2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试50抛物线文含解析36

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高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.(2020·全国高考真题(理))已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||122A p AF x =+=,即1292p=+,解得6p.故选:C.2.(2020·北京高三二模)焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A .x 2=4y B .y 2=4x C .x 2=8y D .y 2=8x【答案】D 【解析】根据题意,要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上, 设其标准方程为22(0)y px p =>, 又由焦点到准线的距离为4,即p =4, 故要求抛物线的标准方程为y 2=8x , 故选:D.3.(全国高考真题)设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,曲线()0ky k x=>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,则k =( )A .12B .1C .32D .2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=,故选D. 4.(2020·全国高考真题(文))设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A .1,04⎛⎫⎪⎝⎭B .1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C .(1,0)D .(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点,且OD OE ⊥, 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()2,2D ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1(,0)2, 故选:B.5.(2019·四川高三月考(文))若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线,则抛物线的方程为( ) A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-,垂直于x 轴. 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-, 则42p=,即8p =. 故抛物线的方程为216y x =. 故选:C .6.(2019·北京高考真题(文))设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________. 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中,2p =4,p =2, 焦点F (1,0),准线l 的方程为x =-1, 以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.(2019·山东高三月考(文))直线l 与抛物线22x y =相交于A ,B 两点,当AB 4=时,则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意,抛物线22x y =的焦点坐标为(0,12),根据抛物线的定义如图,所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为:32. 8.(2021·沙湾县第一中学(文))设过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且直线AB 的倾斜角为4π,则线段AB 的长是____,焦点F 到A ,B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-,然后将直线方程与抛物线方程联立方程组,消去y 后,利用根与系数的关系,结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解:由题意得(1,0)F ,则直线AB 的方程为1y x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,由241y x y x ⎧=⎨=-⎩,得2610x x -+=, 所以12126,1x x x x +==, 所以12628AB x x p =++=+=,因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x , 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=, 故答案为:8,89.(2021·全国高三专题练习)已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5,则m 的值为__________;抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定,根据点(),3A m -在抛物线上这一条件,抛物线开口向下,向左、向右均有可能,以此分类讨论,利用焦半径公式列方程可得p 的值,根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上,可知抛物线开口向下,向左、向右均有可能, 当抛物线开口向下时,设抛物线方程为22x py =-(0p >), 此时准线方程为2py =,由抛物线定义知(3)52p --=,解得4p =.所以抛物线方程为28x y ,这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时,可设抛物线方程为22y ax (0a ≠),从p a =知准线方程为2ax =-,由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩,22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩,44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,综合(1)、(2)得92m =,22y x =; 92m =-,22y x =-;12m =,218y x =; 12m =-,218y x =-;m =±28xy .故答案为:92,92-,12,12-,±22y x =,22y x =-,218y x =,218y x =-,28x y .10.(2019·广东高三月考(理))已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点,直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =,求FA FB +的值;()2点(3,2)C --,若CFA CFB ∠=∠,求直线l 的方程.【答案】(1)10(2)3240x y +-= 【解析】(1)由题意,可得()0,1F ,设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩,整理得2480x kx --=,则124x x k +=,128x x =-,又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.(2)由题意,知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()3.3FC =--, 由CFA CFB ∠=∠,可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+,2214x FB =+,则FA FC FB FC FA FC FB FC =, 整理得()1212420x x x x ++-=,解得32k =-, 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1.(2021·吉林长春市·高三(理))已知M 是抛物线24y x =上的一点,F 是抛物线的焦点,若以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=,则FM 等于( ) A .2 B C .D .4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,取()1,0a =,可得1cos ,2FM a <>=,求出20y 的值,利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ,其中2004y x =,则()1,0F ,2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,取()1,0a =,则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛,可得4200340480y y -+=,因为20104y ->,可得204y >,解得2012y =,则20034y x ==,因此,014MF x=+=. 故选:D.2.(2017·全国高考真题(文))过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M (在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MNl ⊥,则点M 到直线NF 的距离为()A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ,与直线MN 相交于点Q ,(1,0)F ,设||||MN MF m ==,因为||2,30PF NQM =∠=,所以||4,||2QF QM m ==, 所以42m m +=,解得:4m =,设00(,)M x y ,由焦半径公式得:014x +=, 所以03x=,0y =,所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===,所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3.(2020·广西南宁三中其他(理))已知抛物线28C y x =:的焦点为F ,P 是抛物线C 的准线上的一点,且P 的纵坐标为正数,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若PQ =,则直线PF 的方程为( )A .20x y --=B .20x y +-=C .20x y -+=D .20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ,因为PQ =,由抛物线的定义得PQ =,所以在Rt PQH ∆中,4PQH π∠=,所以4PFM π∠=,所以直线PF 的斜率为1k =-,所以直线PF 的方程为()()012y x -=--, 即20x y +-=, 故选B.4.(2020·浙江高三月考)如图,已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=,直线l 经过1C 的焦点F ,自上而下依次交1C 和2C 于A ,B ,C ,D 四点,则AB CD ⋅的值为( )A .14B .12C .1D .2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ,又直线l 经过1C 的焦点F ,设直线:(1)l y k x =-,由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则121=x x由题意可得:1111=-=+-=AB AF BF x x , 同理2=CD x ,所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5.【多选题】(2022·全国高三专题练习)已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点,点()02,P y 在抛物线1C 上,则下列结论正确的有( )A .双曲线2C 的离心率为2B .双曲线2C 的渐近线为y x = C .8m =D .点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点,即可知A 、B 、C 的正误,根据所得抛物线方程求0y ,即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==,故A 正确;双曲线2C 的渐近线为y =,故B 错误; 由12,C C 有相同焦点,即24m=,即8m =,故C 正确; 抛物线28y x =焦点为()2,0,点()02,P y 在1C 上,则04y =±,故()2,4P 或()2,4P -,所以P 到1C 的焦点的距离为4,故D 正确. 故选:ACD .6.【多选题】(2021·海南鑫源高级中学)在下列四个命题中,真命题为( )A .当a 为任意实数时,直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ,则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B .已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x -y =0,则双曲线的标准方程为221205x y -= C .抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D .已知双曲线2214x y m +=,其离心率()1,2e ∈,则m 的取值范围(-12,0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ;根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ;根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ;利用双曲线离心率公式即可判断D . 【详解】对A 选项,直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -,则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =,将点()2,3P -代入可得23p =,所以243x y =,故A 正确;对B 选项,知5,2bc a==,又22225a b c +==,解得225,20a b ==,所以双曲线的标准方程为221520x y -=,故B 错; 对C 选项,得21x y a =,所以准线方程14y a=-,正确;对D 选项,化双曲线方程为2214x y m-=-,所以()1,2e =,解得()12,0m ∈-,故正确.故选:ACD7.(2021·全国高二课时练习)已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,若点M 到两定点(,)A p p ,,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小,则点M 的坐标为______.【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线,垂足为B ,根据抛物线的定义可得||||MF MB =, 易知当A ,B ,M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ,进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线,垂足为B ,由抛物线的定义,知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等,即||||MF MB =,所以||||||||MF MA MB MA +=+, 易知当A ,B ,M 三点共线时,||MB MA +取得最小值, 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==,此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:2p p ⎛⎫⎪⎝⎭,8.(2021·全国高二课时练习)抛物线()220y px p =>的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ,=BF b ,根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+,在AFB △中,由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+,即可求得MN AB 的最大值.【详解】设=AF a ,=BF b ,作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ,BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义,知AF AQ =,BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+,当且仅当a b =时,等号成立,∴)AB a b ≥+,∴()1a b MN AB +≤=MN AB9.(2020·山东济南外国语学校高三月考)抛物线C :22y x =的焦点坐标是________;经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,且点P 恰为AB 的中点,F 为抛物线的焦点,则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C :22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭. 过A 作AM ⊥准线交准线于M ,过B 作BN ⊥准线交准线于N ,过P 作PK ⊥准线交准线 于K ,则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+. 再根据P 为线段AB 的中点,119(||||)||4222AM BN PK +==+=, ∴9AF BF +=,故答案为:焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,9AF BF +=.10.(2019·四川高考模拟(文))抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ,抛物线过点(),1P p .(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程;(Ⅱ)过F 点作直线与抛物线C 交于A ,B 两点,过A ,B 分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】(Ⅰ)抛物线的标准方程为24x y =,准线l 的方程为1y =-;(Ⅱ)详见解析. 【解析】(Ⅰ)由221p p =⨯,得2p =,所以抛物线的标准方程为24x y =,准线l 的方程为1y =-.(Ⅱ)根据题意直线AB 的斜率一定存在,又焦点()0,1F ,设过F 点的直线方程为1y kx =+,联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩,得,2440x kx --=. 设()11,A x y ,()22,B x y ,则124x x k +=,124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得,1'2y x =,过A ,B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,两式相加,得()()2212121148y x x x x x =+-+,化简,得()221y kx k =-+,即()21y k x k =--, 所以,两条切线交于点()2,1k -,该点显然在抛物线C 的准线l :1y =-上.1.(2021·全国高考真题)抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+,则p =( ) A .1 B .2 C .D .4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其到直线10x y -+=的距离:d == 解得:2p =(6p =-舍去). 故选:B.2.(2021·天津高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A ,B 两点,交双曲线的渐近线于C 、D 两点,若|CD AB .则双曲线的离心率为( ) A B C .2D .3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ,进而可得准线为x c =-,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得2212a c =,再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ,则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-,令x c =-,则22221c ya b-=,解得2b y a =±,所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±,所以2bcCD a=,所以2bc a c ,所以222212a cbc =-=,所以双曲线的离心率ce a== 故选:A.3.(2020·北京高考真题)设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线( ). A .经过点O B .经过点P C .平行于直线OP D .垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示:.因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义可知,PQ PF =,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选:B.4.(2021·全国高考真题)已知O 为坐标原点,抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,若6FQ =,则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ,,再根据向量垂直坐标表示列方程,解得p ,即得结果. 【详解】抛物线C :22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直, 所以P 的横坐标为2p,代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,所以Q 在F 的右侧, 又||6FQ =, (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥,所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=,所以C 的准线方程为32x =-故答案为:32x =-.5.的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则AB =________.【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =,∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ,又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为:1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=, 解法一:解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二:10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线,设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为:1636.(2020·浙江省高考真题)如图,已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0)C y px p =>,点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于M (B ,M 不同于A ).(Ⅰ)若116=p ,求抛物线2C 的焦点坐标; (Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.【答案】(Ⅰ)1(,0)32;【解析】 (Ⅰ)当116=p 时,2C 的方程为218y x =,故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32;(Ⅱ)设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+,由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩, 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++, 由M 在抛物线上,所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++, 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩, 012y y p λ∴+=,2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+,2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+,18p ≥,21160p ≤,p ≤ 所以,p,此时A . 法2:设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠,()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得:()2222220m y mty t +++-=,所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得:2220y pmy pt --=,所以02M y y pt =-,解得()2022p m y m+=,因此()220222p m xm+=,由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当m t ==p .。

2020全国卷高考专题:平面解析几何

2020全国卷高考专题:平面解析几何

10 平面解析几何1.(2020•北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ). A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后,根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=,化简得()()22341x y -+-=,所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆,所以||1||OC OM +≥5==,所以||514OC ≥-=, 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号,故选:A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程,属于基础题.2.(2020•北京卷)设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线( ).A . 经过点OB . 经过点PC . 平行于直线OPD . 垂直于直线OP【答案】B【解析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线,根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知,线段FQ 的垂直平分线经过点P ,即求解.【详解】如图所示:.因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义可知,PQ PF =,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用,属于基础题.3.(2020•北京卷)已知双曲线22:163x y C -=,则C 的右焦点的坐标为_________;C 的焦点到其渐近线的距离是_________.【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标,并求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中,a =b =3c ==,则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0,双曲线C 的渐近线方程为2y x=±,即0x ±=,所以,双曲线C=故答案为:()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离,考查计算能力,属于基础题.4.(2020•北京卷)已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --,且2a b =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程:(Ⅱ)过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q .求||||PB BQ 的值.【答案】(Ⅰ)22182x y +=;(Ⅱ)1. 【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程;(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程,然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标,将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题,进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=,从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为:()222210x y a b a b+=>>,由题意可得:224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得:2282a b ⎧=⎨=⎩,故椭圆方程为:22182x y +=. (2)设()11,M x y ,()22,N x y ,直线MN 的方程为:()4y k x =+,与椭圆方程22182x y +=联立可得:()222448x k x ++=,即:()()222241326480k x k x k +++-=,则:2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为:()111122y y x x ++=++, 令4x =-可得:()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++, 同理可得:()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Qy y <,且:P Q PB yPQ y =,注意到: ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭,而:()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+, 故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.5.(2020•全国1卷)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A . 2 B . 3 C . 6 D . 9【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||122A p AF x =+=,即1292p=+,解得6p.故选:C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.6.(2020•全国1卷)已知⊙M :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,P 为l 上的动点,过点P 作⊙M 的切线,PA PB ,切点为,A B ,当||||PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为( ) A. 210x y --= B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点,,,A P B M 共圆,且AB MP ⊥,根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知,当直线MP l ⊥时,PM AB ⋅最小,求出以MP 为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程.【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=,点M 到直线l的距离为2d ==>,所以直线l 与圆相离.依圆的知识可知,四点,,,A P B M 四点共圆,且AB MP ⊥,所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=,而PA =,当直线MP l ⊥时,min MP =,min 1PA =,此时PM AB ⋅最小.∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+,由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得,10x y =-⎧⎨=⎩. 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=,即2210x y y +--=, 两圆的方程相减可得:210x y ++=,即为直线AB 的方程.故选:D .【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.7.(2020•全国1卷)已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为______________. 【答案】2【解析】根据双曲线的几何性质可知,2b BF a=,AF c a =-,即可根据斜率列出等式求解即可.【详解】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩,解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩,所以2b BF a =.依题可得,3BF AF =,AF c a =-,即()2223b c a a c a a c a -==--,变形得3c a a +=,2c a =, 因此,双曲线C 的离心率为2.故答案为:2.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法,以及双曲线的几何性质的应用,属于基础题.8.(2020•全国1卷)已知A 、B 分别为椭圆E :2221x y a+=(a >1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,8AG GB ⋅=,P 为直线x =6上的动点,P A 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.【答案】(1)2219x y +=;(2)证明详见解析. 【解析】(1)由已知可得:(),0A a -, (),0B a ,()0,1G ,即可求得21AG GB a ⋅=-,结合已知即可求得:29a =,问题得解(2)设()06,P y ,可得直线AP 的方程为:()039y y x =+,联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭,同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,即可表示出直线CD 的方程,整理直线CD 的方程可得:()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,命题得证.【详解】(1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得:(),0A a -, (),0B a ,()0,1G∴(),1AG a =,(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=,∴29a =∴椭圆方程为:2219x y += (2)证明:设()06,P y , 则直线AP 的方程为:()()00363y y x -=+--,即:()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得:()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,整理得:()2222000969810y x y x y +++-=,解得:3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得:02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得:点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为:0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++, 整理可得:()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得:()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想,还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属于难题.9.(2020•全国2卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为(),,0a a a >,可得圆的半径为a ,写出圆的标准方程,利用点()2,1在圆上,求得实数a 的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限,若圆心不在第一象限, 则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限, 设圆心的坐标为(),a a ,则圆的半径为a ,圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=,可得2650a a -+=,解得1a =或5a =, 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5,圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==; 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==230x y --=.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.10.(2020•全国2卷)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±,与直线x a =联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab值,根据2c =值不等式,即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限.联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b ,联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=-⎩,故(,)E a b -,∴||2ED b = ∴ODE 面积为:1282ODES a b ab =⨯==△,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴其焦距为28c =≥==,当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值:8,故选:B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.(2020•全国2卷)已知椭圆C 1:22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |.(1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点,若|MF |=5,求C 1与C 2的标准方程.【答案】(1)12;(2)221:13627x y C +=,22:12C y x =.【解析】(1)求出AB 、CD ,利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式,可解得椭圆1C 的离心率的值;(2)由(1)可得出1C 的方程为2222143x y c c+=,联立曲线1C 与2C 的方程,求出点M 的坐标,利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值,进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】(1)(),0F c ,AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点,则直线AB 的方程为x c =,联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩,解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩,则22bAB a =,抛物线2C 的方程为24y cx =,联立24x c y cx =⎧⎨=⎩,解得2x cy c =⎧⎨=±⎩,4CD c ∴=, 43CD AB =,即2843b c a=,223b ac =,即222320c ac a +-=,即22320e e +-=, 01e <<,解得12e =,因此,椭圆1C 的离心率为12;(2)由(1)知2a c =,b =,椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=,联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,消去y 并整理得22316120x cx c +-=,解得23x c =或6x c =-(舍去), 由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==,解得3c =.因此,曲线1C 的标准方程为2213627x y +=,曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率求解,同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程,考查计算能力,属于中等题.12.(2020•全国3卷)设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥,结合抛物线的对称性,可知4DOx EOx π∠=∠=,从而可以确定出点D 的坐标,代入方程求得p 的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点,且OD OE ⊥, 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()2,2D ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1(,0)2,故选:B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.13.(2020•全国3卷)设双曲线C :22221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a =( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案. 【详解】5ca=,c ∴=,根据双曲线的定义可得122PF PF a -=, 的12121||42PF F PF F S P =⋅=△,即12||8PF PF ⋅=,12F P F P ⊥,()22212||2PF PF c ∴+=, ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选:A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.14.(2020•全国3卷)已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4,A ,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ 的面积.【答案】(1)221612525x y +=;(2)52. 【解析】(1)因为222:1(05)25x y C m m+=<<,可得5a =,b m =,根据离心率公式,结合已知,即可求得答案;(2)点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N ,可得PMB BNQ ≅△△,可求得P 点坐标,求出直线AQ 直线方程,根据点到直线距离公式和两点距离公式,即可求得APQ 的面积. 【详解】(1)222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =,b m =,根据离心率4c e a ====, 解得54m =或54m =-(舍),∴C 的方程为:22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,即221612525x y +=;(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥, 过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形,如图||||BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=︒,又90PBM QBN ∠+∠=︒,90BQN QBN ∠+∠=︒,∴PBM BQN ∠=∠,根据三角形全等条件“AAS ”,可得:PMB BNQ ≅△△,221612525x y +=,∴(5,0)B ,∴651PM BN ==-=, 设P 点为(,)P P x y ,可得P 点纵坐标为1P y =,将其代入221612525x y +=,可得:21612525P x +=,解得:3P x =或3P x =-,∴P 点为(3,1)或(3,1)-,①当P 点为(3,1)时,故532MB =-=,PMB BNQ ≅△△,∴||||2MB NQ ==,可得:Q 点为(6,2),画出图象,如图(5,0)A -,(6,2)Q ,可求得直线AQ 的直线方程为:211100x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:5d ===,根据两点间距离公式可得:AQ ==,∴APQ面积为:15252⨯=;②当P 点为(3,1)-时,故5+38MB ==,PMB BNQ ≅△△,∴||||8MB NQ ==,可得:Q 点为(6,8),画出图象,如图(5,0)A -,(6,8)Q ,可求得直线AQ 的直线方程为:811400x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:d ===,根据两点间距离公式可得:AQ ==∴APQ面积为:1522=,综上所述,APQ 面积为:52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.(2020•江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22x a ﹣25y =1(a >0)的一条渐近线方程为y x ,则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】根据渐近线方程求得a ,由此求得c ,进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xy a -=,故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2yx =,即22b a a=⇒=,所以3c ===,所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为:32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题. 16.(2020•江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知0)P ,A ,B 是圆C :221()362x y +-=上的两个动点,满足PA PB =,则△PAB 面积的最大值是__________. 【答案】【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积,最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ,则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=(负值舍去) 当04d ≤<时,0y '>;当46d ≤<时,0y '≤,因此当4d =时,y 取最大值,即PABS取最大值为故答案为:【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.17.(2020•江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .(1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求OP QP ⋅的最小值; (3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1,S 2,若S 2=3S 1,求点M 的坐标. 【答案】(1)6;(2)-4;(3)()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】(1)根据椭圆定义可得124AF AF +=,从而可求出12AF F △的周长; (2)设()0,0P x ,根据点A 在椭圆E 上,且在第一象限,212AF F F ⊥,求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,根据准线方程得Q 点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;(3)设出设()11,M x y ,点M 到直线AB 的距离为d ,由点O 到直线AB 的距离与213S S =,可推出95d =,根据点到直线的距离公式,以及()11,M x y 满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标. 【详解】(1)∵椭圆E 的方程为22143x y +=,∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得:124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=(2)设()0,0P x ,根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上,且在第一象限,212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,∵准线方程为4x =,∴()4,Q Q y , ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-,当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.(3)设()11,M x y ,点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+,∵点O 到直线AB 的距离为35,213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅,∴95d =,∴113439x y -+=① ∵2211143x y +=②,∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩,1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 18.(2020•新全国1山东)已知曲线22:1C mx ny +=.( )A . 若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B . 若m =n >0,则CC . 若mn <0,则C是双曲线,其渐近线方程为y = D . 若m =0,n >0,则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解,0m n >>时表示椭圆,0m n =>时表示圆,0mn <时表示双曲线,0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=, 因为0m n >>,所以11m n<,即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确; 对于B ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=, 此时曲线CB不正确;对于C ,若0mn <,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,此时曲线C 表示双曲线, 由220mx ny +=可得y =,故C 正确; 对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n=,y n=±,此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;故选:AC D. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.19.(2020•新全国1山东).C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则AB =________.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标,利用点斜式得直线方程,与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程,接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =,∴抛物线焦点F 坐标为(1,0)F , 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB 的方程为:1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=,解法一:解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二:10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线,设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为:163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长,涉及利用抛物线的定义进行转化,弦长公式,属基础题.20.(2020•新全国1山东)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,且过点A (2,1). (1)求C 的方程:(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ |为定值.【答案】(1)22163x y +=;(2)详见解析. 【解析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ,N 的坐标,在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程,根据已知条件,已得到m,k 的关系,进而得直线MN 恒过定点,在直线斜率不存在时要单独验证,然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.的【详解】(1)由题意可得:222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得:2226,3a b c ===,故椭圆方程为:22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ,∴·0AM AN =,即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得:()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得:()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入,()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭, 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A ()不在直线MN 上,∴210k m +-≠,∴23101k m k ++=≠,,于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时,可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,由于AE 为定值,且△ADE 为直角三角形,AE 为斜边,所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 3=). 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭,故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质,圆锥曲线中的定点定值问题,关键是第二问中证明直线MN 经过定点,并求得定点的坐标,属综合题,难度较大.21.(2020•天津卷)设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( )A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D【解析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=,即得直线的斜率为b -,再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±,可得b b a -=-,1bb a-⨯=-即可求出,a b ,得到双曲线的方程. 【详解】由题可知,抛物线的焦点为()1,0,所以直线l 的方程为1yx b+=,即直线的斜率为b -,又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±,所以b b a -=-,1bb a-⨯=-,因为0,0a b >>,解得1,1a b ==.故选:D .【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题.22.(2020•天津卷)已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点.若||6AB =,则r 的值为_________.【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ,进而利用弦长公式||AB =r .【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==,由||AB =6==5r .故答案为:5.【点睛】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题.23.(2020•天津卷)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.【答案】(Ⅰ)221189x y +=;(Ⅱ)132y x =-,或3y x =-. 【解析】(Ⅰ)根据题意,并借助222a b c =+,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)利用直线与圆相切,得到CP AB ⊥,设出直线AB 的方程,并与椭圆方程联立,求出B 点坐标,进而求出P 点坐标,再根据CP AB ⊥,求出直线AB 的斜率,从而得解.【详解】(Ⅰ)椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,∴3b =,由OA OF =,得3c b ==,又由222a b c =+,得2228313a =+=,的所以,椭圆的方程为221189x y +=;(Ⅱ)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在, 设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx ,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126321213k y k k k k =⋅--=++, 所以,点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-, 所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭,由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0, 所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用,考查学生的运算求解能力,属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时,要想到联立直线与圆锥曲线的方程.24.(2020•浙江卷)已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|P A |–|PB |=2,且P 为函数y=|OP |=( )A.2B.C.D.【答案】D【解析】根据题意可知,点P既在双曲线的一支上,又在函数y =P 的坐标,得到OP 的值.【详解】因为||||24PA PB -=<,所以点P 在以,A B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由2,1c a ==可得,222413b c a =-=-=,即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>,而点P还在函数y =的图象上,所以,由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩,解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即OP ==D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用,以及二次曲线的位置关系的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.25.(2020•浙江卷)设直线:(0)l y kx b k =+>,圆221:1C x y +=,222:(4)1C x y -+=,若直线l 与1C ,2C 都相切,则k =_______;b =______.【答案】 (1).3 (2). 3-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ,b 的方程组,解方程组即可. 【详解】由题意,12,C C1=1=,所以||4b k b =+,所以0k =(舍)或者2b k =-,解得33k b ==-.故答案为:33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查学生的数学运算能力,是一道基础题.26.(2020•浙江卷)如图,已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0)C y px p =>,点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于M (B ,M 不同于A ).(Ⅰ)若116=p ,求抛物线2C 的焦点坐标; (Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值. 【答案】(Ⅰ)1(,0)32;(Ⅱ【解析】【详解】(Ⅰ)当116=p 时,2C 的方程为218y x =,故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32;(Ⅱ)设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+,由()22222222220x y y my m x y m λλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩, 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++, 由M 在抛物线上,所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++, 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩, 012y y p λ∴+=,2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+,2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+,所以24218p p +≥,21160p ≤,10p ≤, 所以,p 的最大值为10,此时2105(,)A .法2:设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠,()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得:()2222220m y mty t +++-=,所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得:2220y pmy pt --=, 所以02M y y pt =-,解得()2022p m y m+=,因此()220222p m xm+=,由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当102,5m t ==时,p 取到最大值为1040. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,涉及到求函数的最值,考查学生的数学运算能力,是一道有一定难度的题.27.(2020•上海卷)椭圆22143x y +=,过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点,P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上,且y'0Q Q y +=,'FQ PQ ⊥,则直线l 的方程为【答案】10x y +-=28.(2020•上海卷)双曲线22122:14x y C b-=,圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ,(,)A A A x y ,曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。

