14-15(上)概率复习题
概率统计复习题
概率统计复习题概率统计练习题一、选择题1.设AB,C 是三个随机事件，则事件“ A,B,C 不多于一个 发生”的对立事件是（B ）A . A,B,C 至少有一个发生B . ^B,C 至少有两 个发生C. A,B,C 都发生D . A,B,C 不都发生2•如果（C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件。
（其 中S为样本空间）A • AB=fB. AUB=S c.篇二 SID . P(A B) 03 .设A,B 为两个随机事件，则P(A B) ( D ) A ・ P(A) P(B) B . P(A) P(B) P(AB)C.D . 1C. P(A) P(AB)D . P(A) P(B) P(AB)4.掷一枚质地均匀的骰子, 现4点的概率为（D ）则在出现偶数点的条件下出 5 •设 X 〜N(1.5,4),贝V P{ 2 X 4}=(A .0.8543B . 0.1457C. 0.35413 )第3页0. 25436.设 X 〜N(l,4),则 P{0<X<\.6}= ( )oA ・ 0.3094 B. 0.1457 C. 0.3541D • 0.25437.设X 〜N(“&)则随着，的增大， P{X<p-a 2}=()A ・增大 B.减小C.不变D.无法确定8.设随机变量x 的概率密度/(小 [ex-2=|o E,则尸()o X<1A ・1B • 1 2C. -1D-1C. 一 1D-110.设连续型随机变量X 的分布函数和密度函数分别为F(x)、/(x),则下列选项中正确的是( )A ・ 0WF(x)SlB ・ 0</(x)<l C. P{X = x} = F(x) D.P{X = x}=f(x)11.若随机变量Y = X }+X 2,且尤,血相互独立。
N(O,1) (z = l,2 ), 则()o9.设随机变量x 的概率密度为/(心tx~2 X > 10 xSlA・y 〜N(0,l) B . Y 〜N(0,2) C. Y不服从正态分布D . Y~N(1,1)12 •设X 的分布函数为F(x)，则丫 2X 1的分布函数G(y)为 ( )列结论正确的是()以上都不对14.设X 为随机变量，其方差存在，C 为任意非零常数， 则下列等式中正确的是( )A ・ D(X C) D(X)B . D(X C) D(X)C C. D(X C) D(X) CD . D(CX) CD(X)15 •设 X ~ N(0 1) , Y~N(11) , X,Y 相互独立，令 Z Y 2X ，则 Z~ ( )A ・ N( 2,5)B . N(1,5)C. N(1,6) D .N(2,9)16 •对于任意随机变量X,Y ，若E(XY) E(X)E(Y)，则()A ・ D(XY) D(X)D(Y)B . D(X Y) D(X) D(Y) C. X,Y 相互独立D . X,Y 不相互独立17.设总体X ~ N , 2，其中未知,2已知,X1,X 2丄，X n为一组A . X 1 X 2B . P X 1 X 21C. D(X1 X 2) 3A・ B . F2y 1C. 2F(y) 1 13 •设随机变量X !, X 2相互独立，X 1 ~ N(0,1)， X 2~N(0,2)，下样本，下列各项不是 统计量的是()• •nC.-2(X i X)2 3 4 5i 118设总体X 的数学期望为,X -,X 2,X 3是取自于总体X 的简单随机样本， 则统计量()是 的无偏估计量 A •1X 11X 2-X3B亠11 1 X2 X3 2 3 42 3 5C.-X 1 1X 2 1X 3D .1 X 1 1 1 X 2X 3 23623 7：、填空题1 •设A, B 为互不相容的随机事件P(A) 0.2,P(B) 0.5,则P(AU B) _2 •设有10件产品，其中有2件次品，今从中任取1件为正品的概率是 _____________3 •袋中装有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的7张卡片， 今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有“6” 无“ 4”的概率为 ______________4 •设A, B 为互不相容的随机事件，P(A) 0.1,P(B) 0.7,则P(AUB) _______________5・设A,B 为独立的随机事件，且P(A) 0.2,P(B) 0.5,则P(AUB) ___________________ 6・设随机变量X 的概率密度f(x) 0：其它 1则PX 0.3 ___________________7.设离散型随机变量X 的分布律为P {X k} ^,(k 1,234,5),5B . x- X 42(X i X)0.6贝H a = ______ .&设随机变量X的分布律为:贝y D(X)= _________________9 •设随机变量X的概率密度f(x) 6e X 0 则P{X 1}= 0x0. 6 -6x10 •设X ~ N(10,0.022)，贝V P 9.95 X 10.05 = ______11 .已知随机变量X的概率密度是f(x) 1 e x2，则E(X) =12 •设D(X)=5 ,D(Y)=8, X,Y 相互独立。
概率初步复习题
概率初步复习题一、必然事件、不可能事件、随机事件，随机事件的可能性的大小1.下列事件是必然事件的是（）A.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0 a2.一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )A.摸到红球是必然事件B.摸到白球是不可能事件C.摸到红球与摸到白球的可能性相等D.摸到红球比摸到白球的可能性大3.给出下列四个事件：⑴、打开电视，正在播广告；⑵、任意取个负数，它的倒数还是负数；⑶、掷一枚硬币，正面向上；⑷、三条长度为3、3、6的线段构成一个三角形。
其中确定性事件为 ( ) A、⑴、⑵ B、⑴、⑶ C、⑵、⑶ D、⑵、⑷4.下列事件是随机事件的是（）A.通常情况温度降到0℃以下，纯净的水结冰B.度量三角形的内角和，结果是360C.随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数D.测量某天的最低气温，结果为﹣180℃5.下列事件①在无水的干旱环境中，树木仍会生长；②打开数学课本时刚好翻到第60页；③367人中至少有两人的生日相同；④今年14岁的小亮一定是初中学生．其中随机事件有（） A.1个 B.2个 B.3个 D.4个6.下列说法错误的是（）A、必然发生的事件发生的概率为1；B、不可能发生的事件发生的概率为0；C、随机事件发生的概率为大于0且小于1；D、不确定发生的事件发生的概率为0.7.下列说法：①一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点．②可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生．③天气预报说明天下雨的概率是50%，意思是说明天将有一半时间在下雨．④抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等．正确的是_________ （填序号）8.关于频率与概率有下列几种说法，正确的是①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为1/2”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为1/2”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在1/2附近．二、概率定义：对于一个随机事件A,把其发生可能性大小的数值叫做随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的求法：如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A的概率P(A)=m/n .1.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率 .2.甲、乙、丙三个同学排成一排，则甲排在中间的概率是 .3.从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为；抽到黑桃的概率为；抽到红心3的概率为4.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是______ .5.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____6.从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 .7.在一个不透明的盒子中装有8个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为2/3，则n= ．8.在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为1/3，则放人的黄球总数n =______9.从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 .10.两个同心圆中，大圆的半径是小圆半径的3倍，把一粒芝麻抛向两圆，则芝麻落在圆环内的概率是 .11.矩形OABC 的顶点坐标分别是()()()(),,,,,,,00404101 ，在矩形OABC 的内部任取一点(),x y ，则x y <的概率 .10.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A.4/7 B.3/7 C.3/4 D.1/311.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34,568,2468），任取一个 两位数，是“上升数”的概率是（ ） A 、1/2 B 、2/5 C 、3/5 D 、5/1812.有一副扑克牌，共52张（不包括大、小王），其中梅花、方块、红心、黑桃四种花色各有13张，把扑克牌充分洗匀后，随意抽取一张，抽得红心的概率是（ ）A.1/13B.1/4C.1/52D.4/1313.如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/614.从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（ ）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/315.如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（ ）A.0B.1/3C.2/3D.116.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4．随机摸出一个小球（不放回），其数字为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的概率是（ ） A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.2/317.用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为1/2，摸到红球的概率为1/3，摸到黄球的概率为1/6．则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（ ）A 3，2，1B 1，2，3C 3，1，2D 无法确定18.有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/519.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数小于3的概率为（ ） A.1/6 B.1/2 C.1/4 D.1/320.已知二次函数2y kx 6x 3=-+，若k 在数组(),.,,,,3211234---中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x 1=的右方的概率为（ ） A.1/7 B.4/7 C.2/7 D.5/7三、用列举法或树状图的方法求概率1.在A 、B 两个盒子中都装着分别写有1～4的4张卡片，小明分别从A 、B 两个盒子中各取 出一张卡片，并用A 盒中卡片上的数字作为十位数，B 盒中的卡片上的数字作为个位数．请 画出树状图，求小明抽取一次所得两位数能被3整除的概率．2.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是1/3，求从袋中取出黑球的个数．3.在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4.随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌.（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。
