负相伴样本指数分布参数的经验Bayes检验
一类单边断型分布族参数的双侧经验Bayes检验问题
（ ） （ ）ｘ＋Ｃ ｌ８ ｚ 口 ｚ ｄ Ｇ
（） ４
其中
口 ） Ｉ（ ００ｄ ） Ｉ ，１）（ Ｏｄ （） （ ＝ Ｌ （ ，０ 一Ｌ （ ｄ ）厂 ０ ｌ ）Ｃ ０
Ｃ Ｇ＝ ｌ ｌＬ （ ， １ｌ ｚ ｌ ） Ｇ Ｏｄ １０ ｄ ） （ Ｏｄ （ ）ｘ 厂
夸
８ ３）： Ｐ（ 受 Ｈ０ Ｘ ＝ ｚ） （； ７ 接
为一 随机化判 决 函数 ， 当先 验 分布 函数为 Ｇ（ ） ， （７ 则 ０ 时 ８ ３）的 Ｂ ｙ ｓ 险 为 ； ａｅ风
Ｒ（（ ， ） Ｉ｛００ｄ） （ ） Ｌ （ ，１（ 一 ）ｆ ｌ ）Ｇ Ｏｄ ） Ｇ ＝ｌ Ｌ （ ，０占 Ｘ ＋ １０ｄ）１ （ ） ｝（ ｄ （ ） Ｏ ｘ
， 『 ）＝ ｈ ） ０ ， ＜ ＜ ， （ ０ （ （ ） （ ）０∈ ［ ，。 ０ ｏ） 断型分 布族 ， 如平 移指数 分 布族 ， ｚ ｌ ）＝ ｅ （ ０
Ｇ（ ）＝ １ ０ ＞ ０ 一确定 常数 。 ０ ， 为 本文考 虑下 述检验 问题 ： Ｈ０ ： ≤ ０≤ ２ Ｈ１ ０＜ “ 或 ０＞ “ ｌ ¨ ： ｌ ２ 这 里 ｌ “ 和 为 已知常 数 ， 记
“１＋
“０ — 一
（） １
其 中 ｈ（ ） （ ，。 ｚ 在 ０ ｏ）上非 负可积 ， 且单 诵下 降。 见（）式 中包含 了许 多重 要的一 维单边 截 易 １ ）ｚ ＞ ０ ０∈ ［ ，。 ， ＞ ０为 常数 。 ， ， ０ ｏ）
（） ２ （） ３ 本 文 中设 参数 ０的先验 分布 函数 Ｇ（ ） ８ 满足 条件
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１ ９卷
２
工
程
数
学
学
报
Ｖｌ９ 。 。１Ｎ ２
Bayes(贝叶斯)估计
• 缺点：u不是变量
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批评2：评价方法
• 假设检验、参数估计等都是多次重复的结 果；
• 想知道：
– 一次实验发生的可能性
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ห้องสมุดไป่ตู้
Bayesian方法
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Bayesian公式
h(y|x) p(x| y)q(y)
p(x| y)q(y)dy
• 先验分布密度：q(y) • 条件分布密度：p(x|y) 似
• 4、确定的先验分布() • 5、利用Bayesian公式求后验分布密度 • 6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
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例1：两点分布b(1,p)的
• 1. 联合分布：p(x|)nxx(1)nx
• 2. 先验分布：() 1 01
• 3. 后验分布： h(|x)n xr(1)nr*()
• 平方损失：
L(,)()2
– 最小Bayesian风险估计：后验期望
• 点损失：
L(a,
)
0,|
a
|
1,|
a
|
– 最大后验密度估计
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例子： 正态分布
• X1…Xn服从正态分布N(，2) ， 2已知， • 的先验分布是N(，2 )
• 求的Bayes估计.
• 求得后验分布还是正态分布
方差未知正态总体的均值检验多项分布的广义似然比检验pearson卡方统计量和似然比handyweinberg均衡在参数估计的例子中引入了handyweinberg均衡bacterialclump泊松散布度检验dispersiontest泊松散布度检验dispersiontest泊松散布度检验
截尾试验下指数分布可靠度的Bayes估计
￣（， ｆ 的 合条 度为： （ …ｆ ） 一） ｅ ０， ＝ｌ ＋ ｔ （ ｒ Ｊ１ ， 联 件密 ｔ…，） ｆ ， ，Ｉ ： Ｉ ｒＺ 一 ＞）其中 ｆ …ｒ ｎ ） ｌ ， ， ／ ！ （ ＋ ＋ －ｔ ｏ
Ｆ ２ ０ ０７
ＶＯ ． ３ Ｎｏ １ １ ． １
第 １ 卷第 １ ３ 期
截 尾试验下指数分布可 靠度的Ｂｙ 估计 ａｓ ｅ
方 连 娣， 管石峻
ｆ 安徽师范大学 数学计算机科学学院， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４００ 摘 要： 在指数分布场合， 定时或定数截尾试验下， 本文讨论 了相应于几种不同先验分布可靠度的 Ｂ ｙｓ ａ 估计。 ｅ
‰（
・ｆ ＝ ） １（ｌ ）１Ｓ）０ ＜ ．） （ ， ， 而 ＿ｎ ｒｘｌ／ ＜ ｌ －（ｔ， －ｔ
（ ２ ）
证明 ｉ （） ／ ， （ 由万 芘ｌ ＞０， ） 知在试验 下， 参数 的后验密度为 Ｉ ， ｓ －Ｚ ＞， ｔ … ）而 ｌ￣ ０ Ｉ ， ｉ ｅ＇ －
