2021学年新教材高中数学4.1.2指数幂及其运算课时分层作业含解析人教A版必修一
4.2指数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的概念【课程标准】1.了解指数函数的概念2.区分两类指数函数，了解不同点。
3.掌握指数函数的性质【知识要点归纳】1.指数函数的定义一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.2.指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：R 判断一个函数是指数函数的方法(1)形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)[跟踪训练] 1 （1）函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.（2）若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )A.(2)xB.2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫22x()()()()()()()2123231=________.x x f x a a a f x a a a f =-=-例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则例3.已知指数函数的图像过点（2,81），求这个函数的解析式指数函数图象问题(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.例2 (1) 函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.[跟踪训练] 2 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A.(－1,5)B.(－1,4)C.(0,4)D.(4,0) (2)函数y ＝2|x |的图象是( )【当堂检测】一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = ．当堂检测答案一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a【分析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的取值范围． 【解答】解：函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则210211a a ->⎧⎨-≠⎩，解得12a >且1a ≠；所以a 的取值范围是1{|2a a >且1}a ≠． 故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题． 2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴【分析】根据1()2()()2x x f x g x --===，即可得到结论．【解答】解：1()2()()2x x f x g x --===，∴函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于y 轴对称，故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【分析】令0x m +=求出x 的值和此时y 的值，从而求出函数的图象恒过定点坐标，即可求出m 的值．【解答】解：令0x m +=得：x m =-，此时012y a =+=， 所以函数的图象恒过定点(,2)m -， 即点(,2)P m -，所以1m -=-，即1m =， 故选：C ．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令指数整体为0是本题的解题关键，是基础题．4．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断a 、b 、c 的大小关系． 【解答】解：函数0.3x y =在R 上是减函数，0.60.5>， 0.50.60.30.3∴>，即b a >．又函数0.5y x ==(0,)+∞上是增函数，0.40.3>，0.50.50.40.3∴>，即c b >．综上，可得c b a >>， 故选：D ．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A 不是指数函数． 【解答】解：指数函数是形如(0x y a a =>且1)a ≠的函数，对于1:222x x A y +==⨯，系数不是1，所以不是指数函数； 对于1:3()3x x B y -==，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于:4x C y =，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于3:28x x D y ==，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 故选：A ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14【分析】由x y a =的单调性，可得其在0x =和1时，取得最值，列出方程求出a 的值．【解答】解：根据题意，由x y a =的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当0x =和1时，取得最值， 即013a a +=，可得01a =， 则12a =， 即2a =， 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及其图象的特殊点问题，是基础题目． 二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 (1,5) ． 【分析】令10x -=求出x 的值和此时y 的值，从而求出点P 的坐标． 【解答】解：令10x -=得：1x =，此时032325y a =+=+=，∴函数()f x 的图象恒过定点(1,5)，即点(1,5)P ， 故答案为：(1,5)．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a 的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】令幂指数等于0，求得x 、y 的值，可得点A 的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．【解答】解：对于函数23(0,1)x y a a a -=+>≠，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)A ，点A 在幂函数()y f x =的图象上，∴设()f x x α=，则有42α=，2α∴=，则2()f x x =， 故答案为：2x ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．。
2020_2021学年新教材高中数学4.1.2无理数指数幂及其运算性质课时素养评价(含解析)新人教A版必修第一册
