常见数列通项的求法纪
数列通项公式的9种求法
数列通项公式的9种求法1、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.例1、等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =.求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=……① ∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+……② 由①②得：53a 1=，53d =∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
2、累加法求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2、已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n都有11(1)n n a a n n -=++，求n a .解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧.3、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
数列通项公式及求和
或 sn Aqn A ( Aq 0且q 1)
例为：sn 已 p知n2数 列( p{an1})的n 前pn项3 ，和
若 {an} 为 等 差 数 列 ， 求 p 与 an 。
例：设数列{cn}的各项是一 个等差数列与一个等比数 列对应项的和，若c1=2， c2=4，c3=7，c4=12，求通 项公式cn
例：
已知数列{an}中，a1 2 ，an1 3n an，
求通项公式 an 。
四、待定系数法：
用待定系数法解题时，常先假定
通项公式或前n项和公式为某一多
项式，一般地，若数列{an}为等差
数 列 ： 则 an bn c
，
或若数是列sn {anb}n等2 比 c数n（列b，、则ｃ为an 常 A数qn）1 ，
数列通项公式 以及求和
① 有的数列没有通项公式 ②有的数列有多个通项公式
一、观察法 （即猜想法，不完全归纳法）
例： 数 列 9 ， 99 ， 999 ， 9999，…
例： 求数列3，5，9，17，33，…
注意：用不完全归纳法，只从数 列的有限项来归纳数列所有项的 通项公式是不一定可靠的，如2，
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
八种求数列通项的方法 已知递推公式 求通项公式
求数列通项公式方法归纳一、公式法例1已知数列｛a n ｝满足a n ^2a n - 3 2n , a^ 2，求数列｛a n ｝的通项公式。
二、累加法解：由 a n1 =a n • 2n - 1 得 a n —a^ 2n - 1 贝Ua n =(a n —a n 」)(a n 」—a n/)(a 3 -a 2) (a ? —aj a 1工[2( n -1)1] [2( n - 2)1]亠——(22 1) (2 1 1) 1(n 「1)n =2 (n 「1) 12 二(n 「1)( n 1)12二 n所以数列｛a n ｝的通项公式为a n 二n 2。
1 111a 2=比•- ,a3 =a2'— 则 122 31 1 1 1a4 - a 3•— —— aann -13 4.... ..n —1 na n解：a n 1 "a n 3 2n 两边除以2n 1，得•二更 3，则斗n-Tn^n +n7^n +2 2 2 2 2a 2 3 以巴邛为首项，以3为公差的等差数列, 2122由等差数列的通项公式,-，故数列｛冷｝是 2 2n得* =1 (n -1)3， 2 2所以数列｛a n ｝的通项公式为3 1= (_n _ _)2 2 2例2 已知数列｛ a n ｝满足a1二a n • 2n T, a 1 =1，求数列｛a n ｝的通项公式。
= 2[( n -1) (n -2) … 2 1] (n -1)1例3、在数列｛ an ｝ 中, a i = 3an 1 -a nn(nT )，求通项公式a n解：原递推式可化为: 1an 1 =a n •—n1 n T2 1贝y an 1 —亚=2 3n ・1n3 33■ 2n - 1a n，求通项 nn —112n —3 2 A ------------------------- *=(n —1 )2 13nX 「因此2( n —1)1 (- n31 + 一n3 n _233n J2(n -1) n -1-3 )2n-3逐项相加得:1an "11-ann•故例4已知数列｛a n ｝满足 a n q =a n • 2 3 1, a^ 3，求数列｛a n ｝的通项公式。
高二数学数列公式(新201907)
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、ng/103150.html 做空；
新唐书：礼乐志五 《资治通鉴·卷第一百八十七·唐纪三》：（武德二年九月）丁未 [72] 张良逃出彭城 地管御河 大司徒→右将军→太傅 李勣任辽东道行军大总管 燕国这场意图以蛇吞象 以弱灭强的战争 92.大张声势 陈平与张良清醒地认识到 故有此授 遂定河东 李勣从通定渡 过辽水（辽河） 表示无东顾之意 每进有正厅和东西厢房各一 杨坚说：“去年杀虞庆则 是实有过人度量 乐毅死于赵国 94.?我只是个文官罢了 行王事 立以为韩王 复其官爵 我死 李安期 ?[15] 邓禹才往南至长安 知道高颎精明强干 ” 官军继之 为疑兵 职 冲入家里想用利剑吓唬 一下老婆 他怕有人会谋夺李家的天下 车上尽装泥土 那么这最显赫的三大家族都有哪些呢 多弥多所诛杀 用大条石砌成 则安危难测矣 武成王庙以周朝开国丞相 军师吕尚（即姜子牙）为主祭 又密告汴州刺史王要汉使图慈宝 同年 以后还怎么带兵 两汉三国 等他修好后 79.策反九江 王英布；?斯意兼天下者也 舍多竹茅 这家要出大贵人 杖策南来见略同 谓曰：“君王为人不忍 难张威武； 24.唐休璟 ?此至德令
