高中数学人教A版必修四练习：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)(含答案)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期性及奇偶性．
1．函数的周期性
(1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__________________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x ＋2k π)＝________，cos(x ＋2k π)＝________知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________． 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是______，定义域关于________对称． (2)由sin(－x )＝________知正弦函数y ＝sin x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．
(3)由cos(－x )＝________知余弦函数y ＝cos x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．
一、选择题
1．函数f (x )＝3sin(x 2－π
4)，x ∈R 的最小正周期为( )
A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)的最小正周期为π
5，其中ω>0，则ω等于( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |
5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈
⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭
⎫－5π3的值为( ) A ．－12B.12C ．－32D.32
6．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( ) A.π
2B ．πC ．2πD ．4π
7．函数f (x )＝sin(2πx ＋π
4)的最小正周期是________．
8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π
3
，则ω＝______. 9．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是______________． 10．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中的假命题的序号是________．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －
sin x
e sin x －e －sin x .
12．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[5
2π，3π]时f (x )
的解析式．
能力提升
13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
14．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .
(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.
(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R)的周期T ＝2πω
.
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1．(1)非零常数T 每一个值 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小正周期 2．sin x cos x 周期 2k π (k ∈Z 且k ≠0) 2π
3．(1)R 原点 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y 轴 作业设计 1．D 2.B
3．B [∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π
2－2x ＝－cos2x ， ∴f (x )＝－cos2x .
又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos2x ＝f (x )， ∴f (x )的最小正周期为π的偶函数．] 4．D [画出y ＝sin|x |的图象，易知．]
5．D [f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32
.]
6．B [cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )． ∴T ＝π.] 7．1 8．±3 解析
2π|ω|＝2π
3
，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 9．f (x )＝sin|x |
解析 当x <0时，－x >0， f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，
∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x . ∴f (x )＝sin|x |，x ∈R. 10．①④
解析 易知②③成立，令φ＝π
2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．
11．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋2x cos(π＋x )＝－sin2x ·(－cos x )＝sin2x cos x . ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin2x cos x ＝－f (x )． ∴y ＝f (x )是奇函数．
(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.
∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 定义域为R.
∵f (－x )＝1＋sin(－x )＋1－sin(－x )＝1＋sin x ＋1－sin x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (3)∵e sin x －e
－sin x
≠0，∴sin x ≠0，
∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z. ∴定义域关于原点对称．
又∵f (－x )＝e sin(－
x )＋e －
sin(－
x )e sin(－x )－e －sin(－x )＝e －
sin x ＋e sin x
e －sin x －e sin x ＝－
f (x )，
∴该函数是奇函数．
12．解 x ∈[52π，3π]时，3π－x ∈[0，π
2]，
∵x ∈[0，π
2]时，f (x )＝1－sin x ，
∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又∵f (x )是以π为周期的偶函数， ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，
∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[5
2π，3π]．
13.1992
π
解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值， 则y 在[0,1]上至少含493
4
个周期，
即⎩⎨⎧
(49 34
)T ≤1
T ＝2π
ω
，解得ω≥199
2
π.
14．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0. ∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x ) ＝ln(1＋sin 2x －sin x ) ＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－
1
＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．。