无理数指数幂及其运算性质(15分钟30分)1.若3a·9b=，则下列等式正确的是( )A.a+b=-1B.a+b=1C.a+2b=-1D.a+2b=1【解析】选C.3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1，则a+2b=-1.2.已知a+=7，则+= ( )A.3B.9C.-3D.±3【解析】选A.由已知a+=7，可得a>0，+>0，所以+===3.【误区警示】本题容易出现忽视a>0，错选D的情况.3.已知a>0，则化为 ( )A. B. C. D.【解析】选B.原式====.4.计算××6=_______.【解析】原式=(22××(26==21=2.答案：25.已知x+x-1=3(x>0)，求+的值.【解析】因为x+x-1=3，所以x2+x-2=7，所以(+)2=x3+x-3+2=(x+x-1)(x2+x-2-1)+2=3×6+2=20，所以+=2.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为_______厘米. ( )A.2.56B.5.12C.10.24D.20.48【解析】选C.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为0.1×210=102.4(毫米)，约为10.24厘米.2.计算(n∈N*)的结果为( )A. B.22n+5C. D.【解析】选D.===.3.在算式2女+2排+2精+2神=60中，“女、排、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“排”字所对应的数字为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选A.由60=32+16+8+4=25+24+23+22，可得“排”字所对应的数字为4.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.已知a2+a-2=3，则a+a-1= ( )A. B.- C.1 D.-1【解析】选AB.因为a2+a-2=(a+a-1)2-2，所以(a+a-1)2-2=3，所以(a+a-1)2=5，所以a+a-1=±.三、填空题(每小题5分，共10分)5.某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过_____h.【解析】设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则2x=4 096，解得x=12，所以=3(h).答案：36.如果x=1+2b，y=1+2-b，那么用x表示y等于_______.【解析】由x=1+2b，得2b=x-1，y=1+2-b=1+=1+=.答案：四、解答题7.(10分)已知x=，y=，求-的值.【解析】-=-=.将x=，y=代入上式得：=-4.。
2021学年新教材高中数学4.2指数函数4.2.2第2课时指数函数的图象和性质二课时作业含解析人教A版必修一
第四章 4.2 4.2.2 第2课时A 组·素养自测一、选择题1. ⎝⎛⎭⎫1323 ，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系为( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1323 <⎝⎛⎭⎫13－2<34B ．⎝⎛⎭⎫1323 <34<⎝⎛⎭⎫13－2 C ．⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323 <34 D ．⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫1323[解析] 由34＝⎝⎛⎭⎫13－4，又y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为R 上的减函数， 所以⎝⎛⎭⎫1323 <⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫13－4.故选A ．2．已知f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( D ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0,1)[解析] 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x在R 上为单调函数，又－2>－3，f (－2)>f (－3)，所以f (x )为增函数，故有1a >1，所以0<a <1.故选D ．3．函数f (x )＝\S ]2x －2－x ,2\s 是( B ) A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B ．奇函数，在(0，＋∞)是增函数 C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数 [解析] 因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．又因为y ＝2x 是增函数，y ＝2－x 为减函数， 故f (x )＝2x －2－x2为增函数．故选B ．4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( B )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)[解析] 由题意，得2a ＋1>3－2a ， ∴4a >2，∴a >12，故选B ．5．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( A )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝(12)t ，函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝(12)1－x的递增区间，故选A ．6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋a 与y ＝a x 的图象大致是( B )[解析] B 项中，由y ＝a x 的图象，知a >1，故直线y ＝ax ＋a 与y 轴的交点应在(0,1)之上，与x 轴交于点(－1,0)，其余各选项均矛盾．二、填空题7．若函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫12，1，则函数f (2x)的定义域是__(－1,0)__. [解析] 由12<2x <1得－1<x <0.8．在函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，若x ∈[1,2]时最大值比最小值大a 2，则a 的值为__12或32__.[解析] 当a >1时，有a 2－a ＝a 2，∴a 2－32a ＝0，∴a ＝32.当0<a <1时，有a －a 2＝a 2，∴a 2－a2＝0，∴a ＝12.综上，a 的值为32或12.9．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为__－12__.[解析] 解法一：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即13－x ＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0， ∴2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x ＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.解法二：f (0)＝130＋1＋a ＝12＋a ，又f (0)＝0，∴a ＝－12.三、解答题10．比较下列各题中两个数的大小： (1)9.013.2,9.013.3； (2)9.01m,9.01－m (m ∈R )．[解析] 函数f (x )＝9.01x 是增函数， (1)∵3.2<3.3，∴9.013.2<9.013.3.(2)当m >－m 即m >0时，∴9.01m >9.01－m ； 当m ＝－m 即m ＝0时，∴9.01m ＝9.01－m ； 当m <－m 即m <0时，∴9.01m <9.01－m .综上所得，当m >0时，9.01m >9.01－m ；当m ＝0时，9.01m ＝9.01－m ；当m <0时，9.01m <9.01－m .11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17. (1)求此函数的定义域，值域； (2)确定函数的单调区间．[解析] (1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(12)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ，故函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域为R .