高考数学讲义微专题71求圆锥曲线方程(含详细解析)
圆锥曲线讲义(带答案)
个性化辅导授课教案学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容圆锥曲线知识点总结1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 9、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+1. 值范围。
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析解圆锥曲线方程是高中数学中的重要内容之一。
在本文中，我将介绍解圆锥曲线方程的方法和实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
解圆锥曲线方程的关键是确定曲线的形状和位置，以及找到曲线上的特殊点。
下面我将分别介绍解椭圆、双曲线和抛物线方程的方法，并通过具体题目进行分析。
一、解椭圆方程的方法和实例分析椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示椭圆的半长轴和半短轴。
解椭圆方程的关键是确定椭圆的半长轴和半短轴，以及椭圆的中心坐标。
我们可以通过以下步骤进行解题：1. 比较给定方程与一般方程的形式，确定$a$和$b$的值。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，比较可知$a=2$，$b=3$。
因此，椭圆的半长轴为2，半短轴为3。
2. 确定椭圆的中心坐标。
椭圆的中心坐标为$(h, k)$，其中$h$和$k$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的坐标。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，可知椭圆的中心坐标为$(0, 0)$。
3. 确定椭圆的形状和位置。
$a>b$时，椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴；当$a<b$时，椭圆的长轴平行于$y$轴，短轴平行于$x$轴。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，由于$a=2>b=3$，所以椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴。
通过以上步骤，我们可以得到椭圆的形状、位置和中心坐标。
进一步地，我们可以通过计算椭圆上的特殊点，如焦点、顶点等，来进一步分析和应用椭圆的性质。
二、解双曲线方程的方法和实例分析双曲线的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示双曲线的半长轴和半短轴。
圆锥曲线求解方程
圆锥曲线求解方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是几何学中的一个重要概念，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线经常出现在数学问题中，我们经常需要求解这些曲线的方程。
本文将介绍如何求解圆锥曲线的方程，并且以具体的实例来解释每种曲线的特点和解法。
我们来看圆的方程。
圆是一种平面上所有点到圆心的距离相等的曲线。
圆的方程一般形式为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
对于圆心坐标为(2,3)，半径为4的圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 4²。
第三种圆锥曲线是双曲线。
双曲线是一条开口向内或向外的曲线，其形状介于椭圆和抛物线之间。
双曲线的一般方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
对于中心坐标为(0,0)，x轴半轴长度为3，y轴半轴长度为2的双曲线，其方程可以是x²/9 - y²/4 = 1或者y²/4 - x²/9 = 1。
最后是抛物线的方程。
抛物线是一种对称的曲线，其形状可以根据焦点的位置而有所不同。
抛物线的一般方程形式为y = ax² + bx + c或者x = ay² + by + c，其中a、b、c是常数。
对于抛物线y = 2x² + 4x + 1，其焦点的位置可以根据方程中的a、b、c来确定。
当遇到圆锥曲线的方程时，我们可以通过观察曲线的形状和特点来快速判断出曲线的类型，并且用数学方法来求解方程。
通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解圆锥曲线的求解方法，并且能够灵活运用这些方法解决实际问题。
圆锥曲线的方程与轨迹方程(解析版)
专题1圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(A·B<0),这样可以简化运算.3.如果已知双曲线的渐近线方程y=±b a x a>0,b>0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2 a2-y2 b2=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=λ(λ≠0)．4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例1】(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P1,3 2在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为13 2．(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P1,3 2,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),M2,0,A x1,y1,B x2,y2．联立y=kx+m3x2+4y2=12得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0．Δ=64k2m2-43+4k24m2-12=484k2-m2+3>0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ．化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2-8km 3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于a ,b 的等式.【例2】(2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断)已知抛物线C :y 2=2px (p >1)上的点P x 0,1 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点E (t ,4)在抛物线C 上,过点D (0,2)的直线l 与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 y 1>0,y 2>0 两点,点H 与点A 关于x 轴对称,直线AH 分别与直线OE ,OB 交于点M ,N (O 为坐标原点),求证：|AM |=|MN |.【解析】(1)由点P x 0,1 在抛物线上可得,12=2px 0,解得x 0=12p.由抛物线的定义可得|PF |=x 0+p 2=12p +p 2=54,整理得2p 2-5p +2=0,解得p =2或p =12(舍去).故抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由E (t ,4)在抛物线C 上可得42=4t ,解得t =4,所以E (4,4),直线OE 的方程为y =x ,因为点A 和点H 关于x 轴对称,所以H x 1,-y 1 ,x 1,x 2均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0,设直线l 的方程为y =kx +2(k >0),联立y =kx +2,y 2=4x ,消去y ,得k 2x 2+(4k -4)x +4=0.则Δ=(4k -4)2-16k 2=16-32k >0,得0<k <12,所以x 1+x 2=4-4k k 2,x 1x 2=4k 2.由直线OE 的方程为y =x ,得M x 1,x 1 .易知直线OB 的方程为y =y 2x 2x ,故N x 1,x 1y 2x 2.要证|AM |=|MN |,即证2y M =y 1+y N ,即证x 1y 2x 2+y 1=2x 1,即证x 1y 2+x 2y 1=2x 1x 2,即证(2k -2)x 1x 2+2x 1+x 2 =0,则(2k -2)×4k 2+8-8kk 2=0,此等式显然成立,所以|AM |=|MN |.【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p 的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p 的等式.(二)直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x ,y 的取值范围．【例4】设动点M 在直线y =0和y =-2上的射影分别为点N 和R ,已知MN ⋅MR =OM 2,其中O 为坐标原点.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过直线x -y -2=0上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB (A ,B 为切点),求证：直线AB 经过定点.【分析】(1)利用直接法求轨迹方程,设M (x ,y ),把MN ⋅MR =OM 2 坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方程；(2)利用导数的几何意义,求得切线斜率,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P的坐标为x 1+x 22，x 1x 22,又点P 在直线x -y -2=0上,代入可得x 1x 2=x 1+x 2-4,再代入到直线AB的方程即可得解.【解析】(1)设M (x ,y ),则N (x ,0),R (x ,-2),所以OM =(x ,y ),MN =(0,-y ),MR=(0,-2-y ),由条件可得-y (-y -2)=x 2+y 2,整理可得点M 的轨方程为x 2=2y ；(2)由(1)知,y =12x 2,求导可得y =x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则切线PA 的方程为y -x 122=x 1(x -x 1),即y =x 1x -x 122①,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -x 222②,联立①②,解得点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22,因为点P 在直线x -y -2=0上,所以x 1+x 22-x 1x 22-2=0,即x 1x 2=x 1+x 2-4,又直线AB 的斜率k =x 222-x 122x 2-x 1=x 1+x 22,所以直线AB 的方程为：y -x 122=x 1+x 22(x -x 1),即y =(x 1+x 2)x -x 1x 22,又x 1x 2=x 1+x 2-4,代入可得y =(x 1+x 2)(x -1)2+2,所以直线AB 过定点(1,2).【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.(三)定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．3.平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数：(1)若a >c ,则集合P 为椭圆；(2)若a =c ,则集合P 为线段；(3)若a <c ,则集合P 为空集．4.平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在．5.平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．注意：(1)定直线l 不经过定点F .(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例5】(2023届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A ：x 2+y 2+6x +5=0,直线l (与x 轴不重合)过点B (3,0)交圆A 于C 、D 两点,过点B 作直线AC 的平行线交直线DA 于点E .(1)证明||EB |-|EA ||为定值,并求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为C 1,直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点,线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ,是否存在实常数入,使得|MN |=λ|PB |,若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)x 2+y 2+6x +5=0⇒x +3 2+y 2=4,得A (-3,0),当|BD |>|BC |时,如图1所示,因为D ,C 都在圆A 上所以|AD |=|AC |,即∠ADC =∠ACD 又因为BE ∥AC ,所以∠ACD =∠EBD ,所以∠EDB =∠EBD ,∴|ED |=|EB |,所以|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=|AD |=2当|BD |<|BC |时,如图2所示,同理可得,|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=-|AD |=-2因此|EB |-|EA |=2<|AB |=6,所以点E 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线,故2a =2,2c =6,即a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=9-1=8,∴||EB |-|EA ||为定值2,且点E 的轨迹方程为x 2-y 28=1.