数学上学期期中试题-金山中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及答案
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试理科数学试卷 word版
2015-2016学年金山中学高二上学期期终考（2016年1月）数学（理）试题命题：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
1.已知条件1)1(log :2<-x p ；条件12:<-x q ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既充分不又不必要条件 2. 设x x x f ln )(=的导数为)(/x f ，若2)(/=a f ，则a 等于（ ） A.2e B e C22ln D 2ln 3.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( ）A B C D ．354.已知双曲线122=-y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且6021=∠PF F ，则=⋅||||21PF PF （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 85. 在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，==⋅（ ） A ．25-B ．25C ．45-D ．45 6.已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点P （3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ）A 106B 206C 306D 4067.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A ．12B ．23C ．34D ．458.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（ ）ABCD．9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的）10．.某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A B ．1 C D 11.定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数:①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x =; ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、下列4个命题111:(0,),()()23x x p x ∃∈+∞< 2:(0,1),p x ∃∈x x 3121log log >31p :(0,),()2x x ∀∈+∞>x 21log 411:(0,),()32x p x ∀∈<x 31log其中的真命题是( )（A ）13,p p （ B ）14,p p （C ）23,p p （D ）24,p p 二，填空题（每空5，共计20分） 13．函数x x y ln 212-=的单调减区间为 。
上海市金山中学高二数学上学期期中试题
上海市金山中学高二数学上学期期中试题金山中学 2017 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间 120 分钟满分 150 分）一、填空题 ( 本大题满分 54 分 ) 本大题共有12 题，此中第 1 题至第 6 题每题 4 分，第 7 题至第 12 题每题5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果， 不然一律得零分．1．已知函数 f ( x)0, x 0,1,x则 f ( f ( x))．0,2．若以1 a 3为增广矩阵的线性方程组有独一一组解，则实数a 的取值范围为．a 4 13．若直线 l 过点 A 1,3 , 且与直线 x 2y 3 0 垂直 , 则直线 l 的方程为 ________________.4．已知圆的方程为 x2y 2 4 ，则经过点 (1, 3) 的圆的切线方程为 __________________ ．5．若不等式组 x 1 2016,a 的值为．x 1 a, 的解集中有且仅有有限个实数，则6．已知函数 f xlog 3 4 2 ，则方程 f 1 x4 的解 x = _____________ ．x7．已知直线 2xy 20 和 mxy 1 0 的夹角为 ，则 m 的值为.4x y 2,．若实数x, y 知足x y2, 则 z2x y 的取值范围是__________.80 y 3,9．在数列a n 中 , 已知 a n 4n 1 ，则过点 P 4,a 2017和点 Q 3,a 2018 的直线的倾斜角是__________. ( 用反三角函数表示结果 )10．设 F 1, F 2 分别为椭圆 x2y 21 的左、右焦点， A 为椭圆上一点， 且 OB1OA OF 1 ，36 27 2OC1OA OF 2 ，则 OB OC__________ ．211．已知函数f xx 2b4 a 2 x2a b 是偶函数，则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 __ ____ ．12．定义变换 T 将平面内的点P x, y (x 0, y 0) 变换到平面内的点 Q x, y ．x y 1(x 0, y 0) 经变换 T 后获得曲线 C 1 ，曲线 C 1 经变换 T 后获得曲线 C 2 ，若曲线C 0 :24，挨次类推，曲线 C n 1 经变换 T 后获得曲线 C n ，当 n N * 时，记曲线 C n 与 x, y 轴正半轴的交点为 A n a n ,0 和 B n 0,b n , 记 D n a n , b n ．某同学研究后认为曲线 C n 拥有以下性质：①对随意的 nN * ，曲线 C n 都对于原点对称；②对随意的n N * ，曲线 C n 恒过点 0,2 ；③对随意的 n N *，曲线 C n 均在矩形 OA n D n B n （含界限）的内部；④记矩形 OA n D n B n 的面 积为S n ，则 lim S n 1 . 此中全部正确结论的序号是 .n二、选择题 ( 本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案 . 考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，不然一律得零分．4 k 6是“方程 x2y 2 1表示椭圆”的（）13．6 k k 4（ A ）充要条件（ B ）充足不用要条件（ C ）必需不充足条件 （ D ）既不充足也不用要条件14．已知向量 ab 知足 a 1， b2 ，a, b 的夹角为 120°，则 a 2b 等于（ ）（A ） 3 （B ） 15（C ） 21（D ） 515．已知函数f ( x ) log 2( x 2 ax 3 )在区间 [2,) 上是 增函 数， 则 a 的 取 值范围a （ ）（ A ）（,4]（ B ）（,2]（ C ）（ 4,4]（ D ） 4,416．如图，已知 l 1l 2 , 圆心在 l 1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t 0时与 l 2 相切于点 A , 圆 O 沿 l 1 以 1m/ s 的速度匀速向上挪动 , 圆被直线 l 2 所截上方圆弧长记为 x , 令 ycos x , 则 y 与时间t ( 0 t 1 , 单位 : s ) 的函数 y f (t) 的图像大概为 ()1三、解答题 ( 本大题满分76 分) 本大题共有 5 题，解答以下各题一定在答题纸相应编号的规定地区内写出必需的步骤．17． ( 此题满分12 分) 此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 6 分，第 (2) 小题满分 6 分已知会合 A y y 2x , x 2,3 , B x x a ( x a 3) 0．（ 1）当a 4 时，求 A B ；（ 2）若A B ，务实数a的取值范围．18． ( 此题满分14 分 ) 此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 6 分，第 (2) 小题满分8 分．已知向量 a 2 cos2 x, 3 ， b 1,sin 2x ，函数 f ( x) a b ，（ 1）求f ( x) 的单一增区间；（ 2）在△ABC中，a、b、c分别是角 A 、 B 、 C 的对边， R 为△ ABC 外接圆的半径，且 f (C ) 3 ，c 1 2 3， sin Asin B 2， a ＞b，求 a 、b的值．4R19．（此题满分16 分）此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 8 分，第 (2) 小题满分8 分 .如图，已知直线l : x3y c 0(c 0) 为公海与领海的分界限，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东 60 海面上A处有一艘走私船，走私船正向停靠在公海上策应的走私海轮 B 航行，以便上海轮后逃跑。
广东省汕头市金山中学15—16学年高二10月月考数学试题(附解析)
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二10月月考数学试题一、选择题（12个小题，每题5分，共60分） 1、若直线l 的倾斜角为120︒，则直线的斜率是（ ）A.B.C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：直线的斜率tan120k ==-故C 正确. 考点：倾斜角的定义.2、已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面 【答案】C考点：1线面位置关系;2线线位置关系.【易错点晴】本题主要考查的是线面位置关系与线线位置关系,属容易题.本题在分析问题时应先讨论直线l 与平面α的位置关系再得直线l 与平面α内直线的位置关系,容易忽略直线异面时也有垂直的可能而错选.3、已知直线1l 经过不同两点(3,)A a 、(2,3)B a -，直线2l 经过不同两点(3,)A a 、(6,5)C ，且12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A. 0B. 5C. 5-D. 0或5 【答案】D【解析】试题分析：(1)当直线1l 的斜率不存在时23a -=,解得5a =.此时()()3,5,6,5A C ,直线2l 的斜率为0,满考点：直线垂直.【易错点晴】本题主要考查的是直线垂直问题,属容易题.本题易错点在于只考虑两直线垂直斜率相乘等于1-,而忽视一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0时两直线也垂直. 4、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是（ ） A ．乙胜的概率 B ．乙不输的概率 C ．甲胜的概率 D ．甲不输的概率 【答案】B 【解析】试题分析：乙不输的概率为115236+=,故B 正确. 考点：互斥事件至少有一个发生的概率.【方法点晴】本题主要考查的是互斥事件至少有一个发生的概率,难度一般. ,A B 为互斥事件时, ,A B 至少有一个发生的概率公式为()()()P AB P A P B =+.5、入射光线l 从P （2，1）出发，经x 轴反射后，通过点Q （4，3）,则入射光线l 所在直线的方程为（ ） A ． 0y = B ． 1(5)2y x =+ C ．25y x =+ D ． 25y x =-+ 【答案】D 【解析】试题分析：点()4,3Q 关于x 轴的对称点为()'4,3Q -,由对称性可知()'4,3Q -也在直线l 上,所以直线l 的斜率()13224k --==--,又因为直线l 过点()2,1P ,所以直线l 方程为()122y x -=--,即25y x =-+.故D 正确. 考点：直线方程.6、设D 为ABC ∆所在平面内一点，CD BC 3=，则 ( )A. 1433AD AC AB =-+uuu r uuur uu u r B. 1433AD AB AC =-uuu r uu u r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uu u r uuu rD. 4133AD AC AB=-uuu r uuu r uu u r【答案】D考点：平面向量的加减法.7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()10f x -<的解集为（ ）A ．)0,(-∞B ．()+∞,0C ．)1,(-∞D ．()+∞,1 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立等价于()()()()12120x x f x f x --<恒成立,由单调性的定义可知函数()f x 在R 上单调递减. 因为数()f x 在R 上为奇函数,所以()00f =,()10f x ∴-<即()()10f x f -<.10x ∴->,解得1x <.故C 正确.考点：1函数的奇偶性;2单调性的定义.【思路点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的定义,难度中等.应已知条件()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+变形,由单调性的定义判断函数()f x 在R 上的单调性.在利用单调性解不等式()10f x -<时应将0转化为函数值.关键在于奇函数的图像关于原点对称,所以0在定义域内时必有()00f =.8、如图，在侧棱与底面边长均相等的正四棱锥P -ABCD 中，点E 是PC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A 、BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD ；B 、BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成角小于30°；C 、BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD ； D 、BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成角大于30°. 【答案】Bsin3θ∴==1sin 2θ=<, 030θ∴<<. 故B 正确.考点：1线面平行;2线面角. 9、如果直线12:220,:840l x y l x y -+=--=与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点,使函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8, 求a b +的最小值（ ）A 、4B 、3C 、2D 、0 【答案】A考点：1线性规划;2基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，基本不等式,属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．10、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形 【答案】C考点：余弦定理.