等差数列一 中职人教版
中职数学基础模块6.2.1等差数列的概念教学设计教案人教版
则a9=33+(9－1)d，即
89 = 33 + 8d，
解得d= 7．
于是
a2= 33 + 7 = 40，
a3= 40 + 7 = 47，
a4= 47 + 7 = 54，
a5= 54 + 7 = 61，
a6= 61 + 7 = 68，
课题
6.2.1等差数列的概念
课型
新授
第几
课时
1
课
时
教
学
目
标
（三维）
1.明确一个数列是等差数列的条件，会根据定义判断一个已知数列是否为等差数列，了解公差的概念;能够灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、及指定的某项；理解并会求等差中项。
2.带领学生经历简单等差数列的产生过程及应用等差数列的基本知识解决问题的过程
设计意图
复习数列、通项公式及递推公式的概念。
导入
问题某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．
教师出示引例，并提出问题．
学生探究、解答．
希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．
新课
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．( )
练习一
抢答：下列数列是否为等差数列？
1，2，4，8，16，32，64，…；
0，1，2，3，4，5，6，…；
人教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件1
脑 思 考
探 索
也可以写作 Sn an an1 an2 a3 a2 a1 . （2） 由于a1 an a1 an
a2 an1 a1 d an d a1 an
a3 an2 a1 2d an 2d a1 an
…
新
(1)式与(2)式两边分别相加，得
知等差数列的前n项和等于首2末Sn两 项na之1 和an与 项数乘积的一半．
第6章 数列
6.2 等差数列
6.2 等差数列
数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天 赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把
创 1到100的整数写下来,然后把它们加起来!” 设 情 境
兴 趣 导 入
6.2 等差数列
将等差数列an 的前n项的和记作Sn.
动
即 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. （1）
型
第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．
例
应得到的利息就是上面各期利息之和．
题
Sn 1000 0.1425% (1 2 3 12) 111.15（元），
故年终本金与利息之和总额为
12×1000+111.15=12111.15（元）．
6.2 等差数列
1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上
座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？
巩
固
知 识
比较本例题 的两种解法, 从中受到什
典
么启发?
型
例
题
6.2 等差数列
年利率1.71%，折合 月利率为0.1425%．计 算公式为月利率=年利 率÷12．
例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从
6.2 等差数列(1)中职教案
【课题】 6．2 等差数列（1）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．
【教学过程】
【教师教学后记】。
人教版-等差数列ppt完美课件完美版1
①理解等差数列“等差”
教学难点： 的特点及通项公式的含义
② 从函数、方程的观点看 通项公式。
教学目标分析
1、知识与技能：
理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式
2、过程与方法：
利用等差数列通项公式的推导，培养学生观 察，分析，归纳，推理的能力。
3、情感、态度与价值观
通过对等差数列的探究，培养学生主动探索， 勇于发现的求知精神；养成细心观察，认真分 析，善于总结的良好思维习惯。
一项与前一项之差都等于同一常数，这个 数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数 列的公差，通常用字母 d来表示。 （二）等差数列定义式
an－an-1=d （d是常数，n∈N﹡且n≥2）
人教版-等差数列ppt完美课件完美版1
人教版-等差数列ppt完美课件完美版1
练习题：口答下面数列是等差数列吗？ 若是求出d，若不是，说明理由。
设问： 通过这 两个问 题，你 能看出 等差数 列通项 公式与 函数有 什么关 系？
问题一、已知数列﹛a
﹜通项公式为
n
么这个数列是等差数列吗？
an 2n1
.那
这里提示：﹛a n﹜为等差数列 an1an 常数
学生可以证明该数列是公差d=2的等差数列
问题二、若一个等差数列的首项为2，公差 是3，求通项公式。
学情分析及教学方法
根据高中学生的知识经验和能力发 展水平，对数列的知识有了初步的接触 和认识，对方程、函数，学生掌握的也 较理想。
本节课我主要采用了诱导思维与自 主探究式的教学方法。调动学生参与知 识形成过程的主动性和积极性。
教学程序分析
根据新课标的理念，我把整个的教学分为 （一）新课引入（二）新课探究 （三）应用举例（四）反馈练习 （五）归纳小结（六）布置作业 （七）课后反思 七个教学环节构成。
人教版中职数学基础模块下册6.2等差数列
【课题】 6．2 等差数列
【教学目标】
知识目标：
理解等差数列通项公式及前n 项和公式． 能力目标：
（1）应用等差数列的前n 项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等差数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．