因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，又函数y ＝(12)u 在R 上单调递减，所以(12)u ≤(12)8，又(12)u ＞0，故函数的值域为(0，1256]．(2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1＜x 2，有u 1＜u 2，从而(12)u 1＞(12)u 2，即y 1＞y 2，所以函数y ＝(12)x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12)x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．B 组·素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <4)f (x －1)(x ≥4)，则f (5)的值为( C )A ．32B ．16C ．8D ．64[解析] f (5)＝f (5－1)＝f (4)＝f (4－1)＝f (3)＝23＝8.2．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为函数y ＝0.8x 是R 上的单调递减函数， 所以a ＞b .又因为a ＝0.80.7＜0.80＝1，c ＝1.20.8＞1.20＝1， 所以c ＞a .故c ＞a ＞b . 3．(多选题)设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( AD )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－4)>f (3)[解析] 由f (2)＝a －2＝4得a ＝12，即f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，故f (－2)>f (－1)，f (2)>f (1)，f (－4)＝f (4)>f (3)，所以AD 正确．4．(多选题)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x2，则f (x )，g (x )满足( ABD )A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )B ．f (－2)<f (3)C ．f (x )－g (x )＝π－x D ．f (2x )＝2f (x )g (x )[解析] A 正确，f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝π－x ＋πx2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )；B 正确，因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)<f (3)；C 不正确，f (x )－g (x )＝πx －π－x 2－πx ＋π－x 2＝－2π－x2＝－π－x ；D 正确，f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x2＝2f (x )g (x )．二、填空题5．已知2x ≤(14)x －3，则函数y ＝(12)x 的值域为__[14，＋∞)__.[解析] 由2x ≤(14)x －3，得2x ≤2－2x ＋6，∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝14，即y ＝(12)x 的值域为[14，＋∞)．6．(2019·重庆第二外国语学校高一月考)若不等式(14)a 2－8>4－2a 成立，则实数a 的取值范围为__－2<a <4__.[解析] 因为指数函数f (x )＝(14)x 为单调递减函数，且(14)a 2－8>4－2a ，即(14)a 2－8>(14)2a ，所以a 2－8<2a ，即a 2－2a －8<0，解得－2<a <4，故实数a 的取值范围是－2<a <4.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为__[－14，14]__.[解析] 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，所以0<t ≤1，y ＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14，所以0≤y ≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]．因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，f (x )∈[－14，0)，故函数f (x )的值域是[－14，14]．三、解答题8．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． [解析] 函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.9．已知函数f (x )＝2x ＋ab ·2x ＋1是定义域为R 的奇函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[－2,2]使不等式f (m ·4x )＋f (1－2x ＋1)≥0成立，求m 的最小值． [解析] (1)∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1， 又f (－x )＝－f (x )，∴2－x －1b ·2－x ＋1＝－2x －1b ·2x ＋1， 即1－2x b ＋2x ＝－2x －1b ·2x ＋1，∴b ＝1，∴f (x )＝2x －12x ＋1. (2)∵f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )在[－2,2]上单调递增．由f (m ·4x )≥－f (1－2x ＋1)＝f (2x ＋1－1)在[－2,2]上成立，可得m ·4x ≥2x ＋1－1在[－2,2]上有解，分离参数得m ≥2x ＋1－14x＝2·12x －14x 有解， 设t ＝12x ，t ∈[14，4]，则m ≥－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1有解，∴m ≥－8，故m 的最小值为－8.。
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人教A版)课时练习 4.1 指数(含解析)
[
1．将 化为分数指数幂，其形式是()
A．2 B．－2
C．2 D．－2
2．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
3．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
4. － ＋ 的值为________．
5．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则 α＋β＝________________.
答案：A
3．解析：( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a × ·a × ＝a4.
答案：C
4．解析：原式＝ － ＋
＝ － ＋ ＝ .
答案：
5．解析：由根与系数关系得α＋β＝－ ，所以 α＋β＝ － ＝(2－2)－ ＝23＝8.
答案：8
6．解析：(1)原式＝(xy2·x y－ ) ·(x y )·(xy)－1＝x ＋ －1·y ＋ －1＝1.
9．已知a ＋a ＝ ，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.
[
10．已知ax3＝by3＝cz3，且 ＋ ＋ ＝1，求证：(ax2＋by2＋cz2) ＝a ＋b ＋c .
课时作业
1．解析： ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
答案：B
2．解析：依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
所以a4m＋n＝a4m·an＝(22)4×2－6＝22＝4.
