【精品高考数学】2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破-专题10 坐标系与参数方程 +答案

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2020高考数学三轮冲刺解答题专练--立体几何一(10题含答案)

2020高考数学三轮冲刺解答题专练--立体几何一1.如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC=λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥BDMN 的体积．2.如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，PA 的中点，点Q 是BC 上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PDQ ；(2)当BD ⊥FQ 时，求BQ QC的值．3.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.4.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．5.如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AD=SD ，BC=CD=12AB ，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD ；(2)若∠SDA =120°，且三棱锥S BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积．6.如图，四棱锥PABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA=AD.(1)求证：AF∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD.7.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，M是AB的中点．(1)求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；(2)求点M到平面A1CB1的距离．8.如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，E为AB1的中点，AB=AA1=BB1=2CC1.(1)求证：CE∥平面A1B1C1；(2)求证：平面AB1C1⊥平面A1BC.9.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=6，BC=2AB=4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使BE ⊥EC.(1)若BE=1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得CP∥平面ABEF ？若存在，求出AP PD的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF 的体积的最大值，并求出此时点F 到平面ACD 的距离．10.如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=1，点E ，F 分别为AB 和PC 的中点，连接EF ，BF.(1)求证：直线EF∥平面PAD.(2)求三棱锥FPEB 的体积．答案解析1.解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD=60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN∩DO=D，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB=BC ，可得NC=14AC ，所以AN NC=3，即λ=3. (2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB=2，AN NC =3，可得点N 到平面BCDE 的距离h=14AB=12，由∠BCD=60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM=DE 2－EM 2=22－12=3，所以△BDM 的面积S=12×DM×BM=32，所以三棱锥BDMN 的体积V BDMN =V NBDM =13Sh=13×32×12=312.2.解：(1)证明：∵E ，Q 分别是AD ，BC 的中点，∴ED=BQ ，ED ∥BQ ，∴四边形BEDQ 是平行四边形，∴BE ∥DQ.又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ，∴BE ∥平面PDQ ，又F 是PA 的中点，∴EF ∥PD ，∵EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ，∴EF ∥平面PDQ ，∵BE∩EF =E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ∥平面PDQ.(2)如图，连接AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD.∵BD ⊥FQ ，PA∩F Q=F ，PA ⊂平面PAQ ，FQ ⊂平面PAQ ，∴BD ⊥平面PAQ ，∵AQ ⊂平面PAQ ，∴AQ ⊥BD ，∴AB 2=AD×B Q ，又AB=1，AD=2，∴BQ=12，QC=32，∴BQ QC =13.3.证明：(1)如图，连接AE ，设DF 与GN 的交点为O ，则AE 必过DF 与GN 的交点O.连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO.又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN.又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG.又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN.又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG.又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE∩BD =D ，所以平面BDE ∥平面MNG.4.解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG.在Rt △EGF 中，由EG=FG=12AC ，求得∠FEG=45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.5.解：(1)证明：设BC=a ，则CD=a ，AB=2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD =90°，则BD=2a ，∠CBD=45°，所以∠ABD =∠ABC－∠CBD =45°，在△ABD 中，AD=AB 2＋DB 2－2AB·DB·cos 45°=2a ，因为AD 2＋BD 2=4a 2=AB 2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD ， BD ⊂平面ABCD ，所以BD⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=2a ，在△SAD 中，∠SDA=120°，SA=2SDsin 60°=6a ，作SH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则SH=SDsin 60°=62a ，由(1)知BD⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD⊥SH，又AD∩BD =D ，所以SH⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥SBCD 的高，所以V S BCD =13×62a ×12×a 2=612，解得a=1，由BD⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD⊥SD，则SB=SD 2＋BD 2=2＋2=2，又AB=2，SA=6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为 4－64=102，则△SAB 的面积为12×6×102=152.6.证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG 、EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点，∴FG 为△CDP 的中位线，∴FG ∥CD ，FG=12CD. ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE=12CD.∴FG=AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF ∥平面PEC.(2)∵PA =AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∵CD⊥AD，AD ∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∵AF ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AF ，又PD∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ，由(1)知EG∥AF，∴EG ⊥平面PCD ，又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC⊥平面PCD.7.解：(1)证明：由A 1A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥CM.由AC=CB ，M 是AB 的中点，得AB⊥CM.又A 1A ∩AB=A ，则CM⊥平面ABB 1A 1，又CM ⊂平面A 1CM ，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1.(2)设点M 到平面A 1CB 1的距离为h.连接MB 1.由题意可知A 1C=CB 1=A 1B 1=2MC=22，A 1M=B 1M=6，则S △A 1CB 1=23，S △A 1MB 1=2 2.由(1)可知CM⊥平面ABB 1A 1，则CM 是三棱锥C A 1MB 1的高，由VC A 1MB 1=13MC ·S△A 1MB 1=VM A 1CB 1=13h ·S △A 1CB 1，得h=2×2223=233，即点M 到平面A 1CB 1的距离为233.8.证明：(1)由题意知AA 1⊥平面ABC ，BB 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1∥CC 1.如图，取A 1B 1的中点F ，连接EF ，FC 1.∵E 为AB 1的中点，∴EF 綊12A 1A ，又AA 1=2CC 1，∴CC 1綊12AA 1，∴EF 綊CC 1， ∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE∥C 1F.又CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴CE∥平面A 1B 1C 1.又AB⊥BC，AB ∩BB 1=B ，∴BC ⊥平面AA 1B 1B.∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴BC ⊥AB 1.∵AA 1=BB 1=AB ，AA 1∥BB 1，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，∴AB 1⊥A 1B.∵A 1B ∩BC=B ，∴AB 1⊥平面A 1BC.∵AB 1⊂平面AB 1C 1，∴平面AB 1C 1⊥平面A 1BC.9.解：(1)线段AD 上存在一点P ，使得CP∥平面ABEF ，此时AP PD =32. 