3-2-5 利用向量知识求距离
立体几何中的向量方法-距离的向量计算方法
向量的叉乘
总结词
叉乘是向量的另一种重要运算，表示垂直于原向量的新向量。
详细描述
叉乘是将两个向量a和b相乘，得到一个新的向量c。叉乘的定义为c=a×b，其 中c的大小为|a||b|sinθ，方向垂直于原平面，右手定则确定其方向。叉乘的结果 是一个向量，满足反交换律，即a×b=-b×a。
03
距离的向量计算方法
详细描述
数乘是将一个数k与一个向量a相乘，得到一个新的向量ka。数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
向量的点乘
总结词
点乘是向量的另一种重要运算，表示两个向量的夹角和大小 关系。
详细描述
点乘是将两个向量a和b相乘，得到一个标量。点乘的定义为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示 向量a和b的夹角。点乘的结果是一个标量，满足交换律和分配 律。
路径。
空间定位问题
要点一
总结词
利用向量的线性组合和向量模长的性质，确定空间中点的 位置。
要点二
详细描述
空间定位问题需要确定空间中某点的位置。通过向量的线 性组合和向量模长的性质，可以构建方程组，求解出点的 坐标。这种方法在解决空间几何问题时非常有效。
空间关系判断问题
总结词
利用向量的数量积、向量积和混合积等性质，判断点、 线、面之间的位置关系。
利用向量计算点到直线的最短距离
• 点到直线的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点投影到直线上，然后求投影点到直线上任一点的距离。
利用向Байду номын сангаас计算点到平面的最短距离
• 点到平面的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点 投影到平面上，然后求投影点到平面上任一点的距离。
【精编】人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-2-5利用向量知识求距离课件-精心整理
的距离
d＝|A|Bn·|n|＝
2＝ 6
6 3.
探索延拓创新 命题方向 线面距
[例 4] 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，点 E、 F 分别在 A1B、B1D1 上，且 A1E＝13A1B，B1F＝13B1D1.
(1)求证：EF∥平面 ABC1D1；
(2)求 EF 与平面 ABC1D1 的距离 d.
→ 所以 d＝|n|·nE|B|＝21111即为所求．
[点评] 求点面距时，(一)可由点 P 向平面作垂线，找出 垂足 P′，转化为求线段长 PP′；(二)可用等积法求解；(三) 设平面 α 的法向量为 n，平面 α 内已知点 A，则点 P 到平面 α
→ 的距离 d＝|P|An·|n|；(四)可转化为线面距，利用过已知点与已知 平面平行的直线上任一点到平面距离都相等求解．
[解析] 因为AC→′＝A→B＋A→D＋AA→′，所以 |AC→′|2＝(A→B＋A→D＋AA→′)·(A→B＋A→D＋AA→′) ＝|A→B|2＋|A→D|2＋|AA→′|2＋2(A→B·A→D＋A→B·AA→′＋A→D·AA→′) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. 因此|AC→′|＝ 85.
(1)点 D 到平面 PEF 的距离； (2)直线 AC 到平面 PEF 的距离．
[解析] 如下图，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1)， A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，12，0，F12，1，0.
