中考数学-一元二次方程根的分布问题-数形结合的方法

合集下载

不等式一元二次方程根的分布

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究

解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发，联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(&#0)和二次函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理，这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点，满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性，因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。

中考数学复习指导：例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果。

一以“数”解“形”例1 如图，过正方形ABCD 的顶点G ，任作一直线与AB 、AD 的延长线分别交于E 、F 。

求证: 4AE AF AB +≥。

证明设正方形的边长为a ，连AC 。

因为AEF ACF ACE S S S ∆∆∆=+，所以有 ()/2()/2()/2()/2AF SE AF CD AE BC a AE AF ⋅=⋅+⋅=+，即()AE AF a AE AF ⋅=+ 。

从而AE 、AF 可视为关于x 的一元二次方程2()()0x AE AF x a AE AF -+++=的两个实数根。

所以该方程的判别式2()4()0AE AF a AE AF =+-+≥ ，得4AE AF a +≥，即4AE AF AB +≥。

本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数” ，则结论变为2()4()0AE AF AB AE AF +-+≥。

则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决。

例2如图，直线3y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线k y x=在第一象限交于B 、 C 两点，且4AB AC ⋅=，则k = 。

解设1122(,),(,)B x y C x y ，则1x 、2x是方程k x b x+=的两根，12x x ∴。

又124,AB AC k ⋅==∴=。

此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出12,,AB AC ==然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x 的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k 的值。

《一元二次方程在中考中的考查形式》学年论文

本科学年论文题目一元二次方程在中考中的考查形式院别数信学院专业数学与应用数学指导教师王新民班级2007级2班姓名唐甜学号200702410072010 年 6 月20 日目录摘要 (I)一．一元二次方程概念的考查 (1)二．一元二次方程解法(四种)的考查 (1)三．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的考查 (3)四．一元二次方程与几何的应用 (4)五．方程与函数的综合及实际应用 (5)参考文献 (7)摘要：一元二次方程是中考的一个重点以及必考的知识点。

