p-Laplace方程Neumann边值问题的可解性

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一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):544-552一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破温兰,杨晗(西南交通大学数学学院,四川成都611756)摘要：本文研究带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题.首先利用Galerkin方法证明方程局部解存在性;然后结合势井方法得出初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后再通过构造合适的辅助泛函,证明当初始能量满足适当条件时解在有限时刻的爆破.关键词：抛物方程;对数非线性源项;整体解;爆破中图分类号：O175.26AMS(2010)主题分类：35B45;35K55文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0544-091.引言本文研究如下带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题|u t|r−2u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0,u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,(1.1)其中r>1,p>2,q>2,u0(x)∈W1,p(Ω),Ω是R n(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域.当方程(1.1)中r=2,p=2时,XU和SU[1]研究如下半线性伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u−∆u t=u q,x∈Ω,t>0,(1.2)利用势井方法得出方程整体解的存在性并得到解在有限时刻的爆破.近年来,含对数非线性源项的抛物方程已引起大量学者的研究.CHEN等[2]中研究了带对数非线性源项的伪抛物方程初边值问题:u t−∆u−∆u t=u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.3)因对数非线性u ln|u|不满足Payne和Sattinger[3]中提出的多项式增长条件,此时经典势井方法不完全适用.文[2]通过势井方法及对数索伯列夫不等式证明方程整体解的存在性,并用凸方法证明解在无穷时刻爆破.通过比较得出多项式非线性项对此类伪抛物方程解在有限时刻的爆破有更为重要的影响.随后,文[4-5]中将上述带对数非线性源项的方程拓展到p-Laplace情形. LE等[5]中研究了如下含对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|p−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.4)利用势井方法及对数索伯列夫不等式证明了当p>2时方程整体解的存在性,并用凸方法得出此时解在有限时刻的爆破.而CAO等[6]中利用Galerkin方法证明了当1<p<2时方程整体解∗收稿日期：2021-07-07基金项目：国家自然科学基金(11701477,11971394)作者简介：温兰,女,汉族,四川人,研究方向：偏微分方程.第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破545的存在性并得出此时解在无穷时刻的爆破.当p-Laplace项与对数非线性项的指数不同时,对数索伯列夫不等式不再完全适用.文[7-9]中主要研究下述带对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.5) HE等[7]用Galerkin方法证明当2<p<q<p(1+2n)时,方程局部弱解的存在唯一性,并结合势井方法证明了方程整体解的存在性,最后得出解的H1(Ω)范数在有限时刻的爆破.而DAI 等[8]对上述结果进行推广主要得出在不同的初始能量下弱解在有限时刻爆破的上界及下界.对于拟线性情形,Pucci和Serrin[10]中研究如下方程的初边值问题,A(t)|u t|m−2u t−∆u+f(x,u)=0,x∈Ω,t>0,(1.6)其中m>1,A∈C(J→R N×N),f∈C(Ω×R N→R N)且满足(f(x,u),u)≥0,得出方程强解的整体存在性和当t→∞时强解的渐近稳定性.当上述方程(1.6)中f(x,u)=−|u|p−2u时, PANG等[11]中用Galerkin方法证明了当p>2时初值在稳定集中时方程整体解的存在性,再通过构造辅助泛函得出当1<m<p,E(0)<0时解在有限时刻的爆破.基于上述结论,本文研究方程(1.1)初边值问题,主要考虑非线性项指数之间的竞争与∆u t项对方程解的存在性和爆破的影响.首先用Galerkin方法证明当非线性项指数满足适当条件时方程局部解的存在性;然后结合势井方法证明初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后通过构造辅助泛函证明解在有限时刻的爆破.本文结构安排如下:第二部分介绍一些符号和引理;第三部分给出局部解和整体解存在性;第四部分证明解在有限时刻爆破.2.准备工作本节给出证明过程中所需的符号、引理和定义.在本文中,我们将L p(Ω)的范数记为∥·∥p(1<p<∞),(·,·)为L2(Ω)中的内积,W1,p0(Ω)的范数记为∥·∥W1,p(Ω),W−1,p′(Ω)为W1,p(Ω)的对偶空间.记p∗={∞,n≤p,npn−p,n>p.(2.1)若2<p<q<p∗(2.2)成立,对于任意α满足0<α<{∞,n≤p,npn−p−q,n>p.(2.3)定义r(α):=(αB q+αα)1q+α−p,(2.4)其中,Bα为W1,p(Ω) →L q+α(Ω)的最佳嵌入常数.并定义如下泛函:J(t)=J(u(t)):=1p∥∇u∥p p−1q∫Ω|u|q ln|u|d x+1q2∥u∥qq.(2.5)I(u):=∥∇u∥pp −∫Ω|u|q ln|u|d x.(2.6)定义N:={u∈W1,p(Ω)\{0}:I(u)=0}.(2.7)d:=infu∈NJ(u).(2.8)546应用数学2022其中N 代表Nehari 流形,d 为势井深度.类似文[7]中引理1和引理2证明可知:集合N 非空,常数d 存在且大于0.由(2.5)和(2.6)可得J (u )=1q I (u )+q −p pq ∥∇u ∥p p +1q 2∥u ∥qq .(2.9)定义以下稳定集和非稳定集W :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )>0,J (u )<d }∪{0},(2.10)V :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )<0,J (u )<d }.(2.11)下面给出证明过程所需引理,详细证明过程可参考文[9].引理2.1[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p0(Ω)\{0}.则对于任意α满足(2.3),有:(i)如果0<∥∇u ∥p ≤r (α),则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p >r (α).引理2.2[9]假设(2.2)成立,定义r ∗:=sup r (α),r ∗:=sup σ(α),其中α满足(2.3),σ(α)=(ακq +α)1q +α−p |Ω|αq (q +α−p ),κ为u ∈W 1,p 0(Ω) →L q (Ω)的最佳嵌入常数.则不等式0<r ∗<r ∗<∞成立.引理2.3[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p(Ω)\{0},则有:(i)如果0<∥∇u ∥p <r ∗,则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p ≥r ∗.引理2.4[9]假设(2.2)成立,则有d ≥M :=q −p pq r p∗.(2.12)为得到对数非线性项估计,引入如下不等式.引理2.5[4]设µ>0,则有不等式(i)s p ln s ≤1eµs p +µ,s ≥1;(ii)|s p −1ln s |≤(e (p −1))−1,0<s <1.下面给出方程(1.1)弱解和解在有限时刻爆破的定义.定义2.1假设u 0∈W 1,p(Ω),T >0.如果u (x,0)=u 0(x ),函数u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)),有∫Ω|u t |r −2u t v d x +∫Ω∇u t ∇v d x +∫Ω|∇u |p −2∇u ∇v d x =∫Ω|u |q −2u ln |u |v d x (2.13)对于任意v ∈W 1,p0(Ω)∩L r (Ω)∩L q (Ω)，t ∈(0,T )成立,则称u 为方程(1.1)在Ω×(0,T )上的一个弱解.注2.1区间[0,T ]称为弱解的存在区间,记其存在时间T 的上确界为T max ,称T max 为解的生命跨度.定义2.2设u 为方程(1.1)的一个弱解.若u 的生命跨度T max <∞,且有lim t →T max∥u (t )∥W 1,p 0(Ω)=∞(2.14)成立,则称u 在有限时刻爆破.3.解的存在性这节将给出当非线性项指数满足适当条件时方程(1.1)局部解和整体解的存在性.定理3.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0∈W 1,p 0(Ω),则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在弱解u 满足u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证用Galerkin 方法证明,证明过程分为三步.步1逼近问题.设{w j }j =1,2,···为满足狄利克雷边界条件的Laplace 算子的特征函数,即{−∆w j =λw j ,x ∈Ω,w j =0,x ∈∂Ω,第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破547选取{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组基且在L2(Ω)中是标准正交的.构造方程(1.1)的近似解u m(t)=m∑j=1g jm(t)w j(x),m=1,2,···,满足下面的常微分方程{(|u mt|r−2u mt,w j)−(∆u mt,w j)−(∇(|∇u m|p−2∇u m),w j)=(|u m|q−2u m ln|u m|,w j),(u m(0),w j)=ξjm,(3.1)其中j=1,2,···,m,ξjm为给定的常数.当m→∞时满足u m(0)=m∑j=1ξjm w j(x)→u0,强收敛于W1,p(Ω).