(2)由题知,直线l 的斜率不为0,设l ：x =my +3,联立x =my +38x 2-y 2=8消去x 得,8m 2-1 y 2+48my +64=0,于是Δ=(48m )2-4×648m 2-1 =256m 2+1 >0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则有y 1+y 2=-48m 8m 2-1,y 1y 2=648m 2-1,故x 1+x 2=my 1+3+my 2+3=m y 1+y 2 +6=-48m 2+48m 2-68m 2-1=68m 2-1,所以线段MN 的中点为-38m 2-1,-24m8m 2-1,从而线段MN 的中垂线的方程为y +24m 8m 2-1=-m x +38m 2-1 令y =0得,x =-278m 2-1,∴|PB |=3--278m 2-1 =3+278m 2-1=24m 2+1 8m 2-1又|MN |=1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2-48m 8m 2-1 2-4×648m 2-1=16m 2+1 8m 2-1故|MN ||PB |=16m 2+1 8m 2-1×8m 2-1 24m 2+1 =23,于是λ=23即存在λ=23使得|MN |=λ|PB |.【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例6】已知一定点F (0,1),及一定直线l ：y =-1,以动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设P 在直线l 上,直线PA ,PB 分别与曲线C 相切于A ,B ,N 为线段AB 的中点．求证：|AB |=2|NP |,且直线AB 恒过定点．【解析】(1)动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切,动圆圆心到定点F (0,1)与定直线y =-1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F (0,1)为焦点,y =-1为准线,∴p2=1⇒p =2,∴动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ．(2)依题意可设P x 0,-1 ,A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,又x 2=4y ,∴y =14x 2∴y =12x故切线PA 的斜率为k 1=12x 1,故切线PA :y -14x 21=12x 1x -x 1 ⇒2x 1x -4y -x 21=0同理可得到切线PB :2x 2x -4y -x 22=0又P x 0,-1 ,∴2x 1x 0+4-x 12=0且2x 2x 0+4-x 22=0,故方程x 2-2x 0x -4=0有两根x 1,x 2∴x 1x 2=-4,∴k 1k 2=12x 1×12x 2=14x 1x 2=-1∴PA ⊥PB又N 为线段AB 的中点,∴|AB |=2|NP |又由2x 1x 0+4-x 21=0得到：12x 1x 0+1-x 214=0即12x 1x 0+1-y 1=0同理可得到12x 2x 0+1-y 2=0,故直线AB 方程为：12x 0x -y +1=0,故直线过定点F 0,1 .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四)相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x 1=f x ，y ，y 1=g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．【例7】(2023届广东省揭阳市高三上学期调研)已知F 1､F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左､右焦点,点P m ,n n ≠0 是椭圆上的动点．(1)求△PF1F 2的重心G 的轨迹方程；(2)设点Q s ,t 是△PF 1F 2的内切圆圆心,求证：m =2s ．【解析】(1)连接PO ,由三角形重心性质知G 在PO 的三等分点处(靠近原点)设G (x ,y ),则有m =3x ,n =3y又m 24+n 23=1,所以9x 24+9y 23=1,即9x 24+3y 2=1△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为9x24+3y 2=1(y ≠0)；(2)根据对称性,不妨设点P 在第一象限内,易知圆Q 的半径为等于t ,利用等面积法有：S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅t +12|PF 2|⋅t +12|F 1F 2|⋅t =12|F 1F 2|⋅n结合椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2有12⋅4⋅t +12⋅2⋅t =12⋅2⋅n ,解得t =n 3由P (m ,n )､F 1(-1,0)两点的坐标可知直线PF 1的方程为nx -(m +1)y +n =0根据圆心Q 到直线PF 1的距离等于半径,有ns -(m +1)n3+n n 2+(m +1)2=n3∴3s -m +2 n 2+(m +1)2=1,∴9s 2-6sm +12s -6m +3-n 2=0∴3s 2-2sm +4s -2m +1-n 23=0,又m 24+n 23=1化简得12s 2-8sm +16s -8m +m 2=0,即12s 2-8sm +m 2 +16s -8m =0∴2s -m 6s -m +82s -m =0,即2s -m 6s -m +8 =0由已知得-2<m <2,-1<s <1,则6s -m +8>0所以2s -m =0,即m =2s ．(五)交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例8】(2022届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C :y =x 2,过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【分析】(1)联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；(2)写出圆的切线方程,根据P 是交点可得x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,由(1)中x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2代入化简即可求出.【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3,解得k =1,故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0),对于抛物线y =x 2,y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1),点P 在该切线上,故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1),即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2,于是x 0=k2，y 0=k -2,消k 得y 0=2x 0-2,于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0,点P 的轨迹是一条直线.【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、跟踪检测1.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部,半径为63．P ,Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点,且P ,Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ,B 是椭圆C 上不同的两点,且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,由圆的性质,|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时,当P 处于上下顶点时|PO |最小,故|PQ |≥|PO |-63≥b -63,即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c 2,解得a =2b =1c =1,所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上,所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时,不妨设A 63,63 ,B 63,-63,此时OA ⋅OB=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切,所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63,即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0,所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1,OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,=1+k 22m 2-22k 2+1 +km -4km 2k 2+1+m 2,=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1,=3m 2-2k 2-22k 2+1=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .综上,以AB 为直径的圆过点O .2.(2023届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率是5,点F 是双曲线C 的一个焦点,且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设点M 在直线x =14上,过点M 作两条直线l 1,l 2,直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点,直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,证明：MA MD =MEMB.【解析】(1)根据双曲线的对称性,不妨设F c ,0 ,其渐近线方程为bx ±ay =0,因为焦点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.所以2=bcb 2+a 2,因为双曲线C 的离心率是5,所以,c a =52=bc b 2+a 2c 2=a 2+b 2,解得a =1,b =2.所以,双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1.(2)证明：由题意可知直线l 1的斜率存在,设M 14,t ,直线l 1:y =k x -14+t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立y =k x -14 +tx 2-y 24=1整理得k 2-4 x 2+2kt -12k 2 x +116k 2-12kt +t 2+4=0,所以,x 1+x 2=-2kt -12k 2k 2-4,x 1x 2=116k 2-12kt +t 2+4k 2-4.故MA ⋅MB =k 2+1 x 1-14 x 2-14 =k 2+1 x 1x 2-14x 1+x 2 +116 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4.设直线l 2的斜率为k,同理可得MD ⋅ME =k2+1 4t 2+154k 2-4.因为直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,所以k =-k ,所以k 2=k 2,则k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 ,即MA ⋅MB =MD ⋅ME ,所以MA MD =MEMB.3.(2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)法一：由题意,设E x ,y ,P 12x ,y ,由PO =PQ =32得Q x ,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y=32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.法二：设∠POQ =α,P 32cos α,32sin α ,Q 3cos α,0 ,设E x ,y ,则由PE =12EQ 得x =23×3cos α=2cos αy =23×32sin α=sin α,消去α得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.4.(2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 5.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．6.