例6 利用逆矩阵求解方程组
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003.[3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984.[5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997.[6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1)[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M].北京: 高等教育出版社.1999.[9] 王永葆.线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）.北京: 高等教育出版社，1982.[11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983.[13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980[14] 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报(自然科学版)第17卷第4期2004年8月[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16 卷第2 期。
线性代数中的矩阵求逆
线性代数中的矩阵求逆线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的性质。
在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
矩阵求逆是矩阵运算中的一个关键问题，它在许多领域中都有着广泛的应用。
一、什么是矩阵求逆？在线性代数中，矩阵求逆是指对一个给定的方阵进行运算，得到一个与之相乘后等于单位矩阵的矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆的，否则就是不可逆的。
二、矩阵求逆的条件要使一个矩阵可逆，必须满足以下两个条件：1. 方阵的行列式不等于0；2. 方阵的秩等于其阶数。
当一个矩阵满足这两个条件时，我们可以通过一系列的运算来求解其逆矩阵。
三、矩阵求逆的方法矩阵求逆有多种方法，其中最常用的是伴随矩阵法和初等变换法。
1. 伴随矩阵法伴随矩阵法是一种基于行列式和代数余子式的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 计算矩阵A的行列式D；2) 计算A的代数余子式矩阵A*；3) 将A*的每个元素转置得到伴随矩阵A'；4) 将A'除以行列式D得到逆矩阵A^-1。
2. 初等变换法初等变换法是一种基于初等行变换和初等列变换的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 将矩阵A扩展为一个n阶单位矩阵I；2) 对A和I同时进行一系列的初等行变换和初等列变换，直到A变为单位矩阵；3) 此时，I变为A的逆矩阵A^-1。
四、矩阵求逆的应用矩阵求逆在许多领域中都有着广泛的应用。
下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 线性方程组的求解在线性代数中，矩阵求逆可以用于求解线性方程组。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A是一个方阵，x和b是向量，我们可以通过求解矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解x=A^-1b。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵求逆还可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个给定的方阵A，如果我们知道它的逆矩阵A^-1，那么我们可以通过求解方程Av=λv来得到矩阵A的特征值λ和对应的特征向量v。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
3.3 逆矩阵
1 1
7
6
即为矩阵方程的解.
推论1 若n阶方阵A, B 满足 AB=E, 则必有 BA=E 证 因为 AB=E, 由 A B AB E 1
知|A|≠0，于是有
A
1 A
A
1 A
A
A
E
BA
EBA
1 A
A
ABA
1 A
A
EA
1 A
A
A
E
推论2 若n阶方阵A, B 满足 AB=E 或 BA=E,
A32 0 , A33 1 ,
从而
5 9 1
A1
2
3
0
.
0 2 1
二、逆矩阵的应用
1.利用逆矩阵解线性方程组
例4
解线性方程组
3 -2
x1 x1
7 x2 5 x2
3x3 1, 2 x3 0,
-4 x1 10 x2 3 x3 2.