【思路点晴】根据三角形面积相等由高可得三边长之比,根据余弦定理可判断角的大小,从而可判断三角形形状.11、下列各图是正方体，A，B，C，D分别是所在棱的中点，这四个点中共面的图有（）A、①②③B、①③④C、①③D、①②④【答案】A【解析】AD BC相交,则四点共面;试题分析：①中易证得AD BC,则四点共面; ②中易证得,B C D在其中一个侧面内,而A在垂直于该③中易证得AB DC,则四点共面; ④中显然,,侧面的一条棱上,则四点不共面.故A正确.考点：证明多点共面.12、下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是（）A ．①②；B ．①④；C ．②③；D ．③④ 【答案】A考点：线面平行.二、填空题（4个小题，每题5分，共20分）13、在长方体1111111,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为53．则长方体外接球的表面积是 ．【答案】6π 【解析】试题分析：该几何体的体积111151111323V AA AA ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭,解得12AA =.=,所以该长方体外接球的半径r=,则该球的表面积为246ππ⨯=⎝⎭.考点：长方体的外接球.【方法点睛】本题主要考查的是长方体的外接球问题,属容易题.长方体的外接球的球心在长方体的体对角线的交点处,且长方体的体对角线即为其外接球的直径.14、如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，若AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝34，则A到平面PBC的距离是．考点：1点到面的距离;2棱锥的体积.15、已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如右上图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是 ．【答案】6考点：三视图.【思路点睛】本题主要考查的是三视图,难度中等.正三棱锥顶点在底面上的射影即为底面正三角形的中心也为其重心.重心分中线的比为2:1,从而可得AO 的值,既而可得棱锥的高.即可求侧视图面积. 16、如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 .【答案】4π 【解析】考点：1用导数求极值;2二次函数求最值. 三、解答题（5个小题，每题14分，共70分） 17、设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得()1sin 22f x x =-,将整体角2x 分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内,求得x 的范围即为所求. （Ⅱ）由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得sin A 的值,从而可得cos A .由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,由基本不等式可得bc 的范围,从而可得三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 4分 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8分考点：1正弦函数的单调性;2余弦定理;3基本不等式.18、如图，三棱锥-P ABC 的三条侧棱两两垂直，即：PA PB ⊥、PB PC ⊥、PC PA ⊥，且PO ⊥平面ABC 并交平面ABC 于点O ，请问点O 是ABC ∆的什么心（内心、外心、垂心、重心、中心等）？ 并证明你的结论.【答案】垂心.=，故有BC⊥平面PAE11分由①②及PA PO P⊥12分AE⊂平面PAE，故BC AE⊥同理：AB CF∆的垂心14分因而点O是ABC考点：1线线垂直;2线面垂直.【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直,属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直、直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．19、已知的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --= ，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --= . (1)求顶点C 的坐标； (2)求直线BC 的一般方程.【答案】(1) (4,3)C ;(2) 390x y --=.考点：1直线垂直;2直线的方程.20、已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n n T S <+． 【答案】（1）n a n =,13n nb =;（2）详见解析. （2）由（1）知，3n n n nn c a b ==， 所以2311111233333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ① 23411111112333333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ② 得3311323144323443n n n n n n T +=-⨯-⨯=-⨯．又11(1)1133122313n n n S -==-⨯-．所以121114434n n nnT S+-=-⨯<，所以14n nT S<+．14分考点：1等差数列的通项公式;2等比数列的定义,通项公式;3错位相减法求和.21、如图①正方形ABCD沿着对角线BD对折，并使平面ABD⊥平面CBD，从而构成如图②三棱锥A BCD-，点E、F分别是线段BC、DA的中点. 请在图②的三棱锥中解答如下问题：（1）求二面角A BC D--的正切值；（2）求异面直线DE与CF所成角的余弦值.【答案】（1（2）6.设2AB =，因此112CE CB ==DE ===在（1）中，O A OC ==，且O A OC ⊥，故2AC ===，2AC CD AD ===因此CF ===，12PE CF ==在PFD ∆中，112FD AD ==，1122PF BF DE ===cos cos AF PFD PFA BF ∠=-∠=-= 故：2222cos PD PF FD PF FD PFD =+-⋅⋅∠2213121(4=+-⋅=222cos 2DE PE PD PED DE PE +-∠==⋅⋅ 14分 考点：1二面角;2异面直线所成的角.。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答卷时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：温从赐 审核人：鲁兴冠参考公式：棱柱的体积公式： V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式：13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式：24S R π=； 球的体积公式： 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）1.10y -+=的倾斜角为（ ）A.30B.150C.60D.120 2.直线()1:110l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.12B.32C.14D.34 3.用斜二测法画水平放置的边长为1的正方形所得的直观图面积是（ ）D. 4.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交 5.已知实数,x y 满足22230x x y -+-=，则x y -的最大值是（ ）A.1B.1-C.1-D.6.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B. C .6 D.7.已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C. D.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.设四边形EFGH 的四条边长为,,,a b c d ，其四个顶点分别在单位正方形ABCD 的四条边上，则222222a b c d +++的最小值为（ ）A.3B.6C. D.83二、填空题（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.）9.已知直线1:10l x y --=和2:2240l x y -+=，则1l 在y 轴上的截距是 ，直线1l 与2l 间的距离是 .10.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11A D 与棱1BB 所成的夹角是 ，异面直线1AD 与BD 所成的角是 .11.设三棱锥ABC S -的三个侧面两两垂直，且a SC SB SA ===，则其外接球的表面积为 ，体积为 .12.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域面积是__________，22x y u xy+=的取值范围为__________．13.在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_____ __.14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB ∆面积的最大值是 .15.在平面直角坐标系xOy 中，设()1,1,,A B C -是函数()10y x x=>图象上的两点，且ABC ∆为正三角形，则ABC ∆的高为 .三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示，墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图乙、图丙分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）画出该安全标识墩的侧视图，并标出相应的刻度； （2）求该安全标识墩的体积.17.（本题满分15分）过点()2,1P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.18.（本题满分15分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .19.（本题满分15分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点.（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.x龙湾中学2015学年第一学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）二、填空题（本题共小题，前题每空分，后题每空分，共分.）9. 1- 10. 2π；3π11. 3223,3a a ππ12.85102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. ()2,4 14. 52 15. 2 三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分） 解析：（1）侧视图如下图所示2010201020cm40cm（2）364000cm . 17.（本题满分15分）解析：（1）30x y +-=或460x y +-=；（2）min 4S =，此时l 的方程为240x y +-=. 18.（本题满分15分）19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2M -，因此8MN =.所以以MN 为直径圆的面积是16π.（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02.所以以MN 为直径的圆的方程为：222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D .所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2
2015-2016学年第一学期高二期中考试数学试题及答案考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．直线),(03为常数a R a a y x ∈=+-的倾斜角是 ．2．过点(0，1)，且与直线2x ＋y －3＝0平行的直线方程是____________ ．3．已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是 4．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距离是 ．5．圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为__________ ．6．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________ ．7． 直线:1l y kx =+与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．8．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，90=∠ABC ，1===BC AB PA ，则PC 与底面ABC 所成角的正切值．．．为 ．9．已知,x y 满足204x y ≤≤-，则23y x --的取值范围是 ．10．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球的表面积是 ．11．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围____________ ．12．圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b y b +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 _________ ．13．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水. 如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②）， PAB C（第8题）2-①2-②a则图2-①中的水面高度为 .14．直线03=++y tx 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，若AB OB OA >+，则实数t的范围二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线经过点(1,2)A ，求分别满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角的正弦为513； （2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.16．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时， 求（1）a 的值； （2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.17．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积． 18．（本题为选做题，文科生做第1道，理科生做第2道） 1．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-= 相切．（1）求圆的标准方程；（2）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -， 2．已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =．(1) 求实数a b 、间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程．19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？20．如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L ⊥直线AB 。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