情感目标：
（1）经历数列的前n 项和公式的探索，增强学生的创新思维．
（2）赞赏高斯等数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．
【教学重点】
等差数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等差数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．
等差数列前n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．
例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。
等差数列(人教版)教案
等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中。
通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳转化为数学问题的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。
在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。
今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
【人教版】中职数学(基础模块)下册：6.2《等差数列》教案(Word版)
【课题】 6．2 等差数列
【教学目标】
知识目标：
理解等差数列通项公式及前n 项和公式． 能力目标：
（1）应用等差数列的前n 项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等差数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．
情感目标：
（1）经历数列的前n 项和公式的探索，增强学生的创新思维．
（2）赞赏高斯等数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．
【教学重点】
等差数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等差数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．
等差数列前n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．
例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
=
a+
a
1000+111.15=12111.15
【教师教学后记】。
等差数列 中职数学
a1 4 , an 127
d 3
3 2n 2 21
2n 1 21
求：n
2n 20
n 10
例3：
已知一个等差的第3项是5，第8项是 20，求它的首项和公差
解： a3 5 a8 20
aa11((8311))dd
5 20
aa1172dd250
解此方程组，得 a1 1 d 3
例4、一个梯子得最高一级宽是33cm，最低一级 宽是89cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数 列，求中间各级的宽度。
例：d
a1
1
3
,
a7
8,
求a1
解：a1 (7 1) d a7
即
a1
6
(
1)
3a1
8
10
练习： d 2 , a8 15 , 求a1
三、公式an a1 (n 1)d 应用
㈡ an,a1,n, d 四个量知三求一
3、求d
例：a1 12 , a6 7,求 d
解： a1 (6 1) d a6
解：已知 a1 33 , an 89 , n 9
a1 (9 1) d a9
即 338d 89
得
d 7
a2 33 7 40 a3 40 7 47 a4 47 7 54
a5 54 7 61 a6 61 7 68 a7 68 7 75 a8 75 7 82
即 12＋5d＝7
练习：
a1 15 , a7 3
求： d
5d＝-5
d＝-1
三、公式an a1 (n 1)d 应用
㈡ an,a1,n, d 四个量知三求一
4、求n
例： a1 3 , an 21, d 2, 求 n 解： a1 (n 1) d an
人教版中职数学拓展模块一：2.2.1等差数列(1)课件(共16张PPT)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抽象概括 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，则这个数列称为等差数列 ，这个常数称为等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示. 由定义知，如数列{an}为等差数列，d为公差，则 an+1-an=d，即 an+1=an+d.
数学
基础模块（下册）
第二单元 数列
2.2.1等差数列
人民教育出版社
第二单元 数列 2.2.1 等差数列
学习目标
知识目标 理解等差数列的概念；
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，理解等差数列通项公式的含义，掌握根据等 差数列的前几项写出该数列的一个通项公式的方法，提高其发现问题、分析 问题及解决问题能力
至下列出每层钢管的数量为 4，5，6，7，8，9，10； ①
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 一个小剧场，有10排座位，第1排至第10排的座位数
分别为 20，22，24，26，28，30，32，34，36，38； ② 2021年2月，每一个星期一的日期构成数列 1 ，8，15，22． ③
活动 3 巩固练习，提升素养
例2 等差数列-5，-9，… 的第多少项是-401？ 解 设此数列为{an}. 因为 a1=-5，d=-9-(-5)=-4，an=-401，所以
-401=-5+(n-1)×(-4). 解得 n=100. 即这个数列的第100项是-401.