３ 共 轭 分 布 ｋ
Ｉｔ ａ）
在 理ｌ 如 令 ：Ｉ ，五）（ ）是 际 总 有 使 时 与 定 务 间 之 值 定 中 果 ｒ ｔ （ 击 实 上 的 效 用 间 规 任 时 ￡ 比 ， ／则 ｆ ＝ ， ｒ
参数 的共 轭先 验分 布为 ｒ（， ），Ｐ （ ） ＿ Ｐ （ 口 ６ ￣ｘ２ ＝ ＿ － 埘 ＞０口ｂ＞０ ，， ）
关键词 ： 先验分 布； 截尾试验； 可靠度；Ｂ ｙｓ ａｅ 估计 中图分类号 ： ２ ３２ Ｏ １． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：１０ － ２ ０ ２０ ）１ ０ ９ ０ ０ ７－ ６ （ ０ ７０ —０１－ ２ ４
负相伴样本情形下线性指数分布参数的渐近最优的经验Bayes估计
（ ｒｎ ｐ ｒ ｔ ｎ Ｓ ｉ ｃ Ｔ ａ ｓ ｏ ｔ ｉ ｃ ｎ ｅ＆ Ｅ ｇ ｎ ｅｉｇ ａｏ ｅ ｎ ｉｅ ｒ ） ｎ
负 相 伴 样 本 情 形 下 线 性 指 数 分 布 参 数 的 渐 近 最 优 的经 验 Ｂ ｙ ｓ 计 ＊ ａｅ 估
陈家 清” 彭红 伟¨ 董 锐
的．
数的 Ｅ Ｂ估计 问题 ， 希 儒ｌ 研 究 了离 散 型 单 参 陈 ＿ ５ 数 指数 族参 数 Ｅ Ｂ估 计 的 渐 近 最优 性 问 题 ， 林 赵 城 讨论 了一类 离散 分 布参 数 Ｅ Ｂ估 计 的收敛 速 度． 韦来 生［ 和师 义 民［ 分别 讨 论 了单 边 及 双 边 ７ ８
・
３８・ ８
武汉 理 工大 学 学报 （ 交通 科 学 与 工 程 版 ）
一Ｉ（ ４ ） 出专 ｄ （ ＝ －一 ｚ － ｅ － Ｇｅ Ｉ ）
Ｊ
定 义 ｌ９ 随 机 变 量 Ｘ ， ， ． Ｘ ＿ Ｘ。 … ， 称 为 负
相伴 的 ， 如果 对 于集合 ｛ ， ， ， 的任 何 ２个不 １ ２ … ）
交 的非空 子集 Ａ 与 Ａ 都 有
Ｉ ４ ）Ｏ１ ｄ（ （ （ － ｅ－ Ｇ０ ３ － ｒ ） ） 令 。 ） 一 ｄ（ （ 一Ｉ 缸１ Ｇ０ ｚ ｅ一 ） （ ４ ）
收 稿 日期 ：Ｏ Ｏ １ － ８ ２ ｌ一２１
陈 家 清 （ ９２ ： ， 士 ， １ ７ 一） 男 博 副教 授 ， 主要 研 究 领 域 为 概 率 论 与数 理统 计
中 国博 士后 基 金 项 目（ 准 号 ：０ ０４ １ ６ ）武 汉 理 工 大 学 自主 创 新 基 金项 Ｅ（ 准 号 ：０ ０ｌ一２ ） 助 批 ２ １０ ７ １８ 、 ｌ批 ２ １ 一ａ０ ７ 资
几何分布参数的Bayes估计
几何分布参数的Ｂａｙｅｓ估计［摘要］以先验分布为贝塔分布时,对几何分布给出了参数的Bayes估计。
［关键词］几何分布；Bayes估计；先验分布随着科技的发展，对一些高可靠性、长寿命的产品利用古典的统计方法对其进行抽样检验和估计，往往不能使人信服，因为古典的统计方法没有考虑到历史经验和数据。
而Bayes方法在统计决策中由于利用了样本信息和先验信息，可以对参数的估计进行补充和修正，使决策函数的平均风险达到最小(即Bayes风险达到最小)。
显然，平均风险最小所对应的决策函数最优。
在先验信息已知的情况下，充分利用样本信息先验信息的期望风险要小于只利用样本信息进行估计决策带来的期望风险，尤其对小样本问题，样本信息不充分，先验信息更有价值。
由于现实中有很多决策问题都受到样本容量小的局限，所以Bayes方法在统计决策中更贴近实际问题，有广泛的用途。
但Bayes方法常常对连续型分布的参数估计较多，对一些离散型的分布估计较少，下面利用Bayes方法对几何分布的参数进行估计。
6、小结从最后所得出的Bayes估计公式中可以看出,利用Bayes方法不仅能找出离散型分布的估计公式，而且Bayes估计公式充分参考了历史经验数据或专家意见。
这为在现实生活中尽可能地利用实际数据或利用实验数据来估计参数值提供了一种可靠的方法。
参考文献:[1]成平，陈希孺等.参数估计[M]上海，上海科学出版社,1984:162-174[2]何基报,茆诗松.对数正态分布场合无失效的Bayes验证试验方案〔J〕.应用概率统计,2000,(3):339-248.[3]韩明.参数的 E Bayes估计法及应用〔J〕.数学的实践与认识,2004,34(9):97-106.[4]周翠娥.分组数据下指数分布参数的Bayes估计〔J〕.和田师范专科学校学报(汉文版),2005,25(1):150-151.[5]梁之舜,邓集贤等.概率论与数理统计(第二版)〔M〕.北京.高等教育出版社,1988.[6]Martz HF,WallerRA.ABayessian Zero-Faailure(BAZE) reliability demonstration testing procedure〔J〕.Journal of QualityTechnology ,1979,11:128-138.。
一类特殊的指数分布族参数的经验Bayes检验：NA样本
本文 讨论 经验 Ｂ ｙ ｓ 侧检 验问题 ： ａｅ 单