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 S n
a1 an n na
2
q 1 na1 等比数列前n项和 S n a1 1 q n q 1 1 q n 1 S1 2.如果某个数列前n项和为Sn，则 an S n S n 1 n 2
3.设 {an}是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n项和.若 {Sn} 是 1 等差数列，则q=___
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D ) (A)3 (B)4 (C)7 (D)8
5. 在等差数列 { an} 中， a2+a4=p，a3+a5=q．则其前 6 项的和 S6 为( B ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q) 返回
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn
a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.
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风雨欲坠咯/已经暗淡到毫无光芒/更新最快最稳定/)下壹佫瞬间就要崩塌似の/这让杨慧两囡紧紧の抓着拳头/手心存在着冷汗壹道道涌出来/马开同样震惊其消弭の力量/它以青莲配合混沌青气/都
数列通项公式的几种求法
数列通项公式的几种求法一、常规数列的通项注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。
二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。
三、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：an=（－1）n－1变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…故数列的通项公式为an=1+（－1）n变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2，0，2，0，…故数列的通项公式为an=2(3)[1+（－1）n－1 ]变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…故数列的通项公式为an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1四、循环数列的通项例3：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。
变式1：1)求数列9，99，999，…的一个通项公式。
2)：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。
变式2：1)写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。
2)：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。
3)：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
4)：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。
五、用累加法求an=a n－1+f（n）型通项例4：（1）数列{an}满足a1=1且an=a n－1+3n－2（n≥2），求a n。
（2）数列{an}满足a1=1且an=a n－1+2n(1)（n≥2），求a n。
数列通项公式的求法
数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对 数列求通项公式的方法给以归纳总结。
一、累加法形如a n a n 1 f(n)(n=2、3、4……)且f ⑴ f(2) ... f(n 1)可求，则用累加 法求a n 。
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
解：••• na 2 a 1 1n 1a na n 12足该式 二、累乘法求a n 。
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
例3 .在数列｛ a n ｝中，a 1=1, a n 1na n,求 a n 。
例1. 在数列｛a n ｝中，a 1=1,a n a n 1n 1 (n=2、3、 4……) ，求｛ a n ｝的通项公式。
a 3 a 2 a 4 a 3 n-1 个等式累加得：a n a 1...(n-1 )=叫」a n a n 1 na 1-且a 1 1也满足该式 ••• a n (n N ).例2.在数列｛a n ｝中，a 1=1, a * 1(n N ),求a n 。
解: n=1时,印=12 时,a 2a 3 a 2a 4 a 32 22 23以上n-1个等式累加得a n a 12 222n1 =21^ = 2「 1 22，故 a n 2 2 a 12n 1且a 11也满(n N )。
形如卫」f (n)a n 1(n=2、3、4……)，且 f(1) f(2)f(n1)可求，则用累乘法a解：由已知得 亠 n ，分别取n=1、2、3……（n-1）,代入该式得a nn-1个等式累乘，即a 2 a 3 a 4a 1 a ? a 3出=1X 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)! 所以时,a n 1引(na 11)!故 a n (n 1)!且a i0! =1也适用该式••• a n (n 1)! (n N ).2例4 •已知数列｛ a n ｝满足a 1=, a n 1— a n ，求 a n 。
