2018九年级数学下册27.1.2.2垂径定理习题课件新版华东师大版
华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长圆中处理问题的思路①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．➢ 精讲精练 一选择题：1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MD2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6第2题图第3题图3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°二填空题1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．A BC DRO第/2题图 第3题图3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB=，则∠BCD =_______．ADB O E C5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BD C OA8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．EACD B O9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOADOEBC A第/9题图 第10题图10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________三、解答题⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O求AB，CD之间的距离．2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长PFE C B ODA4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长。
最新华师版九年级数学下27.1.2垂径定理ppt公开课优质教学课件
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直
于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
⌒与⌒ 比较AP与PB，AC CB，你能发现什么结论？
O · A
P D
B
线段: AP=BP
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP ⌒ 和BC ⌒,AD ⌒ 与BD ⌒重合． 重合，AC
O ·
B D
二 垂径定理及其推论的计算 一
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm. 解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
A
E · O
B
∴ AE OA2 OE 2
10 6 8 cm.
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ AB=2AE=16cm.
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长. 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， E
1 1 ∴ AD AB 8 4 (cm) 2 2 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股
定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. A
O ·
D C B
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱， 设AB所在圆的圆心为O，半径
a 2
O · A C C h d D O B B
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm .
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
2018-2019学年九年级数学下册第27章圆27-1圆的认识27-1-2-2垂径定理同步练习新版华东师大版
27.1.2 圆的对称性第2课时 垂径定理知|识|目|标1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．目标一 理解圆的轴对称性例1 教材补充例题下列说法正确的是()A ．每一条直径都是圆的对称轴B ．圆的对称轴是唯一的C ．圆的对称轴一定经过圆心D ．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算例2 教材补充例题如图27－1－9，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是()图27－1－9A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．例3 教材补充例题如图27－1－10，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，垂足为H ，连结BC ，BD .(1)求证：BC ＝BD ；(2)已知CD ＝6，OH ＝2，求⊙O 的半径．图27－1－10【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．请你解决这个问题．图27－1－11【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：1．四变量：设弦长为a ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h ，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．2．两关系：(1)(a 2)2＋d 2＝r 2；(2)h ＋d ＝r .图27－1－12知识点一 圆的轴对称性圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴． 知识点二 垂径定理及其推论垂直于弦的直径__________，并且____________．推论：平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图27－1－13，连结OC ，则OC ＝5.∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE ＝12CD ＝4.在Rt △OCE 中， OE ＝OC2－CE2＝3，∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8. 图27－1－13以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1[解析] C 因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A 不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B 不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D 不正确，C 正确．故选C . 例2[解析] D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，故选项A 成立；由垂径定理可得CB ︵＝DB ︵，故选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，故选项C 成立；而OM 与MB 不一定相等，故选项D 不成立．故选D .例3 解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD.(2)如图，连结OC.∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，CD ＝6，∴CH ＝3，∴OC ＝OH2＋CH2＝22＋32＝13，故⊙O 的半径为13.例4[解析] 连结OA ，构造Rt △AOE ，利用勾股定理及垂径定理解答．解：连结OA.∵CD ⊥AB 于点E ，CD 为⊙O 的直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x 寸，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13.∴AO ＝13寸，∴CD ＝2AO ＝26寸．答：直径CD 的长为26寸．【总结反思】[小结] 知识点一 轴对称图形 对称轴 无数知识点二平分这条弦平分这条弦所对的两条弧垂直于这条弦平分这条弦所对的两条弧[反思]不完整．补充如下：如图，当垂足E在线段OB上时，此时，BE＝OB－OE＝5－3＝2.∴BE的长为8或2.。
九年级数学下册27.1圆的认识《垂径定理》典型例题素材华东师大版(new)
答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等,也可证弧所对的圆心角相等。
证明:连结OC、OD
∵M、N分别是OA、OB的中点
∵OA＝OB，∴OM＝ON
又CM⊥AB,DN⊥AB，OC＝OD
∴Rt△OMC≌Rt△OND
∴∠AOC＝∠BOD
例3。 在⊙O中，弦AB＝12cm，点OAB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E
∵AB＝12
由垂径定理知：
∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M
∵点P在AB上，PA＝4cm
即⊙O的半径为7cm
例6。 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：如图,设圆拱所在圆的圆心为O，半径为r，CD为拱高
分析:求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F
∵∠C＝90°，AC＝3,BC＝4
华东师大版九年级下册数学27.1.2第2课时垂径定理
灿若寒星
拓展提升： 如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点， 那么OP长的取值范围 3cm≤OP≤5cm .
