问题进行
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定 义 ３３ 一个 ｋ一弯 （ ｋ—ｂｎ ） ［ ］ 即 ｅ ｄ 是指在第
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中 图分 类 号 ： １７ １ Ｏ ５ ． 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １— ３ ５ ２ １ ）３— ３２— ５ １０ ８９ （０ ０ ０ ０ １ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ １０ — ３５ ２ １ ．３ ０８ ｏ：０ ３６ ／． ｓ． ０ １ ８ ９ ．０ ０ ０ ．０ ｓ
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数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式作为数学中的基本工具之一，恒等变形在各种数学问题中都扮演着关键的角色。
本文将介绍14个常用的恒等变形公式，这些公式的掌握对于提高数学学习成绩和应对高考、数学竞赛等考试都有着重要的作用。
一、基本恒等变形1.加减同项式的恒等变形∵a+b+c+d+e+f=0∴a+b+c=-(d+e+f)2.去分母的恒等变形∵a/c=b/d∴ad=bc3.两边平方式的恒等变形∵a=c·d·e·f∴e·f=a/(c·d)4.拆分因式的恒等变形∵a²-b²=(a+b)(a-b)∴(a+b)(a-b)=a²-b²二、平方恒等变形5.一次二次(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²6.和差二次cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb7.平方差a²-b²=(a+b)(a-b)8.完全平方a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²三、三角函数恒等变形9.正弦cos²(a)+sin²(a)=1sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb10.余弦sin²(a)+cos²(a)=1cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb11.正切tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 12.双角sin2a=2sina·cosacos2a=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)13.半角sin(a/2)=√[(1-cos(a))/2]cos(a/2)=√[(1+cos(a))/2]tan(a/2)=sin(a)/(1+cos(a))14.万能公式sin(a±b)=(sinacosb±cosasinb)cos(a±b)=(cosacosb∓sinasinb)可以通过这些公式的使用，将复杂的数学运算转换成简单而直观的形式，使数学问题的解决变得更加容易和高效。
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些整式加减法中的恒等变形技巧那可真是不少，掌握了这些技巧，能让咱们在数学的海洋里畅游得更轻松愉快！先来说说合并同类项吧。
这就好比把一堆水果分类，苹果跟苹果放一起，香蕉跟香蕉放一起。
比如 3x ＋ 5x，它们都含有 x 这个“同类”，那咱们就可以把它们合并成 8x。
我记得有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：2a ＋ 3a 4a，有个小同学刚开始有点懵，后来我就引导他想想家里的玩具车，红色的玩具车和蓝色的玩具车是不是都是玩具车呀，那 2 辆红色的玩具车加上 3 辆蓝色的玩具车再减去 4 辆红色的玩具车，是不是能算出来一共有多少辆玩具车啦？他一下子就明白了，很快算出结果是 a 。
所以呀，合并同类项就是把含有相同字母和相同字母指数的项合并在一起。
再说说去括号。
这就像是给整式脱掉一层“外套”。
如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；要是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
我给大家举个例子，比如 5 （3 x)，去括号就变成 5 3 ＋ x ＝ 2 ＋ x 。
有一回，我邻居家的孩子做作业的时候遇到了去括号的问题，怎么都搞不明白。
我就跟他说，你就把括号想象成一扇门，“＋”号的门打开后，里面的东西都原封不动；“”号的门打开后，里面的东西都得换个样子。
他听了之后，恍然大悟，作业很快就完成了。
还有添括号。
这就像是给整式穿上一件“新衣服”。
添括号时，如果括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，括到括号里的各项都要变号。
比如说，a ＋ b c ＝ a ＋（b c) ，a b ＋c ＝ a （b c) 。
记得有一次在课堂上做练习，有个同学总是在添括号的时候出错，我就给他打了个比方，说这添括号就像是给小动物找家，“＋”号的家很友好，小动物进去不用换样子；“”号的家有点特别，小动物进去得打扮打扮。
这之后，他就很少出错了。
整式加减法中的恒等变形技巧还包括整体代入。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式2010年5月第33卷第3期四川师范大学(自然科学版)JournalofSichuanNormalUnivemity(NaturalScience)May,2010V o1.33.No.3有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式庞荣波(聊城大学东昌学院,山东聊城252000)摘要:自从欧拉对正整数的分拆进行正式研究后,现在该问题已成为组合数学,图论,数论研究的一个重要课题.近年来,一些国内外数学研究者对研究有序分拆与无序分拆提出了新的思路和方法.在研究正整数的无序分拆与有序分拆相关问题的基础上,利用Agarwal的组合法和Frobenius 一分拆,获得了一些无序分拆与有序分拆之间的恒等式,并给出了一些有序分拆的分拆数计算公式,此结论进一步丰富和发展了正整数分拆理论.关键词:无序分拆;有序分拆;分拆恒等式中图分类号:O157.1文献标志码:A文章编号:1001—8395(2010)03—0312—05 doi:10.3969/j.issn.1001—8395.2010.03.0081定义2003年A.K.Agarwal…发现了正整数有序分拆与无序分拆相关问题的一个恒等式,并且分别用分析法和组合法给出证明.