精编新版2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整题(含答案)

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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________一、选择题1.设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是( )A.[1 B .(,1[1+3,+)-∞∞C .[2-D .(,2[2+22,+)-∞-∞(2012天津理)2.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A .x -y=0 B .x+y=0 C .|x|-y=0 D .|x|-|y|=0(2002京皖春文8)3.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4(2001全国文2)4.a=1是直线y=ax+1和直线y=(a-2)x-1垂直的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 5.已知直线01=-+by ax (a ,b 不全为0)与圆5022=+y x 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( ) A .66条 B .72条C .74条D .78条二、填空题6.已知实数x ,y 满足2x +y +5=0,那么x 2+y 2的最小值为________.解析:x 2+y 2的几何意义为:动点(x ,y )到原点(0,0)的距离,而动点(x ,y )在直线2x +y +5=0上,所以该问题转化为求原点(0,0)到直线2x +y +5=0的距离问题.所以x 2+y 2 ≥55= 5.7. 过点(1,0)且倾斜角是直线x -2y -1=0的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ .8.空间直角坐标系中,点(4,3,7)P -关于平面xoy 的对称点的坐标为 (4,3,7--) 。

【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案

【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑:__________________时间:__________________(附参考答案)一.考试内容:椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二.考试要求:掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:①考查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三.基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||,则这样的点不存在;若距离之和等于||,则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程:(>>0),(>>0).3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果项的分母大于项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法:⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质:设椭圆方程为(>>0).⑴范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点:有四个(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b).线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.⑷离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e<1.e越接近于1时,椭圆越扁;反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义:平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线:根据椭圆的对称性,(>>0)的准线有两条,它们的方程为.对于椭圆(>>0)的准线方程,只要把x换成y就可以了,即.3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设(-c,0),(c,0)分别为椭圆(>>0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为,.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆(>>0)的参数方程为(θ为参数).说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同:;⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部(1)点在椭圆的内部.(2)点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义:平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于||)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a<||,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||,则动点的轨迹是两条射线;若2a>||,则无轨迹.若<时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若>时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程:和(a>0,b>0).这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率>1,离心率e越大,双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:,其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式,.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为渐近线方程:.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

