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平行线相交线难题培优题压轴题提高题

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(完整版)平行线与相交线提高训练

(完整版)平行线与相交线提高训练

平行线与相交线提高训练1．如图，直线a∥b，那么∠x的度数是．2．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．3．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．4．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．5．已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．6．已知，如图，AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝26°，求∠C．7．直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数（提示：要作辅助线哟！）8．已知：射线OP∥AE（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠B n﹣1OP的角平分线OB n，其中点B，B1，B2，…，B n﹣1，B n都在射线AE上，试求∠AB n O 的度数．9．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠P AB、∠PCD的关系，并证明你的结论推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如图5，AB∥CD，且∠AFE＝40°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是．10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．11．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP 和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．12．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG 之间的数量关系为．13．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB 之间的数量关系（不需证明）．14．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．15．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ 于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．16．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝42°，则∠OGA＝；（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝42°，则∠OGA＝；（3）将（2）中的“∠OBA＝42°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO＝α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）17．已知直线AB∥CD，E是直线AB的上方一点，连接AE、EC（1）如图1，求证：∠AEC+∠EAB＝∠ECD（2）如图2，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，且∠AFC比∠AEC的倍少40°，直接写出∠AEC的度数18．直线MN与直线PQ相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，若∠AOB＝80°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，若∠AOB＝80°，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F＝；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD 的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为：∠CED＝．（3）如图3，若∠AOB＝90°，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF＝；（4）如图3，若AF，AE分别是∠GAO，∠BAO的角平分线，∠AOB＝90°，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO的度数＝．20．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC 于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．。

(完整版)平行线与相交线提高训练

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平行线与相交线提高训练1如图，直线a // b,那么/ x的度数是________________ .2.如图，AB// CD，/ DCE的角平分线CG的反向延长线和/ ABE的角平分线BF交于点F,/ E -/ F =3.如图，已知/ 1 + / 2= 180°,/ 3=/ B，求证: DE // BC.C/ 3 =/ 4,/ 5=/ 6.求证：ED // FB.5.已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上, / 1 = / 2 = / E, / 3=/ 4.求证：AB // CD .6.已知，如图， AE // BD ，/ 1 = 3/ 2，/ 2 = 26°，求一(3)如图3，若Z A = m ,依次作出Z AOP 的角平分线 OB , Z BOP 的角平分线 OB 1 ,Z B 1OP 的角平分 线OB 2,Z B n - 1OP 的角平分线 OB n ,其中点 B , B 1, B 2,…，B n -1, B n 都在射线AE 上，试求Z AB n O 的度数.，求/ 1 + / 2的度数(提示：要作辅助线哟!/ AOP 的角平分线交射线 AE 与点B ,若/ BOP = 58°，求/ A 的度数.(2)如图 2, 若点C 在射线AE 上，OB 平分/ AOC 交AE 于点B , OD 平分/ COP 交AE 于点D ，/ADO = 39° ，求/ ABO -Z AOB 的度数./ B = 105 (1)如图 1,9. 数学思考：(1)如图1,已知AB // CD ，探究下面图形中/ APC 和/ PAB 、/ PCD 的关系，并证明你的 结论推广延伸：(2)①如图2，已知AA i / BA 1，请你猜想/ A 1,/ B 1,/ B 2,/ A 2、/ A 3的关系，并证明你的猜想；②如图3,已知AA 1 / BA n ,直接写出/ A 1,/ B 1,/ B 2,/ A 2、…/ B n -1、/ A n 的关系拓展应用：(3)①如图4所示，若AB // EF ，用含a, 3, 丫的式子表示X ,应为 _________________A.180° + a + 3- YB.180 °_ a _ Y +3 C .供丫― a D . a + 3+ 丫②如图 5, AB / CD ，且/ AFE = 40°,/ FGH = 90°,/ HMN = 30°,/ CNP = 50°,请你根据上述结论直接写出/ GHM 的度数是(2) 如图2,点P 在直线AB 、CD 之间，/ BAP 与/ DCP 的角平分线相交于点之间的数量关系，并说明理由.(3) 如图3,点P 落在CD 夕卜，/ BAP 与/ DCP 的角平分线相交于点 K , / AKC 与/ APC 有何数量关 系？并说明理由.10. 已知，直线 AB / DC ,点P 为平面上一点，连接 AP 与 CP .(1) 如图1,点P 在直线AB 、CD 之间，当/BAP = 60°,/ DCP = 20° 时，求/ APC .K ,写出/ AKC 与/ APC11. 如图，已知 AM II BN ,/ A = 80。

第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

【分析】由平移的性质知， AO∥SM，再由平行线的性质可得∠ WMS∠= OW，M 即可得答案． 解：由平移的性质知， AO∥ SM， 故∠ WMS∠= OWM=2°2 ； 故答案为： 22． 3．如图，直线 AE∥ BD，点 C 在 BD 上，若 AE=4， BD=8，△ ABD的面积为 16，则△ ACE的面 积为 8 ．
标准实用
则 AB∥ CD； （2）延长 ED交 BC于点 F． ∵AB∥ DE， ∴∠ BFE=∠ABC=70°，则∠ CFE=180° - ∠BFD=110°， ∴∠ C=∠ CDE-∠ CFE=147° -110 ° =37°， 故答案是： 37°； （3）延长 DC交 AB于点 F，作△ ACF的外角∠ 4． ∵CD∥ BE， ∴∠ DFB=∠3， 又∵∠ DFB+∠ 2+∠ 4=360°， ∴∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°，即∠ 2+∠ 3=360° - ∠ 4． ∴∠ 2+∠ 3- ∠ 1=360° - ∠ 4- ∠ 1=360° -180 ° =180°， 故答案是： 180°； （4）延长 BE 交直线 CD于点 G． ∵AB∥ CD， ∴∠ ABE=∠BGD， 又∵∠ ABE=∠ DCF， ∴∠ BGF=∠DCF， ∴BE∥ CF． 例 2. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图 1 若 AB∥ CD 点 P 在 AB、 CD外部 求证：∠ BPD=∠ B- ∠D； （2）将点 P 移到 AB、 CD内部 如图 2 （ 1）中的结论是否成立 若成立 说明理由：若 不成立 则∠ BPD、∠ B、∠ D 之间有何数量关系 不必说明理由； （3）在图 2 中 将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD于点 Q 如图 3 则∠ BPD、∠ B、∠ D、∠ BQD之间有何数量关系 并证明你的结论； （4）在图 4 中 若∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠E+∠ F+∠G=n× 90° 则 n=______．

中考数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(及答案

中考数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(及答案

中考数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(及答案一、选择题1．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；③等腰三角形的两底角相等；④等腰三角形两底角的平分线相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，下列说法不正确的是（）A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角3．如图，AB∥CD，∠1=120°，则∠2＝（）A．50°B．70°C．120°D．130°4．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．115°B．65°C．35°D．25°5．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（）A ．70°B ．45°C ．110°D ．135°6．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒7．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）A ．70°B ．180°C ．110°D ．80°8．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A ．一对邻补角的平分线互相垂直B ．一对同位角的平分线互相平行C ．一对内错角的平分线互相平行D ．一对同旁内角的平分线互相平行9．下列定理中，没有逆定题的是（ ）①内错角相等，两直线平行②等腰三角形两底角相等③对顶角相等④直角三角形的两个锐角互余．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，直线a 和直线b 被直线c 所载，且a//b ，∠2=110°,则∠3=70°，下面推理过程错误的是（ ）A ．因为a//b ，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义）所以∠3=180︒-∠6=180︒-110︒=70︒B ．//,13,12180a b ︒∴∠=∠∠+∠=1180218011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=所以370︒∠=C ．因为a//b 所以25∠=∠又∠3+∠5=180°(邻补角定义），3180518011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=D ．//,42110a b ︒∴∠=∠=，43180︒∠+∠=，∴∠3=180°−∠4=180°−110°=70°所以3180418011070︒︒︒︒∠=-∠=-=二、填空题11．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；12．如图，AB ∥CD ，∠1=64°，FG 平分∠EFD ，则∠EGF=__________________°．13．如图，已知A 1B //A n C ，则∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n 等于__________(用含n 的式子表示)．14．如图，∠AEM ＝∠DFN ＝a ，∠EMN ＝∠MNF ＝b ，∠PEM ＝12∠AEM ，∠MNP ＝12∠FNP ，∠BEP ，∠NFD 的角平分线交于点I ，若∠I ＝∠P ，则a 和b 的数量关系为_____（用含a 的式子表示b ）．15．已知：如图放置的长方形ABCD 和等腰直角三角形EFG 中，∠F=90°，FE=FG=4cm ，AB=2cm ，AD=4cm ，且点F ，G ，D ，C 在同一直线上，点G 和点D 重合．现将△EFG 沿射线FC 向右平移，当点F 和点C 重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm 2，则△EFG 向右平移了____cm ．16．α∠与β∠的两边互相垂直，且o 50α∠=，则β∠的度数为_________.17．如图，已知AB ∥CD,∠EAF =14∠EAB,∠ECF=14∠ECD ,则∠AFC 与∠AEC 之间的数量关系是_____________________________18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．19．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC ∥DE ．则∠BAD （0°＜∠BAD ＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．20．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．三、解答题21．对于平面内的∠M 和∠N ，若存在一个常数k ＞0，使得∠M ＋k ∠N ＝360°，则称∠N 为∠M 的k 系补周角．如若∠M ＝90°，∠N ＝45°，则∠N 为∠M 的6系补周角．（1）若∠H ＝120°，则∠H 的4系补周角的度数为 ；（2）在平面内AB ∥CD ，点E 是平面内一点，连接BE ，DE ．①如图1，∠D ＝60°，若∠B 是∠E 的3系补周角，求∠B 的度数；②如图2，∠ABE 和∠CDE 均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得∠BPD 是∠F 的k 系补周角，并直接写出此时的k 值（用含n 的式子表示）．22．为了探究n 条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:①一条直线把平面分成2部分;②两条直线可把平面最多分成4部分;③三条直线可把平面最多分成7部分;④四条直线可把平面最多分成11部分;……把上述探究的结果进行整理,列表分析:直线条数把平面最多 分成的部分数 写成和的形式 12 1+1 24 1+1+2 37 1+1+2+3 411 1+1+2+3+4 … … …(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?23．(1)如图1，已知任意ABC ∆，过点C 作//DE AB ，求证：180A B ACB ∠+∠+∠=︒；(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=︒交DEB ∠的角平分线EF 于点,150F AGF ∠=︒，求F ∠的度数．24．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．（1）求证：// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．25．如图，AB ∥CD ．（1）如图1，∠A 、∠E 、∠C 的数量关系为 ．（2）如图2，若∠A ＝50°，∠F ＝115°，求∠C ﹣∠E 的度数；（3）如图3，∠E ＝90°，AG ，FG 分别平分∠BAE ，∠CFE ，若GD ∥FC ，试探究∠AGF 与∠GDC 的数量关系，并说明理由．26． [问题解决]：如图1，已知AB ∥CD ，E 是直线AB ，CD 内部一点，连接BE ，DE ，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED 的度数．嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程： 解：过点E 作EF ∥AB ，∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，…请你补充完成嘉淇的解答过程：[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：如图3，AB ∥CD ，射线OM 与直线AB ，CD 分别交于点A ，C ，射线ON 与直线AB ，CD 分别交于点B ，D ，点P 在射线ON 上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；③等腰三角形的两底角相等；正确；④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．故选D．点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．2．A解析：A【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．【详解】A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；故选A.【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 3．C解析：C【分析】由平行线性质和对顶角相等可以得到解答．【详解】解：如图，由对顶角相等可以得到∠3＝∠1=120°又AB∥CD，∴∠2＝∠3=120°．故选C．【点睛】本题考查平行线和对顶角的综合应用，由题意发现角的相等关系是解题关键．4．D解析：D【解析】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°．又∵BC⊥AB，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D．5．C解析：C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．【详解】解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a∥b，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C．【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．6．B解析：B【分析】过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．【详解】解：如图，过点P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2=180°-∠1+∠3，所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.故选：C【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.8．D解析：D【解析】试题分析：A 、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；B 、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；C 、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；D 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误； 故选：D ．9．A解析：A【解析】试题分析：根据题意可知：①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理；③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理.只有一个不是逆定理.故选：A10．D解析：D【分析】根据平行线的性质结合邻补角的性质对各选项逐一进行分析判断即可得．【详解】A ． 因为a//b ，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义）所以∠3=180︒-∠6=180︒-110︒=70︒，正确，不符合题意；B ． //,13,12180a b ︒∴∠=∠∠+∠=，1180218011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，所以370︒∠=，正确，不符合题意；C ． 因为a//b ，所以25∠=∠，又∠3+∠5=180°(邻补角定义），3180518011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，正确 ，不符合题意；D ． //,42180a b ︒∴∠+∠=，∴∠4=180°-∠2=180°-110°=70°，43∠=∠，∴∠3=70°，故D 选项错误，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．二、填空题11．62【详解】∵，，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析：62【详解】∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.12．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD ，再根据角平分线的定义求出∠GFD ，然后根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠1=64°，∴∠EFD=∠1=64°，∵解析：【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD ，再根据角平分线的定义求出∠GFD ，然后根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠1=64°，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD=12∠EFD=12×64°=32°， ∵AB ∥CD ，∴∠EGF=∠GFD=32°．故答案为：32．考点：平行线的性质．13．【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题解析：()1180n -⋅︒【分析】过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B ，得到321////...////n A E A D A B A C ，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B1//n A B A C321////...////n A E A D A B A C ∴112180A A A D ∴∠+∠=︒,2323180DA A A A E ∠+∠=︒...()11231...1180n n A A A A A A C n -∴∠+∠++∠=-⋅︒故答案为：()1180n -⋅︒．【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．14．．【分析】分别过点P 、I 作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME 知∠EPH=x，由EM∥FN 知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠E 解析：81209a b =-︒． 【分析】分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，设∠AME=2x ，∠PNF=2y ，知∠PEM=x ，∠MNP=y ，由PH ∥ME 知∠EPH=x ，由EM ∥FN 知PH ∥FN ，据此得∠HPN=2y ，∠EPN=x+2y ，同理知3902EIF x x ∠︒-+＝，根据∠EPN=∠EIF 可得答案． 【详解】 分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，设∠AME ＝2x ，∠PNF ＝2y ，则∠PEM ＝x ，∠MNP ＝y ，∴∠DFN ＝2x ，∵PH ∥ME ，∴∠EPH ＝x ，∵EM ∥FN ，∴PH ∥FN ，∴∠HPN ＝2y ，∠EPN ＝x +2y ，同理，3902EIF x x ∠︒-+＝， ∵∠EPN ＝∠EIF ，∴3902x x ︒-+＝x +2y ， ∴339042b ︒-a ＝， ∴91358b a =︒-， ∴81209b -︒a ＝，故答案为：81209b-︒a＝．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．15．3或2+【解析】分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC＜，故这种情况不成立；②如图解析：3或2+22【解析】分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=12DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=12DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故这种情况不成立；②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =12DG2－12CG2=4，即：12DG2－12（DG-2）2=4，解得：DG=3；③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =12EF2－12CG2=4，即：12×42－12（DG-2）2=4，解得：DG=222+或222-（舍去）．故答案为：3或222．点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．16．130°或50°【解析】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情解析：130°或50°【解析】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；综上可知：∠β=50°或130°，故正确答案为：【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.17．4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18解析：4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC ═3（x°+y°），即可得出答案．【详解】连接AC ，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE ）=180°-[180°-（4x°+4y°）]=4x°+4y°=4（x°+y°），∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA ）=180°-[180°-（3x°+3y°）]=3x°+3y°=3（x°+y°），∴∠AFC=34∠AEC ， 即：4∠AFC=3∠AEC ，故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．18．145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵,∵OE 平分∠AOC，∴,∵OF⊥OE 于点O ，∴∠EOF＝90°，∴∠A解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．19．45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC ∥AD 时,∠DAE=∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD =∠DAE =45°；当BC ∥AD 时,∠DAE =∠B =60°；当BC ∥AE 时,∵∠EAB =∠B =60°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；当AB ∥DE 时,∵∠E =∠EAB =90°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°.故答案为45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.20．73°【解析】试题解析：∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，∴∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．解析：73°【解析】试题解析：∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．三、解答题21．（1）60°；（2）①75°，②当BG上的动点P为∠CDG的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n，推导见解析.【分析】（1）直接利用k系补周角的定义列方程求解即可．（2）①依据k系补周角的定义及平行线的性质，建立∠B ED、∠B、∠D的关系式求解即可.②结合本题的构图特点，利用平行线的性质得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°,结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），又由于点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，通过构造相同特殊条件猜想出一个满足条件的P点，再通过推理论证得到k的值（含n的表达式），即说明点P即为所求.【详解】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x，则有120°+4x=360°，解得：x=60°∴∠H的4系补周角的度数为60°；（2）①如图，过点E作EF//AB，∵AB//EF,∴EF//CD，∴∠B=∠1,∠D=∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠D ，即∠B ED=∠B+∠D ，∵∠BED+3∠B=360°，∠D ＝60，∴360360B B ︒-∠=∠+︒，解得：∠B=75°，∴∠B=75°；②预备知识，基本构图：如图，AB//CD//EF,则∠ABE+∠BEG=180°，∠DCE+∠GEC=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°如图：当BG 上的动点P 为∠CDG 的角平分线与BG 的交点时，满足∠BPD 是∠F 的k 系补周角，此时k=2n.理由如下：若∠BPD 是∠F 的k 系补周角，则∠F+k ∠BPD=360°，∴k ∠BPD=360°-∠F又由基本构图知：∠ABF+∠CDF=360°-∠F ， ∴k ∠BPD=∠ABF+∠CDF ，又∵∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE ，∴k ∠BPD= n ∠ABE+ n ∠CDE ，∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,∵AB//CD ，PG 平分∠ABE ，PD 平分∠CDE ，∴∠PHD=∠ABH=12ABE ∠ ,∠PDH=12CDE ∠， ∴2k (ABE ∠+CDE ∠)=n(∠ABE+∠CDE)， ∴k=2n.【点睛】本题主要考查平行线的基本性质及基本构图的应用.题型较新颖，发散性较强，理解题意，熟练掌握平行线的性质及其基本构图是解题的关键.22．(1) 16； (2) 56； (3)(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分 【分析】（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分； （2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n 条时，把平面最多分成1+1+2+3+…+n ，求和即可．【详解】（1）16;1+1+2+3+4+5.（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.（3）当直线条数为n 时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分. 【点睛】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．23．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．【分析】（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=︒，61AED ∠=︒，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图1所示，在ABC ∆中，//DE AB ，A ACD ∴∠=∠，B BCE ∠=∠．180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=︒，180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒；（2）180AGF FGE ∠+∠=︒，由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=︒，AGF AEF F ∴∠=∠+∠；（3）//AB CD ，119CDE ∠=︒，119DEB CDE ∴∠=∠=︒，18061AED CDE ∠=︒-∠=︒，∵EF 平分DEB ∠，59.5DEF ∴∠=︒，120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=︒，150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．24．（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【分析】（1）利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥，故结合已知条件GH EG ⊥，易证//PF GH ；（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522QPK EPK ∠=∠=︒+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变，是定值45︒．【详解】解：（1）证明：如图1，//AB CD ，180BEF EFD ∴∠+∠=︒．又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，1()902FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．GH EG ⊥，//PF GH ∴；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：如图2，12∠=∠， 322∠=∠∴． 又GH EG ⊥，49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．PQ ∵平分EPK ∠，14522QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒．25．（1）∠AEC ＝∠C +∠A ；（2）∠C ﹣∠E ＝15°；（3）2∠AGF +∠GDC ＝90°．理由见解析．【分析】（1）过点E 作EF ∥AB ，知AB ∥CD ∥EF ，据此得∠A=∠AEF ，∠C=∠CEF ，根据∠AEC=∠AEF+∠CEF 可得答案；（2）分别过点E 、F 作FM ∥AB ，EN ∥AB ，设∠NEF=x=∠EFM ，知∠AEF=x+50°，∠MFC=115°-x ，据此得∠C=180°-（115°-x ）=x+65°，进一步计算可得答案；（3）分别过点E 、F 、G 作FM ∥AB ，EN ∥AB ，GH ∥AB ，设∠GAE=x=∠GAB ，∠GFM=y ，∠MPC=z ，知∠GPE=y+z ，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z ，根据GD ∥FC 得∠D=z ，由GH ∥AB ，AB ∥CD 知∠AGF=x+y ，继而代入可得答案．【详解】（1）∠AEC ＝∠C +∠A ，如图1，过点E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，则∠GPE＝y+z，∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，∵GD∥FC，∴∠D＝z，∵GH∥AB，AB∥CD，∴∠AGF＝x+y，∴2∠AGF+∠GDC＝90°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质．26．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．【分析】问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．【详解】问题解决：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；问题迁移：（1）如图3，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．。