(3.2)由u0∈W1,p0(Ω),{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组正交基可知ξjm存在.由常微分方程相关理论可得:存在T>0且仅依赖于ξjm,j=1,2,···,m,使得g jm∈C′(0,T),g jm(0)=ξjm,因此存在u m∈C′((0,T);W01,p(Ω)).步2先验估计.将方程(3.1)两边同乘以g jm(t),对j从1到m求和可得(|u mt|r−2u mt,u m)+(∇u mt,∇u m)+(|∇u m|p−2∇u m,∇u m)=(|u m|q−2u m ln|u m|,u m),(3.3)即有∫Ω|u mt|r−2u mt u m d x+12dd t∥∇u m∥22+∥∇u m∥p p=∫Ω|u m|q ln|u m|d x,(3.4)再将上式对t积分可得S m(t)=S m(0)+∫t0∫Ω|u m(τ)|q ln|u m(τ)|d x dτ,(3.5)其中S m(t)=12∥∇u m∥22+∫t∫Ω|u mt(τ)|r−2u mt(τ)u m(τ)d x dτ+∫t∥∇u m(τ)∥p p dτ.(3.6)由引理2.5可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤∫Ω1|u m|q ln|u m|d x+∫Ω2|u m|q ln|u m|d x≤(eµ)−1∫Ω2|u m|q+µd x≤(eµ)−1∥u m∥q+µq+µ,(3.7)其中Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1},Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}.由G-N不等式和Young不等式可得∫Ω|u m|q ln|u m|dx≤C∥∇u m∥θ(q+µ)p∥u m∥(1−θ)(q+µ)2≤ε∥∇u m∥p p+C(ε)∥u m∥p(1−θ)(q+µ)p−θ(q+µ)2,(3.8)其中ε∈(0,1),θ=(12−1q+µ)(1n−1p+12)−1,选取µ使得0<µ<p(1+2n)−q,则有θ(q+µ)<p成立.令α=p(1−θ)(q+µ)2[p−θ(q+µ)]=p(n+q+µ)−n(q+µ)p(n+2)−n(q+µ).(3.9)由假设2<p<q+µ<p(1+2n )可得α>1.故由(3.8)结合嵌入定理可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤ε∥∇u m∥p p+CC(ε)∥∇u m∥2α2.(3.10)故由(3.5),(3.6),(3.10)可得S m(t)=C1+C2∫t0Sαm(τ)dτ,(3.11)548应用数学2022其中C 1,C 2为不依赖于m 的正常数.因此由Gronwall-Bellman-Bihari 积分类型不等式知:存在常数T <C 1−α1C 2(α−1)使得S m (t )≤C T ,∀t ∈[0,T ],(3.12)由此可得∥∇u m ∥22≤C T ,∀t ∈[0,T ].(3.13)再将方程(3.1)两边同乘g ′jm (t ),对j 从1到m 求和可得∫t 0∥u mt (τ)∥rr d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.14)由泛函J 的连续性,结合(3.2)可得,存在常数C >0,满足J (u m (0))≤C,(3.15)故由(2.5),(3.10),(3.13)可得J (u m )=1p ∥∇u m ∥p p −1q ∫Ω|u m |q ln |u m |d x +1q 2∥u m ∥q q ≥(1p −εq )∥∇u m ∥pp −C T +1q2∥u m ∥q q .(3.16)由(3.14)-(3.16),存在T >0,∀t ∈[0,T ]有∥∇u m (t )∥p p ≤C T ,(3.17)∫t0∥u mt (τ)∥r r d τ≤C T ,(3.18)∫t0∥∇u mt (τ)∥22d τ≤C T .(3.19)由引理2.5并结合(3.17)可得∫Ω|u m |q −2u m ln |u m |q q −1d x =∫Ω1|u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x +∫Ω2 |u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x ≤(e (q −1))−q q −1|Ω|+(eµ)−q q −1∫Ω2|u m |(q −1+µ)qq −1d x≤(e (q −1))−qq −1|Ω|+(eµ)−qq −1(C ∗)(q −1+µ)qq −1∥∇u m ∥(q −1+µ)qq −1p≤C T ,(3.20)其中选取µ>0使得(q −1+µ)qq −1<p ∗,C ∗为W 1,p 0(Ω) →L (q −1+µ)qq −1(Ω)的最佳嵌入常数.由(3.18)可得∫t 0∫Ω |u mt |r −2u mt r r −1d x d τ=∫t 0∫Ω|u mt |r d x d τ=∫t∥u mt ∥r r d τ≤C T .(3.21)步3取极限.由(3.17)-(3.21)得:存在函数u ∈L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω))和序列{u m }∞m =1使得u m →u 弱*收敛于L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),(3.22)u mt →u t 弱收敛于L r (0,T ;L r (Ω)),(3.23)u mt →u t 弱收敛于L 2(0,T ;H 10(Ω)),(3.24)|u m |q −2u m ln |u m |→χ1弱*收敛于L ∞(0,T ;Lqq −1(Ω)),(3.25)|u mt |r −2u mt →χ2弱收敛于L rr −1(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.26)由假设1<r <p ∗,有W 1,p0(Ω) →L r (Ω),结合(3.22),(3.23)由Aubin-Lions-Simon 紧性定理得u m →u 强收敛于L ∞(0,T ;L r (Ω)).(3.27)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p -Laplace 抛物方程解的存在性与爆破549由此可得u m →ua .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.28)|u m |q −2u m ln |u m |→|u |q −2u ln |u |a .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.29)结合(3.25),(3.29)可得χ1=|u |q −2u ln |u |.设Au =−div(|∇u |p −2∇u ),易证A 为严格单调半连续有界的强制性算子(可参考文[12]).则由(3.27)结合单调算子理论可得Au m →Au 弱*收敛于L ∞(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.30)下证χ2=|u t |r −2u t .结合(3.25),(3.26),(3.30),对方程(3.1)两边取极限,再同乘g ′jm ,对j 求和得(χ2,u t )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.31)再对方程(3.1)同乘g ′jm ,对j 求和再令m →∞得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.32)结合(3.31),(3.32)可得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )=(χ2,u t ).(3.33)利用函数|s |r −2s (s ∈R )的非减单调性可得(|u mt |r −2u mt −|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≥0,(3.34)对于任意ψ∈L r (Ω)成立,由此可得(|u mt |r −2u mt ,ψ)+(|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≤(|u mt |r −2u mt ,u mt ),(3.35)对上式令m →∞得(χ2−|ψ|r −2ψ,u t −ψ)≥0.(3.36)要证χ2=|u t |r −2u t ,利用函数|s |r −2s (s ∈R )的半连续性.令ψ=u t −aϕ，a ≥0,任意ϕ∈L r (Ω)，则有(χ2−(u t −aϕ)r −2(u t −aϕ),ϕ)≥0,(3.37)令a →0得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≥0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.38)令ψ=u t −aϕ，a ≤0,任意ϕ∈L r (Ω),同理可得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≤0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.39)结合(3.38),(3.39)即可得χ2=|u t |r −2u t .综上所述,由{w j }为W 1,p0(Ω)中的一组基,方程(3.1)中令m →∞可得(|u t |r −2u t ,v )+(∇u t ,∇v )+(|∇u |p −2∇u,∇v )=(|u |q −2u ln |u |,v ),(3.40)对于任意t ∈(0,T ),v ∈W 1,p0(Ω)成立.定理3.2假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0(x )∈W 1,p 0(Ω),J (u 0)<d ,I (u 0)>0,则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在整体弱解u 满足u ∈L ∞(0,∞;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,∞;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证选取{w j }∞j =1,{u m }，{u 0m }为定理3.1证明过程中的情形.将方程(3.1)两边同乘g ′jm ,对j 从1到m 求和,再关于t 积分可得∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.41)550应用数学2022由g jm (0)=ξjm ,当m →∞时,u 0m 强收敛到u 0,因此有lim m →∞J (u m (0))=J (u 0)<d,lim m →∞I (u m (0))=I (u 0)>0.