平面解析几何(选择题、填空题)—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

平面解析几何(选择题、填空题)—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

专题07平面解析几何(选择题、填空题)1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆 x 2 y 26x 0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A .1B .2D .4C .3【答案】B 【解析】圆 x2y 2 6x 0化为(x 3)2 y 29,所以圆心C 坐标为C (3,0),半径为3,设 P (1,2),当过点 P 的直线和直线CP 垂直时,圆心到过点 P 的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时|CP | (3 1) ( 2) 2 22 2根据弦长公式得最小值为2 9 |CP |22 9 8 2 .故选:B .【点睛】本题考查圆的简单几何性质,以及几何法求弦长,属于基础题.2.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点,若 AC BC =1,则点 C 的轨迹为A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线【答案】A 【解析】设AB 2a a 0 ,以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,,设则: A a ,0 ,B a ,0C x , y,可得: AC x a , y ,BC x a , y ,从而: AC BC x a x a y 2,结合题意可得: x a xa y 21,整理可得: x y a2 2 21,即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心, a 1为半径的圆.2故选:A .【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点(0, 1)到直线 y k x 1 距离的最大值为A .1【答案】BB . 2C . 3D .2【解析】由 y k (x 1)可知直线过定点 P ( 1,0),设 A (0, 1),当直线 y k (x 1)与 AP 垂直时,点 A 到直线 y k (x 1)距离最大,即为| AP | 2 .故选:B .【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题,涉及到的知识点有直线过定点问题,利用几何性质是解题的关键,属于基础题.4.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x −y −3=0的距离为5B . 2 55C . 3 55D . 4 55A .5【答案】B【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,a设圆心的坐标为 a ,a ,则圆的半径为,圆的标准方程为 x a y a 2 a2. 2由题意可得 2 a 1 a 2 a2,2可得a26a 5 0,解得 a 1或a 5,所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ,的距离均为d 1 2 1 1 3 2 5;5圆心到直线5的距离均为d 2 2 5 5 32 55圆心到直线5圆心到直线2x y 3 0的距离均为d 252 5;5所以,圆心到直线2x y 3 0的距离为 2 5 .5故选:B .【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.5.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设 O 为坐标原点,直线 x =2与抛物线 C : y 2若 OD ⊥OE ,则 C 的焦点坐标为2px p 0交于 D ,E 两点,A .( 14,0)【答案】BB .( 12,0)C .(1,0)D .(2,0)【解析】因为直线 x 2与抛物线 y22px (p 0)交于 E ,D 两点,且OD OE ,根据抛物线的对称性可以确定 DOx EOx ,所以D 2,2 ,4代入抛物线方程4 4p ,求得 p 1,所以其焦点坐标为(1 ,0),2故选:B .【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.y 126.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设 F 1,F 2是双曲线C : x 2O的两个焦点,为坐标原点,点 P 在C 上3且|OP | 2,则△PF 1F 2的面积为A . 72B .3C . 52D .2【答案】B【解析】由已知,不妨设 F 1( 2,0),F 2(2,0),则 a 1,c 2,因为|OP | 1 1 | F 1F 2 |,2所以点 P 在以 F 1F 2为直径的圆上,即 F 1F 2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形,故| PF 1 | | PF 2 | | F 1F 2 |2 2 2,即| PF 1 | | PF 2 | 16,又| PF 1 | | PF 2 | 2a 2,2 2所以4 | PF 1 | | PF 2 | 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 2 | PF 1 || PF 2 | 16 2 | PF 1 || PF 2 |,解得| PF 1 || PF 2 | 6,所以S △F 1F 2P 1 | PF 1 || PF 2 | 32故选:B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题,涉及到双曲线的定义,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.7.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设 O 为坐标原点,直线 x =a 与双曲线 C : x 22 b 2y 2 =l(a >0,b >0)的两条渐近a线分别交于 D ,E 两点.若△ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为A .4 B .8 C .16 D .32【答案】B【解析】 C : x a 22 by 22 1(a 0,b 0), 双曲线的渐近线方程是 y b x ,a直线 x a 与双曲线C : xa22 by 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D , E 两点2不妨设 D 为在第一象限, E 在第四象限,x ax a联立 b ,解得 ,y x y ba 故 D (a ,b ),x a联立 x ab ,解得y b ,y xa 故 E (a ,b ),| ED | 2b ,ODE 面积为:S △ODE 1 a 2b ab 8,2双曲线C : x 22 by 2 1(a 0,b 0),2a其焦距为2c 2 a 2 b 2 2 2ab 2 16 8,当且仅当a b 2 2取等号,C 的焦距的最小值:8.故选:B .【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8.【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为 x22 by 2 1(a 0,b 0),过抛物线2y24x 的焦点和点(0,b )a的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为A . x 2y2y 12C . x2y41B . x221D . x y 12 2444【答案】Dx y 1,即直线的斜率为 b ,【解析】由题可知,抛物线的焦点为 1,0 ,所以直线的方程为lb 又双曲线的渐近线的方程为 y b x ,所以 b b , b b 1,因为a 0,b 0,解得a 1,b 1.a a a故选: D .【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题.9.【2020年高考北京】已知半径为 1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为A . 4B . 5D . 7C . 6【答案】A【解析】设圆心C x , y ,则 x 3 2 y 4 2 1,化简得 x 3 2 y 4 2 1,所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心,1为半径的圆,|OC | 1 |OM | 3 42 5,所以|OC | 5 1 4,所以2当且仅当C在线段OM上时取得等号,故选:A.【点睛】本题考查了圆的标准方程,属于基础题.10.【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ l于Q,则线段FQ的垂直平分线A.经过点OB.经过点 PD.垂直于直线OPC.平行于直线OP【答案】B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,PQ PF,所以线段FQ的垂直平分线经过点P .故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用,属于基础题.11.【2020年高考浙江】已知点O(0,0),A(–2,0),B(2,0).设点P满足|PA|–|PB|=2,且P为函数y 3 4 x2图象上的点,则|OP|=222B . 4 105A .C . 7D . 10【答案】D【解析】因为| PA | | PB | 2 4,所以点 P 在以 A ,B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支4 1 3,即双曲线的右支方程为 x 2 y 1 x 0,而点 P 还在2c 2,a 1可得, b 2 c 2 a上,由23函数 y 3 4 x 的图象上,所以,2132 y 3 4 x 2 x 13 27 ,即 OP 10.由 x,解得 y 3 1 x 0 223 3244 y故选:D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用,以及二次曲线的位置关系的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.12.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线C :mx ny 1.2 2A .若 m >n >0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上B .若 m =n >0,则C 是圆,其半径为 nmC .若 mn <0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 y x nD .若 m =0,n >0,则 C 是两条直线【答案】ACDx 2y2 1可化为 1 11【解析】对于 A ,若m n 0,则mx ,ny 2 2mn因为m n 0,所以 m 1 1n,y即曲线C 表示焦点在轴上的椭圆,故 A 正确;对于 B ,若m n 0,则mx2ny21可化为 x 2 y21,n此时曲线C 表示圆心在原点,半径为n 的圆,故 B 不正确;nx 1可化为 1 11,对于 C ,若mn 0,则mx ny 2 22y2m n此时曲线C 表示双曲线,m由mx ny2 20可得 y x ,故 C 正确;n对于 D ,若m 0,n 0,则mx 2 ny 2 1可化为y 2 1,nn ,此时曲线C 表示平行于轴的两条直线,故 D 正确;xyn 故选:ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.13.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为 x ±y =0的双曲线的离心率是2A .B .1D .22C . 2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 x y 0,所以a b ,则c a 2 b22a ,所以双曲线的离心率e c 2 .故选 C.a【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b ,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.14.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线 C : x a22 by 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线的倾斜角为 130°,则 C2的离心率为A .2sin40°B .2cos40°11C .D .sin50cos50【答案】D【解析】由已知可得 b tan130 , b tan50 ,a a1 b 250 sin 50 cos2 250501 e c 1 tan 50 1 sin 22, a a cos 2cos 250 cos50故选 D .【名师点睛】对于双曲线: x2y 21 b 22 1 a 0 , b 0 ,有e c ;a 2 ba a 2对于椭圆 x2y 22 1 a b 0 ,有e c 1 b ,防止记混.a 2 ba a 15.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆 C 的焦点为 F 1( 1,0),F 2(1,0),过 F 的直线与 C 交于 A ,B 两2点.若| AF 2 | 2| F 2B |,| AB | | BF 1 |,则 C 的方程为A . x2B . x 2 y 12y 12232C . x 2y 12D . x 2y 124354【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设 F 2B n ,则 AF 2 2n , BF 1 AB 3n ,由椭圆的定义有2a BF 1 BF 2 4n , AF 1 2a AF 2 2n .中,由余弦定理推论得cos F 1AB 4n 29n 29n 21.在△AF 1B2 2n 3n33.2在△AF 1F 2中,由余弦定理得4n 24n 22 2n 2n 1 4,解得n 323 1 2 , 所求椭圆方程为 x 2a 4n 2 3 , a 3 , b a c 2 22 y 1,故选 B .232法二:由已知可设 F 2B n ,则 AF 2 2n , BF 1 AB 3n ,由椭圆的定义有2a BF 1 BF 2 4n , AF 1 2a AF 2 2n .4n4 2 2n 2 cos AF 2F 14n2 2在△AF 1F 2和△BF 1F 2中,由余弦定理得,n 2 4 2 n 2 cos BF 2F 1 9n 2又 AF 2F 1 , BF 2F 1互补, cos AF 2F 1 cos BF 2F 1 0,两式消去cos AF 2F 1,cos BF 2F 1,得3. 2a 4n 2 3 , a 3 , ba c2 23 1 2 , 所求椭圆3n 6 11n2 2,解得n22方程为 x 2y 1,故选 B .232【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.x 2 y 1的一个焦点,则 p =216.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线 y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆3p pA .2B .3D .8C .4【答案】D2px (p 0)的焦点( p ,0)是椭圆 x y 23p221的一个焦点,所以3p p ( p )2【解析】因为抛物线 y ,2p 2解得 p 8,故选 D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 p 的方程,从而解出 p ,或者利用检验排除的方法,如 p 2时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除 A ,同样可排除 B ,C ,从而得到选 D .17.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设 F 为双曲线 C : x 22 b 22 1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,y a以 OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于 P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则 C 的离心率为A . 2B . 3D . 5C .2【答案】Ax【解析】设 PQ 与轴交于点A ,由对称性可知 PQ x 轴,又 PQ |OF | c , | PA | c , PA 为以OF 为直径的圆的半径,2∴|OA | c ,c c ,,P 2 22a 上, c2c a ,即 c 22 ca 2 2.2又 P 点在圆 x 2y222 a 2, e2442e 2,故选 A .【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出 P 点坐标,代入圆的方程得到 c 与 a 的关系,可求双曲线的离心率.18.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知 F 是双曲线 C : x2y 1的一个焦点,点 P 在 C 上,O 为坐标原245点,若 OP = OF ,则△OPF 的面积为3252A .C .B .D .7292【答案】B,则 x 0 y 1①.22【解析】设点 P x 0, y045又 OP OF 4 5 3, x 02y 0 9②.225,即 y 0 5,由①②得 y 0293S △OPF 1 OF y 0 1 3 5 5,2223故选 B .【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设P x 0, y 0 ,由OP = OF ,再结合双曲线方程可解出19.【2019年高考北京卷文数】已知双曲线A . 6y 0,利用三角形面积公式可求出结果.x 22 y 21(a >0)的离心率是 5,则 a =a B .41C .2D .2【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e c 5,c a21,a2 1 5,解得a 1a ∴,2a故选 D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义,双曲线中 a ,b ,c 的关系,方程的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.【 2019年高考天津卷文数】已知抛物线 y 24x 的焦点为 F ,准线为 l .若 l 与双曲线x 22 by 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ,且|AB | 4|OF |(O 为原点),则双曲2a线的离心率为A . 2B . 3D . 5C .2【答案】D 【解析】抛物线 y24x 的准线l 的方程为 x 1,双曲线的渐近线方程为 y b x ,a则有 A ( 1, b ),B ( 1, b ),a a ∴ AB 2b 2b, a 4,b 2a ,a∴e c a b2 25 .aa故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出 AB 的长度.解答时,只需把 AB 4 OF 用a ,b ,c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.21.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C : xa22y 2 1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为41A .312B .2D . 2 23C .2【答案】Cb c【解析】由题可得c 2,因为b 4,所以a 8,即a 2 2,2 2 2 222,故选 C .所以椭圆C 的离心率e22 2【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中,一定要注意离心率的公式,再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量,结合椭圆中a ,b ,c 的关系求得结果.22.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知 F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点, P 是C 上的一点,若 PF 1 PF 2,且PF 2F 1 60 ,则C 的离心率为3A .1B .2 3D . 3 123 1C .2【答案】D【解析】在△F 1PF 2中, F 1PF 2 90设 PF 2 m ,, PF 2F 1 60 ,则2c F 1F 2 2m , PF 1 3m ,又由椭圆定义可知2a PF 1 PF 2 ( 3 1)m ,则e c 2c2m 3 1,故选 D .a2a ( 3 1)m【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析,关键是寻找椭圆中 a ,c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义.23.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线 x a22 by 2 1(a 0,b 0)的离心率为 3,则其渐近线方程为2A . y 2xB . y 3xC . y 2 xD . y 3 x22【答案】A【解析】因为 e c 3,所以 b22c 2 a 2b 2,因为渐近线方程为 e 2 1 3 1 2,所以 aaa a 2y b x ,所以渐近线方程为 y 2x ,故选 A .a【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x a22 by 2 1(a 0,b 0),焦点坐标为(±c ,0),实轴长为 2a ,2虚轴长为 2b ,渐近线方程为 y b x ;a(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2 bx 2 1(a 0,b 0),焦点坐标为(0,±c ),实轴长为 2a ,y 22a虚轴长为 2b ,渐近线方程为 y a x .b24.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线 x y 2 0分别与 x 轴, y 轴交于 A , B 两点,点 P 在圆(x 2)2 y 2 2上,则△ABP 面积的取值范围是B . 4,8 A . 2,6C . 2,3 2 2 2,3 2D .【答案】A【解析】直线 x y 2 0分别与轴,轴交于 A ,B 两点, A 2,0 ,B 0, 2 ,则 AB 2 2 .x y 点 P 在圆(x 2)2 y22上, 圆心为(2,0),则圆心到直线的距离d 1 2 0 2 2 2 .22,3 2,则S △ABP 1 AB d 2 2d 2 2,6 .故点 P 到直线 x y 2 0的距离d 2的范围为2故答案为 A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题 .先求出 A ,B 两点坐标得到 AB ,再计算圆心到直线的距离,得到点 P 到直线距离的范围,由面积公式计算即可.25.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线C : x 22 by2 21(a 0,b 0)的离心率为 2,则点(4,0)到Ca的渐近线的距离为A . 2B .2C . 3 22D .2 2【答案】D【解析】 e c 1 (b )2, b 1,所以双曲线C 的渐近线方程为 x y 0,所以点(4,0)2aaa4到渐近线的距离d2 2,故选 D .1 1【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式,考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论:若双曲线 x a22 by 2 1(a 0,b 0)是等轴双曲线,则 a =b ,离心率 e = 2,渐近线方程为2y =±x ,且两条渐近线互相垂直.26.【2018年高考浙江卷】双曲线 x2y21的焦点坐标是3A .(− 2,0),( 2,0)B .(−2,0),(2,0)C .(0,− 2 ),(0, 2 )D .(0,−2),(0,2)【答案】B 【解析】设 x22 1的焦点坐标为( c ,0),因为c 2 a 2 b 23 1 4,c 2, y3所以焦点坐标为( 2,0),故选 B .【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时,先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴,然后根据基本量之间的关系进行运算.27.【2018年高考天津卷文数】已知双曲线 x a22 by 2 1(a 0, b 0)的离心率为2,过右焦点且垂直于轴2x的直线与双曲线交于 A ,B 两点.设 A ,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d 2,且d 1 d 2 6,则双曲线的方程为A . x 2y 12B . x 2y 123993C . x 2y 12D .x 2 y 12412124【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为 F (c ,0)(c 0),则 x A x B c ,由 c 2a 2 by 2 1可得 ya ,2b 2不妨设 A (c , b), B (c , b2 2),a a 双曲线的一条渐近线方程为bx ay 0,据此可得d 1 |bc b 2| bc b 2,d 2 |bc b| bc b2 2,cb2a 2b 2ca 2则d 1 d 2 2bc 2b 6,则b 3,b29,c21 a 92 2,据此可得a23,则双曲线的方程为 x 2 y 1.2双曲线的离心率e c 1 b aa 239故选 A .【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出 a ,b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 x a22 by 2 0 ,2再由条件求出λ的值即可.解答本题时,由题意首先求得 A ,B 的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b 的值,之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.28.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线 C : x a22 by 2 1 (a >0,b >0)的一条渐近线为 y = 2 x ,则 C 的离心2率为_________.【答案】3【解析】由双曲线方程 xa 22 by2 1可得其焦点在轴上,2x因为其一条渐近线为y 2x,b a 2,e ac 1 ba2 3 .2所以故答案为:3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质,利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键,要注意判断焦点所在位置,属于基础题.29.【2020年高考天津】已知直线x 3y 8 0和圆 x2 y2 r2(r 0)相交于A,B两点.若| AB| 6,则r的值为_________.【答案】58【解析】因为圆心 0,0 到直线x 3y 8 0的距离d 4,1 3由| AB | 2 r d 2可得6 2 r2 42,解得r = 5.2故答案为:5.【点睛】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题.30.【2020年高考北京】已知双曲线C : x2 y 1,则C的右焦点的坐标为_________;C的焦点到其渐263近线的距离是_________.【答案】 3,0 ;3【解析】在双曲线C中,a 6,b 3,则c a22 3,则双曲线C的右焦点坐标为 3,0 ,b双曲线C的渐近线方程为y2 x,即x 2y 0,23所以,双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 3 .1 22故答案为: 3,0 ; 3 .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离,考查计算能力,属于基础题.31.【2020年高考浙江】已知直线 y kx b (k 0)与圆 x 2 y 2 1和圆(x 4)2 y 2 1均相切,则k _______,b =_______.3; 2 3【答案】33|b | 1|4k b |1,【解析】由题意,C 1,C 2到直线的距离等于半径,即1,k 12 2k22所以|b | 4k b ,所以k 0(舍)或者b 2k ,解得k 3 ,b 2 3 .333 ; 2 33故答案为:3【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查学生的数学运算能力,是一道基础题.32.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 22 y 1(a 0)的一条渐近线方程为 y 5 x ,2a 52则该双曲线的离心率是▲.3【答案】2【解析】双曲线 x a22 y 1,故 b 5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y 25 x ,即52b 5 a 2,所以c a b 2 c 4 5 3,所以双曲线的离心率为 a 3222.a32故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.33.【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 3的直线过抛物线 C :y AB =________.2=4x 的焦点,且与 C 交于 A ,B 两点,则163【答案】【解析】∵抛物线的方程为 y24x ,∴抛物线的焦点 F 坐标为 F (1,0),又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3,∴直线 AB 的方程为: y 3(x 1)代入抛物线方程消去 y 并化简得3x 2 10x 3 0,解法一:解得 x 1 1,x 2 33| x 1 x 2 | 1 3 |3 1 | 16所以| AB | 1 k233解法二: 100 36 64 0设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),则 x 1 x 2 103,过 A ,B 分别作准线 x 1的垂线,设垂足分别为C ,D 如图所示.| AB | | AF | | BF | | AC | | BD | x 1 1 x 2 1 x 1 x 2+2=16316故答案为:3【点睛】本题考查抛物线焦点弦长,涉及利用抛物线的定义进行转化,弦长公式,属基础题.3,0),A ,B 是圆 C : x (y 1) 36上的两2234.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P (22个动点,满足 PA PB ,则△PAB 面积的最大值是【答案】10 5▲.【解析】Q PA PB PC AB3 1 14 4设圆心C 到直线 AB 距离为d ,则|AB |=2 36 d 2,| PC | 所以 S V PAB 1 2 36 d(d 1) (36 d (0 d 6) y 2(d 1)( 2d 当0 d 4时,y 0;当4 d 6时,故答案为:10 5)(d 1)2 222令 y (36 d 2)(d 1)22d 36) 0 d 4(负值舍去)y y 0,因此当 d 4时,取最大值,即S PAB 取最大值为10 5,【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.35.【2019年高考北京卷文数】设抛物线 y =4x 的焦点为 F ,准线为 l .则以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的2方程为__________.【答案】(x 1) y 42 2【解析】抛物线 y =4x 中,2p =4,p =2,2焦点 F (1,0),准线 l 的方程为 x =−1,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为(x −1)+y =22,即为(x 1)22y24 .2【名师点睛】本题可采用数形结合法,只要画出图形,即可很容易求出结果.36.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设 F 1,F 2为椭圆 C : x2y21的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若+36 20△MF 1F 2为等腰三角形,则 M 的坐标为___________.【答案】 3, 15【解析】由已知可得a236 ,b 2 20 , c 2 a 2b 2 16 ,c 4,MF 1 F 1F 2 2c 8,∴ MF 2 4.1 F 1F2 y 0 4y 0,△MF 1F 2设点M 的坐标为 x 0 , y x0, y 0 00 ,则S 02又 S △MF 1F 2 1 4 8 2 4 15 , 4y 0 4 15,解得 y 0 15,222215 1,解得 x 0 3( x 0 3舍去),20 x 236\ M 的坐标为 3, 15.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出 MF 1、MF2,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标.y237.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 2 2 1(b 0)经过点(3,4),则该双b曲线的渐近线方程是▲.【答案】 y 2x4【解析】由已知得3221,解得b 2或b 2,b2因为b 0,所以b 2 .因为 a 1,所以双曲线的渐近线方程为 y 2x .【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a ,b 密切相关,事实上,标准方程中化 1为 0,即得渐近线方程.438.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y x (x 0)上的一个动点,则点 P 到x直线 x +y =0的距离的最小值是【答案】4▲.【解析】当直线 x +y =0平移到与曲线 y x 4相切位置时,切点 Q 即为点 P ,此时到直线 x +y =0的距x离最小.由 y 1 42 1,得 x 2(x 2舍), y 3 2,即切点Q ( 2,3 2),x2 3 2则切点 Q 到直线 x +y =0的距离为 4,1 12 2故答案为4.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.39.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,m )r,半径长是 .若直线2x y 3 0与圆 C 相切于点 A ( 2, 1),则mr=___________, =___________.【答案】 2, 5【解析】由题意可知k AC 1 AC : y 1 1 (x 2),把(0,m )代入直线 AC 的方程得m 2,22此时r | AC | 4 1 5 .【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 AC 的斜率,进一步得到其方程,将(0,m )代入后求得m ,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.40.【2019年高考浙江卷】已知椭圆 x 2y 1的左焦点为 F ,点 P 在椭圆上且在轴的上方,若线段 PF2x95的中点在以原点O 为圆心, OF 为半径的圆上,则直线 PF 的斜率是___________.【答案】 15【解析】方法 1:如图,设 F 1为椭圆右焦点.由题意可知|OF |=|OM |= c= 2,由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4,设 P (x , y ),可得(x 2)y2 216,与方程 x 2y 1联立,可解得 x 3,x 2212(舍),9521515 P3 ,21x 又点 P 在椭圆上且在轴的上方,求得 ,所以k PF15 . 222方法 2:(焦半径公式应用)由题意可知|OF |=|OM |= c= 2,32由中位线定理可得PF1 2|OM | 4,即a ex p 4 x p ,1515,所以P 3 ,21从而可求得 k PF 15 .222【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁. 41.【2018年高考全国I卷文数】直线y x 1与圆x y2 22y 3 0交于A,B两点,则AB ________.【答案】2 2y 1 2 4,所以圆的圆心为0, 1,且半径是2,【解析】根据题意,圆的方程可化为 x20 1 1根据点到直线的距离公式可以求得d 1 2 2,12结合圆中的特殊三角形,可知AB 2 4 2 2 2,故答案为2 2 .【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题,在解题的过程中,熟练应用圆中的特殊三角形,即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形,借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程,得到圆心坐标和圆的半径的大小,之后应用点到直线的距离求得弦心距,借助于圆中特殊三角形,利用勾股定理求得弦长.42.【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.【答案】x y 2x 02 2【解析】设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),F 0 D 2则 1 1 D E F 0,解得 E 0,则圆的方程为 x2 y22x 0.F 04 0 2D F 0【名师点睛】求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.43.【2018年高考浙江卷】已知点 P (0,1),椭圆 x2+y =m (m >1)上两点 A ,B 满足 AP 2PB ,则当24m =___________时,点 B 横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】设 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),x 1 2x 2,1 y 1 2(y 2 1),由 AP 2PB 得所以 y 1 2y 2 3,x 12x 22因为 A , B 在椭圆上,所以 4 y 12m , 4 y 22 m ,4x 22(2y 2 3)2 m ,所以4所以 x 22(y 2 3)m 2,424与 x 22m 对应相减得 y 3 m 1 (m y 22, x 22210m 9) 4,2444当且仅当m 5时取最大值.【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.44.【2018年高考北京卷文数】若双曲线 x a22 y 1(a 0)的离心率为25,则a ________________.24【答案】4【解析】在双曲线中c a2b 2a 2 4,且e ac 5,2a 2 4 5,即a 2 16,2所以a因为a 0,所以a 4.数学运算.在求解有关离心率的问题时,一般不直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的条件,建立关于参数 c ,a ,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.45.【2018年高考北京卷文数】已知直线 l 过点(1,0)且垂直于轴,若 l 被抛物线 y 4ax 截得的线段2长为 4,则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】 1,0 【解析】由题意可得,点 P 1,2 在抛物线上,将 P 1,2 代入 y 2 4ax 中,解得a 1, y 4x ,由2抛物线方程可得:2p 4, p 2, p 1, 焦点坐标为 1,0 .2【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识,属于易得分题,关键在于能够结合抛物线的对称性质,得到抛物线上点的坐标,再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形,分析可得抛物线经过点 1,2 ,将点 1,2 坐标代入可求参数的值,进而可求焦点坐a标.x 22 by 22 1(a 0,b 0)的右焦点F (c ,0)46.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线a到一条渐近线的距离为 3 c ,则其离心率的值是________________.2【答案】2bc 0bcc【解析】因为双曲线的焦点 F (c ,0)到渐近线 y b x ,即bx ay 0的距离为a b2 2b ,a所以b3 c ,2因此a 2c 2b 2c23 c 2 1 c 2,a 1 c ,e 2.442。

全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)

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20.(2018•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点(
),焦点 F1
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(﹣ ,0),F2( ,0),圆 O 的直径为 F1F2. (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; ②直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点.若△OAB 的面积为 ,求直线 l 的方程.
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线型道路 PB,QA,规划要求:线段 PB,QA 上的所有点到点 O 的距离均不.小.于.圆 O 的半径.已知点 A,B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C,D 为垂足),测得 AB =10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长; (2)在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位:百米),求当 d 最小时, P、Q 两点间的距离.
点的圆. (1)求 C 的轨迹方程; (2)动点 P 在 C 上运动,M 满足
=2 ,求 M 的轨迹方程.
试卷第 8 页,总 25 页
18.(2018•浙江)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上 存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (Ⅰ)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;
22.(2018•上海)设常数 t>2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F(2,0),直线 l: x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B.P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点. (1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离; (2)设 t=3,|FQ|=2,线段 OQ 的中点在直线 FP 上,求△AQP 的面积; (3)设 t=8,是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在Γ上?若存在, 求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

精编2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含参考答案)

精编2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________一、选择题1.如图,1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线,1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别 在1l 、2l 、3l 上,则⊿ABC 的边长是( )A .B .364C .4D .3二、填空题2.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心, 点P 为圆上任意一点,则OP CP ⋅的最大值为 ▲ .3.直线20x y +-=与直线230x y -+=的交点坐标为_____4.圆1C :422=+y x 和2C :0248622=-+-+y x y x 的位置关系是_______ _____.5.设P 是直线:2l y x =且在第一象限上的一点,点(2,2),Q 则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三角形面积最小值为 ▲ .6.设(4,9),(6,3)A B ,则以AB 为直径的圆的方程为___________7.过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是8.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交,则实数m 的取值范围为 ▲ .9. 已知)(),(),(),(13,75,31,-b D C B a A 是菱形ABCD 的四个顶点,则=+b a ▲ .10.已知圆C :x 2 + y 2 = 1,点P (x 0,y 0)在直线x - y - 2 = 0上,O 为坐标原点,若圆C 上存在点Q ,使∠OPQ = 30︒,则x 0的取值范围是 .11.设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1,则圆半径r 的取值范围_____▲_______ .12.若直线y =x +m 与曲线x m 的取值范围是 ▲ .13.已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心,且A θ∠=,若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B += 则m = __.14.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线0ax by +=的距离为_______________________.15.已知点P (3,5),直线l :3x -2y -7=0,则过点P 且与l 平行的直线方程是 . 16.已知圆054:22=+-++a y x y x C ,若点)0,0(O 在圆外,则实数a 的取值范围是 。

