2011届高三数学数列的极限

1 【思路点拨】 (1)利用 lin m∞ n＝0 求解． (2)根据 a 与 2 的大小关系进行讨论． (1＋a)n＋1 【自主解答】 (1)∵lin m∞ ＝ n＋a 1 1＋a＋n lin m∞ a 1＋ n ＝1＋a＝2， ∴a＝1.
【答案】
1
2n＋2n 2 (2)①当 a＝2 时，原式＝lin m∞ n ＋ ＝ . 2 ＋2n 1 3 an ( ) ＋1 0＋1 2 1 ②当 0＜a＜2 时，原式＝lin m∞ a ＝ ＝ . 2 0 ＋ 2 n ( ) ＋2 2 ③当 a＞2 时， 2n 1＋(a) 1＋0 原式＝lin m∞ ＝ ＝1. 2 n 1＋0 1＋2×(a)
)
• 【答案】 C
3．把 1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋„＋(1＋x)n 展 开成关于 x 的多项式，其各项系数为 an， 2an－1 则 li m 等于( ) a ＋ 1 n n→∞ 1 1 A. B. 4 2 C． 1 D．2
【解析】 令 x＝1 得 an＝1＋2＋22＋„＋ n 2(1 － 2 ) n 2 ＝ 1＋ ＝2n＋1－1. 1－2 ＋ 2an－1 2· 2n 1 － 2－ 1 3 ∴ ＝ n＋1 ＝2－ n＋1， an＋1 2 －1＋1 2 2an－1 ∴li m ＝2. n→∞ an＋1
n→∞
3．数列极限的三个基本极限 1 0 (1)li m ＝___. n→∞ n (2)li m c＝___ c (c 是常数)．
0 (|q|<1)． (3)li m qn＝___
n→∞
n→∞
1．若 li m
n→∞
1－a n ＝0，则 a
a 的取值范围是
(
) B．a<1 D．a＝1
(2)li m
n→∞
1 1 1 1 ； ＋ ＋ ＋„＋ (3n－1)(3n＋2) 2×5 5×8 8×11 1 1 1 1－ 21－ 2„1－ 2； 2 3 n
(3)li m
n→∞
(－2)n＋3n (4)li m n＋1 n＋1； (－2) ＋3 n→∞ (5)li m ( n2＋2n－n)．
＝________.
【解析】 原式 4 4 4 6 6 6 ＋ ＋ „ ＋ ＋ ＋ „ ＋ － 2 n 2 n 5 5 5 7 7 7 ＝li m 5 5 4 4 4 n→∞ 5 6＋62＋„＋6n －5＋52＋„＋5n
1 1 － n＋ n 5 7 ＝li m 1 1 n→∞ － n＋ n 6 5 5 n －1＋ 7 ＝li m ＝－1. 5 n n→∞ － 6 ＋1
• 【答案】 － 1
常见数列极限的求法 求下列极限： 3 n － 2 1 4 ＋ ＋„＋ (1)li m ； n ( n ＋ 1) n ( n ＋ 1) n ( n ＋ 1) n→∞
1 1 n － 1 － 3 3 (2)原式＝li m 1 n→∞ 1－－ 3 1 1 n － ＝li m 1－ 3 4 →∞ n 1 1 ＝ (1－0)＝ . 4 4
2n (3)原式＝li m 2 2 n ＋ n ＋ n －n →∞ n 2 ＝li m 1 1 n→∞ 1＋ ＋ 1－ n n 2 ＝ ＝1. 1＋ 1
a和b
的值； 3n 1 (2)已知 li m n＋1 n＝ ，求 a 的取 ＋(a＋1) 3 n→∞ 3 值范围．
【思路点拨】 (1)通分转化为分式型由极 限列方程组求 a，b. (2)指数型求极限分子分母同除以 3n 建立不 等式求 a 的范围．
n2＋1 【 解 析 】 (1)∵ － an － b ＝ n＋1 n2＋1－an2－an－bn－b n＋1 (1－a)n2－(a＋b)n＋(1－b) ＝ ， n＋1 n2＋1 －an－b ＝ 0 ， 得 由 已 知 li m n ＋ 1 n→∞
• 【答案】 D
4．设等差数列{an}的公差 d 是 2，前 n 项 2 a2 － n n 的和为 Sn，则 li m ＝________. S n n→∞ຫໍສະໝຸດ 【 解 析 】li m
n→∞
2 a2 － n n Sn ＝ li nm →∞
(2n＋a1－2)2－n2 na1＋n(n－1) 3n2＋4(a1－2)n＋(a1－2)2 ＝li m ＝3. 2 n ＋ ( a － 1) n 1 n→∞
1－a＝0 a＋b＝0
，
即 a＝1，b＝－1.
3n (2)∵li m n＋1 n ＝ li m 3 ＋ ( a ＋ 1) n→∞ n→∞ 1 ＝ ， 3
1 a＋1 n 3＋ 3
a＋1 n li m ＝0， n→∞ 3 a＋1 ∴ <1. 3
∴－4<a<2.
求待定系数的逆向极限问题， 一般都是从求极限入手，建立关于 a、b 的 代数方程组或不等式求解．
2．已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 a 1 1 n q，且有 li m 1＋q－q ＝ ，求首项 a1 的 2 n→∞ 取值范围．
【解析】
li m
③当|a|>2，即 a<－2 或 a>2 时， 2 n 1＋ a 1＋0 1 原式＝li m 2 ＝a＋4×0＝a. n n→∞ a＋4× a
已知数列的极限，求表达式中参数的取值范围
(1)若 li m
n→∞
n2＋1 － an － b 求 ＝0， n＋1
n→∞ an＝a(当 n→∞时 an→a)． 极限， 记作______
li m
2．极限的四则运算法则 如果 li m an＝a，li m bn＝b，那么
n→∞ n→∞
a± b ； li m (an± bn)＝_____
n→∞ n→∞
a· b ； li m (an· bn)＝_____
an a li m ＝ (b≠0)． b b n n→∞ 特别地，如果 c 是常数，那么 c· a li m (c· an)＝_____.
1－a 1－a 2 <1 ⇔ <1，解得 a a
1 A．|a|< 2 1 C． a> 2
【解析】
1 a> . 2
• 【答案】 C
1＋2＋3＋„＋n 2．li m 等于( 2 n n→∞ A．2 B．1 1 C. D．0 2 n(n＋1) 1 【解析】 li m ＝ . 2 2 n→∞ n ×2
• 【答案】 3
5．li m
n→∞
4 6 4 4 6 6 5－7＋52－72 ＋„＋5n－7n 5 4 5 5 4 4 － － － ＋ ＋„＋ 2 2 n n 6 5 6 6 5 5
n→∞
a 1 1 n n － q ＝ ， ∴ li m q 1＋q 2 n→∞
n－1 n＋1 1 3 2 4 3 ＝ × × × × ×„× n × n ＝ 2 2 3 3 4 n＋1 2n n＋1 1 ∴原式＝li m ＝ . 2n 2 n→∞ 2 n － 3 ＋1 1 (4)原式＝li m ＝ . 2 3 n n→∞ (－2)－ ＋3 3
• (2)指数型：分子、分母同除以绝对 值最大的底数的n次方； • (3)无理型：分子(分母)有理化； • (4)求和(积)型：先求和(积)，再求 极限．
[教师选讲]计算下列极限： 3 n － 2 1 4 7 ＋ ＋ ＋„＋ (1)li m 2 2 2 2 ； n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 n→∞ 1 1 1 n－1 1 (2)li m 3－9＋27＋„＋(－1) 3n； n→∞
(5)∵ n2＋2n－n ( n2＋2n－n)( n2＋2n＋n) ＝ n2＋2n＋n 2n 2 ＝ 2 ＝ 2 n ＋2n＋n 1＋ ＋ 1 n 2 ∴原式＝li m ＝1. 2 n→∞ 1＋n＋1
1.常用极限： li m C＝ C；
n→∞
1 li m k＝0(k>0)；|q|<1 时，li m qn＝0. n→∞ n n→∞ 2．求极限的常用方法和技巧： (1)分式型：分子、分母同除以 n 的最高次 项；
(3)li m
n→∞