高二期中数学卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷为选择题，共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。
不能直接写在本试卷上。
1、集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞ 2、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（ ）3、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于（ ）D.44、已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有（ ） A ．αγ⊥且//m β B ．αγ⊥且l m ⊥ C ．//m β且l m ⊥ D ．//αβ且αγ⊥5、设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知0)](log [log log 237=x ，那么21-x 等于（ ）A.31 B.63 C.33 D.427、已知3cos(),sin 245x x π-=则=（ ）（D ）（C ）（B ）（A ）A ．1825 B ．725 C ．725- D ．1625- 8、利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落 在坐标轴上的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 9、各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C．D ．410、在错误！未找到引用源。
2 数学-2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸对应的位置上，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．，本卷考试结束后，上交答题纸. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是 ▲ ．2. 若三个球的半径之比是1:2:3，则它们的体积之比是 ▲ ．3. 过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 ▲ ．4. 若三条直线两两互相垂直，则下列结论正确的是 ▲ ． ①这三条直线共点；②其中必有两条直线是异面直线； ③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条在同一平面内．5. 方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 ▲ ．6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中正确的序号为 ▲ ． （1）若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥；（4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥．7. 已知正三棱锥P —ABC 中，侧棱0,30PA a APB =∠=，D 、E 分别是侧棱PB 、PC 上的点，则ADE ∆的周长的最小值是 ▲ ．8. 直线l 经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是 ▲ ． 9. 若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,则直线2x cos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围 ▲ ．10. 点A ，B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的距离为 ▲ ．11. 已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA =AB =BC O 的体积等于 ▲ ．12. 已知(2,0)A ，(1,2)B --，P 是直线y x =上的动点，则PA PB +的最小值为 ▲ ．13. 若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ▲ ．14. 若直线y =x +b 与曲线x b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，点H是BE 的中点，点G是AE、DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE.16.（本题满分14分）已知直线1:23160l x y+-=，2:3220l x y-+=．（1）求两直线的交点P；（2）求经过点P且平行于直线230x y+-=的直线方程；（3）求以点P为圆心，且与直线230x y+-=相切的圆的标准方程．17.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD∠= ，N是PB中点，截面DAN交PC于M，E是AD中点，求证：（1）//AD MN；（2）AD⊥平面PBE；（3）PB⊥平面ADMN．18..（本题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面A B C D，AB DC∥，PAD△是等边三角形，已知4AD=，BD=，28AB CD==．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（3）求四棱锥P ABCD-的体积．19.（本题满分16分）已知圆C:22(1)(3)9x y-+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m++++-=．（1）无论m取任何实数，直线l必经过一个定点P，求出定点P的坐标；（2）过点P作圆C的切线，求切线方程；（3）以CP为直径的圆与圆C交于A、B两点，求线段AB的长．20.（本题满分16分）方程2()20f x x ax b=++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）21ba--的值域；（2）22(1)(2)a b-+-的值域；（3）3a b+-的值域．ACBDMNPECMDCBDHFGEAPA2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．1．________________________；2．________________________；3．________________________；4．________________________；5．________________________；6．________________________；7．________________________；8．________________________；9．________________________；10．_______________________；11．_______________________；12．_______________________；13．_______________________；14．_______________________．二、解答题15．(本题14分)CBDHF G EA16．(本题14分) 17．(本题14分)ACBDMNPE18．(本题16分)19．(本题16分)CMDPA B20．(本题16分)2015-2016学年第一学期期中考试高二数学 （参考答案）2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1； 2．1:8:27； 3．210x y +-=； 4．③；5．223a -<<； 6．(2)(4)； 7；8．3502x y y x +-==或；9．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；10．1cm 或5cm ； 11．92π； 1213．122(,)(0,2)55-- ； 14．(1,1]{-⋃．二、解答题15．（本题满分14分）证明 (1)因为G 是AE 与DF 的交点，所以G 是AE 的中点．…………２分 又H 是BE 的中点，所以在△EAB 中，GH ∥AB . …………４分 因为AB ∥CD ，所以GH ∥CD . …………５分 又CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ， 所以GH ∥平面CDE . …………７分 (2)平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，因为ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， 所以ED ⊥平面ABCD . …………１０分 所以ED ⊥BD . …………１１分 又BD ⊥CD ，CD ∩ED ＝D ，所以BD ⊥平面CDE . …………１４分16．（本题满分14分）解：(1)由231603220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4P …………４分 (2)设20x y c ++=，…………５分则8c =-…………6分280x y +-=为所求…………8分(3)d ==10分因为相切，所以半径r 12分 所以圆方程为()()22245x y -+-=…………14分17．（本题满分14分）证明：（1）∵//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，…………2分 ∵AD ⊂平面ADMN ，平面ADMN 平面PBC MN =， ∴//AD MN ．…………4分（2）连结BD∵PAD ∆和BAD ∆都是正三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PE AE E = ，…………6分 ∴AD ⊥平面PBE ，…………7分（3）又PB ⊂平面PBE ，…………9分∴PB AD ⊥，…………10分 ∵AP AD AB ==，N 是PB 中点， ∴PB AN ⊥，…………12分 又AD AN A = ，∴PB ⊥平面ADMN ．…………14分 18．（本题满分16分） 证明：（1）在ABD △中，∵4AD =，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=． ∴AD BD ⊥．…………2分 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD ． 又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD ．…………4分（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ．……5分 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．AC BMPD∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形． ∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =． 又 ∵:1:2CM MP =，∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ．…………7分 ∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ．…………9分 （3）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P ABCD -的高．…………11分又 ∵PAD △是边长为4的等边三角形，∴4PO ==12分在Rt ADB △中，斜边AB =，此即为梯形ABCD 的高．∴梯形ABCD 的面积482ABCD S +=⨯14分故1243P ABCD V -=⨯=．…………16分19．（本题满分16分）解：(1) 直线: :(23)(4)220l m x m y m ++++-=可变形(22)(342)0m x y x y ++++-=…………2分220,23420,2x y x x y y ++==-⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由解得。
上海市金山中学2015-2016学年高二上学期学业水平数学试卷 含解析