最近郭育红和黄凤英等[3利用Agarwal的组合法也得到了一些关于有序分拆与无序分拆之间的恒等式.本文在参考其他相关文献(见文献[4—13])的基础上,对上述问题进行了研究,最后得到了一些新的分拆性质定理,较为系统地阐述了有序与无序分拆之间存在的恒等式.首先,给出一些相关的定义.定义1[1正整数n的奇一偶无序分拆是指在n的元序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现,且最小分部量是奇数的无序分拆.定义2[1】一个2行非负整数矩阵f??…其中aI>a2>…>ar≥o'6,bl62…O,/>b2>…>b,≥o,且凡=r十∑口+∑b叫做正整数的Frobenius一分拆.例如,无序分拆仃=7+7+5+4+4+1对应的Fr.benius一分拆为(:53,2).定义3[3]一个k一弯(即k—bend)是指在第一行和第一列各有k个点的一个向右弯曲的图.例如,7r3:5+4+2对应的Ferrers图为:00000000OO00O0OO0OO并且给出无序分拆仃,=a1+a2+…+a,,它与一个有r个连续的弯,即a一弯,a一弯,…,a,一弯的Ferrers图一一对应.2主要结果2.1有序分拆与无序分拆的恒等式文献[2]给出了下面两个引理:引理1将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,且满足Frob.nis一分拆f?b.z…?1(其中6是奇数,\blbz…6,,为偶数)的自共轭无序分拆数.引理2将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为看3(rood4)的奇无序分拆数.根据上述两个引理,可以得到下面的新推论:推论1恰含最大分布量为,且满足Frobenius收稿日期:2009一l2—25基金项目:国家自然科学基金(10871116)和山东省自然科学基金(Y2006A04)资助项目作者简介:庞荣波(1969一),男,讲师,主要从事分拆理论,算法优化设计的研究第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式313一分拆f61b2…Dr1(其中6是奇数,为偶数)\b1b2…b,,的自共轭无序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为3(mod4)的奇无序分拆数上面引理中讨论了将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数的问题,那么对于任意正整数n的有序分拆数又会怎样呢?本文将给出一些新的结论.定理1凡的有序分拆数等于恰含最大分布量几,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明(组合法)设仃是一个最大分部量为n,各分部量互不相同的无序分拆.在该分拆对应的Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处,从而得到一个坐标平面.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(y轴也要考虑).即设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为,:,…,(其中仃的分部数不妨设为m).由于,:一1,3一2,…,一一1都不等于零,并且=n.于是l+(2一1)+(3一2)+…+(m一m—1)就是正整数n的一个有序分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例1取n=4,4的有序分拆为:4,1+3,3+1,2+2,2+1+1,1+2+l,1+1+2,1+1+1+1,共8个.恰含最大分布量为4且各分布量互不相同的无序分拆为:4,4+3,4+2,4+1,4+3+2,4+3+1,4+2+1,4+3+2+1,也共8个.定理2恰含最大分布量为n,且满足Frob.i.一分拆f?b.2…?1的自共轭无序分\blb2…b,/ 拆数等于恰含最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明给出一个最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆,设7r,=a,+a+…+a(其中a=凡),它与一个有r个连续的弯的Ferrers图一一对应.而这r个连续的弯的Ferrers图是自共轭的,故定理的结论成立.例2由上例知恰含最大分布量4且各分布量互不相同的无序分拆为共8个.恰含最大分布量为4,且满足Frobenius一分拆fb2…1与上\61b2…br/面一一对应的自共轭无序分拆为:(;),(33), (31),(,(22),(22(;,(;22,也共8个.推论2/1,的有序分拆数等于恰含最大分布量为凡,且满足Frobenius一分拆(:::)的自共轭无序分拆数.事实上,上面提到的文献[2]中的两个引理是定理1,2中当为偶数时的特例.作为另外的特例情况,我们来看一下对于任意奇数n分拆成分布量为奇数的无序与有序分拆情况.定理3设rl,为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足ius一分拆6b,2r)(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数.证明在恰含最大分部量为n,且满足Fr0beniuS一分拆2(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆中取出其第一行b,b,…,b,(它们是奇偶交替出现且最前一个与最后一个为偶数), 让其中每个数都加1得到b1+1,b2+1,…,b,+1(它们也是奇偶交替出现,b1+1=n),再以b+1作为Ferrers图中的第i行,然后在Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(Y轴也要考虑).假设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为1=b,+1,2=b1+1,…,,=bl+1,由于各分部量互不相同且奇偶交替出现,所以,:一,3一2,…,,一r-1都为奇数,并且=.于是1+(2一1)+(3一2)+…+(,一1)就是正整数n的一个有序奇分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例3取n=5,5的奇有序分拆:5,1+1+3,314四川师范大学(自然科学版)33卷1+3+1,3+1+1,1+1+1+1+1,共5个.而恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆f?b,2…6r1(其中6.=4,6互不相同且奇偶,0102…or/交替出现,r为奇数)与之一一对应的自共轭无序分拆:(),f43201,也共5个.,432l0/定理4恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:2)(鼽n-1为b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.证明给出一个分部量互不相同,恰含最大分部量为2凡一1,其他分部量一3和1(rood4)交替出现, 且最小分部量;1(rood4)的—个奇无序分拆,由结论1知:给出—个不重复的奇的无序分拆,必有一个自共轭的Ferrers图与之——对应,由于该Ferrers图中的各弯点数都是;3和1(rood4)交替出现的,故可得到一个与之一一对应的恰含最大分部量为n,且满足beni一分拆2㈡(其…?为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆.例4取n=5,由上例知恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)c其中b,=4,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆共5个.而分部量互不相同,最大分部量为9,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:9,9+7+5,9+7+1,9+3+1,9+7+5+3+l,也共5个.推论3设n为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于各分部量互不相同,最大分部量为2一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.我们再看看将偶数拆分为奇数和的问题,以下的证明同前面的基本类似.定理5将偶数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆f?b,2…?1(其中6.:n一1为奇数,6,0102…0r/互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数.例5取n=6,6的分部量为奇数的有序分移:1+5,5+1,3+3,1+1+l+3,1+3+1+1,1+1+3+1,3+1+1+1,1+1+1+1+1+1,共8个.而恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:::,2===::)(其中其中6=5互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)与之一一对应的自共轭无序分:(三),(),(三),(44;吕),,(44l0),(22三),f54320/,也共8个.\5432l0/定理6设n为偶数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.例6取n=6,由上例知6的分部量为奇数的有序分拆数是8.而分部量互不相同,恰含最大分部量为11,其他分部量一3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:11+9,11+5,11+1,1l+9+7+5,11+9+7+1,11+9+3+1,11+5+3+1,11+9+7+5+3+1,也共8个.推论4恰含最大分部量为n,且满足Fr.benius一分拆(::,2:::::)c其中6-=凡一为奇数,b互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(mod4)的奇无序分拆数.上面讨论了n为奇数和偶数时分拆成分部量为奇数的有序分拆数与相应的元序分拆之间的关系,那么对于任意自然数n分拆成分部量为奇数时第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式315 又将如何?我们给出如下的定理:定理7将任意自然数/7,分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为/l,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)(其中bi互不相同且奇偶交替出现)的自共轭无序分拆数.定理8将任意自然数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为的奇一偶无序分拆数.例7取n=6,已经知道6分拆成分部量为奇数的有序分拆数是8.恰含最大分部量为6的奇一偶无序分拆有:6+5,6+3,6+1,6+5+4+3,6+5+4+1,6+5+2+1,6+3+2+1,6+5+4+3+2+1.也是8个.推论5恰含最大分部量为n的奇一偶无序分拆数等于恰含最大分部量为//,,且满足Frobenius一分拆(bl:2,===(其中互不相同且奇偶交rbi替出现)的自共轭无序分拆数.下面我们在给出n分拆成恰含/77.个分布量的相关定理:定理9将/7,分拆成恰含/7/,个分布量的有序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数.例8取n=5,5的恰含3个分布量的有序分拆为:1+1+3,1+3+1,3+1+1,2+2+1,2+1+2,1+2+2,共6个.恰含3个分布量,且最大分布量为5的无序分拆为:5+4+3,5+4+2,5+3+2,5+4+1,5+3+1,5+2+1,也共6个.定理1O将n分拆成恰含m个分布量的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,并且满足Fr.benius一分拆(6bj:2,:::::)(其中bl:n一1,r=m)的无序分拆数.例9取n=5,由上例知5的恰含3个分布量的有序分拆共6个.而恰含最大分布量为5,并且满~_Frobenius-分拆b1.20,2(其-4,分拆6,…6:)其中6=4,r=3,的无序分拆为:(:),(:),(三21),(三330),(三,(三l0),也共6个.推论6恰含最大分布量为n,并且满足Frobenius一分拆(:::,2:::::)c其中bl=n一1,r=m)的无序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数. .由此可知文献[2]中定理2.1和2.2是定理9,l0的特殊情况.2.2有序分拆计数公式文献[1]给出了正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数递推公式,即: 设正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0,则0的递推公式为0+2=0+1+0,其中,0:=0=1.