答案：4
9．解析：(1)将a ＋a－ ＝ 两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
2021年高中数学必修第一册4.1.2《无理指数幂及其运算》同步课件（含答案）
2021年高中数学必修第一册4.1.2《无理指数幂及其运算》同步课件（含答案）1、人教2021A版必修第一册第四章指数函数与对数函数n1.理解分数指数幂的概念，把握分数指数幂的运算法则，会依据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；2.了解可以由有理数指数幂无限靠近无理数指数幂。
3.体会指数幂的运算法则有有理数的范围推广到实数的范围。
学习目标n温故知新nn 小试牛刀nnnn无理数指数幂无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂观看下表：的是否表示一个确定的实数？无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无2、理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．探究新知n的过剩近似值的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872 621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.738518332 1.414213579.7385178621.4142135639.738517752……n的近似值的缺乏近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.3、41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421 359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……n由上可以看出：可以由的缺乏近似值和过剩近似值进行无限靠近。
2.指数幂的运算法则是：指数幂的运算法则n典例解析nn归纳总结n跟踪训练n例2、化简求值：典例解析nn归纳总结n跟踪训练n典例解析nn 母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．n归纳总结n当堂达标nn 4、nn2021/12/131.分数指数概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)2.指数幂运算性质(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.课堂小结。
新教材高中数学人教版必修一 精品 无理数指数幂及其运算性质 分层作业
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 分层作业【基础达标】1. 若a 14 (a －2)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ＝2C ．a ≠2D ．a ≥0且a ≠2【答案】D .解析：要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a －2≠0，∴a ≥0且a ≠2. 2.计算233a a a πππ-的值（ ）A ．1B ．0C ．aD ．不存在【答案】A 解析：20331a a a a πππ-==3.比较π的大小 （ ）A．2π>> B．2π>>C．2π<< D．2π<<【答案】C解析： 3.32≈， 4.73≈，28.82π≈所以2π<<4.设a √2+a -√2=3(a >0),则a √244(a √24)2等于( B )(A )7 (B )√5 (C )5 (D )45【答案】B解析:由a √2+a -√2=3,得a √244(a √24)2=(a √24)2+(a √24)-2=a √22+a -√22= √(a √22+a -√22)2=√a √2+a -√2+2=√5.5.计算(33= .【答案】.116.解析：原式=3)792144416--=== 6．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．【答案】14215 解析: 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15. 则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215. 7. 614－3338＋30.125的值为________． 【答案】：32解析：原式＝⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123 ＝52－32＋12＝32. 【综合提升】8. (1) 求值:80.25×√24+(√23×√3)6-√(58) 23+1.6-13×(-1413)0; (2) 已知10m =2,10n =3,求103m -2n 2的值. 【答案】1102√23 解析:(1)原式=234×214+4×27-(58) 13+(58) 13×1=2+108=110.(2)103m -2n2=103m 2-n =103m 2÷10n =(10m )32÷10n =232÷3=2√23. 9. 已知a =19,b =9. 求:(1)√a 72√a -33÷√√a -83·√a 153; (2)a -1+b -1(ab )-1.【答案】3829 解:(1)√a 72√a -33÷√√a -83·√a 153 =√a 72·a -323÷√a -83·a 153 =a 23÷a 76=a -12,因为a =19,所以a -12=(19) -12=3.(2)原式可化简为a -1+b -1(ab )-1=1a +1b 1ab =a+b ab 1ab =a +b . 因为a =19,b =9, 所以a +b =829. 【拓展探索】10．已知a 12＋a 12-＝5，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.解析：(1)将a12＋a 12-＝5两边平方， 得a ＋a －1＋2＝5，则a ＋a －1＝3.(2)由a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方， 得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，所以y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.11.若x ,y 是方程t 2-12t +9=0(x <y )的两根,求x 12-y 12x 12+y 12+x -1+y -1的值. 解析:因为x ,y 是方程t 2-12t +9=0的两根, 所以x +y =12,xy =9.x 12-y 12x 12+y 12=√x -√y √x+√y=(x+y )-2√xy x -y , x -1+y -1=1x +1y=x+y xy ,(x -y )2=x 2-2xy +y 2=(x +y )2-4xy=144-4×9=108. 因为x <y , 所以x -y =-6√3. 所以x 12-y 12x 12+y 12+1x +1y =-6√3+129 =-√33+43 =4-√33.。
新教材2021-2022学年湘教版必修第一册 4.1.2 无理数指数幂 作业
解析：选D ＝ ＝ ＝ ＝a2.
3．假设a＋b＝m ，ab＝ m (m>0)，那么a3＋b3＝()
A．0B．
C．－ D．
解析：选Ba3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝m · ＝ m.
4．f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，假设f(－1)＝ ，那么a等于(：选A∵f(－1)＝ ，∴f(1)＝－f(－1)＝－ ，即21＋a－1＝－ ，即1＋a＝－2，得a＝－3.
5．假设a>0，b>0，那么化简 的结果为________．
解析： ＝ ＝ ＝1.
