合情推理 课时作业 高中数学选修1-2 苏教版

第2章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
双基达标 (限时15分钟)
1．经计算发现下列不等式：
2＋18<210， 4.5＋15.5<210， 3＋2＋ 17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 成立的条件不等式________________________________________________________________________．
答案 若a ＋b ＝20，则a ＋b <210(其中a ，b 为正实数)
2．观察下列等式：
C 15＋C 55＝23－2
C 19＋C 59＋C 99＝27＋23
C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25
C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________________.
解析 由类比推理，每一个等式的结论由两项组成，第一项2的指数为(4n ＋
1)－2＝4n －1，第二项前有(－1)n ，指数为2n －1，即有24n －1＋(－1)n ·22n －1. 答案 24n －1＋(－1)n ·22n －1
3．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三 角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积 分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则此四面体的体积V ＝__________.
解析 运用分割法思想，设四面体S -ABC 的内切球的球心为O ，连接OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱维，则V S -ABC ＝V O -SAC ＋V O -SAB ＋V O -SBC ＋V O -ABC
＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R .
答案 13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类 似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ________．
解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案 1∶8
5．观察下列各式
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为__________________．
答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4(n ∈N *)
6．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2
，记f (n )＝(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )， 试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值．
解 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，
f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)
＝f (1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－19 ＝34·89＝23＝46，
f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)
＝f (2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－116 ＝23·1516＝58.
由此猜想，f (n )＝n ＋22(n ＋1)
.
综合提高 (限时30分钟)
7．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________．
解析 前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)个，即有n 2－n 2个，因此第
n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62
. 答案 n 2－n ＋62
8．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相 等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n } 相应的一个正确命题是：“___________________”．
答案 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则有b s －1t b t －1s
＝1 9．由图(1)有面积关系：
S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P -A ′B ′C ′V P -ABC
＝____________.
解析 由三棱锥的体积公式V ＝13Sh 及相似比可知：
V P -A ′B ′C ′V P -ABC
＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC . 答案 P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC
10．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，
第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学
所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．
解析这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即有1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，…
将该数列的每一项除以3得余数分别为：
1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…
由此可见余数的变化规律是按1,1,2,0,2,2,1,0循环，周期是8，且一个周期中第四个数与第八个数都是3的倍数，即在三个周期中有6个报出的数是3的倍数，后面6个数中除以3的余数为1,1,2,0,2,2，只有一个是3的倍数，故共有7个是3的倍数，共拍手7次．
答案7
11．从大、小正方形的数量关系上，观察如右图所示的几何图形，
试归纳可得出什么结论？
解从大、小正方形的数量关系上，容易发现
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. 12．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有怎样的等式成立？
解由此，猜测本题的答案为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．
事实上，对于等差数列{a n}，如果a k＝0，则a n＋1＋a2k－1－n＝a n＋2＋a2k－2－n＝…
＝a k＋a k＝0.所以有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a n＋(a n
＋1＋a n
＋2
＋…＋a2k
－2－n ＋a2k
－1－n
)(n<2k－1，n∈N＋)
从而对等比数列{b n}，如果b k＝1，则有等式b1b2…b n＝b1b2…b2k－1－n(n<2k －1，n∈N
＋
)成立．
∵b 9＝1，∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)成立．
13．(创新拓展)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
①类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
②探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明； ③在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项的和S n .
解 ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
②由①知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，
∴a n ＋2＝a n ，
∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
③当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N ＋，则
S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a
＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ，
当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N ＋，则
S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n 2(a ＋b )．
∴它的前n 项的和
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋12a ＋n －12b (n 为奇数)，
n 2(a ＋b )(n 为偶数).。