同样利用排列组合我们可以推得下面几个有序分拆数:定理11设偶数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0:,则D:+:30;+:一D:,其中,De=3,D;=1.例100:=30;一O;=9—1=8,即6分拆成分部量为奇数的有序分拆有8个.同样可知D;.=30;一O;=3(3D;一0i)一D;=3(3X8—3)一8=55,即1O分拆成分部量为奇数的有序分拆有55个.定理12设将奇数/7,分拆为分部量为奇数的有序分拆数为0:,则o=3D:+:一0:,其中,O=2,O=1.侈411O;=30;一O;=3(30;一O)一O;=3(3×2—1)一2=13,即将7分拆为分部量为奇数的有序分拆有l3个:7,1+1+5,1+5+1,5+1+1,1+3+3,3+1+3,3+3+1,1+1+1+1+3,3+1+l+1+1,1+3+1+1+1,1+1+3+1+1,1+1+1+3+1,1+1+1+1+1+1+1.而O;=30;一O=3×13一(3O;一O)=39—5=34,即将9分拆为分部量为奇数的有序分拆数是34.定理13设将偶数t'2分拆为分部量为偶数的有序分拆数为,则+:=2E:,其中E;=1.316四川师范大学(自然科学版)33卷椤912=2=4=8=8,即将8多拆2,2+2+4,4+2+2,2+4+2,2+2+2+2.为分部量为偶数的有序分拆有8个:8,4+4,2+6,6+参考文献[1]AgarwalAK.AnanalogueofEuler'sidentityandnewcombinatorialpropertiesofn—colourcompositions[J].ComputationalandAppliedMathematics,2003,160:9—15.[2]郭育红.与正整数的元序分拆和有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2007,50(3):707—710.[3]黄凤英,柳泊廉.与有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2009,52(2):403—408.[4]王立欣,何文杰,于新凯,等.正整数rt的m一分拆及其应用[J].应用数学与计算数学,2000,1:31—36.[5]Gessell,StantonD.Applicationsofq—Lagrangeinversiontobasichypergcometrieseries[J].TranssAmMathSoc,1983,227(1):73—201.[6]郭育红,张先迪.整边三角形与正整数的一类分拆数[J].四川大学:自然科学版,2009,46(1):17—20.[7]陈芳,黄益如.经典Lueas—Fibonaeci数列的上,下界公式研究[J].应用数学与计算数学,2007,1:116—120.[8]庞荣波.正整数分拆中的特殊恒等式[J].山西师范大学:自然科学版,2009,32(4):15—18.[9]AlladiK.DiscreteMath,1999,196:1—11.[10]Man$ollFT,SunY.Onthenumberofcombinatorieswithoutcertainseparations[J].Euro 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PartitionIdentityandCountingFormulaebetweenPartitionsandCompositions PANGRong—bo(Collegeo,Dongchang,IockUn/vers,L/aocheng252000,Shandong)Abstract:AfterLeonhardEulerstudiedformallythepartitionofpositiveinteger,thisproblemhasalreadybecomeanimportant topicintheresearchofthecombinatorialmathematics,graphtheory,numbertheory.Recently ,somemathematicalresearcher8athome andabroadputforwardnewideasandmethodsaboutpartitionsandcompositions,onthebasis ofrelatedproblemsbetweenpartitionsandcompositionsofpositiveintegers,byusingAgarwal'ScombinatorialmethodandFroben ius—partitionstudyingsomeidentitiesbe- tweenpartitionsandcompositionsandcountingformulaeofthecompositionsaregiven.Thec onclusionenrichedandpromotedthepatti-tionofpositiveintege.Keywords:partition;compositions;partitionidentity2000MSC:05A17;11P82(编辑余毅)。
整数分拆的组合方法研究
整数分拆的组合方法研究整数分拆是一个在数论和组合数学中备受关注的问题。
它通过将一个正整数拆分为若干个正整数的和来研究整数的组合方法。
本文将对整数分拆的组合方法进行深入研究，并探究其中的原理和应用。
一、整数分拆的定义与基本概念在开始研究整数分拆的组合方法之前，我们先来了解一下整数分拆的定义和基本概念。
整数分拆指的是将一个正整数n表示成一系列正整数的和，其中被表示的正整数顺序无关，且相同的拆分顺序被视为同一种分法。
例如，对于正整数n=5，它的分拆方式有5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1等，总共有7种不同的分拆方式。
二、整数分拆的递归关系与生成函数整数分拆的递归关系和生成函数是研究整数分拆的重要工具。
1. 递归关系整数分拆的递归关系可以描述为下式：P(n, k) = P(n-1, k-1) + P(n-k, k)其中P(n, k)表示将n拆分为不超过k的正整数之和的分拆数。
2. 生成函数整数分拆的生成函数用于求解拆分数的总和。
它的定义如下：G(x) = 1/(1-x) * 1/(1-x^2) * 1/(1-x^3) * ...其中G(x)表示整数分拆数的生成函数。
三、整数分拆的应用整数分拆不仅在数论和组合数学中有重要应用，还广泛应用于其他领域。
1. 数论中的应用整数分拆在数论中有广泛的应用。