答案：1
6．假设10x＝3 ，10y＝ ，那么102x－y＝________．
课时跟踪检测(二十三) 无理数指数幂
[A级 根底稳固]
1．设a －a ＝m，那么 等于()
A．m2－2B．2－m2
C．m2＋2D．m2
解析：选C将a －a ＝m两边平方，得 ＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋ ＝m2＋2，所以 ＝m2＋2.
2. 等于()
A．a16B．a8
答案：4
10．a>1，h>0，对任意的实数u，求证au＋h－au＋2h<au－au＋h.
证明：∵au＋h，au＋2h，au，都是正数，且a>1，
故 ＝ah>1，
∴ ＝ ＝ ＝ah>1，
又∵au＋h－au＋2h<0，au－au＋h<0，
∴au＋h－au＋2h<au－au＋h.
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
[B级 综合运用]
9．a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，那么a4m＋n的值为________．
2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.1第2课时指数幂及运算》(含答案详解)
2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.1第2课时指数幂及运算》(含答案详解)1、第2课时指数幂及运算学习目标核心素养1.理解分数指数幂的含义，把握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．把握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培育规律推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培育数学运算素养.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－＝＝(a0，m，n∈N*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思索：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必需规定a0?提示：①若a＝0,0的正分数指2、数幂恒等于0，即＝a＝0，无讨论价值．②若a0，a＝不肯定成立，如(－2)＝无意义，故为了避开上述状况规定了a0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．7n有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．以下运算结果中，正确的选项是( )A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(－1)0＝1D．(－a2)3＝a6A [a2a3＝a23、＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，应选A.]2．4等于( )A．25 B. C.D.B [4＝＝，应选B.]3．已知a0，则a等于( )A. B.C. D．－B [a＝＝.]4．(m)4＋(－1)0＝________.m2＋1 [(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂的互化【例1】将以下根式化成分数指数幂的形式：(1)(a0)；(2)；7n(3)(b0)．[解] (1)原式＝＝＝＝a.(2)原式＝＝＝＝＝＝x.(3)原式＝＝b＝b.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分4、母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将以下根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·；(2)(a0，b0)．[解] (1)a3·＝a3·a＝a＝a.(2)＝＝＝＝ab.利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】化简求值：7n指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提示：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有5、负指数.2．(1)计算：0＋2－2×－(0.01)0.5；(2)化简：÷÷(a0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]7n1.2和2存在怎样的等量关系？提示：2＝2＋4.2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.【例3】已知a＋a＝4，求以下各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[思路点拨] [解] (1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．6、[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要留意完全平方公式的应用.7n1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较冗杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求7、解的“利器”．1．思索辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( )(2)5＝.( )(3)分数指数幂与根式可以互相转化，如＝a.()(4)a可以理解为个 a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式a化成分数指数幂是( )A．(－a) B．－(－a)C．－aD．aD [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]3．已知x＋x＝5，则的值为( )A．5B．23C．25D．27B [∵x ＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]7n7。
2021_2022学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课时作业(含解析)新人教A版必
4.1 指数一、选择题1．将3－22化为分数指数幂，其形式是( )A ．212B ．－212C ．212-D ．－212-解析： 3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.答案：B2．假设a14(a －2)0有意义，那么a 的取值范围是( )A ．a ≥0 B．a ＝2 C ．a ≠2 D．a ≥0且a ≠2解析：要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a －2≠0，∴a ≥0且a ≠2. 答案：D 3．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－x D.－x 解析：依题意知x <0，所以－x3x＝－－x3x 2＝－－x .答案：A4．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：(36a 9)4·(63a 9)4＝(6a 9)43·(3a 9)46＝(a 96)43·(a 93)23＝a 9463⨯·a9233⨯＝a 4.答案：C 二、填空题 5.614－3338＋30.125的值为________． 解析：原式＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫522－ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝52－32＋12＝32.答案：326．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β＝____________________. 解析：由根与系数关系得α＋β＝－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1432-＝(2－2) 32-＝23＝8.答案：87．假设 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，那么(x 2021)y＝________.解析：∵x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0， ∴(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0， ∴x ＝－1，y ＝－3. ∴(x2021)y＝[(－1)2021]－3＝(－1)－3＝－1.答案：－1三、解答题8．用分数指数幂的形式表示以下各式(a >0，b >0)： (1)a2a ； (2)3a 2·a 3；(3)(3a )2·ab 3； (4)a 26a 5.解析：(1)原式＝a 2a12＝a12+2＝a52.(2)原式＝a 23·a 32＝a 2332+＝a136. (3)原式＝(a13)2·(ab 3)12＝a 23·a 12b 32＝a 2132+b32＝a76b32.(4)原式＝a 2·a5-6＝a52-6＝a76.9．计算以下各式：13-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－570＋[(－2)3]43-＋16； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫94 12－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－27823-＋(－1.5)－2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 23-12-－10(5－2)－1＋(5－2)0.－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32212－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－32323-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝12.(3)原式＝(－1) 23-·⎝ ⎛⎭⎪⎫33823-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150012-－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.[尖子生题库]10．a 12＋a12-＝5，求以下各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.解析：(1)将a 12＋a12-＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，那么a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，那么a2＋a－2＝7.(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.。
