百校联盟2019届高三TOP20十一月联考(全国Ⅱ卷)数学(理)试题含答案
2019届高三数学联考试题(含解析)人教版
2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。
2019届百校联盟top20三月联考(全国Ⅱ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届百校联盟top20三月联考（全国ii 卷）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|230}A x x =-…，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =I （ ） A ．3|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．3|22x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{|02}x x <<D ．3|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭答案：B由题求出A ，B 两个集合，再进行交集的运算即可. 解：3|2A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭…，{|02}B x x =<<，所以3|22A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭„.故选：B. 点评：本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，属于简单题. 2．设复数z 满足21ii z+=-，则||z 等于（ ）A ．32B C D ．2答案：B根据复数的基本运算法则进行化简得到z ，再求出其共轭复数z ，利用求复数的模的公式计算即可． 解： 因为213122i z i i +==---，所以1322z i =-+，则||2z =. 故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数模长的计算，比较基础． 3．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()1f x x =- B ．1()f x x x=-C ．12()log ||f x x =D ．||()2x f x =答案：D结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可． 解：A 选项：2()1f x x =-在(0,)+∞上单调递减； B 选项：1()f x x x=-为奇函数； C 选项：12()log f x x = 在(0,)+∞上单调递减； D 选项满足题意. 故选：D. 点评：本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4．已知双曲线C ：2213y x -=，F 为双曲线C 的右焦点，过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M .则FM =（ ）A ．BC ．D ．4答案：A求出双曲线的渐近线方程，求出过点F 作与渐近线垂直的直线，联立求出交点M ，然后求解距离即可． 解：解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：y =，则过点F 作与渐近线垂直的直线为：()323y x =--， 所以与另一条渐近线方程：3y x =-的交点()1,3M -，()2,0F ，所以()()2212323FM =--+=，故选：A. 点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．5．如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D由三视图还原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中侧棱PA ⊥底面ABC ，进一步得到该几何体的各面中，直角三角形的个数． 解：由三视图还原该几何体的直观图如图所示，其中PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，则该几何体的各面中，直角三角形的个数为4个. 故选：D. 点评：本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原几何体，是中档题． 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，扇形AOB 的圆心角为34π，半径为1.P 是»AB 上一点，其横坐标为223，则sin BOP ∠=（ ）A ．23B 3C ．426+D ．326+ 答案：C由题意求得点P 坐标，根据三角函数的定义写出sin POA ∠、cos POA ∠，再计算sin BOP ∠的值．解：由题意可知22133P ⎛⎫⎪⎝⎭， 根据三角函数的定义122sin ,cos 33POA POA ∠=∠=， 则3sin sin 4BOP POA π⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭33sin cos cos sin 44POA POA ππ=∠-∠ 222212323⎛=--⨯ ⎝⎭ 42+=. 故选：C. 点评：本题考查了任意角的三角函数值计算问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题． 7．正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶.如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是（ ）A．16B．15C．14D．13答案：A求出总体积以及符合要求的体积，代入几何概型的计算公式即可．解：设正方体的棱长为2，则正方体的体积18V=，正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为2，则正四棱锥的底面积为2，高为1，体积为122133⨯⨯=，则正八面体的体积224233V=⨯=，则此点取自正八面体内的概率：2141386VPV===.故选：A.点评：本题考查了利用体积之比求解几何概型问题，属于中档题.8．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为43，则输入a的值可能为（）A．4 B．10 C．79 D．93答案：D由题中的程序框图知，该算法是一个以4为周期的函数，若输出S的值为43，则得出相应的k 值，再由k a >输出，即可得出a 值，再判断选项得出 解：程序运行如下：3,1S k ==；4,23S k ==；1,32S k ==； 2,4S k =-=；3,5S k ==；…，此程序的S 值4个一循环.若输出S 的值为43，则相应k 的值为()1142k k N +∈， 因为k a >时，输出S ，则输入a 的值为()1141k k N +∈. 故选：D . 点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定S 值的周期规律及跳出循环的k 值是解答本题的关键，属于中档题．9．设,x y 满足不等式组2,,0,x y y x a y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，且4yx +的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出不等式组对应的平面区域，将目标函数4yx +看成可行域内的点(,)P x y 与点(4,0)Q -连线的斜率，利用数形结合即可得到结论.解：结合可行域可知2a ≥-，4yx +表示可行域内的点(,)P x y 与点(4,0)Q -连线的斜率， 直线20x y +-=与直线y x a =+的交点为点(1,1)22a aA -+，当1,122a a x y =-=+时，4y x +取到最大值12，即1122142a a +=-+，解得2a =， 所以实数a 的值为2. 故选：B. 点评：本题主要考查线性规划的应用，根据4yx +的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10．设02πβα<<<，1tan()tan cos αβββ-+=，则（ ） A ．22παβ+=B ．