它小到填空﹑选择，大到综合应用的压轴题.可见，学好一元二次方程是“拿下”中考的必然之举.纵观近年来全国各地的中考数学试题，有关一元二次方程的内容考查主要有两类：一类是以直接形式考查一元二次方程的解得问题，主要表现在考查一元二次方程的概念﹑解法﹑根与系数的关系；一类是以一元二次方程为解决问题的工具，主要表现在开放性试题，综合应用等试题中.围绕一元二次方程的内容涉及的考题也更加着重考查了学生的综合能力.本文罗列出近两年来一元二次方程在中考中的考查形式，以供参考.关键词：解法;根的判别式;二次函数;数形结合Abstract: The quadratic equation is a priority in the examination andtests of knowledge points. It is small enough to fill in the blank 、 choice, the finale of big problems to integrated applications. See, learning a quadratic equation is "down" a necessary move in the examination. Looking around the country in recent years in the mathematics questions, the quadratic equation of examine the contents of main types: one is a direct form of test solutions of quadratic equation was the problem, mainly in examining the concept of quadratic equation solution, roots and coefficients ﹑relationship; a class is a quadratic equation for the problem-solving tool, mainly in the open questions, such as integrated application Examinations. This article nearly two years, a Luo Lie Chu quadratic equation in comprehensive examinations of the test in the form of, for reference.Key words:Solution; root discriminant; quadratic function; Number and Shape一．一元二次方程概念的考查基础知识链接：⑴一元二次方程的定义：只含有一个未知数并且所含未知数的的最高次数是2的整式方程．⑵一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=(,,a b c 是已知数，a ≠0)其中,,a b c 分别叫做二次项系数，一次项系数和常数项．⑶设0x 是方程20a x b x c ++=的根，则2000ax bx c ++= 例1．(2009年日照)当a 为何值时，22(1)a a y a x -+=-是二次函数？分析：因为要使方程为二次函数，则首先应满足二次项系数不等于0，再则未知数的最高次数为2，再利用此条件得出a 的值．解：222a a -+= 得0a =或 1a =当1a =时二次项系数–10a =,所以要舍去．故解得0a =.评注：此题不仅考察了一元二次方程的概念，而且还考察了二次函数与一元二次方程的关系．进而需要学生用方程的思想来解题．学生们很容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，为了避免错误，这就要求学生们在遇到类似题时首先应考虑二次项不为0的情况．例2．(2008年山东烟台)已知方程20x bx a ++=有一根是a -,(a ≠0)则下列代数式的值恒为常数的是( )A ．a bB ．ab C ．a b + D ．a b -分析：乍看这个二次函数，它含有常数项a ，那么a 一定为常数，但是选项没有此项，则我们应用已知条件将-a 带入原方程再看能有所发现．解：因为-a 是原方程的根，则20a ab a -+=，方程左边约去a 得10a b -+=则1a b -=-，故 a b -为常数﹣1,故应选D 答案．评注：本题考查了一元二次方程的根必使等式成立的问题，其次还考查了学生灵活思维的能力，将-a 代入还不够，还要将等式小小的变形才能有所解．即又考查了学生逻辑的迁移能力．二．一元二次方程解法(四种)的考查基础知识链接：解一元二次方程可以归纳为四种解法：⑴直接开平方法:形如2()x a b += (0)b ≥的方程可直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=x a +=1x a =-+ 2x a =--⑵因式分解法：分解一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=之后得两个一次因式乘积的形式；则两个因式积等于零的充分必要条件是这两个因式至少有一个等于零，用式子表示为：0a b ⋅=则a o =或b =0,反之也成立．⑶配方法：就是通过配方把方程变成()2x m n += (n ≥0)的形式，再用直接开平方法求解．当n ＜0时方程无解．⑷公式法：2x a = 2(40)b ac -≥例3．(2009，新疆)解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=．分析：此题可以先将方程展开，再用适当的方法进行计算．解：将方程展开后整理得251890x x -+=，这里5,18,9a b c ==-=．所以运用公式法得：18210x ±== 所以原方程的根为1233,5x x ==．再析：如果此题不用将麻烦的式子展开求解，仔细观察它们是可以提取公因式的．解：原式提取公因式为 (3)(34)0x x x --+=，所以(3)(53)0x x --=，解得 1233,5x x ==．评注：运用因式分解法解方程显然要简单方便的多．公式法是对任何一元二次方程都适用的，但是这运用公式法运算量较大，需学生有较好的运算水平．例4．(2008年江苏苏州)若220,x x --=的值等于( )．A ． 3B ．3C 3分析：对于整式求值问题中，一般先将其化简，再用整体代入的方法求代数式的值[1]．对于整式我们进行观察发现由已知中220,x x --=则22x x -= 我们将22x x -=直接代入整式求解．解：===63==可知，应选择 A 答案．评注：求解与一元二次方程的根有关的代数式的值时，应该观察分析题目的结构特点，及时的化简代数式，巧妙地运用一元二次方程的定义和必要的变形，降低求解的难度．例5．(2009年南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是_____．分析：运用因式分解法解方程．解：原方程变形得(3)(11)0x x -+-=．解得123,0x x ==．评注：我们将例3的两种方法进行比较，发现运用因式分解法运算量较少，而且不容易出错，而求根公式中分子上根号中系数的符号代入运算时容易出错．在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点和题目的要求，选择适当的方法，使解题更简捷．对于例5容易出现的错误是方程两边同时除以3x -，产生失根[2]．因为方程两边同时除以含未知数的整式，会缩小变量的取值范围．⑴．对一元二次方程先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法、配方法．对于二次项系数中含有字母的方程，要进行分类讨论．⑵．