概率类型题
概率类型题1 用频率估计概率用频率估计概率是从统计学的角度理解概率,即频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值,即用频率估计概率,主要考查角度如下.1)对频率意义的理解;2)频率的计算;3)用频率作为概率,以样本估计总体.例 1 为了解某校中学生遵守交通安全的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:①你的学号是奇数吗?②在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地做了回答.结果被调查的800名学生(学号从001至800)中有240名学生回答了“是”.由此可以估计这800名学生中闯过红灯的人数是________.2 概率的基本性质随机事件发生可能性的大小即为概率,概率的基本性质厘清了事件与概率的关系,得到了几条极其重要的概率运算公式,形成了概率求解的一般路径:正确理解事件的含义,把复杂事件分解为若干互斥事件的和或转化为对立事件,分别求出各事件的概率,代入相应的概率运算公式,可得所求概率.由概率的基本性质得到概率的运算公式如下.例2 (2022年全国乙卷理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3＞p2＞p1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( ).A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p 最大解析本题考查概率基本性质的应用.由题意知,要计算该棋手在第二盘分别与甲、乙、丙比赛时连胜两盘的概率,不妨先研究该棋手在第二盘与甲比赛时的情况.这种情况的比赛顺序有2种可能:乙甲丙、丙甲乙,该棋手连胜两盘,可以是第一、二盘连胜第三盘输,或第一盘输而第二、三盘连胜,共计有四种情形,即分解为四个互斥事件的和.记该棋手在第二盘分别与甲、乙、丙比赛时连胜两盘的概率为p甲,p乙,p丙.由概率运算公式,可得。
高考数学《概率》综合复习练习题(含答案)
高考数学《概率》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 2.718≈为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[]0,e 上的随机数1231000,,,x x x x 和1y ，2y ，3y ，…，1000y ，从而得到1000个点的坐标(),i i x y （1,2,3,1000i =），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（ ）A ．0.70B ．1.04C ．1.26D ．1.922．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ） A ．125 B ．85C ．35D ．253．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A ．320B ．310 C ．25D ．154．已知ABC 和ABD △都内接于同一个圆，ABC 是正三角形，ABD △是直角三角形，则在ABD △内任取一点，该点取自ABC 内的概率为（ ）A ．14B ．12C ．34D 35．现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子．我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动．在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．236．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在[]60,90内，绘成频率分布直方图（如图所示），从[)60,70中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[)60,65内的概率是（）A．715B．815C．23D．137．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（）A．215B．15C．415D．258．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．5519．在各不相同的10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出两个球，第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为 A ．110 B ．13C ．25D ．5910．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）A ．35B ．310 C ．45D ．2511．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 A ．27B ．57C ．29D ．5912．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值.假如统计结果是60m =，那么π≈（ ）A ．165 B ．65C ．7825D ．14245二、填空题13．已知某人同时抛掷了两枚质地均匀的正方体骰子，记“两枚骰子的点数之和是6的倍数”为事件A ，则()P A =______________．14．如图，连接△ABC 的各边中点得到一个新的111A B C △，又连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ，111A B C △，222A B C △，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是______．15．某校有高一、高二、高三、三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为___________．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．三、解答题17．在第29届“希望杯”全国数学邀请赛培训活动中，甲､乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示.（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加第29届“希望杯”全国数学邀请赛，你会选择哪一位？说明理由；（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率.18．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率； (1)乙中靶； (2)恰有一人中靶； (3)至少有一人中靶.19．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数． (1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率； (2)设X 为所取的3个数中奇数的个数，求X 的可能取值及相应的概率．20．在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了4个演唱节目，2个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）(1)若从6个节目中选3个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数； (2)现对6个节目安排演出顺序，求4个演唱节目接在一起的概率；(3)现对6个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．21．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．22．为了研究性格和血型的关系，随机抽查了100个人的血型和性格，其情况如下表：（1）根据上面的22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为性格与血型有关？（2）在“内向型”性格的人中，用分层抽样的方法抽取5人.若从5人中抽取3人进一步分析性格和血型的关系，求恰好抽到两名“O型或A型”人的概率.附表：其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++23．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市30名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝100mL以上的”为常喝.已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为4 .(1)请将上表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；(2)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.24．A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计B班的学生人数；（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率; （Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率与数理统计复习题
v1.0 可编辑可修改1════════════════════════════════════════════════════════════════════内部资料 - 本套试题共分18页，当前页是第1页-模拟试题1一、单项选择题1.已知事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为，，，则P (A B )= 设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有(-∞)=0，F (+∞)=0 (-∞)=1，F (+∞)=0 (-∞)=0，F (+∞)=1 (-∞)=1，F (+∞)=13.设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2+y 2≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为(x ，y)=1 B.1(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩，（,）,其他 (x ，y)=1π D.1(,)0,x y D f x y π⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（,）,其他 4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (2X －1)=5.设二维随机变量(X ，Y )的分布律则D (3X )= A.292════════════════════════════════════════════════════════════════════内部资料 - 本套试题共分18页，当前页是第2页-6.设X 1，X 2，…，X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑7.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是A.1ni i x μ=-∑ B. 211nii x σ=∑ C. 211()ni i x n μ=-∑ D. 211n ii x n =∑8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是 A.置信度越大，置信区间越长 B.置信度越大，置信区间越短 C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是 A. H 1成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 1 成立，拒绝H 1 10．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)i i i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为 A ．21(-)ni i y y =∑ B ．21ˆ(-)ni i i y y=∑ C ．21ˆ(-)ni i y y =∑ D ．21ˆni i y =∑。