2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试50抛物线文含解析

2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试50抛物线文含解析

考点测试50 抛物线高考概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题、解答题,分值为5分或12分,中、高等难度考纲研读1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.理解数形结合的思想3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1.抛物线y =14x 2的准线方程是( )A .y =-1B .y =-2C .x =-1D .x =-2 答案 A解析 依题意,抛物线x 2=4y 的准线方程是y =-1,故选A .2.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线准线的距离为( ) A .4 B .6 C .8 D .12 答案 B解析 依题意得,抛物线y 2=8x 的准线方程是x =-2,因此点P 到该抛物线准线的距离为4+2=6,故选B .3.到定点A (2,0)与定直线l :x =-2的距离相等的点的轨迹方程为( ) A .y 2=8x B .y 2=-8x C .x 2=8y D .x 2=-8y 答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p =4,焦点在x 轴正半轴上,故选A . 4.若抛物线y 2=2px (p >0)上的点A (x 0,2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍,则p 等于( )A .12B .1C .32 D .2 答案 D解析 由题意3x 0=x 0+p 2,x 0=p 4,则p 22=2,∵p >0,∴p =2,故选D .5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=6,则|AB |等于( )A .4B .6C .8D .10 答案 C解析 由抛物线y 2=4x 得p =2,由抛物线定义可得|AB |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2,又因为x 1+x 2=6,所以|AB |=8,故选C .6.若抛物线y =4x 2上一点到直线y =4x -5的距离最短,则该点为( ) A .(1,2) B .(0,0) C .12,1 D .(1,4)答案 C解析 解法一:根据题意,直线y =4x -5必然与抛物线y =4x 2相离,抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y =4x -5平行的抛物线的切线的切点.由y ′=8x =4得x =12,故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是12,1,该点到直线y =4x -5的距离最短.故选C .解法二:抛物线上的点(x ,y )到直线y =4x -5的距离是d =|4x -y -5|17=|4x -4x 2-5|17=4x -122+417,显然当x =12时,d 取得最小值,此时y =1.故选C .7.已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 答案 y 2=4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x .8.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且满足|NF |=32|MN |,则∠NMF =________. 答案π6解析 过N 作准线的垂线,垂足是P ,则有|PN |=|NF |,∴|PN |=32|MN |,∠NMF =∠MNP .又cos ∠MNP =32,∴∠MNP =π6,即∠NMF =π6. 二、高考小题9.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →=( )A .5B .6C .7D .8 答案 D解析 根据题意,过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y =23(x +2),与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y =23(x +2),y 2=4x ,消去x 并整理,得y 2-6y +8=0,解得M (1,2),N (4,4),又F (1,0),所以FM →=(0,2),FN →=(3,4),从而可以求得FM →·FN →=0×3+2×4=8,故选D .10.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10 答案 A解析 因为F 为y 2=4x 的焦点,所以F (1,0).由题意直线l 1,l 2的斜率均存在,且不为0,设l 1的斜率为k ,则l 2的斜率为-1k,故直线l 1,l 2的方程分别为y =k (x -1),y =-1k(x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1,所以|AB |=1+k 2·|x 1-x 2| =1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2·2k 2+4k 22-4=4(1+k 2)k2. 同理可得|DE |=4(1+k 2).所以|AB |+|DE |=4(1+k 2)k 2+4(1+k 2)=41k 2+1+1+k 2=8+4k 2+1k2≥8+4×2=16, 当且仅当k 2=1k2,即k =±1时,取得等号.故选A .11.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________.答案 2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,所以y 21-y 22=4x 1-4x 2, 所以k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2. 取AB 的中点M ′(x 0,y 0),分别过点A ,B 作准线x =-1 的垂线,垂足分别为A ′,B ′. 因为∠AMB =90°,所以|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB ′|).因为M ′为AB 的中点,所以MM ′平行于x 轴.因为M (-1,1),所以y 0=1,则y 1+y 2=2,所以k =2.12.(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.答案 (1,0)解析 由题意得a >0,设直线l 与抛物线的两交点分别为A ,B ,不妨令A 在B 的上方,则A (1,2a ),B (1,-2a ),故|AB |=4a =4,得a =1,故抛物线方程为y 2=4x ,其焦点坐标为(1,0).13.(2017·天津高考)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC =120°,则圆的方程为______________________.答案 (x +1)2+(y -3)2=1解析 由y 2=4x 可得点F 的坐标为(1,0),准线l 的方程为x =-1.由圆心C 在l 上,且圆C 与y 轴正半轴相切(如图),可得点C 的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO =90°.又因为∠FAC =120°,所以∠OAF =30°,所以|OA |=3,所以点C 的纵坐标为3. 所以圆的方程为(x +1)2+(y -3)2=1. 三、模拟小题14.(2018·沈阳监测)抛物线y =4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A .(0,a ) B .(a ,0) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a D .⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ,0 答案 C解析 将y =4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2=14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a ,故选C .15.(2018·太原三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与抛物线交于M ,N 两点,若PF →=3MF →,则|MN |=( )A .163B .8C .16D .833答案 A解析 由题意F (1,0),设直线PF 的方程为y =k (x -1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).因为准线方程为x =-1,所以得P (-1,-2k ).所以PF →=(2,2k ),MF →=(1-x 1,-y 1),因为PF →=3MF →,所以2=3(1-x 1),解得x 1=13.把y =k (x -1)代入y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k2=0,所以x 1x 2=1,所以x 2=3,从而得|MN |=|MF |+|NF |=(x 1+1)+(x 2+1)=x 1+x 2+2=163.故选A . 16.(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点Q ,点A 的坐标是(8,7),则|PA |+|PQ |的最小值为( )A .7B .8C .9D .10答案 C解析 延长PQ 与准线交于M 点,抛物线的焦点为F (0,1),准线方程为y =-1,根据抛物线的定义知,|PF |=|PM |=|PQ |+1.∴|PA |+|PQ |=|PA |+|PM |-1=|PA |+|PF |-1≥|AF |-1=82+(7-1)2-1=10-1=9.当且仅当A ,P ,F 三点共线时,等号成立,则|PA |+|PQ |的最小值为9.故选C .17.(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的对称轴与准线的交点,过点A 作抛物线C 的两条切线,切点分别为P ,Q ,若△APQ 的面积为4,则实数p 的值为( )A .12B .1C .32 D .2 答案 D解析 解法一:设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y =kx -p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -p 2,x 2=2py ,得x 2-2pkx +p 2=0.由Δ=4p 2k 2-4p 2=0,得k =±1,所以得点P -p ,p2,Qp ,p 2,所以△APQ 的面积为S =12×2p ×p =4,解得p =2.故选D .解法二:如图,设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由题意得点A 0,-p 2.y =12p x 2,求导得y ′=1px ,所以切线PA 的方程为y-y 1=1p x 1(x -x 1),即y =1p x 1x -12p x 21,切线PB 的方程为y -y 2=1p x 2(x -x 2),即y =1p x 2x -12px 22,代入A 0,-p 2,得点P -p ,p 2,Qp ,p 2,所以△APQ 的面积为S =12×2p ×p =4,解得p =2.故选D .18.(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是________.答案 2x -y -1=0解析 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由A ,B 都在抛物线上,可得⎩⎪⎨⎪⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,作差得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).因为AB 中点为P (1,1),所以y 1+y 2=2,则有2·y 1-y 2x 1-x 2=4,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=2,从而直线AB 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.一、高考大题1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN .解 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y =12x +1或y =-12x -1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为线段MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN . 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),y 2=2x ,得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y 1k +2,x 2=y 2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k=-8+8k=0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN .综上,∠ABM =∠ABN .2.(2018·浙江高考)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x <0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.解 (1)证明:设P (x 0,y 0),A 14y 21,y 1,B 14y 22,y 2.因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以y 1,y 2为方程y +y 022=4·14y 2+x 02即y 2-2y 0y +8x 0-y 20=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴. (2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 20,所以|PM |=18(y 21+y 22)-x 0=34y 20-3x 0,|y 1-y 2|=22(y 20-4x 0).因此,△PAB 的面积S △PAB =12|PM |·|y 1-y 2|=324(y 20-4x 0)32. 因为x 2+y 204=1(x 0<0),所以y 20-4x 0=-4x 20-4x 0+4∈[4,5]. 因此,△PAB 面积的取值范围是62,15104. 3.(2018·北京高考)已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM →=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2), 所以2p =4,即p =2. 故抛物线C 的方程为y 2=4x ,由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =kx +1,得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0, 解得k <0或0<k <1.又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2). 从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由(1)知x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k2.直线PA 的方程为y -2=y 1-2x 1-1(x -1). 令x =0,得点M 的纵坐标为y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2. 同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2. 由QM →=λQO →,QN →=μQO →得λ=1-y M ,μ=1-y N . 所以1λ+1μ=11-y M +11-y N =x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k 2+2k -4k 21k 2=2.所以1λ+1μ为定值.二、模拟大题4.(2018·湖北八市联考)如图,已知抛物线x 2=2py (p >0),其焦点到准线的距离为2,圆S :x 2+y 2-py =0,直线l :y =kx +p2与圆和抛物线自左至右顺次交于A ,B ,C ,D 四点.(1)若线段AB ,BC ,CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求正数k 的值;(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ,l 1与抛物线交于点M ,N ,设MN ,AD 的中点分别为P ,Q ,求证:直线PQ 过定点.解 (1)由题意可得p =2,所以抛物线x 2=4y ,圆S 的方程可化为x 2+(y -1)2=1,其圆心S (0,1),圆的半径为1, 设点A (x 1,y 1),D (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=4y ,y =kx +1,得x 2-4kx -4=0,所以x 1+x 2=4k ,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, 所以|AB |+|CD |=|AS |+|DS |-|BC | =y 1+1+y 2+1-2=y 1+y 2=4k 2+2=2|BC |=4, 所以k =22(负值舍去). (2)证明:因为x 1+x 2=4k ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, 所以Q (2k ,2k 2+1).当k ≠0时,用-1k 替换k 可得P -2k ,2k2+1,所以k PQ =k 2-1k,所以PQ 的直线方程为y -(2k 2+1)=k 2-1k(x -2k ),化简得y =k 2-1kx +3,过定点(0,3).当k =0时,直线l 1与抛物线只有一个交点,不符合题意,舍去.5.(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1,抛物线C 2的焦点均在x 轴上,C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-23),(-2,0),(4,-4),2,22.(1)求C 1,C 2的标准方程;(2)是否存在直线l 满足条件:①过C 2的焦点F ;②与C 1交于不同的两点M ,N ,且满足OM →⊥ON →?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)设抛物线C 2:y 2=2px (p ≠0), 则有y 2x=2p (x ≠0), 据此验证四个点知(3,-23),(4,-4)在抛物线上,易得,抛物线C 2的标准方程为y 2=4x . 设椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 把点(-2,0),2,22代入可得a 2=4,b 2=1, 所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 2=1. (2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1.直线l 交椭圆C 1于点M 1,32,N 1,-32, OM →·ON →≠0,不满足题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1),并设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x -1),x 2+4y 2=4,消去y ,得(1+4k 2)x 2-8k 2x +4(k 2-1)=0,于是x 1+x 2=8k 21+4k 2, x 1x 2=4(k 2-1)1+4k2, ① 则y 1y 2=k (x 1-1)·k (x 2-1)=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=k 24(k 2-1)1+4k 2-8k 21+4k 2+1=-3k21+4k2. ② 由OM →⊥ON →得x 1x 2+y 1y 2=0. ③将①②代入③式,得4(k 2-1)1+4k 2+-3k 21+4k 2=k 2-41+4k2=0, 解得k =±2,所以存在直线l 满足条件,且l 的方程为2x -y -2=0或2x +y -2=0.6.(2018·石家庄质检二)已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=94的圆心C 在抛物线x 2=2py (p >0)上,圆C 过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,分别在A ,B 处作抛物线的两条切线交于点P ,求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程.解 (1)由已知可得圆心C (a ,b ),半径r =32,焦点F 0,p 2,准线y =-p 2,因为圆C 与抛物线F 的准线相切,所以b =32-p 2. 又因为圆C 过原点,且圆C 过焦点F ,所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上,即b =p 4,所以32-p 2=p 4,解得p =2, 所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)易得焦点F (0,1),直线l 的斜率必存在,设为k ,即直线l 的方程为y =kx +1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx -4=0,Δ>0, 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,对y =x 24求导得y ′=x 2,即k AP =x 12. 直线AP 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1), 即y =x 12x -14x 21, 同理得直线BP 的方程为y =x 22x -14x 22. 设点P (x 0,y 0),联立直线AP 与BP 的方程,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x 1+x 22=2k ,y 0=x 1x 24=-1,即P (2k ,-1), 所以|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=4(1+k 2), 点P 到直线AB 的距离d =|2k 2+2|1+k2=21+k 2, 所以△PAB 的面积S =12·4(1+k 2)·21+k 2=4(1+k 2)32≥4, 当且仅当k =0时取等号.综上,△PAB 面积的最小值为4,此时直线l 的方程为y =1.。

2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试45直线的方程文含解析

2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试45直线的方程文含解析

第七章平面解析几何考点测试45直线的方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题,分值5分,中、低等难度考纲研读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握确定直线位置的几何要素4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系一、基础小题1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是()3A.m≠-B.m≠02C.m≠0且m≠1D.m≠1答案 D解析由Error!解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.ππ2.直线x sin +y cos =0的倾斜角α是()7 7ππ5π6πA.-B.C.D.7 7 7 7答案 Dπsin7 π6π6π解析∵tanα=-=-tan =tan ,α∈[0,π),∴α=.π7 7 7cos73.过点(-1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x-3y+6+3=0 B.3x-3y-6+3=0C.3x+3y+6+3=0 D.3x+3y-6+3=0答案 A3 3解析∵k=tan30°=,∴直线方程为y-2=(x+1).即3x-3y+6+3=3 30.故选A.4.已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值为()A.1或3 B.1或5 C.1或4 D.1或2答案 C解析由题意可得,(k-3)×2(k-3)+(5-k)×(-2)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=1或k=4.故选C.5.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案 D解析直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D.6.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 CC C解析由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故A B直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.7.在平面直角坐标系中,直线l与直线3x+y-3=0关于x轴对称,则直线l的倾斜角为()ππ5π2πA.B.C.D.6 3 6 3答案 B解析直线的斜截式方程为y=-3x+3,即直线的斜率k=tanα=-3,即α=2π π,所以直线 l 的倾斜角为 ,故选 B .338.在下列四个命题中,正确的有( )①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率; ②直线的倾斜角的取值范围为[0°,180°]; ③若一直线的斜率为 tan α,则此直线的倾斜角为 α; ④若一直线的倾斜角为 α,则此直线的斜率为 tan α. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 答案 A解析 当倾斜角 α=90°时,其斜率不存在,故①④不正确;直线的倾斜角 α 的取值范围为[0°,180°),故②不正确;直线的斜率 k =tan210°这是可以的,此时倾斜角 α= 30°而不是 210°,故③不正确.故选 A .9.直线 x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( ) π 3π A .0,B . ,π4 4π π π π 3πC .0, ∪ ,πD . , ∪ ,π4 2424答案 B13π解析 ∵直线的斜率 k =- ,∴-1≤k <0,则倾斜角的取值范围是,π.a 2+14 10.直线 2x -my +1-3m =0,当 m 变动时,所有直线都通过定点( )1 1 A .(- ,3) B .(,3 )22 1 1 C .(,-3) D .(- ,-3)22答案 D解析 ∵当 m 变动时,(2x +1)-m (y +3)=0恒成立,∴2x +1=0,y +3=0,∴x =- 1 12(- ,-3)2,y =-3,定点为.故选 D .11.设点 A (-2,3),B (3,2),若直线 ax +y +2=0与线段 AB 没有交点,则 a 的取值范围是( )54A.(-∞,-2]∪[,+∞)34 5B.(-2),35 4C.[-3],2Earlybird4 5D.(-∞,-3]∪[,+∞)2答案 B3--2 5 解析直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,∵k MA==-,k MB-2-0 22--24==,3-0 35 4 4 52 33 (-2) 画图可知-a>-且-a< ,∴a∈,.12.已知直线l:ax+y-2-a=0 在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________.答案1或-2解析显然a=0不符合题意,当a≠0时,令x=0,则直线l在y轴上的截距为2+a;2 2令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.a a二、高考小题13.(2013·四川高考)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案(2,4)6-2 5--1解析由已知得k AC==2,k BD==-1,所以直线AC的方程为y-2=2(x-3-1 1-71),即2x-y=0,①直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0,②联立①②解得Error!所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4),此点即为所求点.因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,取异于P点的任一点P′.则|P′A|+|P′B|+|P′C|+|P′D|=(|P′A|+|P′C|)+(|P′B|+|P′D|)>|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|.故P点就是到点A,B,C,D的距离之和最小的点.故应填(2,4).14.(2014·四川高考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.答案 5解析易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|2=5(当且仅当|PA|=|PB|=5时取“=”).2三、模拟小题15.(2018·重庆一诊)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是()A.(-2,1) B.(-1,2)C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案 A解析∵过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,2a-a-1 a-1即<0,即<0,解得-2<a<1,故选A.3-1+a2+a16.(2018·佛山质检)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx +y+a=0有可能是()答案 B解析当a,b≠0时,两直线在x轴上的截距符号相同,故选B.17.(2019·石家庄调研)已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴,y轴上的截距分别为k,2k,则直线l的方程为()A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0 D.2x+y+4=0答案 D2k-0解析依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k==-2,由点斜式得0-k直线l的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.故选D.218.(2018·广西南宁三中月考)设点P是曲线y=x3-3x+上的任意一点,P点处切3线的倾斜角α的取值范围是()π5π2πA.0,∪,πB.,π2 6 3π2ππ5πC.0,∪,πD.,2 3 2 6答案 C解析因为y′=3x2-3≥-3,即切线斜率k≥-3,所以切线倾斜角α的取值π2π范围是0,∪,π.2 319.(2018·江西宜春丰城九中月考)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l 的斜率的取值范围为()1 1A.0,B.[0,1] C.[0,2] D.0,2 2答案 C解析因为直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,作出图象,如图所示,当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件,由图可知,当直线l过A且平行于x轴时,斜率取得最小值,k min=0;当直线l过A(1,2),O(0,0)时,斜率取得最大值,k max=2,所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2].故选C.5 20.(2018·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=,则l的5斜率为()1 1A.-B.-或-22 21C.或2 D.-22答案 D5 解析∵sinθ+cosθ=,①51∴(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=,54 9∴2sinθcosθ=-,∴(sinθ-cosθ)2=,5 5易知sinθ>0,cosθ<0,3 5∴sinθ-cosθ=,②5由①②解得Error!∴tanθ=-2,即l的斜率为-2,故选D.21.(2018·江苏调研)已知经过点P(3,2),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________.答案2x-3y=0或x+y-5=0解析设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),Earlybird2∴l 的方程为 y = x ,即 2x -3y =0.3 x y 若 a ≠0,则设 l 的方程为 + =1,a a3 2∵l 过点(3,2),∴ + =1,∴a =5,a a∴l 的方程为 x +y -5=0,综上可知,直线 l 的方程为 2x -3y =0或 x +y -5=0.122.(2019·沧州月考)已知直线 y = x +k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1,2 则实数 k 的取值范围是________.答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)解析 令 y =0,则 x =-2k .令 x =0,则 y =k .故直线与两坐标轴围成的三角形的面 1积为 S = |k |·|-2k |=k 2.由题意知,三角形的面积不小于 1,可得 k 2≥1,所以实数 k 的2 取值范围是 k ≥1 或 k ≤-1.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.(2018·山西长治月考)在△ABC 中,已知 A (5,-2),B (7,3),且 AC 边的中点 M 在y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求:(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.解 (1)设点 C 的坐标为(x ,y ),则有x +53+y=0,=0. 22∴x =-5,y =-3, 即点 C 的坐标为(-5,-3).5(2)由题意知,M (0,-2),N (1,0),y ∴直线 MN 的方程为 x - =1,5 2 即 5x -2y -5=0.2.(2018·四川达州月考)直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A ,B 两点.(1)当|PA |·|PB |最小时,求 l 的方程;(2)当|OA |+|OB |最小时,求 l 的方程.解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负.设 l :y -4=k (x -1)(k <0).4令 y =0,可得 A (1- ,0); k令 x =0,可得 B (0,4-k ).4(1)|PA |·|PB |= (k )· 2+16 1+k 2 41 =-k (1+k 2)=-4(+k )≥8.(注意 k <0)k1 ∴当且仅当=k 且 k <0, k即 k =-1时,|PA |·|PB |取最小值.这时 l 的方程为 x +y -5=0.44 (2)|OA |+|OB |=(1-k )+(4-k )=5-(k +k )≥9. 4∴当且仅当 k = 且 k <0,即 k =-2时,|OA |+|OB |取最小值.这时 l 的方程为 2x +y - k6=0.3.(2018·福建华安月考)设直线 l 的方程为(a +1)x +y -2-a =0(a ∈R ).(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程;(2)若 a >-1,直线 l 与 x ,y 轴分别交于 M ,N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 面积取最 小值时直线 l 的方程.解 (1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0,此时 a +2=0, 解得 a =-2,此时直线 l 的方程为-x +y =0,即 x -y =0;当直线 l 不经过坐标原点,即2+aa ≠-2且 a ≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得 =2+a ,解得 a =0,此时直 a +1线 l 的方程为 x +y -2=0.所以直线 l 的方程为 x -y =0或 x +y -2=0.2+a (2)由直线方程可得 M ( ,0),N (0,2+a ),a +1 因为 a >-1,1 2+a所以 S △OMN = · ·(2+a ) 2 a +11 11 [a +1+1]22[a +1+ +2] = × = 2a +1 a +1 1 12 [2 a +1· +2] ≥ × =2,a +1 1 当且仅当 a +1= ,即 a =0时等号成立. a +1此时直线 l 的方程为 x +y -2=0.4.(2018·福建漳州月考)在等腰直角三角形 ABC 中,AB =AC =4,点 P 是边 AB 上异于 A ,B 的一点.光线从点 P 出发,经 BC ,CA 反射后又回到点 P (如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,求 AP 的长?解 以 AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系,由题意可知 B (4,0),C (0,4),A (0,0),则直线 BC 的方程为 x +y -4=0,设 P (t,0)(0<t <4),由对称知识可得点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P 1的坐标为(4,4- t ),点 P 关于 y 轴的对称点 P 2的坐标为(-t,0),根据反射定律可知 P 1P 2所在直线就是光线 RQ 所在直线.4-t由 P 1,P 2两点坐标可得 P 1P 2所在直线的方程为 y = ·(x +t ),设△ABC 的重心为 G , 4+t4 4易知 G ( 3 )., 34 4因为重心 G Error! , Error!在光线 RQ 上, 3 34 4-t 4所以有 = · ,即 3t 2-4t =0,4+t(+t) 334所以t=0或t=,因为0<t<4,3Earlybird4 4所以t=,即AP=.3 3。