设 DH⊥平面 PEF，垂足为 H，则D→H＝xD→E＋yD→F＋zD→P(x ＋y＋z＝1)＝x＋12y，12x＋y，z，
[解析] 以 C 为原点，直线 CD、CB、CG 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，则 B(0,4,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)，所以G→E＝(2,4，－2)，G→F＝(4,2，－2)．设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的一个法向量，则 n·G→E＝2x＋4y－2z ＝0，n·G→F＝4x＋2y－2z＝0.令 x＝1，得 y＝1，z＝3，所以 n ＝(1,1,3)，而E→B＝(－2,0,0)，
点到直线的距离公式向量方法
点到直线的距离公式向量方法在几何学中，点到直线的距离是指衡量点P到直线L的距离。
在特定情况下，特定的定义及公式可以用向量的方法来计算点到直线的距离。
首先，需要考虑一个三维空间，其中有一个点P（x1，y1，z1）和一条直线L：L： (x-x0) / a = (y-y0) / b = (z-z0) / c其中，x0，y0，z0是直线L上的一点，a，b，c是三个不全为0的实数，表示直线L的方向向量。
向量方法来计算点到直线的距离可以分为两步：第一步：求出点P到直线L上任意一点的距离。
假设点P到直线L上任意一点Q（x2，y2，z2）的距离为d，那么点P和点Q之间的向量OP＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k，d的距离计算公式为：|OP|=√（x2－x1）2+（y2－y1）2+（z2－z1）2第二步：用向量的方法求出点P到直线L的距离，并且计算出点P在直线L上的最近点。
根据直线L的方程（x-x0）/a =y-y0）/b =z-z0）/c 可知，任意一点Q（x2，y2，z2）在直线L上，必有： x2 = x0 + ta； y2 = y0 + tb； z2 = z0 + tc；中t为任意实数。
同时又有OP＝（x2 - x1）i +y2 - y1）j +z2 - z1）k根据上面式子，可求得t的值：t =[-a(x1-x0)-b(y1-y0)-c(z1-z0)]/[a2 + b2 + c2]所以点P到直线L上最近点Q（x2，y2，z2）的坐标可以表示为： x2 = x0 + ta； y2 = y0 + tb； z2 = z0 + tc将t的值代入，得到Q（x2，y2，z2）的坐标：x2 = x0 - [a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0)]/[a2 + b2 + c2]*a y2 = y0 - [a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0)]/[a2 + b2 + c2]*b z2 = z0 - [a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0)]/[a2 + b2 + c2]*c 最后，由于点P到直线L的距离等于点P到最近点Q的距离，因此可以求得点P到直线L的距离d，其计算公式为：d = |OP|/√(a2+b2+c2)综上所述，可以看出，用向量的方法可以有效地计算点到直线的距离。
3-2-5 利用向量知识求距离
能力拓展提升一、选择题9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AMMC 1＝12，N 为BB 1的中点，则|MN |的长为( )A.216aB.66a C.156a D.153a[答案] A[解析] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a＝0，由条件知，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AB 1→)－13AC 1→＝12(AB →＋AB →＋AA 1→)－13(AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(2a －c )－13(－c ＋a ＋b )＝23a －13b －16c ， |MN →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫23a －13b －16c 2＝19(2a －b －12c )2＝19(4|a |2＋|b |2＋14|c |2－4a ·b －2a ·c ＋b ·c ) ＝21a 236，∴|MN →|＝216a .10．二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )A.2B.3 C ．2 D. 5 [答案] C[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于120°， ∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD →|＝2.二、填空题11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．[答案] 217[解析] 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C 1B 1→＝(0,1,0)，C 1B →＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎨⎧C 1A →·n ＝0，C 1B →·n ＝0.解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪C 1B 1→·n |n |＝113＋1＋1＝217.解法二：VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1， VA —BB 1C 1＝13S △BB 1C 1×32AB ＝312， 又∵VB 1—ABC 1＝13S △ABC 1·h ， S △ABC 1＝12AB ·172＝174， ∴h ＝217.12．