2008级复变函数试题A
安徽大学2008-2009学年第二学期复变函数试卷(A卷)
08-09一、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分）1、方程1z e -=的解为 。
2、01lim ()2z z zi z z →-= 。
3、设3223,()(3)(3)z x yi f z x xy x y y i =+=-+-，则()f z '＝ 。
4、集合{}:01D z C z i =∈<-<是 区域（开、闭；单、复连通；有界、无界）。
5、幂级数0!n n z n ∞=∑的收敛半径为 。
6、设C 是绕1一周的周线，则3cos (1)C zdz z -⎰= 。
二、计算题（本题共6小题，每小题10分，共60分）7、按照教材中的规定，半径为1的球与复平面（z 平面）的原点O 相切，通过O 点作一垂直于z 平面的直线与球面交于点N （称为北极）。
现在用直线段将N 与z 平面上一点z 相连，此线段交球面于一点P(z)，这样就建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应。
试求解下列问题。
（1）复球面上点(,1)22与哪个复数对应？（2）复数1+i 与复球面上的那个点对应？（3）您如何定义扩充复平面的？8、设()w z =0z =起沿负实轴割破了的z 平面上并且()w i i =-，试求()w i -之值。
9、函数()()()112f z z z =--在z 平面内只有两个奇点z=1及z=2。
试分别求()f z 在此两点的去心邻域内的洛朗展式。
10、设1()1z f z e =+，求()f z 的奇点，并指出奇点的类型。
11、设n 为整数，a 为任意一个有限的复数，试求积分()n C dzz a -⎰的值，其中（1）C 为以a 为中心，以ρ为半径的圆周；（2）C 为任意简单光滑闭曲线，a 为C 之内部一点。
12、验证(,)arctan(0)y v x y x x =>在右半z 平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数()f z 。
三、判断分析题（要求写出充分的理由。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题
2008－2009第二学期复变函数期末考试试题一 填空题（每小题4分）1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点（ ）等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2．若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于（ ） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π 3．函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 44．0=z 是函数3sin zz 的（ ） A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5．设()z Q 在点0=z 处解析，()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于（ ）A.()0Q B ．()0Q - C ．()0Q ' D ．()0Q '- 二 填空题（每小题4分）1 设()1001i z +=，则z Im ＝___________。
2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，y y x v =),(，则_______)(='z f 。
3 ()i Ln 43--的实部是 ，虚部是 。
4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。
5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。
三 完成下列各题（每题10分）（1）试证：当0→z 时，()zz z f Re =的极限不存在。
云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案
云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院 物电 班级__06 __专业 电子类 学号__ __姓名__ ___考试方式：闭卷 考试时间：120 分钟 试卷编号：A 卷 题号一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人一．单项选择题（本大题共5题，每题2分，共10分）请在每小题的括号中填上正确的答案。
选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数，则常数=a （ ）A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=，则=-'),1(i f （ ）A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ，则积分⎰-C a z dz 22=（ ） A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（ ） A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.23 B.1C.2D.3 得分 评卷人二、填空题（本大题共10个题，每题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确的答案。
填错、不填均无分。
1、FT 解决的问题主要是： _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为：____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。
《复变函数》试卷A
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 2008《复变函数-A 》试卷 1. 考前请将密封线内填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷； 本试卷共 8大题，满分100分， 考试时间120分钟。
，填空题。
(每题5分，合计30分) （1）方程02=+z e 的所有解为 ___________________________ （2）设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内任意一条简单正向 闭曲线，0z C ∈的内部，则积分20080()_____________()C f z dz z z =-⎰ （3）设241()z e f z z -=，则)(z f 在00z =处的留数为______________ 4）设21()4f z z z =-，则)(z f 在04z <<内的洛朗展式为_______________________5）若()f z u iv =+解析，且0000,'()0z x iy f z =+≠，则曲线00(,)(,)x y u x y = 和00(,)(,)v x y v x y =在交点000z x iy =+的夹角为_______________________ 6）设()cos f z z z =，计算积分0()i f z dz ⎰的值为_______________________ ，计算题，(每题5分，合计30分)。
