3.2.1常数与幂函数的导数 高中数学选修1-1课件资源
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-2-1~3-2-2常数与幂函数的导数和导数公式表
人 教 B 版 数 学
[解析]
∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
π
π 3 ∴y′|x＝ ＝－sin ＝－ . 3 2 3
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
5 ． 曲 线 y ＝ xn 在 x ＝ 2 处 的 导 数 为 12 ， 则 n 等 于 ____________． [答案] 3
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
本节重点：常数函数、幂函数的导数．
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到
幂函数的求导公式．
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
3
人 教 B 版 数 学
求简单函数的导数．
2．过程与方法 通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握
利用导数公式求函数导数的方法．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与归纳，进一步体会极限思想，培养
从特殊到一般、从有限到无限的思维方法；通过使用数学 软件求导，体会算法思想，进一步感受数学的应用价值， 培养探究问题、发现问题的兴趣．
1 1 1 y′＝x＝k，∴x＝k，切点坐标为 k，1，
)
[答案] C
[解析]
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1 又切点在曲线 y＝lnx 上，∴ln ＝1， k 1 1 ∴ ＝e，k＝ . k e
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
二、填空题 π 1 4．曲线 y＝cosx 在点 P( ， )处的切线的斜率为 3 2 ____________．
高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学案新人教B版选修1_1
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表1．常数与幂函数的导数1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.]2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x ，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________． 42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x 2；(5)y ＝log 12x .[思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？ 提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动； 若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 所以所求切线方程为 y －14＝(－1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x，则f′(x )＝x ·3x －1.( )(3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x2.( )[提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3xln 3. (3)× f′(x )＝－4x2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36B ．0C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.] 3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x2x；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x6.(3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．。
2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_1
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5， ∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56. (3)∵y＝ x2x＝x32. ∵y′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
第三章 导数及其应用
3.2 导数的运算 3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
学习目标
核心素养
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，通过利用基本初等函数
y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公
的导数公式求简单函数 的导数的学习，提升学
式求简单函数的导数．(重点、难点) 生的数学运算素养.
1
f′(x)＝_x_
1．下列结论：
2
①(sin x)′＝cos x；②(x3)′＝x3；
③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x.
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝xln1 3；∴②③错误，故选 C.]
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1
＝35x－25＝ 5
3 5
. x2
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，∴y′＝cos x. (5)y′＝(log12x)′＝ 1 1＝－xln1 2.
xln2
用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根 据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式.
合作探究 提素养
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
2020版高中数学人教B版选修1-1课件：3.2.1常数与幂函数的导数~3.2.2 导数公式表 (2) .pdf
变式训练 3.求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程.
方法技巧 1.应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而 利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用 的求导方法.
2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公 式.有时还要先对函数解析式进题型二 求函数在某点处的导数 (1)求函数y＝ax在点P(3,f(3))处的导数;
(2)求函数y＝lnx在点P(5,ln5)处的导数.
【名师点评】 求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤: ①由已知函数解析式先求f′(x); ②求f′(x0)的值.
变式训练
【名师点评】 利用导数来求曲线在某点处的切线的斜率 是一种非常有效的方法.它适合于任何可导函数,应用这种 方法求切线方程,既简捷,又方便.
第三章 导数及其应用
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ(x>0,μ≠0) y＝ax(a>0,a≠1) y＝ex
y′＝f′(x) y′＝__0__ y′＝__n_x_n－_,1n为自然数 y′＝__μ_x_μ_－_1,μ为有理数 y′＝__a_xl_n_a______ y′＝_e_x___
失误防范
再见
y＝logax(a>0,a≠1,x>0) y′＝______
y＝lnx
y＝sinx y＝cosx
y′＝ y′＝__co_s_x______ y′＝__－__si_n_x____
想一想
做一做 2.函数y＝x2在x＝6处的导数为________. 【答案】12
【名师点评】 对于基本初等函数的求导,直 接利用导数公式求导.但要注意把所给函数的 关系式转化成能够直接应用公式的基本函数 的形式,以免在求导时发生不必要的错误.
推荐-高中数学人教B版选修1-1课件3.2.1+3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
重难聚焦
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时 速度为1的匀速运动.
重难聚焦
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
3.2 导数的运算
-1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表-2-来自目标导航知识梳理
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.