22a πβ-=C ．22παβ+=D ．22παβ-=答案：B由题意，利用三角恒等变换化简1tan()tan cos αβββ-+=，得出cos()cos()2πααβ-=-，再根据角的取值范围，即可得出正确的结论.解： 由题意可知sin()sin 1cos()cos cos αββαβββ-+=-，等式两边同时乘以cos()cos αββ-得，sin()cos cos()sin cos()a a ββββαβ-+-=-，则sin cos()ααβ=-，即cos()cos()2πααβ-=-，因为02πβα<<<，0,22ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，02παβ<-<， 则2πααβ-=-，所以22παβ-=.故选：B. 点评：本题主要考查了三角函数恒等变换，以及运算求解能力与转化思想，是中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点，且||||AO AF =，0FA FB ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．31- B ．23-C ．22D ．23答案：A由0FA FB ⋅=u u u r u u u r得90AFB ∠=︒，将左焦点与A 、B 连接起来，由椭圆的对称性可得四边形12AF BF 为矩形，||||AO AF =，可得a ，c 的关系，进而求出离心率. 解：因为0FA FB ⋅=u u u r u u u r，所以90AFB ∠=︒，因为||||AO AF =，所以||2||AB AF =，故30ABF ∠=︒，设椭圆C 的左焦点为1F ，根据椭圆的性质，四边形1AF BF 为平行四边形， 且90AFB ∠=︒，所以四边形1AF BF 为矩形，在直角三角形1AF F 中，130AF F ∠=︒，13AF c =，||AF c =， 根据椭圆的定义，1||2AF AF a +=，即32c c a +=， 则椭圆C 的离心率31ce a==-.故选：A. 点评：本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题.12．若函数()ln xf x a x e =-有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -+∞B ．(1,)eC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞答案：D先求出导函数()f x '，再对a 的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a 的取值范围.解：由题意知()ln (0)xf x a x e x =->，()xa f x e x'=-， 当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，无极值点； 当0a >时，根据a y x=与xy e =的图象，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为0x ， 当()00,x x ∈时，x ae x>，()0f x '>， 函数()f x 在区间()00,x 上单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，x a e x <，()0x af x e x'=-<， 函数()f x 在区间()0,x +∞上单调递减， 故当0a >时，函数()f x 有一个极大值点. 故选：D. 点评：本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题.二、填空题13．在261()x x+的展开式中，含3x 项的系数为_________.（用数字填写答案） 答案：20试题分析：由题意可得()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令333461233,3,20r r T C x x -=∴=∴==，综上所述，3x 的系数为20，故答案为20.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.14．甲、乙、丙、丁4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是_______. 答案：甲本题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论. 解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话， 若丙说了真话，则甲必是真话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是进过房子的那个人. 故答案为：甲. 点评：本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，分析判断能力，是基础题.15．在ABC V 中，60A ∠=︒，3AB =，23BD BC =u u u r u u u r ，43AD BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AC =_______. 答案：2根据向量加法的三角形法则表示出AD u u u r ，BC uuu r，再代入数量积即可求解. 解：AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r23AB BC =+u u u r u u u r2()3AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r1233AB AC =+u u ur u u u r ， BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，211243333BC AB A A D AB AC C ⋅=--⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设AC x =，则21243233x x --+=-， 解得2x =. 故答案为：2. 点评：本题考查了平面向量加法的三角形法则，以及数量积的运算问题，是基础题.16．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(cos cos )b c a B C +=+，若ABC V的周长的最大值为4+，则a =_______.答案：4由已知结合正弦定理，余弦定理化简可求得90A =︒，然后结合锐角三角函数的定义将周长的最小值表示出来，结合已知即可求解a 的值. 解：因为(cos cos )b c a B C +=+，根据余弦定理可得22222222b c a c b a b c a ac ab++-+-=+， 整理得2222322322b c bc a b bc b a c b c c +=+-++-， 即()222233b c bc a b a c b c +=+-+，因式分解得()222()0b c b c a++-=，所以222b c a +=，即90BAC ∠=︒，ABC V 的周长sin cos a b c a a B a B ++=++[1)]4a B π=+(14a ≤+=+当4B π∠=时，取等号，则4a =.故答案为：4. 点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，213a =，121n n n a a a +=+（*n N ∈且2n ≥）. （Ⅰ）证明：1{}na 为等差数列； （Ⅱ）求数列3{}nna 的前n 项和n T .答案：（I ）见解析； （II ）1(1)33n n T n +=-+（I ）对题干中的递推公式进行变形转化，可得1112n n a a +-=，进一步计算可证得1{}na 为等差数列；（II ）根据（I ）的结论计算出数列3{}nna 的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n 项的和n T . 