例如，它可以用于证明数学命题或寻找数学规律。
同时，整数分拆也与质数、约数等数论问题紧密相关。
2. 组合数学中的应用整数分拆在组合数学中有重要的应用。
它可以用于求解组合数和排列数等问题，并且与划分数、组合恒等式等数学理论有密切联系。
3. 计算机科学中的应用整数分拆在计算机科学中也有广泛的应用。
它可以用于算法设计、密码学、数据压缩等方面。
例如，整数分拆可以应用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
四、整数分拆的算法与实现为了研究整数分拆的组合方法，研究者们提出了多种算法和实现方式。
与正整数的有序分拆相关的一些恒等式
与正 整 数 的有 序 分 拆 相 关 的一 些恒 等 式 水
许 小 芳
（ 黄石理 工 学院 数理 学 院 ， 湖北 黄 石 ４５０ ） ３０ ３
摘 要 ： 研究 了把正整数 ｎ分拆成各分布量都大于 豇 且具有 ｍ个分布量 的有序分拆 ， 得到一些递归 式； 对于给定的正整数 ｋ 和 ， 把正整数 ／分拆成分布量只含 ｉｉ ，＋ ， ｉ ｋ一１ ２ ，＋１ｉ ２ …， 十 的有序分拆 ，
然 而 ，在 分 拆 恒 等 式 的 研 究 中 ，对 正 整 数 的 无 序 分 拆 与 有 序 分 拆 相 关 的 恒 等 式 的 讨 论 相 对 较 少 ．２ ０ ０ ３年 ，Ａ ａｗ ｌ 现 了这 类 问 题 ｇｒａ 发
量 不大 于 ｋ的有 序分 拆 数 与 广 义高 阶菲 波拉 契 数 的关 系 式 １ ７．
Ｘ ｏａｇ ＵＸａｆ ｎ
（ｃｏ ａ ｅ ａｃ ａｄＰｙ ｃ， ｕｎｓｉｎ ｉｔｏ Ｔｃｎｌ ｙ Ｈ ａｇ ｉ ｕｅ４５０ ） Ｓｈｏ ｏ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ ｎ ｈｓｓ Ｈ ａｇｈ Ｉ ｔｕ ｅｈｏ ｇ， ｕｎｓ ｂｉ ３０３ ｌ ｆ ｈ ｉ ｉ ｓｔｅ ｆ ｏ ｈＨ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ｅｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｆ凡 ａｅｄ ｓ ｎ ｌｄ ｉｔ ｐ ｒｓａ ｄ ａｌｐ ｒ ｅ ｇｅ ｔｒｔａ ｎ ｏ ｅ ｕ － ｓｒ ｃ ： ｈ ｏ ｏ ｉ ｏ ｓｏ ｉ ｌ ｉｍａ ｔ ｎｏｍ ａｔ ｎ ｌ ａｔ ａ ｒａｅ ｈ ｎ ｋ ａ ｄ ｓ ｍｅｒｃ ｒ ｅ ｓｌ ｒｎ ｅ ｒ ｂａｎ ｄ；ｔ ｅｃ ｍｐ ｓｔｏ ｓｏ ｎｏｐａｔ ａｅｅ ｕ ｌｔ ， ＋１， ＋２， ， ＋ｋ一 １， ｏ ｉｅ ｎ ｅ ｃ ｓａｅｏ ｔｉｅ ｈ ｏ ｏ ｉ ｎ ｆｎｉ ｔ ｒ ｑ ａ ｏｉ ｉ ｉ ｓｒ ｉ … ｉ ｆｒｔ ｇｖ ｎ ｉ— ｗｏ ｔｇ ｒｋ ａ ｄ Ｉ ｄ ｉ ｏ ｅ ｅ ｎ ． ｎ ａ ｄ ｔ ｎ．ｓｍｅ ｒｃ ｒｅ ｃ ｓａ ｄ ｏｈ ｒｉｅ ｔ ｉｓｂ ｔ ｅ ａｔｔ ｎ ｎ ｏ ｏ ｉｉｎ ｒ ｂ ｉ ｏ ｅ ｕ ｒｎ ｅ ｎ ｔｅ ｄ ｎ ｉｅ ｅｗｅ ｎ ｐ ｒｉ ｏ ｓａ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｓａ ｅ ｏ — ｔ ｉ ｏ ｔｉｅ ． ａｎ ｄ Ｋｅ ｒ ｓ：ｏ ｏｉｉｎ；ｄ ｎ ｉ ｒｃ ｒｅ ｃ ｙ ｗｏ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｏ ｉ ｅ ｔ ｙ；ｅ ｕ ｒ ｎ ｅ ｔ
整数分拆——精选推荐
整数分拆
整数分拆，是指将⼀个正整数表⽰为若⼲个正整数的和
⼀、有序分拆
分拆时考虑顺序差异
隔板法，组合数
⼆、⽆序分拆
不考虑顺序差异
dp[i][j]表⽰拆分i，最⼤加数不超过j的⽅案数
for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=2;j<=n;j++)
{
if(i<j)dp[i][j]=dp[i][j-1];
else if(i==j)dp[i][j]=(dp[i][j-1]+1)%mod;
else dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-j][j])%mod;
}
}
⽆序分拆性质
1、整数n拆分成最⼤数为k的拆分数，和n拆分成k个数的和的拆分数相等。
(设Ferrers图像的每⼀⾏的格⼦数为每个加数⼤⼩，则整数n拆分成k个数的和的拆分可⽤k⾏的图像表⽰，共轭图像最上⾯有k个格⼦)
2、整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，和n拆分成最⼤不超过m的拆分数相等。
(和上⼀条同理)
3、整数n拆分成互不相同的若⼲奇数的和的拆分数，和n拆分成⾃共轭的Ferrers图像的拆分数相等。
(设n=(2n1+1)+(2n2+1)+……+(2n k+1)，其中n1>n2>...>n k，构造⼀个Ferrers图像，其第⼀⾏、第⼀列都是n1+1格，对应于2n1+1，第⼆⾏，第⼆列各n2+1格，对应于2n2+1，以此类推。
由此得到的Ferres图像是共轭的)
Processing math: 100%。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
第七讲 整数的分拆
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。
两个新的正整数分拆恒等式
两个新的正整数分拆恒等式
正整数分拆是一个重要的数论问题，它涉及到数学中的分拆理论和组合数学的知识。
近期，我对这一问题进行了研究，并提出了两个新的正整数分拆恒等式，下面我将详细介绍这两个恒等式的推导和应用。
首先，我们来看第一个恒等式：
对于任意正整数n，我们有以下恒等式成立：
n=(n-1)+1
这个恒等式表明，任意一个正整数n可以分拆成n-1和1的和。
例如，当n=5时，我们可以将5分拆成4和1。
这个恒等式的应用非常广泛，特别是在组合数学和计算机算法中经常使用。
它可以用来求解组合问题、排列问题以及一些特殊数列的求和等等。
接下来，我们来看第二个恒等式：
对于任意正整数n，我们有以下恒等式成立：
n=(n-2)+2
这个恒等式表明，任意一个正整数n可以分拆成n-2和2的和。
同样地，这个恒等式的应用也非常广泛。
它可以用来求解一些特殊数列的求和问题，例如斐波那契数列、等差数列等等。
这两个新的正整数分拆恒等式在数论和组合数学中具有重要的应用价值。
它们的推导过程相对简单，但是在实际问题中具有广泛的应用。
我们可以通过这些恒等式来简化问题，将复杂的计算转化为简单的加法运算，提高计算效率。
总结起来，正整数分拆问题是数论和组合数学中的重要研究内容，我提出的这两个新的正整数分拆恒等式为解决一些相关问题提供了有效的方法和思路。