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。
解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B 为两相互独立的随机事件, P( A)0.4 , P(B) 0.6 ,求P( A B), P( A B ), P( A | B) 。
解：P( A B) P( A) P(B) P( AB ) P( A) P(B) P( A)P( B) 0.76 ；P( A B) P( AB ) P( A)P( B) 0.16, P( A | B) P(A) 0.4 。
3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5 ，P(A B) 0.9 ，求P( B ), P( A B) 。
解：P(B) P(A B) P( A) 0.4, P( A B) P( A) 0.5 。
4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P( A | B) 0.5，求P( A B), P( AB) 。
解：P( AB ) P( B)P( A | B) 0.3, P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8,P( AB ) P( A B) P(A) P( AB ) 0.2 。
5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P( B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P( A B C) 。
解：P( A B C) 1 P( A B C ) 1 P( ABC ) 1 P( A)P(B) P(C) 0.994 。
6. 袋中有4 个黄球，6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) P2 1 14 ；(2) P 4 6C 8。
概率论与数理统计习题含解答,答案)
概率论与数理统计复习题（1）一．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率例题及习题
概率复习题（包括所有的例题和习题）1.2例4已知,5.0)(=A P ,2.0)(=B A P 4.0)(=B P , 求(1) )(AB P ; (2) )(B A P -; (3) )(B A P Y ; (4) )(B A P .解 (1) 因为,B B A AB =+ 且AB 与B A 是不相容的, 故有)()()(B P B A P AB P =+ 于是)(AB P )()(B A P B P -=2.04.0-=;2.0=(2) )(A P )(1A P -=5.01-=,5.0=)(B A P -)()(AB P A P -=2.05.0-=;3.0=(3) )(B A P Y )()()(AB P B P A p -+=2.04.05.0-+=;7.0=(4) )(B A P )(B A P Y =)(1B A P Y -=.3.0=习题41.3例2 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求 (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.解 (1) 10个球中任取一个, 共有10110=C 种. 从而根据古典概率计算, 事件A ：“取到的球为黑球”的概率为)(A P 11013C C =.103=(2) 10球中任取两球的取法有210C 种, 其中刚好一个白球, 一个黑球的取法有1713C C ⋅种取法, 两个球均是黑球的取法有23C 种, 记B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, C 为事件“两个球均为黑球”, 则)(B P 2101713C C C =4521=,157=)(C P 21023C C =453=.151=例4 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?解 设A 为事件 “取到的数能被6整除”, B 为事件 “取到的数能被8整除”, 则所求概率为)(B A P )(B A P Y =)(1B A P Y -=)}.()()({1AB P B P A P -+-=由于<33362000,334< 故得 .2000333)(=A P 由于,25082000= 故得 .2000250)(=B P 又由于一个数同时能被6与8整除, 就相当于能被24整除. 因此, 由8424200083<<.200083)(=AB P 于是所求概率为P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=200083200025020003331.43=习题11.4例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 解 记i A 为事件“第i 次取到的是黑球” ).2,1(=i(1) 在已知1A 发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个, 根据古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即有.9/2)|(12=A A P(2) 在已知2A 发生, 即第二次取到的是黑球的条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前, 故问题的结构不像(1)那么直观.我们可按定义计算)|(21A A P 更方便一些. 由)(21A A P 21023P P =,151=103)(2=A P )|(21A A P )()(221A P A A P =.92=例6 有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑共4个球,3号装有2红2黑共4个球.如下图. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.解 记 i B ={球取自 i 号罐},i =1, 2, 3; A ={取得红球}.因为A 发生总是伴随着 1B ,2B ,3B 之一同时发生, 1B ,2B ,3B 是样本空间的一个划分．∑==31)|()()(i i i B A P B P A P 由全概率公式得依题意: P (A |1B )=2/3, P (A |2B )=3/4, P (A |3B )=1/2,31)()()(321===B P B P B P ,代入数据计算得：P (A )≈ 0.639 .例7 对于例6，若取出的一球是红球，试求该红球是从第一个罐中取出的概率. 解 仍然用例6的记号.要求)|(1A B P ,由贝叶斯公式知)()|()()|()()|()()|()|(332211111B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P ++=.348.0)()()|(11≈=A PB P B A P习题2习题3习题7习题81.5例4 某型号高炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6, 现若干门炮同时 各射一发,(1) 问: 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?(2) 现有3门炮, 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机, 问:每门炮的命中率应提高到多少?解 (1) 设需配置n 门炮. 因为n 门炮是各自独立发射的, 因此该问题可以看作n 重伯努利试验. 设A 表示 “高炮击中飞机”, ,6.0)(=A P B 表示“敌机被击落”, 问题归结为求满足下面不等式的.n99.04.06.0)(1≥=-=∑k n k nk k n CB P由,99.04.01)(1)(≥-=-=n B P B P 或,01.04.0≤n 解得,03.54.0lg 01.0lg ≈≥n 故至少应配置6门炮才能达到要求.(2) 设命中率为,p 由,99.0)(3313≥=-=∑k k k k q p CB P 得.99.013≥-q解此不等式得,215.0≤q 从而得,785.0≥p 即每门炮的命中率至少应为0.785.注: 对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题, 应先求出事件的概率(含所求参数),从而得到所求参数满足的方程或不等式, 再解之.习题42.2例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为X , 则).02.0,400(~b X X 的分布律为 ,)98.0()02.0(400}{400kk k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== .400,,1,0Λ=k 于是所求概率为}1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=例5 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.解 由概率的性质, 得}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-!28.0!18.0!08.012108.0e.0474.0≈习题9纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答：以X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005) ≈∑k=02P(k;4)=e -4(1+41!+422!)≈0.2381.2.3例2 设随机变量X 的分布律为 ,2/16/13/121i p X求)(x F .解 }{)(x X P x F ≤=当0<x 时，,}{∅=≤x X 故0)(=x F 当10<≤x 时，31}0{}{)(===≤=X P x X P x F 当21<≤x 时, 216131}1{}0{)(=+==+==X P X P x F 当2≥x 时，1}2{}1{}0{)(==+=+==X P X P X P x F 故 ,2,121,2/110,3/10,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=x x x x x F)(x F 的图形是阶梯状的图形, 在2,1,0=x 处有跳跃, 其跃度分别等于},0{=X P },1{=X P }.2{=X P习题5设X 的分布函数为F(X)={0, X<0; {X/2， 0≤x<1; { X —1/2, 1≤x<1.5; {1, x ≥1.5, 求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≤1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6, P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.2.4例1 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,0)(2,求 (1) 概率}7.03.0{<<X P ; (2) X 的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1) )3.0()7.0(}7.03.0{F F X P -=<<;4.03.07.022=-= (2)X 的密度函数为)()(x F x f '=⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤=x x x x 1,010,20,0.,010,2⎩⎨⎧<<=其它x x例 3 某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其参数,1000/1=λ 求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.