2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试53双曲线理(含解析)

2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试53双曲线理(含解析)

考点测试53 双曲线一、基础小题1.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±12x ,则双曲线C 的离心率为( )A .52 B . 5 C .62D . 6 答案 B解析 由题意可得a b =12,则离心率e =c a=1+b a2=5,故选B .2.已知双曲线x 2m 2+16-y 24m -3=1的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A .±54B .±45C .±53D .±35答案 D解析 由m 2+16=52,解得m =3(m =-3舍去).所以a =5,b =3,从而±b a =±35,故选D .3.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA |-|MB |=6,则点M 的轨迹方程是( )A .x 216-y 29=1B .x 216-y 29=1(x ≥4) C .x 29-y 216=1 D .x 29-y 216=1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知,点M 的轨迹是双曲线的右支,故排除A ,C ;又c =5,a =3,∴b 2=c 2-a 2=16.∵焦点在x 轴上,∴轨迹方程为x 29-y 216=1(x ≥3).故选D .4.双曲线x 2m-y 2=1的焦点到渐近线的距离为( )A . 2B . 3C .1D .12答案 C解析 焦点F (m +1,0)到渐近线x ±my =0的距离d =|m +1±0|1+(m )2=1,故选C . 5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为( )A .x 220-y 25=1B .x 25-y 220=1 C .x 280-y 220=1 D .x 220-y 280=1 答案 A解析 ∵x 2a 2-y 2b2=1的焦距为10,∴c =5=a 2+b 2.①又双曲线渐近线方程为y =±b ax ,且P (2,1)在渐近线上, ∴2ba=1,即a =2b .②由①②解得a =25,b =5, 则C 的方程为x 220-y 25=1.故选A .6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M 与双曲线C的焦点不重合,点M 关于F 1,F 2的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在双曲线的右支上,若|AN |-|BN |=12,则a =( )A .3B .4C .5D .6 答案 A解析 如图,设MN 的中点为C ,则由对称性知F 1,F 2分别为线段AM ,BM 的中点,所以|CF 1|=12|AN |,|CF 2|=12|BN |.由双曲线的定义,知|CF 1|-|CF 2|=2a =12(|AN |-|BN |)=6,所以a =3,故选A .7.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率e =2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为________.答案 x 2-y 23=1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c -a =1,ca=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,c =2,则b =3,故所求方程为x 2-y 23=1.8.设F 1,F 2分别为双曲线x 216-y 220=1的左、右焦点,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离等于9,则点P 到焦点F 2的距离为________.答案 17解析 解法一:∵实轴长2a =8,半焦距c =6, ∴||PF 1|-|PF 2||=8.∵|PF 1|=9,∴|PF 2|=1或|PF 2|=17. 又∵|PF 2|的最小值为c -a =6-4=2, ∴|PF 2|=17.解法二:由题知,若P 在右支上, 则|PF 1|≥2+8=10>9,∴P 在左支上. ∴|PF 2|-|PF 1|=2a =8,∴|PF 2|=9+8=17. 二、高考小题9.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±3xC .y =±22xD .y =±32x 答案 A解析 ∵e =c a =3,∴b 2a 2=c 2-a 2a 2=e 2-1=3-1=2,∴ba=2.因为该双曲线的渐近线方程为y =±b ax ,所以该双曲线的渐近线方程为y =±2x ,故选A .10.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |=( )A .32 B .3 C .2 3 D .4 答案 B解析 由题意分析知,∠FON =30°.所以∠MON =60°,又因为△OMN 是直角三角形,不妨取∠NMO =90°,则∠ONF =30°,于是FN =OF =2,FM =12OF =1,所以|MN |=3.故选B .11.(2018·全国卷Ⅲ)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=6|OP |,则C 的离心率为( )A . 5B .2C . 3D . 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO |=a . 在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc,∴b 2+4c 2-(6a )22b ·2c =b c⇒c 2=3a 2,∴e =3.故选C .12.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( )A .x 24-y 212=1B .x 212-y 24=1C .x 23-y 29=1D .x 29-y 23=1 答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴e 2=1+b 2a 2=4,∴b 2a 2=3,即b 2=3a 2,∴c 2=a 2+b 2=4a 2,由题意可设A (2a ,3a ),B (2a ,-3a ),∵b 2a2=3,∴渐近线方程为y =±3x ,则点A 与点B 到直线3x -y =0的距离分别为d 1=|23a -3a |2=23-32a ,d 2=|23a +3a |2=23+32a ,又∵d 1+d 2=6,∴23-32a +23+32a =6,解得a =3,∴b 2=9.∴双曲线的方程为x 23-y 29=1,故选C .13.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值是________. 答案 2解析 双曲线的一条渐近线方程为bx -ay =0,则F (c ,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2+(-a )2=32c ,∴b =32c ,∴b 2=34c 2,又b 2=c 2-a 2,∴c 2=4a 2, ∴e =c a=2.14.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为________.答案 233解析 如图,由题意知点A (a ,0),双曲线的一条渐近线l 的方程为y =b ax ,即bx -ay =0,∴点A 到l 的距离d =aba 2+b2. 又∠MAN =60°,|MA |=|NA |=b ,∴△MAN 为等边三角形,∴d =32|MA |=32b ,即ab a 2+b2=32b , ∴a 2=3b 2,∴e =ca=a 2+b 2a 2=233. 三、模拟小题15.(2018·河北黄冈质检)过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为( )A . 2B . 3C .2D . 5 答案 A解析 连接OM .由题意知OM ⊥PF ,且|FM |=|PM |,∴|OP |=|OF |,∴∠OFP =45°,∴|OM |=|OF |·sin45°,即a =c ·22,∴e =ca=2.故选A . 16.(2018·河南洛阳尖子生联考)设F 1,F 2分别为双曲线x 29-y 216=1的左、右焦点,过F 1引圆x 2+y 2=9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ,T 为切点,M 为线段F 1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO |-|MT |等于( )A .4B .3C .2D .1 答案 D解析 连接PF 2,OT ,则有|MO |=12|PF 2|=12(|PF 1|-2a )=12(|PF 1|-6)=12|PF 1|-3,|MT |=12|PF 1|-|F 1T |=12|PF 1|-c 2-32=12|PF 1|-4,于是有|MO |-|MT |=12|PF 1|-3-12|PF 1|-4=1,故选D .17.(2018·哈尔滨调研)已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点相同,若以点F 为圆心,2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切,则双曲线C 的方程为( )A .y 23-x 2=1 B .x 23-y 2=1C .y 22-x 22=1D .x 22-y 22=1 答案 D解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),而抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),即F (2,0),∴4=a 2+b 2.又圆F :(x -2)2+y 2=2与双曲线C 的渐近线y =±bax 相切,由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2+a2=2,∴a 2=b 2=2,故双曲线C 的方程为x 22-y 22=1.故选D .18.(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24-y 22=1右焦点为F ,P 为双曲线左支上一点,点A (0,2),则△APF 周长的最小值为( )A .4+ 2B .4(1+2)C .2(2+6)D .6+3 2 答案 B解析 由题意知F (6,0),设左焦点为F 0,则F 0(-6,0),由题意可知△APF 的周长l 为|PA |+|PF |+|AF |,而|PF |=2a +|PF 0|,∴l =|PA |+|PF 0|+2a +|AF |≥|AF 0|+|AF |+2a =(0+6)2+(2-0)2+(6-0)2+(0-2)2+2×2=42+4=4(2+1),当且仅当A ,F 0,P 三点共线时取得“=”,故选B .19.(2018·河南适应性测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2的最小内角为π6,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±12xC .y =±22x D .y =±2x 答案 D解析 不妨设P 为双曲线右支上一点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=6a ,所以|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ,4a >2a ,所以∠PF 1F 2为最小内角,故∠PF 1F 2=π6.由余弦定理,可得(4a )2+(2c )2-(2a )22·4a ·2c =32,c 2=3a 2,b 2=c 2-a2=2a 2⇒ba=2,所以双曲线的渐近线方程为y =±2x ,故选D .20.(2018·山西太原五中月考)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ,与右支交于点B ,若|AF 1|=2a ,∠F 1AF 2=2π3,则S △AF 1F 2S △ABF 2=( )A .1B .12C .13D .23答案 B解析 如图所示,由双曲线定义可知|AF 2|-|AF 1|=2a .又|AF 1|=2a ,所以|AF 2|=4a ,因为∠F 1AF 2=2π3,所以S △AF 1F 2=12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2=12×2a ×4a ×32=23a 2.设|BF 2|=m ,由双曲线定义可知|BF 1|-|BF 2|=2a ,所以|BF 1|=2a +|BF 2|,又知|BF 1|=2a +|BA |,所以|BA |=|BF 2|.又知∠BAF 2=π3,所以△BAF 2为等边三角形,边长为4a ,所以S △ABF 2=34|AB |2=34×(4a )2=43a 2,所以S △AF 1F 2S △ABF 2=23a 243a 2=12,故选B .21.(2018·广东六校联考)已知点F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,直线y =kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ,N 两点,若MF ⊥NF ,设∠MNF =β,且β∈π12,π6,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A .[2,2+6]B .[2,3+1]C .[2,2+6]D .[2,3+1] 答案 D解析 如图,设左焦点为F ′,连接MF ′,NF ′,令|MF |=r 1,|MF ′|=r 2,则|NF |=|MF ′|=r 2,由双曲线定义可知r 2-r 1=2a ①,∵点M 与点N 关于原点对称,且MF ⊥NF ,∴|OM |=|ON |=|OF |=c ,∴r 21+r 22=4c 2②,由①②得r 1r 2=2(c 2-a 2),又知S △MNF =2S △MOF .∴12r 1r 2=2·12c 2·sin2β,∴c 2-a 2=c 2·sin2β,∴e 2=11-sin2β,又∵β∈π12,π6, ∴sin2β∈12,32,∴e 2=11-sin2β∈[2,(3+1)2].又e >1,∴e ∈[2,3+1],故选D .22.(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的点,若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°,延长AF 2交双曲线的右支于点B ,则△F 1AB 的面积等于________.答案 4解析 由题意知a =1,由双曲线定义知|AF 1|-|AF 2|=2a =2,|BF 1|-|BF 2|=2a =2, ∴|AF 1|=2+|AF 2|=4,|BF 1|=2+|BF 2|.由题意知|AB |=|AF 2|+|BF 2|=2+|BF 2|, ∴|BA |=|BF 1|,∴△BAF 1为等腰三角形,∵∠F 1AF 2=45°,∴∠ABF 1=90°,∴△BAF 1为等腰直角三角形.∴|BA |=|BF 1|=22|AF 1|=22×4=22.∴S △F 1AB =12|BA |·|BF 1|=12×22×22=4.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.(2019·河北武邑中学月考)已知∀m ∈R ,直线l :y =x +m 与双曲线C :x 22-y 2b2=1(b >0)恒有公共点.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ,与双曲线交于P ,Q 两点,并且满足FP →=15FQ →,求双曲线C 的方程.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,x 22-y2b2=1,消去y ,整理得(b 2-2)x 2-4mx -2(m 2+b 2)=0.当b 2=2,m =0时,易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线,不满足题意,故b 2≠2,易得e ≠2.当b 2≠2时,由题意知Δ=16m 2+8(b 2-2)(m 2+b 2)≥0,即b 2≥2-m 2,故b 2>2,则e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=2+b 22>2,e >2.综上可知,e 的取值范围为(2,+∞).(2)由题意知F (c ,0),直线l :y =x -c ,与双曲线C 的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x -c ,x 22-y2b2=1,消去x ,化简得(b 2-2)y 2+2cb 2y +b 2c 2-2b 2=0,当b 2=2时,易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线,与双曲线C 只有一个交点,不满足题意,故b 2≠2.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),即⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-2cb 2b 2-2, ①y 1y 2=b 2c 2-2b2b 2-2, ②因为FP →=15FQ →,所以y 1=15y 2, ③由①③可得y 1=-cb 23(b 2-2),y 2=-5cb 23(b 2-2),代入②整理得5c 2b 2=9(b 2-2)(c 2-2),又c 2=b 2+2,所以b 2=7. 所以双曲线C 的方程为x 22-y 27=1.2.(2018·惠州月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的方程为y =3x ,右焦点F 到直线x =a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程;(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ,D 两点,已知A (1,0),若DF →·BF →=1,证明:过A ,B ,D 三点的圆与x 轴相切.解 (1)依题意有b a =3,c -a 2c =32,∵a 2+b 2=c 2,∴c =2a ,∴a =1,c =2,∴b 2=3, ∴双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)证明:设直线l 的方程为y =x +m (m >0),B (x 1,x 1+m ),D (x 2,x 2+m ),BD 的中点为M ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,x 2-y 23=1,得2x 2-2mx -m 2-3=0,∴x 1+x 2=m ,x 1x 2=-m 2+32,又∵DF →·BF →=1,即(2-x 1)(2-x 2)+(x 1+m )(x 2+m )=1, ∴m =0(舍)或m =2,∴x 1+x 2=2,x 1x 2=-72,M 点的横坐标为x 1+x 22=1,∵DA →·BA →=(1-x 1)(1-x 2)+(x 1+2)(x 2+2)=5+2x 1x 2+x 1+x 2=5-7+2=0, ∴AD ⊥AB ,∴过A ,B ,D 三点的圆以点M 为圆心,BD 为直径, ∵点M 的横坐标为1,∴MA ⊥x 轴, ∵|MA |=12|BD |,∴过A ,B ,D 三点的圆与x 轴相切.3.(2019·山西太原一中月考)已知直线l :y =x +2与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)相交于B ,D 两点,且BD 的中点为M (1,3).(1)求双曲线C 的离心率;(2)设双曲线C 的右顶点为A ,右焦点为F ,|BF |·|DF |=17,试判断△ABD 是否为直角三角形,并说明理由.解 (1)设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2).把y =x +2代入x 2a 2-y 2b2=1,并整理得(b 2-a 2)x 2-4a 2x -4a 2-a 2b 2=0, 则x 1+x 2=4a 2b 2-a 2,x 1x 2=-4a 2+a 2b2b 2-a 2. 由M (1,3)为BD 的中点,得x 1+x 22=2a2b 2-a2=1, 即b 2=3a 2,故c =a 2+b 2=2a , 所以双曲线C 的离心率e =c a=2.(2)由(1)得C 的方程为x 2a 2-y 23a2=1,A (a ,0),F (2a ,0),x 1+x 2=2,x 1x 2=-4+3a22<0,不妨设x 1≤-a ,x 2≥a ,则|BF |=(x 1-2a )2+y 21=(x 1-2a )2+3x 21-3a 2 =a -2x 1,|DF |=(x 2-2a )2+y 22=(x 2-2a )2+3x 22-3a 2=2x 2-a ,所以|BF |·|DF |=(a -2x 1)(2x 2-a )=2a (x 1+x 2)-4x 1x 2-a 2=5a 2+4a +8, 又|BF |·|DF |=17,所以5a 2+4a +8=17,解得a =1或a =-95(舍去).所以A (1,0),x 1+x 2=2,x 1x 2=-72.所以AB →=(x 1-1,y 1)=(x 1-1,x 1+2), AD →=(x 2-1,x 2+2),AB →·AD →=(x 1-1)(x 2-1)+(x 1+2)(x 2+2)=2x 1x 2+(x 1+x 2)+5=0,所以AB →⊥AD →,即△ABD 为直角三角形.4.(2018·山东临沂月考)P (x 0,y 0)(x 0≠±a )是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点,M ,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC →=λOA →+OB →,求λ的值.解 (1)由点P (x 0,y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上,有x 20a 2-y 20b2=1.由题意有y 0x 0-a ·y 0x 0+a =15,可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2,e =ca =305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2-5y 2=5b 2,y =x -c ,得4x 2-10cx +35b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=5c2,x 1x 2=35b24.①设OC →=(x 3,y 3),OC →=λOA →+OB →,即⎩⎪⎨⎪⎧x 3=λx 1+x 2,y 3=λy 1+y 2.又C 为双曲线上一点,即x 23-5y 23=5b 2,有 (λx 1+x 2)2-5(λy 1+y 2)2=5b 2. 化简得λ2(x 21-5y 21)+(x 22-5y 22)+2λ(x 1x 2-5y 1y 2)=5b 2.② 又A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在双曲线上,所以x21-5y21=5b2,x22-5y22=5b2.由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.。