平行线相交线坐标压轴题专项练习60题(有答案)ok

平行线相交线坐标压轴题专项练习60题(有答案)ok

平行线相交线坐标专项练习60题（有答案）1．已知，D为CF上一点，AB∥CF，过E作直线交AB于B，交CF于C，（1）若AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，求证：AD=AB﹣CD．（2）若AE平分∠BAD的外角，DE平分∠ADF的外角，求证：AD=CD﹣AB．2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴．（1）A点坐标是_________，B点坐标是_________；（2）将线段AB经过怎样的平移可以得到线段A′B′？其中点B的对应点B′的坐标是（7，3），并画出平移后的线段A′B′；（3）如果线段AB上任意一点M的坐标为（x，y），那么经过题（2）中的平移后它的对应点M′的坐标是什么？3．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED的度数．4．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1于O，BC交l2于点E．（1）若∠1=20°，求∠2的度数．（2）若∠1=n°，求∠2的度数．（3）通过求（1）、（2）两问中∠2的度数，你发现∠1与∠2的度数有什么关系？5．如图，已知直线CB∥CM，∠C=∠OAB=100°，E，F在BC上，满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，则∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律，若不变求其比值．6．如图，直线AC∥MN∥OB．直线MN上一点P到直线AC、AO、OB的距离相等，即PE=PF=PH．直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等吗？请说明理由．7．实际运用：如图是宏达模具厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE，按规定AB、CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量．这时，李师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需要测量哪一个角吗？说明理由．8．如图，已知∠3+∠DCB=180°，∠1=∠2，∠CME：∠GEM=4：5，求∠CME的度数．9．如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由．10．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．11．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F 不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x．（Ⅰ）求证：AF=EC；（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？12．已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．13．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？14．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB．求证：FD∥BC．15．如图，EB=EG，请从下面三个条件：①DE=DF；②AB=AC；③BE=CF中，再选两个作为已知条件，另一个作为结论，写出一个真命题（只需写出一种情况），并加以证明．已知：EB=EG，_________，_________．求证：_________．证明：16．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使点B′和C点重合，连接AC′交A′C于D．（1）求证：A′D=CD；（2）求△C′DC的面积．17．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．18．如图所示．EG∥AF，请你在下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF．（1）写出一个真命题，已知：EG∥AF，_________=_________，_________=_________．求证：_________=_________并证明．（2）再写出一个真命题（不要求证明）．19．如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面上表示时间的四个数字．（1）请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可．（2）若这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字．20．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1=_________°，∠2=_________°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．①如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数（结果用含n的代数式表示）；②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．21．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？22．将一副直角三角板按图所示方式放置，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=60°，∠ECD=45°，AB边交直线DE于点M，设∠BMD=α，∠BCE=β，将直角三角板ABC绕着点C旋转，在旋转过程中，点B始终位于直线DE下方，猜想变化过程中α与β的数量关系，并利用相交线与平行线的相关知识证明你的猜想．23．如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，P为HD上任意一点，由P向HF作射线OP，交点为O．（1）当∠AGF=60°，∠HOP=35°时，求∠HPO的度数；（2）当∠HOP=40°，∠HPO=25°时，求∠AGF的度数；（3）由（1）（2）你发现∠HOP，∠AGF，∠HPO之间有什么关系？（4）试说明你发现的三个角之间的关系的正确性．24．如图（a），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接．（1）在图（a）中，∠B与∠C有何关系？（2）若将橡皮筋拉成图（b）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（3）若将橡皮筋拉成图（c）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（4）若将橡皮筋拉成图（d）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（5）若将橡皮筋拉成图（e）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？25．如图，AOB为一条在O处拐弯的河道，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路，如不考虑其他因素，这两种方案哪个更经济些？它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳方案，并简要说明理由．26．噪音对环境的影响与距离有关，距离越近，噪音越大，如图，一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶，M、N分别位于公路AB两侧的两所学校，通过画图，完成下列各题，并说明理由．（1）学校M受噪音影响最严重的P点；（2）学校N受噪音影响最严重的Q点；（3）在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小，而学校N受噪音影响越来越大？27．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？28．如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？29．（探索题）如图所示，若AB∥CD，在下列四种情况下探索∠APC与∠PAB，∠PCD三者之间的关系，并选择图（3）进行说明．30．如图，已知直线AB和直线CD被直线GH所截，交点分别为E、F点，且AB∥CD．（1）若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM与FN平行吗？若平行，试说明理由．（2）若EK是∠BEF的平分线，则EK和FN垂直吗？说明理由．31．已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且∠CON+∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，并说明理由．32．如图，△ABC中，∠A=62°，作CD∥AB，点E在AC上，点F在△ABC内，且∠FEC=62°，连接BF．请你探索∠1、∠2、∠F三个角之间的关系，并给出证明．33．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．34．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在直线AB上．（1）试找出∠1，∠2，∠3之间的等式关系，并证明．（2）应用（1）的结论解答下列问题：①如图2，点A在B处的北偏东40°方向上，点A在C处的北偏西45°方向上，求∠BAC的度数．②在图3中，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下地挖去一小半圆），求∠1+∠2的度数．35．已知：∠A=（90+x）°，∠B=（90﹣x）°，∠CED=90°，射线EF∥AC，2∠C﹣∠D=m°（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（2）如图1，当m=30°时，求∠C、∠D的度数．（3）如图2，求∠C、∠D的度数（用含m的代数式表示）36．如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）试说明：OB∥AC；（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．37．△ABC和△DEF是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边BC、AB、AC的长分别是6cm、8cm、10cm，且B、C、D、F在同一条直线上．（1）如果△ABC朝着某个方向平移后得如图②所示，则△ABC平移的方向是什么？平移的距离是多少？（2）△ABC平移至图③所示的位置，如果BD=6.4cm，则△EBF的面积是多少？38．如图，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位，有个圆经过A、B、C、D四个点，圆心为点O．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使点O的坐标为（0，0），并写出A、B、C、D四个点的坐标；（2）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A、B、C、D四个点的坐标又是多少？（3）比较（1）（2）中的A、B、C、D四个点的坐标变化，你发现了什么？请写出一条．39．如图，将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到△A1B1C1．（1）画出平移后的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（3）已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求P点的坐标．40．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）将△ABC的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1，画出图形，并说明所得的图形与原图形有什么关系？所得的图形与△A2B2C2有什么关系？41．如图，已知射线DM与直线BC交于点A，AB∥DE．（1）若当∠MAC=100°，∠BCE=120°时，问把EC绕点E再旋转多大角度时，可判定MD∥EC，请你设计出两种方案，并画出草图（旋转后若EC与AB相交，则交点用C′表示）．（2）若将EC绕点E逆时针旋转60°时，点C与点A恰好重合，请画出草图，并在图中找出同位角、内错角各两对（先用数字标出角，再回答）．42．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B 两点，l4和l1、l2分别交于D、C 两点，点P在直线AB上且点P和A、B不重合，PD和DM的夹角记为∠1，PC和CN的夹角记为∠2，PC和PD的夹角记为∠3．（1）当∠1=25°，∠3=60°时，求∠2的度数；（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（4）如果直线l3向左平移到l4左侧，其它条件不变，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（其中（2）、（3）、（4）均只要写出结论，不要求说明）．43．如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=_________．（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，则（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，说明你的理由．（3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=120°”，其它条件不变，那么∠DBA=_________．（直接写出结果，不必证明）44．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）写出点B的坐标（_________）．（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．45．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．46．如图，l1∥l2，MN分别和直线l1，l2交于点A，B，ME分别和直线l1，l2交于点C，D，点P在MN上（P与A，B，M三点不重合）①如果点P在A，B两点之间运动时，∠α，∠β，∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②如果点P在A，B两点外运动时，∠α，∠β，∠γ之间有何数量关系？（只要求写出结论）．47．如图，已知∠1=∠2，∠MAE=45°，∠FEG=15°，∠NCE=75°，EG平分∠AEC，求证：AB∥EF∥CD．48．如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．（1）求证：PA⊥PC；（2）当E、M在AB、CD上运动时，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确给予证明．49．已知：AB∥CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E的度数；（2）如图2，当AD⊥BC时，求∠E的度数；（3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E的度数（用含α的式子表示）．50．在实践中学习：（1）如图1所示：已知AB∥CD，∠ABD=115°，根据_________可得出：∠BDC的度数是_________．（2）如图2所示：已知AB∥CD，∠ABC=25°，∠EDC=40°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD∵EF∥AB，EF∥CD∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF_________∴∠BEF=25°，∠DEF=40°即∠BED=_________．（3）如图3所示：已知MA∥NC，试确定∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系，并说明理由．（4）如图4所示：已知AB∥CD，∠ABE=α，∠FCD=β，∠CFE=γ，且BE⊥EF，试确定α、β、γ的关系，请说明理由．51．（1）如图1，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F．请写出图①中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若△ABC中，∠B的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于O，过O点作EF∥BC交AB于E，交AC于F．此时EF与BE、CF的数量关系又如何？请直接写出关系式，不需说明理由．52．如图1，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE﹣∠HAE=90°．（1）求证：BH∥CD．（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．53．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，若∠OEC=∠OBA，则∠OBA=_________度．54．已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C．、55．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．56．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）（1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；（3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．57．如图，BD∥FG∥EC，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，求∠PAG．58．如图1：AB∥CD，则∠1+∠2=_________；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3=_________；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4=_________；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n=_________．59．已知PE∥BA，PE交BC于E；PF∥BC，PF交BA于F，PH⊥BA，垂足为H（1）如图：若∠FPH=43°，则∠ABC=_________°（2）若∠ABC=72°，则∠FPH=_________°（3）如果∠ABC是一个钝角，那么点F和点B在点H的_________侧（填“同”或“异”）；（4）当∠ABC=150°，BE=BF=3cm时画出图形并求出∠FPH的大小．60．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OB∥AC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则∠OCB：∠OFB的值是_________．参考答案：1．（1）延长DE交AB于N，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，∴∠DAE=∠NAE=∠DAN，∠ADE=∠ADF．∴∠DAE+∠ADE=∠DAN+∠ADF=（∠DAN+∠ADF）．∵AB∥CF，∴∠DAN+∠ADF=180°，∠C=∠B，∠CDE=∠BNE．∴∠DAE+∠ADE=×180°=90°∴∠AED=∠AEN=90°在△ADE和△ANE中，∴△ADE≌△ANE（ASA），∴AD=AN，DE=NE．在△CDE和△BNE中，，∴△CDE≌△BNE（AAS），∴CD=BN．∵AN=AB﹣NB，∴AD=AB﹣CD；（2）延长BA到M，延长AE交CD于N，∵AE平分∠DAM，DE平分∠ADC，∴∠DAE=∠DAM，∠ADE=∠NDE=∠ADC，∴∠DAE+∠ADE=∠DAM+∠ADC=（∠DAM+∠ADC）．∵AB∥CF，∴∠DAM+∠ADC=180°，∠C=∠B，∠CNE=∠BAE．∴∠DAE+∠ADE=×180=90．∴∠AED=∠DEN=90°．在△ADE和△NDE中∴△ADE≌△NDE（ASA），∴AD=DN，AE=NE．在△ABE和△NCE中，，∴△ABE≌△NCE（AAS），∴AB=NC．∵DN=CD﹣CN，∴AD=CD﹣AB．2．（1）A点坐标是（﹣2，1），B点坐标（4，﹣1）；（2）将线段AB先向上平移4个单位再向右平移3个单位可以得到线段A′B′；如图所示．（3）点M′的坐标是（x+3，y+4）．3．如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；又∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°4．如图，过点B作BD∥直线l1．∵AB⊥l1，∴AB⊥BD，即∠ABD=90°，∵直线l1∥l2，∴∠DBC=∠1，∴∠2=∠ABD+∠DBC=90°+∠1；（1）若∠1=20°时，∠2=90°+20°=110°；（2）若∠1=n°时，∠2=90°+n°；（3）∠2﹣∠1=90°，即∠2与∠1的差的定值90°．5．（1）∵CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，∴∠COA=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∠FBO=∠AOB，又∵∠FOB=∠AOB，∴∠FBO=∠FOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA=×80°=40°；（2）不变，∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：26．相等，理由是：∵PE、PH的长分别是直线AC与直线MN的距离和直线OB和直线MN间的距离，又∵PE=PF=PH，∴直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等7．延长AB、CD相交于点G．∵AB∥CF，CD∥AE，∴∠C+∠G=180°，∠A+∠G=180°（两条直线平行，同旁内角互补），∵∠G=80°，∴∠C=100°，∠A=100°，∴测量∠C或∠A的度数均可，只需∠C=100°或∠A=100°即可．8．如图，∵∠3=∠ABC，∠3+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴DC∥AB，∴∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴CM∥EG，∴∠CME+∠GEM=180°，∵∠CME：∠GEM=4：5，∴∠CME=×180°=80°．9．（1）AC⊥CE理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠A=90°．∵∠DCE+∠A+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE；（2）AC⊥BE如图2，∵△ABC≌△BDE，∴∠A=∠EBD，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠EBD+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°∴AC⊥BE10．（1）AD+BE=AB．（2）成立．（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵AC平分∠MAB，∴∠DAC=∠CAB，又∵AC=AC，AD=AG，∴△ADC≌△AGC（SAS），∴∠DCA=∠ACG，∵AM∥BN，∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，∴∠CAB+∠GBC=90°，∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，∴∠DCA+∠BCE=90°，∴∠GCB=∠ECB，∵∠ABC=∠CBE，BC=BC，∴△BGC≌△BEC．∴BG=BE，∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB，∵AM∥BN，∠AFG=90°，∴∠BGF=∠FGE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∠ABC=∠CBE，∴CF=CH，CH=CG，∴CF=CG，∵∠FCD=∠ECG，∴△CFD≌△CGE．∴DF=EG，∴AD+BE=AF+BG=AB．（方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN，∴∠FCD=∠CBG，∵∠CBH=∠CBG，∴∠FCD=∠CBH，∴AF=AB，∵∠DAC=∠CAB，AC=AC，∴△AFC≌△ABC，CF=CB，∵∠ECG=∠BCG，∴△FCD≌△BCE，∴DF=BE，∴AD+BE=AD+DF=AF=AB．（3）不成立．存在．当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图①），AD﹣BE=AB．当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图②），BE﹣AD=AB11．（Ⅰ）证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S 梯形CDFE，∴a（x+AF）=a（EC+b﹣AF），∴2AF=EC+（b﹣x）．又∵EC=b﹣x，∴2AF=2EC．∴AF=EC．（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）∵EC∥E′B′，∴=，由EC=b﹣x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x：b=．当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴CE=（AD+E′B′），即b﹣x=（b+x），∴x：b=．（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，证明：连接BF，∵FD∥BE，FD=BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB=DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE=EE′，∴FB∥EE′，FB=EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形，∴BE′∥EF．如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，∵x：b=，∴EM=BC=b，若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E，在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==，在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，∴=．又∵a＞0，b＞0，=，∴当=时，BE′与EF垂直12．证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．13．（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．14．证明：在△ADF和△ABF中，，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠ADF=∠ABE，∵∠C+∠BAC=90°，∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE=∠ADF，∴DF∥BC15．已知：EB=EG，②AB=AC，③BE=CF．求证：①DE=DF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵BE=EG，∴∠B=∠EGB，∴∠EGB=∠ACB，∴EG∥AF，∴∠DEG=∠F，∠EDG=∠FDC，∵BE=CF，∴EG=CF，∴△EDG≌△FDC（AAS），∴DE=DF．故答案为：AB=AC，BE=CF，DE=DF16．（1）证明：∵△ABC沿BC平移到△A′B′C′，∴AC∥A′C′，AC=A′C′，∴∠ACD=∠C′A′D，又∵∠ADC=∠C′DA′，∴△ACD≌△C′A′D，∴A′D=CD；（2）解：∵△ABC沿BC平移到△A′B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积相等，等于36，因为A′D=CD，所以△C′DC与△C′A′D的面积相等，等于1817．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE18．（1）已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF．求证：BE=CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠F，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE，∴BE=EG．∵DE=DF，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，∴BE=CF．（2）①③⇒②已知：EG∥AF，AB=AC，BE=CF．求证：DE=DF19．（1）根据题意得：（2）设这四个数字中最小的一个数字是x，根据题意得，x+（x+3）+（x+6）+（x+9）=22解得：x=1，∴这四个数字中最小的一个数字是120．（1）∠1=180°﹣60°=120°，∠2=90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°﹣60°﹣n°=120°﹣n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°﹣n°，∠BCG=180°﹣∠CBF=180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°﹣∠ACB﹣∠BCG，=360°﹣90°﹣（180°﹣n°），=90°+n°；②当n=30°时，AB⊥DG（EF）；当n=90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n=120°时，AB⊥DE（GF）；当n=180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；当n=210°时，AB⊥DG （EF）；当n=270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；当n=300°时，AB⊥DE （GF）．21．过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．又∵BE∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．22．α与β的数量关系为α﹣β=15°或α+β=165°．当将直角三角板ABC绕着点C逆时针旋转时，如图1，∵∠BMD+∠B=∠BDE+∠DEC，∴α+30°=β+45°，∴α﹣β=15°；当将直角三角板ABC绕着点C顺时针旋转时，如图2，∵∠BMD=∠1+∠B，而∠1=∠2，∠2=180°﹣∠DEC﹣∠BCE，∴∠BMD=180°﹣∠DEC﹣∠BCE+∠B，∴α=180°﹣45°﹣β+30°，∴α+β=165°．23．（1）∵AB∥CD，∴∠GHD=∠AGH=60°，∴∠HPO=∠GHD﹣∠HOP，=60°﹣35°，=25°；（2）由三角形的外角性质，∠GHD=∠HOP+∠HPO，=40°+25°，=65°，∵AB∥CD，∴∠AGF=∠GHD=65°；（3）∠AGF=∠HOP+∠HPO；（4）∠AGF=∠HOP+∠HPO．理由如下：∵AB∥CD，∴∠GHD=∠AGH，由三角形的外角性质得，∠GHD=∠HPO+∠HOP，∴∠AGF=∠HPO+∠HOP24．（1）∵EB∥FC，∴∠B+∠C=180°；（2）如图，过点A作AD∥EB，则∠BAD=∠B，∠CAD=∠C，∴∠BAD+∠CAD=∠B+∠C，即∠A=∠B+∠C；（3）如图，过点A作AD∥EB，则∠B+∠BAD=180°，∠C+∠CAD=180°，∴∠B+∠BAD=∠C+∠CAD=180°+180°，即∠A+∠B+∠C=360°；（4）由三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∵EB∥FC，∴∠1=∠C，∴∠A+∠B=∠C；（5）由三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∵EB∥FC，∴∠1=∠B，∴∠A+∠C=∠B．25．∵在Rt△POM中，PM＞PO，∴这两种方案沿PO修路更经济些，它不是最佳方案，过点P作PN⊥OB于点N，∵OP＞PN，PN是点P到OB上的最短路线，∴此方案是最佳方案．26．（1）如图所示：P点即为所求．过M作MP⊥AB，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校M影响最大；（2）如图所示：Q点即为所求．过N作NQ⊥AB，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，对学校N影响最大；（3）如图所示：PQ范围内，学校M受噪音影响越来越小，而学校N受噪音影响越来越大27．∵AB∥EF，CD∥EG，∴∠AEF+∠A=180°，∠DEG+∠D=180°，∵∠A=∠D，∴∠AEF=∠DEG，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH，∴∠AEF+∠FEH=×180°=90°，即∠AEH=90°，∴EH⊥AB，∴线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离．28．DE⊥CD，理由如下：∵OA∥BE（已知），∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）；又∵OB平分∠AOE，∴∠1=∠2；又∵∠4=∠5，∴∠2=∠5（等量代换）；∴DE∥OB（已知），∴∠6=∠2+∠3（外角定理）；又∵∠2+∠3=90°，∴∠6=90°，∴DE⊥CD 29．（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD﹣∠PAB；（4）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；选（3）说明，设PC交AB于K，则∠PKB=∠PCD，∵∠PKB=∠APC+∠PAB，∴∠APC+∠PAB=∠PCD，即∠APC=∠PCD﹣∠PAB．30．（1）EM∥FN，理由为：∵ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，∴∠MEF=∠AEF，∠EFN=∠EFD，又∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFD，∴∠MEF=∠EFN，∴EM∥FN；（2）EK⊥FN，理由为：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又∵EK是∠BEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，∴∠FEK=∠BEF，∠EFN=∠EFD，∴∠FEK+∠EFN=90°，∴∠EKF=90°即EK⊥FN31．OM⊥OC．理由如下：设∠CON为x°，则∠MOC为（132﹣x）°，依题意，得，解得x=42．∴∠MOC=∠MON﹣∠CON=132°﹣x=132°﹣42°=90°，即OM⊥OC32．三个角之间关系为：∠1+∠F+∠2=180°．理由如下：（2分）∵CD∥AB，∴∠1=∠CBA=∠2+∠FBA，（两直线平行，内错角相等）即∠FBA=∠1﹣∠2①，（4分）又∵∠A=∠FEC=62°，∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），（6分）∴∠F+∠FBA=180°，（两直线平行，同旁内角互补）即∠FBA=180°﹣∠F②，（8分）由①、②得∠1﹣∠2=180°﹣∠F，即∠1+∠F+∠2=180°．33．（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD ﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°；（2）由（1）∴∠DOE=∠COD ﹣∠BOC=90°，∴∠DOE=90°﹣（180°﹣∠AOC），∴∠DOE=∠AOC=α；（3）∠AOC=2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣2∠COE=180°﹣2（90°﹣∠DOE），所以得：∠AOC=2∠DOE；②4∠DOE﹣5∠AOF=180°理由：设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣4∠AOF=2∠DOE﹣4∠AOF=2x﹣4y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90﹣x）+y=180﹣2 x+y，所以，2x﹣4y=180﹣2 x+y 即4x﹣5y=180，所以，4∠DOE﹣5∠AOF=180°34．（1）∠1+∠2=∠3．∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠1+∠2=∠3．（2）①过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；②作EF∥AB∥CD，则∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，即∠1+∠2的度数是90°．35．（1）∵∠A+∠B=（90+x）°+（90﹣x）°=180°，∴AC∥BD；（2）∵EF∥AC，∴AC∥EF∥BD，∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，∵∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，联立，解得；（3）∵EF∥AC，∴AC∥EF∥BD，∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，∵∠CED=90°，∴∠D﹣∠C=90°，联立，解得36．（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，∴∠BOA=80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°；（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：∵BC∥OA，∴∠FCO=∠COA，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠FOC=∠FCO，∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB=1：2；（4）由（1）知：OB∥AC，则∠OCA=∠BOC，由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，则∠OCA=∠BOC=2α+β，∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，∵∠OEC=∠OCA，∴2α+β=α+2β，∴α=β，∵∠AOB=80°，∴α=β=20°，∴∠OCA=2α+β=40°+20°=6037．（1）由图可知，△ABC平移的方向沿BC方向，∵BC=6cm，∴平移距离是6cm；（2）∵BD=6.4cm，DF=AC=10cm，∴BF=DF﹣BD=10﹣6.4=3.6cm，∵∠BFE=∠EFD，∠EBF=∠DEF=90°，∴△EBF∽△DEF，∴=，即=，解得EB=4.8cm，∴△EBF的面积=BF•EB=×3.6×4.8=8.64cm238．（1）A、B、C、D四个点的坐标分别为：A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（4，0）、D（0，4）（3分）．（2）A、B、C、D四个点的坐标分别为：A（0，0）、B（4，﹣4）、C（8，0）、D（4，4）．（3）原点向左平移4个单位长度，则各点横坐标加4．或各点纵坐标不变，横坐标加439．（2）由图可知：A1（0，4）；B1（2，0）；C1（4，1）．（3）∵A1O=4，三角形的面积为4，∴×4B1P=4，∴B1P=2，∴P（0，0），（4，0）．40．（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，可以将A，B，C分别向右平移6各单位，顺次连接即可得出，如图所示，∴C1（1，1）；（2）如图所示，分别将A，B，C绕原点O绕旋转180°，再顺次连接对应点即可得出答案；（3）根据A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣5，1），横坐标不变，纵坐标乘以﹣1，∴A3（﹣1，﹣3），B3（﹣1，﹣1），C3（﹣5，﹣1），顺次连接各点，∴△A3B3C3与△ABC关于x轴对称，△A3B3C3与△A2B2C2关于y轴对称41．（1）方案1：把EC绕E点逆时针再旋转40°时，可判定MD∥EC，如图1；方案2：把EC绕E点顺时针再旋转140°时，可判定MD∥EC，如图2；（2）如图3，同位角有：∠3与∠5，∠4与∠5，内错角有：∠1与∠6，∠2与∠542．（1）延长DP交直线l2于E，∵直线l1∥l2，∠1=25°，∴∠DEC=∠1=25°，∵∠3=60°，∠2=∠3﹣∠1=35°；（2）∠3=∠1+∠2，理由是：∵直线l1∥l2，∴∠DEC=∠1，∴∠3=∠2+∠DEC=∠1+∠2，故答案为：∠3=∠2+∠1．（3）故答案为：当点P在l1上方时∠3=∠2﹣∠1，当点P在l2下方时∠3=∠1﹣∠2；（4）故答案为：当点P在A、B两点之间时，∠1+∠2=∠3，当点P在l1上方时∠3=∠1﹣∠2，当点P在l2下方时∠3=∠2﹣∠1．43．（1）∵EF∥GH，∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°，∵∠DAB=∠BAC，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=45°，∵BD平分∠FBC，∴∠DBC=×180°=90°，∴∠DBA=90°﹣45°=45°；（2）解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x ）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x ﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，=×90°，=45°；（3）由（2）可知，∠ACB=120°时，∠DBA=×120°=60°．故答案为：（1）45°，（3）60°44．（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC 与x轴平行；故B的坐标为（4，6）；（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，此时P的坐标为（4，4），位于AB上；（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：P在AB上时，P运动了4+5=9个长度单位，此时P运动了4.5秒；P在OC上时，P运动了4+6+4+1=15个长度单位，此时P 运动了=7.5秒45．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）46．（1）如图，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：∴∠α=∠DPO，∠β=∠CPO，∴∠γ=∠α+∠β；（2）①若点P在BA延长线上，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：则∠β=∠α+∠γ．②若点P在BA延长线上，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：则∠α=∠β+∠γ47．证明：∵∠1=∠2，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠MAE=∠AEF=45°，∵∠FEG=15°，∴∠AEG=60°，∴∠GEC=60°，∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=75°，∵∠NCE=75°，∴∠FEC=∠ECN，∴EF∥CD，∴AB∥EF∥CD．48．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=90°，∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，∴∠PAC=∠BAC，∠PCA=∠DCA，∴∠PAC+∠PCD=（∠BAC+∠DCA）=90°，∴∠APC=90°，∴PA⊥PC；（2）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5=∠2，∵∠APQ+∠5+∠1=90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1=90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2=90°．49．（1）过E作EF∥AB，∵CD∥AB，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠ABC=×40°=20°，∠CDE=∠BCD=×60°=30°，∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°，则∠BED=∠BEF+∠DEF=50°；（2）过E作EF∥AB，∵CD∥AB，∴EF∥CD，∴AD⊥BC，∴∠AMB=90°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=∠ABC+∠ADC=×90°=45°；（3）∵∠AMB=α，∴∠ABC+∠BAD=180°﹣α，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=180°﹣α，∵EF∥AB∥CD，∴∠BED=（180°﹣α）=90°﹣α．50．（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BDC=180°﹣115°=65°；（2）过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD∵EF∥AB，EF∥CD∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF，∴∠BEF=25°，∠DEF=40°即∠BED=65°；故答案为两直线平行，同旁内角互补，65°；两直线平行，内错角相等；65°；（3）∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系为∠E+∠F=∠A+∠B+∠C．理由如下：作BH∥AM，如图3，由（2）的结论得到∠E=∠1+∠A，∠F=∠2+∠C，∴∠E+∠F=∠1+∠A+∠2+∠C=∠A+∠B+∠C；（4）γ+α=90°+β．理由如下：作BP∥AB，如图4，由（2）的结论得∠ABE+∠EFP=∠BEF，而∠PFC=∠FCD，∴∠EFP=90°﹣α，∠PFC=β，∴∠EFP+∠PFC=90°﹣α+β，∴γ=90°﹣α+β，即γ+α=90°+β51．（1）EF=BE+CF，（1分）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；（2分）∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，（3分）∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，（4分）同理可得OF=FC，（5分）∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（6分）（2）EF=BE﹣CF．52．（1）证明：如图，延长AE交DC于F，∵AE⊥CE，∴∠CEF=90°，根据三角形的外角性质，∠DCE﹣∠AFD=∠CEF=90°，又∵∠DCE﹣∠HAE=90°，∴∠HAE=∠AFD，∴BH∥CD；（2）解：∵AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，∴∠EAM=∠EAF，∠EAN=∠BAE=（∠EAF+∠BAF），∴∠MAN=∠EAN﹣∠EAM=（∠EAF+∠BAF ）﹣∠EAF=∠BAF，∵BH∥CD，∴∠BAF=∠AFG，∴∠MAN=∠AFG53．（1）∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，∴∠COA=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∵CB∥OA，∴∠FBO=∠AOB，又∵∠FOB=∠AOB，∴∠FBO=∠FOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA=×60°=30°；（2）不变，∵CB∥OA，则∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，。