解 由题设知, X 的分布函数为.0,00,1)(1000⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-x x e x F x由此得到}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则).1,3(~1--e b Y 所求概率为}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(13310103----=--=e e e C例4 设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 解 这里,1=μ,2=σ 故⎩⎨⎧≤-=≤=21}5{)5(X P X P F ⎭⎬⎫-215)2(215Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=查表得 0.9772, ⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<210216.1}6.10{X P )5.0()3.0(-Φ-Φ=)]5.0(1[6179.0Φ--=;3094.0)6915.01(6179.0=--=}31{}2|1{|≤≤-=≤-X P X P ⎩⎨⎧-≤-=211X P 2⎭⎬⎫≤1 1)1(2)1()1(-Φ=-Φ-Φ=.6826.018413.02=-⨯=习题3设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)={A+Be-2x,x>0{0, x≤0 ,试求：(1)A,B 的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)∵F(+∞)=lim（x→+∞）(A+Be-2x)=1, ∴A=1; 又 ∵limx→0+(A+Be -2x)=F(0)=0, ∴B=-1. (2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2. (3)f(x)=F′(x)={ 2e-2x,x>0{0, x≤0.习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X 为每位乘客的候车时间，则X 服从[0,5]上的均匀分布. 设Y 表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2, 所以 P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题10设顾客排队等待服务的时间X(以分钟计)服从λ=1/5 的指数分布,某顾客等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要去等待服务5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数,试求Y 的概率分布和P(Y>=1)2.5例1 设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -解 Y 所有可能的取值0,1,4,由,2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,1.0}1{}0)1{(}0{2=-=====+=======-==X P Y P X P X P Y P X P X P Y P既得Y 的分布律为Y 0 1 4 i P 2.07.01.0例2 设随机变量,),1,0(~X e Y N X =求Y 的概率密度函数.解 设)(),(y f y F Y Y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数. 则当0≤y 时, 有}{)(y Y P y F Y ≤=}{y eP X≤=}{Φ=P .0=当0>y 时, 因为xe x g =)(是x 的严格单调增函数, 所以有},ln {}{y X y e X≤=≤因而}{)(y Y P y F Y ≤=}{y eP X≤=}ln {y X P ≤=.21ln 22⎰∞--=yx dx eπ再由,)()('y F y f Y Y = 得.0,00,21)(2)(ln 2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-y y e y f y Y π乘以1/y例3 设，其它⎩⎨⎧<<=,040,8/)(~x x x f X X 求82+=X Y 的概率密度.解 设Y 的分布函数为),(y F Y 则}82{}{)(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=]2/)8[(}2/)8({-=-≤=y F y X P X于是Y 的密度函数2128)()(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==y f dy y dF y f X Y Y 注意到40<<x 时，,0)(≠x f X 即168<<y 时，,028≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-y f X 且16828-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y f X 故 .,0168,32/)8()(⎩⎨⎧<<-=其它y y y f Y习题53.1例2 设随机变量X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，试求),(Y X 的分布律.解 由乘法公式容易求得),(Y X 的分布律. 易知},{j Y i X ==的取值情况是: ,4,3,2,1=i 取不大于i 的正整数, 且}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,411⋅=i ,4,3,2,1=i i j ≤于是),(Y X 的分布律为例2 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求),(Y X 的概率分布及),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.解 ),(Y X 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),8/1)2/1(}3,0{3====Y X P ,8/3)2/1(3}1,1{3====Y X P,8/3}1,2{===Y X P ,8/1}3,3{===Y X P 故),(Y X 的概率分布如右表.从概率分布表不难求得),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.,8/1}0{==X P ,8/3}1{==X P ,8/3}2{==X P ,8/1}3{==X P ,8/68/38/3}1{=+==Y P ,8/28/18/1}3{=+==Y P从而得右表3.2例2设X 与Y 的联合概率分布为(1) 求0=Y 时, X 的条件概率分布; (2) 判断X 与Y 是否相互独立?解 (1) ,25.0005.02.0}0{=++==Y P在0=Y 时, X 的条件概率分布为,8.025.02.0}0{}0,0{}0|0{========Y P Y X P Y X P,2.025.005.0}0{}0,1{}0|1{========Y P Y X P Y X P,025.00}0{}0,2{}0|2{========Y P Y X P Y X P又,3.002.01.0}0{=++==X P 故在0=X 时， Y 的条件概率分布可类似求得,313.01.0}0|1{===-=X Y P ,323.02.0}0|0{====X Y P .0}0|2{===X Y P(2) 因,3.0}0{==X P ,55.015.03.01.0}1{=++=-=Y P而,1.0}1,0{=-==Y X P 即}1{}0{}1,0{-==≠-==Y P X P Y X P 所以, X 与Y 不独立.4.1例1 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为,8.02.002101i p X 1.03.06.02102i p X试评定他们的成绩的好坏.解 我们来计算1X 的数学期望, 得8.18.022.0100)(1=⨯+⨯+⨯=X E (分).这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 所得分数的算术平均就接近1.8, 而乙所得分数的数学期望为).(5.01.023.016.00)(2分=⨯+⨯+⨯=X E 很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩.例3 设随机变量X 的概率密度函数为,,21)(||+∞<<∞-=-x e x f x 求).(x E解 ,212121)(00||dx xe dx xe dx xe X E xx x ⎰⎰⎰∞+-∞-∞+∞--+==使用分布积分法，得到.0)(=X E例5 设随机变量),1,0(~N X 求).(2X E解 ,,21)(22+∞<<∞-=-x ex f x π,2121)(22222x x exd dx ex x E -∞+∞-∞+∞--⎰⎰-==ππ分部积分得 .121)(222==⎰∞+∞--x d e x E x π例6设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及 .)]([2X E X E -解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有,21)()(0πππ=⋅==⎰⎰+∞∞-dx x dx x xf X E ⎰⎰⋅==+∞∞-ππ01sin )(sin )(sin dx dx x xf X E ,2|)cos (10πππ=-=x,31)()(2222πππ=⋅==⎰⎰+∞∞-dx x dx x f x X E222)]([⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-πX E X E X E ⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ0212dx x .122π=4.2例1 设随机变量X 具有数学期望,)(μ=X E 方差.0)(2≠=σX D 记,*σμ-=X X则;0])([1)(1)(*=-=-=μσμσX E X E X E.1])[(1])[()]([)()(222222*2**==-=-=-=σσμσσμX E X E X E XE X D即σμ-=X X *的数学期望为0, 方差为1. *X 称为X 的标准化变量.例2设随机变量X 具有)10(-分布, 其分布律为,}1{,1}0{p X P p X P ==-==求),(X E ).(X D解 ,1)1(0)(p p p X E =⋅+-⋅= ,1)1(0)(222p p p X E =⋅+-⋅= 故22)]([)()(X E X E X D -=).1(2p p p p -=-=例3设),(~λP X 求),(X E ).(X D解 X 的分布律为,!}{k e k X P k λλ-==,0,,2,1,0>=λΛk则∑∞=-=0!)