理由如下：当AP PD =32时，AP AD =35，过点P 作PM∥FD 交AF 于点M ，连接EM ，则有MP FD =AP AD =35，由题意可得FD=5，故MP=3，由题意可得EC=3，又MP∥FD∥EC，∴MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，∴CP ∥ME ，又∵CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴CP ∥平面ABEF 成立．(2)设BE=x(0＜x≤4)，∴AF=x ，FD=6－x ，由题意可得EC⊥EF，又BE⊥EC，BE ∩EF=E ，∴EB ⊥平面ECDF ， ∵AF ∥BE ，∴AF ⊥平面ECDF.故V A CDF =13×12×2×(6－x)×x =13(－x 2＋6x)， ∴当x=3时，V A CDF 有最大值，且最大值为3，此时EC=1，AF=3，FD=3，DC=22，AD=32，AC=14，在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠ADC=AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC =18＋8－142×32×22=12，∴sin ∠ADC=32， ∴S △ADC =12·DC ·DA ·sin ∠ADC=33，设点F 到平面ACD 的距离为h ，由于V A CDF =V F ACD ，即3=13·h ·S △ACD ， ∴h=3，即点F 到平面ACD 的距离为 3.10.解：(1)如图，作FM∥CD 交PD 于点M ，连接AM.因为点F 为PC 中点，所以FM=12CD. 因为点E 为AB 的中点，所以AE=12AB=FM. 又AE∥FM，所以四边形AEFM 为平行四边形，又EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD.所以EF∥AM.所以直线EF∥平面PAD.(2)连接EC.已知∠DAB =60°，AE=12，AD=1，由余弦定理，得DE⊥AB，又AB∥DC，则DE⊥DC，设F 到平面BEC 的距离为h.因为点F 为PC 的中点，所以h=12PD. 从而有V F PBE =V P BEF =V P BEC －V F BEC =13S △BEC ·(PD －h)=13S △BEC ·12PD =13×12×12×32×12×1=348.。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分7第7讲坐标系与参数方程课件文

第十章附加考査部分;第7讲坐标系与参数方程》理教材▼圖収教材回顾•基础自测紅知识毓理/»1.直线的极坐标方程若直线经过点M(p0, 00),且直线Z的倾斜角为°,则它的方程为:psin(O—a) =p o sin(^o—«)-几个特殊位置的直线的极坐标方程：⑴直线过极点：0=a或〃=兀+久；(2)直线过点M(a9 0)且垂直于极轴：pcos 0=a；(3)直线过点Mb,身且平行于极轴：psin 0=b.2. 圆的极坐标方程2popcos(0—Oo) +pQ —r 2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(2) 圆心位于M(r 9 0),半径为r ： p =2rcosz、jr(3) 圆心位于M r 9 3，半径为r ： p=2rsin 0.M(p Q9 00)9半径为/: (1) 圆心位于极点, 半径为心p=r ；3.常见曲线的参数方程⑴圆F+宀,的参数方程为5鬥y=rsm &（0为参数）.⑵圆（X —x0）2+（y— Jo）2—r2的参数方程为参数）•=1的参数方程为=xo+rcos 伏=yo+?sin 0(0为x=acos 09 y=bsin 0（0为参数）.⑸过定点P （x 0,旳）且倾斜角为«的直线的参数方程为（4）抛物线y 2=2px 的参数方程为 =2pt（t 为参数）. x=xo+Zcos a, y=yo+rsin a（t 为参数）.4.直角坐标与极坐标的互化极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位•如图, 设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（兀，刃和S ，〃），则F=〃COS 〃，严2,y=psin 0, tan 0=^~ (x^O) •把直角坐标系的原点作为极点，兀轴正半轴作为 1yM(x 7y) A .X產D豳E9冏1.在极坐标系中，直线2的方程为〃sin〃=3,则点2, ?到直线I的距离为解析：因为直线？的极坐标方程可化为y=3,Z 、点〔2, ｛化为直角坐标为（茹，1）, 答案：2所以点2,I的距离为2.2.若曲线的极坐标方程为p=2sin〃+4cos伏以极点为原点, 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________ .解析：因为“=2sin 〃+4cos 0,所以p2=2psin 〃+4/>cos 0, 所以由互化公式知x2+j2=2y+4x,即x2+j2—2j—4x=0. 答案：X2+/-4X-2J=03.若直线的参数方程为「=2_\匚（t为参数），则直线的倾斜角为________ ・解析：由直线的参数方程知，斜率吃=U=T=—f=tan伏〃为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150。

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案巩固训练(1)1. 点M 的直角坐标为(－3，3)，化为极坐标是________；点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－2π3，化为直角坐标是________．2. 极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为________________，极坐标方程ρsin 2 θ－2cos θ＝0表示的曲线是________．3. 以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4为圆心且经过极点的圆的极坐标方程为______________．4. 在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ和ρsin θ＝2的位置关系是__________．5. 极点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3的距离是________．6. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．7. 在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为____________．8. 在极坐标系中，已知P 为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上的任意一点．求点P 到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．9. 在极坐标系中，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，求r 的值．10. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．答案1. ⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3 (－2，－23) 解析：ρ＝（－3）2＋32＝23，tan θ＝3－3＝－3，θ在第二象限，故θ＝2π3，即点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3；由x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－23，故点P 的直角坐标为(－2，－23)．2. 一条直线或一个圆抛物线解析：由题意可得ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，故cos θ＝0或ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x ＝0或x 2＋y 2＝4y ，即该极坐标方程表示的曲线为一条直线或一个圆；ρsin 2θ－2cos θ＝0化为直角坐标方程为y 2－2x ＝0，即该极坐标方程表示的曲线为方程是y 2＝2x 的抛物线．3. ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 解析：点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4化为直角坐标为(2，－2)，则半径为r ＝（2）2＋（2）2＝2，所以该圆的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，化为极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.4. 相切解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.ρsin θ＝2化为直角坐标方程y ＝2，则该圆的圆心到直线的距离d ＝1＝r ，故该直线和圆相切．5. 62 解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3化为直角坐标方程为x ＋y －3＝0，则原点到直线的距离d ＝|0＋0－3|12＋12＝62.6.3 解析：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即圆心为(1，0)，则点(1，3)到圆心(1，0)的距离d ＝02＋（3）2＝ 3.7. 22 解析：曲线C 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点M 化为直角坐标为(23，2)，则切线长为l ＝（23）2＋02－4＝8＝22，故切线长为2 2.8. 解析：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －7＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝8，直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线距离d ＝|0－1－7|12＋12＝4 2.又因为P 为圆上的任意一点，故点P 到直线的距离的最小值为22，最大值为6 2.9. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0.曲线ρ＝r ，即圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝||0－3×0－21＋3＝1.因为直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，所以r ＝d ，即r＝1.10. 解析：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心(2，0)，半径为2的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A(4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线与圆的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6，连结OB. 因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝23，因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.随堂巩固训练(2)1. 若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为________．2. 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________________．3. 已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，则AB ＝________．