(2023届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F 1,F 2为椭圆C 的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于坐标原点O 的对称点R ,试问△PQR 的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,1a 2+94b2=1,解之得：{a 2=4,b 2=3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)如图所示,设直线l :x =my -1,则{x =my -1,3x 2+4y 2=12,消去x 整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,△PQR 的面积为S ,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4又Δ=36m 2+363m 2+4 =36×4m 2+1 >0,则S =2S △POQ =2×12×OF 1 ×y 1-y 2 =y 1-y 2 =(y 1+y 2)2-4y 1y 2=36×4m 2+13m 2+4=12m 2+13m 2+4,令m 2+1=t (t ≥1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ≥1),又设f (t )=3t +1t ,则f (t )=3-1t2>0,∴f (t )在[1,+∞)上为增函数,f (t )min =f (1)=4,∴S max =3,所以,存在当m =0时,即直线l 的方程为x =-1,△PQR 的面积有最大值,其最大值为37.(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ =9QF,求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ,准线方程为x =-p2,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2,所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ,则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ,所以P 10x 0-9,10y 0 ,由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ,即x 0=25y 20+910,据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925,所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9,当y 0=0时,k OQ =0；当y 0≠0时,k OQ =1025y 0+9y 0,当y 0>0时,因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30,此时0<k OQ ≤13,当且仅当25y 0=9y 0,即y 0=35时,等号成立；当y 0<0时,k OQ <0；综上,直线OQ 的斜率的最大值为13.8.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),O 是坐标原点,F 是C 的焦点,M 是C 上一点,|FM |=4,∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上,过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ,分别交C 于A ,B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°,可得M p2+2,±23 ,代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍),所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2),直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +n ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y 2=4x x =my +n ,得y 2-4my -4n =0,从而Δ=16m 2+16n >0,则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n ．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ,x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2,∵QA ⊥QB ,∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0,故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0,整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2,从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1),即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1,则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1,过定点(1,2),与Q 点重合,不符合；若n =2m +5,则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5,过定点(5,-2)．综上,直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．9.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为A ,B ,直线PQ 交椭圆C 于P ,Q 两点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,已知k 1=3k 2.①求证：直线PQ 恒过定点；②设△APQ 和△BPQ 的面积分别为S 1,S 2,求S 1-S 2 的最大值.【解析】(1)由题意c a =32bc =3a 2=b 2+c2 ,解得a 2=4b 2=1 ,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)①依题意A (-2,0),B (2,0),设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,若直线PQ 的斜率为0则P ,Q 关于y 轴对称,必有k AP =-k BQ ,不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0,设其方程为x =ty +n (n ≠±2),与椭圆C 联立x 2+4y 2=4x =ty +n,整理得：t 2+4 y 2+2tny +n 2-4=0,所以Δ=16t 2+4-n 2 >0,且y 1+y 2=-2tn t 2+4,y 1y 2=n 2-4t 2+4.因为P x 1,y 1 是椭圆上一点,即x 214+y 21=1,所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14,则k AP =-14k BP =3k BQ ,即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4 =3(n +2)n -2=-1,所以n =-1,此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0,故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14,而1t 2+4∈0,14 ,当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．10.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2,证明直线B 1E 和B 2F 的交点K 在曲线C 上.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =x M =4cos π3=2y =y D =sin π3=32,因此Q 2,32 ；(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x =a cos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ；(3)设K x ,y ,由知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E :xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F :y +b -34b +b=x a ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517bx 2a 2+y 2b 2=82172+152172=1,因此交点K 在椭圆C 上.11.(2022届广东省六校高三上学期联考)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：x +2 2+y 2=8,B 2,0 ,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆的圆点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E ,F 两点时,恒有∠EAM =∠FAM ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设动圆P 的半径长为r ,则PB =r ,PA =r +22,∴PB -PA =2 2.因此,圆心P 的轨迹为以A -2,0 、B 2,0 为焦点,实轴长为22的双曲线的右支,设C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(x >0),则根据双曲线定义a =2,c =2,∴b 2=c 2-a 2=2,因此C 的方程为x 22-y 22=1(x >0).(说明：没写x 的范围扣1分)(2)不存在满足条件的点M ,理由如下：假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为m ,0 ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k x -m ,由y =k x -m ,x 22-y 22=1,消去y 并整理,得k 2-1 x 2-2mk 2x +k 2m 2+2=0,设E x 1,y 1 、F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2mk 2k 2-1,x 1x 2=k 2m 2+2k 2-1,(*)由∠EAM =∠FAM ,得k AE +k AF =0,即y 1x 1+2+y 2x 1+2=0,将y 1=k x 1-m ,y 2=k x 2-m 代入上式并化简,得2x 1x 2+2-m x 1+x 2 -4m =0.将(*)式代入上式,有2⋅k 2m 2+2k 2-1+2-m ⋅2mk 2k 2-1-4m =0,解得m =-1.而当直线l 交C 于E ,F 两点时,必须有x 1+x 2>0且x 1x 2>0.当m =-1时,x 1+x 2=-2k 2k 2-1,x 1x 2=k 2+2k 2-1,由-2k 2k 2-1>0,k 2+2k 2-1>0,⇒k 2<1,k 2>1, k 无解,则当m =-1时,不符合条件.因此,不存在满足条件的点M .12.(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.。
利用圆锥曲线的参数方程解题
利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。
利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。
一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。
2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。
它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。
然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。
下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。
例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。
解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。
然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。
三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义讲解
Ⅰ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22o p a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
圆锥曲线的参数方程 课件
1.椭圆的参数方程
2
2
中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 + 2 = 1 > > 0
= cos,
的一个参数方程是 = sin 为参数 . 通常规定参数
的取值范围为∈[0,2π).
名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数
(- )2
了解答的错误.
π
π
3
3
正解:设|OP|=t,点 P 的坐标为 cos ,sin
将其代入椭圆方程,得
所以点 P 的坐标为
1 2
2
+
3
2
16
12
4 5 4 15
5
,
5
.
2
= 1, 即t=
,
8 5
5
,
易错辨析
易错点:混淆参数的几何意义而致错
【例 4】 已知 P 为椭圆
π
2
16
+
2
12
= 1 上一点, 轴正半轴与角的始
边重合, 且∠POx= , 求点的坐标.
3
错解设点 P 的坐标为(x,y),如图所示,
π
= 4cos ,
3
由椭圆的参数方程得
π
= 2 3sin ,
即点 P 的坐标为(2,3).
【例3】 已知M),点P为线
段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.
分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解
题方法.
2
解:令 y=2t,则 x= = 22, 得抛物线的参数方程为
2
2
= 2 ,
(为参数).