(完整)人教版相交线与平行线提高题(含答案),推荐文档

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①2121②12③12④人教版相交线与平行线提高题(含答案)一、选择题：1．下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．的是（ C ）A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④2．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //（ B ） A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. ο180=∠+∠ACD D3．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ A ）A. 第一次向左拐ο30，第二次向右拐ο30B. 第一次向右拐ο50，第二次向左拐ο130 C. 第一次向右拐ο50，第二次向右拐ο130 D. 第一次向左拐ο50，第二次向左拐ο130 4．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．．的是（ D ） A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 5．下列说法中错误．．的个数是（ C ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。

（4）不相交的两条直线叫做平行线。

（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．下列说法中，正确．．的是（ B ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动。

B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变。

C. “相等的角是对顶角”是一个真命题。

D. “直角都相等”是一个假命题。

7．如右图，CD AB //，且ο25=∠A ，ο45=∠C ，则E ∠的度数是（ B ） A. ο60 B. ο70 C. ο110 D. ο80E DC BA4321EDC BA8．如右图所示，已知BC AC ⊥ ，AB CD ⊥，垂足分别是C 、D ，那 么以下线段大小的比较必定成立．．．．的是（ C ） A. AD CD > B. BC AC < C. BD BC > D. BD CD <9．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ B ）A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个10. 如右图所示，BE 平分ABC ∠，BC DE //，图中相等的角共有（ C ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对二、填空题1．把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……。

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初一相交线与平行线知识点1.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线，性质是对顶角相等。

2.三线八角：对顶角（相等）；邻补角（互补）；同位角，内错角，同旁内角。

3.两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）；内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）；同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。

4.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

5.垂直三要素：垂直关系、垂直记号、垂足。

6.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7.垂线段最短。

8.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c。

10.平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。

11.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

12.平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

13.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行。

14.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移后前：①两个图形形状大小不变，位置改变；②对应点的连线相等且平行（或在一条直线上）。

15.命题：判断一件事情的语句叫命题。

命题分为题设和结论两部分；题设是“如果”后面的，结论是“那么”后面的。

完整版人教版七年级下册相交线与平行线培优50题含答案

完整版人教版七年级下册相交线与平行线培优50题含答案

人教版七年级下册相交线与平行线培优50题一．选择题（共20小题）1．如图：直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G，H，若∠1＝105°，则∠2的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°2．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH 平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（）A．32°B．58°C．72°D．108°4．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）第1页（共53页）105°°D．B．60°C．75A．45°，＝4G，BG于点AC的方向平移到△DEF的位置，E交BC5．如图，将直角△ABC沿斜边；平移的距离是4②△ABC，下列结论：①∠A＝∠BED；EF＝10，△BEG的面积为4），正确的有（④CF；四边形GCFE的面积为16③BE＝①②③④D．①②③C．①③④BA．②③．）b，c应满足的条件是（c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，，6．若ab，∥cc，b∥c D．a∥bc B c．a∥c，b⊥C．a ⊥c，ba A．⊥b，⊥）＝（55°，则∠B+∠CAB7．如图，∥DE，∠E＝45°°35D．B125°．55°C．．A B、，按如图所示方式放置，其中°角的直角三角板ABCA．已知直线8m∥n，将一块含30）＝35°，则∠2的度数是（上，若∠两点分别落在直线m、n1°55．D25C°．B°．A3530．°页）53页（共2第9．已知直线l∥l，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（）21A．121°B．120°C．59°D．149°10．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（）A．若∠2＝30°，则有AC∥DEB．∠BAE+∠CAD＝180°C．若BC∥AD，则有∠2＝30°D．如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C11．如图，若直线MN∥PQ，∠ACB的顶点C在直线MN与PQ之间，若∠ACB＝60°，∠CFQ＝35°，则∠CEN的度数为（）A．35°B．25°C．30°D．45°12．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝80°，那么∠B的度数为（）°140°或．°°或．B65115°°或．A80100C40D．°115°或4013．下列条件不能判定AB∥CD的是（）第3页（共53页）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠514．如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的位置，已知BC＝8，EC ＝5，那么平移的距离为（）A．13B．8C．5D．315．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠A+∠°C C．∠E﹣∠+∠D﹣∠A＝90D＝∠C+∠E16．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l∥l的有（）21A．5个B．4个C．3个D．2个17．如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（）B．40°C．50°D．A30°．60°18．如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（）第4页（共53页）30°°D．°A．80°B．65C．45）D的关系是（CDAB∥，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠19．如图，90°B ABE＝3∠D．∠ABE+∠D＝A．∠D D．∠∠C．∠ABE+3D＝180°ABE＝2∠）°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（＝20．如图，BC∥DE，∠111040°D．60°．A25°B．35°C．13小题）二．填空题（共的、分别在MN的交点为．把一张长方形纸片21ABCD沿EF折叠后ED与BCG，D、C．2＝49°，则∠﹣∠1＝EFG位置上，若∠．、∠C、∠P的关系为，则∠．如图，已知22AB∥CDA．ADC，⊥且112A，平分∠BDBCAD如图，23．已知∥，ABC∠＝°，BDCD则∠＝535第页（共页）°，则∠2 ＝度．，若∠24．如图，直线a∥b1＝60．∠则∠1、2、∠3、∠4间的数量关系是P25．如图，若过点P，作直线m的平行线，21．相交，如果∠1＝60°，那么∠2的度数26．如图，CD直线AB∥，EF分别与AB、CD作O，过点和∠ACB的平分线，且交于点．如图，OB，OOC分别是△ABC的∠ABC27．BC ＝2008，则△OEF的周长是BCBCOE∥AB交于点O，OF∥AC交于点F，的位置关系．与AB1，∠＝∠2，试判断CDBC28．如图，已知DG⊥BC，⊥AC，EF⊥AB AC⊥（已知）⊥BC，BC解：∵DG90°（垂直的定义）＝∴∠DGB＝∠DG∴∥∴∠2＝∠）已知∵∠1＝（＝∠∴∠1536第页（共页）∴EF∥）（∴∠AEF＝∠∵EF⊥AB＝90°∴∠AEF）°（∴∠ADC＝90AB．即：CD⊥，，，若ABCBC＝29．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△111．则BB＝1已知这种红色地毯的售价准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．．某宾馆在重新装修后，30 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．为每平方米32元，主楼道宽231．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是．32．（1）如图1，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为cm；（2）如图2，若∠＝∠，则AD∥BC；（3）如图3，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，则∠EDC＝度；第7页（共53页）度．＝150°，∠D＝145°，则∠C，∠33．如图，已知AB∥DEB＝17小题）三．解答题（共90°．∠1＝AFBC⊥于点C，∠A+34．如图1，；∥）求证：ABDE （1，ABPPE．则∠停止，连接AF运动到点FPB，，点（2）如图2P从点A出发，沿线段？C重合的情况）A与点，D，DEP∠，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P并说明理由．有怎样的数量关系，并FA与∠D＝110°，∠C＝∠，试探索∠°，∠．如图，∠351＝702说明理由．图中′，′CBABC在边长为如图，1个单位的正方形网格中，△经过平移后得到△A′．36′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的对应点B标出了点B：的问题（保留画图痕迹）538第页（共页）′（1）画出△A′BC′；（2）画出△ABC的高BD；，线段AC AA′与CC扫过的图形的面′的关系是′、（3）连接AACC′，那么积为．37．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．38．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，OE平分∠AOF．（1）∠BOD与∠DOF相等吗？请说明理由．（2）若∠DOF＝∠BOE，求∠AOD的度数．第9页（共53页）的延长线在DE∥AC，点F上的点，E分别是三角形ABC的边AB，BCDE，39．如图，D A．上，且∠DFC＝∠CF；）求证：AB∥1（的度数．BDE大40°，求∠（2）若∠ACF比∠BDE上一点，且ODF是，OE是CD上一点，∥40．已知：如图，FEOC，AC和BD相交于点．＝∠A∠1DC；1（）求证：AB∥的度数．65＝°，求∠OFE2（）若∠B＝30°，∠1个单位长度．所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．如图，四边形41ABCD ABCD的面积；）求出四边形（1个单位长度后所得的25个单位长度，再向左平移ABCD（2）请画出将四边形向上平移′．C′′DBA四边形′5310第页（共页），D，∠＝∠2C＝∠DF上，BD，CE均与AF相交，∠1，42．如图所示，点BE分别在AC，．求证：∠A＝∠F2，∠1＝∠⊥．已知：如图，AEBC，FG⊥BC43CD）求证：AB∥（1°，求∠C的度数．＝∠3+50°，∠CBD＝70（2）若∠D经过一，在方格纸中将△ABC44．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1′．′、点C和它的对应点C，点次平移后得到△A′B′C′，图中标出来点AB′BC′；（1）请画出平移前后的△ABC和△A′AD；中2）利用网格画出△ABCBC边上的中线（；中AB边上的高CE）利用网格画出△（3ABC．′的面积为′′）△（4ABC5311第页（共页）分别平分、NO2，MO相交于点M、N，且∠1＝∠AB45．如图，直线EF分别与直线、CD的形状，并说明理由．END，试判断△MON∠BMF和∠°，114AOC＝，OF⊥OE，且∠O46．如图所示，直线AB，CD相交于点，OE平分∠BOC的度数．求∠BOF90°．，∠COE＝CD47．已知如图，直线AB、相交于点O的度数；36°，求∠BOE（1）若∠AOC＝AOE的度数；1：5，求∠BOC2（）若∠BOD：∠＝的度数．EOFOF作⊥AB，请直接写出∠O23（）在（）的条件下，过点5312第页（共页）48．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．（1）求∠AOE的度数；（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．49．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．50．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC＝50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的余角．第13页（共53页）人教版七年级下册相交线与平行线培优50题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图：直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G，H，若∠1＝105°，则∠2的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】利用平行线的性质求出∠DHF即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠DHF，∵∠1＝105°，∴∠DHF＝105°，∴∠2＝180°﹣∠DHF＝75°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH 平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．其中正确的结论个数是（）第14页（共53页）A．1个B．2个C．3个D．4个＝∠AEF＝∠GEF，根据余角的性质得到∠【分析】根据角平分线的定义得到∠AEGBEH＝∠FEH，于是得到EH平分∠BEF；故①正确，根据平移的性质得到四边形EGFH是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EG∥FH，EG＝HF；故②正确；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠DFE，于是得到FH平分∠EFD；故③正确；根据矩形的性质得到∠GFH＝90°，故④正确．【解答】解：∵EG平分∠AEF，＝∠AEF，∴∠AEG＝∠GEF∵HE⊥GE于E，∴∠GEH＝90°，∴∠GEF+∠HEF＝90°，∴∠AEG+∠BEH＝90°，∴∠BEH＝∠FEH，∴EH平分∠BEF；故①正确，∵平移EH恰好到GF，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG∥FH，EG＝HF；故②正确；∴∠GEF＝∠EFH，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠DFE，＝∠AEF∵∠GEF，＝∠EFDEFH，∴∠∴FH平分∠EFD；故③正确；∵四边形EGFH是平行四边形，∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴∠GFH＝90°，故④正确，∴正确的结论有4个，故选：D．第15页（共53页）【点评】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．3．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（）A．32°B．58°C．72°D．108°【分析】首先根据∠1+∠EFD＝180°和∠1+∠2＝180°可以证明∠EFD＝∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，进而得到∠ADE＝∠3，再结合条件∠3＝∠B可得∠ADE＝∠B，进而得到DE∥BC，再由平行线的性质可得∠AED＝∠C．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠EFD＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠EFD（同角的补角相等）∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）∴∠ADE＝∠3＝72°（两直线平行内错角相等）∵∠3＝∠B（已知），∴∠ADE＝∠3＝72°（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED＝∠C＝58°（两直线平行同位角相等）．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．4．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）第16页（共53页）A．45°B．60°C．75°D．105°【分析】根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可．解：如图：【解答】90°，＝∠ABE＝∵∠DEC DE，∴AB∥30°，＝∠D＝∴∠AGD∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A ﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故选：D．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质以及三角形的内角和的性质，掌握三角形的内角和是180°是解题的关键．5．如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，E交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（）A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据平行四边形的性质得到∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积的面积＝（6+10）×2＝GCFE公式得到四边形16，故④正确．【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F 四点在同一条直线上，∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；第17页（共53页）∴四边形ABED是平行四边形，∴∠A＝∠BED，故①正确；∵BG＝4，∴AD＝BE＞BG，∴△ABC平移的距离＞4，故②正确；∵EF＝10，∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，∵△BEG的面积等于4，∴BG?GE＝4，∴GE＝2，的面积＝（6+10）×2＝16，故④正确；∴四边形GCFE故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．若a，b，c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，b，c应满足的条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥c，b⊥c C．a⊥c，b∥c D．a∥c，b∥c【分析】根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．【解答】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．7．如图，AB∥DE，∠E＝55°，则∠B+∠C＝（）第18页（共53页）45°°D．B．55°C．35．A125°【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．DE，【解答】解：∵AB∥55°，＝∠BFE＝∴∠E，+∠CB∵∠BFE＝∠°，C ＝55∴∠B+∠．故选：B本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知【点评】识，属于中考常考题型．BA、，按如图所示方式放置，其中，将一块含30°角的直角三角板ABC．已知直线8m∥n）2的度数是（上，若∠m、n1＝35°，则∠两点分别落在直线55°°D．．30°A．35B．°C25即可解决问题．【分析】利用平行线的性质求出∠3解：如图，【解答】，m∵∥n5319第页（共页）∴∠1＝∠3＝35°，∵∠ABC＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝25°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．已知直线l∥l，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（）21A．121°B．120°C．59°D．149°【分析】利用平行线的性质求出∠5即可解决问题．【解答】解：∵直线l∥l，21∴∠1+∠4＝180°，∵∠4＝149°，∴∠1＝31°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝59°，∵直线l∥l，21∴∠5＝∠2＝59°，∴∠3＝180°﹣∠5＝121°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（）第20页（共53页）DE30°，则有AC∥A．若∠2＝°CAD＝180B．∠BAE+∠°2＝30C．若BC∥AD，则有∠C°，必有∠1504＝∠D．如果∠CAD＝1根据已知可求出∠首先要知道一幅三角板中各角的度数；对于①【分析】要解答此题，的位置关系，即可判断；根据角的关系判断E°，结合∠1与∠的度数，再根据∠E＝60；①的结论和平行线的性质定理判断④②，根据平行线的性质定理判断③，结合°，＝302【解答】解：∵∠°，＝60∴∠1°，＝60又∠E，＝∠E∴∠1正确；，故A∴AC∥DE90°，2+∠3＝1+∵∠∠2＝90°，∠正确；°，故°＝180B2+∠3＝90°+90∠即∠BAE+CAD＝∠1+∠2+∠，BC∥AD∵°．＝180∠∠2+∠3+C∴∠1+°，＝90，∠1+∠2＝∵∠C4545°，∴∠3＝不正确；，故°＝45C∴∠2＝90°﹣45°，＝150°，∠∵∠D＝30CAD 180°，+D∠CAD＝∴∵∠，AC∴∥DE D正确．C∴∠4∠＝∠，故．故选：C5321第页（共页）本题侧重考查对知识点的应用能力，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，【点评】同错角相等；内错角相等，两直线平行；同角（等角）的余角相等°，＝60PQ之间，若∠ACB在直线PQ，∠ACB的顶点CMN与11．如图，若直线MN∥）CEN的度数为（∠CFQ＝35°，则∠°D．45C°．30°A．35°B．25即可解决问题．+∠CFQ∥MN，证明基本结论：∠ACB＝∠CEN【分析】如图作CK，CK∥MN【解答】解：如图作，∥CKMN∥PQ，MN∵，∥CK∴PQ，＝∠CFQ＝∠ACK，∠FCK∴∠CEN CFQ，∠ACB＝∠CEN+∴∠+35°，∴60°＝∠CEN25°，∴∠CEN＝B．故选：本题考查平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构【点评】造平行线解决问题．）（＝80°，那么∠B 的度数为且12．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，3∠A﹣∠B°140°或40．C°115°或°°或．A8010065．B．D115°或°40°，和已知组成方程组，求出方程组+或∠B＝∠根据已知得出∠【分析】AAB∠＝180第页（共2253页）的解即可．【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，∵3∠A﹣∠B＝80°，∴∠A＝40°，∠B＝40°或∠A＝65°，∠B＝115°故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，题目比较好，难度适中．13．下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠5【分析】分别利用平行线的判定方法，定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行，分别判断得出即可．【解答】解：∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，∵∠+∠2＝180°，又∵∠2+∠5＝180°，∴∠1＝∠5，∴AB∥CD，∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．14．如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的位置，已知BC＝8，EC ＝5，那么平移的距离为（）第23页（共53页）．3．5D．13B．8CA对应，根据平移的性质，易得平、FE对应，CB【分析】观察图形，发现平移前后，、3，进而可得答案．﹣5＝移的距离＝BE＝8【解答】解：根据平移的性质，3，﹣5＝易得平移的距离＝BE＝8．D故选：本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平【点评】行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．）满足的数量关系是（、∠C、∠D、∠E15．如图，AB∥EF，则∠A°∠E＝180D B°．∠A﹣∠C+∠+360C A．∠A+∠+∠D+∠E＝D﹣∠A＝90°∠ED＝∠C+D．∠A+∠+．∠C E﹣∠C∠AB，利用平行线的性质即可解问题．，DN∥【分析】作CM∥AB，DN∥AB【解答】解：作CM∥AB，，AB∥EF∵，∥EFAB∥CM∥DN∴180°，+∠EDN＝ACMA＝∠，∠MCD＝∠CDN，∠E∴∠CDE）＝∠﹣∠ACM＝∠﹣∠DCMCDE﹣（∠ACD＝∠＝∠∵∠EDNCDE﹣∠CDNCDE），﹣（∠ACD﹣∠A180°，A﹣∠CDEACD+∠＝∠E∴∠+．故选：B5324第页（共页）【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．16．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l∥l的有（）21A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l∥l，故本条件不合题意；21②∵∠4＝∠5，∴l∥l，故本条件符合题意；21③∵∠2+∠5＝180°不能得到l∥l，故本条件不合题意；21④∵∠1＝∠3，∴l∥l，故本条件符合题意；21⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l∥l，故本条件符合题意．21故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．17．如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（）B．40°C．50°D°A．30．60°【分析】证明∠3＝90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【解答】解：∵b∥c，a⊥b，第25页（共53页）∴a⊥c，∴∠3＝90°，∵∠1＝90°+∠4，∴130°＝90°+∠4，∴∠4＝40°，∴∠2＝∠4＝40°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（）A．80°B．65°C．45°D．30°【分析】利用三角形的内角和定理求出∠1，再利用平行线的性质求出∠EFD即可．【解答】解：如图，∵BE⊥EF，∴∠E＝90°，∵∠B＝25°，∴∠1＝65°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠1＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．第26页（共53页）19．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°D＝180°D＝2∠D．∠ABE C．∠ABE+3∠【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠G，再根据两直线平行，同位角相等可得∠G＝∠ABF，然后根据角平分线的定义解答．【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，∵AB∥CD，∴∠D＝∠G，∵BF∥DE，∴∠G＝∠ABF，∴∠D＝∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．20．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（）A．25°B．35°C．40°D．60°【分析】由DE∥BC，推出∠EDB＝∠1＝110°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，求出∠A即可．第27页（共53页）DE∥BC，【解答】解：∵＝110°，∴∠EDB＝∠1∠AED，∵∠EDB＝∠A+A+70°，∴110°＝∠＝40°，∴∠A故选：C．本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握【点评】基本知识，属于中考常考题型．13小题）二．填空题（共的、ND、C分别在MED21．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，．°＝16＝位置上，若∠EFG49°，则∠2﹣∠1°，再根据折叠的性49DEG＝DEG，∠EFG＝∠【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠﹣，然后计算∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1GEF质得∠DEF＝∠＝49°，所以∠21．∠BC，解：∵AD∥【解答】°，49＝∠DEG＝∴∠2＝∠DEG，∠EFG，BC的交点为GABCD沿EF折叠后ED与∵长方形纸片°，＝49DEF∴∠＝∠GEF°，°＝98＝2×492∴∠82°，180°﹣98°＝∴∠1＝°．82°＝1698∴∠2﹣∠1＝°﹣°．故答案为16本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角【点评】互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．﹣∠P＝180°．C+∠的关系为、∠、∠，则∠∥．如图，已知22ABCDACP A ∠第28页（共53页）AB＝180°，而CD，根据两直线平行同旁内角互补可知∠C+∠CPE【分析】先作PE∥，再根据两直线平行内错角相∥AB∥CD，利用平行于同一直线的两条直线平行可得PE180°．∠C﹣∠P ＝+＝∠APD，于是有∠A＝∠APC∠CPE，即可求∠A+等可知∠A，PE【解答】解：如右图所示，作∥CD，∵PE∥CD°，+∠CPE＝180∴∠C，又∵AB∥CD，∴PE∥AB A＝∠APD，∴∠P＝180°，∴∠A+∠C﹣∠＝180°．故答案为：∠A+∠C﹣∠P【点评】本题考查了平行线的判定和性质．平行于同一直线的两条直线平行．．°＝则∠＝A112°，且BD⊥CD，ADC124ABC，已知23．如图，AD∥BCBD平分∠，∠ABC112°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠，∠A＝∥【分析】由ADBC的度数，继而求得答案．，求得∠CCD平分∠ABC，BD⊥的度数，又由BD112°，BC，∠A＝∥【解答】解：∵AD°，＝68°﹣∠∴∠ABC＝180A，BD平分∠ABC∵5329第页（共页）＝∠ABCCBD＝34°，∴∠∵BD⊥CD，＝9056°，°﹣∠CBD＝∴∠C124°．180°﹣∠C＝∴∠ADC＝124°．故答案为：此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意掌握两直线平行，同旁【点评】内角互补定理的应用是解此题的关键．60度．＝6024．如图，直线a ∥b，若∠1＝°，则∠2【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°．故答案为60．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．25．如图，若过点P，P作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是∠212+∠4＝∠1+∠3．【分析】分别过点P1、P2作PC∥m，PD∥m，由平行线的性质可知，∠1＝∠APC，121CPP＝∠PPD，∠DPB＝∠4，22112所以∠1+∠PPD+∠DPB＝∠APC+∠CPP+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．221112【解答】解：分别过点P、P作PC∥m，PD∥m，2121第30页（共53页）n，∵m∥，∥C∥PDm∥n∴P21，D，∠DPB＝∠4＝∠∴∠1＝∠APC，CPPPP221112＝∠1+∠．3+C∠CPP+∠4，即∠2+∠4∠1+∴∠∠PPD+DPB＝∠AP212211．1+∠3故答案为：∠2+∠4＝∠本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．【点评】120°60°，那么∠2的度数．如果∠CD26．如图，直线AB∥，EF分别与AB、CD相交，1＝【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝60°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．27．如图，OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，且交于点O，过点O作OE∥AB 交于BC点O，OF∥AC交BC于点F，BC＝2008，则△OEF的周长是2008．第31页（共53页）可ACAB和∠ACB的平分线和OE∥、OF∥ABC【分析】由OB，OC分别是△的∠ABC OF＝CF，显然△OEF的长度．的周长即为BC＝推出BEOE，ACB的平分线，ABC的∠ABC和∠OC【解答】解：OB，分别是△OCF，∠ACO＝∠．∴∠ABO＝∠OBF，ACOF∥∵OE∥AB＝∠COF，∠∴∠ABO＝∠BOEACO为等腰三角形OCF∴△BOE和△OF∴BE＝EO，＝CF∴△OEF的周长＝BE．BC＝2008+EF+CF＝此题运用了平行线性质，和角平分线性质以及等腰三角形的性质，较为灵活，【点评】难度中等．，试判断的位置关系．CD与ABEFBC，⊥AC，⊥AB，∠1＝∠2DG28．如图，已知⊥BC AC（已知）BC解：∵DG⊥，BC⊥＝DGB∴∠BCA°（垂直的定义）＝∠90DG∥AC∴∴∠2＝∠DCA∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠DCA∴EF∥DC∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF＝90°（垂直定义）∴∠ADC＝90°（等量代换）即：CD⊥AB．第32页（共53页），求出∠DCA，根据平行线的性质得出∠2＝∠【分析】根据平行线的判定推出DG∥AC即ADC，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠1＝∠DCA，根据平行线的判定得出EF∥DC可．⊥AC（已知）BC【解答】解：∵DG⊥，BC＝90°（垂直的定义）∴∠DGB＝∠BCA∥AC，∴DG＝∠DCA，∴∠2），＝∠2（已知∵∠1DCA，∴∠1＝∠DC，∴EF∥（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF＝∠ADC（已知），∵EF⊥AB，AEF＝90°（垂直定义）∴∠，ADC＝90°（等量代换）∴∠，即：CD⊥AB，两直线平行，同位角相等，（已知）DC，DCA，，ADC，，故答案为：BCA，ACDCA，∠2（垂直定义），等量代换．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义的应用，能灵活运用平行线的性质【点评】和判定定理进行推理是解此题的关键．，，若BC，＝C．如图，将等腰直角△29ABC沿BC方向平移得到△AB111．＝则BB1【分析】先判断出△PBC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质利用面积列1式求出BC，然后根据BB＝BC﹣BC代入数据计算即可得解．111【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴平移后∠PBC＝∠CB＝45°，1∴△PBC是等腰直角三角形，1第33页（共53页））＝2C?，（BC∴SB＝11C1PB△2C解得B＝，13＝BB＝BC﹣﹣B2C＝．∴11故答案为：．本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用等腰直角三角形【点评】的长度是解题的关键．B求出C1已知这种红色地毯的售价准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．30．某宾馆在重新装修后，元．2512米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要为每平方米32元，主楼道宽根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得【分析】其面积，则购买地毯的钱数可求．解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为【解答】2.5米，米，5.516平方米，8×2＝∴地毯的长度为2.5+5.5＝8米，地毯的面积为512元．×32＝16∴买地毯至少需要512．故答案为：本题考查平移性质的实际运用，难度不大．解决此题的关键是要利用平移的知【点评】识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．，AOB的外部作∠AOC＝∠OA，OB为始边，在∠AOB．31已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OD的位置关系是垂直与．，则∠BOD＝2∠AOBOC【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．【解答】解：∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD＝22.5°+22.5°+45°＝90°，∴OC与OD的位置关系是垂直．故填垂直．第34页（共53页）先利用角的和差关系求得这个角是90°，再由垂线的定义可得，两直线垂直．【点评】之间的距离为3cm，BC＝2cm，则AB与CD2AB．32（1）如图1，在长方形ABCD中，＝；cm；∥BC2，则AD2（2）如图，若∠1＝∠度；EDC°，则∠＝25BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝503（）如图3，DE∥1）夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．【分析】（2）运用的是平行线判定定理．（3）运用的是角平分线的定义和平行线的性质．（°．B＝90C∥CD，∠＝90°，∠1【解答】解：（）已知四边形ABCD为长方形，则AB．2cm与cm，故ABCD之间的距离为又BC＝2．故填22．BC，根据平行线的判定定理可得∠1＝∠∥（2）要使AD2．故填∠1；∠，DE∥BC3（）已知，＝∠DCBEDC根据平行线判定定理可得∠ACB是∠的平分线，又CD DCB，∴∠ECD＝∠°，ACB＝50∵∠25°．EDC∴∠＝．故填255335第页（共页）此类题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理，考生一定要熟记．【点评】＝65＝145°，则∠C度．D33．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．三．解答题（共17小题）34．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．【分析】（1）根据∠A+∠B＝90°，∠A+∠1＝90°，即可得到∠B＝∠1，进而得出AB第36页（共53页）∥DE．（2）分三种情况讨论：点P在A，D之间；点P在C，D之间；点P在C，F之间；分别过P 作PG∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，第37页（共53页）∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判断的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．35．如图，∠1＝70°，∠2＝110°，∠C＝∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】要找∠A与∠F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得∠1+∠2＝180°，则CE ∥BD；根据平行线的性质，可得∠C＝∠ABD，结合已知条件，得∠ABD＝∠D，根据平行线的判定，得AC∥DF，从而求得结论．【解答】解：∠A＝∠F．理由：∵∠1＝70°，∠2＝110°，∴∠1+∠2＝180°，∴CE∥DB，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，第38页（共53页）ABD，＝∠D∴∠，∥DF∴AC．＝∠F∴∠A本题主要考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错【点评】角、同旁内角是正确答题的关键．图中′，′ABC经过平移后得到△A′BC136．如图，在边长为个单位的正方形网格中，△′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关B标出了点B的对应点：的问题（保留画图痕迹）′AB′C′；（1）画出△ABC的高BD；）画出△（2平行且相等，线段CC′，那么AA′与CCAC扫过的′的关系是）连接（3AA′、图形的面积为10．【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；（2）根据三角形高的定义作图即可得；（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；第39页（共53页）BD即为所求；（2）如图所示，′的关系是平行且相等，）如图所示，（3AA′与CC，××6×1＝线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣210故答案为：平行且相等、10．此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握【点评】平移的性质是解题关键．上的分别是射线OM、OE、ONMON．已知：∠MON＝48°，OE平分∠，点A、B、C37°x．设∠OAC＝B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D、动点（A24°；的度数是）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO（1②当∠BAD＝∠ABD时，x＝108°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝54°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；。