4. 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝2（e t－e －t ）(t 为参数)的普通方程为______________．5. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．6. 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t2(t 为参数)，焦点为F ，直线x ＋2y －12＝0与该抛物线交于A ，B 两点，则△ABF 的面积为________．7. 直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．8. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a的取值范围是________________．9. 设P ，Q 分别为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝6－2t (t 为参数)和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)上的点，则PQ 的最小值为________．10. 已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．12. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．13. 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1) 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2) 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求点P 的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．答案1. －32 解析：由题意可得直线的普通方程为y ＝－32x ＋72，故直线的斜率为－32.2. y ＝x －2(2≤x ≤3) 解析：θ为参数，则sin 2θ∈[0，1]，x ∈[2，3]，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ，则⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝x －2，sin 2θ＝y ，故该直线的普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 52 解析：直线l 1化为普通方程为4x ＋3y －10＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －10＝0，2x －4y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝0，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12＋（0－2）2＝52.4. x 24－y216＝1(x ≥2) 解析：由参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t ＋2e －t ①，y ＝2e t －2e －t ②，把①和②平方相减得4x 2－y 2＝16，即x 24－y216＝1.又因为x ≥2e t ·e －t ＝2，故该参数方程的普通方程为x 24－y 216＝1(x ≥2)．5. 14 解析：由题意可得直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝22，所以直线被圆截得的弦长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 6. 25 解析：由题意得抛物线的普通方程为x 2＝4y ，则焦点F(0，1)，F 到直线的距离为d ＝|0＋2－12|12＋22＝2 5.由抛物线和直线的方程消y 得x 2＋2x －24＝0，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－24，所以AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝54（x 1－x 2）2＝55，所以S △ABF ＝12×25×55＝25.7. 相交解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离为d ＝|0－0－9|32＋（－4）2＝95<2＝r ，故直线与圆的位置关系是相交．8. [2－5，2＋5] 解析：曲线C 1的普通方程为x ＋2y －2a ＝0，即为一条直线，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，即为圆．因为直线与圆有公共点，所以d ＝|0＋4－2a|12＋22≤2，解得2－5≤a ≤2＋ 5. 9. 55 解析：直线的普通方程为2x ＋y －6＝0，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，故曲线C 表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，圆心到直线的距离为d ＝|2－2－6|22＋12＝65＝655，所以PQ 的最小值为655－5＝55.10. 12 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆心到直线的距离为d ＝22，所以AB ＝2r 2－d 2＝2，故S △ABC ＝12×22×2＝12.11. 解析：设点M ()2cos θ，23sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由题知OA ＝2，OB ＝23，所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大，最大值为2 6.12. 解析：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2) 方法一：将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t()t 为参数代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，所以t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.所以线段AB 的长为AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.方法二：由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，得直线l 的普通方程为3x－y ＋4＝0.由(1)知圆的圆心的坐标为(0，0)，半径R ＝4，所以圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）2＝2，故AB ＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3.13. 解析： (1) 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，故C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2) C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. 点A 坐标为()sin 2α，－cos αsin α，故当α变化时，点P 轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116，故点P 轨迹是以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．巩固训练(3)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ.(1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．答案1. 垂直解析：ρcos (θ－α)＝a 化为x cos α＋y sin α＝a ，θ＝α可化为x sin α－y cos α＝0.因为cos αsin α－sin αcos α＝0，所以这两条直线垂直．2. (3，－3) 解析：将直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝16得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6.将t 1，t 2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－23，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝0，所以AB 的中点坐标为(3，－3)．3. 14 解析：直线l 化为直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22，所以AB ＝24－12＝14.4. ρcos θ＝2 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为(0，2)，故过点(2，2)的圆的切线方程为x ＝2，化为极坐标方程是ρcos θ＝2.5. 4 解析：点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332，点B 化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故A ，B 两点间的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332－322＝4. 6. 22－2 解析：圆C 化为直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，直线l 化为直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故圆上的动点P 到直线l 的最短距离为d ＝|0－2－2|12＋12－2＝22－2. 7. 22 解析：射线化为直角坐标方程y ＝x(x ≥0)，圆化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，两式联立消y 得2x 2－4x ＝0，即x 2－2x ＝0，故射线与圆的交点为(0，0)，(2，2)，所以射线被圆截得的弦长为22＋22＝2 2.8. 1 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，故点到直线的距离d ＝|3－3＋2|1＋（－3）2＝1.9. 2 解析：直线化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，圆化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，两式联立消x 得4y 2＝1，所以直线与圆的交点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1，－12，故AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝2.10. (2，－4) 解析：曲线C 1化为直角坐标方程为x ＋y ＋2＝0.将曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(2，－4)．11. 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程．圆ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t 即2x －y ＝3，所以圆心在直线上．所以截得的弦长为3.12. 解析：(1) 消去参数t ，得直线的直角坐标方程为y ＝2x －3； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2) 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．