高考数学圆锥曲线的方程与性质专题
高考数学圆锥曲线的方程与性质专题The document was finally revised on 2021高考数学复习专题：圆锥曲线的方程与性质【一】基础知识名称椭圆 双曲线 抛物线 定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|) ||PF 1|－|PF 2|| ＝2a (2a ＜|F 1F 2|) |PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l于M 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2＝2px (p ＞0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)(0，±b )(±a,0)(0,0)对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝c a ＝ 1－b 2a2 (0＜e ＜1)e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e ＞1) e ＝1 准线x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax【二】高考真题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( c )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2． (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( c ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于(d )4． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于3－15． (2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于 ±1．【三】题型和方法题型一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________． 答案 y ＝±7x(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 答案 y 2＝±8x题型二 圆锥曲线的性质例2 (1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )B ．2 2C ．4D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( ) 或32 或2或2或32变式训练2 (1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2B ．3答案 C(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B题型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．变式训练3 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．【例4 (14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【四】能力训练1． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )C ．1 2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3． 已知方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，14． (2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.5． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______．6． (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.专题模拟训练一、选择题1． (2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) －y25＝1－y 25＝1 －y25＝1－y 25＝12． 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 3． 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )C ．2D ．34． 设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) B ．210D ．2 55． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A ．2±3 B ．2＋ 3 ±1－16． (2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )7． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) －y24＝1 －y 25＝1 －y 26＝1－y 23＝1 8． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )D ．2 2二、填空题9． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 三、解答题13．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．14．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．。
圆锥曲线实用讲义
圆锥曲线实用讲义
一、什么是圆锥曲线
圆锥曲线是一种曲线，它是由一个圆锥和一个圆组成的，它的特点是曲线的弧线部分是圆弧，而曲线的直线部分是直线。
二、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线可以用来描述物体的运动轨迹，如汽车的行驶轨迹，飞机的飞行轨迹等。
2、圆锥曲线也可以用来描述物体的形状，如汽车的车身，飞机的机翼等。
3、圆锥曲线还可以用来描述物体的变形，如汽车的车身变形，飞机的机翼变形等。
4、圆锥曲线还可以用来描述物体的变化，如汽车的车身变化，飞机的机翼变化等。
三、圆锥曲线的计算
圆锥曲线的计算是一个复杂的过程，需要使用数学方法来计算。
一般来说，需要使用椭圆方程、双曲线方程、圆锥方程等来计算圆锥曲线。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解7--- 圆锥曲线-抛物线(解析版)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题7圆锥曲线-抛物线（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（3）圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．（4）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．1 / 331．已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ，过抛物线上一点B 向x 轴作垂线，垂足恰好为抛物线C 的焦点F ，且4BF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设l 与x 轴的交点为A ，过x 轴上的一个定点()1,0的直线m 与抛物线C 交于,D E 两点．记直线,AD AE 的斜率分别为12,k k ，若1213k k +=，求直线m 的方程．【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试 【答案】（1）28y x =；（2）4340x y --=．【分析】（1）可得,42p B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入方程求解即可；（2）设直线m 的方程为()1y k x =-，和抛物线的方程联立消元可得12x x +，12x x ，然后利用1212121223y y k k x x +=+=++，求解即可．【解析】（1）由题意,42p B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入22y px =，得216p =，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =．（2）当直线m 的斜率不存在时，120k k +=与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m 的方程为()1y k x =-代入到28y x =中，()2222280k x k x k -++=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21222122281k x x k k x x k ⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 12121222y y k k x x +=+++()()12121122k x k x x x --=+++()()()1212122422k x x x x x x ++-⎡⎤⎣⎦=++3 / 332819163k k ==+，43k ∴=，所以直线m 的方程为4340x y --=． 2．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，． 【分析】()1由抛物线的定义可得022py =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =．()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围．【解析】()1依题意得0,,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-，又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =．()2由题意知()2,1P ，设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+， AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =． 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=， 因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意．所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，． 【名师点睛】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围．3．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． 【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练 【答案】（1）y 2=4x ；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解．（2）根据点A (2，m )在抛物线E上，解得m ，不妨设A (2，，直线AF 的方程为y (x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可【解析】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2． 所以抛物线E 的方程为y 2=4x ．（2）因为点A (2，m )在抛物线E 上，所以m 2=4×2，解得m =±由抛物线的对称性，不妨设A (2，，由A (2，，F (1，0)，所以直线AF 的方程为y =2(x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，所以B 1,2⎛ ⎝．5 / 33又G (-1，0)，所以k G A=3，k G B=3-，所以k G A +k G B =0， 所以∠AGF =∠BGF ．所以GF 为∠AGB 的平分线．【名师点睛】由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为k G A +k G B =0结合根与系数关系证明．4．已知椭圆1C的离心率为3，一个焦点坐标为，曲线2C 上任一点到点9,04⎛⎫ ⎪⎝⎭和到直线94x =-的距离相等．（1）求椭圆1C 和曲线2C 的标准方程；（2）点P 为1C 和2C 的一个交点，过P 作直线l 交2C 于点Q ，交1C 于点R ，且,,Q R P 互不重合，若PQ RP =，求直线l 与x 轴的交点坐标．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高三上学期第二次模拟考试【答案】（1）221412x y +=；29y x =；（2）(2,0)-． 【分析】（1）根据离心率和焦点求出,a b 可得椭圆方程，可判断曲线2C 为抛物线，即可得出方程；（2）联立椭圆与抛物线求出点P 坐标，可得直线l 斜率存在，设:(1)3l y k x =-+，联立直线与抛物线可得93Q k y k -=，联立直线与椭圆可得229363R k k y k--=+，由PQ RP =可得32Q Ry y +=，即可解出k ，得出所求．【解析】（1）设22122:1(0)x y C a b b a+=>>，==2212,4a b ==， 所以1C 的标准方程为221412x y +=，曲线2C 是以9,04⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，94x =-为准线的抛物线，故2C 的标准方程为29y x =．（2）联立2223129x y y x ⎧+=⎨=⎩，解得13x y =⎧⎨=±⎩，不妨取(1,3)P ，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件． 故可设直线:(1)3l y k x =-+，由题意可知0k ≠．联立239y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，可得93Q ky k -=．