在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．[答案]2[解析] 由已知AB ，AD ，AP 两两垂直．∴以A 为坐标原点AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，PB →＝(2,0，－2)．BC →＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －2c ＝0，b ＝0. ∴n ＝(1,0,1)，又AB →＝(2,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝ 2.三、解答题13．如图，已知直四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 为正方形，AA ′＝2AB ＝2，E 为棱CC ′的中点．(1)求证：A ′E ⊥平面BDE ；(2)设F 为AD 中点，G 为棱BB ′上一点，且BG ＝14BB ′，求证：FG ∥平面BDE .[证明](1)以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ′(1,0,2)，E (0,1,1)，F (12，0,0)，G (1,1，12)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，于是DB →＝(1,1,0)，DE →＝(0,1,1)，A ′E →＝(－1,1，－1)． ∵A ′E →·DB →＝－1＋1＋0＝0，∴A ′E ⊥DB . 又∵A ′E →·DE →＝0＋1－1＝0，∴A ′E ⊥DE . ∵BD ∩DE ＝D ，∴A ′E ⊥平面BDE .(2)由(1)可知A ′E →＝(－1,1，－1)为平面BDE 的一个法向量，FG →＝(12，1，12)，∵FG →·A ′E →＝－1×12＋1×1＋(－1)×12＝0， ∴FG →⊥A ′E →.又∵FG ⊄平面BDE ，∴FG ∥平面BDE .[点评] 本题中第一问证明了A ′E ⊥平面BDE ，故A ′E →为平面BDE 的法向量，因此第二问要证明FG ∥平面BDE ，只需验证FG →·A ′E →＝0即可．14．如图所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离．[解析] 设AP →、AE →、EC →的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，选取{e 1，e 2，e 3}作为空间向量的一组基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3， PF →＝P A →＋AF →＝P A →＋12AC →＝P A →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3，设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎨⎧n·AE →＝0，n ·PF →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0，(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧26y |e 2|2＝0，－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0，⇒⎩⎨⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝|AP →·n ||n|＝|2e 1·(22e 1＋e 3)||22e 1|2＋|e 3|2＝233.15．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.[解析] 以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，E (1，x,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．(1)因为DA 1→·D 1E →＝(1,0,1)·(1，x ，－1)＝0，所以DA 1→⊥D 1E →.∴D 1E ⊥A 1D .(2)设平面D 1EC 的法向量n ＝(a ，b ，c )，∴CE →＝(1，x －2,0)，D 1C →＝(0,2，－1)，DD 1→＝(0,0,1)由⎩⎨⎧n ·D 1C →＝0，n ·CE →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝0，a ＋b (x －2)＝0. 令b ＝1，∴c ＝2，a ＝2－x ，∴n ＝(2－x,1,2) 依题意cos π4＝|n ·DD 1→||n |·|DD 1→|＝22⇒2(x －2)2＋5＝22，∴x 1＝2＋3(不合题意，舍去)，x 2＝2－3， ∴AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.。
空间向量法求点到直线的距离
空间向量法求点到直线的距离在数学中，空间向量法被广泛应用于计算点到直线的距离。
这种方法基于向量运算和空间几何原理，能够精确计算点与直线之间的距离，并且具有良好的几何直观性。
在本文中，我们将探讨空间向量法的基本原理和应用，以及它在几何分析和实际问题中的重要性。
1. 空间向量法的基本原理在空间中，点和直线都可以用向量来表示。
令P(x1, y1, z1)为空间中的一个点，L为由直线上一点A(x0, y0, z0)和方向向量V(a, b, c)确定的直线。
为了计算点P到直线L的距离，我们首先需要找到直线L上距离P最近的一点Q。
根据向量的性质，向量PQ与直线L的方向向量V垂直。
我们可以通过向量的内积来确定这个垂直关系。
具体而言，向量PQ与方向向量V的内积为零，即(PQ)·V = 0。