(k k k e X E λλ∑∞=---=01)!1(k k k eλλλ,λλλλ=⋅=-e e而])1([)(2X X X E X E +-=)()]1([X E X X E +-=∑∞=-+-=!)1(k k k e k k λλλ∑∞=--+-=222)!2(k k k eλλλλ,22λλλλλλ+=+=-e e故方差.)]([)()(22λ=-=X E X E X D由此可知, 泊松分布的数学期望与方差相等, 都等于参数.λ因为泊松分布只含有一个参数,λ 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了.例4设),,(~b a U X 求),(X E ).(X D解 X 的概率密度为,,0,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它bx a a b x f而⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(⎰-=ba dx ab x,2b a +=故所求方差为 22)]([)()(X E X E X D -=⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=ba b c dx a b x 2221.12)(2a b -=例5 设随机变量X 服从指数分布, 其概率密度为,0,00,1)(/⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-x x e x f x θθ其中,0>θ 求).(),(X D X E解 ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(⎰+∞-=/1dx ex x θθ,0/0/θθθ=+-=⎰+∞-+∞-dx e xe x x ⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22⎰+∞-=/21dx e x x θθ⎰+∞-+∞-+-=0/0/22dx xe e x x x θθ,22θ=于是22)]([)()(X E X E X D -=.2222θθθ=-= 即有,)(θ=X E .)(2θ=X D【例7 设),(~p n b X , 求).(),(X D X E解 X 表示n 重伯努利试验中 “成功” 的次数. 若设n i i i X i ,,2,1,0,1Λ=⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第则∑==ni iXX 1是n 次试验中 “成功” 的次数, 且i X 服从10-分布.,}1{)(p X P X E i i ===,)(2p X E i =故22)]([)()(i i i X E X E X D -=2p p -=)1(p p -=n i ,,2,1Λ= 由于n X X X ,,,21Λ相互独立, 于是,)()(1np X E X E n i i ==∑= ∑==ni i X D X D 1)()().1(p np -=例8 设),,(~2σμN X 求).(),(X D X E 解 先求标准正态变量σμ-=X Z 的数学期望和方差. 因为Z 的概率密度为)(,21)(2/2+∞<<-∞=-t e t tπϕ于是⎰+∞∞--=dt te Z E t 2/221)(π,0212/2=-=+∞∞--t eπ)()(2Z E Z D =⎰+∞∞--=dt e t t2/2221π⎰+∞∞---=)(212/2t e td π⎰∞+∞--+∞∞--+-=dt te e t tt 2/2/22212ππ,12212)2/(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰+∞∞--t d e t π其中利用泊松积分,2π=⎰+∞∞--dx e x因,Z X σμ+= 即得,)()(μσμ=+=Z E X E)()(Z D X D σμ+=2)]([Z E Z E σμσμ+-+=)(22Z E σ=)(22Z E σ=)(2Z D σ=.2σ=这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别就是该分布的数学期望和均方差, 因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.4.3例1 已知离散型随机向量),(Y X 的概率分布为求),cov(Y X .解 容易求得X 的概率分布为,3.0}0{==X P ,45.0}1{==X P ;25.0}2{==X P Y 的概率分布为,55.0}1{=-=Y P ,25.0}0{==Y P ,2.0}2{==Y P 于是有25.0245.013.00)(⨯+⨯+⨯=X E ,95.0= 2.0225.0055.0)1()(⨯+⨯+⨯-=Y E .15.0-=计算得0202.0001.0)1(0)(⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯=XY E 1.0215.0013.0)1(1⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+1.02200215.0)1(2⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+ .0=于是)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=.1425.015.095.0=⨯=例6设随机变量X 和Y 相互独立, 且),2,1(~N X )1,0(~N Y ,试求32+-=Y X Z 的概率密度.解 ),1,0(~),2,1(~N Y N X 且X 与Y 独立, 故X 和Y 的联合分布为正态分布, X 和Y 的任意线性组合是正态分布, 即)),(),((~Z D Z E N Z,5323)()(2)(=+=+-=Y E X E Z E ,918)()(4)(=+=+=Y D X D Z D ),3,5(~2N Z即Z 的概率密度是.,231)(18)5(2+∞<<∞-=--z ez f z Z π习题2习题4习题64.4例1 在每次试验中, 事件A 发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数n 最小取何值时, 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解 设X 为次试验中, 事件A 出现的次数, 则)75.0,(~n b X , ,75.0n =μ ,1875.025.075.02n n =⨯=σ所求为满足90.0}76.0/74.0{≥<<n X P 的最小的.n}76.0/74.0{<<n X P 可改写为}76.074.0{n X n P <<}01.075.001.0{n n X n P <-<-=}01.0|{|n X P <-=μ 在切比雪夫不等式中取,01.0n =ε 则}76.0/74.0{<<n X P }01.0|{|n X P <-=μ22)01.0/(1n σ-≥20001.0/1875.01n n -=n /18751-=依题意, 取n 使,9.0/18751≥-n 解得 ,18750)9.01/(1875=-≥n即n 取18750 时, 可以使得在n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在76.0~74.0之间的概率至少为 0.90.例2 一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.解 设为第i 个螺丝钉的重量, ,100,,2,1Λ=i 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量为,1001∑==i iX X 且由,100)(==iX E μ,10)(==i X D σ,100=n知,10000)(100)(=⨯=i X E X E ,100)(=X D 由中心极限定理有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=>∑=n n nn X P X P n i iσμσμ10200}10200{1⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=100100001020010010000X p ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=2100100001210010000X P X P≈1—Φ（2）=1—0.9772=0.0228即一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率为0.0228例5 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005, 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少?解 记⎩⎨⎧=事故个被保险人未发生重大若第故个被保险人发生重大事若第i i X i ,0,1 )5000,,2,1(Λ=i于是i X 均服从参数为005.0=p 的两点分布, 且,005.0}1{==i X p .25=np∑=50001i i X 是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为∑=⨯-⨯5000125000016.0i i X 万元.于是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯≤∑=4025000016.02050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∑=302050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯-≤⨯-≤⨯-=∑=995.0252530995.02525995.025********1i i X P 6826.0)1()1(=-Φ-Φ≈.5.2例1 设05.0=α, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数. 解 由于,95.005.01)(05.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得,645.105.0=u 而水平0.05的双侧分位数为,025.0u 它满足: ,975.0025.01)(025.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得 .96.1025.0=u注: 今后, 分别记αu 与2/αu 为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数.例2 设61,,X X Λ是来自总体)1,0(N 的样本, 又设26542321)()(X X X X X X Y +++++=,试求常数C , 使CY 服从2χ分布.解 因为)3,0(~321N X X X ++)3,0(~654N X X X ++ 所以 ),1,0(~3321N X X X ++),1,0(~3654N X X X ++ 且相互独立, 于是),2(~33226542321χ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++X X X X X X故应取,31=C 则有).2(~312χY例3 设随机变量)1,2(~N X , 随机变量4321,,,Y Y Y Y 均服从)4,0(N , 且 )4,3,2,1(,=i Y X i 都相互独立, 令,)2(4412∑=-=i iYX T试求T 的分布, 并确定0t 的值, 使.01.0}|{|0=>t T P解 由于),1,0(~2N X -,4,3,2,1),1,0(~2/=i N Y i 故由t 分布的定义知),4(~42242)2(4412412412t Y X Y X Y X T i i i i i i ∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=即T 服从自由度为4的t 分布: ).4(~t T由.01.0}|{|0=>t T P 对于,4=n 01.0=α查附表4, 得.6041.4)4(005.02/==t t α例4 设总体X 服从标准正态分布, n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个简单随机样本, 试问统计量5,1562512>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n XX n Y ni ii i服从何种分布?