2015-2016学年上海市金山中学高二（上)学业水平数学试卷一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= ．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是．3．函数f(x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα=．5．已知a n=,则a n= ．6．若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2= ．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα=．8．若[2﹣(）n］=2，则实数r的取值范围是．9．如图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果为．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同,则y=f（x）的解析式是．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（，π），则m的取值范围是．12．已知函数f(x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f(x2）｜+|f（x2）﹣f（x3）|+…+｜f（x m﹣1）﹣f(x m）|=12（m≥0,m∈N ＊），则m的最小值为．二、选择题13．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是( ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形14．若数列｛a n｝是首项为1,公比为a﹣的无穷等比数列，且｛a n｝各项的和为a,则a的值是（）A．1 B．2 C． D．15．设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则(a2﹣a1)（a2﹣a3）＞016．若a,b是函数f(x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9三、解答题（共5题，共52分）17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x,当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心?18．已知等差数列{a n｝满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n｝的通项公式；（2）设等比数列｛b n｝满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列｛a n}的第几项相等?19．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n，S k=2550．（Ⅰ)求a及k的值；(Ⅱ）求．20．设f（x)=sinxcosx﹣cos2(x+）．（Ⅰ)求f（x)的单调区间；（Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c,若f（)=0，a=1，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1,a n+1=f （a n)，n∈N*．（1）求数列{a n｝的通项公式；（2）令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．2015-2016学年上海市金山中学高二（上）学业水平数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= 2 ．【考点】数学归纳法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用数学归纳法证明的步骤即可得出．【解答】解：利用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n=2，左边=2，右边==2,因此左边=右边．故答案为：2．【点评】本题考查了数学归纳法证明的步骤,考查了推理能力，属于基础题．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是［0,2] ．【考点】反三角函数的运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用反正弦函数的定义域求得x的范围．【解答】解:由函数y=arcsin（1﹣x)，可得﹣1≤1﹣x≤1，求得0≤x≤2,故函数的定义域为［0,2］，【点评】本题主要考查反正弦函数的定义域,属于基础题．3．函数f（x)=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f(x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为:π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα= 3 ．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得tanα的值．【解答】解：由于角α的终边落在正比例函数y=3x 的图象上，那么tanα==3,故答案为：3．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题．5．已知a n=，则a n= ﹣1 ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题;极限思想；转化法．【分析】分析知a n==．【解答】解：当n→∞时，只需考虑a n=（n≥2015），则a n==，其中，=0，所以，==﹣1，故填：﹣1．【点评】本题主要考查了极限及其运算，对于分段数列,其极限只需考虑n→∞时对应的分段,属于基础题．6．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知,是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为:16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcosα,判断出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值,即可确定出tanα的值．【解答】解:∵sinα+cosα=①，α是第二象限角,∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∴cosα＜0，sinα＞0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=,即sinα﹣cosα=②,①+②得:sinα=，①﹣②得:cosα=﹣，则tanα=﹣，故答案为:﹣．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．若［2﹣()n］=2，则实数r的取值范围是(﹣，+∞）．【考点】极限及其运算；绝对值不等式．【专题】计算题；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由[2﹣（）n]=2得（)n=0，再解不等式｜｜＜1即可．【解答】解:因为［2﹣（)n]=2，所以（)n=0，因此，｜｜＜1，解得r∈(﹣，+∞），故答案为：(﹣,+∞）．【点评】本题主要考查了极限及其运算,以及含绝对值不等式的解法，属于基础题．9．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件不满足，计算输出s的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环：s=0+,n=2+2=4;第二次循环：s=+=，n=4+2=6;第三次循环：s=+=，n=6+2=8；不满足条件n＜8，程序运行终止，输出s=．故答案为：．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f（x）的解析式是y=sin（2x+) ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意函数y=sinx的图象,逐步逆推求出函数y=f（x)的图象对应的解析式即可．【解答】解:函数y=sinx的图象,将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变)，得到函数y=sin2x，再把它的图象向左平移个单位,得到函数y=sin（2x+）的图象．故答案为：y=sin（2x+）．【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移，伸缩变换，注意函数变换的形式，逐步可逆，化简解题过程．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（,π）,则m的取值范围是{8｝．【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】通过平方关系得到关于m的表达式，求出m 的值，结合三角函数的性质,判断m的值即可．【解答】解:∵sin2θ+cos2θ=1∴+=1,∴（m﹣3）2+（4﹣2m）2=（m+5）2即m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25即25﹣22m+4m2=10m+25即﹣32m+4m2=0即m=0，或m=8因为＜θ＜π，当m=0时，sinθ=﹣35，矛盾，所以m=8故答案为:{8｝【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号,是基础题12．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且｜f（x1）﹣f（x2）｜+|f （x2）﹣f（x3）|+…+|f(x m﹣1)﹣f（x m）|=12（m≥0,m∈N ＊），则m的最小值为8 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j(i,j=1,2，3，…，m）,都有|f（x i）﹣f（x j)｜≤f(x）max ﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1,2,3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j(i，j=1，2，3，…，m），都有｜f(x i）﹣f（x j)|≤f(x)max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1，2,3，…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2)|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j(i，j=1，2，3，…，m)，都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f(x)min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题13．在△ABC中,若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是( ）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值;解三角形．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知:acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得:A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选:D【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用,三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．14．若数列{a n｝是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且｛a n｝各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C． D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列｛a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解:由题意知a1=1，q=a﹣，且｜q|＜1，∴S n==a,即,解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( ）A．若a1+a2＞0,则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d ＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d ＜0时，结论成立,即B不正确;｛a n｝是等差数列,0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0,则（a2﹣a1)（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选:C．【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力，比较基础．16．若a,b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（)A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a,b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列,可得①或②．解①得:;解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题(共5题,共52分)17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x 取何值时，y取得最大值和函数的对称中心?【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式和和差角(辅助角)公式，可得y=2sin（2x+)，结合正弦函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：∵函数y=cos(+2x）+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+），故当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时,y取得最大值,由2x+=kπ，k∈Z得：x=+kπ，k∈Z，故函数图象的对称中心坐标为：（+kπ，0）(k∈Z）【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式,难度中档．18．已知等差数列｛a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2（1）求｛a n}的通项公式；(2）设等比数列{b n｝满足b2=a3,b3=a7，问：b6与数列｛a n｝的第几项相等？【考点】等差数列的性质．【专题】计算题;等差数列与等比数列．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d,然后由a1+a2=10，可求a1,结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8,b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6,结合（I）可求【解答】解：(I）设等差数列｛a n｝的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1）=2n+2(n=1,2，…）（II）设等比数列｛b n｝的公比为q，∵b2=a3=8,b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列｛a n｝中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查,试题比较容易．19．已知等差数列前三项为a，4，3a,前n项的和为S n，S k=2550．(Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ)求．【考点】极限及其运算；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设该等差数列为｛a n｝，由题设条件可知首项a1=2，公差d=2．由此可以求得a=2，k=50．