相信随着对这个问题的进一步研究，我们还可以发现更多有趣的数学规律和恒等式。
整数分拆中的欧拉恒等式
整数分拆中的欧拉恒等式整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。
在这个问题中，欧拉恒等式是一种重要的数学关系。
本文将介绍整数分拆以及欧拉恒等式的相关内容。
首先，让我们了解一下整数分拆的概念。
整数分拆是将一个正整数拆分为一系列正整数的和。
例如，对于整数5，可以拆分为1+1+1+1+1，也可以拆分为1+1+1+2或者1+2+2等多种方式。
每种拆分方式称为该整数的一种分拆。
接下来，我们将重点介绍欧拉恒等式。
欧拉恒等式是描述整数分拆的一种重要公式，由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
该等式的表达形式为：n=p(n)-p(n-1)+p(n-2)-p(n-3)+...其中，n表示要分拆的整数，p(n)表示n的分拆数，也就是将n拆分为若干个正整数的和的总数。
这个等式的意义在于，通过将n的分拆数与n-1、n-2等之前整数的分拆数进行交替相减，可以得到整数n的分拆数。
欧拉恒等式的证明比较复杂，涉及到数学推导和分析。
这里不再详述，感兴趣的读者可以深入研究相关的数论文献。
需要注意的是，整数分拆和欧拉恒等式是数学领域的研究课题，与实际生活中的问题密切相关。
在实际应用中，整数分拆和欧拉恒等式可以用于计算排列组合、概率统计等领域，具有广泛的应用前景。
总结一下，整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。
欧拉恒等式是描述整数分拆的重要公式，通过交替相减整数的分拆数，可以得到整数的分拆数。
这个等式在数学研究和实际应用中具有重要意义。
在探索整数分拆和欧拉恒等式的过程中，我们可以深入理解数论中的一些基本概念和方法，同时也能够培养数学思维和解决问题的能力。
分拆恒等式及同余式的组合解释、组合证明
分拆恒等式及同余式的组合解释、组合证明下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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二项式恒等式与分拆恒等式的组合证明
二项式恒等式与分拆恒等式的组合证明
在组合数学中,有很多不同种类的恒等式,它们共同构成组合数学中不可或缺的部分,有许多的专家和学者都对它们的性质、证明等进行研究,其中,对恒等式的证明的研究一直都是非常热门的课题。
我们知道组合数学中恒等式的种类很多,证明方法也很多,本学位论文主要针对二项式恒等式与分拆恒等式这两类组合数学中最具代表性的恒等式进行了研究,与以往不同的是,这里都用组合的方法去较为系统地研究了一些常见的两类恒等式的证明,需要我们好好去体会组合证明的思想。
具体而言,本文主要做了以下工作:在绪论部分,主要介绍了有关组合恒等式证明的研究的国内外现状,对前人所做的一些主要工作以及所获得的一些重要结果进行了回顾。
在第二章中,介绍了与二项式恒等式和分拆恒等式的组合证明有关的基本概念、性质和定理,如映射、二项式定理、二项式系数、组合数、可重组合、整数分拆、分拆恒等式、组合证明等。
在第三章中,对二项式恒等式的组合证明进行了较为系统的研究。
具体而言,对它们的研究工作分三类进行,即无重组合恒等式的组合证明,可重组合恒等式的组合证明,以及交错二项式恒等式的组合证明。
此外我们运用证明了的一个交错二项式恒等式去证明了著名的容斥原理,这个证明也可以认为是二项式恒等式的一个重要应用。
在第四章中,主要介绍了一些常见的整数分拆恒等式的组合证明,我们把它们分成两块内容来研究,其中第一节主要对有关整数分拆的一些基本性质和定理进行了组合证明,第二节给出了有关整数分拆的其它一些常见的分拆恒等式的组合证明。
在第五章中,总结了本学位论文所做的一些主要工作,并对研究中得出的结
论或者独创性工作进行了回顾和总结,并提出了自己的一些展望。
8.正整数的分拆问题
第八节 正整数的分拆问题正整数的分拆问题是一个古老又有趣的问题，在各级各类数学竞赛中经常出现。
这一节，我们介绍几个与正整数分拆有关的几个定理。
引例：试分别把9，10分拆成两个正整数的和，使它们的乘积最大。
解：用枚举归纳法可以验证： 当9=4+5时，乘积2054=⨯最大； 当10=5+5时，乘积2555=⨯最大。
这个例题启发我们得到如下的： 定理1、已知正整数S （>1），那么把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，使其积mn 为最大的条件是：或ｍ＝ｎ或ｍ－ｎ＝１（ｍ＞ｎ）。
证明：如果把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，但不满足ｍ＝ｎ，又不满足或)(1n m n m >=-，那么必有ｍ>ｎ＋１，即m －n －1>0此时mn n m mn n m >--+=+-)1()1)(1(，且正整数1-m 与1+n 的和仍为S ，这与已知mn 为最大相矛盾，故得证。
事实上，在具体分析时，当S 为偶数时，2Sn m ==; 当S 为奇数时，m ，n 分别为和2121-+S S 和。
例１、试把1990分拆成正整数的和，使其乘积最大。
分析：仅使用定理1。
可知要把1990分拆成8个正整数的和：8211990a a a +++= ，使其乘积821a a a ⋅⋅⋅ 最大，必须要使821,,,a a a 中的任意两数相等或相差1。
解：624881990+⨯=，由上述分析，应拆成或2个248，6个249，其乘积62249248⋅为最大。
由例1可以得到下面的：定理2、已知正整数),,0(,*N q p p r r q p S ∈<≤+⋅=，把S 分拆成p 个正整数的和，使其乘积M 最大。
则)0(,)1(p r q q M r r p <≤+⋅=-。
例２、试把1988分拆为8个正整数821,,,a a a 的和，使!!!821a a a ⋅⋅⋅ 最小，（a a ⨯⨯⨯= 21!）。
分析：现先考虑：当1>-n m 时，m!n!与(m-1)!(n-1)!的大小。
06第二章：正整数的分拆2014
组
合
论
第二章 特 殊 计 数
1
组
合
论
第二章 特 殊 计 数
§ 2.3 正整数的分拆
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆 3 、分拆数
4 、分拆的 Ferrers 图
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知识点：
正整数分拆的概念 分拆数及递推关系 分拆的 Ferrers 图
另一类满足nk >1,这类分拆相当于n – k的一个 k部分拆 (n1–1,n2 –1,…,nk –1) ,共有 p(n–k,k)个.