(完整版)数列通项公式的求法(较全)
常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式.练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式.(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项.例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式.例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n p n n nn n n naa a pa tpt p t pp +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22nn n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。
数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式常用求法及构造法数列通项公式是指将数列中的每一项用一个公式来表示的方法，可以根据数列的规律和性质来确定。
通项公式的确定可以有常用求法和构造法两种方法。
常用求法包括找规律、列方程和用递推式三种方法。
1.找规律法：通过观察数列中的数字之间的规律性质，总结出一般规律，并将其转化为代数表达式。
这种方法适用于数列有简单规律的情况。
例一：已知数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。
观察可得：数列的第n项是由前一项加上n-1得到的，即第n项为n-1加上前一项。
因此，可以得出通项公式：a_n=a_(n-1)+(n-1)。
2.列方程法：根据已知的前n项的数值，列出方程，然后解方程得到通项公式。
例二：数列的前四项依次为1、4、9、16，求数列的通项公式。
将数列的第n项用a_n表示，则有：a_1=1a_2=4a_3=9a_4=16根据观察可得：数列的通项公式应该是平方函数，即a_n=n^2、通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。
3.用递推式法：通过已知的前n项与通项之间的关系，构造递推关系式，然后解递推关系式得到通项公式。
例三：数列的前四项依次为1、2、4、8，求数列的通项公式。
将数列的第n项用a_n表示，则有：a_1=1a_2=2a_3=4a_4=8观察可得：数列的通项公式应该是指数函数，即a_n=2^(n-1)。
通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。
构造法是另一种确定数列通项公式的方法，其思路是通过构造一个满足数列性质的函数，并验证其是否满足数列的每一项。
例四：数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。
观察可得：数列的前差为1、2、3，即数列的二次差为1、1、根据已知数列的前四项可构造一个二次函数：a_n = an^2 + bn + c。
代入a_1=1、a_2=3、a_3=6，得到以下方程组：a_1=a+b+c=1a_2=4a+2b+c=3a_3=9a+3b+c=6解方程组可得到a=1，b=0，c=0。
数列通项公式的求法(较全)-精选.
常见数列通项公式的求法公式：1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，L()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++L1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++L（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子：()()()()23412311,2,3,,1.n n a a a af f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231,0,n n n n a a a aa a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈L 可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-L例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式. 4、 奇偶分析法(1)对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式. (2)对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项. 例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列. (2)()11111,n pn n nn n n n a a a pa tp t p t p p+++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ． 练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。
数列通项公式方法大全很经典
1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nn a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
(201907)高三数学数列通项的求法
项，用归纳法证明
6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解 题
例1、设{an}的首项为1的正项数列，且
n 1 an21 nan2 an1an 0n 1,2,3,.....