初中数学相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)

初中数学相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)

相交线与平行线提高题与常考题和培优题(含解析)一．选择题：1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（）A．56°B．66°C．24°D．34°2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°4．如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD6．如图，与∠1是同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠57．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（）A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠79．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（A．65°B．55°C．45°D．35°12．如图，直线a∥b，∠，∠2=35°）A．85°B．60°C．50°D．35°二．填空题：13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是．14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．15．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=．16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为，则满足条件的点P有个．17．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．18．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=．19．如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=．20．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是．21．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，若∠1=60°，则∠2=．22．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于度．23．如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．24．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为度．三．解答题：25．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．31题26．如图，已知AC∥ED，AB∥FD，∠A=65°的度数．27．如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．28．如图,在△ABC中,∠B+∠C=110°，AD平分∠BAC,交BC于点D，DE∥AB,交AC于点E，求∠ADE的度数．29．如图，直线a∥b，BC BC，若∠1=70°30．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF 的度数．32．如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O．（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD．33．如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11．（1）求∠COE的度数．（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．34．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF 有何位置关系？试说明理由．35．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，27题∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．36．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．37．已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系．38．如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．39．如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D且∠1=∠2，∠B=∠C （1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的；（2）证明：∠A=∠D．40．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B=∠C．（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．相交线与平行线提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2017•新城区校级模拟）如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（）A．56°B．66°C．24°D．34°【分析】先根据平行线的性质，得出∠CEH=124°，再根据CD⊥EF，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=124°，∴∠CEH=124°，∴∠CEG=56°，又∵CD⊥EF，∴∠2=90°﹣∠CEG=34°．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质与垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．2．（2017•禹州市一模）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102°【分析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2=∠1﹣∠A，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠3=40°，∵∠1=120°，∴∠2=∠1﹣∠A=80°，故选A．【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，关键是求出∠A的度数和得出∠2=∠1﹣∠A．3．（2017•莒县模拟）如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠4=∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵直线a∥b，∴∠4=∠2=55°，∴∠1=∠3﹣∠4=100°﹣55°=45°．故选B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．（2017•莒县模拟）如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】直接利用平移的性质结合三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，∴A点移动的距离是2AC，则BF=AD，连接FC，=2S△ABC，S△ABC=S△FDC=S△FDE=2，则S△BFC∴四边形AEFB的面积为：10．故选：C．【点评】此题主要考查了平移的性质以及三角形面积求法，正确得出三角形之间面积关系是解题关键．5．（2017春•杭州月考）如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD【分析】由平行线的性质得出∠1=∠2，再由∠1=∠DFE，得出∠2=∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1=∠DFE；理由如下：∵EF∥AB，∴∠1=∠2，∵∠1=∠DFE，∴∠2=∠DFE，∴DF∥BC；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．（2016•柳州）如图，与∠1是同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义的应用，能熟记同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用．7．（2016•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【分析】直接用平行线的判定直接判断．【解答】解：A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C【点评】此题是平行线的判定，解本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．8．（2016•百色）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（）A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7【分析】利用平行线的判定方法判断即可．【解答】解：∵∠2=∠6（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行），则能使a∥b的条件是∠2=∠6，故选B【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．9．（2016•营口）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°【分析】由平行线的性质求出∠AOC=120°，再求出∠BOC=30°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥OC，∠A=60°，∴∠A+∠AOC=180°，∴∠AOC=120°，∴∠BOC=120°﹣90°=30°，∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．10．（2016•陕西）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125° D．130°【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．【点评】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．11．（2016•威海）如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°【分析】利用已知条件易求∠ACD的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数．【解答】解：∵DA⊥AC，垂足为A，∴∠CAD=90°，∵∠ADC=35°，∴∠ACD=55°，∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=55°，故选B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识点，熟记平行线的性质定理是解题关键．12．（2016•毕节市）如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（）A．85°B．60°C．50°D．35°【分析】先利用三角形的外角定理求出∠4的度数，再利用平行线的性质得∠3=∠4=50°．【解答】解：在△ABC中，∵∠1=85°，∠2=35°，∴∠4=85°﹣35°=50°，∵a∥b，∴∠3=∠4=50°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，比较简单；运用了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，及两直线平行，内错角相等；本题的解法有多种，也可以利用直线b下方的三角形和对顶角相等来求解．二．填空题（共12小题）13．（2017•辽宁模拟）如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是75°．【分析】由BD与AC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠C的度数，再利用三角形内角和定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵BD∥AC，∠1=65°，∴∠C=∠1=65°，在△ABC中，∠A=40°，∠C=65°，∴∠2=75°，故答案为：75°【点评】此题考查了平行线的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．14．（2017春•萧山区月考）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=17度．【分析】首先根据平行线的性质得到∠DAF的度数，再根据对折的知识即可求出∠DAE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠BFA=∠DAF，∵∠BFA=34°，∴∠DAF=34°，∵△AFE是△ADE沿直线AE对折得到，∴∠DAE=∠FAE，∴∠DAE=∠DAF=17°，故答案为17．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质求出∠DAF的度数，此题难度不大．15．（2017•河北一模）如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=90°．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：过C作CE∥m，∵m∥n，∴CE∥n，∴∠1=∠α，∠2=∠β，∵∠1+∠2=90°，∴∠α+∠β=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．16．（2016•凉山州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P 是四边形ABCD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为，则满足条件的点P有2个．【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长为，比较得出答案．【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB•sin∠ABD=3•sin45°=3＞，CF=2＜，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．17．（2016•菏泽）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°．【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．【解答】解：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故答案为15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．18．（2016•连云港）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=72°．【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质找出∠ABC=∠1，由BC平分∠ABD，根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC，再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=54°，∴∠ABC=∠1=54°，又∵BC平分∠ABD，∴∠CBD=∠ABC=54°．∵∠CBD+∠BDC+∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°．故答案为：72°．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是找出各角的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．19．（2016•青海）如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=65°．【分析】先根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠ABC=∠1=50°，则∠BCD=130°，再利用角平分线定义得到∠ACD=∠BCD=65°，然后根据平行线的性质得到∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，而∠ABC=∠1=50°，∴∠BCD=130°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠BCD=65°，∵AB∥CD，∴∠2=∠ACD=65°．故答案为65°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．20．（2016•金华）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是80°．【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长DE交AB于F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，∴∠AFE=∠B=60°，∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．（2016•云南）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，若∠1=60°，则∠2=60°．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由对顶角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=60°，∴∠1=∠3=60°．∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．22．（2016•吉林）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于30度．【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=75°，∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM﹣∠DNP=30°，故答案为：30．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．23．（2016•泰州）如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为 2.5cm．【分析】根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点，求出BB′即为所求．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，∴A′B′∥AB，∵O是AC的中点，∴B′是BC的中点，∴BB′=5÷2=2.5（cm）．故△ABC平移的距离为2.5cm．故答案为：2.5．【点评】考查了平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．24．（2016•都匀市一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为100度．【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C．【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF；∴∠BCF=180°﹣∠B=40°，∠DCF=180°﹣∠D=60°；∴∠C=∠BCF+∠DCF=100°．故答案为：100．【点评】本题运用了两直线平行，同旁内角互补的性质，需要作辅助线求解，难度中等．三．解答题（共16小题）25．（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA ∥BC．【解答】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．26．（2016•槐荫区二模）如图，已知AC∥ED，AB∥FD，∠A=65°，求：∠EDF的度数．【分析】根据平行线的性质，即可解答．【解答】解：∵AC∥ED，∴∠BED=∠A=65°，∵AB∥FD，∴∠EDF=∠BED=65°．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟记平行线的性质．27．（2016•厦门校级一模）如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠C=40°，∴∠A=∠1﹣∠E=40°﹣20°=20°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．28．（2016•江西模拟）如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，求∠ADE的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAD即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠B+∠C=110°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=35°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=35°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．29．（2016•江西模拟）如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠ABD=70°，由角平分线的定义得到∠EBD=ABD=35°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠ABD=70°，∵BC平分∠ABD，∴∠EBD=ABD=35°，∵DE⊥BC，∴∠2=90°﹣∠EBD=55°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．30．（2016•朝阳区一模）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠FAB，由等腰三角形的性质得到∠EAF=∠EFA，根据邻补角和对顶角的定义即可得到结论．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1，∴∠BAC=2∠1．【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．31．（2016秋•宜兴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．【分析】根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据∠EOF=∠DOF﹣∠DOE代入数据计算即可得解．【解答】解：由对顶角相等得，∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=38°，∵∠DOF=90°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=90°﹣38°=52°．【点评】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．32．（2016春•西华县期末）如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O．（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD．【分析】（1）由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOC互余，再根据平角的定义求解；（2）利用已知的∠BOC=4∠1，结合图形以及对顶角的性质求∠AOC与∠MOD．【解答】解：（1）因为OM⊥AB，所以∠1+∠AOC=90°．又∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，所以∠NOD=180°﹣（∠2+∠AOC）=180°﹣90°=90°．（2）由已知∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1，可得∠1=30°，所以∠AOC=90°﹣30°=60°，所以由对顶角相等得∠BOD=60°，故∠MOD=90°+∠BOD=150°．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角的性质和平角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．33．（2016春•双城市期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11．（1）求∠COE的度数．（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．【分析】（1）根据∠AOC+∠AOD=180°可得∠AOC和∠AOD的度数，根据对顶角相等可得∠BOD=70°，再利用角平分线定义可得∠DOE=35°，再根据邻补角定义可得∠COE的度数；（2）分两种情况画图，进而求出∠COF的度数．【解答】解：（1）∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BOD=70°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣∠DOE=145°；（2）分两种情况，如图1，∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠COF=∠COE﹣∠EOF=145°﹣90°=55°，如图2，∠COF=∠360°﹣∠COE﹣∠EOF=125°．【点评】此题主要考查了垂线、邻补角、对顶角，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．34．（2016春•太仓市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．【分析】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．【解答】解：BE∥DF．理由如下：∵∠A=∠C=90°（已知），∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（角平分线的定义）．∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），∴∠3=∠AEB（同角的余角相等）．∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．【点评】此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．35．（2016春•周口期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为135°；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；（3）根据平行线的判定方法可得．【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，故答案为：135°；②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，∴∠DCB=140°﹣90°=50°，∴∠DCE=90°﹣50°=40°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；（3）存在，当∠ACE=30°时，AD∥BC，当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，当∠ACE=120°时，AD∥CE，当∠ACE=135°时，BE∥CD，当∠ACE=165°时，BE∥AD．【点评】此题主要考查了角的计算，以及平行线的判定，关键是理清图中角的和差关系．36．（2016秋•郓城县期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB ∥CD．【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【解答】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．37．（2016春•广州校级期末）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系．【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．（2）已知∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC；∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）解：（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2=∠FDE；∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°；∴∠3+∠FDE=90°；∴∠2+∠3=90°．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，难度不大．38．（2016秋•内江期末）如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．【分析】（1）证明∠1=∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；（2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A=∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；（3）∠EBC=∠CBD，根据平行线的性质即可证得．【解答】解：（1）平行．理由如下：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°（邻补角定义），∴∠1=∠CDB，∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）；（2）平行．理由如下：∵AE∥CF，∴∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等），又∵∠A=∠C，∴∠A=∠CBE，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；（3）平分．理由如下：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA=∠ADB，∵AE∥CF，AD∥BC，∴∠FDA=∠A=∠CBE，∠ADB=∠CBD，∴∠EBC=∠CBD，∴BC平分∠DBE．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．39．（2016秋•双柏县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D且∠1=∠2，∠B=∠C（1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的；（2）证明：∠A=∠D．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得CE∥FB，进而可得∠C=∠BFD，再由条件∠B=∠C可得∠B=∠BFD，从而可根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD；（2）根据（1）可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠D．【解答】（1）解：∵∠1=∠2，∴CE∥FB，∴∠C=∠BFD，∵∠B=∠C，∴∠B=∠BFD，∴AB∥CD；（2）证明：由（1）可得AB∥CD，∴∠A=∠D．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．40．（2016春•邳州市期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B=∠C．（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC=∠C，结合∠B=∠C即可得出∠B=∠DFC，从而证出AB∥DF；（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE=∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1=∠DGC+∠DCG，∠2=∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2=2∠B．【解答】解：（1）AB与DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC=∠C．又∵∠B=∠C，∴∠B=∠DFC，∴AB∥DF．（2）连接GC，如图所示．由翻折，得∠DGE=∠ACB．∵∠1=∠DGC+∠DCG，∠2=∠EGC+∠ECG，∴∠1+∠2=∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG=（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）=∠DGE+∠DCE=2∠ACB．∵∠B=∠ACB，∴∠1+∠2=2∠B．【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．。