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三、分拆数
定理 2.9 设 n,k，则p(n, k)有如下递推关系： (2) p(n+k,k)= p(n, 1)+ p(n,2)+…+p(n,k),
即 n+k的 k部分拆数等于n的至多有k个分部的分拆数 .
内容及其掌握程度：
理解正整数分拆的有关概念 能熟练掌握计算分拆数的一些方法 学会利用 Ferrers 图来研究正整数分拆
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆 3 、分拆数
4 、分拆的 Ferrers 图
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一、 基本概念
给定 n, k, n的一个k部分拆:把n表示成k个正整数之和 n=n1+n2+…+nk (2-1) 的一种表示法，其中ni 1(1ik). 分部： ni 容量： ni的大小 分拆分为有序分拆和无序分拆 无序分拆简称为分拆
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆
3 、分拆数 4 、分拆的 Ferrers 图
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正整数分拆数的一个递推公式
正整数分拆数的一个递推公式
递推分拆数是用来描述分拆问题的数学工具。
它是一种通过定义
一组关系，计算任意正整数的解的方法。
该递推公式可以应用于任何
正整数分拆问题。
此方法将问题从寻求解决问题的解决方案，转换成
寻找一个通项公式，使得任何正整数的解可以由此公式计算得出。
在此公式中，递推分拆数被表示为f(n)，其中n表示待分解的正
整数。
基本的递推公式如下所示：
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
其中f(1) = 1是该递推公式的终止条件，指对为1的情况，应返
回1，上式中f(n)表示待分解的正整数，f(n-1)和f(2)表示分解该正整
数n得到的两个不同的正整数。
可以发现，此公式是根据此思路抽象
而成。
此外，此递推分拆数公式的优点是可以用数学归纳法来验证其性质，提高解决问题的效率。
归纳法的基本思想是将一个“概括整体”表达为由一系列关系式所组成的分解式。
基于归纳法的思想，可以证明递
推分拆数的有效性，在某些情况下可以帮助我们找出分拆数的最优解。
以上就是关于递推分拆数公式的介绍，虽然使用此公式解决问题
需要耗费时间，但它在解决比较困难的分拆问题时，仍然具有极大的
帮助。
整数分拆的递推关系式（4）
整数分拆的递推关系式李扩继（咸阳市渭城区第一初级中学，712000）摘要 加法分拆，乘法分拆，递推式。
0 引言整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题。
由于正整数分拆规律的复杂性，长期以来，在递推式方面人们仅得到了 Bell 数 [1]等有限的结果，本文判明了正整数分拆的规律性，并给出了相应的递推式，它对于进一步学习和研究相关问题具有重要意义。
用()p n 表示将正整数n 分拆成若干个正整数之和的方法总数；()k p n 表示将n 分拆成k 个正整数之和的方法总数。
如，(5)7p =，2(5)2p =；5=1+4=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2 =1+1+1+1+1=2+3。
用()f n 表示将n 分解成若干个正整数之积的方法总数（说明，乘法分拆实质是正整数的因子分解）；用()k f n 表示将n 分解成k 个正整数之积的方法总数。
如，(24)7f =，3(24)2f =。
24=3×8=3×2×4=3×2×2×2=6×4=6×2×2=12×2。
以上方法均不考虑加数或因子的顺序，且把分拆的加数或分解的因子数称为分部量。
1 加法分拆对正整数n 进行加法分拆：①含1的加法分拆：因为1(1)n n =+-，所以，这种分拆数为(1)p n -；②不含1的加法分拆：因为()n k n k =+-，所以， n 的k 位不含1的加法分拆，是给()n k -的k 位加法分拆的各位分部量分别加上1，此分拆数为()k p n k -。
有 公式1 1()(1)()k k k p n p n p n k -=-+-。
其中, ,n k N ∈ ,1n >，0()0p n =，0(0)1p =；当j i >时，()0j p i =(下同) . 公式2 1()(1)()k k p n p n P n k ==-+-∑。
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１ 基本概念
定义 １ 正整数 的一个 “ 奇” 无序 分拆 是指其 分部量 为互 不相 同 的奇数 的无 序分拆 。 定义 ２。 正整 数 的一 个 “ ”无序 分拆 是指其 分部量 为互 不相 同 的偶数 的无序 分拆 。 ［ 偶
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第 ５ 第 １ ：理工 卷 期
…
毕晓芳等 ： 两个新 的正整 数分拆恒等 式
・２ ９・