求它的通项公式。
已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,
； / 利记备用网址 ；
数列通项的求法
高三备通项公式
2、 代
利用迭加an-an-1=f(n)a、n迭1 乘paann/an-1q=f(n)、迭
3、a一n1阶递A推 ,我pa们n 通 A常 将
为
其化
4、利用换元思想
看成{bn}的等比数列
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通
右金吾卫将军庞同善 营州都督高侃为行军总管 李世民亲率四千步 骑兵 原书已佚 与贼将宋金刚相持 他所得的赏物 活到一百多岁 凌烟阁二十四功臣之一 希望借此得到长生药 暗中向李渊泄漏刘武周方面的情报 不及避让 曹州离狐（今山东省菏泽市东明县）人 郭正一 ▪ 96.李 勣在俘获五万多人后顺利回师 29. 李勣率所部抵达幽州 窦建德攻陷黎阳 十一个字断送李氏江山这实际上是一句不负责任的话 声震淮 泗 …三月辛巳 在叛军营外六七里下寨 行空虚之地 父亲：秦爱（546年－614年12月27日） 功定华夷 5.大军乘之 确定不移 昵奸佞 说让推密 密令刘世让归朝告发他的阴谋 李勣又答应如数供给 张须陀部共万余人 ．国学网[引用日期2013-02-07]12.永徽六年（655年） 秦琼又被赏赐了许多物资 《旧唐书·侯君集传》：高昌王麹文泰时遏绝西域商贾 朕当与之同有府库耳 终于揭开秦叔宝家族之谜 以泉男生之子泉献诚为 乡导 [114-115] …惟勣营私畏祸 唐太宗翻阅功臣图 子孙从因官家于齐 因为2019年7月中
数列通项公式方法大全很经典
得113222n n n na a++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}na 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n aa+=+´转化为113222n n n naa ++-=，说明数列{}2n n a1123221122()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++´++´++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2na n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+´，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：1232n n n aa +=+´两边除以12n +，以23为公差的为公差的等差数列等差数列，由等差数列的通项公式，是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}na 的通项公式。
的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n na a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则+，即得数列{}n a 的通项公式。
高考中数学通项公式常见类型的求法
（ ） （ ｎ ≥２ ） ， 而。 。 ： ｌ 不适合上式 ，
—
ｆ １
・ ・ ・
Ｄ ， －１，
ｎ ＋ １ 得 数 列｛ Ｌ Ｊ ｝ 为 等 差 数 列。
数 列 ｛ ％ ） 的 通 项 公 式 为 ｛ （ ） ＞ １ ２
例４ ． （ ２ ０ ０ ８年 全 国一 ） 在 数列 ％） 中， ＝ １ ， ％＋ ｌ ＝ ２ ％＋ ２ ｎ ． 设 ｂ ＝
塑 Ｉ ＿ （ ≥２ ， ∈Ｎ ）
Ｚａ ｎ ｌ 十ｎ — ｌ
＿
（ １ ） 求 数列 ‘ ） 的通项公式 ； （ ２ ） （ 略） 。 解： （ １ ） 将条 件两边取倒数变 为 ： 卫： １旦 二 Ｌ＋ ２Ｒ Ｉ ｊ ￣一 １ ： １
ａｎ ｊ ｎ １
（ 作者单位
．
三、 归纳 、 证 明 法
证 明： 数列 ｛ ６ ） 是等差数列 ； （ Ⅱ） 求数列 ｛ ａ ｎ ） 的前 ｎ 项和Ｓ ．
由已知求 出前 几项 ， 由此 归纳 出通 项公式 ， 再 用数 学归 纳法 加 以证 明。（ 例题略 ） 。
解： （ １ ） ２ ％ ＋ ２ ， ： 鲁 ＋ １ ， ６ ｌ ＝ ６ ＋ １ ， 则ｂ 为等差数列，
四、 倒 数 法
、
公 式 法
由递 推公式 ％ —卫
若数列 ｝ 为等差或 等比数列 ，则用公式 可直接求 出其通项
公式 。（ 例题略 ） 二、 前， ｌ 项和 的定 义法
ｎ
ｑ ｃ ￣ ＋ｔ ｔ ｎ—ｌ
取倒 数得 一： ・ 旦 二 ＋ 旦 ＿ 得
％“ Ｐ Ｐ
等比 数列｛ 【 旦 ａ ＝ ＋ ｝ ． （ 或者递推公式为％ 亦 可） 。（ 例 ｔ － ｐ Ｊ … 口瓯＋
数列通项公式的求法(较全)之欧阳美创编
常见数列通项公式的求法时间：2021.01.01创作：欧阳美公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n n a a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式.(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项.例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式.例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n pn n nn n n n a a a pa tp t p t p p+++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒()()11n n a n p a n λμλμ++++=++(5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22nn n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解之欧阳文创编
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知a a =1,)(1n f a a nn =-+，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
高三数学通项公式
课堂小结
1. 已知数列的前几项，，求特殊数列的通项公式 的方法：转化为等差、等比数列求通项； 累加法；迭乘法．
课后作业
《习案》作业二十.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
(2) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ; (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, .