1）计算 2i 和的值 2）求解方程0chz = 3）计算积分 2213,:(1)(4)2C dz C z z z =++⎰正向 4）求复数幂级数n n n z i ∑∞=+0)1( 的收敛半径 5）讨论函数)Re()(z z z f =的连续性，并用导数定义讨论其可导性。
(6) 设ζζζζd z z f C⎰-+-=12)(2,其中曲线C 为2=ζ的正向,求(1).f 3， (每题5分，合计10分) 设函数541)(z z z f += (1) 求)(z f 在复平面上的所有孤立奇点；(2) 计算积分⎰Cdz z f )(，其中曲线C 为2||=z 的正向。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷Q(z) f(z)=复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i,)1(1Re 221 （3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷答案
1 华东理工大学2008–2009学年第 二 学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷 答案 A 2009.6一、填空题(每小题4分，共36分) 1. 1 2.62(arctan 10π-i e 或)835arctan(10-i e 3. 122π+i (k ) 4 2i π 5. 0. 6. Re((),0)f z =17. iz i z i +- 8. t 0cos ω 9. )1(11)( 2--=s s s F 二、单项选择题 (每小题4分，共20分) C A A D C三、（8分）已知23(,)3u x y xy x =-+为调和函数，求满足(0)f C =的解析函数？ 解：由C-R 条件，知 2233x y xu y v +-=∂∂=∂∂----------------------------------------------------------2分 )(323x g y x y dy yv v ++-=∂∂=⎰-------------------------------------------------2分 xy yu x g xy x v 6)(6=∂∂-='+=∂∂-------------------------------------------------2分 知1)(C x g =所以=+=iv u z f )()3(313232C y y x i x xy +-++---------------------------------------1分 将(0)f C =代入上式得iC C -=1故)3(3)(3232y y x i C x xy z f -+++-=C z +=3 -----------------------------------1分 注：没写出C z +=3不扣分2 四、(共8分)沿指定曲线C 计算积分⎰++C z z dz )4)(1(22的值，其中23:=z C 为正向. 解： ⎰++C z z dz )4)(1(22 =⎰=-++2322)4)(1(i z z z dz +⎰=+++2322)4)(1(i z z z dz ---------------------------------3分 =()⎰=--++232)()4(1i z dz i z z i z +()⎰=+++-232)()4(1i z dz i z z i z ---------------------------2分 =i z z i z i =++)4)((122π+i z z i z i -=+-)4)((122π-------------------------------------2分=0 1分本题多数同学可能会用留数计算：解法二： 函数)4)(1()(22++=z z dz z f 在23<z 内有以积极点i z ±= 2分 由留数定理⎰++C z z dz )4)(1(22]),([Re ]),([{Re i 2i z f s i z f s -+=π 3分])4)((1lim )4)((1lim [222+-+++=-→→z i z z i z i i z i z π 2分 0= 1分 注：本题计算出极点的留数每个给1分五、（8分）求函数3sin )(zz z z f -=在∞<<z 0内的洛朗展式，并判断函数的孤立奇点的类型? 解：3sin )(z z z z f -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-z z z z z z )!7!5!3(17533 ------------------------------------3分3 = +-+-!7!5!3142z z ---------------------------------------------------------------------------3分 由孤立奇点定义知：0=z 为可去奇点；∞=z 为本性奇点。
复变函数考试试卷(A)及答案
第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三．(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案 (2)
全国2008年7月复变函数与积分变换真题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1．设z=i +-11，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i --C ．21i - D ．21i +2．下列集合为有界闭区域的是（ ）A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ．1≤i z -≤43．Ln(-4+3i)的主值是（ ） A ．ln5+i(-π-arctg 34) B ．ln5+i(π-arctg 34)C ．ln5+i(-π-arctg 43) D ．ln5+i(π-arctg 43)4．正弦函数sinz=（ ）A ．i e e iziz 2--B ．2iz iz e e --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iz iz e e -+ 5．复积分⎰i iz dz e 0的值是（ ）A ．-（1-e-1）iB ．e-1iC ．（1-e-1）iD ．-e-1i6．复积分⎰=---21i z zi z e dz 的值是（ ） A ．ei B ．e-I C ．2πiei D ．2πie-i7．z=0是函数2zcos 1z -的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一阶极点 D ．二阶极点8．Res []1,ctg z π=（ ）A ．-π1B ．π1C ．-2iD ．2i9．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（ ）A ．-3π<ϕ<0B ．-3π<ϕ<0C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π10．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换[])(t f 为（ ） A ．2ω-e B ．22ω-e C ．22ωe D ．2ωe二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分11.复数1-3i 的三角表达式是_________________.12.tgz 的所有零点为_________________.13．