联立223312y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩，可得229363R k ky k --=+． 因为PQ RP =，所以P 是QR 的中点，所以32Q Ry y +=，即229393663k k k k k---+=+．解得1k =． 所以直线l 的方程为2y x =+，其与x 轴的交点坐标为(2,0)-．【名师点睛】本题考查椭圆和抛物线中的直线方程的求解，解题的关键是联立直线与曲线求出,Q R 坐标，利用P 是QR 的中点求解．5．设抛物线()2:20C y px p =>，恒过定点(),0M m 的直线()0x ky m m =+>与抛物线交于A ，B ，且A 、B 到x 轴距离之积为2m ． （1）求抛物线方程； （2）若23AOB π∠=，求实数m 的取值范围． 【试题来源】浙江省丽水高中发展共同体2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】（1）22y x =；（2）203m <≤． 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系7 / 33可得122y y pm =-，求出p 后可求抛物线的方程．（2）由题设可得12||||OA OB OA OB ⋅=-⋅，利用数量积的坐标运算和根与系数关系可得,m k 的关系式，利用2k 非负可求m 的取值范围．【解析】（1）因直线AB 方程为x ky m =+，抛物线方程为()220y px p =>，由22y px x ky m ⎧=⎨=+⎩得，2220y pky pm --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有121222y y pky y pm +=⎧⎨=-⎩，由题意，2222pm m p -=⇒=，故所求抛物线方程为22y x =．（2）由121222y y k y y m +=⎧⎨=-⎩知21221222x x k mx x m⎧+=+⎨=⎩， cos ||||OA OB AOBOA OB ⋅∠=⋅==212==-，所以220m m -<且2224(2)444m m k m -=+++，所以22022032012403m m m m k <<⎧⇒<≤⎨-+=≥⎩． 【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用根与系数关系把关系式转化为某一个变量的方程，从而可求定点、定值、范围问题．6．已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为其焦点，()()1,0P y y >，,A B 三点都在抛物线C 上，且2=FP ，设直线,,AB PA PB 的斜率分别为12,,k k k ．（1）求抛物线C 的方程，并证明121111k k k+=+；（2）已知11,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且,,A B M 三点共线，若PA PB ⊥且12k k >，求直线PA 的方程．【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】（1）24y x =，证明见解析；（2）310x y --=．【分析】（1）由抛物线的定义和2=FP ，求得2p =，得出抛物线的方程及点()1,2P ，利用斜率公式，分别求得12,,k k k ，即可求解；（2）设直线AB 的方程为11()22x m y +=+，其中（1m k=），联立方程组，利用根与系数关系和根与系数的关系，结合PA PB ⊥，列出方程，即可求解．【解析】（1）由题抛物线2:2C y px =，()()1,0P y y >，且2=FP ， 根据抛物线的定义，可得122pFP =+=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =，且点()1,2P ， 设点()()1122,,,A x y B x y ，可得11121112241214y y k y x y --===-+-，同理2242k y =+， 212122212112444y y y y k y y x x y y --===-+-，所以12124114y y k k +++=，124114y y k +++=，所以121111k k k +=+．（2）由11,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且,,A B M 三点共线， 设直线AB 的方程为11()22x m y +=+，其中（1m k=）， 联立211224x m y y x ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得24220y my m --+=， 则124y y m +=，1222y y m =-，9 / 33又由()()244220m m ∆=-->，解得1m <-或12m >， 因为PA PB ⊥，所以()()121216122k k y y ==-++，解得113m =-，由（1）知121111k k k +=+，所以11183k k -=-，且12k k >，所以13k =， 所以直线PA 的方程为()231y x -=-，即310x y --=． 【名师点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 7．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上． （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥． 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试 【答案】（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析．【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用根与系数关系化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和根与系数关系可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-． 【解析】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -， 设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x-+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+， 整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -，因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >．()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由垂径定理得CQ MN ⊥，故22220,8(0)2y x y x x -⨯+=∴=>．（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>． 设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，11ON y k x ∴=，∴直线ON 的方程为11y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=，1122,y A x ⎫⎛-∴-⎪ ⎝⎭． 设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与28y x =相切，由()2228y y k x x y x⎧-=-⎨=⎩，消去x ，整理得 ()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，11 / 33()22222220408y k ky y k -+=⇒-=，24BDk y ∴=， ∴直线()2224:BD y y x x y -=-，令0x =，则 222222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭， 21212212111422824ADx y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12113244y y y y +==， 121244161AD BD k k y y y y ∴⋅=⋅==-，AD BD ∴⊥． 证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝⎭， 设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>，设()11,B x y ，则101200016321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-⇒-⎪ ⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方， 则由曲线28y x =，得y y '=-=-=切线的斜率为4y k ===-， 切线方程为020016324y y x y y ⎫⎛+=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭，020000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭22000000641664641664088AD BD y x y x x x =-+-=-+-=⇒⊥． 【名师点睛】（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用根与系数关系化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率． 8．在平面直角坐标系xOy 中，动圆M 经过点()1,0Q ，且与直线1x =-相切．记动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程，并说明C 是什么样的曲线？（2）设过点()2,0P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且点9,02N ⎛⎫⎪⎝⎭满足NA NB =，求直线l 的方程．【试题来源】河南省九师联盟2020-2021年高三下学期2月联考【答案】（1）曲线C 的方程为24y x =，曲线C 为焦点在x 轴正半轴上的拋物线；（2）2x =或240x y ±-=．【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）直线l 与x 轴垂直时，可得答案；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系表示AB 的中点坐标，再根据NA NB =，得可得答案．【解析】（1）根据题意，动点M 到点()1,0Q 的距离等于到直线1x =-的距离，则动点M 的轨迹是以()1,0Q 为焦点､直线1x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为24y x =，且曲线C 为焦点在x 轴正半轴上的拋物线．（2）当直线l 与x 轴垂直时，一定有NA NB =，此时适合题意，直线l 的方程为2x =． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由()22,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224140k x k x k -++=， ()()22222414416210k k k k ⎡⎤∆=-+-⨯⨯=+>⎣⎦，则直线l 与抛物线C 一定相交； 所以122141x x k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，124x x =， 设AB 的中点为()00,D x y ，13 / 33则12021212x x x k +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()002122212k y k x k k⎡⎤⎛⎫=-=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即21221,D k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当219212k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，即k ≠因为NA NB =，所以DN AB ⊥，所以220119212k k k -⨯=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得2k =±， 所以直线l 的方程为()22=±-y x ，即240x y ±-=，当219212k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即k =时，经检验不合题意， 综上，直线l 的方程为2x =或240x y ±-=．【名师点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用根与系数关系表示中点坐标和DN AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题的能力．9．已知动圆P 与x 轴相切且与圆()2224x y +-=相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）已知2(4)E ，，过点(0)4，作直线交曲线C 于,A B 两点，分别以,A B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当ABE △的面积1S 与ABD △的面积2S 之比12S S 取最大值时，求直线AB 的方程．【试题来源】安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考【答案】（1）()280x y x =≠；（2）40x y -+=．【分析】（1）由题可知P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，故根据抛物线的定义求解即可；（2）由题知直线AB 的斜率存在且12k ≠-，故设AB 方程为4y kx =+，设()()1122,,,,A x y B x y 与抛物线联立方程得12128,32,x x k x x +=⋅=-再结合已知切点求切线的问题求出以,A B 为切点切线方程，并联立解得()4,4D k -，进而得112222124k S d S d k +==+，再利用换元法求最值即可得答案．