13. 解析：(1) ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ两边同时除以ρ2，可得1＝364ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ，即1＝364x 2＋9y2，故直角坐标方程x 29＋y 24＝1. (2) 设点P(3cos θ，2sin θ)，则3x ＋4y ＝9cos θ＋8sin θ＝145sin (θ＋φ)，当sin (θ＋φ)＝1时，3x ＋4y 的最大值为145.巩固训练(4)1. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2. 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和的最小值为________．3. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是__________．4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1AF＋1BF ＝________．5. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，QF →＝3FP →，则直线l 的斜率为________．6. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，准线l ：x ＝－32，点M在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF ＝－3，则△AFM 的面积为________．7. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，与它的准线交于点P ，则ABAP ＝ ________．8. 过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．9. 已知P ，Q 是抛物线x 2＝1a y(a>0)上的两点，过P ，Q 两点的不同切线交于点M ，若△MPQ 是等边三角形，则△MPQ 的面积为________．10. 过抛物线y 2＝4x 的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．11. 已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1) 求抛物线的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．12. 已知过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0的直线与抛物线C ：y 2＝4x 交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1) 求证：y 1·y 2为定值；(2) 若△AOB 的面积为814，O 为坐标原点，求直线AB 的方程．13. 已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．答案与解析巩固训练1. x 2－y23＝1 解析：由题意得，抛物线的准线为x ＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e ＝ca ＝2，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x 2－y23＝1.2. 5 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F ，故点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和最小时，P ，A ，F 三点共线，d min ＝AF ＝（－1－1）2＋12＝ 5.3. 3 解析：由题意得F ⎝⎛⎭⎪⎫14，0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1.因为A ，B 位于x轴两侧，所以y 1y 2＝－2.故S △ABO ＋S △AFO ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝|2y 1＋y 1|＋18×|y 1|＝|2y 1＋98y 1|≥3，当且仅当2y 1＝98y 1时，取等号，此时△ABO 与△AFO 面积之和最小值3.4. 1 解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1.设过点F 的直线方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.令点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线性质可知AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.5. ±15 解析：过点P 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为P 1，设PF ＝k ，由抛物线性质可得PF ＝PP 1＝k ，QF ＝3k ，QP ＝4k ，在Rt △PQP 1中，QP 1＝（4k ）2－k 2＝15k ，则tan ∠QPP 1＝15，故直线l 的斜率为±15.6. 93 解析：由题意得抛物线C ：y 2＝6x ，焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.又因为k AF ＝－3，MA ⊥l ，所以∠MAF ＝60°，又由抛物线性质得AM ＝FM ，故△AFM 为等边三角形．又AF ＝2FO 12＝4FO ＝6，故S △AFM ＝12×6×6×sin 60°＝9 3.7. 23 解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83p ，即有x 1＋x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消去y并整理得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，AP ＝4p ，故AB AP ＝23.8. 163 解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y －1＝33x ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得14x 2－33x －1＝0，则x 1＋x 2＝433，x 1x 2＝－4，AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43（x 1－x 2）2＝43×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋16＝163.9. 334a 2 解析：由对称性可知点M 在y 轴上，则此时PM ，QM 的斜率分别为±3，y ＝ax 2，y′＝2ax ＝±3，故PQ ＝3a ，所以S △MPQ＝12×3a ×3a ×sin 60°＝334a 2.10. 16 解析：由抛物线过焦点弦公式得AB ＝4（sin 30°）2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，且p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y.(2) 设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是y ＝x 14x.由⎩⎨⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，所以x M ＝84－x 1，同理x N ＝84－x 2，所以MN ＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2. 设直线AB ：y ＝kx ＋1，因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，得MN ＝82|4k 2＋116－16k －4|＝82k 2＋1|4k －3|.设4k －3＝t ，t ≠0，所以k ＝3＋t4， ①当t>0时，MN ＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；②当t<0时， MN ＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝852，所以此时MN 的最小值为852，此时t ＝－253， k ＝－43.综上所述，MN 的最小值为85 2.12. 解析：(1) 当直线AB 垂直于x 轴时，y 2＝4×92＝18，得y 1＝32，y 2＝－32，所以y 1·y 2＝－18.当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，y 2＝4x ，得ky 2－4y －18k ＝0，由根与系数的关系可得y 1·y 2＝－18. 综上，y 1·y 2为定值．(2) 由(1)得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－18， AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1k 2×72＋16k 2.点O 到直线AB 的距离d ＝|－9k|4k 2＋4， S △OAB ＝12×1＋1k 2×72＋16k 2×|－9k|4k 2＋4＝814.解得k ＝±43. 直线AB 的方程为y ＝±43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，即4x ＋3y －18＝0或4x －3y －18＝0.【注】①分直线与x 轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x 轴垂直时直接求出y 1y 2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y 1y 2为定值；②利用弦长公式求出AB 的长度，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式求得k 值，则直线AB 的方程可求．13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C 的方程x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c>0，解得c ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2) 抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y′＝12x.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中y 1＝14x 21，y 2＝14x 22)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程xx 0－2y 0－2y ＝0的两组解，所以直线AB 的方程为xx 0－2y 0－2y ＝0.巩固训练（6）1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1) 化简：A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2) 用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______________．2. 在四面体OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可表示为____________(用a ，b ，c 表示)．3. 已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A ，B ，C ，D 四点中一定共线的三点是________．4. 