中职数学1《等差数列概念》
《等差数列的概念》教学设计尊敬的评委老师，大家好，今天我呈现的教学设计是《等差数列的概念》。
主要研究两类问题：一、等差数列概念的介绍及通项公式的推导与简单应用。
二、激发学生的探索精神，培养独立思考和善于总结的优良习惯。
我将从教材学情，教学目标，教学方法，设计理念，教学过程，教学反思六个方面进行阐述。
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性.在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.1、教材的地位和作用：首先是教材，我们本节课的内容选自山东省中等职业教育规划教材《数学》第一册，结合教参与学生的学习能力，我将《等差数列及其通项公式》安排了2节课时。
教材的处理：学情分析：4、教学重点与难点及解决办法：【教学目标】根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的知识水平和数学能力，我把本节课的教学目标左为如下四个方而：（一）知识技能目标：使学生掌握等比数列的立义及通项公式，发现等比数列的性质，并能运用左义及其通项公式解决一些实际问题。
（二）过程方法目标：培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。
（三）情感态度价值观：体验解题的成就感，感受数学的奇妙与丰富多彩，养成学生务实求真，勇于实践的科学态度。
【教学重点】等差数列的概念及英通项公式.【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用.【教学方法】根据上述教材分析，贯彻启发性教学原则，我的设计理念由两条主线构成，一条是教师运用信息化手段，贴近学生生活，激发学生的兴趣，创设课堂情境，从而更好的发挥教师的主导作用；另一条是学生使用信息化的手段查找资料，从而更好的贴近课堂，发挥学生的主体作用，实现课堂有效教学。
1、情景探究教学借助建立现实生活情境引导学生思考，使问题变得直观，贴近生活，易于学生突破难点：并且让学生体会到数学知识与生活的紧密联系，激发学生数学学习的兴趣，从而提髙学生对数学学习的积极性。
中职数学《等差数列》教案Word版
为常数
∴{ }是等差数列，首项 ，公差为p
注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0,则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
教学
方法
（六环节教学法+启发式+针对性讲授+探究讨论式等）
教学过程（一）
任务设计
主要
任务
教学活动
（内驱激励+突出学生活动+关注学法+精准指导+难度恰当+防止教学过剩）
按需施教
1、核心知识
（核心知识点、链+重点突出+难点突破）
1、等差数列的判定：{an}为等差数列
即： ；
2、等差数列与函数：等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n, ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d= ，d= ，
例2在等差数列 中，已知 ， ，求 , ,
解法一：∵ ， ，则
∴
解法二：∵
∴
小结：第二通项公式
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论
解：通过计算发现 的值恒等于公差
证明：设等差数列{ }的首项为 ，末项为 ，公差为d，
2024版中职教育数学《等差数列》课件
课件•课程介绍与教学目标•等差数列基本概念与性质•等差数列求和公式与方法•等差数列在生活中的应用举例目录•拓展内容：等比数列简介及与等差数列关系•课堂互动环节与练习题设计01课程介绍与教学目标《等差数列》是中职教育数学课程中的重要内容，对于提高学生的数学思维和计算能力具有重要意义。
掌握《等差数列》的知识和技能，有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
中职教育数学课程是中等职业教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。
课程背景及意义教学目标与要求知识与技能目标01掌握等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识；能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题。
过程与方法目标02通过探究、归纳、推理等过程，培养学生的数学思维和解决问题的能力；通过小组合作、交流讨论等方式，提高学生的合作意识和表达能力。
情感态度与价值观目标03激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的数学素养和审美情趣；引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
教材分析与选用教材分析本课程选用中等职业教育数学教材，该教材注重基础性和实用性，符合学生的认知规律和学习特点。
教材内容包括等差数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识，以及相应的例题、习题和实践活动。
选用理由该教材注重基础性和实用性，能够帮助学生掌握等差数列的基本知识和技能；同时，该教材还注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，符合中等职业教育数学课程的教学要求。
02等差数列基本概念与性质等差数列定义及通项公式定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
通项公式an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差中项性质及应用等差中项性质在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
应用利用等差中项性质可以求解等差数列中的未知项，也可以证明等差数列的相关性质。
等差数列(职高基础模块)课件
试写出这个数列的第2项到第5项．
解 由于
因此
巩固知识 典型例题
4
6.2 等差数列
1.已知 为等差数列, 这个数列的第8项
公差
试写出
运用知识 强化练习
2.写出等差数列11，8，5，2，…的第10项．
5
6.2 等差数列
例1 已知等差数列的首项为12，公差为－5，
试写出这个数列的第 2项到第5项．
解 由于
求首项
由于
，故
解得
11
6.2 等差数列
巩固知识 典型例题
例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好 构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年 龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为a－d，a，a + d，
其中d为公差，
则
分析 知道三个数构成
判断－48是否为数列中的
4 已知三个数的和为18，且这三个数组成公差为3的等差数列．
求这三个数．
13
理论升华 整体建构
6.2 等差数列
等差数列的通项公式是什么？
.