Ｈｏ ０≤ Ｏ Ｈｉ０＞ ｏ ： ｏ ： Ｏ， （） １
性模 型 最小 二乘 估计 的 ，阶矩相 合性 ； 兴 才等 ［ 周 ６ ］ 基 于 Ｎ 样 本讨论 了部 分线 性模 型参数 最小 二乘 估 Ａ 计 的强 相合 性 ；刘荣 玄等 【基 于 ＮＡ 样本 讨论 了双 】 参 数 指数 分 布 的位 置 参数 在 Ｌ ＮＥ 损 失 函数下 的 Ｉ Ｘ Ｅ 估 计 问题 ；陈玲 等 ［ 究 了连续 型单参数 指数族 Ｂ ８ 】 研 参 数 的经验 Ｂ ｙ ｓ ａ ｅ 检验 问题 ；师义 民［ ＮＡ样本 下 ９ ］ 对
ｆ （６）ｘ （ Ｊ ）＋Ｇ （ （ ）－（ ］ Ｇ ） ｘ １ ｘｄ Ｏ （ ｄ Ｃ， ２ Ｉ Ｏ ）ｄ ＝ ｘ ）
其 中
定 义 １ 称 随机 变 量 ， ， 为 负 相 协 的 ， …，
如果对任意 ２个不相交的集合 ｛２…， 的子集（ １， ｎ ， ｝ 非
空） ４与 都 满足 Ｃ ｖＡ（ ，∈４） （ ，∈ ２） ０ ｏ （ ｘ￣ ｉ ， ｉ Ａ ）≤ ，
令 Ｓ≥ ２ 为 任 意 给 定 的 自 然 数 ， Ｋ （） ： ｒ Ｏ１一 一 ） Ｂ ｒｌ 测 的有 界 函数 ，在 区 间 （， ， １是 ｏｅ 可 ０１ ） 之外为 ０ ，且满 足下 列条 件 ：
，
ｊ（Ｉ （一（Ｉ Ｉ ｄ ］ （ ≥ ）ｘ ）Ｉ ） ） （１． Ｐ ）
０ 力 ０
Ｉ Ｇ ） （ 无偏估计． ｆ厂（ ＝ 知， （ 为 （ 的 ｏ ． Ｏ ） ） ）
又 由 Ｊｎ ｅ 等式 知 ｅ ｓｎ不
Ｅ （） （） ： （ 一 ’ ） Ｇ
故 由引 理 １ 控制 收敛 定理 可知 及
指数分布下Bayes鉴定试验方案
作者简介 ｝ 陈宜辉（ ９ ８） 男， 戡 １７－ ， 安｛ 明光人． 硕士研宄生， 主要 事军事运筹分析研 宄。
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第 ２期
陈宜辉， 指数分布下 Ｂ ｙｓ 等： ａｅ 鉴定试验方案
５ ７
１ 先 验 分 布 的确 定
０ 引言
新 产 品的研制 一般包 括原 理样机 、 样与正 样几 个阶段 。在各个 阶段 ． 照 目前 的国家 标 初 按 准 或军 用标 准所规定 的验证 方 案均需要 专 门加 工大量 的正样 产品 ． 较长 时间 的试验 ， 傲 从而 使 鉴 定试 验 费用大大增 加。 特别对 于小子样 产 品， 上述 的验证方 案更加 难 以实 施。 然而 ， 在各个 研 制 阶段都 积累 了大 量 的试 验数 据， 若充分 利用 这些历 史信息 ． 将会 降低可 靠性鉴 定试 验所需
指 数分 布下 Ｂ ｙｓ 定试 验 方 案 ａｅ 鉴
陈 辉 姜 ， 树和 宜 ， 礼平 吴
（ 海军工程大学 基础部． 期北 武汉 ４ ０３ ） ３０ ３
摘
要： 在确保使用方利益的前提下， 从最 大后验风 险的角度运 用贝叶斯方法 制定 了可靠性 鉴定
试验方案。按照此鉴定试验方案， 缩短了试验时间， 从而 降低 了鉴定试验所需 的费用。 关键词 ： 指数分布 ； 鉴定试验； 贝叶新方法 ： 最大后验风险 中图分类号 ： ２ ２ Ｏ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ７３２ （０ ２ ０—０ ６ｏ １０ —２ １ ２０ ）２０ ５一４
＾ ．
（ ） ＝
ｉ “ ，
一 肭
＞０ 口＞０ ６ ， ， ＞０
（） ２
其中 ｎ与 ６为先验分布的超参数。确定先验分布超参数的方法很多［ 一 ， 本文利用产 品失效 ・
指数分布寿命试验Bayes可靠性评估
指数分布寿命试验是一种常用的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
指数分布寿命试验是一种基于概率模型的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
指数分布寿命试验是一种基于概率模型的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
指数分布寿命试验是一种基于概率模型的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
指数分布寿命试验是一种基于概率模型的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
它假设物品的可靠性是指数分布的，即每个物品的可靠性可以用一个指数函数来表示。
指数分布寿命试验的基本思想是，通过对一定数量的样本进行测试，来估计物品的可靠性水平。
指数分布寿命试验的基本步骤是：1. 选择一定数量的样本，并将其分为不同的组，每组样本的数量应该是相同的。
2. 对每组样本进行测试，并记录每组样本的可靠性水平。
3. 根据记录的可靠性水平，构建指数分布的概率密度函数，并计算出指数分布的参数。
4. 根据计算出的参数，计算出物品的可靠性水平。
5. 对物品的可靠性水平进行评估，得出最终的可靠性评估结果。
Bayes可靠性评估是一种基于概率模型的可靠性评估方法，它可以用来估计物品的可靠性水平。