解
3
设 A 2
4
7 5 10
3
2 ,
3
x1
AB BA E
(1)
则称A是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为 A1.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
则 B A1,且 A B 1
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E
A
1 2
(
二阶方阵的逆矩阵的计算
二阶方阵的逆矩阵的计算在线性代数中，矩阵是一种经常使用的工具，用于表示线性方程组的系数矩阵或线性变换的矩阵。
在矩阵运算中，逆矩阵是一种非常重要的概念。
本文将重点讨论二阶方阵的逆矩阵的计算方法。
一、逆矩阵的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
如果不存在逆矩阵，则称矩阵A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
二、二阶方阵的逆矩阵的计算对于一个2阶方阵A，其逆矩阵A-1的计算方法如下：A = [ a11 a12 ][ a21 a22 ]1. 计算矩阵A的行列式：|A| = a11*a22 - a12*a21如果|A|≠0，则矩阵A存在逆矩阵，否则不存在逆矩阵。
2. 计算矩阵A的伴随矩阵：adj(A) = [ a22 -a12 ][ -a21 a11 ]伴随矩阵是由矩阵A的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵。
3. 计算矩阵A的逆矩阵：A-1 = (1/|A|) * adj(A)其中，(1/|A|)为矩阵A的行列式的倒数。
例如，对于一个2阶方阵A = [ 1 2 ; 3 4 ]，其逆矩阵的计算过程如下：|A| = 1*4 - 2*3 = -2因为|A|≠0，所以矩阵A存在逆矩阵。
adj(A) = [ 4 -2 ][ -3 1 ]A-1 = (1/|A|) * adj(A) = (-1/2) * [ 4 -2 ; -3 1 ] = [ -2 1 ; 3/2 -1/2 ]因此，矩阵A的逆矩阵为A-1 = [ -2 1 ; 3/2 -1/2 ]。
三、逆矩阵的应用逆矩阵在矩阵运算中有着广泛的应用，例如：1. 解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是非奇异矩阵，则可以通过求解逆矩阵来求解方程组的解，即x=A-1b。
2. 矩阵变换的求逆：对于一个线性变换A，如果其矩阵是非奇异矩阵，则可以通过求解逆矩阵来求解逆变换的矩阵，即A-1。
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
矩阵的线性方程组解法
矩阵的线性方程组解法线性方程组是数学中的重要概念，它描述了一组线性方程之间的关系。
而求解线性方程组的方法之一就是利用矩阵的运算进行计算。
本文将介绍几种常见的矩阵解法，以帮助读者更好地理解线性方程组求解的过程。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的基本方法之一。
它通过矩阵的行变换来简化系数矩阵，并最终将线性方程组化简为上三角形式。
步骤如下：1. 构建增广矩阵：将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：利用加减乘除的运算，将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 回代求解：从方程组的最后一行开始，依次求解每个变量。
二、矩阵的逆解法对于非奇异矩阵（可逆矩阵），可以利用矩阵的逆求解线性方程组。
设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
解法如下：1. 判断A是否可逆：计算矩阵A的行列式，若不为零，则A可逆。
2. 计算逆矩阵：利用伴随矩阵法或初等变换法，求解A的逆矩阵A^-1。
3. 求解线性方程组：利用逆矩阵的性质，有 x=A^-1b。
三、克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的特殊方法，它通过计算行列式的比值来求解每个未知数的值。
步骤如下：1. 列出增广矩阵：将线性方程组化为增广矩阵形式。
2. 计算行列式：利用增广矩阵的系数部分，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
3. 计算未知数：利用克拉默法则，有 xi=det(Ai)/det(A)，其中Ai是用b替换第i列得到的矩阵。
四、LU分解法LU分解法是一种将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。
通过LU分解后，可以利用前代法和回代法求解线性方程组。
步骤如下：1. 进行LU分解：将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，有 A=LU。
2. 利用前代法求解Ly=b：先解 Ly=b 得到y的值。
3. 利用回代法求解Ux=y：再解 Ux=y 得到x的值。
总结：本文介绍了矩阵的线性方程组解法，包括高斯消元法、矩阵的逆解法、克拉默法则和LU分解法。
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
追赶法，高斯消元法，逆矩阵法，迭代法——解线性方程组精仪学院马金玉
追赶法，高斯消元法，逆矩阵法，迭代法 —— 解线性方程组精仪学院 马金玉 1012202030本文主要详细介绍了追赶法，高斯法，逆矩阵法的方法原理，运用这三种方法分别进行线性方程的求解举例，给出MATLAB 相应程序，最后做结果分析，比较说明追赶法和高斯法的特点。
最后对三种典型迭代方法Jacobi 迭代,Gauss-Seidel 迭代，SOR 迭代进行简单的分析比较。
1. 追赶法1.1）.追赶法方法介绍追赶法用于求解以下形式的方程组(三对角方程组)d Ax =其中 1[,,]T n d d =d ，系数矩阵(三对角矩阵)11222111n n n n n b c a bc a b c a b ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A系数矩阵A 的元素满足1100 0 (2,,1)0i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+>≠=-⎨⎪>>⎩第一步：实现A=LU 的分解，按照递推公式1111//()i i i i i c b c b a βββ-=⎧⎨=-⎩ 计算 123,,...........βββ：第二步：求解方程组LY=f,相应的递推公式 11111/()/()i i i i i i i y f b y f a y b a β--=⎧⎨=--⎩ 第三部：求解方程组UX=Y ，相应的递推公式1()n nii i i x y x y x β-=⎧⎨=-⎩ 求得x因为计算1231......n ββββ-→→→→ 及 1231......n y y y y -→→→→的过程是追赶的过程，结出结果X 。