解： （Ⅰ）因为121nn n a a a +=+， 所以112n n n n a a a a ++=+，即112n n n n a a a a ++-=，等式两边同时除以1n n a a +，得1112(2)n nn a a +-=≥，且21112a a -=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得121n n a =-，3(21)3nn nn a =-， 则21333(21)3nn T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-①，21313(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⋅⋅⋅+-+-②，①-②得：()2123233(21)3n n n T n +-=++⋅⋅⋅+--()1191332(21)313n n n -+-=+⨯---12(1)36n n +=--，故1(1)33n n T n +=-+.点评：本题主要考查由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法求数列前n 项和，考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为直角梯形，ED ∥BC ，90EDC ∠=︒，22EB EC ==，2AB AE ED ===，F 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）若23AC =BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 答案：（I ）见解析； （II ）2211（Ⅰ）取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，证明四边形EGCD 为平行四边形，得EG ∥平面ACD ，再证明FG ∥平面ACD ，可得平面EFG ∥平面ACD ，从而得到EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）求解三角形证明BA ⊥AE ，取BE 的中点H ，连接AH ，HC ，证明AH ⊥平面BCDE ．以H 为坐标原点，以过点H 且平行于CD 的直线为x 轴，以过点H 且平行于BC 的直线为y轴，HA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量，再求出直线BC 的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值． 解：解：证明：（I ）作BC 中点G ，连接,FG EG ，则ED GC =， 又ED GC Q ∥，∴四边形EGCD 为平行四边形， 故EG CD P ，则EG ∥平面ACD ，又Q F 为AB 的中点，FG AC ∴P ，则FG ∥平面ACD ， 又FG EG G =I ，∴平面FEG ∥平面ACD ，EF ⊂Q 平面FEG ，EF ∴∥平面ACD（II ）ED BC Q ∥，90EDC ∠=︒，22EB EC ==2ED =，224BC ED DC ∴===，则BE EC ⊥，又2AB AE ==Q ，222BE AB AE ∴=+，则BA AE ⊥， 作BE 中点H ，连接AH ，HC ，2AH =10HC =，又23AC=Q，222AC AH HC∴=+，即AH HC⊥，又AH BE⊥，AH∴⊥平面BCDE.以H为坐标原点，以过点H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得(1,3,0)C，(1,3,0)D-，2)A，(1,1,0)B-，(2,0,0),(1,2)CD CA=-=--u u u r u u r，设()n x y z=⋅⋅r为平面ACD的一个法向量，则0,0,n CDn CA⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv即20,320,xx y z-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩可得20,23n⎛=⎝r，直线BC的方向向量(0,1,0)a=r，设BC与平面ACD所成角为α，则22sin|cos,|11||||n an an aα⋅=〈〉==⋅r rr rr r，综上，直线BC与平面ACD所成角的正弦值为2211.点评：本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值FL进行衡量，如下表所示.某花卉生产基地准备购进一套新型的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图.综合指标FL[10,19][20,39][40,59]质量等级三级二级一级（Ⅰ）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）；（Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查，其中来自新型生产线的样品个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元，产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：三级花二级花一级花销售率252389单件售价12元16元20元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产量3000件.因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？答案：（I）新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；（II）X 0 1 2 3P 52815281556156（III ）该生产基地需要引进该新型生产线.（I ）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；（II ）由题意得等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量X 的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列； （Ⅲ）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为1330P =，二等品的概率为21630P =，一等品的概率31130P =，30000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为300件，1600件，1100件，求出单件产品利润，得到该生产基地需要引进新型生产线． 解：（Ⅰ）由茎叶图可以看出，新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值；生产线的综合指标值相对于新型生产线来说更为集中.（II ）由題意可知，等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量X 的取值为0，1，2，3，3125333588515(0),(1)2828C C C P X P X C C ======， 2335313838151(2),(3)5656C C C P X P X C C ======， 则X 的分布列为（Ⅲ）由茎叶图可知，该新型生产线加工的产品为三等品的概率1313010P ==， 二等品的概率21630P =，一等品的概率31130P =， 故3000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为300件，1600件，1100件，三等品日销售总利润为233002300448055⨯⨯-⨯⨯=-（元）， 二等品日销售总利润为21160001600616002333⨯⨯-⨯⨯=（元）， 一等品日销售总利润为88800011001099⨯⨯=（元）， ∴16000880004803000 4.8839⎛⎫-++÷≈ ⎪⎝⎭（元）. 故产品的单件平均利润的估计值为4.88元，高于4元， 综上，该生产基地需要引进该新型生产线. 点评：本题考查平均值、离散程度的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、古典概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y kx =+与抛物线交于,A B 两点. （Ⅰ）若12k =，求以AB 为直径的圆被x 轴所截得的弦长； （Ⅱ）分别过点,A B 作抛物线C 的切线，两条切线交于点E ，求EAB V 面积的最小值. 