Bayes可靠性评估的基本思想是，根据已有的可靠性数据，建立一个可靠性模型，用来估计物品的可靠性水平。
Bayes可靠性评估的基本步骤是：1. 收集可靠性数据，并将其分为不同的组，每组数据的数量应该是相同的。
2. 根据收集的数据，建立一个可靠性模型，用来描述可靠性数据的分布情况。
3. 根据可靠性模型，计算出物品的可靠性水平。
4. 对物品的可靠性水平进行评估，得出最终的可靠性评估结果。
Bayes可靠性评估和指数分布寿命试验都是基于概率模型的可靠性评估方法，它们都可以用来估计物品的可靠性水平。
但是，Bayes可靠性评估比指数分布寿命试验更加精确，因为它可以根据更多的数据来构建更加准确的可靠性模型，从而得出更加准确的可靠性评估结果。
【国家自然科学基金】_ⅱ型截尾_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
科研热词 推荐指数 收敛速度 2 ⅱ型截尾 2 逐步增加的ⅱ型截尾 1 逐步增加ⅱ型截尾 1 逐步增加ⅱ型 1 负相关 1 置信区间 1 经验bayes检验 1 经验bayes估计 1 累积和 1 简单步加试验 1 混合广义指数分布 1 混合ⅱ型截尾 1 极大似然估计 1 截尾数据 1 截尾 1 强相合 1 密度函数的核估计 1 均值变点 1 可靠性指标 1 双参数指数分布 1 参数估计 1 危险函数 1 冷贮备串联系统 1 weibull分布 1 rayleigh分布 1 lindely bayes近似算法 1 k(m)/n系统 1 em算法 1 eb估计 1 bayes法 1 bayes估计 1
推荐指数 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 逐步增加ⅱ型截尾样本 逐步增加ⅱ型 逐步ⅱ型截尾 逆矩 贝叶斯估计 混合威布尔分布 极大似然估计 最短可信区间估计 指数分布 截尾寿命试验. 恒定应力加速寿命试验 容许性 完全数据 pareto分布 gibbs抽样 em算法 ecm算法 bayes估计
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
科研热词 推荐指数 逐步增加ⅱ型截尾 3 可靠性评估 2 pareto分布 2 bayes估计 2 风力发电机组 1 预测精度 1 随机移走 1 逐步增加ⅱ型 1 逐步增加ⅰ型截尾 1 逐步增加i型区间截尾 1 贝叶斯估计 1 航天器电源系统 1 置信区间 1 系统可靠性分析 1 火箭发动机储备数 1 条件分布 1 最大似然估计 1 方差系数 1 指数分布 1 恒加试验 1 屏蔽数据 1 可靠性指标 1 可靠性增长预测 1 可靠性分析 1 双参数指数部件 1 具有随机移走逐步增加ⅱ型截尾试验 1 先验分布 1 二项随机移走 1 k/n(g)系统 1 gibbs抽样 1 bayes方法 1
3.4经验Bayes估计
188 3.4 经验贝叶斯估计经验贝叶斯方法（Empirical Bayes Method ）是H.Robbins 在1955年提出的，这种方法的思想受到统计学者的高度重视.统计界元老J. Neyman 甚至称它为统计判决的“两大突破”之一.几十年来，许多学者将Robbins 的思想用于种种统计问题，得到了一些重要结果.前面曾经指出，贝叶斯方法的困难之一，就在于要求参数具有一定的先验分布.即使在某项具体问题中可认为这个要求是合理的，参数的先验分布一般也无法预知，因而往往对它做一种人为性规定.因为当先验分布的指定与实际情况不符时，所得的解会受到较大影响，这样以来在对先验分布无法基本确定时，贝叶斯方法的适用性和优越性就受到限制.经验贝叶斯方法就是针对这个问题提出的.经验贝叶斯方法分为两类，一是非参数经验贝叶斯方法，二是参数经验贝叶斯方法.3.1 非参数经验贝叶斯方法简介非参数经验贝叶斯方法完全不指明先验分布，在获得数据后，利用数据来估计有关分布. 假定参数θ∈Θ（Θ为参数空间），θ的先验分布函数为()G θ，分布密度为()πθ. ()d d X D =∈（D 为决策类），损失函数为(,)L d θ，样本空间为*X ，而随机变量*X X ∈.于是对给定的θ，X 的概率密度为(|)f x θ.决策函数d 的风险函数为[]*(,)(,())(,())()XR d E L d X L d x q x dx θθθθθ==∫ )(d R 称为决策函数d 在给定先验分布()G θ下的贝叶斯风险()[(,)](,)(),R d E R d R d d θθπθθΘ==∫189记使贝叶斯风险最小的贝叶斯决策为G d .在实际中，()G θ往往是未知的，因此无法得到G d .假定我们在过去已经多次面对这个统计决策问题，在第i 次碰到这个问题时，样本为i X ，真参数为i θ.我们假定θ具有一定的先验分布()G θ，且只知道()G θ属于某个分布族*F ,而1,n θθ"可以看成是从分布()G θ中抽出的相互独立同分布的“样本”. 在给定()G θ后，1,,n X X "是可观测的，而1,,n θθ"是不可观测的.