解 因为),1,0(~N X i,)5(~5122∑=i i X χ,)5(~622∑=-ni in Xχ且∑=512i iX与∑=ni iX62相互独立, 所以),5,5(~)5(562512--∑∑==n F n XXni ii i再由统计量Y 的表达式,即得).5,5(~-n F Y习题2习题6习题75.3例1 设),2,21(~2N X 2521,,,X X X Λ为X 的一个样本,求: (1) 样本均值X 的数学期望与方差; (2) }.24.0|21{|≤-X P 解 )1( 由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n所以,252,21~2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D )2( 由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4.021N X - 故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=习题26.1例1 设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：,0,00,1),(~/⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-x x e x f X x θθθθ为未知参数, 0>θ. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数θ.解 由题意知, 总体X 的均值为,θ 即),(X E =θ 因此, 如用样本均值X 作为θ的估计量看起来是最自然的. 对给定的样本值计算得,7.172)252130168(91=+++=Λx故X =θˆ与7.172ˆ==x θ分别为θ的估计量与估计值.6.2例1 设总体X 的概率密度为,,010,)1()(⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它x x x f αα其中1->a 是未知数，n X X X ,,,21Λ是取自X 的样本, 求参数α的矩估计.解 数学期望是一阶原点矩⎰+==11)1()(dx x X E ααμ,21)1(11++=+=⎰+ααααdx x 其样本矩为,21++=ααX 而,112ˆX X --=α即为α的矩估计.例2设总体X 的均值μ及方差2σ都存在, 且有02>σ, 但2,σμ均为未知, 又设n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本. 试求2,σμ的矩估计量.解 ,)(1μμ==X E ,)]([)()(22222μσμ+=+==X E X D X E 得到,1μμ=.2122μμσ-=以21,A A 代替,,21μμ得μ和2σ的矩估计量分别为,ˆ1X A ==μ∑∑==-=-=-=n i i n i i X X n X X n A A 122122122.)(11ˆσ 注: 本例表明, 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体公布而异. 如, ),,(~2σμN X 2,σμ未知, 则2,σμ的矩估计量为,ˆX =μ.)(1ˆ212X Xnni i-=∑=σ例3 设总体X 的概率分布为22)1()1(2321θθθθ--i P X其中θ为未知参数.现抽得一个样本,1,2,1321===x x x 求θ的矩估计值.解 先求总体一阶原点矩,23)1(3)1(221)(22θθθθθ-=-+-⨯+⨯=X E一阶样本矩.34)121(31=++=x由,)(x X E = 得,3423=-θ 推出,65ˆ=θ所以θ的矩估计值.65ˆ=θ例4 设),1(~p b X ，n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，试求参数p 的最大似然估计.例5 设总体X 服从指数分布, 其概率密度函数⎩⎨⎧≤>=-0,00,),(x x e x f x λλλ 其中0>λ, 是未知参数. n x x x ,,,21Λ是来自总体X 的样本观察值, 求参数λ的最大似然估计值.解 似然函数⎪⎩⎪⎨⎧>=∑=-其它,00,);,,,(121i x n n x ex x x L ni i λλλΛ 显然);,,(21λn x x x L Λ的最大值点一定是∑=-=ni ix n n e x x x L 1);,,,(211λλλΛ的最大值点, 对其取对数∑=-=ni in xn x x x L 1211ln );,,,(ln λλλΛ由∑==-=ni in xnd x x x L d 12110);,,,(ln λλλΛ, 可得参数λ的最大似然估计值.1ˆ1xxnni i==∑=λ习题1习题2习题5。
概率论与数理统计复习题（1）
概率论与数理统计复习题（1）复习题概率论与数理统计复习题一、填空题1．已知则．2．已知，A, B两个事件满足条件，且，则。
3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则．4．同时抛掷3枚硬币，以X表示出正面的个数，则X的概率分布为．5．设随机变量X的概率密度为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则。
6．设随机变量X～，且，则_________7．若二维随机变量（X, Y）的区域上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则。
9．设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3。
10．设随机变量X的概率密度为则 A = 。
11．设，则，。
12．已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，，则。
13．设，，，则．14．设总体是来自总体X的样本，则，。
15．设是总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量．16．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为。
．17．已知、两事件满足条件，且，则= 。
18．已知，，，则、、都不发生的概率为。
．19．设一次试验中事件发生的概率为，又若已知三次独立试验中至少出现一次的概率等于，则。
．20．设事件和中至少有一个发生的概率为，和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为．21．20个运动员中有两名国家队队员，现将运动员平分为两组，则两名国家队队员分在不同的组的概率为。
．22．已知，，则．23．甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为．24．设、是随机事件，，，，则，，．25．设两两相互独立的三个事件、、满足条件，，且已知，则．26．若，且，，则．27．设、为随机事件，已知，，，则．28．设，，，则0.1，0.5，．29．已知，，，则．30．设、相互独立，，，则．31．已知，，，则．32．一个实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第个零件不合格的概率为，以表示3零件中合格品的个数，则。
概率论练习题14-15(2)a
一. 填空题1.设 ()()()5.0,,25.031===B A P A B P A P ,则B A ,都发生的概率= ，B A ,中至少有一个发生的概率= ，条件概率()A B P = .2.设电流强度I （单位：安培）是一个随机变量，I 服从区间[]12,10上的均匀分布，若此电流通过2欧姆的电阻时，在其上消耗的功率为22I W =，则W 的概率密度函数为 {()W f w =3.假设某产品的寿命X 服从正态分布2(,)N μσ，总体的均值和方差都未知，为估计总体均值，现随机抽查了9只该产品，得到寿命数据为19,,x x ，并由此算出9921145,225.32i i i i x x ====∑∑ ，则样本方差2s = ，μ的置信水平0.95的双侧置信区间为 . （答案请保留三位小数）二．将两信息分别编码A 和B 传送出去，接收站接收信号时，A 被误收为B 的概率为0.04，而B 被误收为A 的概率为0.05 .传送信息A 和B 的比例为2:1.（1）求接收站接收到信号为A 的概率；（2）如果已知接收站接收到信号为A,求原发信号是A 的概率.三．设离散型随机变量,X Y 均只取0,1这两个值.()()0,00.2,1,10.3P X Y P X Y ======，且随机事件{}1=X 与{}1=+Y X 相互独立.(1)求),(Y X 的联合概率函数；(2)分别求,X Y 的边缘概率函数;(2)求22Y X Z +=的概率函数和协方差),cov(Z X .四．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从参数为2ln 的指数分布 .记),min(),,max(Y X V Y X U ==.(1) 分别求随机变量U 的概率密度函数和随机变量V 的概率密度函数；（2）求概率()5.0,1≥≤V U P .五．设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 0.50.25,0;(,)0,x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数； （2）问：,X Y 是否相互独立？请说明理由；（3）求条件概率密度函数)(x y f X Y ,其中0>x ； (4) 求),cov(),(),(Y X Y E X E .六．小王自主创业，开了一家蛋糕店，店内有A,B,C 三种蛋糕出售，A,B,C 三种蛋糕的售价分别为5元，10元，12元.顾客购买A,B,C 三种蛋糕的概率分别为0.2,0.3,0.5 .假设今天共有700位顾客,每位顾客各买了一个蛋糕,且各位顾客的消费是相互独立的.用中心极限定理求小王今天的营业额在7000元至7140元之间的概率的近似值.七.假设总体X 服从正态分布(,500)N μ，总体Y 服从正态分布(,625)N μ，现从这两个总体中各独立抽取了样本容量为5的样本1515,,,,,X X Y Y ，即合样本1515,,,,,X X Y Y 相互独立.(1)求随机变量Y X -的概率密度函数,其中Y X ,分别为两个正态总体的样本均值;(2)求概率()30≤-Y X P .八．设12,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本,2≥n ，X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它,0,),(2θθθx x x f ，其中θ 未知，0θ> . （1） 求θ的极大似然估计量ˆθ；（2） 问：θ的极大似然估计量ˆθ是否为θ的无偏估计量? 请说明理由；。
概率论复习题