第五章 相交线与平行线(提高卷)(解析版)

第五章 相交线与平行线(提高卷)(解析版)

2020-2021学年下学期七年级数学单元提升卷【人教版】第五章相交线与平行线（提高卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；B、∠1与∠2不是对顶角；C、∠1与∠2不是对顶角；D、∠1与∠2是对顶角；故选：D．【知识点】对顶角、邻补角2.如图，能判定DE∥AC的条件是（）A．∠3＝∠C B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°【答案】A【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；B、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意；故选：A．【知识点】平行线的判定3.如图，已知AB∥CD．直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．50°【答案】D【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵EG平分∠AEF，∴∠GEF＝∠AEG＝∠1，∵∠1＝65°，∴∠GEF＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠GEF﹣∠1＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：D．【知识点】平行线的性质4.如图，一个直角三角板的直角顶点落在直尺上的一条边上，若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．48°B．38°C．42°D．32°【答案】D【分析】根据对顶角相等和直角三角形的性质，可以得到∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝58°，∠1＝∠3，∴∠3＝58°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝32°，故选：D．【知识点】平行线的性质5.如图，已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数为（）A．28°B．34°C．56°D．46°【答案】B【分析】延长DC交AE于F，利用平行线的性质可得∠EFC的度数，然后再利用三角形外角的性质计算出∠E的度数即可．【解答】解：延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∴∠A＝∠EFC＝87°，∵∠DCE＝121°，∴∠E＝121°﹣87°＝34°，故选：B．【知识点】平行线的性质6.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【答案】D【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【解答】解：过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．【知识点】平行线的性质、三角形内角和定理7.如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝（）A．130°B．115°C．110°D．125°【答案】D【分析】分别过E，F两点作AB∥ME，FN∥AB，根据平行线的性质可得∠BED+∠ABE+∠CDE＝360°，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，再根据∠BED＝110°，结合角平分线的定义可求解．【解答】解：分别过E，F两点作AB∥ME，FN∥AB，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠ABF＝∠BFN，∵AB∥CD，∴CD∥ME，FN∥CD，∴∠CDE+∠DEM＝180°，∠CDF＝∠DFN，∴∠BED+∠ABE+∠CDE＝360°，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°．故选：D．【知识点】平行线的性质8.下列说法正确的个数有（）①不相交的两条直线叫做平行线；②过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】根据各个小题中的说法，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果不在同一个平面内，不相交的两条直线不一定是平行线，故①错误；在同一个平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②错误；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故④错误；故选：A．【知识点】平行公理及推论、点到直线的距离、平行线、平行线的性质、垂线9.如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．0个【答案】B【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故选：B．【知识点】垂线、角平分线的定义10.如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EF A＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】D【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．【解答】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．∵AB∥CD，∴∠KSM＝∠CNP＝30°．∵∠EF A＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．故选：D．【知识点】平行线的性质11.如图，△ABC中，C、C′关于AB对称，B、B′关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于点F，若∠BFD＝α，∠A＝β，则α与β之间的关系为（）A．2β+α＝180°B．α＝2βC．α＝D．α＝180°﹣【答案】B【分析】利用四边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质解决问题即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣β，∵C′D∥BC∥B′E，∴∠ABC＝∠C′DB，∠ACB＝∠B′EC，∵C、C′关于AB对称，∴AB垂直平分线段CC′，∴∠C′DB＝∠CDB，同理∠B′EC＝∠BEC，∴∠CDB+∠BEC＝180°﹣β，∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADC+∠AEB＝180°+β，∵∠ADE+∠A+∠AEB+∠DFE＝360°，∠DFE＝180°﹣α，∴180°+β+β+180°﹣α＝360°，∴α＝2β，故选：B．【知识点】轴对称的性质、平行线的性质12.如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF 中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEG＝∠F AE＝100°，∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．【知识点】平行线的性质二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB＝1：2，则∠BOC＝°．【答案】135或45【分析】根据题意画出图形，再结合垂直定义进行计算即可．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC：∠AOB＝1：2，∴∠AOC＝45°，如图1：∠BOC＝90°+45°＝135°，如图2：∠BOC＝90°﹣45°＝45°，故答案为：135或45．【知识点】垂线、角的计算14.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为．【答案】76°【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵∠CEF＝∠CHD，∴DH∥GE，∴∠ADH＝∠G，∵∠EFC＝∠ADH，∵∠BFG＝∠EFC，∴∠G＝∠BFG，∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，∴∠EFC＝38°，∴∠ABC＝76°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝76°，故答案为：76°．【知识点】平行线的性质15.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为度．【答案】59或121【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝62°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，∴∠FGE＝31°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．则∠PGF的度数为59或121度．故答案为：59或121．【知识点】平行线的判定与性质16.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E、F分别是AC、BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab，其中正确的是．【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，同理EO＝EA，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，∴S△CEF＝×CF×OD+×CE×OH＝ab，④正确．故答案为①②④．【知识点】角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质三、解答题（本大题共7小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF⊥CD于点O，∠BOF＝30°，求∠BOD，∠AOD的度数．【分析】利用垂直的定义可得∠DOF＝90°，再结合条件∠BOF＝30°，可求出∠BOD的度数，利用邻补角互补可得∠AOD的度数．【解答】解：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∵∠BOF＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°．【知识点】对顶角、邻补角、垂线18.如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG的度数．【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝180°判断出BF∥DE；（2）由∠2＝145°得出∠1＝35°，得出∠AFG的度数．【解答】解：（1）BF∥DE．理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∴∠3+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∴∠AFG＝90°﹣35°＝55°．【知识点】平行线的判定与性质19.完成推理填空．填写推理理由：如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝，（）又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥，（）∴∠BAC+＝180°，（）又∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．【答案】【第1空】∠3【第2空】两直线平行，同位角相等【第3空】DG【第4空】内错角相等，两直线平行【第5空】∠DGA【第6空】两直线平行，同旁内角互补【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1＝∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质推出∠BAC+∠DGA＝180°即可．【解答】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．【知识点】平行线的判定与性质20.已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．【分析】（1）根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可证明；（2）根据平行线的判定与性质、角平分线定义和邻补角互补即可得结论．【解答】（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．【知识点】平行线的判定与性质21.（1）如图1，已知射线BC，MA⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E和F，若∠BAM+∠D＝180°，请判断AB和CD的位置关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，连接DE，直接写出∠BAE，∠EDC，∠AED之间的数量关系．（3）如图2，AB∥CD，EF∥CG，若∠A＝32°，∠E＝60°，请求出∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理和垂直的定义即可得到结论；（2）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论；（3）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠BAM+∠D＝180°，又∵∠BAM+∠BAE＝180°，∴∠D＝∠BAE，∵MA⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∠D+∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DCF，∴AB∥CD；（2）∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠DCF＝∠DEC+∠EDC，∴∠B＝∠DEC+∠EDC，∵∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B，∵∠DEC＝90°﹣∠AED，∴90°﹣∠BAE＝∠EDC+∠90°﹣∠AED，∴∠BAE+∠EDC＝∠AED；（3）延长CD至点N交EF于点H，过E作EM∥CN，∵EM∥CN，∴∠MEF＝∠EHC，∵AB∥CD，∴AB∥EM，∴∠A＝∠AEM，∵∠AEF＝∠AEM+∠MEF，∴∠AEF＝∠A+∠EHC，∴∠EHC＝60°﹣32°＝28°，∵EF∥CG，∴∠C＝∠EHC＝28°．【知识点】平行线的判定与性质22.三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明；（2）如图2，过点E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根据平行线的性质即可得结论；（3）根据∠EBC：∠ECB＝7：13，可以设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，进而可得结果．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；（3）∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．【知识点】平行线的判定与性质23.已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α＝α＝∠AMP．∴∠NEF＝∠∠AMP．【知识点】平行线的判定与性质。