1.2）.追赶法解线性方程组的matlab实例解线性方程组第一步：编写M文件如下：function [x,y,beta]=zhuiganfa(a,b,c,f)%a,b,c是三对角阵的对角线上的元素,f是自由项.n=length(b);beta(1)=c(1)/b(1);for i=2:nbeta(i)=c(i)/(b(i)-a(i)*beta(i-1));endy(1)=f(1)/b(1);for i=2:ny(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*beta(i-1));endx(n)=y(n);for i=n-1:-1:1x(i)=y(i)-beta(i)*x(i+1);enddisp(sprintf('k x(k) y(k) beta(k)')); for i=0:n-1disp(sprintf('%d %15.4f %15.4f %15.4f',i,x(i+1),y(i+1),beta(i+1))); end追赶法M文件程序截图如图1所示图1 追赶法M文件程序截图第二步：根据所求方程，在命令窗口中输入如下命令，并按ENTER 键确认。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵求解方程组技巧
矩阵求解方程组技巧矩阵求解方程组是线性代数中重要的内容，也是应用广泛的技巧之一。
本文将介绍一些常用的矩阵求解方程组的技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它的基本原理是通过矩阵初等行变换将方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，进而求出方程组的解。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵与常数矩阵合并为增广矩阵。
2. 选取一个非零的主元素（系数矩阵中的非零元素）作为基准行。
3. 将选取的主元素所在行除以主元素的值，使主元素的值变为1。
4. 将其他行中的相应元素化为0，使得主元素所在列的其他元素都变为0。
5. 对剩余的行重复上述操作，直到所有行都变成简化的行阶梯形矩阵。
高斯消元法的优点是求解过程直观、简单，但该方法对于某些特殊情况（如主元素为0）会出现问题，需要进行进一步的改进。
二、LU分解原方程组的系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。
通过LU分解，可以将原方程组的求解转化为两个简单的步骤：求解Ly=b和求解Ux=y。
具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 解Ly=b，得到向量y。
3. 解Ux=y，得到向量x。
相比于高斯消元法，LU分解的优点是可以将一次的LU分解应用于多个右侧向量b，从而减少计算量。
三、矩阵的逆矩阵求解方程组的另一个常用方法是通过求解矩阵的逆来得到方程组的解。
设矩阵A为系数矩阵，向量x为未知向量，向量b为常数向量，则原方程组可以表示为Ax=b。
若矩阵A的逆矩阵存在，则可以通过左乘矩阵A 的逆来求解方程组的解，即x=A⁻¹b。
求解矩阵的逆矩阵的方法有多种，其中一种常用的方法是高斯-约当消元法，通过矩阵初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，然后将相同的行变换施加在单位矩阵上，得到矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，矩阵的逆不一定存在，当矩阵的行列式为0时，矩阵没有逆矩阵。
四、QR分解原方程组的系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积。
【优选精文】矩阵求逆方法大全
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘要]本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词]逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义:n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法一.初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个nR2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ）（3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例1.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012411210求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100012010411001210→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21123100124010112001 于是1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
2-6矩阵的初等变换
PA Q = B
若存在可逆矩阵 P , Q , 使
PAQ = B
而可逆矩阵 P, Q可以写成初等矩阵的乘 积，设
P = Ps P2 P1 , Q = Q1Q2 Qt , 则 Ps , , P2 , P1 A Q1Q2 Qt = B
故 A 经有限次初等变换可变 B,
等价。 ∴ A与B等价。
1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
1 r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 2 6 0 0 1 3
r1 r2
0 0
r2 r3
4 3 1 3 0 0
定理2.3 定理2.3 任意 m × n 阶矩阵通过若干次初等变 换可变换为如下标 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,, Pl , 使
P1 P2 Pr EPr +1 Pl = A
即
A = P1 P2 Pl .