2015-2016 第一学期概率复习（上）可能用到的分布函数值与分位数值：()6915.05.0=Φ()8413.01=Φ()977.02=Φ96.1025.0=μ645.105.0=μ7764.2)4(025.0=t 5706.2)5(025.0=t 1315.2)15(025.0=t 1199.2)16(025.0=t ()0518.227025.0=t一、单项选择1、设A B 、是两随机事件，则AB 不能表示事件（ ）.A: A 、B 都不发生 B: A 、B 不同时发生C: A 、B 中至多有一个发生 D: A 、B 中至少有一个不发生2、A B C 、、三个事件中至少有2件发生可表示为：（ ） A: AB AC BC ⋃⋃ B:ABC ABC ABC ⋃⋃ C:ABC ABC ABC ⋃⋃ D ：A B C ⋃⋃3、设A 、B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=+)(B A P （ ）. A: )()(B P A P + B: )()(1B P A P - C: )()(1B P A P + D: )(1AB P -4、设A 、B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有（ ）A: 0)(=B A P B: )()(B P B A P = C: )(1)(B P A P -= D: ())()(B P A P B A P =5、设A B 、为随机事件，()0.7P A =，()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P AB =（ ） A ：0.2 B ：0.35 C ：0.4 D ：0.86、每次试验失败的概率为p ，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为：（ ）A ：)1(3p -B ：3)1(p -C ：31p -D ：2)1(3pp -7、下列分布中是离散型分布的是（ ）A ：指数分布B ：正态分布C ：均匀分布D ：泊松分布8、下列分布中是连续型分布的是（ ）Ａ：二项分布 Ｂ：泊松分布 Ｃ：指数分布 Ｄ：两点分布9、设随机变量X 的分布函数是()F x ，则下列结论中不一定成立的是：（ ） A ：()1F +∞= B ：()0F -∞= C ：0()1F x ≤≤ D ：()F x 为连续函数10、设随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则()f x 一定满足：（ ） A ：0()1f x ≤≤ B ：()()xP X x f x dx -∞>=⎰C ：()1f x dx +∞-∞=⎰D ：()1f +∞=11、设连续型随机变量X 的分布函数是()F x ，密度函数是()f x ，则下列说法错误的是（ ） A ：lim ()1x F x →+∞= B ：()()F x P X x => C ：lim ()0x F x →-∞= D ：()()F x f x '=12、若连续性随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1011)(2x x x cx f 则常数c 为：（ ）A π1B π1-C π2D π2-设离散随机变量X 的分布函数为：13、⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=1,111,311,0)(x x x x F ，则==)1(X P （ ）A ．31B ．32C ．1D ．014、设随机变量X的概率密度函数为：2(1)8()()x f x x +-=-∞<<+∞，则~X （ ） A ：(1,2)N - B ：(1,4)N - C ：(1,8)N - D ：(1,16)N -15、设随机变量X 服从(1,4)N -则X 的概率密度函数()f x =（ ）A：2(1)8x e +- B：2(1)8x e-- C：2(1)4x e +-D：2(1)8x e +-16、设连续型随机变量X 服从)42(2，-N ，则()6>X P （ ）A ： ()()121Φ-Φ-B ： ()()122Φ-Φ-C ： ()()112-Φ+ΦD ：()()12Φ-Φ17、已知离散型随机变量X 的概率分布为：则=)(X E （ ）。
(2021年整理)概率论与数理统计复习题14
概率论与数理统计复习题14编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（概率论与数理统计复习题14）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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概率论与数理统计复习题一、选择题1、设0()1P A <<,0()1P B <<,(|)(|)1P A B P A B +=,则(C ） （A ） 事件A ，B 不相容； （B ） 事件A ，B 为对立事件; （C ） 事件A ，B 相互独立;（D ） 事件A ，B 不相互独立。
2、甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙命中目标,用A 、B 、C 的运算关系表示事件“恰好有一人命中目标”，下列表达式正确的是（ C )A.C B A B 。
C B A C. C B A C B A C B A D. C B A BC A C AB 3、 X 为随机变量，()E X μ=,()2D X σ=，则对任意常数k,必有（B ） （A) ()()222E X k E X k -=-； （B) ()()22E X k E X μ-≥-;（C ） ()()22E X k E X μ-<-；（D) ()()22E X k E X μ-=-。
4、设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则随着σ的增大,概率()P X μσ-<(C ） （A ） 单调减少； （B ）单调增大； （C ） 保持不变; (D)增减不定。
5、设 0，2,2,3，3为来自均匀分布总体),0(θU 的样本观察值，则θ的矩估计值为（D ）.A. 1B. 2C 。
李志从 概率论与数理统计14-15(1)试卷A
河北科技大学2014--2015学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一． 单选题（每小题3分，共24分）1. 设A ，B 为随机事件，P （AB ）=1，则（ ）A ．A ，B 均是必然事件 B. P (A )= P (B )=1C ．AB 是必然事件 D. A 与B 不独立 2．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(2x x f +=π，则X e Y 2=的密度函数为（ ） A ．21(4ln )y y π+ B ．22(4ln )y y π+ C ．22(4ln )y π+ D ． 22(14ln )y y π+3. 设随机变量X ，Y 不相关，2()()0,D X D Y σ==≠ 则下列命题错误的是（ ）A. Cov(X,Y)=0B. 2(2)5D X Y σ-=C. X ，Y 相互独立D. E (XY )=E (X )E (Y )4. 对正态总体的数学期望进行假设检验时，如果在显著性水平0.01α=下接受00H :μμ=，则在显著性水平0.05α=下，正确的是（ ）A ．必接受0HB ．可能接受，也可能拒绝0HC ．必拒绝0HD ．不接受，也不拒绝0H5. 12,X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一组样本，下列结论中正确的是（ ）A ． 212/X X ～t(1) B ． 212212()()X X X X -+～ F （2,2） C ． 12X X -～2(0,)2N σ D ．221221()X X σ+～2(2)χ 6. 设()x Φ为标准正态分布函数，{,1001,2,i X A 1A 0,i Λ== 发生；，事件不发生；事件，且P(A)=0.2，X 1，X 2，…，X 100相互独立。
令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数F （y ）近似于（ ）A .)420-(y Φ B ．)480(-Φy C ．)1620-(y Φ D ．)1680-(y Φ 7. 设随机变量X ，Y 均服从正态分布，且它们不相关，则( ).A ． X 与Y 一定相互独立;B ． X 与Y 未必独立;C ． （X, Y ）服从二维正态分布;D ． X+Y 服从一维正态分布.8. 设12,,,n X X X L 为正态总体(,4)N μ的一个样本，X 表示样本均值，则μ的置信度为1α- 的置信区间为（ ） A．/2/2(X z X z αα-+ B．/2/2(((X t n X t n αα--+- C ．/2/2(X z X z αα-+ D ．(X z X z αα-+ 二．填空题（每空3分，共36分）1． 设A ，B ，C 是随机事件，P （AB ）=21，P （C ）=41，且B 与C 互不相容，则P （AB |C ）＝__________.2． 已知)2(~E X ，~(2)Y π, 且X 与Y 不相关，则D(X -3Y )= .3． 设总体~(100,30)X N ，1215(,,,)X X X K 和125(,,,)Y Y Y K 是其两个独立的样本，则D （X ）＝______________，~X Y - . 4. 连续四次掷一枚硬币，已知至少出现一次反面的概率为8165，则每次掷硬币时出现正面的概率为__________.5． 设E (X )=E (Y )=2，D (X )=2，D (Y )=8, 3/4XY ρ=，则由切比雪夫不等式{||3}P X Y -≥≤ .6. 设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布律为则当α= ， β = 时，X 与Y 相互独立.7. 设,01()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其它是连续型随机变量X 的概率密度函数，且13EX =，则a = ，b = .8． 设1234,,,X X X X 是来自参数为θ的泊松分布总体的样本．现有θ的三个估计量11234()4T X X X X =+++，2123411()()63T X X X X =+++，31234(234)5T X X X X =+++，其中两个估计量 是无偏的.9. 若X 服从自由度为n 的t 分布，则2X 服从 分布.三．计算题（第一小题1分，其余各小题3分，共16分）设随机变量X和Y的联合分布在以点（0,0）、（0,1）、（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度函数(,)f x y；（2）；{1}P X Y+≥（3）边缘概率密度函数()Xf x；；（4）条件概率密度函数|(|)Y Xf y x；（5）11 {|)}42 P Y X≥=（6）Z X Y =+,求Z 的概率密度函数(z)Z f四．计算题（8分）设总体X 的密度函数为()+1,01()0,x x f x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，(1)-θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为总体X 的样本，（1）求θ的矩估计量．（2）求θ的最大似然估计量．五．计算题（8分）在做单选题时（4个备选答案中只有一个正确答案），若一个学生不知道正确答案，他就作随机选择。
概率论基础复习题答案
填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= 1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞=1i ip=1 ；Eξ=∑∞=1i ii px 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。
考查第三章 较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则 ϕ的密度函数 ()g y ＝ 1()2g y y πππ=-<<。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题（仅供参考）一． 练习题 （一） 填空1、一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复3次，则3次中恰有两次取到废品的概率是 ．2、袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，则取出的3个球中红球个数ξ的概率分布为 ．3、设在10只晶体管中有两个次品，从中任取两次，每次取一个，作不放回抽样，设{=A 第一次取得正品第二取得次品}，则=)(A P ．4、一批零件的直径服从正态分布，从中随机抽出100个测量其直径，测得平均直径为cm 2.5，标准差为6.1cm ，若想知道这批零件的直径是否符合标准直径cm 5，因此采用 检验．在显著水平α下接受域为 ．8、若ξ)2,5(~2N ，则{}32<-ξP ＝ ．5、从总体ξ中取一样本),,(21n X X X ，μξ=E ，2σξ=D ，∑==ni i X n X 11，则=X E ，故X 是μ的 估计．6、 C B A ,,三人入学考试合格的概率分别是52,21,32，三人中恰有两人合格的概率是 。
7、加工一件产品需要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.95，0.85，0.9。