一般来说，如果一元二次方程20ax bx c ++=等号左边的部分比较容易分解，那么优先选择因式分解．在一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠中，若b 是a 的偶数倍[3]，那么使用配方法比较简单，并且配方法的思想在学习其他数学内容时有广泛的应用．如果上诉方法都不简单时则直接用万能公式法，虽然说它适用于任何一元二次方程，但是它的计算量较大，容易出现解题错误，选用此法是无奈之举．三．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的考查基础知识链接：一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的根的判别式为24b ac ∆=-，其意义在于不解方程可以直接根据∆判别根的情况．⑴当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；⑵当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；⑶当240b ac -<时，方程没有实数根．此外，我们还可以根据根的情况确定未知数的取值范围．例6．(日照市) 已知,m n 市关于x 的方程2(1)10k x x +-+=的两个实数根，且满足()()111k m n +=++，则实数根k 的值是 .分析：要求k 的值，由于k 满足①k +1≠0,②240b ac -≥,③()()111k m n +=++1m n m n =+++；所以可以先利用求根公式求出,m n m n +解：因为10)2(1)2(1)x k k k ==+≠++ 所以11m n k +=+，11m n k =+．又因()()111k m n +=++，所以1k m n m n =+++, 即1111k k k =+++，所以()12k k +=,即220k k +-=，解得122,1k k =-=．而由240b ac -≥得()1410k -+≥，即34k ≤-，所以k =-2.评注：对于例6即考查了一元二次方程的概念又考查根与系数的关系(韦达定理)和根的判别式，可以说多个知识点积于一题．⑴．这里应特别注意要保证一元二次方程有两个实数根的同时，还必须使二次项系数不为0，这些是不能忽视的．同时在二次项系数含有字母的方程，要进行分类讨论．⑵．“方程有两个实数根”等价于240,b ac -≥而不是24b ac -＞0．四．一元二次方程与几何的应用基础知识连接：在考查一元二次方程与几何的综合应用主要表现在方程的根与几何的实际问题上，我们是否要排除负根情况或违背常理的情况等．例7．(2009襄樊)如图1，在A B C D 中，AE BC ⊥于E ，A E E B E C a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则A B C D 的周长( )A．4+ B．12+C．2+ D．212++分析：利用已知求出a 的值，再分别求出各边即可求得周长．对于平行四边形的周长一定为一个正数，则若有负根我们应舍去．解：2230x x +-= 因式分解得(3)(1)0x x +-=，13(x =-舍去），21x =．在A B C DD 1中 AE ⊥BC AE=BE=EC=1 ∴BC=2．由勾股定理得AB C D ===．所以A B C D 的周长为2AB+2BC=4．评注：此题考查了学生实际应用问题，对于此值是否能为负值是学生们在解此题的一个潜意识．所以在平时学习的过程中应该去培养学生的这种潜意识去理解出题人的本意以及数学与生活的紧密联系．例8．(2009 黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根则该三角形的周长为( ).A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对分析：对于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如果方程的根满足三角形的边长关系则我们也应该将负值舍去．解：212350x x -+= 因式分解得1(7)(5)0,7x x x --== 25x =因为对于17x =时，三角形各边分别为3，4，7 而3+4=7 不满足三角形性质应舍去，而25x = 满足，所以三角形周长为4+3+5=12．故选B ．五．方程与函数的综合及实际应用基础知识连接：方程与函数的综合应用考查方程的概念及其解法；函数与方程的转化数形结合[4]的思想等．方程与实际应用的考查在于建立方程模型解决实际问题．是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)，再使实际问题得以解决(解方程、写出答案)．在这个过程中，列方程起着桥梁性的关键作用．列一元二次方程解决实际问题的基本步骤为：①省题②设元(未知数)③找等量关系④列代数式、列方程⑤解方程⑥检验⑦答案.例9．(2008芜湖)在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?分析：分析题意，寻找等量关系．本题的等量关系为：实际每天生产的帐篷数—原计划每天生产的帐篷数=720．解：设实际需要x 天完成生产任务，根据题意得：7200(120%)72007204xx ⨯+-=+化简得：121014x x -=+．12(4)10(4)x x x x +-=+，整理得22480x x +-=，解得：126,8x x ==-(不合题意，舍去)，所以，7200(1+20%)/6=1440(顶).评注：此题只要先将等量关系找出，列出方程，再用适当的解法解出解；当然生活实际天数不能为负．例10．(2009 北京市) 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．(1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象图像的解析式；图 2(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．⑴有实数根等价于0,∆≥∆而不是＞0；⑵根据图像我们可以大概画出直线12y x b =+(b ＜)k 在什么范围内与函数图像只有两个交点；解：(1)由题意得，168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数，∴123k =，，． (2)当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．(3)设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图3所示．当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-．由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．图 3结束语近年来对一元二次方程的考查，降低了计算了难度，但增加了开放性、增强了灵活性．在对其概念、告诉一根求另一根、求解其中字母的值等是考查的重点．对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0y =时即为一元二次方程，要灵活地掌握方程与函数之间的互相转化；灵活运用一元二次方程的性质、巧用解题方法才是能够真正攻破一元二次方程的捷径．参考文献[1] 许世文．2008年中考考点[J]：一元二次方程．数学金刊(初中版)，2008(12):16-17[2] 李庆社．一元二次方程考点解读[J]．语数外学习(九年级)，2008(10):30-33．[3] 婓丽群．一元二次方程概念及解法考点解析[J]．名师点拨，2008(5):7-8[4] 李庆社．一元二次方程考点聚焦[J]．中学生数理化(中考版)，2009(7-8):31-35。