在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(填序号)①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0; ④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.5. 已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝____________．(用向量a ，b ，c 表示)6. 已知G 是△ABC 的重心，O 是空间内与点G 不重合的任意一点，若OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________．7. 已知在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各式：(1) AG →＋13BE →－12AC →； (2) 12(AB →＋AC →－AD →)．8. 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1) 判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2) 判断点M 是否在平面ABC 内．9. 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1) OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2) PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.答案随堂巩固训练(7)1. (1) A 1A → (2) 12AB →＋12AD →＋AA 1→ 解析：(1) A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2) OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，故OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 2. 12a ＋14b ＋14c 解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .3. A ，B ，D 解析：由已知得BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以BD →与AB →共线，且有公共点B ，故A ，B ，D 三点共线．4. ③ 解析：若有MA→＝xMB →＋yMC →，则点M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则点M 与点A 、B 、C 共面，①②④不满足x ＋y ＋z ＝1，③满足MA →＝xMB →＋yMC →，故③正确．5. 3a ＋3b －5c 解析：因为EF→＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF→，两式相加，得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．因为E 是AC 的中点，所以EA →＋EC →＝0.同理，BF →＋DF →＝0，所以EF →＝12(AB →＋CD →)＝12[(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )]＝3a ＋3b －5c .6. 3 解析：由于G 是三角形ABC 的重心，则有GA →＋GB →＋GC →＝0，即OA→－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.又由题目已知OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 7. 解析：(1) AG →＋13BE →－12AC →＝AE →－12AC →＝12(AD →＋AC →)－12AC →＝12AD →＝AF →.(2) 12(AB →＋AC →－AD →)＝AH →－12AD →＝AH →＋FA →＝FH →. 8. 解析：(1) 由OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，得OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，所以MA→，MB →，MC →共面． (2) 由(1)知MA→，MB →，MC →共面，且共过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内． 9. 解析：(1) 如图所示．因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2) 因为PA→＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又PC→＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →，所以PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →，所以x ＝2，y ＝－2.巩固训练(8)1. 在△ABC 中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为____________________．2. 已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________．3. 已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则|a ＋b |＝________．4. 已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝________．5. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________________________________________________________________________.6. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．7. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥PABC 的体积为________．8. 如图，已知空间几何体ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1) 求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2) 若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM→⊥BF →，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1) 求|BN→|； (2) 求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3) 求证：A 1B ⊥C 1M.10. 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P →＝λA 1B →，且PC ⊥AB.求：(1) λ的值；(2) 异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．答案与解析随堂巩固训练(9)1. B(6，－4，5)，C(9，－6，10) 解析：由A(2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C(9，－6，10)．2. －2 解析：计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行，得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2.3. 19 解析：因为|a －b |＝7，所以|a |2＋|b |2－2a ·b ＝7.又因为|a |＝3，|b |＝2，所以a ·b ＝3，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝9＋4＋2×3＝19，则|a ＋b |＝19.4. 103 －6 解析：若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，所以x ＝103；若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，所以x ＝－6.5. －2或255 解析：cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或λ＝255.6. 459 解析：设正方体的棱长为2，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝4－4－13×3＝－19，故sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.7. 118 解析：以{BA →，BC →，BB 1→}为单位正交基底，建立空间直角坐标系(如图)，设BP →＝λBD 1→，可得P(λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|＝2λ（λ－1）＋λ22λ2＋（λ－1）2＝11＋13λ2－2λ，可求得当λ＝13时，∠APC最大，故V PABC ＝13×12×1×1×13＝118.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则BE →＝(3，0，1)，BF →＝(0，3，2)，BD 1→＝(3，3，3)，所以BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面．(2) 如图，设M(0，0，z)，则GM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－23，z .又BF →＝(0，3，2)．由题设得GM →·BF →＝0，得z ＝1. 所以M(0，0，1)．因为E(3，0，1)，所以ME→＝(3，0，0)．又BB 1→＝(0，0，3)，BC →＝(0，3，0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，所以ME ⊥BB 1，ME ⊥BC. 因为BB 1，BC平面BCC 1B 1，BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.9. 解析：(1) 建立以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系．由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，所以BN→＝(1，－1，1)，所以|BN→|＝12＋（－1）2＋12＝ 3. (2) 由(1)知A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，则BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝0－1＋46×5＝3010. (3) 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，C 1(0，0，2)则A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，即A 1B →与C 1M →的夹角为90°，所以A 1B ⊥C 1M.10. 解析：(1) 设正三棱柱的棱长为2，以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)，所以AB →＝(3，1，0)，CA 1→＝(0，－2，2)，A 1B →＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB→＝0，所以(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0，即(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0，得λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(2) 由(1)知CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1→＝(0，2，2)，所以cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.