⎰=-13cos i z z zdz e =______________.14．幂级数∑∞-12n nn nz 的收敛半径是____________.15．设n z z f n n n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________. 16．分式线性映射i z iz +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．18．（本题6分）已知z ≠时22y x y x +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示成z 的函数形式． 19．（本题6分）计算积分I=dz ix y x c ⎰+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22．（本题7分）计算积分I=dz z z c ⎰+-)1()1(122，其中C 为正向圆周x2+y2-2x=0. 23．（本题7分）利用留数计算积分I=⎰-c zdz z e 22)1(，其中C 为正向圆周z =2． 24．（本题7分）将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
2008-2009复变函数第二学期A
《复变函数与积分变换》试卷（A ） 第1页（共2页）河南理工大学万方科技学院 2008—2009 学年第 2 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80 %一、填空：（每空3分，共30分）1、5)i =_______________2、1i i ⎛⎫⎪⎝⎭--arg =_____________________3、函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析区域为________________4、2||124z dzz z =++⎰ = 5、把函数311z +展开成z 的幂级数 6、0z =是31z e z-的 级极点7、2Re [,1]1zzes z -= 8、()F f t ⎡⎤=⎣⎦______________________9、atL e ⎡⎤⎣⎦= ，1L ⎡⎤⎣⎦=_________________二、选择：(每题4分，共20分)1、0=z 是函数()f z =ze 1的哪种奇点 （ ）A ．可去奇点B ．极点C ．本性奇点D ．非孤立奇点 2、幂级数1(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径 ()A ．0B ．∞CD ．e3、若z 0为()f z 的奇点,则下列结论正确的是 ( ) A ．()f z 在z 0点必不可导 B ．()f z 在z 0点必不连续 C ．()f z 在z 0点必没有定义 D ．()f z 在z 0点必不解析4、下列哪一个是调和函数 ( ). A . 32(,)3u x y y x =- B . 22(,)u x y x y =-C . 2(,)3u x y xy =D . 23(,)2u x y x y =-5、设a z =是)(z f 的m 级极点，则函数)()(z f z f '在点a z =处的留数为 ()A ．mB . -mC . m-1D . m+1三、计算：(每题10分，共50分)1、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，确定l n m ,,的值。
808级复变函数与积分变换(A卷)参考答案
第 1 页/共 4 页课程编号：8 北京理工大学2009—20010学年第二学期2008级复变函数与积分变换试题A 卷年级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________一 (10) (1) 求区域}0)Im(:{>z z 在映射)1(+-=z i w 下的像。
解答：像为{w | Re(w ) > 0}（映射过程图略）。
(2) 判别函数2)(z z f =在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
解答： f (z ) 仅在z = 0处可导，在囫囵复平面上无解析点。
二（6）设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的某个区域D 内解析，并且),(),(2y x u y x v =，求)(z f 。
解答：f (z )＝c ＋i c 2（其中c 为实常数）。
三（6）求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 满意：)(2)4)((22y x y xy x y x v u +-++-=+。
解答：).1(2)23()23()(33223i c z z c y y y x i c x xy x z f -+-=---++--= 四（58）计算下列积分：（1）⎰Cdz z )Im(，其中积分路径C 分离为1）从），（00到i +1的直线段；2）从），（00到i 的直线段以及从i 到i +1的直线段。
解答：1）21i +； 2）21i+； （2）dz z z z ⎰=++1||2221＝0 （由Cauchy 积分定理）； （3）⎰=++12)2)(12(z z z zdzi π92-=； （4）dz z zi z ⎰=-+122解答：21||1()()||1,z i z i z i z i z i z i-=⇒--=-=⇒-=-22221111212211()222(2)() (2)() 2{Re [,]Re []}(2)()(2)() z i z i z i z i z i i zdzz i ii z i z i dz dz dz z z z z z i izdz z z i iz izi s i s z z i z z i π-=-=-=-=-=------∴===++++--=+---=++-+-⎰⎰⎰⎰⎰ 2{1(1 ;i i ππ=+=-（5）⎰=-+1323)(z dz a z z z ，其中常数1||≠a 解答：⎩⎨⎧<+>=-+⎰= );1|(| )26(),1|(| 0)(1323a i a a dz a z z z z π （6）||)2(11||dz z z z ⎰=- 解答：设],2,0[ ,π∈=t e z it则,|||||| ,]2,0[izdzdt dt dt ie dz izdt dt ie dz t itit ======∈π 所以2)2(12)2(1)2(1||)2(101||21||1||ππ-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-====⎰⎰⎰z z z z z i i dz z iz iz dz z z dz z z ；（7）4)1(1022π=+⎰+∞dx x ； （8）dz z z z ⎰=-2|1|1cos 解答：12|1|20,1cos Re 21cos -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ic z z s i dz z z z ππ，其中1-c 为z z 1cos 在∞<<||0z 内Laurent 级数的负一次项系数。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
证明 令 f (z) a0 zn 在 C : z R 上时 , 有
a1z n 1
an 1z
(z) a1 Rn 1
an 0 , 取 R an 1 R an
max ( a1
a1
an
,1 , 当 z
a0
an )R n 1 a0 Rn .