O
A
PB
灿若寒星
课堂小结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
·O
个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP
重合，A⌒C和B⌒C,A⌒D与B⌒D重合．
AP
B
D
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股
·O
定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5，
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
灿若寒星
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
灿若寒星
解：如图，用AB表示主桥拱，
设AB所在圆的圆心为O，半径
为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
A 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高.
C
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17．(12分)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD.垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径 AB的长．
1 1 解：连接 OD，∵P 是 OB 的中点，∴OP＝ OB＝ OD， 2 2 1 1 ∵AB⊥CD，∴∠OPD＝90°，DP＝ CD＝ ×6＝3(cm)， 2 2 1 OD 2 OP 1 在 Rt△ODP 中，sin∠ODP＝ ＝ ＝ ，∴∠ODP＝30° OD OD 2 DP ∴OD＝ ＝2 3(cm)，∴AB＝2OD＝4 3(cm) cos 30°
第7题图
第8题图
9． (6分)H5N1 亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病 ， 为防止禽流感 蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千 米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄 ，道路 实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点， 在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？
第12题图
第13题图
14．如图所示，在半径为 6 cm 的⊙O 中，弦 AB⊥CD，垂足为 E，若 CE＝ห้องสมุดไป่ตู้ cm，DE＝7 cm，则 AB＝__8 2__cm.
15．如图，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0，－4)，N(0，－ k 10)，函数 y＝x(x<0)的图象过点 P，则 k＝__28__．
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OC， OA，易求 OE＝ 5，AE＝2 5，则 AB＝2AE＝4 5，∴AC＋DB＝AB－CD ＝4 5－4＝4( 5－1)(千米)
一、选择题(每小题 4 分，共 8 分) 10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列结论 一定正确的个数是( A ) ︵ ︵ ①CE＝DE；②BE＝OE；③CB＝BD；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC ＝AD. A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
三、解答题(共36分) 16．(10分)如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．
解：连接 OD，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，则 CM＝DM.∵直径 AB＝16 cm， P 为 OB 的中点，∴OP＝4 cm.在 Rt△OPM 中，∵∠APD＝30°， 1 ∴OM＝ OP＝2 cm.在 Rt△DOM 中， 2 DM＝ DO2－OM2＝ 82－22＝2 15(cm)， ∴CD＝2DM＝4 15 cm
第2题图
第3题图
5 ．(4 分 ) 如图， AB 是⊙O 的弦 ，AB 长为8 ， P 是⊙O上一个动点 ( 不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD 的长为__4__．
6．(6分)如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长． ︵ ︵ 1 解：(1)不同类型的正确结论为 BE＝ BC，BD＝CD， 2
【综合运用】 18．(14分)(2015· 安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上 ，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)PQ＝ 6
3 3 (2)PQ 长的最大值为 2
垂径定理及其推论
1．(4 分)(2015· 广元)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则 下列结论错误的是( B ) A．CE＝DE ︵ ︵ C.BC＝BD B．AE＝OE D．△OCE≌△ODE
2．(4分)(2015· 遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm ，OC⊥AB于点C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一 点，则线段OM的长可能是( C ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
∠BED＝90°，BD＝CD，△BOD 是等腰三角形， △BDE≌△CDE，OB2＝OE2＋BE2 等 (2)∵AB 是 ⊙O 的直径，∴OA＝OB，∵OD⊥BC 于 E 点， 1 ∴BE＝CE，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE＝ AC 2 1 ＝ ×6＝3，在 Rt△OBE 中，由勾股定理，得 2 OB＝ OE2＋BE2＝ 32＋42＝5，∴OD＝OB＝5， ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2
11．如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂 足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D ) A．4 2 C．2 5 B．8 2 D．4 5
二、填空题(每小题4分，共16分) 12．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点 ，MN＝10，PR＝6，则MP＝ __2__． 13 ．如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的⊙O 交于点 G ， B ， F ， E ， GB ＝ 8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝__6__cm.
第一节 圆的认识 第 2课 圆的对称性
第2课时 垂径定理
1 ． 垂径定理：垂直于弦的直径 __ 平分 __ 这条弦 ， 并且 __ 平分 __弦所对的两条弧． 2 ． 推论：①__ 平分 __ 弦的直径垂直于这条弦 ， 并且 __ 平分 __ 这条弦所对的两条弧；②__平分__弧的直径垂直平分这条弧所对 的弦．
垂径定理的实际应用
7．(4分)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16 ，则截面圆心O到水面的距离OC是( C ) A．4 B．5 C．6 D．8 8．(4分)为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所 示(单位：cm)，则该铁球的直径为__10 cm__．