随堂巩固训练(10)1. 已知a ＝(1，1，2)，b ＝(－1，－1，3)，且(k a ＋b )∥(a －b )，则k ＝________．2. 已知a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，则m ，n 的值分别为________．3. 已知A(－3，5，－2)，向量a ＝(－1，1，1)，若在yOz 平面上找一点B ，使得AB→∥a ，则点B 的坐标为________．4. 已知a ＝(2，－1，1)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(11，5，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ的值为________．5. 已知M 1(2，5，－3)，M 2(3，－2，－5)，O 为坐标原点，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→＝4MM 2→，则向量OM →的坐标为__________．6. 若正三棱锥的三个侧面两两垂直，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________．7. 已知O 为坐标原点，OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OC →＝(1，1，2)，点M 在直线OC 上运动．当MA →·MB→取最小值时，求点M的坐标．8. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.9. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.答案与解析随堂巩固训练(10)1. －1 解析：由题意得k a ＋b ＝(k －1，k －1，2k ＋3)，a －b ＝(2，2，－1)．又(k a ＋b )∥(a －b )，所以k －12＝k －12＝2k ＋3－1，解得k＝－1.2. －6，2 解析：因为a ∥b ，所以－24＝3m ＝－1n ，解得m ＝－6，n ＝2.3. (0，2，－5) 解析：设点B(0，y ，z)，则AB→＝(3，y －5，z ＋2)．又因为AB →∥a ，所以3－1＝y －51＝z ＋21，解得y ＝2，z ＝－5，那么点B 的坐标为(0，2，－5)．4. 1 解析：由题意可知a ，b 不共线，令c ＝m a ＋n b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝11，－m ＋4n ＝5，m －2n ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，n ＝3，λ＝1，此时a ，b ，c 共面，λ的值为1. 5. ⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92 解析：由题意得M 1M 2→＝(1，－7，－2)，M 1M 2→＝4MM 2→，所以MM 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫14，－74，－12，OM →＝OM 2→－MM 2→＝(3，－2，－5)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－74，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92.6. 33 解析：以正三棱锥OABC 的顶点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为1，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，侧面OAB 的一个法向量为OC→＝(0，0，1)，底面ABC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫13，13，13，所以cos 〈OC→，n 〉＝33，故侧面与底面所成的二面角的余弦值为33.7. 解析：设OM→＝λOC →＝(λ，λ，2λ)，则 MA →·MB →＝(OA →－OM →)·(OB →－OM →)＝OA →·OB →－(OA →＋OB →)·OM →＋|OM →|2＝10－3λ－3λ－10λ＋λ2＋λ2＋4λ2＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，所以当MA →·MB →取最小值时，λ＝43，故OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则点N ，E 的坐标分别为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.因为点A ，M 的坐标分别为A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以NE →＝AM →且NE 和AM 不共线，所以NE ∥AM.又NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，所以AM ∥平面BDE.(2) 因为D(2，0，0)，F(2，2，1)，所以DF→＝(0，2，1)．所以AM →·DF→＝0，由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以AM →⊥DF →. 同理AM→⊥BF →，又DF ∩BF ＝F ，DF ，BF 平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF.9. 解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12A 1D 1→＋12D 1C 1→＝12b ＋12a .因为AC→＝AB →＋AD →＝a ＋b ，所以AC→＝2EG →，故AC →∥EG →，即EG ∥AC . 又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D →＝12b －12c ， B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →，所以EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C .又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ，EG ，EF 平面EFG ，AC ，B 1C 平面AB 1C ，所以平面EFG ∥平面AB 1C .巩固训练(11)1. 在二面角中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，则二面角的大小为____________．2. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为________．3. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AB ＝2AC ＝2a ，则AB 与平面PBC 所成角的正弦值为________．4. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是对角线BD 1上的点，且BE ∶ED 1＝1∶3，则AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．5. 已知l ∥α，且直线l 的一个方向向量为(2，m ，1)，平面α的一个法向量为⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2，则实数m ＝________．6. 已知△ABC 是等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝12AC ，则二面角P-BC-A 的大小是________．7. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ，则二面角APBC 的余弦值为________．8. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是线段BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1A 1DC 1的余弦值．9. 如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1) 求证：MN ∥平面ABCD ； (2) 求二面角D 1ACB 1的正弦值；(3) 设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．10. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1) 求证：D 1E ⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到平面ACD 1的距离； (3) 试求AE 等于何值时，二面角D 1ECD 的大小为π4.答案与解析随堂巩固训练(11)1. 30°或150° 解析：在二面角α-l-β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，所以cos 〈n 1，n 2〉＝0－14－23×94＝－32，则二面角α-l-β的大小为30°或150°. 2. 90° 解析：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，A 1P ＝t(0≤t ≤2)，A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，P(2，t ，2)，AM→＝(－2，0，1)，OP →＝(1，t －1，2)，所以AM →·OP →＝－2＋0＋2＝0，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为90°.3. 55 解析：如图，作AD ⊥PC ，连结BD ，因为PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以PA ⊥BC.又因为AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.因为AD 平面PAC ，所以BC ⊥AD.因为AD ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，BC ，PC 平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ，所以∠ABD 为直线AB 与平面PBC 所成的角．在Rt △PAC 中，由等面积可得AD ＝2a ×a 5a ＝25a 5，在Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝55，所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.4. 31111 解析：建立以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系，令该正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12.由正方体的性质取AB →为平面BCC 1B 1的一个法向量，AB →＝(2，0，0)，所以cos 〈AB →，AE →〉＝31111，故AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为31111.5. －8 解析：由题意得(2，m ，1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝4＋12m ＝0，解得m ＝－8.6. 