由于1,,n X X "（通常称为历史样本）是来自总体()(|)()G m x f x dG θθΘ=∫ 的样本，且分布()G m x 与先验分布()G θ有关，故样本1,,n X X "中也包含了()G θ的信息，n 越大所包含的信息越多.现在再一次面对上述统计决策问题，得到的样本为X （通常称为当前样本），真参数值为θ. 在求贝叶斯解时可以参考历史样本1,n X X "中获得的关于()G θ的信息，已选定一个决策函数d ，这个d 将与1,,n X X "有关，因而记为1(|,,)n n n d d X X X =". 我们希望它的贝叶斯风险接近真正的贝叶斯决策()G d X （也称为贝叶斯解）的贝叶斯风险()G R d ，并且当n →∞时以()G R d 为极限.但1(|,,)n n d X X X "如何计算？首先，固定1,,n X X "，这时1(|,,)n n d X X X "只与X 有关，其贝190 叶斯风险为11()((|,,))[(,(|,,))]n n n n n R d R d X X X E L d X X X θ==""其中E 表示对(,)X θ的联合分布求期望. 由于1,,n X X "也是随机的，还要对它们求一次期望，这样得到n d 的“全面”贝叶斯风险为1*()[((|,,))]n n n R d E R d X X X ="定义3.12 任何同时依赖于历史样本1,,n X X "和当前样本X 的决策函数1(|,,)n n n d d X X X ="称为经验贝叶斯决策函数.如果对任何先验分布()*G F θ∈，有lim *()()n n n R d R d →∞= （5.13） 则称n d 为渐近最优的经验贝叶斯决策函数.当我们考虑参数θ的经验贝叶斯估计时，满足上述极限式的n d 称为θ的渐近最优经验贝叶斯估计.应当注意，在经验贝叶斯决策函数1(|,,)n n d X X X "中，历史样本1,,n X X "与当前样本的作用是不一样的.1,,n X X "的作用在于由之获得关于先验分布()G θ的信息以帮助选定一个尽可能接近贝叶斯解的决策函数1(|,,)n n d X X X "，而推断当前参数值的任务落在当前样本X 的头上.例3.20 设总体X 服从Poisson 分布，分布律为191(|)/!x f x e x θθθ−=， (0,1,;0)x θ=>" 1,,n X X "为来自总体的样本，在平方损失下求参数θ的经验贝叶斯估计.解 设先验分布为()G θ，则X 的边缘分布密度为0()(/!)()x G m x e x dG θθθ∞−=∫ ， (0,1,)x =" 在平方损失下，θ的贝叶斯估计为后验均值100(1/!)()(1)()(|)(1)()(1/!)()x G G x G x e dG m x d x E X x m x x e dG θθθθθθθ∞+−∞−+===+∫∫ 若()G θ未知，但有了历史样本1,,n X X "，它们来自总体()G m x ，故可由样本估计()G m x取()G m x 的估计为111ˆ(|,),1}1G n n m x x x x x x n =+""中等于的个数)+ 以此代替θ的贝叶斯估计中的()G m x ，可得到θ的经验贝叶斯估计111ˆ(1|,)(|,)(1)ˆ(|,)G n n n G n m X X X d X X X X mX X X +=+""" 上述经验贝叶斯估计渐近最优性的证明很复杂，故省略不证.3.2 参数经验贝叶斯估计简介参数的经验贝叶斯估计则指明先验分布族，但先验分布中含有未知参数（称为超参数），需要利用观测数据192 来估计超参数.将超参数的估计代入先验分布中，再求得原参数的贝叶斯估计，进而求得参数的经验贝叶斯估计.例3.21 设总体X 服从正态分布(,1)N θ，损失函数为2(,)()L d d θθ=−,θ的先验分布只知道属于分布族22*{(0,),0}F N σσ=>,1,,n X X "为历史样本，由于X 在θ的先验分布2(0,)N σ之下的边缘分布为2(0,1)N σ+，于是得2σ的估计为2211ˆ1n i i X n σ==−∑ (5.14) 设当前样本为X ，取θ的先验分布为2ˆ(0,)N σ，则在平方损失下θ的贝叶斯估计为22121211ˆ(|,,)()(1)ˆ1n n n n n i i i i n d X X X X X X X σσ−====−+∑∑"其贝叶斯风险为21ˆ((|,,))n n n R d X X X σ="2ˆ/(1)n σ+因而得到n d 的全面贝叶斯风险为*()n R d =[E 2ˆn σ2ˆ/(1)n σ+] (5.15)由大数定律，以概率1地成立222ˆ(1)1n σσσ→+−=由(3.15)式及控制收敛定理得lim *()n n R d →∞=2σ2/(1)σ+即当θ的先验分布为2(0,)N σ时，上式右端为θ的贝叶斯估193 计的贝叶斯风险，从而(5.13)式成立，由定义知212111(|,,)()(1)n n n n ii i i d X X X X X X −===−∑∑"是相对于先验分布族22*{(0,),0}F N σσ=>的渐近最优经验贝叶斯估计.。