展开计算后，我们得到以下方程：(x1 - x0) * a + (y1 - y0) * b + (z1 - z0) * c = 0这代表了点P到直线L的距离，我们可以将其作为基本公式用来计算点到直线的距离。
2. 空间向量法的应用空间向量法在几何分析中有着广泛的应用。
通过使用向量和内积的概念，可以精确计算点到直线的距离，从而解决许多与几何相关的问题。
在三维空间中，我们经常需要计算一条直线上某个点到另一条直线的最短距离。
利用空间向量法，我们可以轻松地解决这类问题。
空间向量法还在实际问题中发挥着重要作用。
在机器学习中，我们常常需要评估数据点与回归直线之间的距离，以确定模型的准确性。
空间向量法为我们提供了一种有效的计算方法，使得我们能够快速而准确地进行数据分析和模型评估。
3. 个人观点和理解对于我个人而言，空间向量法是一种非常强大和实用的数学方法。
它不仅可以解决几何分析中的许多问题，还可以应用于实际情境中。
通过利用向量运算和内积的思想，我们能够精确计算点到直线的距离，从而更好地理解几何关系和模型性能。
在学习和研究空间向量法时，我发现了它的简洁性和灵活性。
高中数学3-2-5距离课件新人教B版选修
• 4．两个平行平面的距离 • (1)两个平面的公垂线：和两个平行平面同时________的 直线，叫做这两个平面的公垂线． • (2)两个平面的公垂线：________夹在平行平面间的部分， 叫做两个平行平面的公垂线段． • (3)两个平行平面的距离：两个平行平面的________的长 度，叫做两个平行平面的距离． • [答案] 1.最小距离 • 2．它在一个平面内正射影 • 3．任一点 • 4．垂直 公垂线 公垂线段
• 4．点到平面的距离的求法 • (1)几何法 • ①由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角 三角形问题，进行求解． • ②由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为 体积问题，进而用等积法求解． • (2)向量法 • 如图， BO⊥平面 α ，垂足为 O ，则点 B 到平面 α 的距离就 是线段BO的长度．
[解析] (1)如图分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、
y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， C(0,2,0) ， D1(0,0,3)， C1(0,2,3)， B1(2,2,3)， B(2,2,0)， E(1,2,0)， F(1,2,3)， → → D 1F＝(1,2,0 到截面 A1BD 的距离为 a. 3 解法二：如右图所示，建立空间直角坐标系 D1－xyz，则 A1(a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)． 设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则 → ＝(x，y，z)· DB (a，a，0)＝0， n· → A (0，a，a)＝0， n· 1B＝(x，y，z)·
[说明]
点与面的距离是点面距、线面距、面面距的
→· |AB n| 基础，也是本节的重点内容，应熟练掌握公式 d＝ |n| . 同时等积法也是一种比较简捷的方法．
点到直线的距离公式向量方法
点到直线的距离公式向量方法
设直线L的标准方程为Ax+By+C=0，其中A、B和C是实数且
A^2+B^2≠0。
我们设点P(x0,y0)为直线外的一点。
首先，我们可以找到直线上的一点Q(x1,y1)。
设Q在直线L上，则满足直线方程，即Ax1+By1+C=0。
根据向量的定义，我们可以得到点P到点Q的向量v为：
v=PQ=(x1-x0)i+(y1-y0)j
其中，i和j分别是x和y轴的单位向量。
另一方面，直线L的法向量n可以表示为：
n=Ai+Bj
则点P到直线L的距离d可以表示为点P到直线上任意一点Q的向量v在直线的法向量n上的投影的长度。
根据向量的投影公式，向量v在n上的投影向量p可以表示为：
p=(v·n/，n，^2)n
其中，n，表示向量n的模（长度），v·n表示向量v和n的点积（内积）。
由于n是单位向量，所以，n，=1，p=(v·n)n。
根据向量的数量积的性质可以得到，v·n=(x1-x0)A+(y1-y0)B。
因此，点P到直线L的距离d可以表示为：
d=，p，=，(v·n)n，=，(x1-x0)A+(y1-y0)B
这就是点到直线的距离公式的向量方法。
需要注意的是，如果直线的标准方程不满足A^2+B^2≠0的条件，那么直线退化成一个点，此时距离为0。
此外，如果点P在直线上，则d为0，因为此时点P到直线的距离为零。
总结起来，点到直线的距离公式的向量方法可以通过找到直线上一点和点P进行向量计算，并利用向量的投影公式来求解点P到直线的距离。
空间点到直线的距离公式向量法
空间点到直线的距离公式向量法
三维空间点到直线的距离公式向量法:
1、定义：
三维空间点到直线的距离公式向量法是根据给定的任意一点以及一条
直线，来计算该点到直线的距离。
2、直线和点的表示：
一般而言，直线可以用一个向量方程（A，B，C）或点斜式（点X，Y，Z，斜率K）表示；而点可以用坐标（X，Y，Z）表示。
3、公式：
距离公式可以写作：D＝|KX-Y+Z-K|/根号（K2+1）；其中K为直线斜率，X，Y，Z为给定点的坐标。
4、具体推导：
首先，设点A（X1，Y1，Z1）在向量方程Ax+By+Cz-D=0的垂直平面
上的一点，连接点A和点P（X，Y，Z），做垂线L，垂足为点B
（X2，Y2，Z2）。
由力学平衡原理可以得到：
△=∑(L＊F)=0；
△元中的L为向量AB的方向，F为力学力，L＊F指向量AB和力学
力F的叉乘。
于是得到：<AX1-AX2,BY1-BY2,CZ1-CZ2>*<F>=0；
由此可得表达式：KX-Y+Z-K=0；其中K= AX1-AX2/BY1-BY2=CZ1-CZ2，X=X1，Y=Y1，Z=Z2；则有距离公式：D＝|KX-Y+Z-K|/根号（K2+1）；
5、实际应用：
本公式可以用于空间两点距离的计算，它给出了该点都能平面上最近的点，也就是该点到该平面的距离，只要将对应位置的坐标值放入公式就可以直接求出点到直线的距离。