平行线相交线坐标压轴题专项练习60题(有答案)ok

平行线相交线坐标压轴题专项练习60题(有答案)ok

平行线相交线坐标专项练习60题（有答案）1．已知，D为CF上一点，AB∥CF，过E作直线交AB于B，交CF于C，（1）若AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，求证：AD=AB﹣CD．（2）若AE平分∠BAD的外角，DE平分∠ADF的外角，求证：AD=CD﹣AB．2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴．（1）A点坐标是_________，B点坐标是_________；（2）将线段AB经过怎样的平移可以得到线段A′B′？其中点B的对应点B′的坐标是（7，3），并画出平移后的线段A′B′；（3）如果线段AB上任意一点M的坐标为（x，y），那么经过题（2）中的平移后它的对应点M′的坐标是什么？3．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED的度数．4．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1于O，BC交l2于点E．（1）若∠1=20°，求∠2的度数．（2）若∠1=n°，求∠2的度数．（3）通过求（1）、（2）两问中∠2的度数，你发现∠1与∠2的度数有什么关系？5．如图，已知直线CB∥CM，∠C=∠OAB=100°，E，F在BC上，满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，则∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律，若不变求其比值．6．如图，直线AC∥MN∥OB．直线MN上一点P到直线AC、AO、OB的距离相等，即PE=PF=PH．直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等吗？请说明理由．7．实际运用：如图是宏达模具厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE，按规定AB、CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量．这时，李师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需要测量哪一个角吗？说明理由．8．如图，已知∠3+∠DCB=180°，∠1=∠2，∠CME：∠GEM=4：5，求∠CME的度数．9．如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由．10．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．11．如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F 不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x．（Ⅰ）求证：AF=EC；（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？12．已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．13．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？14．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB．求证：FD∥BC．15．如图，EB=EG，请从下面三个条件：①DE=DF；②AB=AC；③BE=CF中，再选两个作为已知条件，另一个作为结论，写出一个真命题（只需写出一种情况），并加以证明．已知：EB=EG，_________，_________．求证：_________．证明：16．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使点B′和C点重合，连接AC′交A′C于D．（1）求证：A′D=CD；（2）求△C′DC的面积．17．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．18．如图所示．EG∥AF，请你在下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF．（1）写出一个真命题，已知：EG∥AF，_________=_________，_________=_________．求证：_________=_________并证明．（2）再写出一个真命题（不要求证明）．19．如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面上表示时间的四个数字．（1）请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可．（2）若这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字．20．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1=_________°，∠2=_________°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．①如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数（结果用含n的代数式表示）；②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．21．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？22．将一副直角三角板按图所示方式放置，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=60°，∠ECD=45°，AB边交直线DE于点M，设∠BMD=α，∠BCE=β，将直角三角板ABC绕着点C旋转，在旋转过程中，点B始终位于直线DE下方，猜想变化过程中α与β的数量关系，并利用相交线与平行线的相关知识证明你的猜想．23．如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，P为HD上任意一点，由P向HF作射线OP，交点为O．（1）当∠AGF=60°，∠HOP=35°时，求∠HPO的度数；（2）当∠HOP=40°，∠HPO=25°时，求∠AGF的度数；（3）由（1）（2）你发现∠HOP，∠AGF，∠HPO之间有什么关系？（4）试说明你发现的三个角之间的关系的正确性．24．如图（a），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接．（1）在图（a）中，∠B与∠C有何关系？（2）若将橡皮筋拉成图（b）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（3）若将橡皮筋拉成图（c）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（4）若将橡皮筋拉成图（d）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？（5）若将橡皮筋拉成图（e）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？25．如图，AOB为一条在O处拐弯的河道，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路，如不考虑其他因素，这两种方案哪个更经济些？它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳方案，并简要说明理由．26．噪音对环境的影响与距离有关，距离越近，噪音越大，如图，一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶，M、N分别位于公路AB两侧的两所学校，通过画图，完成下列各题，并说明理由．（1）学校M受噪音影响最严重的P点；（2）学校N受噪音影响最严重的Q点；（3）在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小，而学校N受噪音影响越来越大？27．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？28．如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？29．（探索题）如图所示，若AB∥CD，在下列四种情况下探索∠APC与∠PAB，∠PCD三者之间的关系，并选择图（3）进行说明．30．如图，已知直线AB和直线CD被直线GH所截，交点分别为E、F点，且AB∥CD．（1）若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM与FN平行吗？若平行，试说明理由．（2）若EK是∠BEF的平分线，则EK和FN垂直吗？说明理由．31．已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且∠CON+∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，并说明理由．32．如图，△ABC中，∠A=62°，作CD∥AB，点E在AC上，点F在△ABC内，且∠FEC=62°，连接BF．请你探索∠1、∠2、∠F三个角之间的关系，并给出证明．33．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．34．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在直线AB上．（1）试找出∠1，∠2，∠3之间的等式关系，并证明．（2）应用（1）的结论解答下列问题：①如图2，点A在B处的北偏东40°方向上，点A在C处的北偏西45°方向上，求∠BAC的度数．②在图3中，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下地挖去一小半圆），求∠1+∠2的度数．35．已知：∠A=（90+x）°，∠B=（90﹣x）°，∠CED=90°，射线EF∥AC，2∠C﹣∠D=m°（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（2）如图1，当m=30°时，求∠C、∠D的度数．（3）如图2，求∠C、∠D的度数（用含m的代数式表示）36．如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）试说明：OB∥AC；（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．37．△ABC和△DEF是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边BC、AB、AC的长分别是6cm、8cm、10cm，且B、C、D、F在同一条直线上．（1）如果△ABC朝着某个方向平移后得如图②所示，则△ABC平移的方向是什么？平移的距离是多少？（2）△ABC平移至图③所示的位置，如果BD=6.4cm，则△EBF的面积是多少？38．如图，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位，有个圆经过A、B、C、D四个点，圆心为点O．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使点O的坐标为（0，0），并写出A、B、C、D四个点的坐标；（2）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A、B、C、D四个点的坐标又是多少？（3）比较（1）（2）中的A、B、C、D四个点的坐标变化，你发现了什么？请写出一条．39．如图，将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到△A1B1C1．（1）画出平移后的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（3）已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求P点的坐标．40．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）将△ABC的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1，画出图形，并说明所得的图形与原图形有什么关系？所得的图形与△A2B2C2有什么关系？41．如图，已知射线DM与直线BC交于点A，AB∥DE．（1）若当∠MAC=100°，∠BCE=120°时，问把EC绕点E再旋转多大角度时，可判定MD∥EC，请你设计出两种方案，并画出草图（旋转后若EC与AB相交，则交点用C′表示）．（2）若将EC绕点E逆时针旋转60°时，点C与点A恰好重合，请画出草图，并在图中找出同位角、内错角各两对（先用数字标出角，再回答）．42．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B 两点，l4和l1、l2分别交于D、C 两点，点P在直线AB上且点P和A、B不重合，PD和DM的夹角记为∠1，PC和CN的夹角记为∠2，PC和PD的夹角记为∠3．（1）当∠1=25°，∠3=60°时，求∠2的度数；（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（4）如果直线l3向左平移到l4左侧，其它条件不变，∠1、∠2、∠3三个角之间的相等关系是_________（其中（2）、（3）、（4）均只要写出结论，不要求说明）．43．如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=_________．（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，则（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，说明你的理由．（3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=120°”，其它条件不变，那么∠DBA=_________．（直接写出结果，不必证明）44．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）写出点B的坐标（_________）．（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．45．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．46．如图，l1∥l2，MN分别和直线l1，l2交于点A，B，ME分别和直线l1，l2交于点C，D，点P在MN上（P与A，B，M三点不重合）①如果点P在A，B两点之间运动时，∠α，∠β，∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②如果点P在A，B两点外运动时，∠α，∠β，∠γ之间有何数量关系？（只要求写出结论）．47．如图，已知∠1=∠2，∠MAE=45°，∠FEG=15°，∠NCE=75°，EG平分∠AEC，求证：AB∥EF∥CD．48．如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．（1）求证：PA⊥PC；（2）当E、M在AB、CD上运动时，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确给予证明．49．已知：AB∥CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E的度数；（2）如图2，当AD⊥BC时，求∠E的度数；（3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E的度数（用含α的式子表示）．50．在实践中学习：（1）如图1所示：已知AB∥CD，∠ABD=115°，根据_________可得出：∠BDC的度数是_________．（2）如图2所示：已知AB∥CD，∠ABC=25°，∠EDC=40°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD∵EF∥AB，EF∥CD∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF_________∴∠BEF=25°，∠DEF=40°即∠BED=_________．（3）如图3所示：已知MA∥NC，试确定∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系，并说明理由．（4）如图4所示：已知AB∥CD，∠ABE=α，∠FCD=β，∠CFE=γ，且BE⊥EF，试确定α、β、γ的关系，请说明理由．51．（1）如图1，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F．请写出图①中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若△ABC中，∠B的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于O，过O点作EF∥BC交AB于E，交AC于F．此时EF与BE、CF的数量关系又如何？请直接写出关系式，不需说明理由．52．如图1，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE﹣∠HAE=90°．（1）求证：BH∥CD．（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．53．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，若∠OEC=∠OBA，则∠OBA=_________度．54．已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C．、55．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．56．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）（1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；（3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．57．如图，BD∥FG∥EC，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，求∠PAG．58．如图1：AB∥CD，则∠1+∠2=_________；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3=_________；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4=_________；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n=_________．59．已知PE∥BA，PE交BC于E；PF∥BC，PF交BA于F，PH⊥BA，垂足为H（1）如图：若∠FPH=43°，则∠ABC=_________°（2）若∠ABC=72°，则∠FPH=_________°（3）如果∠ABC是一个钝角，那么点F和点B在点H的_________侧（填“同”或“异”）；（4）当∠ABC=150°，BE=BF=3cm时画出图形并求出∠FPH的大小．60．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OB∥AC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则∠OCB：∠OFB的值是_________．参考答案：1．（1）延长DE交AB于N，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，∴∠DAE=∠NAE=∠DAN，∠ADE=∠ADF．∴∠DAE+∠ADE=∠DAN+∠ADF=（∠DAN+∠ADF）．∵AB∥CF，∴∠DAN+∠ADF=180°，∠C=∠B，∠CDE=∠BNE．∴∠DAE+∠ADE=×180°=90°∴∠AED=∠AEN=90°在△ADE和△ANE中，∴△ADE≌△ANE（ASA），∴AD=AN，DE=NE．在△CDE和△BNE中，，∴△CDE≌△BNE（AAS），∴CD=BN．∵AN=AB﹣NB，∴AD=AB﹣CD；（2）延长BA到M，延长AE交CD于N，∵AE平分∠DAM，DE平分∠ADC，∴∠DAE=∠DAM，∠ADE=∠NDE=∠ADC，∴∠DAE+∠ADE=∠DAM+∠ADC=（∠DAM+∠ADC）．∵AB∥CF，∴∠DAM+∠ADC=180°，∠C=∠B，∠CNE=∠BAE．∴∠DAE+∠ADE=×180=90．∴∠AED=∠DEN=90°．在△ADE和△NDE中∴△ADE≌△NDE（ASA），∴AD=DN，AE=NE．在△ABE和△NCE中，，∴△ABE≌△NCE（AAS），∴AB=NC．∵DN=CD﹣CN，∴AD=CD﹣AB．2．（1）A点坐标是（﹣2，1），B点坐标（4，﹣1）；（2）将线段AB先向上平移4个单位再向右平移3个单位可以得到线段A′B′；如图所示．（3）点M′的坐标是（x+3，y+4）．3．如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；又∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°4．如图，过点B作BD∥直线l1．∵AB⊥l1，∴AB⊥BD，即∠ABD=90°，∵直线l1∥l2，∴∠DBC=∠1，∴∠2=∠ABD+∠DBC=90°+∠1；（1）若∠1=20°时，∠2=90°+20°=110°；（2）若∠1=n°时，∠2=90°+n°；（3）∠2﹣∠1=90°，即∠2与∠1的差的定值90°．5．（1）∵CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，∴∠COA=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∠FBO=∠AOB，又∵∠FOB=∠AOB，∴∠FBO=∠FOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA=×80°=40°；（2）不变，∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：26．相等，理由是：∵PE、PH的长分别是直线AC与直线MN的距离和直线OB和直线MN间的距离，又∵PE=PF=PH，∴直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等7．延长AB、CD相交于点G．∵AB∥CF，CD∥AE，∴∠C+∠G=180°，∠A+∠G=180°（两条直线平行，同旁内角互补），∵∠G=80°，∴∠C=100°，∠A=100°，∴测量∠C或∠A的度数均可，只需∠C=100°或∠A=100°即可．8．如图，∵∠3=∠ABC，∠3+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴DC∥AB，∴∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴CM∥EG，∴∠CME+∠GEM=180°，∵∠CME：∠GEM=4：5，∴∠CME=×180°=80°．9．（1）AC⊥CE理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠A=90°．∵∠DCE+∠A+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE；（2）AC⊥BE如图2，∵△ABC≌△BDE，∴∠A=∠EBD，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠EBD+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°∴AC⊥BE10．（1）AD+BE=AB．（2）成立．（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵AC平分∠MAB，∴∠DAC=∠CAB，又∵AC=AC，AD=AG，∴△ADC≌△AGC（SAS），∴∠DCA=∠ACG，∵AM∥BN，∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，∴∠CAB+∠GBC=90°，∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，∴∠DCA+∠BCE=90°，∴∠GCB=∠ECB，∵∠ABC=∠CBE，BC=BC，∴△BGC≌△BEC．∴BG=BE，∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB，∵AM∥BN，∠AFG=90°，∴∠BGF=∠FGE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∠ABC=∠CBE，∴CF=CH，CH=CG，∴CF=CG，∵∠FCD=∠ECG，∴△CFD≌△CGE．∴DF=EG，∴AD+BE=AF+BG=AB．（方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN，∴∠FCD=∠CBG，∵∠CBH=∠CBG，∴∠FCD=∠CBH，∴AF=AB，∵∠DAC=∠CAB，AC=AC，∴△AFC≌△ABC，CF=CB，∵∠ECG=∠BCG，∴△FCD≌△BCE，∴DF=BE，∴AD+BE=AD+DF=AF=AB．（3）不成立．存在．当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图①），AD﹣BE=AB．当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图②），BE﹣AD=AB11．（Ⅰ）证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S 梯形CDFE，∴a（x+AF）=a（EC+b﹣AF），∴2AF=EC+（b﹣x）．又∵EC=b﹣x，∴2AF=2EC．∴AF=EC．（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）∵EC∥E′B′，∴=，由EC=b﹣x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x：b=．当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴CE=（AD+E′B′），即b﹣x=（b+x），∴x：b=．（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，证明：连接BF，∵FD∥BE，FD=BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB=DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE=EE′，∴FB∥EE′，FB=EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形，∴BE′∥EF．如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，∵x：b=，∴EM=BC=b，若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E，在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==，在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，∴=．又∵a＞0，b＞0，=，∴当=时，BE′与EF垂直12．证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．13．（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．14．证明：在△ADF和△ABF中，，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠ADF=∠ABE，∵∠C+∠BAC=90°，∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE=∠ADF，∴DF∥BC15．已知：EB=EG，②AB=AC，③BE=CF．求证：①DE=DF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵BE=EG，∴∠B=∠EGB，∴∠EGB=∠ACB，∴EG∥AF，∴∠DEG=∠F，∠EDG=∠FDC，∵BE=CF，∴EG=CF，∴△EDG≌△FDC（AAS），∴DE=DF．故答案为：AB=AC，BE=CF，DE=DF16．（1）证明：∵△ABC沿BC平移到△A′B′C′，∴AC∥A′C′，AC=A′C′，∴∠ACD=∠C′A′D，又∵∠ADC=∠C′DA′，∴△ACD≌△C′A′D，∴A′D=CD；（2）解：∵△ABC沿BC平移到△A′B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积相等，等于36，因为A′D=CD，所以△C′DC与△C′A′D的面积相等，等于1817．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE18．（1）已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF．求证：BE=CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠F，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE，∴BE=EG．∵DE=DF，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，∴BE=CF．（2）①③⇒②已知：EG∥AF，AB=AC，BE=CF．求证：DE=DF19．（1）根据题意得：（2）设这四个数字中最小的一个数字是x，根据题意得，x+（x+3）+（x+6）+（x+9）=22解得：x=1，∴这四个数字中最小的一个数字是120．（1）∠1=180°﹣60°=120°，∠2=90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°﹣60°﹣n°=120°﹣n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°﹣n°，∠BCG=180°﹣∠CBF=180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°﹣∠ACB﹣∠BCG，=360°﹣90°﹣（180°﹣n°），=90°+n°；②当n=30°时，AB⊥DG（EF）；当n=90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n=120°时，AB⊥DE（GF）；当n=180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；当n=210°时，AB⊥DG （EF）；当n=270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；当n=300°时，AB⊥DE （GF）．21．过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．又∵BE∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．22．α与β的数量关系为α﹣β=15°或α+β=165°．当将直角三角板ABC绕着点C逆时针旋转时，如图1，∵∠BMD+∠B=∠BDE+∠DEC，∴α+30°=β+45°，∴α﹣β=15°；当将直角三角板ABC绕着点C顺时针旋转时，如图2，∵∠BMD=∠1+∠B，而∠1=∠2，∠2=180°﹣∠DEC﹣∠BCE，∴∠BMD=180°﹣∠DEC﹣∠BCE+∠B，∴α=180°﹣45°﹣β+30°，∴α+β=165°．23．（1）∵AB∥CD，∴∠GHD=∠AGH=60°，∴∠HPO=∠GHD﹣∠HOP，=60°﹣35°，=25°；（2）由三角形的外角性质，∠GHD=∠HOP+∠HPO，=40°+25°，=65°，∵AB∥CD，∴∠AGF=∠GHD=65°；（3）∠AGF=∠HOP+∠HPO；（4）∠AGF=∠HOP+∠HPO．理由如下：∵AB∥CD，∴∠GHD=∠AGH，由三角形的外角性质得，∠GHD=∠HPO+∠HOP，∴∠AGF=∠HPO+∠HOP24．（1）∵EB∥FC，∴∠B+∠C=180°；（2）如图，过点A作AD∥EB，则∠BAD=∠B，∠CAD=∠C，∴∠BAD+∠CAD=∠B+∠C，即∠A=∠B+∠C；（3）如图，过点A作AD∥EB，则∠B+∠BAD=180°，∠C+∠CAD=180°，∴∠B+∠BAD=∠C+∠CAD=180°+180°，即∠A+∠B+∠C=360°；（4）由三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∵EB∥FC，∴∠1=∠C，∴∠A+∠B=∠C；（5）由三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∵EB∥FC，∴∠1=∠B，∴∠A+∠C=∠B．25．∵在Rt△POM中，PM＞PO，∴这两种方案沿PO修路更经济些，它不是最佳方案，过点P作PN⊥OB于点N，∵OP＞PN，PN是点P到OB上的最短路线，∴此方案是最佳方案．26．（1）如图所示：P点即为所求．过M作MP⊥AB，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校M影响最大；（2）如图所示：Q点即为所求．过N作NQ⊥AB，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，对学校N影响最大；（3）如图所示：PQ范围内，学校M受噪音影响越来越小，而学校N受噪音影响越来越大27．∵AB∥EF，CD∥EG，∴∠AEF+∠A=180°，∠DEG+∠D=180°，∵∠A=∠D，∴∠AEF=∠DEG，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH，∴∠AEF+∠FEH=×180°=90°，即∠AEH=90°，∴EH⊥AB，∴线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离．28．DE⊥CD，理由如下：∵OA∥BE（已知），∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）；又∵OB平分∠AOE，∴∠1=∠2；又∵∠4=∠5，∴∠2=∠5（等量代换）；∴DE∥OB（已知），∴∠6=∠2+∠3（外角定理）；又∵∠2+∠3=90°，∴∠6=90°，∴DE⊥CD 29．（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD﹣∠PAB；（4）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；选（3）说明，设PC交AB于K，则∠PKB=∠PCD，∵∠PKB=∠APC+∠PAB，∴∠APC+∠PAB=∠PCD，即∠APC=∠PCD﹣∠PAB．30．（1）EM∥FN，理由为：∵ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，∴∠MEF=∠AEF，∠EFN=∠EFD，又∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFD，∴∠MEF=∠EFN，∴EM∥FN；（2）EK⊥FN，理由为：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又∵EK是∠BEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，∴∠FEK=∠BEF，∠EFN=∠EFD，∴∠FEK+∠EFN=90°，∴∠EKF=90°即EK⊥FN31．OM⊥OC．理由如下：设∠CON为x°，则∠MOC为（132﹣x）°，依题意，得，解得x=42．∴∠MOC=∠MON﹣∠CON=132°﹣x=132°﹣42°=90°，即OM⊥OC32．三个角之间关系为：∠1+∠F+∠2=180°．理由如下：（2分）∵CD∥AB，∴∠1=∠CBA=∠2+∠FBA，（两直线平行，内错角相等）即∠FBA=∠1﹣∠2①，（4分）又∵∠A=∠FEC=62°，∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），（6分）∴∠F+∠FBA=180°，（两直线平行，同旁内角互补）即∠FBA=180°﹣∠F②，（8分）由①、②得∠1﹣∠2=180°﹣∠F，即∠1+∠F+∠2=180°．33．（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD ﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°；（2）由（1）∴∠DOE=∠COD ﹣∠BOC=90°，∴∠DOE=90°﹣（180°﹣∠AOC），∴∠DOE=∠AOC=α；（3）∠AOC=2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣2∠COE=180°﹣2（90°﹣∠DOE），所以得：∠AOC=2∠DOE；②4∠DOE﹣5∠AOF=180°理由：设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣4∠AOF=2∠DOE﹣4∠AOF=2x﹣4y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90﹣x）+y=180﹣2 x+y，所以，2x﹣4y=180﹣2 x+y 即4x﹣5y=180，所以，4∠DOE﹣5∠AOF=180°34．（1）∠1+∠2=∠3．∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠1+∠2=∠3．（2）①过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；②作EF∥AB∥CD，则∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，即∠1+∠2的度数是90°．35．（1）∵∠A+∠B=（90+x）°+（90﹣x）°=180°，∴AC∥BD；（2）∵EF∥AC，∴AC∥EF∥BD，∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，∵∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，联立，解得；（3）∵EF∥AC，∴AC∥EF∥BD，∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，∵∠CED=90°，∴∠D﹣∠C=90°，联立，解得36．（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，∴∠BOA=80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°；（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：∵BC∥OA，∴∠FCO=∠COA，又∵∠FOC=∠AOC，∴∠FOC=∠FCO，∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB=1：2；（4）由（1）知：OB∥AC，则∠OCA=∠BOC，由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，则∠OCA=∠BOC=2α+β，∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，∵∠OEC=∠OCA，∴2α+β=α+2β，∴α=β，∵∠AOB=80°，∴α=β=20°，∴∠OCA=2α+β=40°+20°=6037．（1）由图可知，△ABC平移的方向沿BC方向，∵BC=6cm，∴平移距离是6cm；（2）∵BD=6.4cm，DF=AC=10cm，∴BF=DF﹣BD=10﹣6.4=3.6cm，∵∠BFE=∠EFD，∠EBF=∠DEF=90°，∴△EBF∽△DEF，∴=，即=，解得EB=4.8cm，∴△EBF的面积=BF•EB=×3.6×4.8=8.64cm238．（1）A、B、C、D四个点的坐标分别为：A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（4，0）、D（0，4）（3分）．（2）A、B、C、D四个点的坐标分别为：A（0，0）、B（4，﹣4）、C（8，0）、D（4，4）．（3）原点向左平移4个单位长度，则各点横坐标加4．或各点纵坐标不变，横坐标加439．（2）由图可知：A1（0，4）；B1（2，0）；C1（4，1）．（3）∵A1O=4，三角形的面积为4，∴×4B1P=4，∴B1P=2，∴P（0，0），（4，0）．40．（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，可以将A，B，C分别向右平移6各单位，顺次连接即可得出，如图所示，∴C1（1，1）；（2）如图所示，分别将A，B，C绕原点O绕旋转180°，再顺次连接对应点即可得出答案；（3）根据A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣5，1），横坐标不变，纵坐标乘以﹣1，∴A3（﹣1，﹣3），B3（﹣1，﹣1），C3（﹣5，﹣1），顺次连接各点，∴△A3B3C3与△ABC关于x轴对称，△A3B3C3与△A2B2C2关于y轴对称41．（1）方案1：把EC绕E点逆时针再旋转40°时，可判定MD∥EC，如图1；方案2：把EC绕E点顺时针再旋转140°时，可判定MD∥EC，如图2；（2）如图3，同位角有：∠3与∠5，∠4与∠5，内错角有：∠1与∠6，∠2与∠542．（1）延长DP交直线l2于E，∵直线l1∥l2，∠1=25°，∴∠DEC=∠1=25°，∵∠3=60°，∠2=∠3﹣∠1=35°；（2）∠3=∠1+∠2，理由是：∵直线l1∥l2，∴∠DEC=∠1，∴∠3=∠2+∠DEC=∠1+∠2，故答案为：∠3=∠2+∠1．（3）故答案为：当点P在l1上方时∠3=∠2﹣∠1，当点P在l2下方时∠3=∠1﹣∠2；（4）故答案为：当点P在A、B两点之间时，∠1+∠2=∠3，当点P在l1上方时∠3=∠1﹣∠2，当点P在l2下方时∠3=∠2﹣∠1．43．（1）∵EF∥GH，∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°，∵∠DAB=∠BAC，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=45°，∵BD平分∠FBC，∴∠DBC=×180°=90°，∴∠DBA=90°﹣45°=45°；（2）解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x ）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x ﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，=×90°，=45°；（3）由（2）可知，∠ACB=120°时，∠DBA=×120°=60°．故答案为：（1）45°，（3）60°44．（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC 与x轴平行；故B的坐标为（4，6）；（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，此时P的坐标为（4，4），位于AB上；（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：P在AB上时，P运动了4+5=9个长度单位，此时P运动了4.5秒；P在OC上时，P运动了4+6+4+1=15个长度单位，此时P 运动了=7.5秒45．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）46．（1）如图，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：∴∠α=∠DPO，∠β=∠CPO，∴∠γ=∠α+∠β；（2）①若点P在BA延长线上，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：则∠β=∠α+∠γ．②若点P在BA延长线上，过点P作PO∥AC，则PO∥l1∥l2，如图所示：则∠α=∠β+∠γ47．证明：∵∠1=∠2，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠MAE=∠AEF=45°，∵∠FEG=15°，∴∠AEG=60°，∴∠GEC=60°，∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=75°，∵∠NCE=75°，∴∠FEC=∠ECN，∴EF∥CD，∴AB∥EF∥CD．48．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=90°，∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，∴∠PAC=∠BAC，∠PCA=∠DCA，∴∠PAC+∠PCD=（∠BAC+∠DCA）=90°，∴∠APC=90°，∴PA⊥PC；（2）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5=∠2，∵∠APQ+∠5+∠1=90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1=90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2=90°．49．（1）过E作EF∥AB，∵CD∥AB，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠ABC=×40°=20°，∠CDE=∠BCD=×60°=30°，∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°，则∠BED=∠BEF+∠DEF=50°；（2）过E作EF∥AB，∵CD∥AB，∴EF∥CD，∴AD⊥BC，∴∠AMB=90°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=∠ABC+∠ADC=×90°=45°；（3）∵∠AMB=α，∴∠ABC+∠BAD=180°﹣α，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=180°﹣α，∵EF∥AB∥CD，∴∠BED=（180°﹣α）=90°﹣α．50．（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BDC=180°﹣115°=65°；（2）过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD∵EF∥AB，EF∥CD∴∠ABC=∠BEF，∠EDC=∠DEF，∴∠BEF=25°，∠DEF=40°即∠BED=65°；故答案为两直线平行，同旁内角互补，65°；两直线平行，内错角相等；65°；（3）∠A、∠B、∠C和∠E、∠F的关系为∠E+∠F=∠A+∠B+∠C．理由如下：作BH∥AM，如图3，由（2）的结论得到∠E=∠1+∠A，∠F=∠2+∠C，∴∠E+∠F=∠1+∠A+∠2+∠C=∠A+∠B+∠C；（4）γ+α=90°+β．理由如下：作BP∥AB，如图4，由（2）的结论得∠ABE+∠EFP=∠BEF，而∠PFC=∠FCD，∴∠EFP=90°﹣α，∠PFC=β，∴∠EFP+∠PFC=90°﹣α+β，∴γ=90°﹣α+β，即γ+α=90°+β51．（1）EF=BE+CF，（1分）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；（2分）∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，（3分）∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，（4分）同理可得OF=FC，（5分）∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（6分）（2）EF=BE﹣CF．52．（1）证明：如图，延长AE交DC于F，∵AE⊥CE，∴∠CEF=90°，根据三角形的外角性质，∠DCE﹣∠AFD=∠CEF=90°，又∵∠DCE﹣∠HAE=90°，∴∠HAE=∠AFD，∴BH∥CD；（2）解：∵AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，∴∠EAM=∠EAF，∠EAN=∠BAE=（∠EAF+∠BAF），∴∠MAN=∠EAN﹣∠EAM=（∠EAF+∠BAF ）﹣∠EAF=∠BAF，∵BH∥CD，∴∠BAF=∠AFG，∴∠MAN=∠AFG53．（1）∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，∴∠COA=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∵CB∥OA，∴∠FBO=∠AOB，又∵∠FOB=∠AOB，∴∠FBO=∠FOB，∴OB平分∠AOF，又∵OE平分∠COF，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA=×60°=30°；（2）不变，∵CB∥OA，则∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，。

濮阳市第一高级中学七年级数学下册第五章《相交线与平行线》提高卷(专题培优)

濮阳市第一高级中学七年级数学下册第五章《相交线与平行线》提高卷(专题培优)