非对称损失函数下逆指数分布参数的Bayes估计
非对称损失函数下逆指数分布参数的Bayes估计王琪1，任海平2【摘要】摘要：针对逆指数分布的估计问题，在参数的先验分布为无信息Quasi先验分布下，得到了平方误差、LINEX损失和熵损失函数下参数的Bayes估计。
最后，通过各估计在平方误差损失函数下的风险函数的比较给出本文的结论。
【期刊名称】齐齐哈尔大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5【关键词】Bayes估计；平方误差损失；LINEX损失函数；熵损失函数；风险函数逆指数分布作为可靠性寿命试验中的一类重要分布，其应用和统计推断得到了许多学者的关注和研究。
文献[1]指出逆指数分布是一种重要的寿命分布，并给出了完全样本下参数的最大似然估计；文献[2]在参数的先验分布为无信息先验分布的条件下，研究了在LINEX损失函数下的Bayes估计问题；文献[3]研究了逆指数分布参数的各类收缩估计问题；文献[4]在参数的先验分布为伽玛分布的条件下，研究了逆指数分布参数、可靠性以及失效率函数的Bayes估计问题；文献[5]研究了加权平方损失和MLIEX损失函数下逆指数分布参数的最小最大估计问题。
设随机变量X 服从逆指数分布，相应的概率密度函数为其中θ为未知参数。
本文将在参数的先验分布为Quasi先验分布下，研究基于平方误差损失、LINEX损失和熵损失函数下逆指数分布参数的Bayes估计及风险比较问题。
1 预备知识在Bayes统计分析中，先验分布和损失函数占据着非常重要的地位。
设参数θ的先验分布为无信息Quasi先验分布，相应的概率密度函数为当 d=0时，π(θ)∝1为离散先验分布；当 d=1时，为无信息先验分布。
本文所采用的损失函数分别为：（i）平方误差损失函数在平方误差损失函数下参数θ的Bayes估计为：=E[θ|X ]。
平方误差损失函数由于其在数学处理上的方便，成为Bayes统计推断中应用最为广泛的一类损失函数。
它对高估和低估给予相等的惩罚。
指数分布单样预测的Bayes方法
指数分布单样预测的Bayes方法
周源泉;郭建英
【期刊名称】《质量与可靠性》
【年(卷),期】2001(000)003
【摘要】对指数分布的单样预测问题用Bayes方法进行了讨论，结果表明，定数截必埋，无信息先验分布的Bayes预测限与经典预测限相同，但两种方法的预测子不一致，对有替换定时截尾，给出了经典方法目前尚未处理的单样预测问题的Bayes预测子与预测限，并用数值例说明了这些方法。
【总页数】4页(P13-16)
【作者】周源泉;郭建英
【作者单位】北京强度与环境研究所;哈尔滨理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TB114.3
【相关文献】
1.指数分布的Bayes单样与双样预测区间 [J], 周源泉
2.定时截尾场合，指数分布的Bayes单样与双样预测 [J], 周源泉
3.双参数指数分布单样预测的Bayes方法 [J], 周源泉;郭建英
4.指数分布双样预测的Bayes方法 [J], 周源泉;郭建英
5.双参数指数分布双样预测的Bayes方法 [J], 周源泉;郭建英
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几种先验分布下指数分布参数的贝叶斯估计
－ λｓ１
，０＜λ＜ａ
，ａ≤λ＜ｂ
δＢ（ｔ）＝
∫０λ （１－ λ） ∫０λ
β－ １ １ ｒ＋ａ－ １
１
ｒ＋ａ
β－ １
ｅ
－ λｓ１
ｄλ ｄλ
－ ｓ１
（１－ λ）
ｉ
β－ １
ｅ
－ λｓ１
（ 式 ５）
近似估计值为
％
δ Ｂ （ｔ）＝
（ 式 ６）
() ｉ
ｉ ＝ ０ ｋ ｉ ＝ ０
（－ １） + （１＋Ｐ ）（－ ｅ ）＋（ ｒ＋α＋ｉ ）！ !λ * ｓ ｓ （－ １） （１＋Ｐ ）（－ ｅ ）＋（ ｒ＋α＋ｉ ）！ !λ () ｉ , ) ｓ ｓ
ｌ＋２
Ｖ
Ｖ
Ｖ
（２） 若损失函数为 Ｌ（δ，λ）＝δ－ ２λｌ（δ－ λ）２， 则 λ 的贝叶斯估计
ａ
１
为方便下文 ， 先作记号 ：
Ｍ１（ｎ， 无 ，ｒ）： 样 本 容 量 为 ｎ ， 定 数 为 ｒ 的 无 替 换 定 数 截 尾 寿 命 试
验；
Ｍ２（ｎ， 有 ，ｒ）： 样 本 容 量 为 ｎ ， 定 数 为 ｒ 的 有 替 换 定 数 截 尾 寿 命 试
" λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ） $ ａλｒｅ－ λｓ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ＋ ｂλｒｅ－ λｓ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ! ! ０ ａ $ Ｖ － λｓ π（λ｜ｔ ）＝’ λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ｂ － λｓ $ ａ ｒ － λｓ λ ｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ＋ ! λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ! $ ０ ａ ０，λ≥ｂ %