14
6.2 等差数列
写出等差数列
的通项公式，并求出数列的第11项．
自我反思 目标检测
15
6.2 等差数列
学习方法
学习行为
学习效果
自我反思 目标检测
试写出这个数列的第2项到第5项．
解 由于
因此
你能很快 写出第101项 吗？
数列的第101项为
8
动脑思考 探索新知
6.2 等差数列
设等差数列 的公差为d ，则
等差数列的通项公式中,共有四个量： n 和d，只要知道了其中的任意三个量， 就可以求出另外…的一个量. 针对不同情况， 依应此该类分推别,通采过取观什察么可样以的得计到算等方差法数？列的通项公式
等差数列职高知识点归纳总结
等差数列职高知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列，指的是每个相邻的两个数之间的差值都相等的数列。
在职高数学学习中，等差数列是一个重要的知识点，它在数学问题的解决中起到了重要的作用。
本文将从等差数列的定义、性质、常见公式以及实际应用等方面对等差数列的知识进行归纳总结。
1. 定义等差数列是指数列中的任意两个相邻的数之间的差值都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2. 性质（1）公差d的值决定了等差数列中每个相邻数之间的差值的大小。
（2）等差数列的首项和末项之和等于所有数之和的一半。
（3）等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a₁ + an)。
3. 常见公式（1）求通项公式an：已知等差数列的首项a₁和公差d，通项公式可以通过an = a₁ + (n-1)d求得。
（2）求前n项和Sn：已知等差数列的首项a₁、公差d和项数n，前n项和可以通过Sn = (n/2)(a₁ + an)求得。
（3）求项数n：已知等差数列的首项a₁、公差d和项数n，项数n 可以通过an = a₁ + (n-1)d求得。
4. 实际应用等差数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是其中的一些例子：（1）时间序列分析：等差数列可以用来描述某个事件或指标随时间的变化情况，如金融市场的指数变化、人口数量等。
（2）等差数列的和与平均数：等差数列的前n项和可以用来求解一系列数的总和，平均数则可以通过总和除以项数得出。
（3）等差数列的应用于等差数列的求和、求项数等计算题目的解答过程。
综上所述，等差数列在职高数学学习中是一个重要的知识点，我们应该掌握等差数列的定义、性质、公式以及实际应用。
通过深入理解等差数列的概念和运算规律，我们可以更好地解决相关的数学问题，并且在实际生活中应用等差数列的知识。
希望本文对你在等差数列的学习中有所帮助。
中职等差等比数列知识点归纳总结
中职等差等比数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。
在学习数学的过程中，我们经常会遇到等差数列和等比数列两种常见的数列类型。
这篇文章将对中职等差等比数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这部分内容。
一、等差数列1. 定义：等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数d。
通常用an表示等差数列的第n项，可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2. 公式与求和：等差数列的通项公式是非常重要的，它可以用来求解等差数列中任意一项的值。
根据等差数列的定义，我们可以得到通项公式an = a1 + (n-1)d。
同时，等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)得到。
3. 性质和定理：- 等差数列的性质：等差数列中，任意三项成等差数列。
等差数列中，任意四项构成一矩形。
- 等差数列的前n项和的计算方法：Sn = n(a1 + an)/2。
- 等差数列的相邻项关系：an = a(n-1) + d。
二、等比数列1. 定义：等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比等于同一个常数q（称为公比）。
通常用an表示等比数列的第n项，可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
2. 公式与求和：等比数列的通项公式也是十分重要的，它可以用来计算等比数列中任意一项的值。
根据等比数列的定义，我们可以得到通项公式an = a1 * q^(n-1)。
同时，等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)得到。
3. 性质和定理：- 等比数列的性质：等比数列中，任意三项成等比数列。
等比数列中，任意四项构成一等比数列。
- 等比数列的前n项和的计算方法：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