空间向量距离公式
空间向量距离公式空间向量是在三维空间中表示的向量。
计算空间向量之间的距离有多种方法。
本文将介绍空间向量的距离公式，并对各种情况进行详细讨论。
首先，我们来看一下二维空间向量的距离公式。
假设有两个向量A和B，其分别表示为A=(x1,y1)和B=(x2,y2)。
那么，这两个向量的距离可以使用欧几里得距离公式来计算，即d(A,B)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
这个公式的意思是，将两个向量表示为一个点的坐标，然后计算这两个点之间的距离。
这个公式可以很容易地推广到三维空间中。
在三维空间中，我们可以使用类似的方法计算空间向量之间的距离。
假设有两个向量A和B，其分别表示为A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)。
那么，这两个向量的距离可以用以下公式计算：d(A,B)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
这个公式与二维情况下的距离公式非常相似，只是多了一个维度。
需要注意的是，以上公式只适用于直角坐标系，即以原点为中心的坐标系。
如果使用其他类型的坐标系，比如极坐标系或球坐标系，那么计算空间向量之间的距离需要使用不同的公式。
在这些坐标系中，向量的表示形式也会有所不同。
此外，在一些情况下，可能需要考虑向量的长度差异。
如果向量的长度非常不同，那么它们的方向可能更重要。
在这种情况下，可以使用余弦相似性来计算向量之间的距离。
余弦相似性度量了两个向量在方向上的相似程度，而不仅仅是它们之间的距离。
余弦相似性可以用以下公式计算：cos θ = (A·B) / (，A，，B，)，其中，A·B表示向量A和B的点积，A，和，B，表示向量A和B的长度。
当两个向量夹角接近0度时，它们的余弦相似性接近1，表示它们的方向非常相似。
当两个向量夹角接近90度时，它们的余弦相似性接近0，表示它们的方向非常不相似。
最后，需要注意的是空间向量距离公式的应用范围。
这些公式可以用于计算任意两个向量之间的距离，不论它们表示的是位置、速度、加速度还是其他物理量。
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
教学设计2：3.2.5距离（选学）
（2）解：由（1）知，∠ADB是二面角α—PQ—β的平面角，∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，
∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，则BE即为B到平面α的距离.
VA—MBD=VB—AMD.易求d= a.
【答案】D
4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.
【解析】CD= .
【答案】5或
5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.
闯关训练
夯实基础
1.平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离是（）
A. B. C. D.
【解析】cos∠POM=cos∠POH·cos∠MOH，
∴ = cos∠POH.
∴cos∠POH= .
∴sin∠POH= .
∴PH=PO·sin∠POH=3× = .
【答案】A
2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是（）
A. aB. aC. aD. a
【解析】连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH= a.
【答案】D
3.已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________.
2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离(选学)课件新人教B版选修2_1
知识点二 直线到平面的距离
1.直线与它的平行平面的距离 一条直线上的 任一点 ，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离.
2.两个平行平面的距离 (1)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两个平面的公垂线. (2) 公垂线 夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段. (3)两平行平面的 公垂线段的长度 ，叫做两平行平面的距离.
2 2
D.3 2 2
解析 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到 平面的距离.
连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求. 由题意可得 A1O1＝12A1C1＝ 2.
12345
3.若 O 为坐标原点，O→A＝(1,1，－2)，O→B＝(3,2,8)，O→C＝(0,1,0)，则线段 AB
跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
题型二 点面距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点， CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点 到平面的距离.
跟踪训练2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D；
知识点三 四种距离的关系
2 题型探究
PART TWO
题型一 点线距离
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A 到直线EF的距离.