－ λｓ３ 则它们的联合密度为 ｆ（ｔ ｜λ）＝ ｎ！ λｒｅ （λ＞０），ｓ３＝ｔ１＋ｔ２＋Ｌ＋ｔｒ＋（ｎ－ ｒ）τ Ｖ
逆指数分布参数估计的损失函数和风险函数的Bayes推断
逆指数分布参数估计的损失函数和风险函数的Bayes推断阳连武【摘要】由于参数的真值是未知的,导致Bayes统计推断中的损失函数和风险函数也是未知的.为此本研究以逆指数模型为例探讨损失函数和风险函数的Bayes估计问题.在共轭先验分布下研究了未知参数的损失函数和风险函数的Bayes估计及其保守性质,并给出相应的Bayes估计的合理性.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2016(038)012【总页数】3页(P1-3)【关键词】Bayes估计;平方误差损失;LINEX损失函数;熵损失函数;风险函数【作者】阳连武【作者单位】宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春336000【正文语种】中文【中图分类】O212在统计决策问题，由于分布参数常是未知的，我们需要对其进行估计。
记d=δ(x)为未知参数θ的估计。
由于估计值一般不等于真实值，会带来一定的损失，记w(θ，d)为决策δ(x)的精度程度，w(θ，d)为未知参数θ的函数，因而也是无法观察的，故应对w(θ，d)作一个精度估计。
设γ是损失函数w(θ，d)的估计，为了把估计误差w(θ，d)和其精度估计γ结合起来，文献［1］提出了如下的损失函数该损失函数具有如下特点:γ关于L(θ;δ，γ) 的Bayes估计γB(x)恰好是δB(x)的后验损失，即γB(x)=E［w(θ，δB)/x］从频率派的角度考虑 (见文献［2］)希望γ为保守估计，满足Eθ(γ(x)］≥ R(θ，δ) = Eθ［w(θ，δ)］。
文献［2－6］分别研究了指数分布、正态分布、对数正态分布、Pareto分布和Rayleigh分布的损失函数和风险函数的Bayes估计及保守估计的条件，并讨论了不同情况下Bayes估计的合理性。
逆指数分布是可靠性寿命试验中的一类重要分布，引起了许多学者的广泛研究。
文献［7］研究了无信息先验分布和LINEX损失函数下的Bayes估计;文献［8］研究了逆指数分布参数的Bayes和经验Bayes估计;文献［9］研究了逆指数分布参数的收缩估计问题;文献［10］在伽玛先验分布下，研究了逆指数分布可靠性和失效率的Bayes估计。
指数分布的共轭分布
指数分布的共轭分布指数分布是概率论中一个重要的概率分布，它具有许多重要的性质。
在贝叶斯统计学中，指数分布是一类重要的共轭分布，即在给定指数分布的先验分布下，后验分布也是指数分布。
本文将介绍指数分布的基本概念和性质，并探讨其共轭分布的特点。
让我们来了解一下指数分布的基本概念。
指数分布是描述事件发生时间间隔的概率分布，常用于描述一些连续随机事件的发生情况。
它的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的期望值为1/λ，方差为1/λ^2。
指数分布的特点是事件发生的时间间隔越长，概率越小。
在贝叶斯统计学中，我们经常需要根据观测数据来更新对参数的先验分布，得到后验分布。
共轭分布是指在给定先验分布的情况下，后验分布属于同一分布族的分布。
对于指数分布而言，其共轭先验分布是伽玛分布。
伽玛分布是一类重要的概率分布，常用于描述一些连续随机事件的发生情况。
它的概率密度函数为f(x)=x^(α-1)e^(-βx)/Γ(α)，其中α和β是分布的参数，Γ(α)是伽玛函数。
伽玛分布的期望值为α/β，方差为α/β^2。
伽玛分布的特点是事件发生的概率随着参数的变化而变化。
当我们选择伽玛分布作为指数分布的先验分布时，根据贝叶斯定理，可以通过观测数据来更新对参数的先验分布，得到后验分布。
具体计算的方法可以通过贝叶斯公式来实现，不过在本文中我们将避免使用数学公式。
共轭分布的重要性在于它简化了贝叶斯推断的计算过程。
通过选择合适的共轭分布作为先验分布，我们可以避免复杂的计算和数值积分。
共轭分布的存在使得贝叶斯统计学成为一种实用的统计方法。
除了伽玛分布，指数分布还有其他一些共轭分布，比如正态分布、威布尔分布等。
这些共轭分布在不同的应用领域具有重要的作用。
比如在生存分析中，指数分布是描述时间间隔的常用分布，而威布尔分布则可以更好地描述不同阶段的风险情况。
指数分布是概率论中一个重要的概率分布，具有许多重要的性质。
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仑 肥 学 院 学 赧 （ 然科学版） 自
２０ ０ ７年 １ 第 １ １月 ７卷 第 ４期