(3.42)则对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u t (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0))<d,0≤t ≤T,(3.43)I (u m (0))>0.(3.44)由此可得,对于充分大的m ,u m (0)∈W .下证对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.若不成立,则存在t 0∈[0,T ]使得u m (t 0)∈∂W ,此时有u m (t 0)∈W 1,p0(Ω),且J (u m (t 0))=d 或I (u m (t 0))=0.若J (u m (t 0))=d ,而由(3.43)得J (u m (t 0))<d ,矛盾;若I (u m (t 0))=0,此时u m (t 0)∈N ,由d 的定义可得J (u m (t 0))≥d ,显然与(3.43)矛盾.故对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.因u m (t )∈W ,有I (u m )>0,结合方程(2.5)和(3.43),对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+q −p pq ∥∇u m (t )∥p p +1q 2∥u m (t )∥qq <d,0≤t ≤T,(3.45)由此可得∥∇u m (t )∥pp ≤pq q −p d,∫t∥u mt (τ)∥r r d τ≤d,∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ≤d,∥u m (t )∥q q ≤q 2d,对于任意T >0,t ∈[0,T ]成立.再结合定理3.1的证明,定理3.2得证.4.爆破这部分将证明当非线性项指数满足适当条件时,分别在初始能量为负和具有正上界的正初始能量下,方程(1.1)解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.定理4.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <min {p ∗,2pq −2q p +pq −2q},且0<J (u 0)<M ≤d ,I (u 0)<0,则方程(1.1)的解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.证定义辅助泛函H (t )=E 1−J (t ),(4.1)其中E 1满足0<J (u 0)<E 1<M ,M 如(2.12)中定义.结合(2.5),将方程(1.1)两边同乘以u t ,并在Ω上对x 积分可得J ′(t )=−∥u t ∥r r −∥∇u t ∥22≤0.(4.2)结合(4.1)和(4.2)可得H ′(t )=−J ′(t )=∥u t ∥r r +∥∇u t ∥22≥0,(4.3)则有H (t )≥H (0)=E 1−J (u 0)>0.(4.4)由假设知u 0∈V ,易证u ∈V ,即有I (u )<0.由引理2.3-2.5可得H (t )=E 1−J (u (t ))=E 1−1p ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q≤q −p pq ∥∇u ∥p p −1p ∥∇u ∥pp +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q2∥u ∥q q ≤−1q ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q ≤1q ∫Ω|u |q ln |u |d x ≤1qeα∥u ∥q +αq +α,(4.5)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破551其中选取α如(2.3)中定义,有q+α<p∗,W1,p(Ω) →L q+α(Ω),由Bα为其最佳嵌入常数,则有∥u∥q+α≤Bα∥∇u∥p,(4.6)结合(4.5),(4.6)可得H(t)≤B q+ααqeα∥∇u∥q+αp.(4.7)将方程(1.1)两边同乘以u,并在Ω上对x积分,因I(u)<0,结合(2.5)和引理2.3,由H¨o lder不等式及Young可得0=∫Ω|u|q ln|u|d x−(∇u t,∇u)−∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)≥(1−1q )∫Ω|u|q ln|u|d x+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(1−1q )∥∇u∥pp+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(q−ppq −ε)∥∇u∥p p−E1−(|u t|r−2u t,u)−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t).(4.8)令ε充分小有0≥H(t)−(|u t|r−2u t,u)+1q2∥u∥q q−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1,(4.9)因为p>2,有pp−1<2,结合(4.3)有∥∇u t∥p p−1pp−1≤C∥∇u t∥p p−12≤C[H′(t)]p2(p−1).(4.10)因为r<2pq−2qp+pq−2q ,则r<q,r<2+2p−2,故有rp2(r−1)(p−1)>1,且有q(2p+2r−rp−2)rp>1.因此结合(4.5)由H¨o lder不等式及Young不等式可得(|u t|r−2u t,u)≤∥u∥r∥u t∥r−1r ≤∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpr∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpr∥u t∥r−1r≤C1∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpq+α∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r≤C2∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r[H(t)]1q+α−q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)≤C3[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(∥u t∥r r)p2(p−1)]H−β(t)≤C4[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(H′(t))p2(p−1)]H−β(0),(4.11)其中ϵ>0,β=q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)−1q+α>0.结合(4.9),(4.10),(4.11)可得0≥H(t)+1q2∥u∥q q−C4ϵH−β(0)∥u∥q q−C4C(ϵ)H−β(0)[H′(t)]p2(p−1)−CC(ε)[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+(1q2−C4ϵH−β(0))∥u∥q q−(C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε))[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+C1∥u∥q q−C2[H′(t)]p2(p−1),(4.12)其中C1=1q2−C4ϵH−β(0),C2=C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε).令ϵ充分小使得C1>0成立,则有C2[H′(t)]p2(p−1)≥H(t),(4.13)所以有H′(t)≥C[H(t)]2(p−1)p,C>0,(4.14)因为p>2,故2(p−1)p >1.令η=p−2p,有η>0,故有H′(t)≥C[H(t)]1+η,C>0.(4.15)552应用数学2022综合(4.7)和(4.15)可得:方程(1.1)解的W1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.(Ω)范数在有注4.1对于J(u0)<0情形,在(4.1)中令H(t)=−J(t)同样可得出解的W1,p限时刻的爆破,证明过程大致同上,在此省略.参考文献：[1]XU Runzhang,SU Jia.Global existence andﬁnite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations[J].J.Funct.Anal.,2013,264(12):2732-2763.[2]CHEN Hua,TIAN Shuying.Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolicequations with logarithmic nonlinearity[J].J.Diﬀer.Equ.,2015,258(12):4424-4442.[3]PAYNE L E,SATTINGER D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J.Math.,1975,22(3-4):273-303.[4]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of p-Laplacian evolution equations withlogarithmic nonlinearity[J].Acta Appl.Math.,2017,151:149-169.[5]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equationswith logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2017,73(9):2076-2091.[6]CAO Yang,LIU Conghui.Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].Electron.J.Diﬀer.Equ.,2018,2018(116):1-19. [7]HE Yijun,GAO Huaihong,WANG Hua.Blow-up and decay for a class of pseudo-parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2018,75:459-469. 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一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性