根的分布

一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。

本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。

一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。

例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。

由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。

由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。

综上，m 的取值范围是m ＞7。

例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。

若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。

一元二次方程根的分布典型例题

一元二次方程根的分布典型例题（原创版）目录一、一元二次方程根的分布概念二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系三、一元二次方程根的分布的求解方法四、典型例题解析五、总结正文一、一元二次方程根的分布概念一元二次方程根的分布是指一元二次方程的实根在数轴上的位置分布。

一元二次方程的根与二次函数图象与 x 轴的交点横坐标相对应，因此，研究一元二次方程根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来探究。

二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系一元二次方程的根的分布情况与二次函数图象的开口方向、顶点位置以及与 x 轴的交点个数有关。

根据二次函数图象的特点，可以将一元二次方程根的分布分为以下三种情况：1.当二次函数图象开口向上时，一元二次方程有两个实根，且两根分别位于顶点两侧；2.当二次函数图象开口向下时，一元二次方程没有实根；3.当二次函数图象与 x 轴相切时，一元二次方程有一个实根。

三、一元二次方程根的分布的求解方法求解一元二次方程根的分布，需要先确定二次函数图象的顶点位置和开口方向。

具体步骤如下：1.根据一元二次方程的系数，确定二次函数的关系式；2.求解二次函数的顶点横坐标；3.根据顶点位置和开口方向，判断一元二次方程的根的分布情况。

四、典型例题解析例题：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0，求其根的分布。

解：首先，根据方程的系数，得到二次函数的关系式为 y = x^2 - 3x - 10。

然后，通过配方法或公式法求解得到顶点横坐标为 x = -b / 2a = 3 / 2。

由于二次函数图象开口向上，且与 x 轴有两个交点，因此，一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 有两个实根，且两根分别位于顶点两侧。

五、总结一元二次方程根的分布是初中数学一元二次函数的基础内容。

通过研究一元二次方程根的分布问题，我们可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来更好地理解和掌握一元二次方程的性质。

3.1.2一元二次方程根的分布

x1
2
x2
12
练习： 1、若方x程 2 (k3)xk 0 的两根都小 1，于求k的取 x1 x2 0
-1
值范围？
2、若7方 x2程 k13xk2k20的两根分0 别， 1和在 1， 2内， k的求取值范
1 0
2 13
练习：
1.已知关于x的方程 a 2 2 x a 1 x a 1 0
解少解题有：分一若析个m：在=原函0，点数则的f(xf右()x=侧)m=x-，23+就x(m+是1-3,表)显x+明然1关的满于图足x象的要与方求x程轴. m的x交2+点(m至-
3)x+1若=0m至≠少0，有有一两个种正根情，况可：借助根与系数的关系来解。
( 1 ) 原点的两侧各有一个，则 x 1 x 2 m 1 0 得 m 0
-
b 2a
>k
f(k)<0.
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
ห้องสมุดไป่ตู้
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
3
注：涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.
1
x 1 x 2 2
反例x1： 3,x2
1 2
7
例题：已x知 2(方 k3程 )xk0 求满足下列 k的条范件围的？

《一元二次方程根的分布》课堂教学设计方案表

技术支持的课堂教学设计方案
能力点
技术支持的课堂教学
课题名称教学内容
一元二次方程根的分布
高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容《一元二次方程根的分布》
重点：利用函数图象求解有关一元二次方程根的教学重点、难点分布问题
难点：函数与方程，数形结合思想的渗透
高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。教学对象及特点学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
教学目标
１.知识与能力
加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程．
２.过程与方法
体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。
３.情感态度与价值观
培养学生不断发现，探索新知的精神。体会数学严谨细致之美，简洁朴实之美．激发学生积极思考、勇于探索，提高学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学分析和解决问题的意识。
归纳：
错误! 一元二次方程的根的情况
一元二次方程的解要满足实际问题
错误!
三
、课堂训练 1
.课本练习
运用希沃白板和视频让教学更具灵活性、互动性、直观性、趣味性。通过希沃白板进行授课，并随技术应用及目的机抽选学生上台进行课堂练习，同时给出评价，激发学生的学习兴趣，激励学生更多得参与课堂互动。