再见
2019/11/23
知识梳理
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
知识梳理
知识梳理
知识梳理
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
2020人教版高二数学选修1-1(B版)电子课本课件【全册】
2.2.1 双
曲线及其标准方程
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.3.2 命题的四种形式
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线级其标准方程
本章小结
第三章 导数及其应用
3.数的导数
3.2.3 导数的四则运算法则
3.3.2 利用导数研究函数的极值
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 常用逻辑用语
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.1 命题与量词 命题
1.1.1
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.1.2 量词
什么是数
理逻辑
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
第二章 圆锥曲线与方程
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
2.1 椭圆
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.2.2 “非”（否定）
2020人教版高二数学选修1－1(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0065页 0120页 0162页 0248页 0341页 0432页 0472页 0517页 0556页 0594页 0633页 0646页 0684页 0728页 0794页
第一章 常用逻辑用语
1.1.2 量词
数学人教B版选修1-1素材预习导航 3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表 Word版含解析
′＝
＝
′＝－，为自然数
＝μ(＞，μ≠)
′＝μμ－，μ为有理数
＝(＞，≠)
′＝
＝
′＝
＝(＞，≠，＞)
′＝
＝
′＝
＝
′＝
＝
′＝－
思考常数函数＝的导数的几何意义和物理意义是什么？
提示：′＝表示函数＝图象上每一点的切线的斜率都为；若＝表示路程关于时间的函数，则′＝可以解释为某物体的瞬时速度始终为，即一直处于静止状态．
思考函数＝的导数的几何意义和物理意义分别是指什么？
提示：′＝表示函数＝图象上每一点处的切线斜率都为，任一点处的切线都是函数图象本身；若＝表示路程关于时间的函数，则′＝可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动．
预习导航
课目标
学习脉络
.能根据导数的定义，求函数＝，＝，＝，＝的导数．
．掌握基本初等函数的导数公式．
．能应用基本初等函数的导数解决有关问题.
基本初等函数的导数
()几个常用函数的导数：
函数
导数
函数
导数
＝()＝
′＝
＝()＝
′＝
＝()＝
()′＝
＝()＝(≠)
′＝－
()基本初等函数的导数公式：
序号
＝()
′＝′()
人教B版选修1-1高中数学3.2.1+2《常数与幂函数的导学 导学公式表》ppt课件
(5)y′＝(4 x3)′＝(x34)′＝34x－14＝
3 4
.
4x
(6)∵y＝(sin2x＋cos2x)2－1
＝sin22x＋2sin2xcos2x＋cos22x－1＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
求函数在某点处的导数
(1)求函数 y＝ax 在点 P(3，f(3))处的导数； (2)求函数 y＝ln x 在点 P(5，ln 5)处的导数． 【思路探究】 解答本题可先求出函数的导函数，再求 导函数在相应点的函数值． 【自主解答】 (1)∵y＝ax，∴y′＝(ax)′＝ax·ln a， 则 y′|x＝3＝a3·ln a. (2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝1x， 则 y′|x＝5＝15.
即 4x－y－4＝0.
因求导公式不熟而出错 给出下列结论： ①(cos x)′＝sin x；②(sin π4)′＝cos π4； ③若 y＝x12，则 y′＝－1x；④(－ 1x)′＝2x1 x. 其中正确的有________． 【错解】 通过导数的基本公式与计算，只有①④正确． 【答案】 ①④
【错因分析】 对于教材中出现的八个基本初等函数的 导数公式，要在解题过程中应用自如，必须做到以下两点： 一是理解，如 sin π4＝ 22′＝cos π4这样的错误结果；二是准确记忆．
(－
1x)′＝(－x－12)′＝12＝2x1
，所以④正确． x
【答案】 ④
1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．
2．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝
1 xln
a较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们
之间的差异去记忆．
3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的
高中数学选修1课件1-3.2导数的计算
＝2scinosx2－x 1.
(4)先化简，得 f(x)＝1－2 x，
故 f′(x)＝1－2 x′＝2′1－x1－－x221－x′＝1－2 x2.
(5)因为 y＝2xx＋－11＝2x＋x＋11－3＝2－x＋3 1，所以 y′＝x＋312.
(6)y′＝e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝e－x(1－)．
切点坐标为(－2，－26)．
状元随笔
方法归纳 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜 率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题 中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条 件求出切点坐标．
跟踪训练 3 (1)曲线 y＝x－x 2在点(1，－1)处的切线方程为 ()
答案：x＋2y－ 3－π6＝0
类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x20；(2)y＝x14；(3)y＝sin3π；(4)y＝log6x； (5)y＝ 1 .
5 x2
解析：(1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19； (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
解析：∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1，故切线斜率为 k＝y′|x＝1 ＝1.∴切线方程为 y＝x－1.
答案：C
4．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________.
解析：因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sin6π＝－12，所 以在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝ 0.
解析：设切点为 P(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1， 直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0) 即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又因直线 l 过点(0,0)，
3.2.1几个幂函数的导数_课件-湘教版数学选修1-1
(3)(x2)′＝2x y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说 明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为 函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x 的增加，y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，y＝x2 增加得越来越快． 若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某 物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
点评 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式
为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝
1 x4
可以写成
等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求 导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
1．求曲线y＝31x2在点P27，19处的切线斜率．
题型二 可化为基本初等函数的求导 【例2】 求下列函数的导数： (1)y＝log4x3－log4x2； (2)y＝2x2x＋1－2x； (3)y＝－2sin2x(2sin24x－1)．
自主探究 求函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的导数．
提示 f′(x)＝(sin x)′＝cos x，g′(x)＝(cos x)′＝－sin x. 要注意在这两个函数的导数公式中符号的区别． 另外可以发现，若令f1(x)＝sin x，fk＋1(x)＝[fk(x)]′(k∈N＋)， 则f2(x)＝cos x，f3(x)＝－sin x，f4(x)＝－cos x，f5(x)＝sin x，于是 函数fk(x)(k∈N＋)的结果具有周期性(周期为4)．
几个幂函数的导数 一些初等函数的导数表
1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数 的方法．
2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数．
高中数学第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_1
知识梳理
【做一做 3】 求下列函数的导数: (1)y=���1���2; (2)y=4x. 解(1)y'=-���2���3;(2)y'=4xln 4. 名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
(5)(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x. 名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x>0)可以归为一 类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形, 再求导. x=(l2o)gleoxg,则ax与(lnlnxx)'等=���求���l1n导e =公1���式��� ;较对难log记ax忆求,导可,以只相需互把间上作式比e换较为,如a.ln (3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导, 可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln 2,(x2)'=2x.