一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性张海燕;李耀红【摘要】在Banach空间中，利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究一类一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题，其非线性项和边值条件均具有耦合性。

获得该问题解的存在性定理，并给出一个应用实例。

%By applyingthe Mönch fixed theorem and using a new comparison result,we study existence of so⁃lutions of infinte boundary value problems for a class of nonlinear coupled differential equations systems in Banach spaces,where the system is coupled not only in the differential system but also through the boundary conditions. A new existence theorem is established.As an application,we give an example to demonstrate our result.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P1-5)【关键词】Banach空间;边值问题;不动点定理;比较结果【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000;宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91令（E，‖·‖）是Banach空间，考虑E中一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：这里J=[0 ,+∞),f,g ∈C[J × E ×E,E],α,β ＞ 1.近年来，微分方程耦合系统受到广泛关注，获得许多有价值的结果.如在无穷区间上，文［1-4］获得了微分方程耦合系统解的存在性或多解性；在分数阶情形下，文［5-8］也获得许多微分方程耦合系统的可解性结论.但上述文献中微分方程系统的耦合性主要是指非线性项中变量的耦合，对边值条件的耦合性研究相对较少.注意到耦合边值条件在反扩散问题、热学问题、流体力学等应用科学领域有着广泛的应用.本文将利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究非线性微分方程耦合系统无穷边值问题（1），其非线性项和边值条件均具有耦合性.1 预备知识和引理记C［J，E］={u：J→E|u（t）连续}，C1［J，E］={u：J→E|u（t）连续且一阶可微}.令BC［J，E］={u∈C［J，E］| X=BC[J,E]×BC[J,E], 则易知 BC[J,E]和 X 分别在范数和‖(u,v)‖X=‖ u‖B+‖ v‖B 下为一Banach空间.定义算子T：X→X 如下其中若（u，v）∈X且满足（1），则称（u，v）为边值问题（1）的解.对Banach空间中的有界集C，用α（C）衷示Ku⁃ratowski非紧性测度［9］.另记Br={(u,v)∈ X |‖ (u,v‖X≤ r}(r ＞ 0).为方便下文，给出几个需要用到的引理.引理1 若f,g ∈C[J×E×E,E]，则(u,v)∈BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]是耦合系统（1）的解有且仅当(u,v)是T(u,v)=(u,v)在X中的不动点.证明若(u,v)是耦合系统（1）的解，则直接对耦合系统（1）前两式两边直接从0到t积分，可知令t➝∞，则有将边值条件u(∞)=αv(0),v(∞)=βu(0)代入式（6），直接解方程组计算可知将式（7）（8）代入式（5），易知 u(t)=T1(u,v),v(t)=T2(u,v)，即 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点.反之，若(u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点，则对等式两边求导，容易验证(u,v)满足系统（1）.命题得证.引理2［2］若m(t),γ(t)∈C[J,J],m(t)是有界函数，，且有其中M1≥0,M2,M3 ＞0，则引理 3［9］若 H 是 C[J0,E](J0=[0,b]⊂J)中的可数可测集，对任给x∈H，存在ρ(t)∈L[J0,J]，使得‖ x(t)‖≤ρ(t),t ∈J0，则有α(H(t))∈L[J0,J]，且引理4［10］若 B={un}⊂C[J,E](n=1,2,…)，存在ρ(t)∈L[J,J]，使得‖u ‖n(t)≤ρ(t)(t ∈J,n=1,2,…)，则有α(B(t))在J上可积，并且引理5［10］设下文（A1）成立，H是E中的有界集，则，其中αE(TiH)表示TiH(i=1,2)在E中的非紧性测度.注1 由（2）式及引理5易知，αE(TH)≤αE(T1H)+αE(T2H).引理6［11］（Mönch定理）设E是Banach空间，Ω ⊂E 是有界开集，θ∈Ω,A:E →E 是一个连续算子，且满足下列条件：（1）x ≠ λAx,∀λ ∈[0,1],x ∈ ∂Ω ；（2）由 H ⊂可数及 H ⊂({θ}⋃A(H))可推出H为相对紧集.则A在Q中至少有一个不动点.引理7［12］设D和F是E中的有界集，则α(D×F)=max{α(D),α(F)}，其中α和α 分别为E×E和E中的Kuratowski非紧性测度.2 主要定理为方便，先给出下列假设：（A1）f,g ∈C[J×E×E,E]，且存在ai(t),bi(t)∈L[J,J](i=1,2,3)，使得其中（A2）对∀t ∈J和H1,H2 ⊂Br，存在ci(t),di(t)∈ L[J,J](i=1,2)，使得这里定理1 若条件（A1）-（A2）成立，则耦合系统（1）在BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]中至少有一个解.证明由引理l知，只需证明算子T在X中至少有一个不动点.首先证明是X中的有界集.事实上，对任给的(u,v)∈Ω0，则相应地存在0≤λ0≤1，使得当t ∈J=[0,+∞)时，由式（3）（4）（9）及假设（A1）得令则m(t)∈C[J,E]且有界，于是结合式（10）（11）得故由引理2知因此，故Ω0 是 X 中的有界集.令 R ＞M，取则Ω 是X中的有界开集，且(θ,θ)∈Ω .由R的取法可知，对任何(u,v)∈∂Ω,(u,v)≠λT(u,v),∀λ ∈[0,1].即引理6的条件（1）满足.下面验证引理6 的条件（2）满足.设 H ⊂为可数集且由非紧性测度的性质，结合引理3-4，引理7及假设（A2），可知这里ρ(s)=c1(s)+c2(s),w(s)=d1(s)+d2(s).由H的定义及引理5有于是由引理l知，α(H(t))=0,t ∈J.即H 是Ω 中的相对紧集，于是引理6的条件（2）满足.又注意 f,g 的连续性，显然T是连续算子.故由引理6知，算子T 在Ω 内至少有一个不动点.从而耦合系统无穷边值问题（1）至少有一个解.证毕.例1 考虑一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：则耦合系统无穷边值问题（12）至少有一个解.证明令E={x=(x1,x2,…,xn,…)|xn ∈J,xn →0}，对x ∈E，令显然耦合系统（12）可转化为X中的系统其中而显然f,g ∈C[J×E×E,E].则可令显然，故条件（A1）满足.利用锥理论中常规方法容易知，存在，使得对任何t ∈J，有界集 H1,H2⊂E,α(f(t),H1,H2))＜c1(t)α(H1)+c2(t)α(H2),α(g(t,H1,H2))＜d1(t)α(H1)+d2(t)α(H2)，故条件（A2）满足.由定理1即知结论成立.参考文献：［1］CHEN Xu，ZHANG Xingqiu.Existence of positive solutions for singular impulsive differential equations with integral boundary conditions on an infinite interval in Banach spaces［J］.Electron J Qual Theory Differ Eq，2011（29）：1-18.［2］张海燕，张祖峰.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2011，45（4）：529-533. ［3］汤小松，王志伟，罗节英.Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在性唯一性［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2012，35（6）：802-808.［4］李耀红，张祖峰.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2014，48（2）：171-175.［5］LI Yaohong，WEI Zhongli.Positive solutions for a coupled systems of mixed higher-order nonlinear singular fraction⁃al differential equations ［J］.Fixed Point Theory，2014，15（1）：167-178.［6］申腾飞，宋文耀.一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性［J］.常熟理工学院学报，2012，26（4）：28-34.［7］程玲玲，刘文斌.带有p-Laplace 算子分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2013（1）：48-51.［8］曹竞文，胡卫敏.两点分数阶微分方程耦合系统边值问题的解［J］.江汉大学学报（自然科学版），2014，42（3）：23-26.［9］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V，LIU Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1996.［10］刘振斌，刘立山.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.数学学报，2007，50（1）：97-104.［11］DEIMLING Klaus.Nonlinear functional analysis［M］.Berlin：Spring-Verlag，1985.［12］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with applications［J］.Nonlinear Analy⁃sis：TMA，1987，11（5）：623-632.。