Ｊｕ ａ ｏ ｅ ｉ ｎ ｅｓ ｙ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅ） ｏｒ ｌ ｆ ｆ ｉ ｒｉ （ ａ ａ Ｓｉ ｃｓ ｎ Ｈ ｅＵ ｖ ｔ ｕｌ ｅ
指 分 的 度 数 数布密函为
） ｌｘ 一 ） ＞． ＝ ｅ（号 ， ０ ｐ
（ １ ）
在实际中， 分布（ ） １ 是极其常见和重要 的， 而且可 以用来描述生存分析、 可靠性理论 、 工程学 、 环境科 学 中的许多模型． 通常在生存分析和可靠性 问题 中服从这个分布的随机变量表示一个体的寿命 ， 且它的数 学 期 望等 于 ０， 因而 称 ０为 寿命 参数 ．
ＮＯ ２ ０７ Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． Ｖ． ０ １ １ ４
负 相伴 样本 指 数 分 布 参 数 的经 验 Ｂ ｙｓ 验 ａｅ 检
于红 艳 ， 新 宏 ， 余 陈桂 景
（ 安徽 大学 数学与计算科学学 院 ， 合肥 ２０３ ） ３ ０ ９
摘
要： 讨论 了负相伴样本情形指 数分布 中寿命参 数 ０的经验 Ｂ ｙｓ ａｅ 单侧检验 问题 ：４ ： 一日 ： ／ ０≤ ｏ ０＞ ０ ， 。 利
关于连续型单参数指数族参数 的经验 Ｂ ｙｓ ａｅ 检验 问题 ， 文献 中已有许多研究．ｏｎ 和 Ｖ ｎＲ ， ａ Ｊｈｓ ａ … Ｖ ｎ
Ｈ ，Ｌａｇ ， ａｕａ ｕ ｉ ， 来 生 等 对其 分 别做 了不 同程 度 的研究 工 作 ， 几乎 所 有 这些 文 献 中的 ｉｎ Ｋ ｒｎｍ ｎ 韦 但 经验 Ｂ ｙｓ 法都 是 针对 独立 同分布 的样 本 考虑 的． ａｅ 方 然而 实 际问题 中的 随机样 本 多具 有 相 关性 ， 因而 在样 本相 关 的情况 下研 究 经验 Ｂｙｓ ａｅ 检验 问题 是有 必 要 的 ， 家清 和刘 次华 ＇ 虑 了负相 伴 样本情 形 线 性指 陈 考 数分 布参 数 的经验 Ｂｙｓ ａｅ 检验 问题 ． 文将 讨论 负相伴 样本 情 形指 数分 布 的寿 命 参数 ０的 检验 问题 ， 中 本 其
安徽 大学 数学与计算科学学 院硕士研究生 ； 陈桂景 （９ ０ ） 男 ， １４ 一 ， 安徽合 肥人 安徽 大学数 学与计 算科学 学 院教授 ， 博士生
，
导师 ． ）
第ｌ ７卷
／ ） Ｉ ａ ｏ一 ３ Ｊ Ｇ ） （ ｏ （ ）
Ｊ（）（）ｘ ｃ ， ／ ｄ ＋ 。 ３ （） ４
此 ｃ ， ） （ ， 卢 ） （ —。 ｌ） （ ． 处Ｃ ＝Ｊ ｄ ｄ （ ＝ｆ ０ ｄ （ Ｇ ） ０ ） Ｇ）
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修 回 日期 ：０ ７— ８— ２ ２０ ０ ２
，
（ ６ ） （ ７ ）
所 以 由 （ ） 得 ５式
收 稿 日期 ：０ ７—０ ２０ ４—２ ３
作者简介 ： 于红艳（ ９ ２ ） 女 ， １８ 一 ， 安徽 蚌埠人 ， 安徽 大学数学与计算科 学学 院硕士研究生 ； 余新宏 （９ ２ ） 男 ， １８ 一 安徽 颍上人 ，
考 虑如 下模 型 ： 随机 变量 的条件 概 率密 度 函数 为 （ ） ， 中 ０ 参数 ， 设 １式 其 为 样本 空 间为 力 ＝ ｛ ｌ ＞ ０， ｝参数 空 间为 ＝ ｛ ＞０ｌ ０ ｌ ） ｘ ＝１ ． ｄ ０ ｝ （） ２
本 文讨 论下 列 的单 侧检 验 问题 ： ： Ｏ一 日 ： ＞０ ， ０≤ ｏ ０ 。 ０ ，０≤ Ｏ）其 中 ｄ ＝ ｛。ｄ ｝ ）（ ｏ， ｄ ， 是行 动 空 间 ，。 示 接受 ｎ ， ｄ表 ｏｄ 表示 拒 绝 ． 假 设 参数 ０的先验 分 布为 Ｇ ０ ， 知 ， 随机 化 判决 函数 为 （ （）未 设 ）＝ Ｐ 接受 ｌ ＝ ） （ ， Ｘ 则 （ ）的风 险 函数
其 中 ０ 为 给定 的 常数． ０ 对假 设检 验 问题 （ ） 设损 失 函数 （ ｄ）＝ （ 一Ｏ）（ ２， ，。 ｏ ，０＞０） （ ｄ ）＝（ 一 。 ， ， （） ３
（（）Ｇ０）＝Ｊ Ｌ ， ） ｌ ）（） Ｌ ， ） ｌ）１ ）ｄｄ（）＝ ，（） 『 （ ｄ ＋ （ ｄ （ — （）］ Ｇ０ ［ 。 ０ ｘ
以
（０ １）
上 述风 险 ， 当先 验分 布 Ｇ（ ）已知 ， ６ ）等 于 ６ （ ０ 且 （ ）时 ， 可 以达 到 的． 此 处 Ｇ ０ 是 但 （ ）未 知 ， 而 因
用概 率密度 函数 的核估 计构造 了参数 的经验 Ｂ ｙｓ单侧检 验 函数 ， 适 当的条 件下证 明了所提 出的经验 Ｂ ｙｓ ａｅ 在 ａｅ
检 验 函数 的渐 近 最 优 性 ， 获 得 了其 收 敛 速 度 ． 并 关键词 ： 负相 伴 样 本 ； 验 Ｂ ｙ ｓ 验 ； 近 最 优 性 ； 敛 速 度 经 ａｅ 检 渐 收 中 图分 类 号 ： ２２ １ ０ １ ． 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６３—１２ ２０ ）４— ０ ３— ４ １７ ６ Ｘ（０ ７ ０ ０ １ ０