- 等比数列的相邻项关系：an = a(n-1) * q。
三、等差数列与等比数列的联系和区别1. 联系：等差数列和等比数列都是常见的数列类型，它们都有通项公式和求和公式可以计算数列的各项值。
中职数学(人教版)：等差、等比数列教学教案
第04讲 等差、等比数列的综合与应用学习要点：1．等差、等比数列的综合问题是考试中常见的试题，题型十分广泛，解决问题时要把握好正确思路：运用基本公式求解，或运用性质求解，还是通过巧设公差、公比解决.2．等差、等比数列的应用问题是考试中是常见的应用问题之一，其中最典型的问题是“增长率（增产率、利率）”问题：设第1年（月）的产值（产量、本金）为1a ，平均年（月）增长率（增产率、利率）为x %，则第n 年（月）的产值（产量、本利和）为n a ，若计算复利，则11%)1(-+=n n x a a ，这是等比数列的应用； 若不计复利，则%])1(1[1x n a a n -+=，这是等差数列的应用.【例1】解答下述问题：（Ⅰ）在某两个正数之间插入一个数a ，则三数成等差数列；若插入二个数b 、c ，则四数成等比数列，（1）求证：2a ≥b +c ； （2）求证：（a +1）2≥（b +1）（c +1）.[证明]（1）设原两数为m 、n ，则,222222a b c c b c nb b mc a n m =+⇒⎪⎩⎪⎨⎧===+ ,)()2)(())((22233bc c b bc bc c b bc c b c b c b abc +=-+≥-++=+=∴c b a +≥∴2 （2）,22bc a bc mn n m a ≥⇒=≥+= ).1)(1(1)1(222++=+++≥+⇒⎩⎨⎧+≥≥∴c b c b bc a cb a bc a（Ⅱ）等差数列{n a }的前n 项和n S 的最大值7S ，且|,|||87a a <求使0>n S 的n 的最大值.[解析]⇒⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧+>>+∴⎩⎨⎧>>,00,878776678767a a a S S S a S S S S S 公差,078<-=a a d,060611>->⇒>+d a d a 而由0132||||18787<+⇒-<<d a a a a a 得 ,142132102)1(,213111<⇒<-<-⇒>-+=∴->⇒n d a n d n n na S d a n .130=>∴n S n 的最大的使[评析]例1是更综合一些的等差、等比数列问题，问题的解答需要更多的知识或更灵活的方法.【例2】设}{n a 是由正数组成的等比数列,n S 是其前n 项和,（Ⅰ）证明：;lg 2lg lg 12++<+n n n S S S （Ⅱ）是否存在常数c ，使得)lg(2)lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++成立？ [解析]（Ⅰ）命题等价于.212++=⋅n n n S S S①当1=q 时，;0)1()2(2121221212<-=--+=-⋅++a a n a n n S S S n n n②当1≠q 时，;0)1()1()1()1)(1(21221212221212<-=------=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q q a S S S 由①、②知命题正确；（Ⅱ）设原等式成立，得,,)())((1212t c S c S c S c S n n n n =--=--+++令得,0)())((1212221=⋅--⇒=+-++++++n n n n n n a a a a t t a t a t即,0))((12121=---+++++n n n n n a a a a c S①当1=q 时，得,01=a 不合，此时常数c 不存在；②当1≠q 时，得0))(1)1((122111111=-----+++n n n n q a q a q a c qq a ， ,0])1([0])1()1([1111111=--⇒=----⇒++a q c q a q a qa q c q a n n n n,01,1,0111>-=--=∴>q q a c S q a c q a nn n而 1>∴q 当时，常数c 存在；当10<<q 时，常数c 不存在；综上，当1>q 时，存在常数qa c -=11使得等式成立； 当10≤<q 时，不存在这样的常数.c[评析]例2是一年高考理科试卷的“压轴”题，是一道等比数列的综合问题，解答过程需要较高的运算能力与变换能力.【例3】某乡1998年底人口约为3万，人均占有耕地1亩，该乡从1999年开始每年开垦荒地新增100亩耕地；若该乡人口年增长率1%，那么到2010年底该乡人均占有耕地为多少亩（精确到0.01亩）.