一、选择题1．下列说法中，正确的是（ ）A ．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B ．两直线相交，对顶角互补C ．垂线段最短D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C解析：C【分析】依据垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，即可得出结论．【详解】解：A ．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误； B ．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；C ．垂线段最短，故本选项正确；D ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，熟练掌握概念是解题的关键．2．下列说法正确的是（ ）A ．命题一定是正确的B ．定理都是真命题C ．不正确的判断就不是命题D ．基本事实不一定是真命题B解析：B【分析】根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A 、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B 、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C 、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D 、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．3．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为（ ）A．65B．25C．115D．155C解析：C【分析】先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．【详解】∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，∴∠BOC=90°-25°=65°，∴∠COD=180°-65°=115°．故选：C．【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．4．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；故选B．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．①②④D．①④C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④D 解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．下列说法中不正确的个数为（）．①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．②有且只有一条直线垂直于已知直线．③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个C解析：C【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；∴不正确的有①②④⑤四个．故选：C．【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．8．如图所示，已知 AB∥CD，下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4C解析：C【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠1=∠4，故选 C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（）A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离 B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短C解析：C【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.【详解】解：A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质；B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质；故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．10．如图，将△ABE向右平移50px得到△DCF，如果△ABE的周长是400px（1px=0.04cm），那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm C解析：C【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．【详解】∵1px = 0.04cm，∴50px=2cm，400px=16cm，∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF．∵平移距离为2cm，∴AD=EF=2cm，∵△ABE 的周长是16cm ，∴四边形ABFD 的周长=16+2+2=20cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空题11．如图，直线a ，b 被直线c 所截（即直线c 与直线a ，b 都相交），且a //b ，若1∠=α，则2∠的度数=______度．（用含有α代数式表示）【分析】根据对顶角性质得；根据平行线性质得结合推导得即可得到答案【详解】如图∵//∴∴∴∵∴即的度数=度故答案为：【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角相等平行线的性质从而完成求解解析：180α-【分析】根据对顶角性质，得13∠=∠；根据平行线性质，得23180∠+∠=，结合1∠=α，推导得2180α∠=-，即可得到答案．【详解】如图13∠=∠∵a //b∴23180∠+∠=∴21180∠+∠=∴21801∠=-∠∵1∠=α∴2180α∠=-，即2∠的度数=180α-度故答案为：180α-．【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角相等、平行线的性质，从而完成求解．12．在平面内，若OA⊥OC，且∠AOC∶∠AOB＝2∶3，则∠BOC的度数为_______________；45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°再由∠AOC：∠AOB=2：3可得∠AOB然后再分两种情况进行计算即可【详解】解：如图∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内一种是在解析：45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC：∠AOB=2：3，可得∠AOB，然后再分两种情况进行计算即可．【详解】解：如图，∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内，一种是在∠AOB外．∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，①当∠AOC在∠AOB内，如图1，∵∠AOC：∠AOB=2：3，∠AOC=45°，∴∠BOC=12②当∠AOC在∠AOB外，如图2，∵∠AOC：∠AOB=2：3，∠AOC=135°，∴∠AOB=32∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．故答案为：45°或135°．【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．13．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠B＝_____度．55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①∠A＝∠B②求出∠A＝3∠B ﹣40°③把③分别代入①②求出即可【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行∴∠A+∠B＝180°①∠A＝∠B②∵∠解析：55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，求出∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，∵∠A 比∠B 的3倍少40°，∴∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③代入①得：3∠B ﹣40°+∠B ＝180°，∠B ＝55°，把③代入②得：3∠B ﹣40°＝∠B ，∠B ＝20°，故答案为：55或20．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A 和∠B 的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝180° ，注意分类讨论思想的应用．14．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考 解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．15．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．16．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到△DEF 的位置，AB ＝10，DO ＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__【分析】根据平移的性质得出BE=6DE=AB=10则OE=6则阴影部分面积=S 四边形ODFC=S 梯形ABEO 根据梯形的面积公式即可求解【详解】解:由平移的性质知BE ＝6DE ＝AB ＝10∴OE ＝DE ﹣解析：【分析】根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S 四边形ODFC =S 梯形ABEO ，根据梯形的面积公式即可求解．【详解】解:由平移的性质知，BE ＝6，DE ＝AB ＝10，∴OE ＝DE ﹣DO ＝10﹣4＝6，∴S 四边形ODFC ＝S 梯形ABEO 12=（AB+OE ）•BE 12=×（10+6）×6＝48． 故答案为48．【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO 的面积相等是解题的关键．17．如图，直线a ∥b ∥c ，直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上，两边分别与直线a ，c 相交于点B ，C ，则∠1＋∠2的度数是___________．270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°再结合∠BAC是直角即可得出结果【详解】解：如图所示∵a∥b∴∠1+∠3=180°则∠3=180°-∠1∵b∥c∴∠2+∠4=180°解析：270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵b∥c∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，∵∠BAC是直角，∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，∴90°=360°-（∠1+∠2），∴∠1+∠2=270°．故答案为：270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．18．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．46【分析】过点C作CF∥AB根据平行线的传递性得到CF∥DE根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF∠CDE+∠DCF＝180°根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°由等式性质得到∠DCF＝30°解析：46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．19．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝_____（度）．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案【详解】如图所示：∠1+∠3=180°∵m∥n∴∠2=∠3∴∠1+∠2=180°∴3x+24+5x+20=180解得：x=17则∠1=（3x+解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m ∥n ，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．20．如图，a ∥b ，∠1＝80°，∠2＝45°，∠3＝_____．55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论【详解】解：∵a ∥b ∴∠1+∠3+∠4=180°∵∠2=∠4∠2＝45°∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°∴∠3=180°-45°-80°=5解析：55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．【详解】解：∵a ∥b ，∴∠1+∠3+∠4=180°，∵∠2=∠4，∠2＝45°，∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°，∴∠3=180°-45°-80°=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．三、解答题21．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，射线OE 在AOD ∠内部，OA 平分EOC ∠． （1）当OE CD ⊥时，写出图中所有与BOD ∠互补的角．（2）当:2:3EOC EOD ∠∠=时，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠、BOC ∠、∠BOE ；（2）36°．【分析】（1）根据题意，由角平分线的定义，先求出45AOC AOE BOD ∠=∠=∠=︒，然后求出135AOD BOC BOE ∠=∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据角的比例，先求出72EOC ∠=︒，由角平分线的定义和对顶角定理，即可得到答案．【详解】解：（1）∵OE CD ⊥，∴90COE EOD ∠=∠=︒，∵OA 平分EOC ∠， ∴190452AOC AOE ∠=∠=⨯︒=︒， ∴45BOD ∠=︒，∴18045135AOD BOC BOE ∠=∠=∠=︒-︒=︒，∴与BOD ∠互补的角有AOD ∠、BOC ∠、∠BOE ；（2）根据题意，∵:2:3EOC EOD ∠∠=，又∵180EOC EOD ∠+∠=︒， ∴21807223EOC ∠=⨯︒=︒+， ∵OA 平分EOC ∠， ∴172362AOC AOE ∠=∠=⨯︒=︒， ∴36BOD AOC ∠=∠=︒；【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的定义，对顶角相等，以及平角的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，得到角的关系进行解题．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==． （1）求()187h ，()693h 的值． （2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 解析：（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，BA的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671， 此时B A 的值最大为 671.154B A 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，且与BC 平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，在直线l 上画出一点P ，使得APC ACB ∠=∠；（2）如图②，在直线l 上画出所有的点Q ，使得12AQC ACB ∠=∠．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)以C 为圆心,以CA 为半径画弧,交点即为所求;(2)以A 为圆心,以AC 为半径画弧,交点即为所求.【详解】（1）如图所示，点P 即为所求，理由如下:CP CA =，//l BC ，则APC CAP ACB ∠=∠=∠．（2）如图所示，点12Q Q 、即为所求，理由如下：1AC AQ =，//l BC ，则11112AQ C ACQ BCQ ACB ∠=∠=∠=∠； 12CQ CQ =，则1221CQ Q CQ Q ∠=∠．【点睛】本题考查了基本作图,熟记等腰三角形的性质,平行线的性质是解题的关键.24．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，若1E ∠=∠，试说明：23∠∠=．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．∵AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G （已知），∴90ADC EGC ∠=∠=︒∴//AD EG （ ）∴12∠=∠（ ）∵1E ∠=∠（已知），∴E ∠=_______（等量代换）又∵//AD EG （已证），∴______3=∠（ ）∴23∠∠=（等量代换）．解析：见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90°，根据平行线的判定得到AD ∥EG ，由平行线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠E=∠2，由平行线的性质得到∠E=∠3，等量代换即可得到结论．【详解】∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∵AD∥EG，∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2=∠3（等量代换）．【点睛】考查了平行线的性质、垂直的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质．25．如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，那么∠1与∠2相等吗？说明理由．解析：∠1＝∠2，理由见解析．【分析】根据平行线的性质推出∠ADE＝∠ABC，推出∠ABC＝∠EFC，根据平行线的判定推出EF∥AB即可．【详解】解：∠1＝∠2，理由是：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠ABC＝∠EFC，∴EF∥AB，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及判定．26．仿照课本中“2是无理数”3解析：见解析．【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．【详解】 证明：假设3是有理数，那么它可以表示成q p （p 与q 是互质的两个正整数）． 于是（q p）2＝（3）2＝3， 所以，q 2＝3p 2．于是q 2是3的倍数，所以q 也是3的倍数，从而可设q ＝3m ，所以（3m ）2＝3p 2，p 2＝3m 2，于是可得p 也是3的倍数．这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“3是有理数”的假设不成立， 所以，3是无理数．【点睛】 此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．27．如图，直线BC 、DE 相交于点O ，OA 、OF 为射线，OA OB ⊥，OF 平分BOE ∠，BOF COD ∠+∠＝54．求AOE ∠的度数．解析：126º【分析】设BOF ∠＝x ，根据角平分线的定义表示出∠BOE ，再根据对顶角相等求出COD ∠，然后列出方程求出x ，从而得到∠BOE 的度数，再根据垂线的定义求出AOB ∠，最后根据AOE ∠＝AOB BOE ∠+∠代入数据进行计算即可得解.【详解】设BOF ∠＝x ，∵OF 平分∠BOE ，∴∠BOE ＝2BOF ∠＝2x ，∴COD ∠＝∠BOE ＝2x （对顶角相等），∵BOF COD ∠+∠＝54，∴2x x +＝54，解得x ＝18，∴∠BOE ＝218⨯＝36，∵OA OB ⊥，∴AOB ∠＝90，∴AOE ∠＝AOB BOE ∠+∠＝9036+＝126.【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，设出未知数并根据已知条件列出方程求出∠BOE是解题的关键.28．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥CD于O，OF是∠BOE的平分线，∠DOF＝25°．求∠AOC的度数．解析：∠AOC＝40°．【分析】利用垂直定义结合条件可得∠EOF＝65°，然后再利用角平分线定义可得∠BOF＝∠EOF＝65°，然后再计算∠BOD的度数，进而可得∠AOC的度数．【详解】解：∵OE⊥CD于O，∴∠EOD＝90°，∵∠DOF＝25°，∴∠EOF＝65°，∵OF是∠BOE的平分线，∴∠BOF＝∠EOF＝65°，∴∠BOD＝65°﹣25°＝40°，∴∠AOC＝40°．【点睛】此题主要考查了垂线，关键是理清图中角之间和差的关系．。

第-1讲---初一相交线与平行线常考题提高难题

第-1讲---初一相交线与平行线常考题提高难题

第-1讲---初一相交线与平行线常考题提高难题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1讲相交线与平行线提高题知识点：1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等。

2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）4，互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3. 5，互为补角的有关性质：①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C. 6，对顶角的性质：对顶角相等.7、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线段最短。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

初一下册数学-相交线与平行线-难题-提高题-中考题

初一下册数学-相交线与平行线-难题-提高题-中考题

初一下册数学-相交线与平行线-难题-提高题-中考题1.根据题目描述，需要在角钢上截去一个缺口使其弯成120°的钢架。

缺口的角度应该是60度（120度-60度=60度）。

2.根据题目描述，矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合。

由于对折后两部分重合，因此∠AEF=∠FEC=50°。

3.根据题目描述，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，且∠1=30°，∠2=50°。

根据三角形内角和公式可得，∠3=100°。

4.1) 当动点P落在第①部分时，由于直线AC∥BD，因此∠PAC和∠PBD是同旁内角，即∠PAC=∠PBD。

又因为∠APB是一条直线的内角，因此∠APB=180°。

因此，∠APB=∠PAC+∠PBD。

2) 当动点P落在第②部分时，由于P点在直线AC上，因此∠PAC=180°-∠ACB。

同理，由于P点在直线BD上，因此∠PBD=180°-∠CBD。

因此，∠APB=∠PAC+∠PBD成立。

3) 当动点P在第③部分时，由于直线AC∥BD，因此∠PAC和∠PBD是同旁内角，即∠PAC=∠PBD。

又因为∠APB是一条直线的内角，因此∠APB=180°。

由于P点在第③部分，因此∠ACB和∠CBD是同旁外角，即∠ACB=∠CBD。

因此，∠PAC=∠PBD=180°-∠ACB=180°-∠CBD。

因此，∠APB=2∠PAC成立。

7.根据题目描述，已知∠1=55°，∠3=75°，且光线在平面镜AB和CD之间来回反射。

由于光线的入射角等于反射角，因此∠2=∠4=75°。

根据三角形内角和公式可得，∠5=55°。

由于∠1和∠5是同旁内角，因此∠2=∠6=55°。

8.根据题目描述，刀柄外形是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2.由于刀柄外形是一个直角梯形，因此∠1=90°。