推论2 两个 m × n 阶矩阵A,B等价的充要条件是 推论2 阶矩阵A,B等价的充要条件是 A,B 存在m阶可逆矩阵P 阶可逆矩阵Q 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得
PAQ = B
证 ∵ A ~ B,
使
故 A 经有限次初等变换可变 B,
即存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Ps , Q1 , Q2 , , Qt ,
Ps , , P2 , P1 A Q1Q2 Qt = B 设P = Ps P2 P1 , Q = Q1Q2 Qt , 则P , Q可逆, 且
1 E O 1 = r O O 0 m×n 0
再用列变换可化为标准型： 例1中，矩阵已化为阶梯型 再用列变换可化为标准型： 中 矩阵已化为阶梯型,再用列变换可化为标准型
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
解
1
故
é- 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù A = ê 1/ 2 3/ 2 -1 ú . ê ú ê 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û
-1
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变 换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0， 则意味着A不可逆， 因为此时表明 A =0， 则A -1 不存在.
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
é A11-1 A = ê ë 0
21
-1 -1 -1
-1
0 ù ú A22 -1 û
-1 ù é A1 ú ê ú =ê ú ê ú ê Ak û ê ë -1
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
é A1 ê ê ê ê ë A2 ... A2
-1
...
ù ú ú ú -1 ú Ak û ú
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
1 A3. A
矩阵解方程组的方法
矩阵解方程组的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵解方程组也是线性代数中的基础内容之一。
在实际应用中，往往会遇到包含多个未知数和多个方程的方程组，如何通过矩阵的方法来高效地解决这些方程组成了一项重要的技能。
本文将介绍矩阵解方程组的方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法以及克拉默法则等。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过对方程组进行一系列的行变换，将其转化为简化的阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
下面通过一个具体的例子来说明高斯消元法的应用。
考虑如下的线性方程组：\begin{cases}2x + 3y - z = 1 \\3x + 2y + z = 3 \\x - y + 2z = 9\end{cases}首先将上述的方程组写成增广矩阵的形式：然后通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为简化的阶梯形：\begin{bmatrix}1 & -1 &2 & | & 9 \\0 & 5 & -5 & | & -10 \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}最后通过反向代入法，可以求得方程组的解为x=2, y=-2, z=0。
二、矩阵求逆法A = \begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 1\end{bmatrix}，X = \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}，B = \begin{bmatrix}3 \\4\end{bmatrix}然后求解系数矩阵A 的逆矩阵A^{-1}：最后通过矩阵乘法，可以求得方程组的解为X = A^{-1}B =\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}。
三、克拉默法则首先求解系数矩阵A 的行列式|A|：然后求解系数矩阵A 分别替换成结果矩阵B 的行列式|B_x| 和|B_y|：最后通过克拉默法则，可以求得方程组的解为x = \frac{|B_x|}{|A|} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}，y = \frac{|B_y|}{|A|} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}。
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆与其应用：欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，如此说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、假如矩阵A、B均可逆，如此矩阵AB可逆，其逆矩阵为，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