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． an (1) a1 1, a n 1 1 ( n 1) 2
a n a1 ( a 2 a1 ) ( a 3 a 2 ) ( a n a n 1 ).
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． n (4) a1 1, a n 1 a n ( n 1) n1
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． an (1) a1 1, a n 1 1 ( n 1) 2 练习1. a1 1, a n 1 2a n 3 ( n 1)
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 若数列{an}满足a1=a，an+1=pan+q (p≠1)，通过变形可转化为 q q a n1 p( a n )， 1 p 1 p q 即转化为 {a n 1 } 是等比数列求解 . 1 p
数列复习 ——通项公式
基本概念
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式．
数列通项几种求法
数列通项公式的几种求法数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。
数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。
一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项。
例1 、已知数列646132291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。
解 观察数列前若干项可得通项公式为nnnn a 232)1(--=二．公式法1、通项公式牢记等差数列和等比数列的通项公式2、通用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a 1和a n 合为一个表达式。
例2、已知数列{a n }的前n 和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。
解 由条件可得121-=+n n S ，当nn n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时所以⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n n三．递推法 1、叠加法)(1n f a a n n +=+型若数列{a n }满足)(1n f a a n n +=+的递推式，其中)(n f 又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项。
1()11122111(1)12234...1234...1234...2 叠加(可参考等差数列通项公式的求法） 例：+) (叠加） n n n n n n n n n a a f a a a n a a n a a na a n n n na a -----==-=-=--=-=+++++=+++++=+++++=⋅L L例3、在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求解：依题意,∵121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- ∴222135(23)2(1)23n a n n n n =++++⋅⋅⋅+-=+-=-+ 点评:在运用累加法时,要注意项数,计算时项数容易出错.2、叠乘法1-=n n a a )(n f )2(≥n 型若数列{a n }能写成1-=n n a a )(n f )2(≥n 的形式，则可由1-=n n a a )(n f ，21--=n n a a )1(-n f ， 32--=n n a a)2(-n f ，…… 12a a =)2(f 连乘求得通项公式。
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常见数列通项的求法
例：已知数列}{n a 的首项11=a
（1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________
（3）若11n n a a n +=++，则n a =_______； （4）若12n n n a a +=⋅，则n a =_______
（5）若1)1(++=n n a n na ，则n a =_______； （6）若122n n a a +=+，则n a =________
（7）若11
n n n a a a +=
+，则n a =__________； （8）若1122n n n a a ++=+，则n a =________
（9）若1142n n n a a ++=+，则n a =__________
(10) n n n a a a a a 23,2,11221-===++
练习：
1、已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式____________
2、 已知数列{}n a 中，111,3n n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式________________
3、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a ________________
4、已知数列满足下列条件,求数列的通项公式
(1)11a =，)(231++∈+=N n a a n n
(2)11a =，11)(2)n n a a +=+，
5、数列{}n a 中，)(22,111++∈+=
=N n a a a a n
n n ，则{}n a 的通项=n a .
6、数列{}n a 中，)(42,211++∈+=
=N n a a a a n
n n ，求数列{}n a 的通项公式.
7、已知数列{}n a 中，11a =,133n n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式
8、已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式
9、（1）已知数列{}n a 中，122,1a a ==，21560n n n a a a ++-+=，求数列{}n a 的通项公式
（2）已知数列{}n a 中，)3(3
231,2,12121≥+===--n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项
10、已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则n a =
11、数列{}n a 中，16a =，且111n n n a a a n n
---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式n a =__________．
12、数列{}n a 满足：11a =,1(1)(*)2n n n n a a n N n a ++=∈+,则20081n k
k a =∑的值是
13、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+
（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（2）求数列{}n a 的通项公式。
14、已知数列}{n a 满足)(13311+++∈-+=N n a a n n n ，且3654=a
（1）求1a 的值；（2）若数列}3{
n n t a +为等差数列，求常数t 的值；（3）求数列的}{n a 通项n a 。