答案：（I ）4； （II ）4设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线1y kx =+和抛物线的方程24x y =，运用韦达定理， （I ）运用弦长公式可得AB ，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；（II ）对24x y =求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E 的坐标，以及E到直线AB 的距离，弦长AB ，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值． 解：设()()1122,,,A x y B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩联立得：2440x kx --=， 由韦达定理得：124x x k +=，124x x =-，（I ）当12k =时，122x x +=， ∴123y y +=，||AB =5==，设AB 的中点为M ，则3(1,)2M ，∴以AB 为直径的圆被x 轴所截得的弦长为4m ==；（II ）对24x y =求导，得2x y '=，即12AE x k =，直线AE 的方程为()1112x y y x x -=-， 即211124x y x x =-， 同理，直线BE 的方程为222124x y x x =-， 设()00,E x y ，联立AE 与BE 的方程，解得1201202,21,4x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即(2,1)E k -，点E 到直线AB的距离d ==()2||41AB k ==+，所以ABE △的面积()()223211||4141422S AB d k k ==⨯+⨯=+≥，当且仅当0k =时取等号， 综上，ABE △面积的最小值为4. 点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化简运算能力，属于中档题． 21．已知函数()xf x e ax -=-.（Ⅰ）若12a =-，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若方程()0f x x +=没有实数解，求实数a 的取值范围.答案：（I ）()f x 在(,ln 2)-∞单调递减，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增； （II ）(1,1]e -（I ）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性； （II ）由(1)0xea x -+-=没有实数解，结合a 的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解． 解：（Ⅰ）当12a =-时，1()2xf x e x -=+，函数的定义域为R ， 所以12()22x xxe f x e e--'=-+=， 令()0f x '=，得ln 2x =， 又因为函数2xy e =-单调递增，所以在(,ln 2)-∞上，()0f x '<，()f x 单调递减； 在(ln 2,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增. （II ）方程()0f x x +=没有实数解， 即方程(1)0xea x -+-=没有实数解，设函数()(1)xg x ea x -=+-，(1)1()(1)x xxa e g x e a e ---'=-+-=， （i ）当1a =时，()0xg x e-=>，函数()g x 没有零点；（ii ）当1a >时，函数()g x 单调递减，111101ag e a -⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭，且(0)10g =>，函数()g x 有零点；（iii ）当1a <时，令(1)1()0xx a e g x e--'==，则ln(1)x a =--， 当(,ln(1))x a ∈-∞--时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(ln(1),)x a ∈--+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当ln(1)x a =--时，min ()(ln(1))(1)(1ln(1))g x g a a a =--=---， 令(1)(1ln(1))0a a --->，得11e a -<<， 即函数()g x 没有零点，综上所述，若函数()g x 没有零点， 即方程(1)0xea x -+-=没有实数解，故实数a 的取值范围为(1,1]e -. 点评：本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:2C ρ=与x 轴的正、负半轴分别交于,A B 两点.（Ⅰ）P 为1C 上的动点，求线段AP 中点的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与2C 分别交于点,M N ，且M 在N 的左侧，BMO V 的面积是NMO △面积的2倍，求tan α的值. 答案：（I ）2220x y x +-=；（II ）tan 5α=±（I ）直接利用中点坐标关系式，参数方程之间的转换的应用求出结果； （II ）利用面积的关系，三角函数关系式的恒等变换求出结果． 解：（I ）如图，设AP 的中点C ，OA 的中点D ，1||||12DC OP ==. 所以点C 的轨迹是以(1,0)D 为圆心，1为半径的圆，其轨迹2C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=.（II ）把2cos sin x t a y t a=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=， 整理得26cos 80t at -+=，(2,0)B -，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，126cos t t α+=①，128t t =②，因为2BMO NMO S S =△△，则2BM MN =u u u u r u u u u r ，即2132t t =③， 联立①②③得22252cos ,sin 2727αα==， 故22tan 25α=，所以2tan α=. 点评：本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知函数2()||f x x a x =--.（Ⅰ）若1a =，求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()2()21f x x<-至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.答案：（I ）{|10}x x -≤≤；（II ）9(,2)4-（I ）将1a =代入()f x 中，然后去绝对值解出不等式即可；（II ）由()2()21f x x <-，可知2||2x a x -<-，然后设()||g x x a =-，2()2h x x =-，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（Ⅰ）若1a =，则不等式()1f x ≥化为2|1|1x x --≥，当1x ≥时，211x x --≥，即220x x -+≤，无解；当1x <时，211x x --≥，即20x x +≤，解得10x -≤≤，综上，不等式()1f x ≥的解集为{|10}x x -≤≤.（Ⅱ）()2()21f x x <-，即22||2(1)x a xx --<-，化为2||2x a x -<-， 设()||g x x a =-，2()2h x x =-，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示，由22y x a y x=-⎧⎨=-⎩得220x x a +--=， 若相切，则14(2)0a =++=△，得94a =-， 数形结合知，当49a ≤-时，不等式无负数解， 则904a -<<， 当0a =时，满足()2()21f x x <-至少有一个负数解，当0a >时，()g x 的图象如折线②所示，此时当2a =时恰好无负数解，当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<，综上所述，实数a 的取值范围是9,24⎛⎫-⎪⎝⎭. 点评：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。