30° 解析：取PC ，AC 的中点E ，F ，连结EF ，BF ，以点F 为原点，FB 所在直线为x 轴，FC 所在直线为y 轴，FE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，令△ABC 的边长为2，则P(0，－1，1)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A(0，－1，0)，所以PB→＝(3，1，－1)，PC →＝(0，2，－1)，BC →＝(－3，1，0)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －z ＝0，2y －z ＝0，－3x ＋y ＝0，即⎩⎨⎧z ＝2y ，x ＝33y ，取y ＝1，故平面PBC 的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，2，由题可知P A →为平面ABC 的一个法向量，则P A →＝(0，0，－1)，所以cos 〈n 1，P A →〉＝－32，故二面角PBCA 的大小为30°.7. －277 解析：令AD ＝1，则AB ＝2，由∠DAB ＝60°易知DB ＝3，所以DA ⊥DB.以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，所以PA →＝(1，0，－1)，PB→＝(0，3，－1)，PC →＝(－1，3，－1)．设平面APB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝3，得平面APB 的一个法向量为n ＝(3，3，3)．设平面PBC 的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝0，－a ＋3b －c ＝0，取b ＝3，得平面PBC 的一个法向量为m ＝(0，3，3)．令二面角APBC 的平面角为θ，由题可知θ为钝角，故cos θ＝－|cos 〈n ，m 〉|＝－|n ·m |n ||m ||＝－|3＋921×12|＝－277.8. 解析：(1) 因为在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)，所以A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝(1，2，－3)．设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1C 1→＝0，n 1·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3z 1，y 1＝0，取z 1＝1，则平面A 1C 1D 的一个法向量n 1＝(3，0，1).DB 1→＝(1，－2，3)，所以|cos 〈n 1，DB 1→〉|＝|n 1·DB 1→||n 1||DB 1→|＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) 由(1)得A 1B 1→＝(2，0，0)，DB 1→＝(1，－2，3)．设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·A 1B 1→＝0，n 2·DB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，得平面B 1A 1D 的一个法向量n 2＝(0，3，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝13065，所以二面角B 1A 1DC 1的余弦值的大小为－13065.9. 解析：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1，N(1，－2，1)，所以MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0.依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由此可得MN →·n ＝0.又因为直线MN 平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2) 由(1)得AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0.不妨设z 1＝1，可得平面ACD 1的一个法向量n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC→＝0.又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1), 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，。

【精品高考数学】仿真卷10-决胜2020年高考数学实战演练仿真卷(江苏专版)+答案

决胜2020年高考数学实战演练仿真卷10（考试时间：120分钟试卷满分：160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设,)12(i i z -=则复数z 的实部与虚部之和为 .2.已知集合A ＝{0，a }，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为____________．3.数()ln(31)f x x =-的定义域为 .4.数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．6.执行如图所示的算法流程图，输出的S 的值是________.7.已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．8.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9.已知直线0()ax y a R -=∈与圆C ：222220x y x y +---=交于A ，B 两点，C 为圆心，若2ACB π∠=，则a 的值为___.10.若P 是函数x x x f ln )(=图象上的动点，点)1,0(-A ，则直线AP 的斜率的取值范围是 .11.在ABC ∆中,6=AB ，D AC ,4=是边BC 的中点，BC DE ⊥交AB 于点E ，若,2AE BE =则CE AE ⋅= .12.在△AB C 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB →·AC →的值为____________．13.若π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个零点，则函数f (x )在区间(0，2π)内所有极值点之和为________________．14．已知函数()x f x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知在ABC ∆中，,53cos -=C 角C B A ,,对应的边分别为.,,c b a（1）求)62sin(π-C 的值；（2）若5=c ，求ABC ∆周长的最大.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.17.（本小题满分14分）如图所示，某海滨养殖场有一块可用水城，该养殖场用隔离网OP 把该水域分为两个部分，其中120302MON PON OP ︒︒∠=∠==，，百米，现计划过P 处再修建一条直线型隔离网，其端点分别在,OM ON 上，记为,A B（1）若要使得所围区域ABO ∆面积不大于OA 的取值范围：（2）若要在POB ∆区域内养殖鱼类甲，POA ∆区域内养殖鱼类乙，已知鱼类甲的养殖成本是4万元/平方百米，鱼类乙的养殖成本是1万元/平方百米.试确定OA 的值，使得养殖成本最小， 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，并且点⎛ ⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k (k 为常数)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，交x 轴于点(,0)P m ，Q 为直线2x =上的任意一点，记QA ，QB ，QP 的斜率分别为1k ，2k ，0k .若1202k k k +=，求m 的值.19.（本小题满分16分）若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． (1) 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ① 求{a n }的通项公式；② 试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”.20．（本小题满分16分）已知函数()()2xf x x R =∈．（1）解不等式()()21692xf x f x ->-⨯；（2）若函数()()()2F x f x f x m =--在区间[]1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,过点()2,4P --的直线l的参数方程为2,242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，记直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.(1)求曲线C 和l 的直角坐标方程； (2)证明：,,PM MN PN 成等比数列.C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点．（1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值；（2）求二面角A CE B --的余弦值．23．（本小题满分10分）已知整数n ≥3，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有含有3个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，AC 3n ，设A 1，A 2，A 3，…，AC 3n 中所有元素之和为S n .(1) 求S 3，S 4，S 5，并求出S n ； (2) 证明：S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ＝6C 5n ＋2.决胜2020年高考数学实战演练仿真卷10（考试时间：120分钟试卷满分：160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设,)12(i i z -=则复数z 的实部与虚部之和为 .【答案】-3【解析】由,2)12(i i i z --=-=得复数z 的实部和虚部分别为-2和-1，所以实部与虚部之和为.312-=-- 2.已知集合A ＝{0，a }，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为____________．【答案】2【解析】A ＝{0，a }，B ＝{0，1，3}, A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2.3.数()ln(31)f x x =-的定义域为 .【答案】11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()ln(31)f x x =-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以解集为1132x <≤，所以()f x 定义域为11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦.4.数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．【答案】165【解析】平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy 为整数的概率是________．【答案】12【解析】本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12. 6.执行如图所示的算法流程图，输出的S 的值是________.【答案】7【解析】根据程序框图：0,1S n ==；1,2S n ==；3,3S n ==；7,4S n ==，结束，输出7=S . 