[人教版]2021高中数学 课时分层作业4 排列的综合应用 新人教A版
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[人教版]2021高中数学课时分层作业4 排列的综合应用新人教A版※ 精品※ 试卷※课时分层作业(四) 排列的综合应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )A．6种 C．18种1B．9种 D．24种3C [先排体育有A3种，再排其他的三科有A3种，共有3×6＝18(种)．] 2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )【导学号：95032039】A．720 C．240B．360 D．1205C [因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A5种排法，但甲、乙两人之间有A2种排法．由分步乘法计数原理知，共有A5A2＝240种不同的排法．]3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A．36 C．40B．30 D．6012522A [奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有A3种，十位数字和百位数字的排法种数有A4种，故奇数有A3・A4＝3×4×3＝36个．]4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为( )【导学号：95032040】A．6 C．24512B．84 D．4823523B [5人全排列有A5种，甲，乙都不在两端的排法有A3A3种，共有A5－A3A3＝84种不同的排法．]5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a －lgb的不同值的个数是( )A．9 C．18B．10 D．202C [从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A5＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]二、填空题6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)※ 推荐※ 下载※※ 精品※ 试卷※【导学号：95032041】36 [分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有A3A4A3＝36种选法．]7．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．18 [若得到二次函数，则a≠0，a有A3种选择，故二次函数有A3A3＝3×3×2＝18(个)．] 8．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个.【导学号：95032042】448 [千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)，…，(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制，所以共有8A8＝448个．]三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A5种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A6种排法，故共有不同排法A5A6＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A8种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A5A4种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A8－A5A4＝37 440种．10．用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数； (3)能组成多少个比1 325大的四位数.【导学号：95032043】[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个数时有A5个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A4种，十位和百位从余下的数字中选，有A4种，于是有A4・A4个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A4・A4个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数A5＋A4・A4＋A4・A4＝156(个)．(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A5个；个位数上的数字是5的五位数有A4・A4个．故满足条件的五位数的个数共有A5＋A4・A4＝216(个)． (3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2 第二类：形如14※ 推荐※ 下载※413134312121212123844448626221122111，3 ，412，5 的数，共A4・A5个；13，15 ，共A2・A4个；※ 精品※ 试卷※第三类：形如134 ，135 ，共A2・A3个．由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A4・A5＋A2・A4＋A2・A3＝270(个)．[能力提升练]一、选择题1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )A．30 C．60B．48 D．9613121111B [“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A3；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A3×2×2×2＝48个不同的三位数．]2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( ) A．180 C．360633B．240 D．4803D [不同的排法种数先全排列有A6，甲、乙、丙的顺序有A3，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲A6乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×3＝480种．]A3二、填空题3．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________.【导学号：95032044】36 [将3,4两个数全排列，有A2种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A3种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A2・A3种方法，故满足题意的数的个数为A2(A3＋A2・A3)＝36.]4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．36 [先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A4种摆法，而A，B可交换位置，所以有2A4＝48种摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A3＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种．]三、解答题5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)女生互不相邻.【导学号：95032045】[解] (1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A8种，故共有6・A8＝241 920(种)排法．法二：位置分析法．中间和两端有A8种排法，包括甲在内的其余6人有A6种排法，故共有A8・A6＝336×720＝241 920(种)排法．※ 推荐※ 下载※36368834422322236※ 精品※ 试卷※法三：等机会法.9个人全排列有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端69的排法总数是A9×＝241 920(种)．9法四：间接法．A9－3・A8＝6A8＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人．共有A2・A7＝10 080(种)排法．(3)插空法．先排4名男生有A4种方法，再将5名女生插空，有A5种方法，故共有A4・A5＝2 880(种)排法．4545279899※ 推荐※ 下载※感谢您的阅读，祝您生活愉快。