【解析】（1）由题意知，P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，由抛物线的定义知，圆心P 的轨迹是以(0，2)为焦点，2y =-为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C 的方程为()280x y x =≠．（2）由题意知，()4,2E 在曲线C 上，直线AB 的斜率存在， 设AB 方程为4y kx =+，因为直线AB 不经过E 点，所以12k ≠-．由24,8y kx x y=+⎧⎨=⎩可得28320x kx --=， 设()()1122,,,,A x y B x y 则12128,32,x x k x x +=⋅=-以A 为切点的切线方程为()111,4x y y x x -=-即21148x x y x =-，同理以B 为切点的切线为22248x x y x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式做差整理得2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和整理得()22212121121222284848x x x x x x x x x x x x y +-=-=-++=+，故4y =，所以交点()4,4D k -，设E 到AB 的距离为1,d D 到AB 的距离为2d ，则112222124k S d S d k +===+ 设()210,k t t +=≠则122,92S S t t=+-当3t =，即1k =时，12S S 取最大值，15 / 33直线AB 的方程为40.x y -+=【名师点睛】本题考查抛物线的定义，面积最值问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题．本题解题的关键在于借助切线方程联立求点D 的坐标，进而将问题转化为E 到AB 的距离1d 和D 到AB 的距离2d 的比值问题．10．在平面直角坐标系中，已知点(2,A t --，(2,B t -+，若点P 同时满足：①PAB △的面积为1S ，②以P 为圆心的圆过点()2,0F ，且圆P 的面积为2S，若1S （1）求P 的轨迹E 的方程；（2）若过F 的直线l 与E 交于M ，N 两点点()2,0Q -，求证：MFQNFQS MQ SNQ=△△．【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷） 【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析．【分析】（1）设(),P x y ，求出AB 以及点P 到AB 的距离，计算出1S ，求出圆P 的半径2PF ，由圆的面积公式计算出2S ，化简1S （2）当直线l 的斜率不存在时，MFQNPQSS=，显然成立，当直线l 的斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l的方程与抛物线方程联立，由根与系数的关系计算12x x +、12x x ，可证得0QM QN k k +=，x 轴所在的直线平分MQN ∠，可得两个三角形的高相等，面积之比即等于底边之比，即可求证．【解析】（1）因为点(2,A t -，(2,B t -+，所以AB = 设(),P x y ，过点P 作PP '垂直于直线2x =-，垂足为P '，则1112222S AB PP '==⨯+=+， 圆P 的半径r =，所以圆P 的面积()22222S r x y ππ⎡⎤==-+⎣⎦，因为1S 212S S =，即()()22222y x x ππ⎡⎤-++⎣=⎦，整理可得28y x =．所以抛物线E 的标准方程为28y x =． （2）当直线l 的斜率不存在时，MFQNPQSS=，MQ NQ =，结论成立：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，代入28y x =，消去y 得()()222248400k x k x k k -++=≠，0∆>显然成立． 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则12284x x k +=+，124x x =， 121222QM QN y y k k x x +=+++()()()()1221122222y x y x x x +++=++ ()()()()()()122112222222k x x k x x x x -++-+=++()()()121224022k x x x x -==++，所以QM QN k k =-，即MQF NQF ∠=∠．过点F 作FC QM ⊥，垂足为C ，FD QN ⊥，垂足为D ，则FC FD =，12MFQSQM FC =，12NFQS QN FD =，所以MFQ NFQS MQ S NQ =△△． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；17 / 33（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程．11．椭圆：()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=的距离为105，离心率为255．抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D ． （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）是否存在常数λ，使得15AB CDλ为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）椭圆E ：2215x y +=，抛物线G ：28y x =；（2）存在，165λ=-．【分析】（1）设椭圆焦点（c ，0），代入点到直线距离公式，可求得c 的值，根据题意，可求得抛物线中p 值，进而可得抛物线方程，根据椭圆c 值及离心率，可求得椭圆中a 值，根据a ，b ，c 的关系，即可求得b 值，即可得答案．（2）设直线l 的方程为2x my =+，与椭圆联立，根据根与系数关系，可得1212,y y y y +的表达式，代入弦长公式，可得AB ，同理将直线与抛物线联立，结合弦长公式，可得CD ，代入所求，化简整理，即可求得λ值．【解析】（1）设椭圆焦点（c ，0），由题意得d ==解得2c =，即椭圆焦点为（2，0）， 所以抛物线G 的焦点为（2，0），所以22p=，解得4p =， 所以抛物线G 的方程为28y x =， 又椭圆E，所以25a =，得a =又222541b a c =-=-=，得1b =．所以椭圆E 的方程为2215x y +=．（2）由题意得，直线l 不与x 轴平行，设直线l 的方程为2x my =+，并设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立2x my =+与2215x y +=，消去x ，整理得()225410m y my ++-=，222(4)4(5)(1)20200m m m ∆=-+-=+>，12122241,55m y y y y m m -+=-=++，所以1225y y m -==+，所以)212215m AB y m +=-=+，联立2x my =+与28y x =，消去x ，整理得28160y my --=，22(8)4(16)64640m m ∆=--⨯-=+>，348y y m +=，所以()()234344881CD x x m y y m =++=++=+，得)())()222254************m m AB m m m λ+++==+++， 当2054λ+=，即165λ=-时，1AB10．19 / 33故存在165λ=-，使1AB +为常数．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握椭圆、抛物线的几何性质，并灵活应用，在处理弦长问题时，常用根据根与系数关系，代入弦长公式求解，在处理抛物线中焦点弦问题时，常用34CD x x p =++求解，可简化计算，考查计算求值的能力，属中档题．12．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆C ：()2234x y -+=的两条切线，切点为M ，N，MN =（1）求抛物线E 的方程；（2）设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求FAB 与OAF △面积之和的最小值．【试题来源】江西省九所重点中学（玉山一中、临川一中等）2021届高三3月联合考试 【答案】（1）24y x =；（2． 【分析】（1）由已知可得,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆C ：()2234x y -+=的圆心()3,0C ，半径2r，设MN 与x 轴交于R ，则可得60MCR ∠=︒，有4CK =，所以342p+=，从而可求出p 的值，进而可得抛物线的方程；（2）设直线AB ：x my t =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设10y >，20y <，直线方程与抛物线方程联立消去x ，整理后利用根与系数的关系可得124y y m +=，124y y t ⋅=-，而由94OA OB ⋅=列方程可求得92t =，则有AB 恒过定点9,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，而()1121121111722222FAB AOFS SOF y FQ y y y y y +=⋅⋅+⋅⋅-=+⨯⨯-，消去2y 后再利用基本不等式可得答案【解析】（1）由已知可得,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆C ：()2234x y -+=的圆心()3,0C ，半径2r．设MN 与x 轴交于R，由圆的对称性可得MR =1CR =，60MCR ∠=︒ 所以4CK =，即有342p+=，解得2p =，则抛物线E 的方程为24y x = （2）设直线AB ：x my t =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设10y >，20y <联立抛物线方程可得2440y my t --=所以124y y m +=，124y y t ⋅=-由94OA OB ⋅=有2212129444y y y y ⋅+⋅=，解得1218y y ⋅=-或2（舍去），即418t -=-，解得92t =． 则有AB 恒过定点9,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭；()1121121111722222FAB AOFSSOF yFQ y y y y y+=⋅⋅+⋅⋅-=+⨯⨯- 111111117917181636324242422y y y y y y y y⎛⎫=+⨯+=++=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当1196342y y =，即1y = 所以FAB 与OAF △面积之和的最小值2【名师点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学计算能力，解题的关键是由94OA OB ⋅=推出直线AB 恒过定点9,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可把FAB 与OAF △面积之和表示出来，属于中档题13．抛物线C 的准线方程为x ＝-1，圆O ：（x -1）2＋y 2＝1，线段MN 是抛物线C 的动弦．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若当|MN |＝m （m ＞0）时，存在三条动弦MN ，满足直线MN 与圆O 相切，求m 的值．【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（五）21 / 33【答案】（1）24y x =；（2）m =【分析】（1）设抛物线C ：22y px =，利用已知条件即可得出p 的值，进而得到抛物线的方程；（2）设直线MN 的方程为x ty n =+，与抛物线的方程联立，由判别式大于0和根与系数关系，结合弦长公式，以及点到直线的距离公式，直线与圆相切的条件，结合导数的运用，即可得到所求值． 【解析】（1）设抛物线C ：22y px =， 由抛物线C 的准线方程为1x =-知122pp ==，，故抛物线C ：24y x =； （2）设直线MN 的方程为x ty n =+，并与抛物线C ：24y x =联立得2440y ty n --=； 设1122()()M x y N x y ，，，，则由216()0t n ∆=+>知2t n >-，由根与系数关系知121244y y t y y n +=⎧⎨=-⎩，，故由弦长公式：1212|||()m MN y yy y =-+ 由直线MN 与圆O 相切，知圆心(10)O ，到直线MN 的距离1d r ===，故22(1)100t n n =--⇒≥≤或2n ≥，22(1)10t n n n =-->-⇒<或1n >，故0n <或2n ≥；当2n =时，0t =，切线情况唯一；当0n <或2n >时，t =，有两条切线对称存在， 将22(1)1t n =--代入弦长公式：m = 若三条动弦MN 满足直线MN 与圆O 相切， 则必有当2n =，0t =时的切线成立，否则动弦MN 的存在条数一定是偶数，此时m = 令3()(1)f n n n =-，则2()(1)(41)f n n n '=--，故()f n 在(0)-∞，上单调递减，在[2)+∞，上单调递增； 当(0)n ∈-∞，时，()(0)f n ∈+∞，，(0)m ∈+∞，；当[2)n ∈+∞，时，()[2)f n ∈+∞，，)m ∈+∞，故当m =(0)n ∈-∞，，t =2条切线， 当20n t ==，时存在1条切线，共存在3条切线；综上所述：m =【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系．直线与抛物线的方程联立，由判别式大于0和根与系数关系，结合弦长公式，以及点到直线的距离公式，直线与圆相切的条件，结合导数的运用，即可得出结果．14．已知(),1T m 为抛物线()2:20C x py p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，且2TF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过圆()22:21E x y ++=上任意一点G ，作抛物线C 的两条切线1l 、2l ，与抛物线相切于点M 、N ，与x 轴分别交与点A 、B ，求四边形ABNM 面积的最大值． 