答案:y=x+1
典例透析
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
分析因所求直线与直线l垂直,故其斜率乘积为-1.可利用导数公 式求出直线l的斜率k,从而可得所求直线的斜率;点P在曲线上可求 得a,然后利用点斜式写出所求直线的方程.
典例透析
1 函数 y=cosπ4的导数为
.
答案:0
2 函数 y=3 x2的导数为
.
答案:332 x
推荐-高中数学北师大版选修1-1课件3.2.1导数的概念
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
【做一做】 函数 f(x)在 x=x0 处的导数可表示为( )
A.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
B.f'(x0)=Δl���i���m→0[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f'(x0)=������������x������→������0
错因分析:没有真正掌握函数在某点处导数的求解公式,弄错符
号而致误.
正解:由题意可知,Δy=f(x0-h)-f(x0),
则 Δx=x0-h-x0=-h,
则 lim
ℎ→0
f(x0-hh)-f(x0)=-h���������→���������0
������(���(������0���0-ℎ-ℎ)-)���-������(���0������0)=-f'(x0).
������(������0+������)-������(������0) ������
D.f'(x0)=������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)
答案:C
题型一
题型二
题型三
典例透析
导数的概念的应用
【例1】 求函数 y=f(x)= ������在x=1处的导数.
f'(-1)= lim
Δ ������ →0
������y ������x
=-(-1+������x)2+������x(-1+������x)+2
= ������������������ (3-Δx)=3.
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课堂探究新人教B版选修1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。
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问题4：幂函数y=xn(n∈Q)的导数是什么？
( x )' n( x) (n Q)
n
n1
练习:求以下几个幂函数的导数. (1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x4/3
典型例题
例1：求下列函数的导数。
(1) y 3 5 (1)解：y ' ( 3 5 )' 0 (2)y x
问题3：通过以上四个幂函数的求导过程，你有没 有发现求幂函数的导数的规律？ 我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下： (x1)’=1 =1x1-1 (x2)’= 2x =2x2-1 1 1 ( x)’=(x-1)’= - x2 =-x-1-1 1 1 1/2-1 1/2 (√x )’= (x )’= = x 2√x 2教学难点ຫໍສະໝຸດ 用从特殊到一般的规律来探究公式
知识链接
1.按定义求导数有哪几个步骤？ 2.用导数定义求函数y=C（常数）的导数.
解： y f ( x x) f ( x) C C 0
y f ( x) C ' lim 0 x 0x
'
y 0 x
课前预习
C' 0C为常数
几何意义:
问题1：常数函数的导数是什么？几何意义是什么？
常数函数在任何一点处的切线平行或重合x轴。
问题2：运用导数定义，求下列几个幂函数的导数.
(1)y=x (2)y=x2 1 (3)y= (x≠0) x (4)y=√x(x>0) (1)y’=x’= 1 (2)y’=(x2)’= 2x 1 1 (3)y’=( )’= - 2 x x 1 (4)y’=(√x )’= 2√x
教学目标:
知识与技能目标： 能够由定义根据求导数的三个步骤，推导 常数函数与幂函数的导数; 过程与方法目标： 在教学过程中,注意培养学生归纳、探求 规律的能力. 情感态度与价值观目标： 通过学生的主动参与,师生,生生的合作交 流,提高学生的学习兴趣,激发其求知欲,培养探 索精神.
教学重点
利用前面已学的求导数的三个步骤， 对常数函数与幂函数的导数进行探究
5 3
(3)y x
6
3 3 (2)解：y ' ( x )' ( x )' ( x) 5 2 5 5 x 6 7
5 3
3 5
2 5
(3)解：y ' ( x ) ' 6 x
小结： 对于简单函数的求导，关键是学 会合理转化关系式，以便可以直接利用公式 求解。
例2.质点运动方程是S=1/t5，求质点在t=2时的速度. 解：因为S=1/t5，所以S’=(t-5)’=-5t-6
5 S ' |t 2 5 2 64
6
答：质点在t=2时的速度是-5/64.
课堂小结
1.常数函数的导数：
C' 0C为常数
2.幂函数y=xn(n∈Q)的导数：
( x )' n( x) (n Q)
n
n1
课后作业
课本P87
练习B1,2