2019届百师联盟全国Ⅱ卷高三模拟考(一)数学(理)试题解析
2019届百师联盟全国Ⅱ卷高三模拟考（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +答案：B转化()(1)11i z i +-=-，为111iz i--=+，利用复数的除法化简，即得解 解：复数z 满足：()(1)11i z i +-=-所以()211112i i z i i ---===-+1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B 点评：本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()UB A =Ið（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，答案：D求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 解：由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =，()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D 点评：本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r上的投影是（ ）A ．BC ．25-D ．25答案：A先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 解：由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是5OA OB OB⋅==-u u u v u u u vu u u v .故选：A 点评：本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．37答案：B由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有2142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 解：由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有2142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：214237835C C P C ==故选：B 点评：本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 答案：C由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ．6．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+答案：A根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求. 解：由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 点评：本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 7．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120答案：C解：试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C.【考点】频率分布直方图及其应用．8．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19 B ．20C ．21D ．22答案：A试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++ 2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-（舍），故选A.【考点】等差数列及其性质.9．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．5 B ．35C ．79D ．23答案：C作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 解：由题意，02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-，作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥， 设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C 点评：本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2，D ．2[3]e -，答案：B由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 解： 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 点评：本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11．已知双曲线22221 x ya b-=（0a＞，0b>）的左、右焦点分别为E F，，以OF（O 为坐标原点）为直径的圆C交双曲线于A B、两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（）A．236+B．226+C．3226+D．326+答案：D连接CA AF，，可得32cEC=，在ACFV中，由余弦定理得AF，结合双曲线的定义，即得解.解：连接CA AF，，则2cOC CA CF===，OE c=，所以32cEC=，||2cFC=在Rt EACV中，2AE c=，1cos3ACE∠=，故1cos cos3ACF ACE∠=-∠=-在ACFV中，由余弦定理2222cosAF CA CF CA CF ACF=+-⋅⋅∠可得6AF.6223c c a-=，所以双曲线的离心率326632623cea+====--故选：D 点评：本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．已知函数()222ln 02x x e f x ex x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．eC ．2eD ．21e 答案：A画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 解：由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 点评：本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题13．已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，若()604P ζ>=．，则()0P ζ<=_________.答案：0.4因为随机变量ζ服从正态分布23N σ，,利用正态曲线的对称性，即得解. 解：因为随机变量ζ服从正态分布23N σ， 所以正态曲线关于3x =对称，所(0)(6)04P P ζζ<=>=．. 点评：本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 14．()()102x yx y --展开式中56x y 的系数为_________.（用数字做答）答案：210 转化()21010210()()()x y x y x x y y x y --=---，只有10()x x y -中含有46x y ，即得解. 解：()21010210())()x y x y x x y y x y --=---（只有10)x y -（中含有46x y ， 其中46x y 的系数为610210C =故答案为:210 点评：本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程21c xy c e=，（10c >）转化为线性回归方程，即两边取对数，令ln z y =，得到21ln z c x c =+.受其启发，可求得函数()39log xy x =（0x>）的值域是_________.