测度链上p-Laplace动力方程多点边值问题正解的存在性

此外，Ｂ，足：。Ｂ满
Ａ ≤ Ｂｉ）≤ Ｂｚ（ｘ，ｚ ∈ Ｒｉ＝０，，（１），ｌ
这里ｅ，ｏ丁８ ∈［，］，并且满足
０≤ ６＜岛＜ … ＜２＜（，丁）
口ｏ＜＜＜ … ＜０２Ｔ，（） ≤
口， ∈ Ｌ，）＝ｌ２ … ，一２ｂＯ ∞ ，ｉ，，ｍ．
（２）
在性是非常有必要的，也有一定的实际意义．我们
将应用Ａｖｒｅｙ—Ｈｅｄｒｏｎｅｓｎ不动点定理给出上述
收稿日期：２０—２２；修改稿收到日期：２１—３２０９１—５０００ —５基金项目：甘肃省教育厅科研基金资助项目（８９－４００Ｂ０）作者简介：袁晓红（９１）１７一，女，甘肃临洮人，讲师．主要研究方向为微分方程和差分方程
ｏａｂｔａｙｖｎｏｉｉｅｏｕｉｎｔｍｕｔｐｉｔｒｒｉｒｅｅｐｓｔｓｌｔｏｓｏｒｖｌ— ｏｎＢＶＰｓｗｉＰＬａｌｃａｏｔｍｅｃｌｓＡｓｎｔｈ — ｐａｉｎｎｉｓａｅ．ａａｐｉａｉｎ，ａｘｍｐｅｒｉｅｏｉｕｔａｅｔｅｒｓｌ．ｐｌｔｏｃｎｅａｌｓａｅｇｖｎｔｌｓｒｔｈｅｕｔｌｓＫｅｏｄ：ｔｅｓａｅ；ｂｕｄｒａｕｒｂｅ；ｐｓｔｖｏｕｉｎＰ— ａｌｃａｐｒｔｒｆｅｏｎｙｗｒｓｉｃｌｓｍｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｏｉｉｅｓｌｔ；ｏＬｐａｉｎｏｅａｏ；ｉｄｐｉｔｘ

具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程

具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
来描述
p-Laplace方程是一个有趣而有用的数学方程，它提供了一种解决不同类型问题的通用方法。

p-Laplace方程通常应用于小波和数据降维应用，也可用于解决具有吸附和非线性边
值条件的问题。

p-Laplace方程的数学表达式是u_p (x) = div (P)，其中P是微分向量积分变量，P(x) =
|∇u(x)|^p-2 ∇u(x)。

p-Laplace方程的好处在于它包含了一个可调的参数p，这可以用来控
制边界条件的形式和不同的实现情况。

上述的p-Laplace方程也可以用来表达不同种类的方程，例如非线性边值问题和吸附问题。

例如，对于一个具有非线性边值条件的多元方程组，我们可以利用p-Laplace方程来解决：u_p [x] = div (P (x))，其中P (x) = |∇u(x)|^p-2 ∇u(x)，∇u(x)表示梯度算子，这样就可以利
用具有不同边界条件的p-Laplace方程来求解。

此外，p-Laplace方程还可以用于解决吸附方程。

在这种情况下，p-Laplace方程的一般形
式可以写成：|∇u(x)|^p-2 ∇u(x) = |f(x)|^p，其中f (x)代表吸附系数。

这个方程可以帮助我们求解复杂的吸附问题，例如是否存在可以克服吸附的有效解决方案。

总而言之，p-Laplace方程是一个有趣而强大的数学方程，它可以用于处理不同类型的问题，特别适用于具有吸附和非线性边值条件的问题。

它可以帮助我们更好地理解问题，并得出有效解决方案。

一类p—laplace方程边值问题解的存在性

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

具p—Laplace算子型边值问题解的存在性

ＺＮｉｇＪＡＭｅ，ＷＡＧＨ－ａｇＤｈｎ・ｕＯＧＬｎ，ＩｉａＮｅｔｎ，ＡＩｏｇｈａＺ
（ｏｌｅｆＳｉｃ，ＵｉｅｓｙｏＳａｇａｏｃｎｅｎｅｎｌｙ，Ｓａｇａ００３，ＣｉＣｌｇｃｎｅｎｖｒｔｈｎｈｉｒｉｃａｄＴｃｏｇｅｏｅｉｆｆＳｅｈｏｈｎｈｉ０９２ｈｎａ）
ａｄｔｅｓｆｉｉｎｏｄｔｎｏｌｔｎｅｉｅｃｒｂａｎｄ．ｎｈｕｆｃｅｔｃｎｉｏｓｆｒｓｕｉｘｓｎｅａｅｏｔｉｅｉｏｏｔ
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：ｐ－ａｌｃｐｒｔｒ；ｂｕｄｒｕｒｂｍ；ｓｌｔｎ；ｃｎｉｕｔｎｔｏｙｒＬｐａｅｏｅａｚ￣ｏｎａｙｚｅｐｏｌａｌｅｏｕｉｏｏｔａｉｏｅｎ；ｅｉｅｃｎｏｈｘｓｎｅｔ
（（ｔ）＝ｚ（））
１
论［Ｍａｈ连续引理Ｅ等．中，］，及ｗｉｎ］其文献［］３研究了三点边值问题单调正解的存在性．文献［］５研究了一类周期边值问题解的存在性．文献［］１推广了Ｍａｈ连续引理，ｗｉｎ并运用其推广形式研究子的边值问题转化成算子方程，于Ｐ的不同取值给出适当的条件．用将Ｌｐａ算ｃ对利Ｍａｉ续引理的推广形式，明了一类具ｐＬｐａｅ算子的微分方程边值问题解的存在性，ｗｈｎ连证 — ｌａｃ得到了一系列解存在的充分条件．关键词：ｐＬｐａｅ子；边值问题；解；续引理； — ｌ算ａｃ连存在性

一类具P-Laplace算子边值问题解的存在性

Ｋｙｒｓ－ａｌｃａｐｒｔｒｏｒｏｎｓｂｕｄｒａｕｒｂｅ；Ｓｈｕｅ ’ ｉｅｏｔｅｗｏｄ：ｐＬｐａｉｎｏｅａｏ；ｆｕ－ｉｔｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｐｍｃａｄｒＳｘｄｐｉｆｎ
ｔｏｅ；ｅｓｅｃｈｅｒｍｘｉｔｎｅ
收稿日期：０７—０２０６—２６
．）荔）ｚ＝ｊ（（１
解的存在性，（＝ｌｌＩ，其中）２Ｐ＞１给出了Ｐ，边值问题解存在的充分条件．本文做以下假设：
假设（）ｆＥＣ（０１ ×僻，，， ∈（，）Ｈ０：［，］）呀０１，
维普资讯
上海理工大学学报
第３０卷第４期
Ｊ．ＵｎｖｒｉｙｏｈｎｈｉｏｃｅｃｎｃｎｌｇｉｅｓｆＳａｇａｒＳｉｅａｄＴｅｈｏｏｙｔｆｎＶｏ．０Ｎｏ４２０１３．０８
关键词：ＰＬｐａｅ算子；四点边值问题；ｃａｄｒ —ａｌｃＳｈｕｅ不动点定理；存在性
中图分类号：７．Ｏ１５８文献标识码：Ａ
ＥｘｓｅｃｆｓｌｔｏｓｏｙｅｏｏｎｄｒａｕｉｔｎｅｏｏｕｉｎｆａｔｐｆｂｕａｙｖｌｅｐｒｂｅｓｗｉｈＰ－ｐａａｎｏｌｍｔＬａｌｃｉ
ＪＭｅ，ｋ－ｉＩＡｉｌＸｉｎＵｐ９（ｏｌｅｆＳｉｃ，ｉｅｓｙｏｈｎｈｉｏｃｎｅｎｅｎｌｙＳａｇａ００３，ｈｎＣｌｇｃｎｅＵｎｖｒｉｅｏｅｔｆＳａｇａｆｒＳｉｃａｄＴｃｏｇ，ｈｎｈｉ０９Ｃｉｅｈｏ２ａ）