[解析]设从1998年年底起，每年底耕地面积为数列}{n a ，则}{n a 是公差30000,1001==a d 的等差数列，31200100123000013=⨯+=∴a （亩）；又设从98年年底起，每年年底人口数为数列}{n b ，则}{n b 是公比01.1=q ，首项300001=b 的等比数列，)01.001.001.01(30000)01.01(30000331222121121213⨯+⨯+⨯+⨯≈+⨯=∴C C C b 33805000001.02200001.06601.0121(30000≈⨯+⨯+⨯+⨯=（人）故，到2010年底该乡人均占有耕地为31200÷33805≈0.92（亩）.[评析]增长率问题是等比数列的重要应用,而我们的生活、生产中所遇到的增长率问题大多数是这种计算复利的问题，不计复利的问题比较少见.【例4】某教师向银行贷款10万元用于购房，贷款年利率为5%，按复利计算，银行规定每年（同日）等额偿还，10年还清本利，问该教师每年（同日）应还款多少元？（已知1.0599=1.5513，1.0510=1.6289）[解法一]设每年等额偿还x 元，且k a 为k 年后的欠款数，)101(05.1,10000010≤≤-⨯==-k x a a a k k 则元则x a a -⨯=05.101)05.11(05.105.1)05.1(2002+-⨯=-⨯-⨯=x a x x a a…… …… …… 0)05.105.105.11(05.19210010=++++-⨯= x a a 得129506289.05.814405.110000005.0105.11010==⇒⨯=-x x （元）. [解法二]设k 年后应还的本金为)101(≤≤k a k ,每年还款x 元,且,05.1,)05.01(,1000000k k k k x a a x A =∴+==则元 10321021005.105.105.105.1x x x x a a a A ++++=+++=∴)105.105.105.1(05.189100++++=⨯⇒ x A ，下同解法一.[评析]例4是（按复利计算的）借贷问题，解答时必须准确定义所设的数列，例如在上述两种解法中所设的数列}{n a 的意义都不一样.【例5】某材料仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图形式，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层最少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），问最下面一层放几根，共堆了多少层？[解析]设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，,012006002)1(3212≥-+⇒≥+=++++∴n n n n n 记 ,1200)(2-+=n n n f 当*N n ∈时，)(n f 单调递增，而35,010)34(,028)35(≥∴<-=>=n f f 而因此最下面一层最少放35根， ∴=++++,63035321 最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1+2+3+…+7=28根，再去掉第8层的2根，剩下的600根共堆了28层.[评析]因为最上面一层不一定能放满,所以问题中的数列不是标准的等差数列,而是从第二项(层)开始的等差数列.《训练题》一、选择题：1．某种细菌每隔20分钟分裂一次，一个分裂成两个，则经过4小时，一个这种细菌繁殖成的细菌的总个数是 （ ）A ．2048B ．4095C ．4096D ．81912．某商品零售价2002年比2000年上涨25%，欲控制2003年比2000年上涨10%，则2003年应比2002年降价 （ ）A ．15%B ．12%C ．10%D ．5%3．100以内能被3整除，但不能被7整除的所有正整数的和为 （ ）A ．998B ．1368C ．1422D ．14734．等差数列}{n a 的公差3,0>≠n d 若，则下列关系成立的是（ ）A ．121->n n a a a aB ．121-<n n a a a aC ．121-=n n a a a aD ． 121-n n a a a a 与的大小关系不确定 5．等差数列}{n a 中，01>a ，前n 项和为n S ，若1710S S =，则数列}{n S 中最大项是（ ）A ．14SB ．13S 或14SC ．14S 或15SD ．15S6．某人于1999年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄；2000年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行存款和取款；设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，则到2004年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共为多少元. （ ）A ．5)1(r a +B ．)]1()1[(5r r a +++C ．)]1()1[(6r r r a +-+D ．])