（Ⅱ)由，得S n=n（n+1），=,由此求得求的值．【解答】解：（Ⅰ)设该等差数列为{a n}，则a1=a，a2=4，a3=3a，S k=2550．由已知有a+3a=2×4，解得首项a1=a=2，公差d=a2﹣a1=2．代入公式S k=k•a1+得∴k2+k﹣2550=0解得k=50，k=﹣51(舍去）∴a=2，k=50;（Ⅱ)由得S n=n（n+1），===∴=1．【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题,仔细解答，避免不必要的错误．20．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．(Ⅰ）求f(x）的单调区间；(Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数;余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ)由f（)=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤,从而得解．【解答】解:（Ⅰ)由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k,k］,（k∈Z）;单调递减区间是：［k,k],（k∈Z）;（Ⅱ)由f(）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角,所以cosA=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤,所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．21．已知函数f(x）=,数列｛a n}满足a1=1，a n+1=f（a n)，n∈N＊．(1）求数列{a n}的通项公式；（2)令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过代入、取倒数可知=+,进而可知数列{｝是首项为1、公差为的等差数列，计算即得结论;(2）通过（1)裂项可知a n a n+1=•（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解:（1）依题意，===+,又∵=1,∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列，∴=1+(n﹣1)=,∴数列｛a n}的通项公式a n=;（2）由（1）可知a n a n+1=•=•(﹣）,∴T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1=•（﹣+﹣+…+﹣）=•(﹣）=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形及裂项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2016年上海市金山中学高三上学期期中数学试卷含解析答案
2015-2016学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U={2，4，a2﹣a+1}，A={a+1，2}，∁U A={7}，则a=．2．（4分）若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集为．3．（4分）已知命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，写出命题p的逆否命题是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）已知f（x）=，则=．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则的值为．7．（4分）对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为．8．（4分）函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．9．（4分）若函数f（x）=，则集合中的元素个数是．10．（4分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．11．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．12．（4分）已知不等式组有唯一解，则实数a=．13．（4分）求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为．14．（4分）已知函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形16．（5分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．17．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则a＞b是cosA＜cosB的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件18．（5分）给出下列六个命题：（1）若f（x﹣1）=f（1﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．（2）y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．（3）y=f（x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．（4）x+2015无最大值也无最小值．（5）y=的周期为π．（6）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．则正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，m∈R}．（1）求t，m的值；（2）若f（x）=﹣x2+ax+4在（﹣1，1）上递增，求实数a的取值范围．20．（12分）设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a﹣2＞0（a∈R）的解集为A．（1）求集合A；（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．21．（16分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．22．（16分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．23．（18分）（理）已知函数，实数a∈R且a≠0．（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n﹣m的最大值；（3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．2015-2016学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U={2，4，a2﹣a+1}，A={a+1，2}，∁U A={7}，则a=3．【解答】解：∵全集U={2，4，a2﹣a+1}，C U A={7}，∴a+1=4，a2﹣a+1=7，分别求解得：a=3；a=3或a=﹣2，则a=3．故答案为：32．（4分）若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集为{x|a} ．【解答】解：∵0＜a＜1，∴，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集就是（x﹣a）（x﹣）＜0的解集，即：{x|a}．故答案为：{x|a}．3．（4分）已知命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，写出命题p的逆否命题是若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B．【解答】解：∵命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，∴命题p的逆否命题是若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B．故答案为：若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．5．（4分）已知f（x）=，则=0．【解答】解：令=﹣，∴arcsin（2x+1）=，∴2x+1=1，∴x=0，故答案为：0．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则的值为﹣．【解答】解：由题意可得点A的横坐标为，它的纵坐标为，故tanα==，再利用二倍角公式可得=，求得tan=，或tan=﹣（舍去），故=﹣tan=﹣，故答案为：﹣．7．（4分）对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为{1，6，10，12} ．【解答】解：要使f A（x）•f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．8．（4分）函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．【解答】解：y=sinx+cosx=（sinxcos+cosxsin）=sinx（x+）同理可得y=sinx﹣cosx=sinx（x﹣）令f（x）=sinx﹣cosx=sinx（x﹣），设y=f（x）图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到y=sinx+cosx的图象则f（x+φ）=sinx（x+φ﹣）=sinx（x+）∴φ﹣=+2kπ（k∈Z），取k=0，得φ的最小正值为即平移的最小长度为故答案为：9．（4分）若函数f（x）=，则集合中的元素个数是5．【解答】解：在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得，集合中的元素个数是5．故答案为：5．10．（4分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．11．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．12．（4分）已知不等式组有唯一解，则实数a=±．【解答】解：设f（x）=x2+ax+5，则方程f（x）=有唯一解，∴x2+ax+1.5=0有唯一解，∴△=2a2﹣6=0，求得a=±，故答案为：．13．（4分）求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为{﹣1，3} ．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f （x）在R上单调递增，由x6+x2=（2x+3）3+2x+3即（x2）3+x2=（2x+3）3+2x+3，∴x2=2x+3，解之得，x=﹣1或x=3．所以方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为{﹣1，3}．故答案为：{﹣1，3}．14．（4分）已知函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为[0，）．【解答】解：根据题意函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，得出cos（asinx）=sin（bcosx）无解，若方程有解，则asinx+bcosx=+2kπ（k∈z）所以sin（x+α）=+2kπ（k∈z），∴||≤1，即≤1，即a2+b2≥，因此要使函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则0≤a2+b2故答案为：[0，）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．故选：D．16．（5分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∵﹣=≥0，∴≥，正确；B．ab＜0不成立；C．ab＜0，且a+b与异号不成立；D．ab＜0不成立．故选：A．17．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则a＞b是cosA＜cosB的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件【解答】解：在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔cosA＜cosB，可得a＞b是cosA＜cosB的充要条件．故选：C．18．（5分）给出下列六个命题：（1）若f（x﹣1）=f（1﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．（2）y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．（3）y=f（x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．（4）x+2015无最大值也无最小值．（5）y=的周期为π．（6）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．则正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：（1）f（x﹣1）=f（1﹣x）⇔f（x﹣1）=f（﹣（x﹣1）），则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，命题错误（2）取f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）=x﹣2，f（1﹣x）=﹣x，图象不关于直线x=0对称，命题错误（3）取f（x）=x﹣1，y=f（x+3）=x+2，y=f﹣1（x）=x+1，y=f﹣1（x+3）=x+4，命题错误．（4））x+2015，x=0时，y有最大值，所以命题错误．（5）原函数可化为y=tan2x，周期为，命题错误．（6）受0≤x≤2π的影响，y=sinx，没有对称轴，只有一个对称中心，所以命题错误．故选：A．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，m∈R}．（1）求t，m的值；（2）若f（x）=﹣x2+ax+4在（﹣1，1）上递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：，所以．（2）因为在（﹣1，1）上递增，所以≥1，a≥2．20．（12分）设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a﹣2＞0（a∈R）的解集为A．（1）求集合A；（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由|x+2|+a﹣2＞0可以得到：|x+2|＞2﹣a．当a＞2时，解集是R；当a≤2时，解集是{x|x＜a﹣4或x＞﹣a}．（2）（i）当a＞2时，∁U A=∅，不合题意；（ii）当a≤2时，∁U A={x|a﹣4≤x≤﹣a}．因=sinπxcos﹣cosπxsin+cosπxcos+sinπxsin=2sinπx，由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k，k∈Z，所以B=Z．