立体几何中的向量方法-—求空间距离
立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离 1．〔一般〕传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||||sin AP d AP =⇒=又|||||sin n AP n AP =θ|||n n AP d =∴〔其中AP 为斜向量，n 为法向量〕二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离：|||n n AP d =〔其中AP 为斜向量，n 为法向量〕三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：|||n n AP d =AP 为斜向量，n 为法向量〕四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：|||n n AP d =〔其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量〕 例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题： 〔1〕 求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则•αOP),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32|||11==n n B A d 〔2〕求C D 1到面BE A 1的距离；)2,2,1()1(:1=n BE A 的法向量知平面由解)0,0,1(11=A D 斜向量 311111==∴nn A D d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量 311111==∴nd BD A D 的距离为到面点 33111的距离为与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:xxxx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E AB D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n n A D d 练习1：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 面BC A 1的距离.2．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离3．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。
向量两点间距离公式
向量两点间距离公式在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
我们可以使用向量来表示空间中的点或物体的位置和运动。
当我们需要计算两个点之间的距离时，可以使用向量来简化计算过程。
下面我们将介绍向量两点间距离的公式。
我们需要明确两个点的位置。
假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
这里的x、y和z分别代表空间中的三个方向。
根据向量的定义，我们可以得到从A到B的向量AB，它的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az)。
这个向量的长度就是点A到点B的距离。
为了计算向量的长度，我们需要使用平方根函数。
假设向量的坐标分别为(x, y, z)，则向量的长度可以用以下公式表示：长度= √(x² + y² + z²)根据这个公式，我们可以计算向量AB的长度。
将AB的坐标代入公式，我们可以得到：AB的长度= √((Bx - Ax)² + (By - Ay)² + (Bz - Az)²)这个公式就是向量两点间距离的公式。
现在，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们想要计算它们之间的距离。
根据公式，我们可以得到：AB的长度= √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196。
通过向量两点间距离公式，我们可以很方便地计算空间中任意两个点之间的距离。
这个公式不仅在数学中有广泛的应用，还在物理学、计算机图形学等领域中发挥着重要的作用。
总结起来，向量两点间距离的公式为：AB的长度= √((Bx - Ax)² + (By - Ay)² + (Bz - Az)²)其中，A和B分别代表两个点的坐标。
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式是数学中常用的一个重要公式，它可以用来衡量空间中两个点之间的距离。
这个公式是在空间几何学中经常使用的，主要用来测量任意两点之间的距离，计算空间点之间距离的公式是： d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1)]
这个距离公式中的变量分别是x、y、z，用来表示空间中的三个维度。
由于空间中的维度是固定的，所以空间向量距离公式也是固定的，可以用来表示任意两点之间的距离。
以上这个公式是专门用来计算二维空间中点之间的距离的，而三维空间中的点之间的距离计算公式则会有所不同，具体如下：
d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) + (t2-t1)]
这是三维空间中计算两点之间距离的公式，其中的t则表示时间的维度，也就是说在三维空间中需要测量的四个量的距离。
可以看到，三维空间中的距离公式是二维空间中的距离公式的一般化，它是在时间的维度上对原来的距离公式做了一个补充，以此来计算三维空间中任意两点之间的距离。
有了上面距离公式的处理，我们可以使用这些公式来解决很多空间几何学问题，比如计算平面图形的周长、面积等。
同时，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，比如地理信息系统中使用距离公式计算不同的小区之间的距离，以此来规划交通路线，更好地改善交通状况。
至此，本文总结了空间向量距离公式，这个距离公式可以用来衡
量空间中两个点之间的距离，主要有二维空间中和三维空间中的距离公式，这两个公式都可以用来计算任意两点之间的距离。
此外，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，用来解决路径规划等问题。
本文围绕空间向量距离公式的基本原理和应用，作了一个详细的总结，希望能够对读者有所帮助。
原创2：3.2.5距离（选学）
取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4，3，6)，
则BC ·n＝(－3，0，0)·(4，3，6)＝－12，|n|＝ 61.
所以直线CD1到平面A1BC1的距离为：d＝
|BC∙|
||
12 61
＝
.
61
题型三：平面到平面的距离
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.5
距离（选学）
高中数学选修2-1·精品课件
启动思维
在平面几何中，我们曾经学习过距离的求法.
在平面直角坐标系中，我们利用坐标和直线的方程
研究了点到点、点到直线、直线到直线的距离，
在立体几何中，还有那些距离问题？它们的定义是怎样的？
如何利用向量进行求解呢？
走进教材
所以CD1＝(0，－4，2)，BA1＝(0，－4，2)，
BC1＝(－3，0，2)，BC＝(－3，0，0)．
(1)证明：因为CD1＝ BA1 ，所以CD1∥BA1，
又因为CD1在平面A1BC1内，
BA1在平面A1BC1外，所以CD1∥平面A1BC1.
(2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离
解: (1)证明：如图建立空间直角坐标系，
设A1(a,0,0)，则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，
A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2，)，G( ，1,0)．
与它平行的平面的距离叫做直线与平面的距离.