【试题来源】浙江省绍兴市柯桥区2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）24x y =；（2）【分析】（1）利用抛物线的定义求出p 的值，由此可得出抛物线C 的方程；（2）设点23 / 33()11,M x y 、()22,N x y 、()00,G x y ，则[]03,1y ∈--，写出直线GM 、GN 的方程，进而可求得切点弦MN 的方程，联立直线MN 与抛物线的方程联立，列出根与系数关系，求得MN ，进而可求得四边形ABNM 面积关于0y 的关系式，利用二次函数的基本性质可求得四边形ABNM 面积的最大值． 【解析】（1）2TF =，由抛物线定义知，122p+=，2p ∴=， 因此，抛物线C 的方程为24x y =；（2）设()11,M x y 、()22,N x y 、()00,G x y ，[]03,1y ∈--，对于函数24x y =，求导得2x y '=，所以，切线AM 的斜率为112x k =，所以，切线AM 的方程为()1112x y y x x -=-， 即21111111122222x x x x x x x y y y y y =-+=-+=-，即1122x x y y =+，所以，11122Ay x x x ==， 同理可得切线BN 的方程为2222x x y y =+，则22222B y x x x ==， 另一方面，点()00,G x y 在两切线上，从而满足：()()1010202022x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，因此切点弦MN 的方程为()002x x y y =+，直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立：200240x x x y -+=，从而12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，且M N ==，点()00,G x y 到直线MN的距离为d =，GMNGABABNM S SS=-四边形120112222x x y =⋅-()()32020012322001421424y x y x x y x ==-+--+()()2200000473x y y y y =-+=---，当[]03,1y ∈--=≤ 2200073773924y y y ⎛⎫---=-++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当03y =-时，两个等号同时成立，ABNM S ∴≤四边形因此，四边形ABNM 的最大值为15．已知抛物线C ：22y px =（0p >），点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，等边OAB 的边长为83．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l ：2x ty =+[]()1,3t ∈与抛物线C 相交于D ，E 两点，直线DE 不经过点(0,1)M ，DEM △的面积为S ，求22S t +的取值范围． 【试题来源】河南省中原名校2020-2021学年高三下学期质量考评一 【答案】（1）24y x =；（2）[]36,220【分析】（1）先根据题意得到A 点的坐标，代入抛物线方程求出p 点的坐标，即可求出抛物线的标准方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系得到124y y t +=，128y y =-，根据弦长公式得到DE ，再利用点到直线的距离公式求出M 到直线l 的距离，得出DEM △的面积，代入22S t +，利用t 的取值范围，即可求出22S t +的取值范围．【解析】（1）OAB 是边长为83的等边三角形，点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，4,33A ⎛∴± ⎝⎭，即16833p =，解得2p =，∴抛物线方程为24y x =． （2）将直线l 的方程为2x ty =+与抛物线C 的方程24y x =联立，消去x ，得2480y ty --=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则124y y t +=，128y y =-，25 /3312DE y y ∴=-== 点()0,1M ，∴点M 到直线l ：20x ty --=的距离为d ==DEM ∴的面积122S DE d t =⋅==+， []1,3t ∈，()()()223242242242S t t t t t t ∴=++=++++，设()32224f t t t t =+++，则()23420f t t t '=++>，()f t ∴在[]1,3上单调递增，即()[]9,55f t ∈，[]236,2202S t ∴∈+．故22S t +的取值范围为[]36,220． 【名师点睛】本题解题的关键是利用弦长公式以及点到直线的距离公式求出DEM △的面积，写出22S t +的表达式．16．已知动圆P 与x 轴相切且与圆x 2+(y -2)2=4相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）已知E (4，2)，过点(0，4)作直线交曲线C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当△ABE 的面积S 1与△ABD 的面积S 2之比12S S 取最大值时，求直线AB 的方程．【试题来源】安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考【答案】（1）()280x y x =≠；（2）40x y -+=．【分析】（1）由题设，结合抛物线的定义知圆心P 的轨迹是以(0，2)为焦点，以2y =-为准线的抛物线(除去坐标原点)，写出曲线方程即可．（2）由题意设AB 方程为4y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 并联立曲线C ，根据根与系数关系得1212,x x x x +，进而求切线交点D 的坐标，若E 到AB 的距离为1,d DD 到AB 的距离为2d ，即有1122S d S d =，可得12S S 关于k 的函数，根据最值求k 的值并写出AB 的方程．【解析】（1）由题意知，P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，由抛物线的定义知，圆心P 的轨迹是以(0，2)为焦点，以2y =-为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C 的方程为()280x y x =≠．（2）由题意知，()4,2E 在曲线C 上，直线AB 的斜率存在，设AB 方程为4y kx =+，因为直线AB 不经过E 点，知12k ≠-．联立曲线方程有248y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28320x kx --=，设()()1122,,,,A x y B x y 则12128,32x x k x x +==-，以A 为切点的切线方程为()1114x y y x x -=-，即21148x x y x =-，同理以B 为切点的切线为22248x xy x =-，所以由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()4,4D k - 设E 到AB 的距离为1,d D 到AB 的距离为2d，则112222124k S d S d k +===+， 设()210,k t t +=≠则12292S S t t=+-， 所以当3t =，即1k =时，12S S 取最大值，此时直线AB 的方程为40.x y -+= 【名师点睛】（1）利用抛物线定义直接写出轨迹方程．27 / 33（2）由直线与抛物线的位置关系设直线方程，结合根与系数关系以及三角形面积的比例关系得到关于直线斜率的函数，由函数的最值，求斜率并写出直线方程．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，点B 在直线1y =-上，点M 满足//MB OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅．点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）点P 在曲线C 上，且横坐标为2，问：是否在曲线C 上存在D ，E 两点，使得DPE 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明DPE 的个数；若不存在，说明理由．【试题来源】江西省重点中学协作体（南昌二中、九江一中等）2021届高三下学期第一次联考【答案】（1）24x y =；（2）存在，1个．【分析】（1）由向量的数量积运算可得M 到A 点的距离等于M 到直线1y =-的距离，再由抛物线的定义可得M 是以A 为焦点，以直线1y =-为准线的抛物线，可得曲线C 的方程．（2）设直线PD 的斜率为k ，则直线PE 的斜率为1k-，得出直线PD 和直线PE 的方程，与抛物线的方程联立，由PD PE =，得1(1)1k k k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，令32()1f k k k k =---，求导，分析导函数的正负，得出函数的单调性和极值的符号，可得出32()1f k k k k =---只有1个零点．可得结论．【解析】（1）因为MA AB MB BA ⋅=⋅，所以()()()0MA MB AB MA MB MB MA +⋅=+⋅-=，则||||MA MB =，即M 到A 点的距离等于M 到直线1y =-的距离， 故M 是以A 为焦点，以直线1y =-为准线的抛物线，其方程为24x y =．。
高中数学讲义微专题71 求圆锥曲线方程
微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
圆锥曲线的参数方程全解36页PPT
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
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微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的交点的直线系方程为：120l l λ+=即()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（其中λ为参数）② 与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（其中λ为参数） ③ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（其中λ为参数）④ 过相交两圆221111222222:0:0C x yD xE yF C x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩e e 交点的圆系方程为： ()1201C C λλ+=≠-即()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=⑤ 若直线:0l Ax By C ++=与圆221:0C x y Dx Ey F ++++=有公共点，则过公共点的圆系方程为：0C l λ+=即()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a bλλ-=≠ 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，则椭圆的方程为（ ）A.221164x y += B. 22142x y += C. 2214y x += D. 2214x y += 思路：由已知可得2a =，所以只需利用条件1214k k =-求出的值即可，设()00,P x y ，()11,M x y ，则()11,N x y --。
则101121010,y y y y k k x x x x -+==-+，从而22101010122210101014y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由分子分母平方差的特点及,M P 在椭圆上联想到点差法，得：()()221122222101022200211140414x y b x x y y b x y b ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，所以222102210144y y b x x -=-=-- 即21b =，所以椭圆方程为2214x y += 答案：D例2：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B，且AB =（1）求椭圆C 的离心率（2）若斜率为的直线过点()0,2，且交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线的方程及椭圆C 的方程解：（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB =Q22254a b a =⇒+=2242a b a b ∴=⇒=::2:1:a b c ∴=c e a ∴==（2）由（1）可得椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=()()1122,,,P x y Q x y ，OP OQ ⊥Q 12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r由已知可得，直线的方程为22y x =+联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-= 2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例3：已知直线:1l y kx =+，椭圆()222:109x y E m m+=>， （1）若无论为何值，直线与椭圆E 均有公共点，试求m 的取值范围及椭圆离心率关于m 的函数关系式（2）当k =E 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =u u u u r u u u r ，求椭圆E 的方程解：（1）由:1l y kx =+可知直线过定点()0,1l Q 与E 恒有公共点()0,1∴在椭圆上或椭圆内2201119m m∴+≤⇒≥ 293m m ≠⇒≠Qm ∴的范围为[)()1,33,m ∈+∞U若2913m m <⇒<<，则2229,a b m ==c ∴==c e a∴==若293m m >⇒>，则222,9a m b ==c ∴==3c e a∴==综上所述：3333m e m >⎪⎪=<<⎪⎩（2）由已知可得：13y x =+，()0,1M ∴ 设()()1122,,,A x y B x y()()1122,1,,1AM x y MB x y ∴=--=-u u u u r u u u r2AM MB =u u u u r u u u r Q ()12122121x x y y -=⎧∴⎨-=-⎩联立直线与椭圆方程可得：2221319y x x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y可得：22229193m x x m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，整理后可得： ()()22210910mx m +++-=()212122291,1010m x x x x m m -∴+==++ 122x x =-Q()12222212221091210x x x m m x x x m ⎧+=-=⎪+⎪∴⎨-⎪=-=⎪+⎩①②2∴÷①②可得：()()222222101720912109110m m m m m ⎛⎫⎪+⎝⎭-=⇒-=+-+ ()()2211080m m ∴-+=，即429900m m +-=，解得：26m =或215m =-（舍） ∴椭圆方程为22196x y += 例4：过点()4,0A -，向椭圆()222210x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为,B C ，且ABCV 为正三角形，则ab 最大时椭圆的方程为（ ）A. 224143x y +=B. 228183x y +=C. 223144x y +=D. 223188x y += 思路：由题意可知本题确定,a b 值的关键在于ab 达到最大值时，,a b 的取值，那么需要得到关于,a b 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若ABC V 为正三角形，则,AB AC 的斜率为3±，进而能够得到,AB AC 的方程。