障碍带条件下P—Laplace方程两点边值问题的可解性

１引言
本文研究ＰＬｐａｅ程两点边值问题 —ａｌ方ｃ
ｆ（）（， “ ）一ｆｔ“，，￡（，）（１）（， “） ∈ Ｏ１，
１９９４年，ＫｅｅｅｊｖＰ１障碍带条件下运ｌｄｉ＿ｖｅ在
用ＬｒｙＳｈｕｅ原理获得了两点边值问题ｅａ－ｃａｄｒ
ＡｂｔａｔＴｈｏｖｂｌｙｆｒＰ— ｐａｉｎｔ — ｏｎｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｔｂｔｕｔｏａｄｓｒｃ：ｅｓｌａｉｔｏＬａｌｃａＷＯｐｉｔｂｕｄｒａｕｒｂｅｗｉｈｏｓｒｃｉｎｂｎｉ
维普资讯
西
１２
北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）
第４３卷２０年第３期０７
Ｖｏ１４３２０Ｎｏ．０７．３
ＪｕｎｌｏｒｈｓｒｌＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｆＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅｙＳ
ｗｉｈｏｓｒｃｉｎｂｎｔｂｔｕｔｏａｄ
ＦＡＮＨｏｎ — ａ＇ｇｘｉ。
（．ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒａｉｎＳｉｎｅ１Ｃｏｌｅｏｔｅｔｃｎｎｏｍｔｃｅｃ，ＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔｅｏｒｈｓｒｌＵｎｖｒｉｙ，Ｌａｚｏ３００，Ｇａｓｎｈｕ７０７ｎｕ，Ｃｈｎ：ｉａ

关于发展型p-Laplace方程解定性研究的结果与可能的问题

ｕｘｔ＝ｇ，）（，）（ｔ，（０＝“ （，，）０）（ｔＱ ×（Ｔ，，）∈ ０，）ＥＱ，（）４（）５
其中ｇ ∈Ｌ０ ×（），ｏ∈Ｌ（。（ａ０，）ｎ）定义１３称函数（ｔ。，）为第一边值问题（）（）（）在ｎ：ｎ ×（，）上的广义解，１，４，５０Ｔ如果ｕ
０
＿
ｕｉＩＩＩ）ｐ（Ｉ）。Ｅ＝ｄ（（配ｖ一－１配）２一
（）３
这类方程同Ｎｗｏｅｔｎ渗流方程一样，在过去的三十多年中已成为广泛的研究对象。种模型可以用这来描述单相渗流问题，多方气体方程等物理和力学模型。当Ｐ＞１＋１ｍ为慢速扩散情形，Ｐ＜１＋／而
）广义解的
Ⅱ（鲤＋Ｑ一ＯＩｔ
其中， ∈ Ｃ０，（）（；ｋ（；２）ｎｋ０，
“ ）０ｃｑ，・＝， ∈ｇｒｄＶ（）
（）Ｒ）。
定义１２称函数ｕｘｔ为方程（）的Ｃｕｈ问题，Ｑ．（，）１ａｅｙ在＝Ｒ ×（，）Ｏ上的广义解（初始条件
究的深入，这类方程的研究也得到迅速发展，于解的存在性、一性、关唯正则性、始迹以及分界面的正初则性等理论以日趋完善．文就发展型ｐＬｐａｅ本－ａｌｃ方程广义解的存在性，在有限时刻的爆破性，连续解的存在性，以及在大时间状态解的性态等诸多方面的结果给与简单的介绍，对该方程解的性态有更全使

时间测度链上p-Laplace算子型三点边值问题两个正解的存在性

（＋）所 ≥ ７＝＿号（。以（予（３））－）７
１９４２
科
学
技
术
与
工
程
１Ｏ卷
册，（Ｉ（ ≥ Ｉ￡，））“
（）０。
定理２１设条件（）（成立，当Ａ．Ｈ。一Ｈ）则
ｌ
又因为为凹函数，以与上面讨论类似所
明主要结果的有效性。
关键词
正解
Ｐ－ａｌｃ算子Ｌｐａｅ０７．１５８０７．１７９；
时间测度链
不动点定理Ａ
中图法分类号
文献标志码
义范数｝Ｉ［ｘ］ｌ（）１［ｘＪ（）｝ｌ｝＝｛ｍ ≠ ．ｍ州Ｉ，。ａ。ａ
ｌ｛（一）＋ｌｑＴｍ【叼一－－）ｉｍｎｌ］，－：ｒ
—
可（）≥等０。边值条件ｕ）一得叩Ｍ（由）（０
Ｂ（（）＝０及（２。 Ⅱ 刀）Ｈ）得ｕＯ（）＝Ｂ（（）０ △ 叼）≥
ｍ（。ｕ田）
０／≥ １使得Ｖｔ０ｍ ≤ Ｂ（）≤ ｒ。，，，７ ≥ ，ｔｏｆｔｔ
下面是本文所用到的几个重要引理。引理１１１ｔ是ＢＰ１１的解当且仅当．］，）Ｖ（．）ｔ（
［］近年来国内外许多专家利用上下解方法，２。不动
式１）ｓＩ，１％寺寺（１（＝ｐ，，＋・中）＞ｓ
＝
引理１３假设条件（成立，任取ｔ，．Ｈ）则 ∈［

含有广义p—Laplace算子的非线性边值问题解的存在性的研究

，
Ｊｄ（（ａｕ＋￡ｌ＝．）ａ． ∈ ，－ｉａｇｄ）ｌ一ｖｒ）厂，．（ｅＱＩ（ａｇｄ）∈ ）（，ａ． ∈ ．一（ａｕ）（）一．，ｒ（）ｅＦ
在第四节将证明：对给定的ｆ∈ 空间中存在解，其中＋１＝１．
其中： Ⅳ 一ＲⅣ 为单调函数且存在正常数觑（＝１２３满足Ｒｉ，，）
（ｚｌｋＰ）Ｊ（ｚ）；（２（））ｋ；Ｐ）｛，２（３）（）３Ｉ一ＩＪ。，Ｐ）『一ｌＩ ∈ ｌ，ｌ一一对， ∈Ｒ． Ⅳ
，、
｛，（和ｈｘ ∈ ｍ（）问题（．）Ｑ）｝（）ａ｛，ｒ，）１２在，（）Ｑ
为研究问题（．，１）我们采用构造以下辅助Ｄｒｈｅ２ｉｃｌｉｔ边值问题的技巧
－
ｄｉ
：
ｖｇ。＝： ∈ ｒ）ｌ２，’ ‘ Ｑａ）ｆｕ（ ’ ｄ＋“ １）一
数学物理学报
２１，２１：１２１０２Ａ（２ — １ａ）０ｈｔ：ａｔｍ．ｉｍ．．ｔｐ／ｃｓｐａｅ／ａｗｅｎ
含有广义ＰＬｐａｅ算子的非线性边值问题解的 —ａｌｃ存在性的研究
魏利
（北经贸大学数学与统计学学院石家庄００６）河５０１ＲａｉＰｇｒｌｖＡａｗａ
２２０
数
学
物
理
学
报
Ｖ１２ｏ．Ａ３
在文献［中，我们证明了问题（１在Ｌ（）６］１）．ＰＹ中存在解，￣其中丽＜Ｐ＜＋。在文献２Ｎ。．［中证明了问题（１在（）５］１）．Ｑ空间中存在解，其中而＜Ｐ＜＋。且Ｎ１最近，在文２Ｎ。．献［中我们证明了问题（．在（）７］１）１Ｑ空间中存在解，其中Ｎ＜Ｐｓ２＜＋且Ｎ１ ∞ ．然而，在问题（．和以往我们的研究工作中，１）１均要求边值函数是某个正则、凸、下半连续函数的次微分．能否将换成更一般的单调函数： — ＲＲ？本文，我们将回答这个问题．我们将研究以下非线性边值问题