1[(5r r ra -+ 二、填空题：7．在等差数列}{n a 中，|,|||93a a =公差0<d ，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是.8．设n S 表示一个公比)(1R q q ∈-≠的等比数列的前n 项和，设}lim |{2n n n S S x x M ∞→==， 则Card M= .9．某地重视环保，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从1989年到1998年的10年内每两年上升2%，1997年和1998年这两年共种植植被815万2m ，当地政府决定今后四年内仍按这一比例发展下去，那么从1999到2002年种植植被面积（精确到1万2m ）为 万2m .10．某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是1p ，第三年比第二年增长的百分率为2p ，第四年比第三年增长的百分率是3p ，若m p p p =++321（定值），则年平均增长的百分率的最大值是 .三、解答题：11．已知等比数列}{n a 的公比,,124217a a q => 求使nn a a a a a a a a 1111321321++++>++++ 成立的n 的取值范围. 12．（Ⅰ）设}{n a 为正项的等比数列，k 、l 、m 、p 均为正整数，且,,,m l p k a a a a m l p k p m l k +≥++=+<≤<求证若其中等号成立的条件是}{n a 为常数列.（Ⅱ）设}{n a 为等差数列，k 、l 、m 、p 均为正整数，且,,,m l p k a a a a m l p k p m l k ⋅≤⋅+=+<≤<求证若其中等号成立的条件是}{n a 为常数列.13．（Ⅰ）已知数列}{n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}1n n pc c -+为等比数列，求常数p ；（Ⅱ）设数列}{n a 、}{n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列}{n c 不是等比数列.14．有若干台型号相同的收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕。
中职数学《等差数列》教学设计
中职数学《等差数列》教学设计《中职数学《等差数列》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一.设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导;强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。
基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，让学生或自己或合作去探究，去发现。
激发学生的学习兴趣，提高他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。
这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二.教材分析中职修订版第八章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。
研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，初步掌握等差数列的通项公式，。
本节是第八章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。
在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三.学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
中职数学基础模块6.2.2等差数列的前n项和教学设计教案人教版
学生自主练习． 教师巡视指导． 请学生到黑板上做题 后，师生共同订正．
例 1 在小于 100 的正整数集合中，有多 少个数是 7 的倍数？并求它们的和．
解 在小于 100 的正整数集合中，以下 各数是 7 的倍数
7，7×2，7×3，…，7×14． 即 7，14，28，…，98． 显然，这是一个等差数列．其中 a1=7，d =7，项数为不大于1070 的最大整数值，即 n =14，a14= 98． 因此
目 殊到一般的思想．
标
（三维）
教学 重点 与 难点
教学重点：
等差数列前 n 项和公式的应用．
教学难点：
等差数列前 n 项和公式的推导
教学 方法 与 手段
引导发现法
使
用
师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体．教师在引导的同时，