当（∁U A）∩B有3个元素时，a就满足，可以得到0＜a≤1．21．（16分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵=，∴函数f（x）的最小正周期T=π．∵由（k∈Z），得（k∈Z），∴单调递增区间为（k∈Z）．（2）当时，可得：，解得：．存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．22．（16分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2分）（2）令，则且x=（t﹣1）2∴（5分）∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（8分）（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，（10分）t=2时的最大值为，（11分）∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4（12分）即f（x）的值域恰为时，（13分）所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）23．（18分）（理）已知函数，实数a∈R且a≠0．（1）设mn ＞0，判断函数f （x ）在[m ，n ]上的单调性，并说明理由；（2）设0＜m ＜n 且a ＞0时，f （x ）的定义域和值域都是[m ，n ]，求n ﹣m 的最大值；（3）若不等式|a 2f （x ）|≤2x 对x ≥1恒成立，求a 的范围． 【解答】解：（1）设m ≤x 1＜x 2≤n ，则f （x 1）﹣f （x 2）=﹣，∵mn ＞0，m ≤x 1＜x 2≤n ，∴x 1x 2＞0，x 1﹣x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），因此函数f （x ）在[m ，n ]上的单调递增．（2）由（1）及f （x ）的定义域和值域都是[m ，n ]得f （m ）=m ，f （n ）=n ， 因此m ，n 是方程2+=x 的两个不相等的正数根，等价于方程a 2x 2﹣（2a 2+a ）x +1=0有两个不等的正数根， 即△=（2a 2+a ）2﹣4a 2＞0且x 1+x 2=＞0，解得a ＞，∴n ﹣m==，∵，∴a=时，n ﹣m 最大值为．（3）a 2f （x ）=2a 2+a ﹣，则不等式|a 2f （x ）|≤2x 对x ≥1恒成立， 即﹣2x ≤2a 2+a ﹣≤2x 即不等式对x ≥1恒成立，令h （x ）=2x +，易证h （x ）在[1，+∞）递增，同理g （x ）=﹣2x [1，+∞）递减．∴h （x ）min =h （1）=3，g （x ）max =g （1）=﹣1， ∴∴﹣≤a ≤1且a ≠0赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
2016年上海市金山中学高二上学期数学期中考试试卷
2016年上海市金山中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知向量，，如果与垂直，那么实数的值为．2. 若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是．3. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为．4. 若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为．5. 直线过点与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．6. 已知直角坐标平面内的两个向量，，使平面内的任意一个向量都可以唯一表示成，则的取值范围是．7. 已知是等腰直角三角形，，则．8. 设，满足约束条件则的取值范围为．9. 平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为．10. 过点作圆：的切线，切点为，如果，那么的取值范围是．11. 已知椭圆内有两点，，为椭圆上一点，则的最大值为．12. 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论的序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．13. 已知函数与的图象相交于，两点，若动点满足，则动点的轨迹方程是．14. 记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在，，上时，的最大值分别是，，，则．二、选择题（共4小题；共20分）15. 对任意平面向量，，下列关系式中不恒成立的是A.B.C.D.16. 直线和直线，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件17. 已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系为A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心18. 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高所在直线的方程是．求：（1）边所在直线的方程；（2）边所在直线的方程．20. 已知直线过点且被两条平行直线和截得的线段长为，求直线的方程．21. 设，是两个不共线的非零向量，．（1）若与起点相同，为何值时，，三向量的终点在一直线上?（2）若且与夹角为，那么为何值时，的值最小?22. 已知点，，；（1）若点在第二或第三象限，且，求的取值范围；（2）若，，，求在方向上投影的取值范围；（3）若，求当，且的面积为时，和的值．23. 已知椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为，，且，为等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点在椭圆上且位于第一象限内，它关于坐标原点的对称点为；过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆交于另一点，若，试求以线段为直径的圆的方程；（3）已知，是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于，两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程．答案第一部分1.2.【解析】因为直线经过点，方向向量为，所以直线的方程为：，转化为点方向式方程，得：．3.【解析】因为方程表示椭圆，则解得．4.【解析】，因为直线过点且点到直线的距离最大，所以时满足条件．所以．所以直线的方程为：，化为：．5.【解析】设直线的倾斜角为，．，．因为直线过点与以，为端点的线段有公共点，所以或．则直线倾斜角的取值范围是．6.【解析】因为可以唯一表示成，所以与不共线，所以，所以．7.【解析】因为是等腰直角三角形，，所以，，所以8.【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最小，此时最大为，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由解得即，代入目标函数，得，故．9.【解析】由于直线与相交于点，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．有以下三种情况：①这三条直线交于一点，此时，得；②与平行，此时；③与平行，此时．综上知，或或，实数的取值集合为．10.【解析】因为，所以，所以，所以，所以．11.【解析】因为椭圆方程为，所以焦点坐标为和，连接，，根据椭圆的定义，得，可得，因此，，因为，所以当且仅当点在延长线上时，等号成立，综上所述，可得的最大值为．12. ①④⑤【解析】显然，，，，①正确；，②不正确；与的夹角为，③不正确；④显然正确；，⑤正确．13.【解析】联立函数与得．当时，，当时，，所以，，设动点，则，，则，由，得，即，所以的轨迹方程是．14.【解析】由椭圆得，椭圆的参数方程为：（为参数），所以，由正弦定理的性质可知：当时，取最大值，所以．所以．第二部分15. B【解析】A选项中，恒成立（）；B选项中，当，反向共线或不共线时不成立；C选项中，恒成立；D选项中，恒成立．16. C 【解析】若，则两直线方程分别为和，满足两直线平行，即充分性成立，若，当时，两直线分别为和，此时两直线不平行，不满足条件．当时，若两直线平行则，由得，即，解得或，当时，，不满足条件．则，即，故“”是“”的充要条件．17. C 【解析】因为点是圆外的一点，所以，因为圆心到直线的距离为：，且，所以直线与圆相交且不过圆心．18. B 【解析】由又因为所以．所以点在的高线上，即的轨迹过的垂心．第三部分19. （1）由题意，直线的一个法向量是边所在直线的一个方向向量，所以可设所在的直线方程为：，又点的坐标为，所以，所以，所以所在直线方程为．（2）因为是边的中线所在的直线方程，设中点，，所以，，所以点坐标为，且点满足方程，所以得，所以，所以所在的直线的斜率为：，所以边所在直线方程为，即．20. 与之间的距离，设直线与两平行直线的夹角为，则，所以．①当直线的斜率存在时，设，即，则：，即直线的方程为：．②当直线的斜率不存在时，，符合．所以直线的方程为：或．21. （1）设，化简得，因为与不共线，所以，所以，所以时，，，的终点在一直线上．（2）．所以当时，有最小值．22. （1）点，，；若点在第二或第三象限，且，则解得，且．（2），，所以在方向上投影为所以在方向上投影的范围为．（3）因为，，所以，且，所以，；所以点到直线：的距离为：，所以，解得，．23. （1）因为椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为，，且，为等边三角形．所以由题意，得：解得所以椭圆的方程为．（2）设，则由条件，知，，且，．从而，．于是由，及，得．再由点在椭圆上，得，求得．所以，，，进而求得直线的方程为：．由求得．进而，线段的中点坐标为．所以以线段为直径的圆的方程为：．（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意，当直线的斜率为时，由题意得．当直线的斜率存在且不为时，设其方程为，则点到直线的距离为，从而由几何意义，得，由于，故直线的方程为，由题意得它与椭圆的交点的坐标为，于是，故，令，则，当且仅当，即时，上式取等号．因为，故当时，，此时直线的方程为：．（也可写成）．。
广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试题 理
广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试理科数学试卷第一部分选择题（共60分）一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．) 1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 22．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆的直观图，得到如图所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2 C．3．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥4．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到 图2所示的几何体，则该几何体的左视图为7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含9．直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 0 D ．210．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB =k 的值等于A ．1 C ．1或1-11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点 的轨迹方程是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与A ．AC ，BD 之一垂直B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直 D ．AC ，BD 不一定垂直第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.点)2,1(-到直线x y =的距离是_________.14.若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为_________.15.两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是_________.16.在ABC ∆中，2,6,2==∠=∠AC B C ππ，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为ABC M -的外接球的表面积为_________. 三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .（Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.（Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n nB B )1(322121++++ 与1的大小．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD =，22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ? 若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中， 平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==． （Ⅰ） 求证：AB BC ⊥；（Ⅱ） 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A A C B --的大小．21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。
广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试题理
