ex11-2[1]

0 0
∃δ 1 > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ 1 ) : | f ( x ) − A |< ε ， ∃δ 2 > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ 2 ) : | f ( x ) − B |< ε 。
取 δ = min {δ 1 , δ 2 } > 0 ，当 0 <| x − x0 |< δ ，成立
( x > 0) ，求 f ( x ) 。
{
z 。 x + y2
2
}
{ D={ ( x, y , z )
⎝x⎠
}
}
y⎞ 2. 设 f ⎛ ⎜ ⎟=
x3 (x 2 + y 2 )3/ 2
解
因为
1 x3 ⎛ y⎞ ， f ⎜ ⎟= 2 = 3 2 3/ 2 ⎝ x ⎠ (x + y ) 2 2 ⎡ ⎛ y⎞ ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝x⎠ ⎦ ⎥ ⎣
所以
f ( x) = (1 + 1
3 x2 ) 2
。
3．
若函数
z ( x, y ) = y + f ( x − 1) ，
且当 y = 4 时 z = x + 1 ，求 f ( x) 和 z ( x, y ) 。 解 由 z ( x, 4) = 4 + f ( x − 1) = x + 1 ，可得
f ( x − 1) = x − 1 = ( x − 1 + 1) 2 − 1 ，
g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ，
且 xlim g (x) = xlim h (x)=A。 →x →x
0 0
∀ε > 0 , 由 lim h (x)=A，
x → x0
∃δ 1 > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ 1 ) : | h( x ) − A |< ε ，
由于 B≠0， ∀ε ⎜ 0 < ε <
⎛
B 2
f ( x ) A B ( f ( x ) − A) − A( g ( x ) − B) − ≤ g ( x) B Bg ( x ) 2(| A | + | B |) ε， < | B |2
所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） lim ( x , y ) → ( 0 ,1) （3） lim ( x , y )→( 0 , 0 )
1+ x2 + y2 =+∞。 ( x , y ) →( 0 , 0 ) x2 + y2 lim
（3） lim ( x , y ) → (0,0) （4） ( x , ylim ) → (0,0)
1 + xy − 1 1 1 = 。 = lim ( x , y ) → (0,0) xy 1 + xy + 1 2
数极限不存在。 （2） f ( x, kx) = 极限不存在。
x2 x2 （3）由于 f ( x, ) = 1 ，所以当 ( x, y ) 沿曲线 y = 趋于 (0,0) 时，函数极 2 2
kx 2 k 依赖于 = 2 2 x + ( kx ) 1+ k 2
k，所以当 ( x, y ) 趋于 (0,0) 时函数
（8） lim ( x 2 + y 2 )e − ( x + y ) 。
= 1。
解 （1） ( x , ylim ) →(0,1)
1 − xy = x2 + y2
( x , y ) → (0,1) ( x , y ) → (0,1)
lim (1 − xy )
lim ( x 2 + y 2 )
4
（2） ( x, ylim ( x 2 + y 2 ) = 0, lim (1 + x 2 + y 2 ) = 1 ，所以 ) →(0,0) ( x , y ) → (0,0)
f (x)=A， xlim g (x)=B。则对任意 ε > 0 ， 证 假设 xlim →x →x
0 0
∃δ 1 > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ 1 ) : | f ( x ) − A |< ε ， ∃δ 2 > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ 2 ) : | g ( x ) − B |< ε ，
（7）因为
1 − cos( x 2 + y 2 ) ∼ 1 2 ( x + y 2 )2 2
( ( x, y ) → (0, 0) ) ，
1 2 ( x + y 2 )2 1 1 2 = +∞ ， ≥ ， ( x, ylim 2 2 2 2 ) → (0,0) (x + y )x y | xy | xy
| A − B |≤| f ( x ) − A | + | f ( x ) − B |< 2ε ，
由于 ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 xlim f (x)=A,则对于 ε = 1 ， →x
0
2
∃δ > 0, ∀x (0 <| x − x0 |< δ ) : | f ( x ) − A |< 1 ，
A − ε < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) < A + ε ，
f (x)=A。 即 xlim →x
0
6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 0 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 （1） xlim f (x)±g (x)) = xlim f (x)± xlim g (x)； →x →x →x
2
⎧1, 0 < y < x 2 , x3 y3 （3） f ( x, y ) = ⎨ （4） f ( x, y ) = 4 8 。 x +y 其它点; ⎩0 x − kx 1 − k 解（1）由于 f ( x, kx) = 依赖于 k，所以当 ( x, y ) 趋于 (0,0) 时函 = x + kx 1 + k
0 <| x − x0 |< δ ，成立 | f ( x ) g ( x ) − AB |≤| f ( x ) g ( x ) − Ag ( x ) | + | Ag ( x ) − AB |
< ( X + | A |)ε ，
所以（2）成立。
⎞ ⎟ ， ∃δ " > 0 ， ∀x (0 <| x − x0 |< δ ") ： ⎝ ⎠ |B| 。 | g ( x ) |>| B | −ε ≥ 2 取 δ = min {δ ", δ 1 , δ 2 } > 0 ，当 0 <| x − x0 |< δ ，成立
x2 + y2 1+ x + y −1
2 2
2
=
( x , y ) → (0,0)
lim ( 1 + x 2 + y 2 + 1) = 2 。
（5） ln( x 2 + e y ) = ln(1 + x 2 + e y − 1) = x 2 + y 2 + o( y 2 ) = x 2 + y 2 + o( x 2 + y 2 ) ， 所以
所以
h( x ) < A + ε 。
又由 xlim gx (0 <| x − x0 |< δ 2 ) : | g ( x ) − A |< ε ，
所以
g ( x) > A − ε 。
取 δ = min { ρ , δ 1 , δ 2 } > 0 ，当 0 <| x − x0 |< δ ，成立
1 | x3 y 3 | 3 4 | xy |3 3 4 3 xy | | ≤ = → 0, (( x, y ) → (0, 0)) ， 8 x4 + y8 3 3 3 | xy |
所以当 ( x, y ) 趋于 (0,0) 时函数极限存在且为 0。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部 夹逼性。 证 （1）假设 xlim f (x)=A, xlim f (x)=B，则 ∀ε > 0 ， →x →x
；
ln( x 2 + e y ) （5） lim ； ( x , y )→( 0 , 0 ) x2 + y2
sin( x 3 + y 3 ) ； ( x , y ) →( 0 , 0 ) x2 + y2
（7）
1 − cos( x 2 + y 2 ) ； ( x , y ) →( 0 , 0 ) ( x 2 + y 2 ) x 2 y 2 lim
所以
f ( x) = ( x + 1) 2 − 1 = x 2 + 2 x ,
z ( x, y ) = x + y − 1 。
4．
讨论下列函数当 ( x, y ) 趋于 (0,0) 时的极限是否存在：
1
（1） f ( x, y ) =
x− y ； x+ y
（2） f ( x, y ) =
xy ； x + y2
取 δ = min {δ 1 , δ 2 } > 0 ，当 0 <| x − x0 |< δ ，成立
| ( f ( x ) ± g ( x )) − ( A ± B ) |≤| f ( x ) − A | + | g ( x ) − B |< 2ε ，
所以（1）成立。 由于 g (x)在 x 0 有极限，所以 g (x)在 x 0 局部有界，即存在正数 X 和 δ ' > 0 ， ∀x (0 <| x − x0 |< δ ') : | g ( x ) |< X 。 取 δ = min {δ ', δ 1 , δ 2 } > 0 ， 当