线面距
点面距
4.两平行平面的距离
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基础巩固强化一、选择题1．已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A (－1,2,1)在α内，则 P (1,2－2)到α的距离为( )A.55B.5 C ．25 D.510 [答案] A[解析] ∵P A →＝(－2,0,3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝|－4＋3|5＝55. 2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.32B.24C.12D.33 [答案] B[解析] 以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，0，平面ABC 1D 1的法向量DA 1→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|＝122＝24.3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱A 1A ＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1到平面A1BCD 1的距离是( )A ．5 B.132 C.6013 D ．8 [答案] C[解析] 解法一：∵B 1C 1∥BC ，且B 1C 1⊄平面A 1BCD 1，BC ⊂平面A 1BCD 1，∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1.从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离即为所求． 过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于E 点．∵BC ⊥平面A 1ABB 1，且B 1E ⊂平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥B 1E .又BC ∩A 1B ＝B ，∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1， 在Rt △A 1B 1B 中，B 1E ＝A 1B 1·B 1B A 1B ＝5×1252＋122＝6013，因此直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离为6013.解法二：以D 为原点，DA →、DC →、DD 1→的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)，设B (x,12,0)，B 1(x,12,5) (x ≠0)， 设平面A 1BCD 1的法向量n ＝(a ，b ，c )， 由n ⊥BC →，n ⊥CD 1→得n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x,0,0)＝－ax ＝0，∴a ＝0， n ·CD 1→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0， ∴b ＝512c ，∴可取n ＝(0,5,12)，B 1B →＝(0,0，－5)， ∴B 1到平面A 1BCD 1的距离d ＝|B 1B →·n ||n |＝6013.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( )A.2B.3C.23D.33 [答案] D[解析] 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝－1，则n ＝(1,1，－1)， 显然n ·BD →＝0，n ·BC 1→＝0， ∴n 也是平面BDC 1的法向量， ∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1， ∴其距离为d ＝|AB →·n ||n |＝33.二、填空题5．等腰Rt △ABC 斜边BC 上的高AD ＝1，以AD 为折痕将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：①BD ⊥AC ； ②∠BAC ＝60°；③异面直线AB 与CD 之间的距离为22； ④点D 到平面ABC 的距离为33； ⑤直线AC 与平面ABD 所成的角为45°. 其中正确结论的序号是________． [答案] ①②③④⑤[解析] ∵AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面ACD ，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD ⊥AC ，∴①正确；又知AD ＝BD ＝CD ＝1，∴△ABC 为正三角形，∠BAC ＝60°，∴②正确；∵△ABC 边长为2，.∴S △ABC ＝32，由V A －BDC ＝V D －ABC 得13×(12×1×1)×1＝13×32×h ，∴h ＝33，故④正确；∵CD ⊥平面ABD ，∴∠CAD 为直线AC 与平面ABD 所成的角，易知∠CAD ＝45°，故⑤正确；以D 为原点，DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AB →＝(1,0，－1)，AC →＝(0,1，－1)，DC →＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·DC →＝0得x －z ＝0，y ＝0，令z ＝1得n ＝(1,0,1)，∴异面直线AB 与DC 之间的距离d ＝|AC →·n ||n |＝22，故③正确．三、解答题6．三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．(1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AB 1D 的距离．[解析] (1)证明：如图所示，取AB 1中点M ，则DM →＝DC →＋CA →＋AM →，又DM →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B1M →.∴2DM →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →..2DM →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0,2DM →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|CB →|2－|CA →|2＝0，∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB .∴DM ⊥平面ABB 1A 1.∵DM ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. (2)解：∵A 1B ⊥DM ，A 1B ⊥AB 1.∴A 1B ⊥平面AB 1D . ∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量． ∴点C 到平面AB 1D 的距离为 d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·AB →|2a ＝12a22a ＝24a .7.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1，AEC 1F 为平行四边形．(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)，设F (0,0，z )．∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴由AF →＝EC 1→得，(－2,0，z )＝(－2,0,2)， ∴z ＝2.∴F (0,0,2)． ∴BF →＝(－2，－4,2)．于是|BF →|＝2 6.即BF 的长为2 6. (2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量， 显然n 1不垂直于平面ADF ， 故可设n 1＝(x ，y,1)，∴⎩⎨⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－14.又CC 1→＝(0,0,3)，设CC 1→与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→|·|n 1|＝33×1＋116＋1＝43333. ∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|CC 1→|·cos α＝3×43333＝43311.8．在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的余弦值． [解析](1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设A (1,0,0)，则B (1,1,0)，V (12，0，32)，AB →＝(0,1,0)，VA →＝(12，0，－32)．由AB →·VA →＝0，得AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，且AD ∩VA ＝A ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E (14，0，34)，EA →＝(34，0，－34)，EB →＝(34，1，－34)，DV →＝(12，0，32)．由EB →·DV →＝0，得EB ⊥DV .又EA ⊥DV ，∴∠AEB 是所求二面角的平面角． ∵cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217，∴所求二面角的余弦值为217.[点评] 如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之.。