广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试理科数学试卷第一部分选择题（共60分）一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．) 1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 22．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆的直观图，得到如图所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2 C．3．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥4．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到 图2所示的几何体，则该几何体的左视图为7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含9．直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 0 D ．210．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB k 的值等于A ．1 C ．1或1-11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点 的轨迹方程是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与A ．AC ，BD 之一垂直B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直 D ．AC ，BD 不一定垂直第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.点)2,1(-到直线x y =的距离是_________.14.若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为_________.15.两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是_________.16.在ABC ∆中，2,6,2==∠=∠AC B C ππ，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为ABC M -的外接球的表面积为_________. 三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .（Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.（Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n nB B )1(322121++++ 与1的大小．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD 22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ? 若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中， 平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==． （Ⅰ） 求证：AB BC ⊥；（Ⅱ） 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A ACB --的大小．21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。
汕头市金山中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二(上)期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={(x，y)|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）｜x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1)，（1，1，0)，（0，1，1），（0，0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．3．圆（x+2）2+y2=4与圆(x﹣2）2+（y﹣1)2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离4．下列命题中正确的有（）个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．45．已知过点A（﹣2，m)和B（m，4)的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为(）A．0 B．﹣8 C．2 D．106．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为(）A．1 B．2 C．3 D．47．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（)A．30°B．45°C．60°D．90°8．如果直线l经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是(）A．［0，2］B．[0，1］C．[0，］D．[0，］9．过点A（a,a)可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线,则实数a的取值范围为()A．a＜﹣3或B．C．a＜﹣3 D．﹣3＜a＜1或10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（)A．36πB．64πC．144π D．256π11．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD",“AD与BC”均不垂直12．在平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为｜P1P2｜=|x1﹣x2|+｜y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离"之和等于定值(大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分)13．已知两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2:x﹣ay﹣2=0．当a=时，l1⊥l2．14．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是．15．已知x2+y2=4x,则x2+y2的取值范围是．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA｜•｜PB｜的最大值是．三、解答题:（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．在△ABC中,已知AB=2，AC=3，A=60°．（1)求BC的长；（2）求sin2C的值．18．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞2,且a n2+4n=4S n+1．（1）求证：{a n｝为等差数列；（2）设b n=,求数列｛b n｝的前n项和．19．如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点．（1)证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求点B到平面A1ACC1的距离．20．圆C过点M（﹣2，0）及原点，且圆心C在直线x+y=0上．（1)求圆C的方程；（2）定点A(1，3），由圆C外一点P（a,b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足｜PQ|=|PA|．①求|PQ｜的最小值及此刻点P的坐标；②求||PC|﹣｜PA||的最大值．21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1)2=4和圆C2：（x﹣4）2+(y﹣5）2=4（1)若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=｛（x，y）|x,y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x｝，则A∩B的元素个数为(）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】据观察发现,两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个,两集合交集的元素就有几个．【解答】解:联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±,分别把x=±代入②,解得y=±，所以两函数图象的交点有两个,坐标分别为（,）和（﹣，﹣)，则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数,是一道基础题．2．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1,0,1），(1，1,0)，(0，1，1）,（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；作图题．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），(1，1，0），（0，1，1)，(0，0，0）,几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．3．圆(x+2）2+y2=4与圆(x﹣2)2+（y﹣1）2=9的位置关系为（)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比,判断两圆的位置关系．【解答】解:圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2)2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==,R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．下列命题中正确的有（）个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】结合空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征,面面垂直的几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交，平行，或异面，故错误．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，由平行角定理可得正确．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形,如下图中四面体故正确．④若两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直于两面交线的直线，这样的直线有无数条，故正确．故正确的命题个数是3个，故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征等知识点，难度中档．5．已知过点A（﹣2，m)和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m)和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行,所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得,故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．6．已知x,y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想;方程思想;不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可．【解答】解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x+y﹣2=0与直线y=0的交点A（2，0）时取最大值，故最大值为z=2×2+0=4故选：D．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键,属中档题．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB,则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想，属于基础题．8．如果直线l经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（)A．[0，2]B．[0，1]C．[0，]D．［0,］【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题;转化思想；综合法；直线与圆．【分析】圆的方程可知圆心(1，2），直线l将圆:x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案．【解答】解：由圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2,如图．那么l的斜率的取值范围是[0，2］故答案为：[0,2]．【点评】本题采用数形结合，排除法即可解出结果．是基础题．9．过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线,则实数a的取值范围为(）A．a＜﹣3或B．C．a＜﹣3 D．﹣3＜a＜1或【考点】圆的切线方程．【分析】圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的圆心（a，0）且a＜，并且(a，a）在圆外,可求a 的范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的圆心(a，0）且a＜，而且（a，a）在圆外，即有a2＞3﹣2a，解得a＜﹣3或．故选A．【点评】本题考查圆的切线方程，点与圆的位置关系，是中档题．10．已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ===36，故R=6，则球O 的表面积为4πR 2=144π，故选C ．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大是关键．11．已知矩形ABCD ，AB=1,BC=．