专题12三个二次之间的关系(原卷版)

专题12 三个二次之间的关系【考点清单】“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

1、二次函数①二次函数的三种形式在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ：它的配方形式： 224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠配方形式中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于对称值时函数值的取值特点。

从而它的对称轴：2b x a=-它的顶点坐标：24(,)24b ac b a a--它的因式分解形式：12()()y a x x x x =--，其中12,x x 是一元二次方程的两根.从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y 值何时等于0、y 何时大于0、y何时小于0等特点。

总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。

②二次函数的最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：()()n f x f =（1）若[,]2bm n a-∈，则max ()max{(),(),()}2b f x f m f f n a =-，min ()min{(),(),()}2bf x f m f f n a=- （2）若[,]2bm n a-∉，则max ()max{(),()}f x f m f n =，min ()min{(),()}f x f m f n = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

一元二次方程实数根的分布

第一课时：一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一、问题的提出若方程0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，求实数m 的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数2()0(0)f x ax bx c a =++=≠ 的抛物线与x 轴交点的横坐标.一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.二、一元二次方程实根分布仿上完成下表一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 实根分布图解三、练习1.m 为何实数时，方程02)1(2=+++m x m x 的两根都在-1与1之间.2、若方程0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围.四、小结基本类型与相应方法：设 )0()(2≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：五作业：1．关于x 的一元二次方程222320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是（）（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<<2．方程227(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是（）（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解3．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m = .4.若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是m ＝5. 方程2(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：（1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值. 第二课时一元二次方程实数根分布的应用一复习二、例子例1 已知实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b +的取值范围.解由已知得1a b c +=-且222222()()(1)(1)22a b a b c c ab c c +-+---===-.所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c>>问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令()f x =22(1)()x c x c c --+-，有2212()0(1)4()0c cf c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪⎩ 即22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩，求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)解：显然直线AB 的方程为1(04)44x y x +=<<即4y x =-，代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)30104.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩ 解得m 的取值范围是1733m <<. 例3关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①如果||2,||2αβ<<，那么2||4a b <+且||4b <；②如果 2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高考题)证明 ①设2()f x x ax b =++，由已知，函数()y f x =的图象与x 轴在2-到2之间有两个不同的交点. 所以240,(1)22,(2)2(2)420,(3)(2)420.(4)a b a f a b f a b ⎧∆=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-+>⎪=++>⎪⎩由(3)、(4)得(4)24b a b -+<<+，所以2||4a b <+.由(2)，得||4a <，结合(1)得2416b a <<，所以4b <. 将(3)+(4)得4b >-，因此44b -<<，即||4b <.②由于2||4a b <+且||4b <，可得4,2||448b a <<+=，所以||4a <，222a -<-<. 即函数()f x 的图象的对称轴2a x =-位于两条直线2x =-，2x =之间.因为(2)(2)(42)(42)2(4)0f f a b a b b -+=+++-+=+>，22(2)(2)(42)(42)(4)40f f a b a b b a -⋅=++-+=+-> .所以(2)0,(2)0f f ->>. 因此函数()f x 的图象与x 轴的交点位于-2和2之间，即||2,||2αβ<<.作业1．已知抛物线2(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧？2．已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2()f x ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 、B. 若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值.第三课时应用提高例1若方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，求实数k 的取值范围. 解法一：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即方程0232=--k x x 在[]1,1-上有实根，设k x x x f --=23)(2，则根据函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标等价于方程0)(=x f 的根. （1）两个实根都在[]1,1-上，如图：可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≥≥-≥∆1210)1(0)1(0a b f f ，解得2169-≤≤-k ；（2）只有一个实根在[]1,1-上，如图：可得0)1()1(≤⋅-f f ，解得 2521≤≤-k ，综合（1）与（2）可得实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,169 解法二：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即存在[]1,1-∈x ，使得等式x x k 232-=成立，要求k 的取值范围，也即要求函数[]1,1,232-∈-=x x x k 的值域. 设[]1,1,1694323)(22-∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==x x x x x f k 又因，则)1(169-≤≤-f k ，可得25169≤≤-k . 解法三：令,232x x y -=则k y =，则方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=k y x x y 232在[]1,1-上有实数解，也即等价于抛物线,232x x y -=与直线k y =在[]1,1-上有公共点，如图所示直观可得：25169≤≤-k .解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方程k x x =-232化成k x x +=232，然后令 k x y x y +==23,2，从而将原问题等价转化为抛物线2x y =与直线k x y +=23在[]1,1-点时，“数形结合法”下去求参数k 的取值范围.根据图形直观可得：当直线k x y +=23过点)1,1(-，截距k 最大；当直线k x y +=23与抛物线k x y +=23相切时，截距k 最小. 且169,25-==最小最大k k .故参数的取值范围为25169≤≤-k . 2已知实数a 、b 、c 满足021a b c m m m++=++，其中m 为正数.对于2()f x ax bx c =++. (1)若0a ≠，求证：()01m af m <+； (2) 若0a ≠，证明方程()0f x =在(0,1)内有实根.证明 (1)由021a b c m m m ++=++，求得()21am bm c m m =-+++，所以 222222211()[()()][()][]11112(1)2m m m m m af a a b c a a m m m m m m m m m=++=-=-+++++++ 又由22(1)20m m m +>+>，因此22110(1)2m m m -<++，故()01m af m <+. (2)要证明方程()0f x =在(0,1)内有实根，只须证明(0)(1)0f f ⋅< 或 (0)0,(1)0,0,0 1.2af af b a >⎧⎪>⎪⎪∆≥⎨⎪⎪<-<⎪⎩但两者都不易证明. 由01(0)1m m m <<>+，结合第(1)题()01m af m <+，对a 进行讨论：当0a >时，有()01m f m <+. 只要证明(0)f c =和(1)f a b c =++中有一个大于零即可. 若0c >，则(0)0f >成立，问题得证；若0c ≤，由021a b c m m m ++=++求得(1)(1)2a m c m b m m++=--+，所以 (1)(1)(1)22a m c m a c f a b c a c m m m m ++=++=--+=-++. 由0,0,0a m c >>≤，知(1)0f >，命题得证. 故当0a >时，方程()0f x =在(0,1)内有实根. 同理可证，当0a <时，方程()0f x =在(0,1)内也有根.。