由儒歇定理知在圆
f ( z) . z R 内 , 方程 a0 zn a1zn 1
()
6. 若函数 f ( z) 在 z0 解析，则 f ( z) 在 z0 的某个邻域内可导 .
()
an 1z an 0 与 a0z n 0 有相
同个数的根 . 而 a0zn 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .
《复变函数》考试试题（三）
一 . 判断题 . (20 分 ).
1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .
()
2. 若 f ( z) 在 z0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z0 解析z0 处解析， 则 f ( z) 在 z0 连续 .
()
4. 若数列 { zn } 收敛， 则 {Re zn} 与 {Im zn} 都收敛 .
()
5. 若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区
域 D 内为常数 .
i
的右半圆 .
4. 求
sin z dz
z2
(z
)2
2
.
四 . 证明题 . (20 分 )
1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z) 在
复变A卷加答案
广东技术师范学院2008—2009学年度第( 一)学期期末考试试卷科 目：复变函数（A ）卷考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟一、填空（每题3分，共24分）1. 复数Z 的模是幅角是/4π+2K π(K 为整数)， Z 在复平面上所代表的点是（ ）。
2. 2z i -=在复平面上的几何图形为圆，其圆心是z= I ,圆的半径是,2 。
3. Z=-i,Z 的指数表示式为2ieπ- ，三角表达式为=c o s ()s i n ()22iππ-+- 4. iz →lim212z z -+ = -1+i 。
5. f(z)=zeiz 2+的导函数为 22zi e + 。
6.cos idz π⎰= s i n ()iπ 。
7. 函数1,ze 其奇点是 z=0 。
8．6z []6c o s 6(a r g )s i n 6(a r g )z z + 。
二、各题给出四个答案，选出正确的一个答案，填在括弧中（每小题2分共10分）1.(C)2.(B)3.(C)4.(C)5.(A)1．),(21)(zzz z i z f +=其在z=0处极限不存在的原因是【】A ） z=0时F （z ）无定义B ） z=0时F （z ）不连续C ） z 沿不同直线趋零时，F （z ）趋于不同的值D ） Z 趋于零时F （z ）不趋于零 2．函数在一点z 可导，则在该点【 】A ）必解析B ）极限存在C ）则在z 点邻域必可导D ）可展成幂级数3．复数z=a-1+bi,若z=0，则a 、b 分别是【 】A) 0，0 B) 0，1 C) 1，0 D) 1，14. 21(1)n n i n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑收敛，是因为【】A)1(1)nn n∞=-∑收敛 B)211n n∞=∑收敛C)1(1)n n n ∞=-∑和211n n∞=∑都收敛 5．⎰=11Z dz=【】A) 0B) 2K π(K 为整数) C) 2πi D) 1三、计算题（必须要有计算过程）（共30分）： （1）（6分）dz z c⎰2，c ：沿原点至点z=1的直线段。
2008年
2008年复变试题共五页一．选择题（每题3分，共27分）1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ ）（A ）i y xy y x )2(222-+- （B ）i y x 22+（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 322333-+-2４.５.６.７.设0=z 为函数zz e zsin 1--的m 级极点，那么m ＝（ ） （Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰t dt t f L 30])([（ ） （Ａ）)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1s F s９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为（ ） （Ａ）)2()2(4ω--ω-'-F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2()2(2ω--ω-'F F i 二．填空题（每题４分，共４０分）１.已知5)11)(12(i i i i z +-+-=，则=6z ______________________________ ２.复数i i+1的主值为______________________________３则f ４. 20⎰ ５. 'f ６.７. 8.9. 10设1)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________ 三．（10分）将函数2)(1)(zi z z f -=在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。
四．（9分）计算函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分 ⎰+∞ωωωω-0sin )cos 1(2d t 的值。