正弦函数的最大值与最小值

正弦函数的最大值与最

小值

Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

正弦函数的最大值与最小值：

(1) 当sinx ＝1，即x ＝2k π＋2

π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当sinx ＝－1，即x ＝2k π－2

π(k ∈Z)时，y max ＝－1。 余弦函数的最大值与最小值：——让学生研究得出结论。

(1) 当cosx ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；

(2) 当cosx ＝－1，即x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y max ＝－1。

[例1] 求下列函数的定义域。

(1) y ＝12sin x 1

－ 解：2sinx －1≠0，即sinx ≠12，则x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56π(k ∈Z)

所求函数的定义域为{x| x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56

π，k ∈Z} (2) y

解：cosx ≥0，则x ∈[2k π－2π，2k π＋2

π]，k ∈Z [例2] 求下列函数的值域。

(1) y ＝2sinx －3

解：∵－1≤sinx ≤1 ∴－5≤2 sinx －3≤－1，则所求函数的值域为[－5，－1]

(2) y ＝sin 2

x －sinx －2

解：y ＝sin 2x －sinx －2＝(sinx －12) 2－94 ∵－1≤sinx ≤1 ∴当sinx ＝12时，y min ＝－94

；当sinx ＝－1时，y max ＝0。 则所求函数的值域为[－94

，0] (3) y ＝cos 2x －4cosx －2

解：y ＝cos 2x －4cosx －2＝(cos x －2) 2－6

∵－1≤cosx ≤1 ∴当cosx ＝1时，y min ＝－5；当cosx ＝－1时，y max ＝3。 则所求函数的值域为[－5，3]

[例3] 写出下列函数取到最大值与最小值时的x 值。

(1) y ＝cos (x －4

π) 解：① 当cos (x －4π)＝1，即x －4π＝2k π，得x ＝2k π＋4

π(k ∈Z)时，y max ＝1； ② 当cos (x －4π)＝－1，即x －4π＝2k π＋π，得x ＝2k π＋54

π(k ∈Z)时，y min ＝－1。

(2) y ＝5sin2x

解：① 当sin2x ＝1，即2x ＝2k π＋2π，得x ＝k π＋4

π(k ∈Z)时，y max ＝5； ② 当sin2x ＝－1即2x ＝2k π－2π，得x ＝k π－4

π(k ∈Z)时，y min ＝－5。 2、求下列函数的定义域：

(1) y ＝12cos x 1－

定义域为{x| x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋116π，k ∈Z} (2) y

定义域为[2k π－π，2k π]，k ∈Z 3、求下列函数的值域： (1) y ＝1－2cosx

函数的值域为[－1，3] (2) y ＝sin 2x ＋sinx －2

函数的值域为[－94，0] [例1] 求下列函数的定义域：

(1) y

解：由sinx ≥0，得x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z

由16－x 2≥0，得x ∈[－4，4]

则所求函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π] ——可用数轴求交集

(2) y ＝

sinx －1)

解：

－1＞0，得sinx 2k π＋4π＜x ＜2k π＋34

π，k ∈Z 则函数的定义域为（2k π＋4π，2k π＋34

π），k ∈Z (3) y

解：2sinx ＋1≥0，即sinx ≥－12，得x ∈[2k π－6π，2k π＋76

π]，k ∈Z 2cosx ≥0，即cosx ≥0，得x ∈[2k π－2π，2k π＋2

π]，k ∈Z 则所求函数的定义域为[2k π－6π，2k π＋2

π]，k ∈Z ——可用单位圆求交集 [例2] 求函数y ＝－2sin(3x ＋3

π)的最大值和最小值，并求使其取得最大值、最小值的x 的集合。

解：① 当sin(3x ＋3π)＝－1，即3x ＋3π＝2k π＋2π，得x ＝2k 3π＋18

π(k ∈Z)时，y max ＝2

则使函数取得最大值的x 的集合为{x|x ＝2k 3π＋18

π，k ∈Z}

② 当sin(3x ＋3π)＝1，即3x ＋3π＝2k π－2π，得x ＝2k 3π－518

π(k ∈Z)时，y mni ＝－2。

则使函数取得最小值的x 的集合为{x|x ＝2k 3π－518

π，k ∈Z} [例3] 求下列函数的值域：

(1) y ＝sin x 2

解：∵－1≤sinx ≤1 ∴12≤sin x 2≤2，则所求函数的值域为[12

，2]