具p-Laplacian算子分数阶q-差分方程解的存在唯一性

具p-Laplacian算子分数阶q-差分方程解的存在唯一性
近几年,q-差分理论作为离散数学的一个重要分支发展十分迅速,在数学物理模型、动力系统、量子模型等领域中发挥重要作用.由于其广泛的应用性,分数阶q-差分方程边值问题解的存在唯一性引起了许多国内外学者的广泛关注.本文主要研究具p-Laplacian算子分数阶q-差分方程边值问题正解的存在唯一性.在第二章,我们考虑一类分数阶q-差分系统边值问题正解的存在性.通过把分数阶q-差分系统边值问题转换与其等价的积分方程,求出系统边值问题的Green函数并分析其性质,利用单调迭代的方法获得了边值问题解的存在性结果.在第三章,我们考虑奇异非线性分数阶q-差分方程边值问题解的存在唯一性.通过不动点定理获得了边值问题解的存在唯一性.。

拉普拉斯(Laplace)方程

(1.13)
实例三：膜平衡方程在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
第五章 Laplace方程
Laplace方程(又称调和方程)和Poisson方程是最典型的椭圆型方程，它们具有广泛的应用背景，譬如静电学中的电势以及牛顿万有引力理论中的引力势均满足这类椭圆型方程(它们在静电学和引力理论中分别被称为静电场方程和静态引力场方程)。本章我们介绍关于Laplace方程和Poisson方程的一些基本知识、方法和结果。在第一节中我们介绍了Laplace方程和Poisson方程的导出以及定解条件的提法。在第二节中我们介绍变分法，着重介绍在物理、力学等领域中具有重要应用的变分问题及变分原理(实际上，许多常微分方程问题和数学物理方程的定解问题常常可归结为变分问题)。在第三节中我们应用Green公式，建立了Laplace方程解的平均值定理，并证明了关于调和函数的极值原理，进而应用该极值原理证明了第一边值问题解的唯一性和稳定性。在第四节中，我们首先引入著名的Green函数，讨论了它的一些基本性质，并着重介绍了求解特殊区域(球、半空间和圆)上的Laplace方程的第一边值问题解的表达式的静电源法。在第五节中，我们利用在第四节中建立的Poisson公式进一步讨论了调和函数的另外一些重要性质，譬如Harnack定理等等。在第六节中我们证明了Laplace方程的强极值原理，并利用它讨论了Laplace方程的第二边值问题解的唯一性。

与广义p-Laplace算子相关的非线性边值问题在Ls(Ω)空间中解的存在性

．
处的函数值．对中子集Ｇ，分别用ＩｔｎＧ和ＣＧ表示其内部和强闭包．１分别用 “ — ｙ和 ” “ ｙ” 表示空间连续嵌入到空间ｙ和紧嵌入到空间映射Ｔ：Ｔ）Ｘ — Ｄ（＝称为ｄｍｉｅ连续的：若从的强拓扑到Ｘ的弱拓扑连续．对偶映射Ｊ： — 定义为Ｘ
设Ｂ：一２为多值映射，其图象Ｇ（）Ｂ定义为ａＢ＝｛，】（）【叫，札 ∈Ｄ（） ∈Ｂ｝Ｂ，．称Ｂ为单调映射：如果ＣＢ是 × 中的单调集，即：对ＶｉＯ ∈ＧＢ）＝１２有（）Ｘ［，ｉｕｔ］（，，，（１２叫ｌ２０成立．乱一札，一叫）单调映射Ｂ称为极大单调的：Ｇ（不真含于Ｘ × 的任何若Ｂ）单调集中．多值映射Ｂ：一２称为强迫的：若对Ｖ［，］（） ∈ｃＢ且ｌ．ＩＩ ∞，ｉＩＩａｒｘ＝＋
收稿日期：２０－２１；０６１— ０修订日期：２０ —８００９０－７
Ｅ￣ａｉ：ｄｉｄｉｎｂａａｈ．ｏｍｍｌａｎａ＠ｙｏｏｃ
｝基金项目，国家自然科学基金（０７００、河北省教育厅科学研究计划项目（０９１）１７１５）２０１５和河北省自然科学基金（２１０１８）Ａ０００４２资助
１１１２
数
学物理学报源自Ｖ１００３ｌ．Ａ（，）ｌｌ＝ｌｌｌｕｌｌＶ．因严格凸，故为单值的．称Ｊ满足条件（：ｕ。且ｌｌＪ＝，ｕ∈ Ｉ）若存在函数：一【，Ｘ０＋∞）对Ｖ， ∈Ｘ，（ｌ钆一Ｉ西（，ｕ有Ｉｌｌ）Ｌ，钆一ｕ成立．）设Ａ：一２为一给定的映射．称是有界逆紧的：如果对中任意有界子集Ｇ和ＸＧ，集合ＧｎＡＧ）（是中的相对紧集．称Ａ：一２为增生映射：如果对Ｕ ∈Ｄ（，ｉ）仇 ∈Ａｕ，１２有（１２一）０成立．增生映射称为ｍ增生映射：如果对ｔ，，ｕ一ｕ，１２）（某数＞０ＲＩ）．，（＋＝称增生映射满足条件（）若对Ｖ：，∈Ｒ（）０∈Ｄ（，Ａ和）都存在常数Ｃ（，）使得对Ｖａ，， ∈Ｄ（， ∈ ，）有下式成立：（）（一，一０）ｃ（，），（）ａ，．