n ＋n－ n －n ； 3n－2＋3 . n＋1－2
2
2

(4)li m
n→∞
1 n(3n－1) 2 【解析】 (1)原式＝li m 2 n ＋1 n→∞ 3n2－n ＝li m 2 2( n ＋1) n→∞ 1 3－n 3 ＝li m ＝ . 2 2 n→∞ 2＋ 2 n
【解析】 ①当 a＝2 时， 2n＋2n 1 1 原式＝li m n＋1 ＝ . n＋2＝li m 3 3 2 ＋ 2 n→∞ n→∞ ②当|a|<2，即－2<a<2 时， a n 2 ＋1 0＋1 1 原式＝li m ＝ ＝ . a 4 a × 0 ＋ 4 n n→∞ a· 2 ＋4
• 第二节 数列的极 限
考 1.了解数列极限的概念． 纲 2.掌握极限的四则运算法则， 点 会求某些数列的极限． 击 热 常见数列极限的求法是高考 点 常考的内容之一，一般以选 提 择或填空的形式出现. 示
1．定义 如果当项数 n 无限增大时，无穷数列{an} 常数 a(即|an－ 的项 an 无限地趋近于某个______ a|无限趋近于 0)，那么就说 a 是数列{an}的
高考对数列极限考查的落脚点 是求数列的极限．求数列的极限一般是运 用极限的四则运 算 法则，将数列转 化 为 1 lin m∞ n＝0 或 lin m∞qn＝0(|q|＜1)的形 式，这也是求解含参数的极限问题的基本 思路．
求含参数的极限问题，有时需 要对参数进行分类讨论．