高考数学《平面解析几何》练习题及答案

高考数学《平面解析几何》练习题及答案

平面解析几何1.[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学(理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54,则双曲线E 的焦距为A .4B .5C .8D .10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ,进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =,又4a =,5c ∴=,∴焦距210c =,故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算,是一道基础题.2.[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭,则椭圆的离心率e =A .2 B 1C D [来 【答案】D3.[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学(理)试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ,与抛物线交于A ,B 两点,与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点,则线段BC 的长为A .83B .3C .163D .6【答案】C4.[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2,则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5.[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ,以2F 为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P ,若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,则椭圆的离心率为A 1B .12C .2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-,利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程,得到关于e 的方程,解方程求得结果.【详解】由题意得:12PF PF ⊥,且2PF c =, 又122PF PF a +=,12PF a c ∴=-,由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=,解得1e =. 故选A.6.[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(理)试题] 如图,12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点.若11::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的渐近线方程为A .23y x =±B .22y x =±C .3y x =D .2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,利用双曲线的定义求出3x =和a 的值,再利用勾股定理求c ,由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,由双曲线的定义得:345x x +-=-,解得3x =, 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=,所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程,解题时要注意如果题干出现焦半径,一般会用到双曲线的定义,考查运算求解能力.7.[河南省新乡市高三第一次模拟考试(理科数学)]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点,N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点,若||||PN PM +的最小值为17,则=r A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B 【解析】8.[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点,它们的横坐标123,,,x x x ,F 是抛物线C 的焦点,若12201820x x x +++=,则12||||PF P F + 2018||P F ++=A .2028B .2038C .4046D .4056【答案】B9.[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学(理)试题]【答案】C 【解析】10.[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学(理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点,M ,N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM ,PN 的斜率分别为1k ,()2120k k k ≠,若12k k +的最小值为1,则实数m 的值为 A .1 B .2 C .1或16D .2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ,N ,P 的坐标,然后表示出两斜率的关系,再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值,进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --,''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=,1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点,表示出斜率,运用基本不等式求参数的值,是一道中等难度的题目.11.[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三(上)期中数学试卷(理科)]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线,交双曲线右支于点M ,若12F MF ∠45=︒,则双曲线的离心率为 A .3 B .2 C .2D .5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ,连接ON ,过2F 作2F N MN ⊥,垂足为A ,由ON a =,得到12F A b =,在2Rt MF A △中,可得222MF a =,得到122MF b a =+,再由双曲线的定义,解得2b a =,利用双曲线的离心率的定义,即可求解. 【详解】设切点为N ,连接ON ,过2F 作2F N MN ⊥,垂足为A ,由ON a =,且ON 为12F F A △的中位线,可得22212,F A a F N c a b ==-=, 即有12F A b =,在2Rt MF A △中,可得222MF a =,即有122MF b a =+,由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=,可得2b a =, 所以223c a b a =+=,所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,a c ,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式),即可得e (e 的取值范围).12.[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13.[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14.[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学(理)试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,则离心率等于 . 515.[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称,则ba 21+的最小值为________.【答案】2916.[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=,记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图,()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+,则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17.[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ,,,A B 是其左、右顶点,点P 是椭圆C 上任一点,且12PF F △的周长为6,若12PF F △面积的最大值为3(1)求椭圆C 的方程;(2)若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点,证明:直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】(1)由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=; (2)由(1)得()2,0A -,()2,0B ,()21,0F ,设直线MN 的方程为1x my =+,()11,M x y ,()22,N x y ,由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()2243690m y my ++-=,122643m y y m ∴+=-+,122943y y m =-+,()121232my y y y ∴=+, 直线AM 的方程为()1122y y x x =++,直线BN 的方程为()2222y y x x =--, ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-, ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---, 4x ∴=,∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18.[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点,()0,1A -,且点P 为线段AB 的中点. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若F 为点A 关于原点O 的对称点,过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点,直线OM 交直线1y =-于点H ,求证:NF NH =. 【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,()00,B x y ,根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩,代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程;(2)设:1MN y kx =+,()11,M x y ,()22,N x y ,将直线MN 与曲线C 联立,可得124x x =-;由抛物线定义可知,若要证得NF NH =,只需证明HN 垂直准线1y =-,即HN y ∥轴;由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,可将H 点横坐标化简为121x x y -=,从而证得HN y ∥轴,则可得结论.【详解】(1)设(),P x y ,()00,B x y ,P 为AB 中点,00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩, B 为曲线2118y x =+上任意一点,200118y x ∴=+,代入得24x y =,∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)依题意得()0,1F ,直线MN 的斜率存在,其方程可设为:1y kx =+, 设()11,M x y ,()22,N x y ,联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得:2440x kx --=,则216160k ∆=+>,124x x ∴=-,直线OM 的方程为11y y x x =,H 是直线与直线1y =-的交点, 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭,根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离,H 在准线1y =-上,∴要证明NF NH =,只需证明HN 垂直准线1y =-, 即证HN y ∥轴,H 的横坐标:111222111144x x x x x x y x x --=-===, ∴HN y ∥轴成立,NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题;证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴,通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19.[河南省新乡市高三第一次模拟考试(理科数学)]在直角坐标系xOy 中,点)0,2(-M ,N 是曲线2412+=y x 上的任意一点,动点C 满足MC NC +=0. (1)求点C 的轨迹方程;(2)经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点,在x 轴上是否存在定点D (异于点P ),使得BDP ADP ∠=∠?若存在,求出D 的坐标;若不存在,请说明理由.20.[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三(上)期中数学试卷(理科)]已知椭圆22212x y C a :+=过点P (2,1). (1)求椭圆C 的方程,并求其离心率;(2)过点P 作x 轴的垂线l ,设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上),点A 关于l 的对称点为A ',直线A 'P 与C 交于另一点B .设O 为原点,判断直线AB 与直线OP 的位置关系,并说明理由. 【解析】 【分析】(1)将点P 代入椭圆方程,求出a ,结合离心率公式即可求得椭圆的离心率;(2)设直线():12PA y k x -=-,():12PB y k x -=--,设点A 的坐标为()11x y ,,()22B x y ,,分别求出12x x -,12y y -,根据斜率公式,以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】(1)由椭圆22212x y C a +=: 过点P (2,1),可得28a =.所以222826c a =-=-=,所以椭圆C 的方程为28x +22y =1,则离心率e 622=3(2)直线AB 与直线OP 平行.证明如下: 设直线():12PA y k x -=-,():12PB y k x -=--,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=, ∴21216164241k k x k -+=+,∴21288214k k x k --=+, 同理22288241k k x k +-=+,所以1221641kx x k -=-+, 由1121y kx k =-+,2121y kx k =-++, 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+, ∵A 在第四象限,∴0k ≠,且A 不在直线OP 上, ∴121212AB y y k x x -==-, 又12OP k =,故AB OP k k =, 所以直线AB 与直线OP 平行.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,训练了斜率和直线平行的关系,是中档题.21.[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆C 的方程;(2)设动点N M ,在椭圆C上,且3MN =,记直线MN 在y 轴上的截距为m ,求m 的最大值.【解析】(1)双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.(2)因为23MN =>,所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=,得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->,所以2216m k <+. 设()11,M x y ,()22,N x y ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥,则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =, 此时223k =,253m =,满足2216m k <+,符合题意.故m. 22.[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学(理)试题] )已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -,长轴长为 (1)求椭圆C 的标准方程及离心率;(2)过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,若点M 满足MA MB MO ++=0,求证:由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.【解析】(1)由已知,得1a c ==,所以3c e a ===, 又222a b c =+,所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=,离心率3e =.(2)设()11,A x y ,()22,B x y ,(),m m M x y ,①直线l 与x 轴垂直时,点,A B的坐标分别为(0,,(.因为()0,m m MA x y =-,()0m m MB x y =-,()0,0m m MO x y =--, 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0. 所以0,0m m x y ==,即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为1y kx =+,由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=, ()22236123272240k k k ∆=++=+>.所以122632kx x k -+=+,则1224032y y k +=>+, 因为()11,m m MA x x y y =--,()22,m m MB x x y y =--,(),m m MO x y =--, 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0. 所以123m x x x +=,123m y y y +=.2232m k x k -=+,243032m y k =>+,消去k ,得()2223200m m m m x y y y +-=>.综上,点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ,它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭.把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端:2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以点M '也在曲线L 上.所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。

最新版精编2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含答案)

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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________一、选择题1.圆O 1:0222=-x y x +和圆O 2: 0422=-y y x +的位置关系是BA .相离B .相交C .外切D .内切(重庆卷3) 二、填空题2.若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为-1和2,则直线l 的斜率为 2 .3.点P 在直线04=-+y x 上,O 是坐标原点,则||OP 的最小值是_________.4.已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直 线方程_______ ____.5.直线过点(1,0)P -与圆032422=+-++y x y x 相切,则直线在y 轴上的截距是 ____6.直线34100x y +-=与2250x y y k +-+=交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过坐标原点,则k=__________.7.设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在这个圆上,且直线10x y -+=截圆的弦长为8.已知直线1:310l ax y +-=与直线2:2(1)10l x a y +-+=垂直,则实数a = .9.已知两条直线y =ax -2和y =(a +2)x +1互相垂直,则a 等于________.解析:∵直线y =ax -2和y =(a +2)x +1互相垂直,∴a ·(a +2)=-1,∴a =-1.10.若直线l 的斜率小于0,则直线l 的倾斜角α的取值范围为___________11.如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若B nO A mO C O +=,则n m +的取值范围是 。

12. 过点(1)A ,作圆222120x y x ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有 条.13. 若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时,则实数k 的取值范围是___ _.14.已知方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示圆,则实数m 的取值范围为_____________.15.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+y 2-(6-2m )x -4my +5m 2-6m =0,直线l 经过点(1,0).若对任意的实数m ,定直线l 被圆C 截得的弦长为定值,则直线l 的方程为 ▲ .16. 圆22:2440C x y x y +--+=上的点到直线3440x y ++=的距离的最大值与最小值的和为 ▲ .17.设集合}16|),{(22≤+=y x y x A ,}1)2(|),{(22-≤-+=a y x y x B ,若A B B =,则实数a 的取值范围为 ▲ .18.已知直线的倾斜角的范围为[3π,32π],则直线斜率的范围为 19.经过点在M (1,-1)且与点A (-1,2)、B (3,0)距离相等的直线方程为 ▲ .20.已知直线l 的方程为3x+4y —25=0,则圆x 2+y 2=1上的点到直线l 的距离的最小值为___________.21.已知AC 、BD 为圆O :x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M (1,2),则四边形ABCD 的面积的最大值为________.解析:设圆心O 到AC 、BD 的距离为d 1、d 2,垂足分别为E 、F ,则四边形OEMF 为矩形,则有d 21+d 22=3.由平面几何知识知AC =24-d 21,BD =24-d 22,∴S 四边形ABCD =12AC ·BD =24-d 21·4-d 22≤(4-d 21)+(4-d 22)=8-(d 21+d 22)=5,即四边形ABCD 的面积的最大值为5.三、解答题22.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线43290x y +-= 相切.(1)求圆的标准方程;(2)设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点,求实数a 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,是否存在实数a ,使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -,23.在平行四边形ABCD 中,)6,4()1,7()1,1(D B A 、、,点M 是线段AB 的中点,线段CM 与BD 交于点P .(1)求直线CM 的方程;(2)求点P 的坐标.24.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线43290x y +-= 相切.(1)求圆的标准方程;(2)设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点,求实数a 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,是否存在实数a ,使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -,(本题为选做题,文科生做第1道,理科生做第2道)(2) 此时,圆心C(1, 0)与该直线的距离5d r <=,15ad a ∙==<5a ∴+<2210252525a a a ∴++<+,21250a a ∴->即:5012a a ><或;25.(本小题满分15分)过圆x 2+y 2=2外一点P(4,2)向圆引切线.(1)求过点P 的圆的切线方程;(2)若切点为P 1、P 2, ,求直线P 1P 2的方程;(3)求P 1、P 2两点间的距离.26.(本题为实验班竞赛班做) (本题满分20分)设直线l 1:y =k 1x +1,l 2:y =k 2x -1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+1=0.(Ⅰ)证明:直线l 1与l 2相交;(Ⅱ)试用解析几何的方法证明:直线l 1与l 2的交点到原点距离为定值.(Ⅲ)设原点到l 1与l 2的距离分别为d 1和d 2求d 1+d 2的最大值27.过点(5,4)A --作一直线l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,求此直线的方程。