调和方程neumann边界条件解法

调和方程neumann边界条件解法调和方程是一种常见的偏微分方程，其含有二阶导数。

在数学和物理学中，调和方程通常用于描述物理系统中的稳态情况，以及平衡温度、势能或电势的分布。

在求解调和方程时，常用的边界条件之一是Neumann边界条件，它指定了方程的一阶导数在边界上的取值。

本文将介绍Neumann边界条件的求解方法。

首先，让我们简要回顾一下调和方程的定义。

对于二维情况，调和方程可以写成如下形式：∇²u = 0其中，u是二维空间中的一个函数，∇²表示Laplace算子，表示对u进行两次偏导数的和。

类似地，三维情况下的调和方程可以写成：∇²u = 0在这里，u是三维空间中的一个函数。

对于调和方程，我们常常需要在给定的区域上求解u的分布情况，而边界条件的定义就非常重要。

Neumann边界条件是指，在给定区域的边界上设置的一阶导数的值。

对于二维情况，我们可以将Neumann边界条件写成如下形式：∂u/∂n = g其中，∂u/∂n表示u沿边界的法向导数，g表示给定的边界函数。

对于三维情况下的Neumann边界条件，我们可以写成：(∂u/∂n)ₛ = gₛ这里，(∂u/∂n)ₛ表示u沿边界的法向导数，gₛ表示给定的边界函数。

当我们遇到调和方程的Neumann边界条件问题时，可以采用以下几个方法进行求解。

1.根据边界条件的定义，我们可以将Neumann边界条件转化为一个积分形式。

对于二维情况，积分形式如下：∫(∂u/∂n)dl = ∫gdl其中，∫(∂u/∂n)dl表示沿边界曲线的法向导数的积分，∫gdl表示边界函数g沿边界曲线的积分。

我们可以使用数值积分方法，如高斯数值积分，来近似求解这个积分。

2.对于二维情况下的Neumann边界条件问题，我们可以将调和方程转化为一个泊松方程，并使用泊松方程的求解方法。

具体而言，我们可以定义一个势函数v，使得∇²v = ∂u/∂n。

二阶泛函微分ф-Laplace方程Neumann边值问题

二阶泛函微分ф-Laplace方程Neumann边值问题
汤宇;赵虹
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(38)4
【摘要】利用上下解和单调迭代法,研究了带Neumann边界条件的二阶泛函微分-Laplace方程在上下解反序条件下解的存在性条件.解在区间[β,α]上的存在性由反极大值原理给出,这样的比较原理是基本的,确保了可以利用单调迭代法来证明极值解的存在性.
【总页数】7页(P6-12)
【关键词】Neumann边值问题;上下解;反极大值比较原理;单调迭代法
【作者】汤宇;赵虹
【作者单位】吉林省财税专科学校基础部;长春师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.无穷区间上一类二阶泛函微分方程的边值问题 [J], 杨雯抒
2.二阶三点泛函微分方程边值问题正解的存在性 [J], 安蕊莲;韩晓玲
3.一类二阶常微分方程泛函边值问题解的存在性 [J], 李晓燕
4.一类二阶奇异泛函微分方程边值问题的多重正解 [J], 刘英
5.奇异二阶泛函微分方程积分边值问题的正解 [J], 张克梅;蒋兰兰
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１１
口Ｔ，，一１并且（）（） ∈Ｌ（）ｃ ÷＋ｑ＞０，ｆ，ｆ分别是边值问题（．）（．）１１，１２的下解的上解，则边值问题
（．）（．）１１，１２至少存在一个解 “ ｆ ∈［（）（）．（）ｆ，ｆ］在上面的定理中，件（）求ｌｔｚ， ≤ ａｆ＋ｃＹｌ条Ａ。要，）ｌ（）ｆ（ｌ
一０ “（）０下边值问题解的存在性，中（），１－其ｓ一
［关键词］ＰＬｐａｅ程；ｕｎ — ａｌｃ方Ｎｅｍａｎ边值；理论度
当的条件下，建立了对于ｐＬｐａｅ程在共振情形下Ｎｅｍａｎ边值问题解的存在性的充分条件．－ａｌ方ｃｕｎ
第２３卷
（）存在Ｍ＞０使Ｖ（， ∈ 。当ｌＨ， “ ），ｌＵ＞Ｍｔｍｅ－ａｕ（，，＞ＯＶｔ，］ｆｔ“ ），ＥＥ１；ｏ（）当ｌｌＨ。 “ ＜Ｍ时，在ｎｆ，（）０１，存（）６ｆＥＬ［，］有
不能使用，这就给问题的研究带来了一定的困难．管如此，尽随着人们的不断研究，于ｐＬｐａｅ方程关－ａｌｃ
各类边值问题的研究结果也日臻丰富，［ —４．如１］２００４年Ｔｉａａ和Ｎｉｏａｓ人讨论了如下ｐＬｐａｅｚｎｉｋｌｌ等ｏ＿５－ａｌｃ方程Ｎｅｍａｎ边值问题ｕｎ
ｔ“ ）＜ “ ｆｌ１（，，１ｌ（）ｌ＋ｌ（），Ｏｆｌ￡ｌ６＜ｍＧＰ，则Ｂ（．）（．）ＶＰ１３，１４有解．
２ｐＬｐａｅ程Ｎｅｍａｎ边值问题－ａｌｃ方ｕｎ
Ｎｅｍａｎ边值问题ｕｎ
比较严格．文将进一步放宽对本
ｆｔｚ，的限制，条件ｌｔ “ ）ｌｌｔｌ “ ＋ｌ（）ｌ０ｍ≤ Ｐ下研究ＰＬｐａｅ方程（，）在，，ｆ（＜）ｌａ（ｌｔ，＜ｂ — ａｌｃ
［稿日期］２０ —２３收０５１ —１
［金项目］中国矿业大学科研基金（４６）中国矿业大学青年科学基金（４８）基ＯＫ０６；ＯＫ４１
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１６０
大学数学
维普资讯
第２３卷第５期
２００７年１Ｏ月
大学数学
Ｃ（ＬＩＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩ）ＭＣＳ
Ｖｏ．３ № ．１２。５
Ｏｃ．０７ｔ２０
Hale Waihona Puke ＰＬｐａｅ方程Ｎｅｍａｎ边值问题的可解性 — ａｌｃｕｎ
一
（“ （）一 “（）ｆｔ“ “ ）ｔＯ６．１ｆｌｆ）一（，，， ∈［，］
“ （）６一Ｏ，２＜＋。Ｏ一“ （） ≤ 。
（．）１１
（．）１２
解的存在性．并得到如下结论：
假设函数－：Ｏ１ × 一满足下列条件：厂［，］
胡志刚，刘文斌，郑春华
（国矿业大学理学院，州２１０）中徐２０８
［摘
要］主要讨论了一维ｐＬｐａｅ程（（）＝ｆｔ“ “）ｔ０１）Ｎｅｍａｎ边值条件 “（）－ａｌ方ｃ “）－（，，，Ｅ（，）在ｕｎ０ｓｓ０文中通过使用ＬｒｙＳｈｕｅ度原理，适，． ≠ ｅａ－ｃａｄｒ在
［图分类号］０１５８中７．
［献标识码］Ａ文
［章编号］１７—４４２０）５００ —４文６２１５（０７０ —１５０
１引
言
本文主要讨论一维ｐＬｐａｅ－ａｌｃ方程
（（）一厂ｆ“ “ ） “ ）（，，
（（）一ｆｔ“ “）ｔ０１ “）（，，， ∈［，］
“ （）一０， “ （Ｏ１）一０
（．）１３
（．１４）
解的存在性，得到如下结论：
定理２１假设连续函数厂：Ｏ１ × 一满足下列条件．［，］
（）对任意（），Ａ１ｚ， ∈ 函数ｆ厂ｆｘ，可测；一（，）
（Ａ）对几乎所有的ｔＯ６， ∈［，］函数（）－ｆｚ，是连续的；ｚ，一厂，）（（。Ａ）对几乎所有的ｔＯ６， ∈［，］ｚ∈［ｆ，ｆ］Ｙ∈ ，ｌｔｚ） ≤ ａｆ＋ｃｌ一，里（）（）及有，，ｌ（）这ｆ（ｌ
Ｎｅｍａｎ边值问题解的存在性，中（）ｌｓＰ＞１ｓ０（）０显然，Ｐ一２时，ｕｎ其ｓ一ｌｓ，，≠ ；０一．当Ｌｐａｅ程即为通常的二阶常微分方程．ａｌｃ方由于为非线性算子，一些对线性算子有效的方法和工具都