教 必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥．通过学生自主的尝
an．
学生应用新知识解答 问题．
教师对学生的解答给 予赏识性评价．
通过练习，引 导学生学会选择、 运用公式，加深对 公式的理解．
（4）a1 = 14.5，d = 0.7，an = 32．
在教师的指引
下，提高学生分析
练习二
问题的能力．
如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支 铅笔，往上每一层都比下面 一层多放一支，最上面放有 120 支，这个 V 形架上共放多少支铅笔？
材 试、发现活动，使学生在感知的基础上有效地揭示知识间的内在联系，从而使学生获取知识，
的 提高能力． 构
想
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太原市教研科研中心研制
课时教学流程
环节
教师行为
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2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
是 d<0
d=0
d=3 递增 d=-1递减
3
1
3
3
3
是
d=-2/3
不变
不是
⑦ 3，3，3，3，… 常数列 是
d=0
（二）等差数列通项公式
• 公差为d的等差数列{an}的通项公式 为 a a ( n 1) d
n 1
• 关键条件：首项
a1 ，公差 d
叠罗汉人 数6 7 Nhomakorabea8
9
玩具七彩塔(梵塔)，由上至下，从第二个 环开始，每个环与上一个环直径长的差都 为1cm
每一条跑道的宽 度相等。从第2 条跑道开始，每 一跑道与前一条 跑道宽度的差都 等于零。
从左至右，从第二个 杯子开始，每个杯子 的高度与它前面一个 杯子高度的差都相等
婚宴上半圆形 的酒杯塔，从 第二层起，每 一层与上一层 杯子数的差都 是2。
小结：
• 等差数列概念:an+1 • 等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d
an = d
(n≥1)
• 等差数列通项公式的运用 交笔记本 课后作业：140 A 2、3 挑战题：P140 B 1、2、3
制作：许智莹
达标题：
判断以下数列是否为等差数列，如果不是的说明理由，是等差 数列的写出公差： 2 2 2 2
① 2，4，6，8，10； ② 1，2，4，6，8；
1 2 3 3 3 3
是
d=2
公差d 不是 d>0 是
数列发展趋势
③ -7，-4，-1，2，5； -1 -1 -1 -1 -1 ④ 6，5，4，3，2，1； ⑤ 3, 7 , 5 , 1, 1 , 1 ; ⑥ 1，0，1，0，1，…
（一）等差数列
• 若一个数列从它的第2项起，每一项 与它前一项的差都等于同一个常数， 则这个数列叫做等差数列。这个常数 叫做等差数列的公差。公差用d表示。 d d d d
a1 , a2 , a3, a4 ,…,an ,an+1,… an+1 - an = d (n≥1)
关键：
• 1、从第二项起，每一项减去前一项， 顺序不能颠倒 • 2、后项减前项的差是同一个常数
。
• 首项和公差决定着一个等差数列！
EXCEL&MPPS
小组交流题(抽取题目)
1、求等差数列10，7，4，…的通项公式与第10项。 2、已知一个等差数列的第5项是15，第8项是24，求第20项。 3、梯子最高一级宽33cm，最低一级宽89cm，中间还有7级，各级的 宽度成等差数列，求中间各级的宽度。 4、求等差数列2，9，16，…的第n项。 5、三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数 6、已知等差数列的第3项是5，第8项是20，求第25项。 7、求等差数列3，7，11，…的第4、7、10项。 8、求等差数列2，4，6，…的通项公式与第31项，第几项是40？ 9、求等差数列3，7，11，…的第12项。 10、求等差数列1，6，11，…的通项公式和第几项是96。 11、求等差数列15，10，5，…的通项公式与第60项。 12、求等差数列10，6，2，…的通项公式与第18项。
项：①a1＝2，d＝1.5； ②a1＝8，d＝-2；
a1＝89，d＝3。
每组为别的组编造一道有关等差数列通项公式的 题目，并负责批改。
钢管数
1 钢管，自上 而下，从第 2 二层起，每 3 一层与上一 层的钢管数 4 的差都是1.
婚礼蛋糕， 从第二层起， 每一层与上 一层的磅数 都差1.
自上而下，从第二层起，每一层与 上一层人数的差都是1.
等差数列（1）
（一）、等差数列概念 （二）、等差数列通项公式
小组任务
1、找出生产、生活中等差数列的例子，以图片 方式展示并加以说明。 2、什么是等差数列，其中哪些是关键条件？怎 样判断数列是否为等差数列？举例说明。 3、推导公差为d的等差数列{an}的通项公式； 若求等差数列的通项公式，关键需要什么条 件？举例说明。 4、演示在EXCEL表格中分别输入等差数列前100 ③