2020高考数学刷题首秧单元测试七平面解析几何文含解析

2020高考数学刷题首秧单元测试七平面解析几何文含解析

单元质量测试(七)时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.直线3x +3y -1=0的倾斜角大小为( ) A .30° B.60° C.120° D.150° 答案 C 解析 ∵k =-33=-3,∴α=120°.故选C .2.“a =2”是“直线y =-ax +2与y =a4x -1垂直”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a =2得两直线斜率满足(-2)×24=-1,即两直线垂直;由两直线垂直得(-a )×a4=-1,解得a =±2.故选A .3.已知双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±22x B .y =±2x C .y =±2x D .y =±12x答案 A解析 由题意得,双曲线的离心率e =c a =3,故b a=2,故双曲线的渐近线方程为y =±a b x =±22x . 4.(2018·邯郸摸底)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 29-y 27=1的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且|PF 1|=8,则|F 1F 2||PF 2|=( )A .4B .3C .2 2D .2 答案 A解析 由x 29-y 27=1知c 2=a 2+b 2=16,所以|F 1F 2|=2c =8,由双曲线定义知||PF 1|-|PF 2||=2a =6,所以|PF 2|=2或|PF 2|=14(P 在右支上,舍去),所以|F 1F 2||PF 2|=4.5.(2018·福州模拟)已知双曲线C 的两个焦点F 1,F 2都在x 轴上,对称中心为原点,离心率为3.若点M 在C 上,且MF 1⊥MF 2,M 到原点的距离为3,则C 的方程为( )A .x 24-y 28=1 B .y 24-x 28=1C .x 2-y 22=1 D .y 2-x 22=1答案 C解析 显然OM 为Rt △MF 1F 2的中线,则|OM |=12|F 1F 2|=c =3.又e =c a =3a=3,得a =1.进而b 2=c 2-a 2=2.故C 的方程为x 2-y 22=1,故选C .6.设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12B .23C .34D .45 答案 C解析 令c =a 2-b 2.如图,据题意,|F 2P |=|F 1F 2|,∠F 1PF 2=30°,∴∠F 1F 2P =120°,∴∠PF 2x =60°,∴|F 2P |=2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2-c =3a -2c .∵|F 1F 2|=2c ,∴3a -2c =2c ,∴3a =4c ,∴c a =34,即椭圆的离心率为34.故选C .7.(2018·大庆质检一)已知等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=-12x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=25,则C 的实轴长为( )A . 2B .2C .2 2D .4 答案 D解析 因为抛物线y 2=-12x 的准线为x =3,而等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,所以A ,B 两点关于x 轴对称,且|AB |=25,所以点(3,±5)在双曲线上,代入双曲线的方程x 2-y 2=a 2中得9-5=a 2=4,所以a =2,即2a =4,故双曲线C 的实轴长为4.故选D .8.(2018·乌鲁木齐一诊)已知抛物线y 2=4x 与圆F :x 2+y 2-2x =0,过点F 作直线l ,自上而下顺次与上述两曲线交于点A ,B ,C ,D ,则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中,正确的是( )A .等于1B .等于16C .最小值为4D .最大值为4 答案 A解析 圆F 的方程为(x -1)2+y 2=1.设直线l 的方程为x =my +1.代入y 2=4x 得y2-4my -4=0,y 1y 2=-4.设点A (x 1,y 1),D (x 2,y 2).则|AF |=x 1+1,|DF |=x 2+1,所以|AB |=|AF |-|BF |=x 1,|CD |=|DF |-|CF |=x 2,所以|AB |·|CD |=x 1x 2=116(y 1y 2)2=1.故选A .9.(2018·沈阳质检一)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),O 为坐标原点,F 为双曲线的右焦点,以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A ,若∠AFO =π6,则双曲线C的离心率为( )A .2B . 3C . 2D .233答案 A解析 如图所示,在△AOF 中,∠OAF =90°,又∠AFO =30°,所以∠AOF =60°,故b a=tan60°=3,所以e =1+b 2a2=2,故选A .10.(2019·唐山模拟)已知F 1,F 2为双曲线Γ:x 2a 2-y 220=1(a >0)的左、右焦点,P 为双曲线Γ左支上一点,直线PF 1与双曲线Γ的一条渐近线平行,PF 1⊥PF 2,则a =( )A . 5B . 2C .4 5D .5 答案 A解析 如图,记PF 2与双曲线的渐近线l 的交点为M .与PF 1平行的双曲线的渐近线为y=25a x ,由PF 1⊥PF 2,得PF 2⊥l ,则F 2(c ,0)到直线l :25ax -y =0的距离为d =25a c25a2+12=25ca 2+20=25.而△OMF 2为直角三角形,所以|OM |=|OF 2|2-|MF 2|2=c 2-20=a .又OM ∥F 1P ,O 是F 1F 2的中点,所以|F 1P |=2|OM |=2a ,|PF 2|=2|MF 2|=45.而由双曲线的定义,有|PF 2|-|PF 1|=2a ,即45-2a =2a ,所以a =5.故选A .11.(2019·衡阳模拟)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1,y 轴上的点P在椭圆以外,且线段PF 1与椭圆E 交于点M .若|OM |=|MF 1|=33|OP |,则椭圆E 的离心率为( )A .12B .32C .3-1D .3+12 答案 C解析 过M 作MH ⊥x 轴于点H ,由|OM |=|MF 1|,知H 为OF 1的中点,进而MH 为△PF 1O 的中位线,则M 为F 1P 的中点.从而依题意,有12|F 1P |=33|OP |,即32=|OP ||F 1P |=sin ∠OF 1P ,则∠OF 1P =π3.则△MF 1O 是边长为c 的等边三角形.连接MF 2(F 2为椭圆E 的右焦点),则由OM =OF 1=OF 2可知∠F 1MF 2=π2.故e =2c 2a =|F 1F 2||MF 1|+|MF 2|=2c (1+3)c =21+3=3-1.故选C .12.(2018·合肥质检一)如图,已知椭圆x 2a 2+y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线交椭圆于M ,N 两点,交y 轴于点H .若F 1,H 是线段MN 的三等分点,则△F 2MN 的周长为( )A .20B .10C .2 5D .4 5 答案 D解析 解法一:设点H (0,t ),0<t <2,则由F 1,H 是线段MN 的三等分点,可知点N (c ,2t ),M (-2c ,-t ).则有⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2+4t 24=1,4c 2a 2+t24=1,消去t 2得15e 2=3,则e 2=15.又b =2,则1-e 2=b 2a 2,即1-15=4a2,解得a 2=5,从而由椭圆的定义可知△F 2MN 的周长为4a =45,故选D .解法二:由F 1,H 是线段MN 的三等分点,知H 是线段F 1N 的中点,又O 是F 1F 2的中点,则OH ∥F 2N ,从而F 2N ⊥F 1F 2,故Nc ,b 2a ,H 0,b 22a .又F 1是线段MH 的中点,则M -2c ,-b 22a.由点M 在椭圆上,可得4c 2a 2+b 44a 2×4=1.又b 2=4=a 2-c 2,从而有4(a 2-4)a 2+1a 2=1,解得a 2=5,从而由椭圆的定义可知△F 2MN 的周长为4a =45,故选D .第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若k ∈R ,直线y =kx +1与圆x 2+y 2-2ax +a 2-2a -4=0恒有交点,则实数a 的取值范围是________.答案 [-1,3]解析 因为直线y =kx +1恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则02+12-2a ·0+a 2-2a -4≤0且2a +4>0,解得-1≤a ≤3.14.(2018·浙江宁波质检)与圆(x -2)2+y 2=1外切,且与直线x +1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是________.答案 y 2=8x解析 设动圆圆心为P (x ,y ),则(x -2)2+y 2=|x +1|+1,依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P (x ,y )的轨迹是以(2,0)为焦点,x =-2为准线的抛物线,故方程为y 2=8x .15.(2018·贵阳模拟)已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A ,B 两点,若|AF |>|BF |,且|AF |=2,则p =________.答案 1解析 过点A 作AM ⊥x 轴交x 轴于点M ,由∠AFM =60°,|AF |=2得|FM |=1,且点A 到抛物线的准线l :x =-p2的距离为2,而|FM |=1,所以抛物线的焦点F 到准线的距离为1,即p =1.16.已知椭圆C :x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.答案 12解析 解法一:由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F 1(-5,0),右焦点为F 2(5,0).则M (m ,n )关于F 1的对称点为A (-25-m ,-n ),关于F 2的对称点为B (25-m ,-n ),设MN 中点为(x ,y ),所以N (2x -m ,2y -n ).所以|AN |+|BN |=(2x +25)2+(2y )2+ (2x -25)2+(2y )2=2[](x +5)2+y 2+(x -5)2+y2,故由椭圆定义可知|AN |+|BN |=2×6=12.解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN 的中点为P ,F 1,F 2为椭圆C 的焦点,连接PF 1,PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线,PF 2是△MBN 的中位线,∴|AN |+|BN |=2|PF 1|+2|PF 2|=2(|PF 1|+|PF 2|)=2×6=12.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(2018·河南郑州检测)(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M (x ,y )与两个定点P (26,1),Q (2,1),且|MP |=5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C ,过点N (-2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8,求直线l 的方程.解 (1)由题意,得|MP ||MQ |=5,即(x -26)2+(y -1)2(x -2)2+(y -1)2=5,化简,得x 2+y 2-2x -2y -23=0,所以点M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -1)2=25. 轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆. (2)当直线l 的斜率不存在时,l :x =-2, 此时所截得的线段长度为252-32=8, 所以l :x =-2符合题意.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y -3=k (x +2), 即kx -y +2k +3=0,圆心(1,1)到直线l 的距离d =|3k +2|k 2+1.由题意,得|3k +2|k 2+12+42=52,解得k =512.所以直线l 的方程为512x -y +236=0,即5x -12y +46=0.综上,直线l 的方程为x =-2或5x -12y +46=0.18.(2018·佛山质检一)(本小题满分12分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合,椭圆C 1的离心率为12,过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线C 2截得的弦长为42.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)过点A (-2,0)的直线l 与C 2交于M ,N 两点,点M 关于x 轴的对称点为M ′,证明:直线M ′N 恒过一定点.解 (1)设椭圆C 1的半焦距为c ,依题意,可得a =p2,则C 2:y 2=4ax .代入x =c ,得y 2=4ac ,即y =±2ac ,则有⎩⎪⎨⎪⎧4ac =42,c a =12,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =3,c =1.所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1,抛物线C 2的方程为y 2=8x .(2)证明:依题意,可知直线l 的斜率不为0, 可设l :x =my -2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my -2,y 2=8x ,消去x ,整理得y 2-8my +16=0.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则点M ′(x 1,-y 1), 由Δ=(-8m )2-4×16>0,解得m <-1或m >1. 且有y 1+y 2=8m ,y 1y 2=16,m =y 1+y 28,所以直线M ′N 的斜率k M ′N =y 2+y 1x 2-x 1=8mm (y 2-y 1)=8y 2-y 1. 可得直线M ′N 的方程为y -y 2=8y 2-y 1(x -x 2), 即y =8y 2-y 1x +y 2-8(my 2-2)y 2-y 1=8y 2-y 1x +y 2(y 2-y 1)-y 2(y 1+y 2)+16y 2-y 1 =8y 2-y 1x -16y 2-y 1 =8y 2-y 1(x -2). 所以当m <-1或m >1时,直线M ′N 恒过定点(2,0).19.(2019·深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l 经过抛物线C :x 2=4y 的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 两点处的切线分别与x 轴交于点M ,N .(1)求证:AM ⊥MF ;(2)记△AFM 和△BFN 的面积分别为S 1和S 2,求S 1·S 2的最小值. 解 (1)证明:不妨设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 其中y 1=x 214,y 2=x 224.由导数知识可知,抛物线C 在点A 处的切线l 1的斜率k 1=x 12,则切线l 1的方程y -y 1=x 12(x -x 1),令y =0,可得M x 12,0.因为F (0,1),所以直线MF 的斜率k MF =1-00-x 12=-2x 1.所以k 1·k MF =-1,所以AM ⊥MF . (2)由(1)可知S 1=12|AM |·|MF |,其中|AM |=x 1-x 122+y 21=x 214+y 21=y 1+y 21=y 1·1+y 1,|MF |=x 122+1=y 1+1,所以S 1=12|AM |·|MF |=12(y 1+1)·y 1.同理可得S 2=12(y 2+1)y 2.所以S 1·S 2=14(y 1+1)(y 2+1)y 1y 2=14(y 1y 2+y 1+y 2+1)y 1y 2. 设直线l 的方程为y =kx +1,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2=4y ,可得x 2-4kx -4=0,所以x 1x 2=-4,所以y 1y 2=(x 1x 2)216=1.所以S 1·S 2=14(y 1+y 2+2)≥14(2y 1y 2+2)=1,当且仅当y 1=y 2时,等号成立. 所以S 1·S 2的最小值为1.20.(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知抛物线C 1:y 2=8x 的焦点F 也是椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,点P (0,2)在椭圆短轴CD 上,且P C →·P D →=-1. (1)求椭圆C 2的方程;(2)设Q 为椭圆C 2上的一个不在x 轴上的动点,O 为坐标原点,过椭圆C 2的右焦点F 作OQ 的平行线,交椭圆C 2于M ,N 两点,求△QMN 面积的最大值.解 (1)由C 1:y 2=8x ,知焦点F 坐标为(2,0), 所以a 2-b 2=4.由已知得点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ), 又P C →·P D →=-1,于是4-b 2=-1,解得b 2=5,a 2=9, 所以椭圆C 2的方程为x 29+y 25=1.(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),Q (x 3,y 3), 直线MN 的方程为x =my +2.由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +2,x 29+y25=1,可得(5m 2+9)y 2+20my -25=0.则y 1+y 2=-20m 5m 2+9,y 1y 2=-255m 2+9, 所以|MN |=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2] =(1+m 2)-20m 5m 2+92+1005m 2+9=30(1+m 2)5m 2+9. 因为MN ∥OQ ,所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积. 又点O 到直线x =my +2的距离d =21+m2,所以△QMN 的面积S =12|MN |·d=12×30(m 2+1)5m 2+9×2m 2+1=30m 2+15m 2+9. 令 m 2+1=t ,则m 2=t 2-1(t ≥1),S =30t 5(t 2-1)+9=30t 5t 2+4=305t +4t.因为f (t )=5t +4t在[1,+∞)上单调递增,所以当t =1时,f (t )取得最小值9. 所以△QMN 的面积的最大值为103.21.(2018·重庆一模)(本小题满分12分)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 23+y 22=1的左、右焦点,点P (x 0,y 0)在椭圆C 上.(1)求PF 1→·PF 2→的最小值;(2)若y 0>0且PF 1→·F 1F 2→=0,已知直线l :y =k (x +1)与椭圆C 交于两点A ,B ,过点P且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ,问:四边形PABQ 能否成为平行四边形?若能,请求出直线l 的方程;若不能,请说明理由.解 (1)由题意可知,F 1(-1,0),F 2(1,0),∴PF 1→=(-1-x 0,-y 0),PF 2→=(1-x 0,-y 0),∴PF 1→·PF 2→=x 20+y 20-1=13x 20+1. ∵-3≤x 0≤3,∴PF 1→·PF 2→的最小值为1.(2)∵PF 1→·F 1F 2→=0,∴x 0=-1.∵y 0>0,∴P -1,233. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立直线与椭圆方程,得(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2-6=0,由根与系数的关系可知x 1+x 2=-6k 22+3k 2,x 1·x 2=3k 2-62+3k2. ∴由弦长公式可知|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=43(1+k 2)2+3k 2. ∵P -1,233,PQ ∥AB , ∴直线PQ 的方程为y -233=k (x +1). 设Q (x 3,y 3).将PQ 的方程代入椭圆方程可知(2+3k 2)x 2+6kk +233x +3k +2332-6=0,∵x 0=-1,∴x 3=2-3k 2-43k 2+3k2, ∴|PQ |=1+k 2·|x 0-x 3|=1+k 2·|4-43k |2+3k2. 若四边形PABQ 为平行四边形,则|AB |=|PQ |,∴43·1+k 2=|4-43k |,解得k =-33. 故符合条件的直线l 的方程为y =-33(x +1), 即x +3y +1=0. 22.(2018·衡阳三模)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a ≥3>b >0)的离心率为63,且椭圆C 上的动点P 到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上是否存在点M (m ,n ),使得直线l :mx +ny =1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A ,B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意e =c a =63, 则c 2=23a 2, 所以b 2=a 2-c 2=13a 2. 因为a ≥3,所以b ≥1. 设P (x ,y )是椭圆C 上任意一点,则x 2a 2+y 2b2=1, 所以x 2=a 21-y 2b 2=a 2-3y 2, 所以|PQ |=x 2+(y -2)2=a 2-3y 2+(y -2)2=-2(y +1)2+a 2+6(y ∈[-b ,b ]).因为b ≥1,当y =-1时,|PQ |有最大值a 2+6=3,可得a =3,所以b =1,c =2.故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. (2)假设存在点M (m ,n )在椭圆C 上,满足题意,所以m 23+n 2=1,m 2=3-3n 2, 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ mx +ny =1,x 2+y 2=1,得(m 2+n 2)x 2-2mx +1-n 2=0. 所以Δ=4m 2-4(m 2+n 2)(1-n 2)=4n 2(m 2+n 2-1)=8n 2(1-n 2)>0,可得n 2<1.由根与系数的关系得x 1+x 2=2m m 2+n 2, x 1x 2=1-n 2m 2+n 2, 所以y 1y 2=1-mx 1n ·1-mx 2n=1-m (x 1+x 2)+m 2x 1x 2n 2 =1-m 2m 2+n 2, 所以|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =x 21+y 21+x 22+y 22-2(x 1x 2+y 1y 2) =2-21-n 2m 2+n 2+1-m 2m 2+n 2 =21-1m 2+n 2. 设原点O 到直线AB 的距离为h ,则h =1m 2+n 2,所以S △OAB =12|AB |·h =1m 2+n 21-1m 2+n 2. 设t =1m 2+n 2, 由0≤n 2<1,得m 2+n 2=3-2n 2∈(1,3],所以t ∈13,1, S △OAB =t (1-t )=-t -122+14,t ∈13,1, 所以,当t =12时,S △OAB 面积最大,为12. 此时,点M 的坐标为62,22或62,-22或-62,22或-62,-22.。

高考理数真题训练07 平面解析几何(选择题、填空题)(原卷版)

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专题07 平面解析几何(选择题、填空题)1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p = A .2 B .3C .6D .92.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,P 为l 上的动点,过点P 作⊙M 的切线,PA PB ,切点为,A B ,当||||PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为 A .210x y --= B .210x y +-=C .210x y -+=D .210x y ++=3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为 A . 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B . 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C . (1,0)D . (2,0)4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a = A . 1 B . 2C . 4D . 85.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为A BC D 6.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为A .4B .8C .16D .327.【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为A .22144x y -= B .2214y x -= C .2214x y -= D .221x y -= 8.【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 A . 4 B . 5C . 6D . 79.【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线A . 经过点OB . 经过点PC . 平行于直线OPD . 垂直于直线OP10.【2020年高考浙江】已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y =图象上的点,则|OP |=A .2B .5CD 11.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A .若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B .若m =n >0,则CC .若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y =D .若m =0,n >0,则C 是两条直线12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 13.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A .2B .3C .4D .814.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为A BC .2D15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A BC .D .16.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b17.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A .① B .② C .①②D .①②③18.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为A BC .2D 19.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A .2B .1CD .220.【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 A .1 B .2 C .3D .421.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)2x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是A .[]26,B .[]48,C .D .⎡⎣22.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A .23 B .12 C .13D .1423.【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A .,0),0)B .(−2,0),(2,0)C .(0,,(0D .(0,−2),(0,2)24.【2018年高考全国Ⅰ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A .y =B .y =C .2y x =±D .y x = 25.【2018年高考全国III 理数】设1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1|||PF OP =,则C 的离心率为A B .2C D26.【2018年高考全国I 理数】设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=A .5B .6C .7D .827.【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若OMN △为直角三角形,则||MN = A .32B .3C .D .428.【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为A .221412x y -= B .221124x y -= C .22139x y -= D .22193x y -= 29.【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点,A 为C 的右顶点,B为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 .30.【2020年高考天津】已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点.若||6AB =,则r 的值为_________.31.【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=,则C 的右焦点的坐标为_________;C 的焦点到其渐近线的距离是_________.32.【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切,则k =_______,b =_______.33.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =,则该双曲线的离心率是 ▲ .34.【2020年新高考全国Ⅰ卷】C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则AB=________.35.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中,已知0)P ,A ,B 是圆C :221()362x y +-=上的两个动点,满足PA PB =,则△PAB 面积的最大值是 ▲ .36.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________.37.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.38.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.39.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.40.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .41.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .42.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为________.43.【2018年高考浙江卷】已知点P (0,1),椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP =2PB ,则当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.44.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c,则其离心率的值是________________. 45.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>,双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为________________;双曲线N 的离心率为________________.46.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知点()11M -,和抛物线24C y x =:,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=︒,则k =________.。

2020届新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第7节抛物线冲关训练

2020届新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第7节抛物线冲关训练

第7节 抛物线1.(2019·沈阳市监测)抛物线y =4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A .(0,a ) B .(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ,0解析:C [将y =4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2=14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a ,所以选C.]2.已知抛物线C 与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程是( )A .y 2=±22x B .y 2=±2x C .y 2=±4xD .y 2=±42x解析:D [因为双曲线的焦点为(-2,0),(2,0), 设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则p2=2,所以p =22,所以抛物线方程为y 2=±42x .]3.(2019·海淀区一模)若抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p 的取值范围是( )A .p <1B .p >1C .p <2D .p >2解析:D [∵设P 为抛物线的任意一点,则P 到焦点的距离等于到准线:x =-p2的距离,显然当p 为抛物线的顶点时,p 到准线的距离取得最小值p 2.∴p2>1,即p >2.故选D.]4.(2019·广州市模拟)如果P 1,P 2,…,P n 是抛物线C :y 2=4x 上的点,它们的横坐标依次为x 1,x 2,…,x n ,F 是抛物线C 的焦点,若x 1+x 2+…+x n =10,则|P 1F |+|P 2F |+…+|P n F |=( )A .n +10B .n +20C .2n +10D .2n +20解析:A [由抛物线的方程y 2=4x 可知其焦点为(1,0),准线为x =-1,由抛物线的定义可知|P 1F |=x 1+1,|P 2F |=x 2+1,…,|P n F |=x n +1,所以|P 1F |+|P 2F |+…+|P n F |=x 1+1+x 2+1+…+x n +1=(x 1+x 2+…+x n )+n =n +10.故选A.]5.(2019·上饶市一模)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,点M (-2,2),过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点,若MA →·MB →=0,则k =( )A. 2B.22 C.12D .2 解析:D [由抛物线C :y 2=8x 得焦点F (2,0). 由题意可知:斜率k 存在,设直线AB 为y =k (x -2), 代入抛物线方程,得到k 2x 2-(4k 2+8)x +4k 2=0,Δ>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=4+8k2,x 1x 2=4,∴y 1+y 2=8k,y 1y 2=-16.又MA →·MB →=0,∴MA →·MB →=(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=16k 2-16k+4=0,∴k =2.故选D.]6.(2019·邯郸市模拟)设点P 在圆C :x 2+(y -6)2=5上,点Q 在抛物线x 2=4y 上,则|PQ |的最小值为________.解析:设Q (x ,y ),其中x 2=4y .又圆心C (0,6),则|QC |=x 2+y -62=4y 2+y -62=y 2-8y +36(y ≥0).当y =4时,|QC |min =25,所以|PQ |min =|QC |min -r =25-5= 5.答案: 57.(2019·来宾市调研)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为3,则该抛物线的标准方程是________________________________________________________.解析:把x =-p 2代入y =±b a x ,解得y =±pb2a,所以|AB |=pb a .因为△AOB 的面积为3,所以12×p 2×pb a =3,由e =ca=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=2.解得b a =3,所以p 24×3=3,解得p =2,所以该抛物线的标准方程是y 2=4x .答案:y 2=4x8.(2019·重庆市模拟)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB |=2512,|AF |<|BF |,则|AF |=________. 解析:F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,设A ,B 两点的横坐标为x 1,x 2.因|AF |<|BF |,故直线AB 不垂直于x 轴.设直线AB 为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,联立直线与抛物线的方程,得k 2x 2-(k 2+2)x +k 24=0,①则x 1+x 2=k 2+2k 2.又|AB |=x 1+x 2+1=2512,可解得k 2=24,代入①式得12x 2-13x +3=0,即(3x -1)(4x -3)=0.而|AF |<|BF |,所以x 1=13.由抛物线的定义,得|AF |=x 1+12=56.答案:569.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解:(1)设直线l 的方程为y =k (x -1),代入抛物线y 2=4x 中得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,而Δ=(2k 2+4)2-4k 4=16k 2+16>0恒成立. 设A (x ,y ),B (x 2,y 2),则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2+4k 2x 1x 2=1∴|AB |=1+k 2x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+4k 22-4.∴1+k2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+4k 22-4=8,解得k 2=1, 即k =±1,又∵k >0,∴k =1.∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x +5,设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),由勾股弦可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5x 0+12=x 0-y 0-122+16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3y 0=2,或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11y 0=-6,故所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y +6)2=144.10.(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解:(1)设直线l 的方程为y =k (x -1),代入抛物线y 2=4x 中得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,而Δ=(2k 2+4)2-4k 4=16k 2+16>0恒成立. ⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2+4k 2x 1x 2=1∴|AB |=1+k 2x 1+x 22-4x 1x 2=1+k2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+4k 22-4.∴1+k2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+4k 22-4=8,解得k 2=1,即k =±1. ∵k >0,∴k =1.∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x +5,设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),由勾股弦可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5x 0+12=x 0-y 0-122+16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11y 0=-6,故所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y+6)2=144.。