答案：13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，转化()39log xy x =(>0x )为233log (log 1)1y x =+-,即得解.解： 由题意：3log 9x y x =（）(>0x )()()23333331log log log 9log 2log (log 1)113y x x x x x y ⇒=⋅=⋅+=+-≥-⇒≥.故答案为：13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 点评：本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知集合{}2301233|33A x x a a a a ⋅⋅=++⋅=+，其中{}012ka ∈，，，0123k =，，，.且30a ≠，则集合A 中所有元素的和为_________. 答案：2889先计算集合中最小的数为27，最大的数80为，可得{}272880A =⋯，，，，求和即得解. 解：当32101,0a a a a ====时，集合中最小数27=；当32102a a a a ====时，得到集合中最大的数4132()8013-⨯=-；{}8027272880i A i =⇒=⋯⇒=∑，，，(2780)5428892+⨯=故答案为：2889 点评：本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c 、、，22cos a c b C +=.（1）求B 的大小；（2）若3a =，且G 为ABC V 的重心，且BG =u u u v，求ABC V 的面积.答案：（1）23π；（2 （1）利用正弦定理，转化22cos a c b C +=为2sin sin 2sin cos B C C B C ++=，分析运算即得解；（2）由G 为ABC V 的重心，得到3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v，平方可得解c,由面积公式即得解. 解：（1）由22cos a c b C +=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos A C B +=C ，即()2sin sin 2sin cos B C C B C ++=∴2cos sin sin 0B C C += ∵sin 0C ≠∴1cos 2B =-， 又∵0B π∈， ∴23B π=（2）由于G 为ABC V 的重心故3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，∴22229323cos 193BG c c π=++⨯⨯= 解得5c =或2c =-舍∴ABC V 的面积为1sin 2ABC S ac B ==V . 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．已知三棱锥A BCD -中侧面ABD 与底面BCD 都是边长为2的等边三角形，且面ABD ⊥面BCD ，M N 、分别为线段AD AB 、的中点.P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值. 答案：（1）见解析；（2）10（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，，先证明BD AC ⊥，可证得BD NP ⊥，假设P 不为线段BC 的中点，可得BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=︒矛盾，即得证； （2）以O 为原点，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP ，平面MNP 的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解. 解：（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，.∴OA BD ⊥，OC BD ⊥， 又OA OC O =I∴ BD ⊥平面OAC ，AC ⊂平面OAC ，∴BD AC ⊥.又M N ，分别为ADAB ，中点， //MN BD ，又MN NP ⊥，∴BD NP ⊥.假设P 不为线段BC 的中点，则NP 与AC 是平面内ABC 内的相交直线，从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=︒矛盾，所以P 为线段BC 的中点. （2）以O 为原点，由条件面ABD ⊥面BCD ，∴AO OC ⊥，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则(003A ，，13022M ⎛- ⎝⎭，，，13022N ⎛ ⎝⎭，，，13022P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 13022AN ⎛=- ⎝⎭u u u v ，，， 330PN ⎛= ⎝⎭u u u v ，，()=100MN u u u u v ，，. 设平面ANP 的法向量为()m x y z =v，，所以1300220330x z m AN m PN y z ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+=⎪⎩u u u v v u u u v v取1y =，则1z =，)3311x m ==v，，.同法可求得平面MNP 的法向量为()011n =v，，∴()10cos 552m n m n m n ⋅===v v v vv v，， 由图知二面角A NP M --为锐二面角， 二面角A NP M --的余弦值为105. 点评：本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.19．某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？答案：（1）见解析；（2）[600800)，（1）X 的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；（2）由题意得300600n ≤≤，分[]500600n ∈，，及[)300500n ∈，，分别得到y 与n 的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解. 解：（1）由题意：X 的可能取值为300,500,6004141(300)905P X +=== 362(500)905P X ===27632(500)905P X ++===故：六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列为（2）由题意得300600n ≤≤.1°.当[]500600n ∈，时，利润7522550072500525003[202530072300515003[1020n n n t y n n n t n n n t -=≥⎧⎪=⨯+--=-∈⎨⎪⨯+⨯--=-∈⎩，℃．（），，）（），，） 此时利润的分布列为222(25003)(15003)13005515Ey n n n n ⇒=⨯+-⨯+-⨯=-[]700800E y ⇒∈（），.2.[)300500n ∈，时， 利润752207300230051500320n n n t y n n n t -=≥⎧=⎨⨯+⨯--=-<⎩，（）， 此时利润的分布列为412(15003)30055Ey n n n ⇒=⨯+-⨯=+[)600800E y ⇒∈（），.综上y 的数学期望的取值范围是[)600800，. 点评：本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．已知椭圆：2222:1x y C a b +=（0a b >>），四点()111P ，，()201P ，，312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B ，.P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，求APB ∠的正切的最大值.答案：（1）2212x y +=；（2）-（1）分析可得34P P ，必在椭圆C 上，()11，不在椭圆C 上，代入即得解；（2）设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，，可得1212k k =-.则AFB βα∠=-，2112tan 1k k APB k k -∠=+，利用均值不等式，即得解.