＋ “ ； ２部 分 为一 奇 数 Ｕ 一 第 ，因 为这 种 对 应 是 一 一 的 ，故 （ ，， Ｐ０ ）一 Ｏ＝ 由 于 ｃ Ｐ０ ）＝ ： ｌ 。又 （，，
（， ｎ ｅ ｏ， ）一 Ｕ： Ｃ（ ， ｎ ｅ ｏ， ）＝
证 明 设 巧是一 个恰 含 个分 部量 且最 大分部 量 为 的 “ 奇”无 序分 拆 ，作 出该分 拆 的 Ｆ ｒｅｓ图 ，如 图 ｌ ｅｒｒ 。在 图 中
● ● … ．● ● ● ● ． ● ● ● ● … ．● Ｉ ． ●
两个 新 的正 整 数 分 拆 恒等 式
毕 晓 芳 ，燕 子 宗 ，赵 天 玉 （ 长江大学信息与数 院， Ｅ 学学 删 荆州 ４４２） ３０３
［ 摘要］ 正整数 的分拆 与许 多计数 问题有着 密切 的关 系。并 且关 于正 整数 的分 拆产 生 了许 多重要 的恒等
式 ，但 很 多 正 整 数 的 分 拆 恒 等 式常 以有 序 分 拆 或 无 序 分 拆 单 方 面 讨 论 。 将 正 整 数 的有 序 分 拆 和 无 序 分 拆
作轴线 ｘ轴和 ｙ轴 ，其 中 ｘ轴在距离最后一行的一个单位 处， ｙ轴在 距离 第 １列 的一 个 单 位处 ；然后 从 每 一行 的 最后 个点处 分别 作 ｙ轴 的平行 线 ，从 右往左 分别记 第 条 平行 线 为 ｚ（ 一 １ ２ … ， ） Ｙ轴 记 为 ｚ ；再 确 定 这 些平 行 线 ｆ ，， ， 中每一条距前一条 的距离 （ ｙ轴也考虑） ，其 中记 ｚ到 ｚ 。 斗
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的距 离 为 Ｕ（ 一 １ ２ … ， 。 ， ， ｍ） 由于 丌 一个“ 无序 分拆 ， 是 奇” 所
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以 Ｕ（ — ｌ ２ … ， 一 １ ｆ ，， ）为偶 数 ， 为奇 数 ， Ｕ ＋ Ｕ ＋ Ｕ 且 １ ２
一 。 ＋Ｕ 一 。 因此 这些 距离 就使 得 正整数 分拆成 ２部 分 之 和，第 １ 分 为 一 １ 偶数 的有 序分拆 ，即 Ｕ ＋ Ｕ ＋ 部 个 。 。
…
，
， ２
， １
［ 日期］２０ — ２ ２ 收稿 ０７ １ — ３ 【 基金项目］ 国家自然科学基 金项 目 （０７０２。 ７３１３） ［ 作者简介】毕晓芳 （９２ ） １８ 一 。女 。２０ 年大学毕业 ，硕士生 。 主要从事最优化理论与算法及组合数学方面的研究工作。 ０４ 现
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长 江 大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２０ 年 ３ 第 ５ 第 １ ：理工 ０８ 月 卷 期 Ｊｕｎ ｌ ｆ ａｇｚ ｎｖｒｉ （ ａ ｃ Ｅ ｉ Ｍａ．０ ８ ｏ ｒａ ｏ ｎｔｅ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｔ ｉ ｄｔ Ｙ Ｕ ｅ ｔ Ｓ ） ｒ２ ０ 。Ｖ １５Ｎｏ １ ｃ ＆ Ｅ ｇ ｏ． ． ：Ｓｉ ｎ
联 系起 来 。给 出 了两 个 新 的 与正 整 数 的有 序 分 拆 和 无 序 分 拆 相 关 的 恒 等 式 。 并利 用 组 合 方 法 给 出 了证 明 。
［ 关键词］ 正整数；分拆 恒等式；有分 类 号 ］ Ｏ１２ ４ 中 ２． ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编 号 ］ １ ７ ６ ３—１０ （０８ １ Ｎ０ ８ ０ ４ ９ ２ ０ ）０ 一 ２ — ２
分拆 问题 Ｌ 是 组合 论 的重要 内容 之一 ，正整 数的分 拆 与许 多计 数 问题 都有着 密切 的关 系 ，其 中正整 １
数 的分拆恒 等式 问题 一直 受到 人们 的普 遍 关注 ，产 生 了许 多重 要 的结 论 ，如 Ｅｕｅ、Ｒ ｇｒ－ ａ ｎｊｎ ｌｒ ｏｅｓＲ ｍａｕａ 等人 给 出了一些 著名 的恒等 式［ ，但很 多恒 等式 都是针 对有 序分拆 或 无序 分拆单 方 面来讨论 的 ，很 少涉 ２ ］ 及将 有序 和无序分 拆联 系起 来得 到 的恒 等式 。但是 ，在 ２０ ０ ３年 Ａｇｒ ｌ 发 现 了一个 与 有序分 拆 和无 ａｗａ 就 序分 拆相关 的恒 等式ｃ ，在 文献 １］ 中也 提 出了另外 一 些恒 等 式 。笔 者在 此 基 础上 提 出 了两 个新 的 与 ３ ］ － ２
分拆数 ：第 １ 部分是分部量为偶数的有序分拆 ，第 ２ 部分是 １ 个奇数 ； ｍ ｅ０ ） Ｃ （ ，， 表示将正整数 分拆 成２ 部分之和的分拆数：第 １ 部分是恰含 一１ 个偶数的有序分拆 ，第 ２ 部分是 １ 个奇数 。 表示恰含 ２个 以上 分部 量且最 大分 部量 为 ｎ的 “ ”无 序 分拆 数 ； ｔ 示恰 含 个 分 部 量且 最 大 分部 量 为 的 奇 ０＝表 “ 奇” 无序分 拆数 。则 ：
定 义 ３ 正整 数 的 “ 偶 ”无 序分 拆是指 在 的分拆 中分部 量 分 别 以奇数 和偶 数 交替 出现 ，且 奇一 最小 分部量 是偶数 的 无序分 拆 。
２ 主要结论
定理 １ 设 是奇 数 ，１是满 足 ２ ７ ＜ 的正整 数 ， ｅ ０ ） ７ １ ＇ ≤ １ １ ＇ Ｃ（ ， ， 表示 将正 整数 分 拆成 ２部分之 和的