以AB为例：()43y x =+，与椭圆方程联立并消元可得到：()2222222381630a bxa x a ab +++-=，所以220316a b ∆=⇒+=，则考虑利用均值不等式得到03ab <≤等号成立条件为223a b =，再结合22316a b +=即可求出,a b 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：,6OAB π∠=3AB k ∴=AB ∴的方程为：)43y x =+ ，联立方程：)22222243y x b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y ：()222222143b x a x a b ++=，整理后可得： ()2222222381630ab x a x a a b +++-=AB Q 与椭圆相切()()()22222228431630a a b a a b ∴∆=-+-=()44422224646412192360a a a b a b a b ∴--+-=即42222412192360a b a b a b -+=22316a b ∴+=由均值不等式可得：223a b +≥=163ab ∴≤⇒≤（等号成立条件为：223a b =） ab ∴的最大值为3，此时2222228383163a a b b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩∴椭圆方程为：223188x y += 答案：D例5：已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF V 是正三角形 （1）求椭圆C 的离心率（2）直线与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为求椭圆C 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由ABF V 是正三角形可得：2a b =，因为222a b c =+∴解得：::2:1:a b c =c e a ∴== （2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=， 设与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若斜率不存在，可得弦长MN = 若斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx mk x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+l Q 与圆222x y b +=相切()2221d b m b k ∴==⇒=+， 代入到上式可得：()()()22222222222231312161641414k k k k MN b b k k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤=++（等号成立条件：22312k k k =+⇒=±） max 2MN b ∴=2b b ∴=⇒=a ∴= ∴椭圆方程为：221123x y +=例6：设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求E 的离心率（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程 解（1）由M 在线段AB 上和2BM MA =可得：2BM MA =u u u u r u u u r()(),0,0,A a B b Q1221,3333OM OB OA a b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u ra ∴=::2a b c ∴=c e a ∴=== （2）由（1）中::2a b c =，可设1yAB x b+=⇒+= 由()(),0,0,A a C b -可得：1,22N b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设N 的对称点'07,2N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 依题意可得：0172222271x b b +-++=⎪⎪⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪= 可解得：3b =a ∴= ∴椭圆方程为221459x y +=1322103OMbb k a a ∴===例7：已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的半焦距为，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c （1）求椭圆的离心率（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程 解：（1）过()(),0,0,c b 的直线的方程为：10x ybx cy bc c b+=⇒+-= 2212O l bc bc d c a b c --∴===+ 1122b b a a ∴=⇒=，由222a b c =+可得：22222324a c a c a ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭ 32c e a ∴== （2）由（1）可得：::2:1:3a b c =∴椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=由圆方程()()225212x y ++-=可得：()102,1,2M r -=设()()1122,,,A x y B x y121242210210x x x x AB AB r +⎧+=-=-⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩==⎩设():21AB y k x =++，联立方程：()2222144y k x x y b=++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224214x k x b +++=⎡⎤⎣⎦，整理后可得： ()()()22221481241240k xk k x k b +++++-=()()221212228124124,1414k k k b x x x x k k ++-∴+=-=++()281214142k k k k +∴-=-⇒=+ 21282x x b ∴=-12AB x ∴=-==AB =Q 22213b b ∴-=⇒=∴椭圆方程为：221123x y += 例8：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2by x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <，若1122,,PF F F PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为__________ 解：1122,,PF F F PF Q 成等比数列221212124F F PF PF c PF PF ∴=⋅⇒=⋅由渐近线方程()2by x b N *=∈可知：2a =，不妨设P 在右支上 1224PF PF a ∴-==()222121212=216PF PF PF PF PF PF ∴-+-⋅=即22212816PF PF c +-=由中线定理可知：()22221222PF PF OF OP+=+()2221682c c OP∴+=+即()222228383203OP c a bb=+=++=+5OP <Q225203253b b ∴+<⇒<由b N *∈可知21b = ∴双曲线方程为：2214x y -= 答案：2214x y -= 小炼有话说：中线定理：已知AD 为ABC V 中底边BC 的中线，则有()22222AB AC AD BD+=+，证明如下：在ADB V 中，由余弦定理可知：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅ ①同理，在ADC V 中，有：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅ ②ADB ADC π∠+∠=Q 且由D 是BC 中点可知：BD CD =∴+①②可得：222222AB AC AD BD CD +=++，即()22222AB AC AD BD+=+例9：（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-（1）求双曲线E 的离心率（2）如图，O 为坐标原点，动直线分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB V 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为by x a=±22bb a a∴=⇒= 22225c a b a ∴=+=ce a∴== （2）若直线不与轴垂直，设()()1122:,,,,l y mx t A x y B x y =+联立方程：11122212t x x my t m y x t y m ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩ ，同理可得11122212t x x my t m y x t y m -⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩设直线与轴交于(),0C t1212OAB S OC y y ∴=⋅⋅-V 即22122841421212t t tt m m m +=⇒=--+ 由直线与渐近线的交点,A B 分别在第一、四象限可知：111222m m >⇒-<< 2140m ∴-> ()22414t m ∴=- 由（1）可得双曲线方程为：222214x y a a-= 联立与双曲线方程：()()22222224184044x my t m y mty t a x y a=+⎧⇒-++-=⎨-=⎩ 因为与双曲线相切()()()2222816410mt t a m ∴∆=---=整理可得：()()()222222441401440m a m a m a +--=⇒--=所以24a = ∴ 双曲线方程为：221416x y -= ∴存在一个总与相切的双曲线E ，其方程为221416x y -= 例10：已知,A B 分别为曲线()222:10x C y a a+=>与轴的左，右两个交点，直线过点B 且与轴垂直，P 为上异于点B 的点，且P 在第一象限，连结AP 与曲线C 交于点M（1）若曲线C为圆，且3BP =，求弦AM 的长 （2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若,,O N P 三点共线，求曲线C 的方程 解：（1）若曲线C 为圆，则可知1a =22:1C x y ∴+= ()()1,0,1,0,1,3A B P ⎛∴- ⎝⎭()3113APk ∴==-- AP ∴的方程：)1103y x x =+⇒-+=12O AP d -∴==AM ∴==（2）由已知可得：()(),0,,0A a B a -，设直线():AP y k x a =+()(),2y k x a P a ak x a=+⎧∴⇒⎨=⎩ 联立直线与椭圆方程可得：()()22222221x y x k x a a a y k x a ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩，整理后可得：()22232422120a k xa k x a k a +++-=可知该方程的两根为：,A M x a x =-，由韦达定理可得：422221A M a k a x x a k -=+ 32221M a a k x a k -∴=+()2221M M aky k x a a k ∴=+=+ ，即3222222,11a a k ak M a k a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,,O N P Q 共线，且BP 为圆的直径OP BM ∴⊥0OP BM ∴⋅=u u u r u u u u r()32222222,2,,11a k ak OP a ak BM a k a k ⎛⎫-== ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r Q 322222222011a k ak OP BM a ak a k a k -∴⋅=⋅+⋅=++u u u r u u u u r4222222401a k a k a k -+∴=+，即4222240a k a k -+=解得：a =∴ 曲线C 的方程：2212x y +=。