解：（1）因为34P P ，关于轴对称， 所以34P P ，必在椭圆C 上，2222111112a b a b+=<+ ∴()11，不在椭圆C 上∴1b =，22a =，即2212x y +=. （2）设椭圆上的点00（，）P x y（0x ≠，设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，又220022x y +=∴1212k k ==-.AFB βα⇒∠=-，1tan k α=，2tan k β=（不妨设b a >）.故120,0k k ><tan tan APB βα∠=-21121k k k k -=+22122k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212[()()]2k k =--+-≤-当且仅当2212k k -=-，即22k =- 点评：本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.21．已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：3213212a e ae x x -+++<-<.答案：（1）10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）见解析（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；（2）构造函数ln g x x x x =--（），11ln 1h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫⎛⎫->∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，分析直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标，f x （）在3x e -=，1x =处的切线即得解.解：（1）设函数()ln f x x x =，()'1ln f x x =+，令()1'0,f x x e >>，令()1'0,0f x x e<<< 故()f x 在1(0,)e单调递减，在1(,)e+∞单调递增， ∴()11min f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭， ∵0x +→时()0f x →；()10f =；x →+∞时()f x →+∞10a e ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭，.（2）①过点()00，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线为y x =-， 则令()ln g x x x x =--，10x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()2ln g x x '=--()2max ()g x g e -⇒=，min 1()min 00g x g e ⎧⎫⎛⎫>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，1ln 0x x x x e ⎛⎫⎛⎫⇒->∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.②过点()10，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线为()111y x e =--， 则()()111ln 11h x x x x x e e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，， ()1ln 101h x x h x e =--'>⇒-（）在11e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 ()()11101ln 11h x h x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒>=⇒->∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. ③设直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标依次为3x a =-，411x a e =-+（）， 由图知21431x x x x ae ->-=+.④f x （）在3x e -=，1x =处的切线分别为32y x e -=--，1y x =-，同理可以证得11ln 1x x x x e ⎛⎫⎛⎫-<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，312ln 0,x e x x x e -⎛⎫⎛⎫--<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记直线y a =与两切线和h x （）从左到右交点的横坐标依次为5126x x x x ，，，，33216532122a e a e x x x x a ----+--<-=+-=（）. 点评：本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的参数方程是12x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，常数5a <），曲线2C 的极坐标方程是2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 均相切且相切于同一点P ，求直线l 的极坐标方程. 答案：（1）()()22125x y a -+-=-，2sin4sin ρθθρ+=，1C 表示以()12，为圆心2C 为抛物线；（2）sin cos 10ρθρθ-+= （1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程，利用sin x ρθ=，cos y ρθ=即得2C 的直角坐标方程；（2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解. 解：（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程为：()221(2)5x y a -+-=-.2C 的极坐标方程2sin 4sin ρθθρ+=. 222sin 4sin ρθθρ⇒+=∵sin x ρθ=，cos y ρθ=24x y ⇒=.当5a <时1C 表示以()12，为半径的圆；2C 为抛物线. （2）设切点为2004x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，24x y =由于'2xy =，则切线斜率为02x ， 由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，故有200124121x x x -⨯=--()022,1x P ⇒=⇒，直线l 的直角坐标方程为1y x =-，所以l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. 点评：本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知不等式2112x x --+<的解集为{}|x a x b <<. （1）求实数a b ，的值；（2）已知x y z >>存在实数k 使得()()324a b kx y y z x z-+≥---恒成立，求实数k 的最大值.答案：（1）243a b =-=，；（2）4（1）分类讨论，求解x 的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解； （2）转化原不等式为：()11k x y y z x y y z ⎛⎫≤-+-+ ⎪--⎝⎭，利用均值不等式即得解. 解：（1）当1x <-时不等式可化为()()2112x x x --++<⇒∈∅当112x ≤≤-时，不等式可化为()()21211232x x x ---+<⇒-<≤；当12x >时，不等式可化为()1211242x x x --+<⇒<<；综上不等式的解集为224433a b ⎛⎫-⇒=-= ⎪⎝⎭，，. （2）由（1）有23a =-，4b =，324a b k x y y z x z -+≥---（）（）21 11k x y y z x z⇔+≥---，x y z ∀>> 112x y y z k x y y z x y y z y z x y ⎛⎫--⇔≤-+-+=++ ⎪----⎝⎭（）， 即2minx y y z k y z x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤++-- 而24x y y z y z x y--++≥-- 当且仅当：x y y z y z x y --=--，即x y y z -=-，即2x z y +=时等号成立 ∴4k ≤，综上实数k 最大值为4.点评：本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。
