中考数学-一元二次方程根的分布问题-数形结合的方法

中考数学

一元二次方程根的分布问题-数形结合的方法

若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，02>x ⇔

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0

0)0(0

42b c f a ac b

上述推论结合二次函数图象不难得到。

【定理2】：01

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0

0)0(0

042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【定理

3】210x x <<⇔

0

c

【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且

0

b

； ○

201a

b

。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 【定理

1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

>->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42

【定理2】k

x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

<->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42。

【定理3】21x k x <<⇔0)(

。

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21

f

【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0

)(0)(0

)(021

21p f p f k f k f a

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b