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)1．如图，//AD BC ，D ABC ∠=∠，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ．点F 是边AB 上一点．使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ∠=︒，则BEG ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ， 第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ， 第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯， 第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ． 若1n E ∠=度，那BEC ∠等于 度3．如图，//AB CD ，CF 平分DCG ∠，GE 平分CGB ∠交FC 的延长线于点E ，若34E ∠=︒，则B ∠的度数为 ．4．如图，直线//a b ，A 是直线a 上一点，D 、E 分别是直线b 上的点，C 是AE 上一点，80ACD ∠=︒，//EG CD 交AD 于G ，F 是GE 上一点使FGC FCG ∠=∠，作CB 平分ACF ∠，则BCG ∠= ．5．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CH 平分ACD ∠，点G 为CD 上一点，连接HA 、HG ，HC 平分AHG ∠，若42AHG ∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒，则ACD ∠的度数是 ︒．6．如图，直线//MN PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．ABM ∠的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD PQ ⊥交PQ 于点D ，作A F A B⊥交PQ于点F ，AE 平分DAF ∠交PQ 于点E ，若45CAE ∠=︒，52ACB DAE ∠=∠，则ACD ∠的度数是 ．7．探究：如图①，////AB CD EF ，试说明BCF B F ∠=∠+∠．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由． 解：//AB CD ，（已知） 1B ∴∠=∠．( )同理可证，2F ∠=∠．12BCF ∠=∠+∠， BCF B F ∴∠=∠+∠．( )应用：如图②，//AB CD ，点F 在AB 、CD 之间，FE 与AB 交于点M ，FG 与CD 交于点N ．若115EFG ∠=︒，55EMB ∠=︒，则DNG ∠的大小为 度．拓展：如图③，直线CD 在直线AB 、EF 之间，且////AB CD EF ，点G 、H 分别在直线AB 、EF 上，点Q 是直线CD 上的一个动点，且不在直线GH 上，连结QG 、QH ．若70GQH ∠=︒，则AGQ EHQ ∠+∠= 度．8．综合与探究如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合）．BC ，BD 别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ． （1）求ABN ∠、CBD ∠的度数；根据下列求解过程填空． 解：//AM BN ，180ABN A ∴∠+∠=︒60A ∠=︒， ABN ∴∠= ， 120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠， 2ABP CBP ∴∠=∠、PBN ∠= ，( )22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠= ．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P 运动到使ACB ABD ∠=∠时，直接写出ABC ∠的度数．9．已知直线12//l l ，直线3l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，点P 是直线3l 上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD 之间运动（不与C 、D 两点重合），问在点P 的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P 在线段CD 之外且在CD 的上方运动（不与C 、D 两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，//AB CD ，EF AB ⊥于点O ，FG 交CD 于点P ，当130∠=︒时，求EFG ∠的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点F 作//MN CD ． 分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由图可知只需转化为求2∠和3∠的度数之和； ②由辅助线作图可知，21∠=∠，从而由已知1∠的度数可得2∠的度数； ③由//AB CD ，//MN CD 推出//AB MN ，由此可推出34∠=∠； ④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒，所以可得3∠的度数； ⑤从而可求EFG ∠的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 辅助线： 分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求EFG ∠的度数． 11．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．12．已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠． （2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．13．如图，已知：EF AC ⊥，垂足为点F ，DM AC ⊥，垂足为点M ，DM 的延长线交AB 于点B ，且1C ∠=∠，点N 在AD 上，且23∠=∠，试说明//AB MN ．14．（1）如图①，90CEF ∠=︒，点B 在射线EF 上，//AB CD ，若130ABE ∠=︒，求C ∠的度数；（2）如图②，把“90CEF ∠=︒”改为“120CEF ∠=︒”，点B 在射线EF 上，//AB CD ．猜想ABE ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．15．如图1，已知//AB CD ，30B ∠=︒，120D ∠=︒； （1）若60E ∠=︒，则F ∠= ；（2）请探索E ∠与F ∠之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．16．已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D ，点P 是直线3l 上一动点（1）如图1，当点P 在线段CD 上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合，如图2和图3)，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的数量关系，不必写理由．17．（1）如图（1），已知任意三角形ABC ，过点C 作//DE AB ，求证：DCA A ∠=∠； （2）如图（1），求证：三角形ABC 的三个内角（即A ∠、B ∠、)ACB ∠之和等于180︒； （3）如图（2），求证：AGF AEF F ∠=∠+∠；（4）如图（3），//AB CD ，119CDE ∠=︒，GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，150AGF ∠=︒，求F ∠．18．如图，已知直线12//l l ，且3l 和1l ，2l 分别交于A ，B 两点，4l 和1l ，2l 相交于C ，D 两点，点P 在直线AB 上，（1）当点P 在A ，B 两点间运动时，问1∠，2∠，3∠之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时，试探究ACP ∠，BDP ∠，CPD ∠之间的关系，并说明理由．19．已知直线//AB CD ，（1）如图1，点E 在直线BD 上的左侧，直接写出ABE ∠，CDE ∠和BED ∠之间的数量关系是 ．（2）如图2，点E 在直线BD 的左侧，BF ，DF 分别平分ABE ∠，CDE ∠，直接写出BFD ∠和BED ∠的数量关系是 ．（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧BF ，DF 仍平分ABE ∠，CDE ∠，那么BFD ∠和BED ∠有怎样的数量关系？请说明理由．20．（1）如图1，//a b ，则12∠+∠=（2）如图2，//AB CD ，则123∠+∠+∠= ，并说明理由 （3）如图3，//a b ，则1234∠+∠+∠+∠=（4）如图4，//a b ，根据以上结论，试探究1234n ∠+∠+∠+∠+⋯+∠= （直接写出你的结论，无需说明理由）21．问题情境：（1）如图1，//AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P 作//PE AB ，请你接着完成解答 问题迁移：（2）如图3，//AD BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．试判断CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？（提示：过点P 作//)PE AD ，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你猜想CPD ∠、α∠、β∠之间的数量关系．22．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点E 在BC 上．点G 在CA 的延长线上，EG 交AB 于点F ，AFG G ∠=∠，求证：//GE AD ．23．如图1，//AB CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，点G 在CD 上，点P 在直线EF 左侧、且在直线AB 和CD 之间，连接PE 、PG ． （1）求证：EPG AEP PGC ∠=∠+∠；（2）连接EG ，若EG 平分PEF ∠，110AEP PGE ∠+∠=︒，12PGC EFC ∠=∠，求AEP ∠的度数；（3）如图2，若EF 平分PEB ∠，PGC ∠的平分线所在的直线与EF 相交于点H ，则EPG ∠与EHG ∠之间的数量关系为 ．24．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线．（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系，并证明；（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4分别写出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系（不需证明）．25．如图 1 ，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上， 过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ． （1） 求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2） 若点C 在线段AD 上 （不 与A 、D 、G 重合） ，连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H ，请在图 2 中补全图形， 猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；（3） 若直线AD 的位置如图 3 所示， （2） 中的结论是否成立？若成立， 请证明；若不成立， 请直接写出CBG ∠与AHB ∠的数量关系 ．26．已知：如图，点C 在AOB ∠的一边OA 上，过点C 的直线//DE OB ，CF 平分ACD ∠，CG CF ⊥于点C ．（1）若40O ∠=︒，求ECF ∠的度数； （2）求证：CG 平分OCD ∠．27．完成下面的证明．已知：如图，//BC DE ，BE 、DF 分别是ABC ∠、ADE ∠的平分线． 求证：12∠=∠． 证明：//BC DE ，(ABC ADE ∴∠=∠ )．BE 、DF 分别是ABC ∠、ADE ∠的平分线．132ABC ∴∠=∠，142ADE ∠=∠．34∴∠=∠．∴ // ( )．12(∴∠=∠ )．28．将一副三角板中的两根直角顶点C 叠放在一起（如图①)，其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒．（1）若150BCD ∠=︒，求ACE ∠的度数；（2）试猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角板DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时，//CD AB ，并简要说明理由．29．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．求证：//DG BA ．30．如图，已知12180∠+∠=︒，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并说明理由．31．如图，已知//AB CD ，点E 在AC 的右侧，BAE ∠，DCE ∠的平分线相交于点F ．探索AEC ∠与AFC ∠之间的等量关系，并证明你的结论．32．已知：如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠．求证：//ED FB ．33．操作探究：如图，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（设落地为)N ，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，连接BN 、MN ，请你猜想MBN ∠的度数是多少，并证明你的结论．34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是/a ︒秒，灯B 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足2|3|(4)0a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且45BAN ∠=︒（1）求a 、b 的值；（2）若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．35．已知：射线//OP AE（1）如图1，AOP ∠的角平分线交射线AE 与点B ，若58BOP ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图2，若点C 在射线AE 上，OB 平分AOC ∠交AE 于点B ，OD 平分COP ∠交AE 于点D ，39ADO ∠=︒，求ABO AOB ∠-∠的度数．（3）如图3，若A m ∠=，依次作出AOP ∠的角平分线OB ，BOP ∠的角平分线1OB ，1B OP∠的角平分线2OB ，1n B OP -∠的角平分线n OB ，其中点B ，1B ，2B ，⋯，1n B -，n B 都在射线AE 上，试求n AB O ∠的度数．36．请把下列证明过程补充完整．已知：如图，B ，C ，E 三点在同一直线上，A ，F ，E 三点在同一直线上，12E ∠=∠=∠，34∠=∠．求证：//AB CD证明：2E ∠=∠（已知）∴ //(BC )3∴∠=∠ ( )34∠=∠（已知）4∴∠=∠ ( )12∠=∠（已知）12CAF CAF ∴∠+∠=∠+∠即BAF ∠=∠4∴∠=∠ （等量代换）∴ ( )37．如图所示，已知//AB CD ，分别探索下列四个图形中P ∠与A ∠，C ∠的关系．要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由．结论：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．证明：（2）（4）38．如图，已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D 、A 、B 两点分别在1l 和2l 上，直线3l 上有一动点P（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，猜测PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间有什么关系，证明你的结论（2）若点P 在DC 的延长线上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系为（3）在（2）的条件下，PAC ∠和PBD ∠的角平分线相交于点Q ，探索APB ∠和AQB ∠的关系，并证明．39．已知如图，90COD ∠=︒，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G ．（1）若OE 平分BOA ∠，AF 平分BAD ∠，42OBA ∠=︒，则OGA ∠= ；（2）若13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，42OBA ∠=︒，则OGA ∠= ； （3）将（2）中的“42OBA ∠=︒”改为“OBA α∠=”，其它条件不变，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE 将BOA ∠分成1:2两部分，AF 平分BAD ∠，(3090)ABO αα∠=︒<<︒，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）40．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即//PQ MN，且∠∠=．BAM BAN:2:1（1）填空：BAN∠=︒；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠与BCD∠=︒，则在转动过程中，请探究BAC∠的数量∠交PQ于点D，且120ACDACD关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．41．如图，BG平分CBDCBD∠=︒，EF BG交AC于点F，100∠，E为BC的延长线上一点，//∠=︒，求EFC∠的度数．A2542．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中30∠=OCD∠=︒，45ONM（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使30∠=︒，如图②，MN与BON∠的度数；CD相交于点E，求CEN（2）将图①中的三角尺OMN 绕点O 按每秒15︒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边MN 恰好与边CD 平行；在第 秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．（直接写出结果） 43．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）观察与思考：如图1，若//AB CD ，点P 在AB 、CD 内部，BPD ∠、B ∠、D ∠之间的数量关系为 ，不必说明理由；（2）猜想与证明：如图2，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，利用（1）中的结论（可以直接套用）求BPD ∠、B ∠、D ∠、BQD ∠之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）拓展与应用：如图3，设BF 交AC 于点M ，AE 交DF 于点N ，已知140AMB ∠=︒，105ANF ∠=︒．利用（2）中的结论直接写出B E F ∠+∠+∠的度数为 度，A ∠比F ∠大 度．44．已知：直线//a b ，点A ，B 分别是a ，b 上的点，APB 是a ，b 之间的一条折弦，且90APB ∠<︒，Q 是a ，b 之间且在折线APB 左侧的一点，如图．（1）若133∠=︒，74APB ∠=︒，则2∠= 度．（2）若Q ∠的一边与PA 平行，另一边与PB 平行，请探究Q ∠，1∠，2间满足的数量关系并说明理由．（3）若Q ∠的一边与PA 垂直，另一边与PB 平行，请直接写出Q ∠，1∠，2之间满足的数量关系．45．直线MN 与直线PQ 相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动．（1）如图1，若80AOB ∠=︒，已知AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，若80AOB ∠=︒，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，AD 、BC 的延长线交于点F ，点A 、B 在运动的过程中，F ∠= ；DE 、CE 又分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，CED ∠的大小也不发生变化，其大小为：CED ∠= ．（3）如图3，若90AOB ∠=︒，延长BA 至G ，已知BAO ∠、OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线及其延长线相交于E 、F ，则EAF ∠= ；（4）如图3，若AF ，AE 分别是GAO ∠，BAO ∠的角平分线，90AOB ∠=︒，在AEF ∆中，如果有一个角是另一个角的4倍，则ABO ∠的度数= ．46．在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小钰所在组上网查阅资料，制作了相关PPT 介绍给同学（图1、图2)；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3)．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．（1）图4中，AB，CD代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证AB与CD平行，入射光线与反射光线满足12∠=∠，34∠=∠，这样离开潜望镜的光线MN就与进入潜望镜的光线EF平行，即//MN EF．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．//AB CD（已知），2∴∠=∠()．12∠=∠，34∠=∠（已知），1234(∴∠=∠=∠=∠)．（2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为．A．B．C．D．47．已知，////AB CD EF，且CB平分ABF∠，CF平分BEF∠，请说明BC CF⊥的理由．解：//AB E（已知）∴∠+∠=．CB平分ABF∠（已知）1 12ABF∴∠=∠同理，142BEF ∠=∠114()2ABF BEF ∴∠+∠=∠+∠= ． 又//AB CD （已知）12∴∠=∠同理，34∠=∠1423∴∠+∠=∠+∠2390∴∠+∠=︒（等量代换）即90BCF ∠=︒BC CF ∴⊥ ．48．如图，已知40ABC ∠=︒，射线DE 与AB 相交于点O ，且//DE BC ．解答以下问题：（注EDF ∠为小于180︒的角）（1）画EDF ∠，使DF ∠的另一边//DF AB ．请在如图①和图②中画出符合题意的图形，并求EDF ∠的度数．（2）如果EDF ∠的顶点D 在ABC ∠的内部，边//DE BC ，另一边//DF AB ．请在如图③和图④中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出ABC ∠与EDF ∠的度数后，直接写出ABC ∠与EDF ∠的关系，不必说明理由 ．（3）如果EDF ∠的顶点D 在ABC ∠的内部，边DF BC ⊥，请在如图⑤中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出ABC ∠与EDF ∠的度数后，直接写出ABC ∠与EDF ∠的关系，不必说明理由．49．如图（1），四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是线段CD 上一点，（1）说明：AEB DAE CBE ∠=∠+∠；（2）如图（2），当AE 平分DAC ∠，ABC BAC ∠=∠． ①说明：90ABE AEB ∠+∠=︒；②如图（3）若ACD ∠的平分线与BA 的延长线交于点F ，且60F ∠=︒，求BCD ∠．50．如图，已知射线//CD AB ，110C ABD ∠=∠=︒，E ，F 在CD 上，且满足EAD EDA ∠=∠，AF 平分CAE ∠．（1）求FAD ∠的度数；（2）若向右平行移动BD ，其它条件不变，那么:ADC AEC ∠∠的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动BD 的过程中，是否存在某种情况，使AFC ADB ∠=∠？若存在，请求出ADB ∠度数；若不存在，说明理由．难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，//AD BC ，D ABC ∠=∠，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ．点F 是边AB 上一点．使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ∠=︒，则BEG ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：设FBE FEB α=∠=，则2AFE α∠=，FEH ∠的角平分线为EG ，设GEH GEF β∠=∠=， //AD BC ，180ABC BAD ∴∠+∠=︒，而D ABC ∠=∠，180D BAD ∴∠+∠=︒，//AB CD ∴，100DEH ∠=︒，则100CEG FAE ∠=∠=︒，1801802AEF AED BEG β∠=︒-∠-∠=︒-，在AEF ∆中，10021802180αβ︒++︒-=︒，故40βα-=︒，而40BEG FEG FEB βα∠=∠-∠=-=︒， 故选：B ．二．填空题（共5小题）2．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ， 第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ， 第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯， 第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ． 若1n E ∠=度，那BEC ∠等于 2n 度【解答】解：如图①，过E 作//EF AB ，//AB CD ， ////AB EF CD ∴，1B ∴∠=∠，2C ∠=∠， 12BEC ∠=∠+∠， BEC ABE DCE ∴∠=∠+∠；如图②，ABE ∠和DCE ∠的平分线交点为1E ，111111222CE B ABE DCE ABE DCE BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠．1ABE ∠和1DCE ∠的平分线交点为2E ，22211111112224BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；如图②，2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，33322211112228BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；⋯以此类推，12n nE BEC ∠=∠． ∴当1n E ∠=度时，BEC ∠等于2n 度．故答案为：2n ．3．如图，//AB CD ，CF 平分DCG ∠，GE 平分CGB ∠交FC 的延长线于点E ，若34E ∠=︒，则B ∠的度数为 68︒ ．【解答】解：如图，延长DC 交BG 于M ．由题意可以假设CDF GCF x ∠=∠=，CGE MGE y ∠=∠=．则有22x y GMC x y E =+∠⎧⎨=+∠⎩①②，①-②2⨯可得：2GMC E ∠=∠，34E ∠=︒， 68GMC ∴∠=︒， //AB CD ， 68GMC B ∴∠=∠=︒，故答案为68︒．4．如图，直线//a b ，A 是直线a 上一点，D 、E 分别是直线b 上的点，C 是AE 上一点，80ACD ∠=︒，//EG CD 交AD 于G ，F 是GE 上一点使FGC FCG ∠=∠，作CB 平分ACF ∠，则BCG ∠= 40︒ ．【解答】解：设BCD y ∠=，FGC FCG x ∠=∠=，//CD EG ，DCG FGC x ∴∠=∠=， CB 平分ACF ∠， ACB BCF ∴∠=∠，80y x y x ∴︒-=++， 2280x y ∴+=︒， 40x y ∴+=︒， 40BCG x y ∴∠=+=︒，故答案为40︒5．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CH 平分ACD ∠，点G 为CD 上一点，连接HA 、HG ，HC 平分AHG ∠，若42AHG ∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒，则ACD ∠的度数是 106 ︒．【解答】解：HC 平分AHG ∠，且42AHG ∠=︒，21CHG ∴∠=︒， HC 平分ACG ∠，12HCG ACG ∴∠=∠，180CAB EAB ∠+∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒， BAC HGD ∴∠=∠，//AB CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒，设ACD α∠=，则1122MCG ACD α∠==，180BAC HGD α∠=∠=︒-， HGD ∠是CHG ∆的外角，HGD CHG HCG ∴∠=∠+∠，即1180212αα︒-=︒+，解得106α=︒，106ACD ∴∠=︒．故答案为：106︒．6．如图，直线//MN PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．ABM ∠的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD PQ ⊥交PQ 于点D ，作A F A B⊥交PQ于点F ，AE 平分DAF ∠交PQ 于点E ，若45CAE ∠=︒，52ACB DAE ∠=∠，则ACD ∠的度数是 27︒ ．【解答】解：设DAE α∠=，则EAF α∠=，52ACB α∠=，AD PQ ⊥，AF AB ⊥，90BAF ADE ∴∠=∠=︒，90BAE BAF EAF α∴∠=∠+∠=︒+，90CEA ADE DAE α∠=∠+∠=︒+， BAE CEA ∴∠=∠，//MN PQ ，BC 平分ABM ∠，BCE CBM CBA ∴∠=∠=∠，又360ABC BCE CEA BAE ∠+∠+∠+∠=︒，180BCE CEA ∴∠+∠=︒， //AE BC ∴，ACB CAE ∴∠=∠，即5452α=︒，18α∴=︒， 18DAE ∴∠=︒，Rt ACD ∴∆中，9090(4518)27ACD CAD ∠=︒-∠=︒-︒+︒=︒，故答案为：27︒．三．解答题（共44小题）7．探究：如图①，////AB CD EF ，试说明BCF B F ∠=∠+∠．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由． 解：//AB CD ，（已知） 1B ∴∠=∠．( 两直线平行内错角相等 )同理可证，2F ∠=∠．12BCF ∠=∠+∠， BCF B F ∴∠=∠+∠．( )应用：如图②，//AB CD ，点F 在AB 、CD 之间，FE 与AB 交于点M ，FG 与CD 交于点N ．若115EFG ∠=︒，55EMB ∠=︒，则DNG ∠的大小为 度．拓展：如图③，直线CD 在直线AB 、EF 之间，且////AB CD EF ，点G 、H 分别在直线AB 、EF 上，点Q 是直线CD 上的一个动点，且不在直线GH 上，连结QG 、QH ．若70GQH ∠=︒，则AGQ EHQ ∠+∠= 度．【解答】解：探究：：//AB CD，∴∠=∠．（两直线平行内错角相等）B1同理可证，2∠=∠．F∠=∠+∠，BCF12∴∠=∠+∠．（等量代换）BCF B F故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．应用：由探究可知：MFN AMF CNF∠=∠+∠，1155560∴∠=∠=︒-︒=︒．CNF DNG故答案为60．拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，36070290∠+∠=︒-︒=︒，AGQ EHQ当点Q'在直线GH的左侧时，70∠'+∠'=∠'=︒．AGQ EHQ GQ H故答案为70或290．8．综合与探究如图，已知//∠=︒，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BDAAM BN，60别平分ABP∠，分别交射线AM于点C，D．∠和PBN（1）求ABN∠的度数；根据下列求解过程填空．∠、CBD解：//AM BN，∴∠+∠=︒180ABN A∠=︒，60AABN ∴∠= 120︒ ， 120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠， 2ABP CBP ∴∠=∠、PBN ∠= ，( )22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠= ．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P 运动到使ACB ABD ∠=∠时，直接写出ABC ∠的度数．【解答】解：（1）//AM BN ，180ABN A ∴∠+∠=︒， 60A ∠=︒， 120ABN ∴∠=︒120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠，2ABP CBP ∴∠=∠、2PBN PBD ∠=∠，（角平分线的定义）， 22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， 60CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠=︒．故答案为120︒，2PBD ∠，角平分线的定义，60︒．（2）APB ∠与ADB ∠之间数量关系是：2APB ADB ∠=∠．不随点P 运动变化． 理由是：//AM BN ，APB PBN ∴∠=∠，ADB DBN ∠=∠（两直线平行内错角相等）， BD 平分PBN ∠（已知）， 2PBN DBN ∴∠=∠（角平分线的定义）， 22APB PBN DBN ADB ∴∠=∠==∠=∠（等量代换）， 即2APB ADB ∠=∠． （3）结论：30ABC ∠=︒．理由：//AM BN ，ACB CBN ∴∠=∠，当ACB ABD ∠=∠时，则有CBN ABD ∠=∠，ABC CBD CBD DBN ∴∠+∠=∠+∠，ABC DBN ∴∠=∠，由（1）可知120ABN ∠=︒，60CBD ∠=︒，60ABC DBN ∴∠+∠=︒， 30ABC ∴∠=︒9．已知直线12//l l ，直线3l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，点P 是直线3l 上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD 之间运动（不与C 、D 两点重合），问在点P 的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P 在线段CD 之外且在CD 的上方运动（不与C 、D 两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【解答】解：（1）312∠+∠=∠成立，理由如下： 如图①，过点P 作1//PE l ，1AEP ∴∠=∠，12//l l ， 2//PE l ∴，3BPE ∴∠=∠，2BPE APE ∠+∠=∠， 312∴∠+∠=∠；（2）312∠+∠=∠不成立，新的结论为312∠-∠=∠，理由为：如图②，过P 作1//PE l ，1APE ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，3BPE ∴∠=∠，2BPE APE ∠-∠=∠，312∴∠-∠=∠．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，//AB CD ，EF AB ⊥于点O ，FG 交CD 于点P ，当130∠=︒时，求EFG∠的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F 作//MN CD ．分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由图可知只需转化为求2∠和3∠的度数之和；②由辅助线作图可知，21∠=∠，从而由已知1∠的度数可得2∠的度数； ③由//AB CD ，//MN CD 推出//AB MN ，由此可推出34∠=∠；④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒，所以可得3∠的度数；⑤从而可求EFG ∠的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 辅助线： 过点P 作//PN EF 交AB 于点N分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求EFG ∠的度数．【解答】解：（1）辅助线：过点P 作//PN EF 交AB 于点N ．分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由辅助线作图可知，EFG NPG ∠=∠，因此，只需转化为求NPG ∠的度数；②欲求NPG ∠的度数，由图可知只需转化为求1∠和2∠的度数和；③又已知1∠的度数，所以只需求出2∠的度数；④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒；⑤由//PN EF ，可推出34∠=∠；//AB CD 可推出23∠=∠，由此可推24∠=∠，所以可得2∠的度数；⑥从而可以求出EFG ∠的度数．（2）如图，过点O 作//ON FG ，//ON FG ，130EFG EON ONC ∴∠=∠∠=∠=︒，//AB CD ，30ONC BON ∴∠=∠=︒，EF AB ⊥，90EOB ∴∠=︒，9030120EFG EON EOB BON ∴∠=∠=∠+∠=︒+︒=︒．11．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= 70 ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE 交AB 于H ，//AB CD ，40D AHE ∴∠=∠=︒，AED ∠是AEH ∆的外角，304070AED A AHE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：70；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．理由：//AB CD ，EAF EHC ∴∠=∠，EHC ∠是DEH ∆的外角，EHG AED EDG ∴∠=∠+∠，EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAI BAI ∠∠=，∴设EAI α∠=，则3BAE α∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，DKE AKI ∠=∠，又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAI KIA AKI ∠+∠+∠=︒， 2EDK α∴∠=-︒， DI 平分EDC ∠，224CDE EDK α∴∠=∠=-︒，//AB CD ，EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，即32224αα=︒+-︒，解得18α=︒，16EDK ∴∠=︒，∴在DKE ∆中，1801622142EKD ∠=︒-︒-︒=︒．12．已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）如图1，过P 作//PE AB ，//AB CD ，////PE AB CD ∴，APE BAP ∴∠=∠，CPE DCP ∠=∠，602080APC APE CPE BAP DCP ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）12AKC APC ∠=∠． 理由：如图2，过K 作//KE AB ，//AB CD ，////KE AB CD ∴，AKE BAK ∴∠=∠，CKE DCK ∠=∠，AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠+∠=∠+∠，过P 作//PF AB ，同理可得，APC BAP DCP ∠=∠+∠，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， 12AKC APC ∴∠=∠；（3）12AKC APC ∠=∠． 理由：如图3，过K 作//KE AB ，//AB CD ，////KE AB CD ∴，BAK AKE ∴∠=∠，DCK CKE ∠=∠，AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠-∠=∠-∠，过P 作//PF AB ，同理可得，APC BAP DCP ∠=∠-∠，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， 12AKC APC ∴∠=∠．13．如图，已知：EF AC ⊥，垂足为点F ，DM AC ⊥，垂足为点M ，DM 的延长线交AB于点B ，且1C ∠=∠，点N 在AD 上，且23∠=∠，试说明//AB MN ．【解答】证明：EF AC ⊥，DM AC ⊥，90CFE CMD ∴∠=∠=︒（垂直定义）， //EF DM ∴（同位角相等，两直线平行）， 3CDM ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 32∠=∠（已知）， 2CDM ∴∠=∠（等量代换）， //MN CD ∴（内错角相等，两直线平行）， AMN C ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 1C ∠=∠（已知）， 1AMN ∴∠=∠（等量代换）， //AB MN ∴（内错角相等，两直线平行）．14．（1）如图①，90CEF ∠=︒，点B 在射线EF 上，//AB CD ，若130ABE ∠=︒，求C ∠的度数；（2）如图②，把“90CEF ∠=︒”改为“120CEF ∠=︒”，点B 在射线EF 上，//AB CD ．猜想ABE ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，过E 作//EK AB ，则1180ABE ∠+∠=︒， 118050ABE ∴∠=︒-∠=︒，90CEF ∠=︒，290140∴∠=︒-∠=︒，//AB CD ，//EK AB ，//EK CD ∴，240C ∴∠=∠=︒；（2）60ABE C ∠-∠=︒，理由：如图②，过E 作//EK AB ，则1180ABE ∠+∠=︒， 1180ABE ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EK AB ，//EK CD ∴，2C ∴∠=∠，12120CEF ∠=∠+∠=︒，即180120ABE C ︒-∠+∠=︒， 18012060ABE C ∴∠-∠=︒-︒=︒．15．如图1，已知//AB CD ，30B ∠=︒，120D ∠=︒；（1）若60E ∠=︒，则F ∠= 90︒ ；（2）请探索E ∠与F ∠之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．【解答】解：（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ， ////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒， 60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ， ////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒， 60EFD MEF ∴∠=∠+︒，30EFD BEF ∴∠=∠+︒；（3）如图2，过点F 作//FH EP ，由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒， EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒， //FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒，15P ∴∠=︒．16．已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D ，点P 是直线3l 上一动点（1）如图1，当点P 在线段CD 上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合，如图2和图3)，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的数量关系，不必写理由．【解答】解：（1）APB PAC PBD ∠=∠+∠， 如图1，过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APE BPE PAC PBD ∴∠+∠=∠+∠， APB PAC PBD ∴∠=∠+∠；（2）不成立，如图2:PAC APB PBD ∠=∠+∠，理由：过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APB APE BPE PAC PBD ∠=∠-∠=∠-∠，PAC APB PBD ∴∠=∠+∠；如图3:PBD PAC APB ∠=∠+∠，理由：过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APB BPE APE PBD PAC =∠-∠=∠-∠，PBD PAC APB ∴∠=∠+∠．17．（1）如图（1），已知任意三角形ABC ，过点C 作//DE AB ，求证：DCA A ∠=∠；（2）如图（1），求证：三角形ABC 的三个内角（即A ∠、B ∠、)ACB ∠之和等于180︒；（3）如图（2），求证：AGF AEF F ∠=∠+∠；（4）如图（3），//AB CD ，119CDE ∠=︒，GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，150AGF ∠=︒，求F ∠．【解答】证明：（1）//DE BC ，DCA A ∴∠=∠；（2）如图1所示，在ABC ∆中，//DE BC ，1B ∴∠=∠，2C ∠=∠（内错角相等）． 12180BCA ∠+∠+∠=︒，180A B C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒；（3）180AGF FGE ∠+∠=︒，由（2）知，180GEF EG FGE ∠+∠+∠=︒，AGF AEF F ∴∠=∠+∠；（4）//AB CD ，119CDE ∠=︒，119DEB ∴∠=︒，61AED ∠=︒， GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，59.5DEF ∴∠=︒，120.5AEF ∴∠=︒，150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．18．如图，已知直线12//l l ，且3l 和1l ，2l 分别交于A ，B 两点，4l 和1l ，2l 相交于C ，D 两点，点P 在直线AB 上，（1）当点P 在A ，B 两点间运动时，问1∠，2∠，3∠之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时，试探究ACP ∠，BDP ∠，CPD ∠之间的关系，并说明理由．【解答】证明：（1）如图1，过点P 作1//PQ l ，1//PQ l ，14∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 1//PQ l ，12//l l （已知），2//PQ l ∴（平行于同一条直线的两直线平行），52∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 345∠=∠+∠，312∴∠=∠+∠（等量代换）；（2）如图2，过P 点作//PF BD 交CD 于F 点，//AC BD ，//PF AC ∴，ACP CPF ∴∠=∠，BDP DPF ∠=∠，CPD DPF CPF BDP ACP ∴∠=∠-∠=∠-∠；同理，如图③，CPD ACP BDP ∠=∠-∠；。

中考数学总复习《相交线与平行线》专项提升练习题-附答案

中考数学总复习《相交线与平行线》专项提升练习题-附答案

中考数学总复习《相交线与平行线》专项提升练习题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为（）A．20°B．160°C．20°或160°D．70°2．如图，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．65°B．50°C．35°D．25°3．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1=∠4B．∠4=∠6C．∠2+∠5=180°D．∠1+∠3=180°4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（）A．∠1=∠3 B．如果∠2=30°，则有AC∥DEC．如果∠2=30°，则有BC∥AD D．如果∠2=30°，必有∠4=∠C5．如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠F（不包括∠F）相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD根据所标数据，则∠A的度数为（）A．54°B．64°C．66°D．72°8．把三角板ABC按如图所示的位置放置，已知∠CAB=30°，∠C=90°过三角板的顶点A、B分别作直线AD、BE，且AD//BE，∠DAE=120° .给出以下结论：（1）∠1+∠2=90°；（2）∠2=∠EAB；（3）CA平分∠DAB .其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题9．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED为°．10．如图，AB∥CD，∠1=40°，MN平分∠EMB，则∠2的度数是．11．如图AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=37°，则∠D的度数为．12．如图，已知直线c与直线a，b分别交于点A，B，且∠2=65°，若直线a//b，则∠3的度数为．13．将一副直角三角板如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）点E在AC上ED//BC，则∠AEF的度数是．三、解答题14．如图所示，∠1=65°，∠2=65°，∠3=115°，试说明DE // BC，DF // AB．15．已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF=25°，求∠BOC与∠EOF 的度数．16．如图所示，已知AB//DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E试说明AD//BC .17．如图，网格中所有小正方形的边长都为1，A，B，C都在格点上．利用格点画图（不写作法）：①过点C画直线AB的平行线CM；②过点A画直线BC的垂线，垂足为G；③过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．18．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG=90°．（1）求证：∠DEF=∠EBG；（2）若∠EBG=∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．答案1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．B8．C9．11410．110°11．53°或53度12．115°13．165°14．解：∵∠1=65°，∠2=65°∴∠1=∠2∴DE∥BC∵∠1=∠4=65°，∠3=115°∴∠3+∠4=65°+115°=180°∴DF∥AB．15．解：∵OF⊥CD∴∠FOD=90°．∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=25°+90°=115°．∴∠BOC=115°．∵OE⊥AB∴∠AOE=90°．∴∠EOF=90°﹣25°=65°．16．解：∵AB//CD∴∠BAE=∠CFE∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAF∴∠CFE=∠DAF∵∠CFE=∠E∴∠DAF=∠E∴AD//BC .17．解：①直线CD为所作；②线段AG为所作；③线段HA为所作；18．（1）证明：∵EB⊥EF∴∠FEB=90°∴∠DEF+∠BEG=180°-90°=90°，又∠EBG+∠BEG=90°∴∠DEF=∠EBG（2）解：AB∥EF，理由如下：∵EF平分∠AED∠AED∴∠AEF=∠DEF= 12∵∠EBG=∠A，∠DEF=∠EBG∴∠A=∠AEF∴AB∥EF。

第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题(教育相关)

第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题(教育相关)

第2讲相交线与平行线动点提高题知识点：1、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

3、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。

②对应点的线段平行且相等。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

典型例题例1.（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD 的位置关系，并说明理由．（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案）（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．解（1）：AB∥CD．理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°，又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．又∵∠DGF=60°，∴∠HFG=∠DGF，∴HF∥CD，则AB∥CD；（2）延长ED交BC于点F．∵AB∥DE，∴∠BFE=∠ABC=70°，则∠CFE=180°-∠BFD=110°，∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°=37°，故答案是：37°；（3）延长DC交AB于点F，作△ACF的外角∠4．∵CD∥BE，∴∠DFB=∠3，又∵∠DFB+∠2+∠4=360°，∴∠2+∠3+∠4=360°，即∠2+∠3=360°-∠4．∴∠2+∠3-∠1=360°-∠4-∠1=360°-180°=180°，故答案是：180°；（4）延长BE交直线CD于点G．∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGD，又∵∠ABE=∠DCF，∴∠BGF=∠DCF，∴BE∥CF．例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1若AB∥CD点P在AB、CD外部求证：∠BPD=∠B-∠D；（2）将点P移到AB、CD内部如图2（1）中的结论是否成立若成立说明理由：若不成立则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系不必说明理由；（3）在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系并证明你的结论；（4）在图4中若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°则n=______．解（1）∵AB ∥CD ，∴∠B=∠BOD ，而∠BOD=∠BPD+∠D ，∴∠B=∠BPD+∠D ，即∠BPD=∠B-∠D ；（2）（1）中的结论不成立，∠BPD=∠B+∠D ．作PQ ∥AB ，如图2，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PQ ∥CD ，∴∠1=∠B ，∠2=∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D ；（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ．理由如下：连结QP 并延长到E ，如图3，∵∠1=∠B+∠BQP ，∠2=∠D+∠DQP ，∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP ，∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ；（4）连结AG ，如图4，∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=（5-2）×180°=6×90°，∴n=6． 故答案为6．例3.如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。

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