2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)
2019届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1BCD ．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 3．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】命题p ：函数()xxf x e e-=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()xxf x e e-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log ,sin(1)5a b c -===-，则（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 解：1030221-<<=Q ，14441log log 5log 415=>=， (0,1),1,sin(1)0a b c ∴∈>=-<，即b a c >>， 故选：D 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==. 故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求． 【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛===+ ⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解． 【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20- 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 2【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的，由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D 【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +=（1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +=，cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++=，sin (sin )0A B B ∴=，sin 0A ≠Q ，tan 3B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 5343cos 23ABC S AB πθ∆∴==- 142sin 4sin 2AOBS θθ∆=⋅⋅=Q ，()534sin 3cos 538sin()3OACB S πθθθ∴=+-=+-四边形，所以当56πθ=时有最大值538+【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望()E X【答案】（1）25（2）（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=；第2次消费利润600.903024⨯-=；第3次消费利润600.853021⨯-=；第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X=3311111187(0)554410102020200 P X==⨯+⨯+⨯+⨯= 33111119()2()254410102025P X==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X==⨯+⨯=9313()2252050P X==⨯⨯=故分布列为：期望为:87392993249 ()03200225200250200 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（2）16【解析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ最小值为16【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）61k ≥61k ≤- 【解析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，1a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++， 由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得12k ≥+或12k ≤--【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -< 【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x 在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x 在()1上单调递减；则()g x 在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+-124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】解：（1）曲线C ：22t tt t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，23305m ∴--=设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|2|f x x a =-（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得； （2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得； 【详解】解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥，当12x ≤-时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤， 要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
2019年高三11月联考数学(理科)答案
故 SABC 2SAMC AM MC sin AMC
7 1
21 7
3
SABC 2SABM AM BM sin BAM
7 1
21 7
3
解法二：在△ ABM 中，由正弦定理，得
AM BM sin B sin BAM
12 分
1 2
。遥控车移到第
n（
2
n
19
）格的情况是下列两种，而且
也只有两种。
①遥控车先到第
n
2
格，又掷出反面，其概率为
1 2
Pn2
②遥控车先到第
n
1
格，又掷出正面，其概率为
1 2
Pn1
所以
Pn
1 2
Pn2
1 2
Pn1 ， Pn
Pn1
1 2
( Pn 1
Pn2 )
当1
2
2
2
椭圆C的方程为 x2 y2 1 2
4 分
（2）设直线 PQ 的方程为 y kx 2 ，P，Q 的坐标分别为 P(x1, y1), Q(x2 , y2 )
则直线 BP 的方程为
y
y1 1 x 1，令 x1
a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2 a n1 2n a2na2n1
(3)(7n
n(n 1) 3) 2
9n2 2
33n 2
10 分
18.（1）由 cos BAM 5 7 得 sin BAM 21
BM AM sin BAM 1 sin B