2020版高考数学 抛物线文含解析北师大版

2020版高考数学  抛物线文含解析北师大版

抛物线文(建议用时:60分钟) A 组 基础达标一、选择题1.抛物线y =ax 2的准线方程是y =1,则a 的值为( ) A .14 B .-14C .4D .-4 B [由y =ax 2,变形得x 2=1a y =2×12a y ,∴p =12a .又抛物线的准线方程是y =1,∴-14a =1,解得a =-14.]2.若动点M (x ,y )到点F (4,0)的距离比它到直线x =-5的距离小1,则点M 的轨迹方程是( )A .x =-4B .x =4C .y 2=8xD .y 2=16xD [依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =-4的距离,因此点M 的轨迹是抛物线,且顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,p =8,∴点M 的轨迹的方程为y 2=16x ,故选D.]3.已知AB 是抛物线y 2=8x 的一条焦点弦,|AB |=16,则AB 中点C 的横坐标是( ) A .3 B .4 C .6D .8C [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 1+x 2+p =16,又p =4,所以x 1+x 2=12,所以点C 的横坐标是x 1+x 22=6.]4.以x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P (1,m )到焦点的距离为4,则抛物线的方程是( )A .y =4x 2B .y =12x 2C .y 2=6xD .y 2=12xD [设抛物线方程为y 2=2px (p >0),则准线方程为x =-p 2,由题知1+p2=4,∴p =6,∴抛物线方程为y 2=12x ,故选D.]5.(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2=4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( )A .627B .1827C .427D .227C [设P (x 0,y 0),由抛物线y 2=4x ,可知其焦点F 的坐标为(1,0),故|PM |=x 0+1=9,解得x 0=8,故P 点坐标为(8,42),所以k PF =0-421-8=427.]二、填空题6.(2019·泰安期末)若抛物线x 2=4y 上的点A 到焦点的距离为10,则点A 到x 轴的距离是________.9 [根据题意,抛物线x 2=4y 的准线方程为y =-1,点A 到准线的距离为10,故点A 到x 轴的距离是9.]7.(2019·营口期末)直线y =k (x -1)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,若|AB |=163,则k =________.±3 [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为直线AB 经过抛物线y 2=4x 的焦点,所以|AB |=x 1+x 2+2=163,所以x 1+x 2=103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =k x -1得到k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,所以x 1+x 2=2k 2+4k 2=103,所以k =± 3.]8.(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.(1,0) [由题知直线l 的方程为x =1,则直线与抛物线的交点为(1,±2a )(a >0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4a =4,即a =1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).]三、解答题9.(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14,M (0,4),动点P 到点F 的距离与到直线y =-14的距离相等.(1)求点P 的轨迹方程;(2)是否存在定直线y =a ,使得以PM 为直径的圆与直线y =a 的相交弦长为定值?若存在,求出定直线方程,若不存在,请说明理由.[解] (1)设P (x ,y ),由题意得x 2+⎝⎛⎭⎪⎫y -142=⎪⎪⎪⎪⎪⎪y +14,化简得y =x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2=y .(2)假设存在定直线y =a ,使得以PM 为直径的圆与直线y =a 的相交弦长为定值,设P (t ,t 2),则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -t 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -t 2+422=t 2+t 2-424,∴以PM 为直径的圆与直线y =a 的相交弦长为l =2t 2+t 2-424-⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2+42-a 2 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫a -154t 2-a 2+4a若a 为常数,则对于任意实数y ,l 为定值的条件是a -154=0,即a =154时,l =152.∴存在定直线y =154,以PM 为直径的圆与直线y =154的相交弦长为定值.10.如图,已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3.(1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:GF 为∠AGB 的平分线. [解] (1)由抛物线定义可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.∴抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)证明:∵点A (2,m )在抛物线E 上,∴m 2=4×2,解得m =±22,由抛物线的对称性,不妨设A (2,22),由A (2,22),F (1,0), ∴直线AF 的方程为y =22(x -1), 由⎩⎨⎧y =22x -1,y 2=4x ,得2x 2-5x +2=0,解得x =2或12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2.又G (-1,0),∴k GA =223,k GB =-223,∴k GA +k GB =0,∴∠AGF =∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线.B 组 能力提升1.(2019·鸡西模拟)已知圆C :x 2+y 2+6x +8y +21=0,抛物线y 2=8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ,则m +|PC |的最小值为( )A .5 B.41 C .41-2 D .4B [由题意得,圆C 的圆心坐标为(-3,-4),抛物线的焦点为F (2,0).根据抛物线的定义,得m +|PC |=|PF |+|PC |≥|FC |=41.]2.(2019·长春模拟)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则|AF ||BF |的值等于( )A .13B .23C .34D .43A [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2120°=8p 3,所以x 1+x 2=5p3.又x 1x 2=p24,可得x 2=32p ,x 1=p 6,则|AF ||BF |=p 6+p232p +p 2=13.故选A .] 3.(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点F 与双曲线C 2:x 23-y 2b2=1(b >0)的一个焦点重合,若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1,则C 1的焦点F 到其准线的距离为________.4 [根据题意,双曲线的一个焦点为(b 2+3,0),它到一条渐近线y =b3x 的距离为|b b 2+3|b 2+3=b =1,所以焦点F (2,0),所以抛物线方程为y 2=8x ,其准线方程为x =-2,故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4.(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)与圆C 2:x 2+y 2=5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值;(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ,B 两点,与圆C 2交于C ,D 两点,当k ∈[0,1]时,求|AB |·|CD |的取值范围.[解] (1)由题意知,交点坐标为(-2,1),(2,1),代入抛物线C 1:x 2=2py ,解得p =2. (2)由(1)知,抛物线C 1方程为x 2=4y ,故抛物线C 1的焦点F (0,1).设直线方程为y =kx +1,与抛物线C 1:x 2=4y 联立化简得x 2-4kx -4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,∴|AB |=1+k 2·x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2·4k2-4×-4=4(1+k 2).∵圆心C 2到直线y =kx +1的距离为d =11+k2,∴|CD |=25-d 2=25-11+k2=25k 2+41+k2.∴|AB |·|CD |=4(1+k 2)×25k 2+41+k2=81+k25k 2+4=85k4+9k2+4.又k∈[0,1],∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,242].。

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考点测试50 抛物线高考概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题、解答题,分值为5分或12分,中、高等难度考纲研读1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.理解数形结合的思想3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1.抛物线y =14x 2的准线方程是( )A .y =-1B .y =-2C .x =-1D .x =-2 答案 A解析 依题意,抛物线x 2=4y 的准线方程是y =-1,故选A .2.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线准线的距离为( ) A .4 B .6 C .8 D .12 答案 B解析 依题意得,抛物线y 2=8x 的准线方程是x =-2,因此点P 到该抛物线准线的距离为4+2=6,故选B .3.到定点A (2,0)与定直线l :x =-2的距离相等的点的轨迹方程为( ) A .y 2=8x B .y 2=-8x C .x 2=8y D .x 2=-8y 答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p =4,焦点在x 轴正半轴上,故选A . 4.若抛物线y 2=2px (p >0)上的点A (x 0,2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍,则p 等于( )A .12B .1C .32 D .2答案 D解析 由题意3x 0=x 0+p 2,x 0=p 4,则p 22=2,∵p >0,∴p =2,故选D .5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=6,则|AB |等于( )A .4B .6C .8D .10 答案 C解析 由抛物线y 2=4x 得p =2,由抛物线定义可得|AB |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2,又因为x 1+x 2=6,所以|AB |=8,故选C .6.若抛物线y =4x 2上一点到直线y =4x -5的距离最短,则该点为( ) A .(1,2) B .(0,0) C .12,1 D .(1,4)答案 C解析 解法一:根据题意,直线y =4x -5必然与抛物线y =4x 2相离,抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y =4x -5平行的抛物线的切线的切点.由y ′=8x =4得x =12,故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是12,1,该点到直线y =4x -5的距离最短.故选C .解法二:抛物线上的点(x ,y )到直线y =4x -5的距离是d =|4x -y -5|17=|4x -4x 2-5|17=4x -122+417,显然当x =12时,d 取得最小值,此时y =1.故选C .7.已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 答案 y 2=4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x .8.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且满足|NF |=32|MN |,则∠NMF =________.答案 π6解析 过N 作准线的垂线,垂足是P ,则有|PN |=|NF |,∴|PN |=32|MN |,∠NMF =∠MNP .又cos ∠MNP =32,∴∠MNP =π6,即∠NMF =π6. 二、高考小题9.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →=( )A .5B .6C .7D .8 答案 D解析 根据题意,过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y =23(x +2),与抛物线方程联立⎩⎨⎧y =23(x +2),y 2=4x ,消去x 并整理,得y 2-6y +8=0,解得M (1,2),N (4,4),又F (1,0),所以FM →=(0,2),FN →=(3,4),从而可以求得FM →·FN →=0×3+2×4=8,故选D .10.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10 答案 A解析 因为F 为y 2=4x 的焦点,所以F (1,0).由题意直线l 1,l 2的斜率均存在,且不为0,设l 1的斜率为k ,则l 2的斜率为-1k,故直线l 1,l 2的方程分别为y =k (x -1),y =-1k(x -1).由⎩⎨⎧y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1,所以|AB |=1+k 2·|x 1-x 2| =1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+k 2·2k 2+4k 22-4=4(1+k 2)k2. 同理可得|DE |=4(1+k 2).所以|AB |+|DE |=4(1+k 2)k 2+4(1+k 2)=41k 2+1+1+k 2=8+4k 2+1k2≥8+4×2=16,当且仅当k 2=1k2,即k =±1时,取得等号.故选A .11.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________.答案 2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,所以y 21-y 22=4x 1-4x 2,所以k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2.取AB 的中点M ′(x 0,y 0),分别过点A ,B 作准线x =-1 的垂线,垂足分别为A ′,B ′. 因为∠AMB =90°,所以|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB ′|).因为M ′为AB 的中点,所以MM ′平行于x 轴. 因为M (-1,1),所以y 0=1,则y 1+y 2=2,所以k =2.12.(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.答案 (1,0)解析 由题意得a >0,设直线l 与抛物线的两交点分别为A ,B ,不妨令A 在B 的上方,则A (1,2a ),B (1,-2a ),故|AB |=4a =4,得a =1,故抛物线方程为y 2=4x ,其焦点坐标为(1,0).13.(2017·天津高考)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC =120°,则圆的方程为______________________.答案 (x +1)2+(y -3)2=1解析 由y 2=4x 可得点F 的坐标为(1,0),准线l 的方程为x =-1.由圆心C 在l 上,且圆C 与y 轴正半轴相切(如图),可得点C 的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO =90°.又因为∠FAC =120°,所以∠OAF =30°,所以|OA |=3,所以点C 的纵坐标为3. 所以圆的方程为(x +1)2+(y -3)2=1. 三、模拟小题14.(2018·沈阳监测)抛物线y =4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A .(0,a ) B .(a ,0) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a D .⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ,0答案 C解析 将y =4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2=14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116a ,故选C .15.(2018·太原三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与抛物线交于M ,N 两点,若PF →=3MF →,则|MN |=( )A .163B .8C .16D .833答案 A解析 由题意F (1,0),设直线PF 的方程为y =k (x -1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).因为准线方程为x =-1,所以得P (-1,-2k ).所以PF →=(2,2k ),MF →=(1-x 1,-y 1),因为PF →=3MF →,所以2=3(1-x 1),解得x 1=13.把y =k (x -1)代入y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,所以x 1x 2=1,所以x 2=3,从而得|MN |=|MF |+|NF |=(x 1+1)+(x 2+1)=x 1+x 2+2=163.故选A .16.(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点Q ,点A 的坐标是(8,7),则|PA |+|PQ |的最小值为( )A .7B .8C .9D .10 答案 C解析 延长PQ 与准线交于M 点,抛物线的焦点为F (0,1),准线方程为y =-1,根据抛物线的定义知,|PF |=|PM |=|PQ |+1.∴|PA |+|PQ |=|PA |+|PM |-1=|PA |+|PF |-1≥|AF |-1=82+(7-1)2-1=10-1=9.当且仅当A ,P ,F 三点共线时,等号成立,则|PA |+|PQ |的最小值为9.故选C .17.(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的对称轴与准线的交点,过点A 作抛物线C 的两条切线,切点分别为P ,Q ,若△APQ 的面积为4,则实数p 的值为( )A .12B .1C .32 D .2答案 D解析解法一:设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y =kx -p 2.由⎩⎨⎧y =kx -p2,x 2=2py ,得x 2-2pkx +p 2=0.由Δ=4p 2k 2-4p 2=0,得k =±1,所以得点P -p ,p2,Qp ,p2,所以△APQ 的面积为S =12×2p ×p =4,解得p =2.故选D .解法二:如图,设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由题意得点A 0,-p2.y =12p x 2,求导得y ′=1p x ,所以切线PA 的方程为y-y 1=1p x 1(x -x 1),即y =1p x 1x -12p x 21,切线PB 的方程为y -y 2=1p x 2(x -x 2),即y =1p x 2x -12p x 22,代入A 0,-p 2,得点P -p ,p 2,Qp ,p 2,所以△APQ 的面积为S =12×2p ×p =4,解得p =2.故选D .18.(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是________.答案 2x -y -1=0解析 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由A ,B 都在抛物线上,可得⎩⎨⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,作差得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).因为AB 中点为P (1,1),所以y 1+y 2=2,则有2·y 1-y 2x 1-x 2=4,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=2,从而直线AB 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.一、高考大题1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN .解 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y =12x +1或y =-12x -1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为线段MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN . 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由⎩⎨⎧y =k (x -2),y 2=2x ,得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y 1k+2,x 2=y 2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k=-8+8k=0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN .综上,∠ABM =∠ABN .2.(2018·浙江高考)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x <0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.解 (1)证明:设P (x 0,y 0),A 14y 21,y 1,B 14y 22,y 2.因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以y 1,y 2为方程y +y 022=4·14y 2+x 02即y 2-2y 0y +8x 0-y 20=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴.(2)由(1)可知⎩⎨⎧y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 20,所以|PM |=18(y 21+y 22)-x 0=34y 20-3x 0,|y 1-y 2|=22(y 20-4x 0).因此,△PAB 的面积S △PAB =12|PM |·|y 1-y 2|=324(y 20-4x 0)32. 因为x 2+y 204=1(x 0<0),所以y 20-4x 0=-4x 20-4x 0+4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是62,15104. 3.(2018·北京高考)已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM →=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2), 所以2p =4,即p =2. 故抛物线C 的方程为y 2=4x ,由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0).由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =kx +1,得k 2x 2+(2k -4)x +1=0. 依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0, 解得k <0或0<k <1.又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2).从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由(1)知x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k2.直线PA 的方程为y -2=y 1-2x 1-1(x -1). 令x =0,得点M 的纵坐标为 y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2.同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2. 由QM →=λQO →,QN →=μQO →得λ=1-y M ,μ=1-y N .所以1λ+1μ=11-y M +11-y N =x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k 2+2k -4k 21k 2=2.所以1λ+1μ为定值.二、模拟大题4.(2018·湖北八市联考)如图,已知抛物线x 2=2py (p >0),其焦点到准线的距离为2,圆S :x 2+y 2-py =0,直线l :y =kx +p2与圆和抛物线自左至右顺次交于A ,B ,C ,D 四点.(1)若线段AB ,BC ,CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求正数k 的值;(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ,l 1与抛物线交于点M ,N ,设MN ,AD 的中点分别为P ,Q ,求证:直线PQ 过定点.解 (1)由题意可得p =2,所以抛物线x 2=4y ,圆S 的方程可化为x 2+(y -1)2=1,其圆心S (0,1),圆的半径为1,设点A (x 1,y 1),D (x 2,y 2).由⎩⎨⎧x 2=4y ,y =kx +1,得x 2-4kx -4=0,所以x 1+x 2=4k , 所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2,所以|AB |+|CD |=|AS |+|DS |-|BC |=y 1+1+y 2+1-2=y 1+y 2=4k 2+2=2|BC |=4,所以k =22(负值舍去). (2)证明:因为x 1+x 2=4k ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2,所以Q (2k ,2k 2+1).当k ≠0时,用-1k 替换k 可得P -2k ,2k2+1, 所以k PQ =k 2-1k, 所以PQ 的直线方程为y -(2k 2+1)=k 2-1k (x -2k ), 化简得y =k 2-1kx +3,过定点(0,3). 当k =0时,直线l 1与抛物线只有一个交点,不符合题意,舍去.5.(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1,抛物线C 2的焦点均在x 轴上,C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-23),(-2,0),(4,-4),2,22. (1)求C 1,C 2的标准方程;(2)是否存在直线l 满足条件:①过C 2的焦点F ;②与C 1交于不同的两点M ,N ,且满足OM →⊥ON →?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)设抛物线C 2:y 2=2px (p ≠0),则有y 2x=2p (x ≠0), 据此验证四个点知(3,-23),(4,-4)在抛物线上,易得,抛物线C 2的标准方程为y 2=4x .设椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 把点(-2,0),2,22代入可得a 2=4,b 2=1, 所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 2=1. (2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1.直线l 交椭圆C 1于点M 1,32,N 1,-32, OM →·ON →≠0,不满足题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1),并设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎨⎧y =k (x -1),x 2+4y 2=4,消去y ,得(1+4k 2)x 2-8k 2x +4(k 2-1)=0,于是x 1+x 2=8k 21+4k 2, x 1x 2=4(k 2-1)1+4k 2, ① 则y 1y 2=k (x 1-1)·k (x 2-1)=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=k 24(k 2-1)1+4k 2-8k 21+4k 2+1=-3k 21+4k 2. ② 由OM →⊥ON →得x 1x 2+y 1y 2=0. ③将①②代入③式,得4(k 2-1)1+4k 2+-3k 21+4k 2=k 2-41+4k 2=0, 解得k =±2,所以存在直线l 满足条件,且l 的方程为2x -y -2=0或2x +y -2=0.6.(2018·石家庄质检二)已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=94的圆心C 在抛物线x 2=2py (p >0)上,圆C 过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,分别在A ,B 处作抛物线的两条切线交于点P ,求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程.解 (1)由已知可得圆心C (a ,b ),半径r =32,焦点F 0,p 2,准线y =-p 2,因为圆C 与抛物线F 的准线相切,所以b =32-p 2. 又因为圆C 过原点,且圆C 过焦点F ,所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上,即b =p 4,所以32-p 2=p 4,解得p =2,所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)易得焦点F (0,1),直线l 的斜率必存在,设为k ,即直线l 的方程为y =kx +1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎨⎧ y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx -4=0,Δ>0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,对y =x 24求导得y ′=x 2,即k AP =x 12.直线AP 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y =x 12x -14x 21,同理得直线BP 的方程为y =x 22x -14x 22.设点P (x 0,y 0),联立直线AP 与BP 的方程,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=x 1+x 22=2k ,y 0=x 1x 24=-1,即P (2k ,-1),所以|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=4(1+k 2),点P 到直线AB 的距离d =|2k 2+2|1+k 2=21+k 2,所以△PAB 的面积S =12·4(1+k 2)·21+k 2=4(1+k 2)32≥4,当且仅当k =0时取等号.综上,△PAB面积的最小值为4,此时直线l的方程为y=1.。

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