假如都是ｎ阶可逆矩阵，如此也可逆，且＝.2、假如A可逆，如此也可逆，且=A；3、假如A可逆，实数λ≠0，如此λA可逆，且=；4、假如A可逆，如此也可逆，且=；5、=；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，如此有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ〔ＡＣ〕＝〔ＢＡ〕Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ〔与Ｂ≠Ｃ矛盾〕，所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。
例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴存在设＝，由定义知，∴由矩阵乘法得由矩阵相乘可解得；；故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝〔〕可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ〔ｎ＞＝２〕阶矩阵Ａ有逆矩阵，注释：①对于阶数较低〔一般不超过３阶〕或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意元素的位置与符号。
特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号〞的规律。
②对于分块矩阵例２、Ａ＝解：∵｜Ａ｜＝２≠０∴Ａ可逆，由得㈢、行〔列〕初等变化法设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，假如把子块Ａ变为，如此子块将变为，即初等变换［Ｅ，］。
矩阵求解问题及解题技巧
矩阵求解问题及解题技巧矩阵求解问题是线性代数中一个非常重要的研究内容，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵求解问题的基本概念和解题技巧。
一、矩阵求解问题的基本概念：1. 线性方程组：矩阵求解问题通常涉及线性方程组。
线性方程组是一组形如：A*x = b的方程组，其中A是一个已知的矩阵，x是未知的变量向量，b是已知的常数向量。
2. 矩阵的行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值。
对于一个n×n的矩阵A，它的行列式记为det(A)或|A|。
3. 逆矩阵：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个方阵B，使得A*B=B*A=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为A的逆矩阵。
二、矩阵求解问题的解题技巧：1. 克拉默法则：克拉默法则是一种求解线性方程组的方法。
对于一个n 阶方程组，如果其系数矩阵A的行列式不为零，那么方程组有唯一解，并且这个解可以用克拉默法则求得。
克拉默法则的具体步骤是：- 计算矩阵A的行列式det(A)；- 将矩阵A的第i列替换为方程组的常数向量b，得到矩阵Ai；- 计算Ai的行列式det(Ai)；- 第i个未知量的解xi等于det(Ai)除以det(A)。
克拉默法则的优点是简单易懂，但计算量大，不适用于大规模的线性方程组求解。
2. LU分解法：LU分解法是一种将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。
具体步骤如下：- 首先将A分解为L+U，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；- 解得方程Ly=b，求得y；- 解得方程Ux=y，求得x。
LU分解法的优点是计算量小，适用于大规模的线性方程组求解。
3. 矩阵的逆：如果一个方阵A可逆，那么可以通过计算其逆矩阵A^{-1}来求解线性方程组。
具体步骤如下：- 计算A的逆矩阵A^{-1}；- 解得方程A*x=b，求得x，即x=A^{-1}*b。
矩阵的逆法求解线性方程组的优点是简单快速，但仅适用于A可逆的情况。
高中数学教案学习矩阵的逆
高中数学教案学习矩阵的逆高中数学教案：学习矩阵的逆一、引言矩阵是高中数学中的重要概念之一，它在数学和其他学科中起到了重要的作用。
在学习矩阵的过程中，一个关键的概念是矩阵的逆。
本教案将详细介绍矩阵的逆以及它在求解线性方程组和线性变换中的应用。
通过本教案的学习，学生将能够熟练地应用矩阵的逆来解决相关的问题。
二、理论部分1. 矩阵的逆的定义在数学中，如果一个n x n矩阵A乘以一个n x n矩阵B，得到的结果是单位矩阵I，那么B就是A的逆矩阵，记作A-1。
即：AB = BA = I。
2. 矩阵逆的存在性只有方阵（即行数和列数相同的矩阵）才有可能存在逆矩阵。
对于一个方阵A，当且仅当它的行列式（det A）不等于0时，A才存在逆矩阵。
否则，A被称为奇异矩阵，无逆矩阵。
3. 求解矩阵的逆为了求解一个矩阵的逆，我们可以利用伴随矩阵和行列式的关系来简化计算。
具体的步骤如下：（1）计算矩阵A的行列式det A。
（2）如果det A = 0，则A是奇异矩阵，无逆矩阵。
（3）如果det A ≠ 0，则计算矩阵A的伴随矩阵adj A。
（4）矩阵A的逆矩阵A-1等于adj A除以det A。
4. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：（1）（A-1）-1 = A（2）(AB)-1 = B-1A-1（3）(AT)-1 = (A-1)T三、应用部分1. 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n x n非奇异矩阵，x和b分别是n维列向量。
通过矩阵的逆，我们可以将方程组表示为x = A-1b。
2. 线性变换逆矩阵也在线性变换中起着重要作用。
给定一个线性变换T：Rn → Rn，如果存在逆变换T-1使得T(T-1(x)) = x对所有的向量x成立，那么T是可逆的。
我们可以通过计算其矩阵的逆来确定线性变换的可逆性。
四、实践部分在本部分，学生将通过训练来巩固他们对矩阵逆的理解。
建议包括以下实践内容：1. 计算方阵的逆矩阵：给出一些方阵，要求学生计算其逆矩阵，并验证结果是否正确。