若三道工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。
8.、设总体X ～()2,σμN ，2σ已知，n X X X ⋅⋅⋅,,21是取自总体X 的一个样本，2,S X 分别是样本的均值和方差，则总体μ的置信水平为α-1的置信区间是 。
9、随机变量ξ的概率分布如下表则 =ξE ；=ξD 。
10.已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。
11、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}21===X P X P ,则)(X E =12．教材P69第9题13、 设⎩⎨⎧≥=-其它)(x e x xλλϕ，,0>λ 是随机变量ξ的密度函数，100=ξE ,则=λ 。
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2013-2014 第一学期概率复习题可能用到的分布函数值与分位数值：()6915.05.0=Φ()8413.01=Φ()977.02=Φ96.1025.0=μ645.105.0=μ7764.2)4(025.0=t 5706.2)5(025.0=t 1315.2)15(025.0=t 1199.2)16(025.0=t ()0518.227025.0=t一、单项选择1、设A B 、是两随机事件，则AB 不能表示事件（ ）.A: A 、B 都不发生 B: A 、B 不同时发生C: A 、B 中至多有一个发生 D: A 、B 中至少有一个不发生2、A B C 、、三个事件中至少有2件发生可表示为：（ ）A: AB AC BC ⋃⋃ B:ABC ABC ABC ⋃⋃ C:ABC ABC ABC ⋃⋃ D ：A B C ⋃⋃3、设A 、B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=+)(B A P （ ）. A: )()(B P A P + B: )()(1B P A P - C: )()(1B P A P + D: )(1AB P -4、设A 、B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有（ ） A: 0)(=B A P B: )()(B P B A P = C: )(1)(B P A P -= D: ())()(B P A P B A P =5、设A B 、为随机事件，()0.7P A =，()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P AB =（ ） A ：0.2 B ：0.35 C ：0.4 D ：0.86、每次试验失败的概率为p ，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为：（ ）A ：)1(3p -B ：3)1(p -C ：31p -D ：2)1(3p p -7、下列分布中是离散型分布的是（ ）A ：指数分布B ：正态分布C ：均匀分布D ：泊松分布8、下列分布中是连续型分布的是（ ）Ａ：二项分布 Ｂ：泊松分布 Ｃ：指数分布 Ｄ：两点分布 9、设随机变量X 的分布函数是()F x ，则下列结论中不一定成立的是：（ ） A ：()1F +∞= B ：()0F -∞= C ：0()1F x ≤≤ D ：()F x 为连续函数10、设随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则()f x 一定满足：（ ）A ：0()1f x ≤≤B ：()()x P X x f x dx -∞>=⎰ C ：()1f x dx +∞-∞=⎰ D ：()1f +∞=11、设连续型随机变量X 的分布函数是()F x ，密度函数是()f x ，则下列说法错误的是（ ） A ：lim ()1x F x →+∞= B ：()()F x P X x => C ：lim ()0x F x →-∞= D ：()()F x f x '= 12、若连续性随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1011)(2x x x c x f 则常数c 为：（ ） A π1 B π1- C π2 D π2-设离散随机变量X 的分布函数为： 13、⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=1,111,311,0)(x x x x F ，则==)1(X P （ ）A ．31B ．32 C ．1 D ．0 14、设随机变量X的概率密度函数为：2(1)8()()x f x x +-=-∞<<+∞，则~X （ ） A ：(1,2)N - B ：(1,4)N - C ：(1,8)N - D ：(1,16)N -15、设随机变量X 服从(1,4)N -则X 的概率密度函数()f x =（ ）A：2(1)8x e +- B：2(1)8x e -- C：2(1)4x e +- D：2(1)8x e +-16、设连续型随机变量X 服从)42(2，-N ，则()6>X P （ ）A ： ()()121Φ-Φ-B ： ()()122Φ-Φ-C ： ()()112-Φ+ΦD ：()()12Φ-Φ17、已知离散型随机变量X 的概率分布为：则=)(X E （ ）。
A 2.0 B 1.0 C 2.0- D 1.0-18、设离散型随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知概率)2()0(===X P X P ，则参数()=X E （ ）A ：21B ：2C ：21 D ：2 19、设连续型随机变量),(~p n B X ，若数学期望4.2)(=X E ，方差44.1)(=X D ，则参数p n ,的值为（ ）.A: 6.0,4==p n B: 4.0,6==p nC: 3.0,8==p n D: 2.0,12==p n20、设随机变量X 与2X 的期望都存在，则一定有（ ）A. )()(2X E X E ≥B. )()(22X E X E ≤C. )()(2X E X E ≤D. )()(22X E X E ≥21、下列性质中不是估计量评价标准的是（ ）A ：无偏性B ：完备性C ：有效性D ：一致性22、样本1X 、2X 、3X 取自正态总体),(~2σμN X ，且估计量3211X X X +-=μ，3212X X X --=μ，2134.06.0X X +=μ，则以下说法正确的是（ ）A ．321μμμ、、 都是总体期望μ的无偏估计量B ．3μ 不是总体期望μ的无偏估计量C ．1μ比3μ更有效D ．3μ比1μ更有效23、设1X 、2X 、…、n X 是取自总体)100,(~μN X 的样本，要检验假设，00:μμ=H ，01:μμ≠H ，则对于显著性水平α，其拒绝域为（ ）A ．][),,(2/2/∞+⋃--∞ααμμB ．),(2/2/ααμμ-C ．][)),1()1(,(2/2/∞+-⋃---∞n t n t ααD ．))1(),1((2/2/---n t n t αα二、填空题1、一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取3次，每次取一件，记i A 表示“第i 次取到废品”，3,2,1=i ，则事件“前两次至少有一次取到废品”可表示为 ，事件“三次都取到合格品”表示为 。
2、已知1A 、2A 、3A 为一组完备事件组，且1.0)(1=A P 、5.0)(2=A P 、2.0)(1=A B P 、6.0)(2=A B P 、1.0)(3=A B P ，则=)(31A A P ，()=B A P 1 。
3、设A 、B 为两个事件，且7.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则=⋃)(B A P 。
4、已知()0.5P A =，()0.7P B =，()0.8P A B ⋃=，则()P A B -= 。
5、设随机变量X 的概率密度函数为：301()0cx x f x ⎧<<=⎨⎩其他，则c= 。
6、设X 为一离散型随机变量，只能取1-、0、1三个值，相应概率依次为：12、12q -、2q ，则q = 。
7、设随机变量X 的分布律为：15)(k k X P ==，5,4,3,2,1=k 则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P 。
8、设()4,3~N X ，且有{}{}c X P c X P ≤=>，则=c 。
9、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则(23)E x += ,=+)32(x D .10、设随机变量X ~(1,4)N ，)2,0(~U Y ，且X 与Y 相互独立，则)133(+-Y X E = ，)133(+-Y X D = 。
11、已知2)(=X E ，5)(2=X E ，则)53(+X D = 。
12、设n X X X ,,,21 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，则∑==ni i X n X 11服从的分布是 。
13、设()n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，X 的密度函数为220()0x x f x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ未知，则θ的矩估计θ= 。
三、计算题1、n 把钥匙中只有一把是房门钥匙，现一把一把地试开，试就（1）有放回；（2）无放回两种方式，求第k 次试开时将房门打开的概率（n k ≤≤1）。
2、甲，乙，丙三人独立破译密码，甲破译密码的概率为0.2，乙破译点密码的概率为0.3丙破译点密码的概率为0.4，（1）求密码被破译的概率；（2）已知密码被破译，求密码是甲破译而乙、丙未破译的概率.3、袋中装有a 个红球与b 个白球，每次随机地从袋中取一个球，取后把原球放回，并加进与取出球同色的球c 个，如此三次，试求三次取到的球都是红球的概率。
4、设仓库中有100箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为25箱、35箱、40箱，三厂产品的次品率依次为0.05，0.04,0.02，从这100箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求（1）取出的产品为次品的概率；（2）已知取出的是次品，求是甲厂生产的概率。
5、已知1()4P A =，1()3P B A =，1()2P A B =，求()P A B ⋃。
6、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布律。
7、已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧+=,1,arcsin ,0)(x b a x F 1111≥<≤--<x x x试求（1）常数b a ,； （2）X 的概率密度)(x f ；（3）概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧<21X P 。
8、已知连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,)(3x cx x f试求（1）常数c ； （2）X 的分布函数()F x ；（3）概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211X P ；（4）)(X E 9、已知随机变量X 的分布律为试求：a )1(的值；（2）X 的分布函数()F x ；（3）概率{}21<<-X P ；（4）)(X E ； )5(随机变量12-=X Y 的分布律。
10、设某市男子身高X 服从正态分布(170,36)N 单位：cm ，求：（1）在该市任选一名男子，其身高在（167,173）cm 之间的概率；（2）该市任选3名男子至少1名身高在（167,173）cm 之间的概率。
11、某地抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）X 近似服从),72(2σN ，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
12、设书籍上每页的印刷错误的个数服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。