将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量,计算几何体中的相关边长,再分别筛选四个选项，若A 成立，则需BD ⊥EC ，这与已知矛盾；若C 成立，则A 在底面BCD 上的射影应位于线段BC 上，可证明位于BC 中点位置，故B 成立;若C 成立,则A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的;D 显然错误【解答】解：如图，AE ⊥BD ，CF ⊥BD,依题意,AB=1，BC=，AE=CF=,BE=EF=FD=，A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则∵BD ⊥AE,∴BD ⊥平面AEC ，从而BD ⊥EC ，这与已知矛盾，排除A;B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME ⊥BD ，∴∠AEM 就是二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，此角显然存在,即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确; C ，若存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除C D,由上所述，可排除D故选 B【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系,翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度,属中档题12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2,y2）间的“L﹣距离"定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于｜F1F2｜）的点的轨迹可以是（)A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y)，动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m(m＞2c＞0），由题意可得：|x+c｜+｜y|+|x﹣c|+|y｜=m，即|x+c|+｜x﹣c｜+2｜y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0;当x＜﹣c，y＜0时,方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c,y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时,方程化为2x+2y﹣m=0;当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两直线l1：ax﹣2y+1=0,l2：x﹣ay﹣2=0．当a=0时，l1⊥l2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】由垂直关系可得a的方程，解方程可得．【解答】解：∵两直线l1:ax﹣2y+1=0，l2:x﹣ay﹣2=0相互垂直，∴a×1﹣（﹣2）(﹣a）=0，解得a=0故答案为：0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是(x+2）2+y2=2．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】设出圆心，利用圆心到直线的距离等于半径，可解出圆心坐标，求出圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＜0），则，解得a=﹣2．圆的方程是（x+2）2+y2=2．故答案为:（x+2)2+y2=2．【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切;注意题目中圆O位于y轴左侧，容易疏忽出错．15．已知x2+y2=4x,则x2+y2的取值范围是[0，16]．【考点】两点间的距离公式．【专题】函数思想；换元法；直线与圆．【分析】三角换元，令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ,代入式子由三角函数的知识可得．【解答】解：∵x2+y2=4x，∴(x﹣2）2+y2=4，故令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ,∴x2+y2=（2+2cosθ）2+(2sinθ)2=4+8cosθ+4cos2θ+4sin2θ=8+8cosθ,∵cosθ∈[﹣1，1］，∴8+8cosθ∈［0，16］故答案为：［0，16］【点评】本题考查式子的最值，三角换元是解决问题的关键,属基础题．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则｜PA｜•｜PB|的最大值是5．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB｜的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1)﹣y+3=0，经过点定点B(1，3)，注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB｜2=｜AB｜2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+｜PB｜2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．三、解答题：(本大题共5小题，共70分。
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金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1．已知向量(1,),(9,6).a k b k ==-若//a b ，则实数k =________.2．行列式987654321中，6的代数余子式的值是_______．3．若向量(1,),(2,1),a x b ==且a b ⊥，则||a b += ．4．直线l 经过点)1,2(-P ，且点)2,1(--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为 ． 5．执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ．6．已知直线,02:=+y x l 圆01526:22=---+y x y x C ，直线l 被圆所截得的线段长为 ．7．如图,1||||==与的夹角为,120︒OC 与的夹角为︒30，5||=,则= ．（用和表示）8．过点0)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是_________．9．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线03:=++y ax l ，点)2,0(A ，若直线l 上存在点M ，满足22||||10MA MO +=，则实数a 的取值范围是__________．10．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ．11．已知向量a 、b ，满足||1a =， ()(2)0a b a b +⋅-=，则||b 的最小值为_________．12．在圆2225x y +=上有一点(4,3)P ，点,E F 是y 轴上两点，且满足||||PE PF =,直线PE ，PF 与圆交于,C D ，则直线CD 的斜率是________．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．“2=a ”是直线“02=-y ax 与直线01=+-y x 平行的( )A . 充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要 14．如果命题“坐标满足方程0),(=y x F 的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题正确的是 ( )A .坐标满足方程0),(=y x F 的点都不在曲线C 上；B .曲线C 上的点的坐标不都满足方程),(y x F =0;C .坐标满足方程0),(=y x F 的点，有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；D .至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足.0),(=y x F 15．直线023cos =++y x α的倾斜角的范围是 ( )A .]65,2()2,6[ππππB .),65[]6,0[πππC .]65,0[πD .]65,6[ππ16.已知C B A ,,为圆O 上三点，CO 的延长线与线段AB 的延长线交于圆O 外D 点。
若,OB n OA m OC +=则n m +在以下哪个范围内 ( ))1,0.(A )0,1.(-B )1,.(--∞C ),1.(+∞D三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。
已知(2,1),(1,3)a b ==-，向量满足：9,4-=⋅=⋅，求： （1）向量在向量上的投影； （2）向量的坐标.18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。
已知圆C 在x 轴上的截距为1-和3，在y 轴上的一个截距为1． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过原点且被圆C 截得的弦长最短时的直线l 的方程．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分。
设2阶方矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则矩阵A 所对应的矩阵变换为：''x a b x y c d y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其意义是把点(,)P x y 变换为点''(,)Q x y ，矩阵A 叫做变换矩阵。
（1）当变换矩阵11221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，点1(1,1)P -，2(3,1)P -经矩阵变换后得到点分别是1Q ，2Q ，求过点12,Q Q 的直线的点方向式方程.（2）当变换矩阵213 81A⎛⎫= ⎪-⎝⎭时，若直线上的任意点(,)P x y经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线方程.20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
设直线l为公海的分界线，一巡逻艇在A处发现了北偏东︒60的海面B处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，A与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”.21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第,3小题满分5分。
现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）。
在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。
在直角坐标平面内，我们定义()11,y x A 、()22,y x B 两点间的“直角距离”为：()2121y y x x D AB -+-=。
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点)3,3(),1,1(),3,1(C B A ，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；（3）设),(y x P ，集合B 表示的是所有满足1)(≤PO D 的点P 所组成的集合， 点集}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x A ，求集合}),(,),(,,|),{(22112121B y x A y x y y y x x x y x Q ∈∈+=+==所表示的区域的面积.金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期中考试参考答案（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1． 43-. 2．__6_． 3． 4． 2-=x 或01034=++y x ． 5．21． 6．54． 7．3353310+8．110≤≤-y ． 9．3-≤a _或3≥a ． 10．10)2()2(22=-+-y x ． 11．__21__．12．_34___．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．C 14． D 15． B 16. B三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。
解：（1.1010101||==b （2）设),(y xc =则⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒=+-=+239342y x y x y x ).2,3(-=∴c 18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。
解：（1）设(10)(30)(01)A B D -,,,,,， 则AB 中垂线为1x =，AD 中垂线为y x =-，∴圆心(,)C x y 满足1x y x =⎧⎨=-⎩,,∴(11)C -,，半径r CD ===∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=． （2）OC l ⊥时，截得的弦长最短， .0:=-y x l19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分。
解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''''''22122111y x y x y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒=+-=+111212''''''y x y x y x ∴点)1,1(1-Q .同理点).37,35(2-Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34,3221Q Q 直线21Q Q 的点方向式为341321-+=-y x ，即2111-+=-y x . （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''831831y x y x y x y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=25825383''''''y x y yx x y x y yx x .设0:1=++c by ax l （b a ,不全为0）0258253:2=+-++c yx b y x al 即 025)3()8(=+-++c y b a x b a 由题知1l 与2l 重合得08233822=--=-+=b ab a ba b a ba D ，b a 2=∴或b a 34-=0325=---=ba c bc D x ，得 0=c . 0258=-+-=cb a ca D y02=+∴by bx 或 0)34(=+-by x b即 02=+y x 或 034=-y x .20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
解：以A 为原点，以正东方向为x 轴，并以海里为单位建立直角坐标系，设)0(,2||>=t t AB ，则),3(t t B =（1） 设截获点为),(y x P ，则||2||PB PA =,即2222)()3(2t y t x y x -+-=+ 化简的.)34()34()334(222t t y t x =-+-截获点的轨迹是以)34,334(t t D 为圆心，t 34为半径的圆. （2） 设点),(y x Q 在圆D 内部，则222)34()34()334(t t y t x <-+-，化简的 2222)()3(2t y t x y x -+->+ 即 ||2||QB QA >.可截获区域为为领海上的圆D 外部，非截获区域为为领海上的圆D 内部。