微专题(一) 一元二次方程根的分布--2025年高考数学复习讲义及练习解析

所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

根的分布

一元二次方程根的分布情况由零点的存在性判定定理，结合二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像，对一元二次方程02=++c bx ax 的根的分布情况及条件总结如下：(1)方程()0=x f 的两根中一根大于r ，另一根小于r .0)(<⋅⇔x f a (2)方程()0=x f 的两根都大于r ()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅>-≥-=∆⇔02042r f a r a b ac b (3)方程()0=x f 的两根都小于r ()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<-≤∆⇔020r f a r ab(4)方程()0=x f 在区间()q p ,内有两根()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<≥∆⇔0020p f a q f a q a b p(5)方程()0=x f 的两根21x q p x <<<()⎩⎨⎧<⋅<⋅⇔.0)(0q f a p f a 例题1：当m 的取值范围为时，方程0)13(22=+++-m m x m x 的根一个大于1，一个小于1.解析：用数形结合的方法解题.设m m x m x x f +++-=22)13()(,则它的开口向上,由图像可得,方程0)13(22=+++-m m x m x 的根一个大于1，一个小于1.的条件为()1f <0,即解之.例题2:已知函数()122++=ax ax x f 有两个零点21,x x ,且()(),1,0,2,421∈--∈x x 求a 的取值范围.解析:()122++=ax ax x f 的图像是连续的,且两个零点满足()(),1,0,2,421∈--∈x x ()()()(),31024010-<⇒⎩⎨⎧<-⋅-<⋅∴a f f f f 故a 的取值范围为.31-<a例题3：已知二次函数()m x m x x f 2)1(2+--=在[]1,0上有且只有一个零点，求实数m 的解：（1）若方程02)1(2=+--m x m x 有两个相等实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆,12100m 此时无解.(2)若方程02)1(2=+--m x m x 有两个不等实根,①当只有一个解在()1,0上时,()()001<⋅f f ,;02<<-⇒m ②当,00)0(==m f 时，方程化为02=+x x ,根为1,021-==x x ,满足题意;③当(),2,01-==m f 时方程化为,0432=-+x x 根为,4,121==x x 满足题意.综上所述,实数m 的范围为[-2,0].。