7.已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．【答案】33【解析】双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m ＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.8.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．【答案】4【解析】由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.9.已知直线0()ax y a R -=∈与圆C ：222220x y x y +---=交于A ，B 两点，C 为圆心，若2ACB π∠=，则a 的值为___. 【答案】-1【解析】由题意可得，圆的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径2R =，因为2ACB π∠=，所以圆心到直线的距离为sin 4522R ︒== 又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离为d =，=1a =-，故答案为1-.10.若P 是函数x x x f ln )(=图象上的动点，点)1,0(-A ，则直线AP 的斜率的取值范围是 . 【答案】[)+∞,1【解析】由题意知,1ln )(+='x x f 令,0)(='x f 得,1e x =所以x x x f ln )(=在)1,0(e上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增.,11)1(->-=ee f 直线AP 与x x x f ln )(=的图象相切时,直线AP 的斜率最小,设切点坐标为),ln ,(000x x x 则1ln )(00+='x x f ，所以切线方程为))(1(ln ln 0000x x x x x y -+=-，把)1,0(-A 的坐标代入，解得10=x .故直线AP 的斜率11ln 0=+≥x k .11.在ABC ∆中,6=AB ，D AC ,4=是边BC 的中点，BC DE ⊥交AB 于点E ，若,2AE BE =则⋅= . 【答案】2【解析】因为D 是BC 的中点,BE =2AE 所以3121=⋅=, 所以3121,31+-=++=-=,216131)(21--=+--=又BC DE ⊥，所以0=⋅，即,0)()2161(=-⋅--AB AC AC AB 整理得6=⋅. 所以.23191)31(312=⋅-=-⋅=⋅ 12.在△AB C 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则·的值为____________．【答案】－36 【解析】由题设知将向量等式两边平方，得从而有4·＝4×82－202＝(16＋20)(16－20)＝－36×4，∴ ·＝－36.13.若π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个零点，则函数f (x )在区间(0，2π)内所有极值点之和为________________．【答案】143π【解析】由题知2×π6＋φ＝k π，从而φ＝－π3＋k π，k ∈Z ，从而f (x )＝±sin(2x －π3)，函数在(0，2π)上所有极值点之和就是图象在(0，2π)上的所有最高点与最低点的横坐标之和．令2x －π3＝π2＋k π，从而2x ＝56π＋k π，即x ＝512π＋π2k ，k ∈Z ，又x ∈(0，2π)，故k ＝0，1，2，3，从而所有极值点之和为512π×4＋π2＋π＋32π＝53π＋3π＝143π 14．已知函数()x f x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】)1,12(2---e e 【解析】22()(2)()2|2|(2)2|2|()x x a ag x x f x a x x a x f x e e=--+-=--+-，函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点，设()2xx e t -=，则()'1xt x e =-，故函数y t =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且当1x =时，t e =-，画出()2xy t x e==-图像，如图所示：()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，原函数有6个零点，的则只需()K t 有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，故2122440440a a a a ⎧∆=+>⎨∆=+>⎩，解得0a >或1a <-；且3434200t t a t t a +=->⎧⎨=->⎩，解得0a <，且对称轴满足0e t a -<=<，()0K e ->，解得2021e a e -<<-.综上所述：2,121e a e ⎛⎫∈-- ⎪-⎝⎭. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知在ABC ∆中，,53cos -=C 角C B A ,,对应的边分别为.,,c b a（1）求)62sin(π-C 的值；（2）若5=c ，求ABC ∆周长的最大.【解析】（1）由53cos -=C 可得,54sin =C,2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==∴C C C C C .503247212572325246sin2cos 6cos2sin )62sin(-=⨯+⨯-=-=-∴πππC C C （2）∴=,5c Θ由余弦定理得,cos 2522C ab b a -+=整理得.545)(2ab b a +=+ 由基本不等式得,)2)(545545)(22b a ab b a +⨯+≤+=+得25≤+b a（当且仅当45==b a 时取等号） ABC c b a ∆∴+≤++∴,525周长的最大值为525+. 16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.【解析】（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ，∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ，∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ，又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥17.（本小题满分14分）如图所示，某海滨养殖场有一块可用水城，该养殖场用隔离网OP 把该水域分为两个部分，其中120302MON PON OP ︒︒∠=∠==，，百米，现计划过P 处再修建一条直线型隔离网，其端点分别在,OM ON 上，记为,A B（1）若要使得所围区域ABO ∆面积不大于OA 的取值范围：（2）若要在POB ∆区域内养殖鱼类甲，POA ∆区域内养殖鱼类乙，已知鱼类甲的养殖成本是4万元/平方百米，鱼类乙的养殖成本是1万元/平方百米.试确定OA 的值，使得养殖成本最小，【解析】()1设 OA a =百米, OB b =百米, AOB POB AOP S S S ∆∆∆=+因为AOB POB AOP S S S ∆∆∆=+所以111sin1202sin 302222ab b a ︒︒=⨯+⋅化简得：22ab b a =+所以b =,因为0b =>,所以3a >=因为1sin1202AOB S ab ︒∆===≤所以260a -+≤,a ≤≤答：OA 在3百米与.()2记总成本为y则1142sin 302sin 90222y b a a b ︒︒=⨯⨯⨯+⨯=+2b a =+,12a b=+所以()12222255b a y a b a b a b a b ⎛⎫⎫=+=++=++≥+=⎪⎪⎭⎭当且仅当22b aa b=时,即a b =时""=成立12a b=+,所以a b ==答：OA 为 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，并且点1,2⎛ ⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k (k 为常数)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，交x 轴于点(,0)P m ，Q 为直线2x =上的任意一点，记QA ，QB ，QP 的斜率分别为1k ，2k ，0k .若1202k k k +=，求m 的值.【解析】（1）因为椭圆C 的焦点为(1,0)F ，点1,2⎛ ⎝⎭在此椭圆上.所以21a c =+==，所以1,1c a b ====，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）由已知直线:()l y k x m =-，设()11,Ax y ，()22,B x y ，()02,Q y ，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222124220k x mk x k m +-+-=. 所以222121222422,1212mk k m x x x x k k-+==++. 因为1020012012,,222y y y y y k k k x x m--===---且1202k k k +=，所以10200122222y y y y y x x m--+=---，整理得()01221120222k km y m x x ⎛⎫--++=⎪---⎝⎭，因为点()02,Q y 不在直线l 上，所以020k km y --≠，所以122110222m x x ++=---，整理得()12122(2)40x x m x x m -+++=，将2122412mk x x k+=+，221222212k m x x k -=+代入上式解得1m =，所以1m =.19.（本小题满分16分）若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． (1) 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ① 求{a n }的通项公式；② 试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”.【解析】① 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n －1＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋1.② 数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n －1＋1，所以a m ＜a n ＜a k .所以a 2n ＝a m ·a k ，得(2n －1＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1.又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1. 所以22n－m －1＋2n－m ＋1－2k －1－2k－m为偶数，与22n－m －1＋2n－m ＋1－2k －1－2k －m ＝1矛盾．所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”． (2) 证明：不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”．当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0. 为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a 2n ＝a m a k 成立，即[a m ＋(n －m )d ]2＝a m [a m ＋(k －m)d]，即(n －m)[2a m ＋(n －m)d]＝a m (k －m )成立．当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列．所以，数列{a n }为“等比源数列”． 20．（本小题满分16分）已知函数()()2xf x x R =∈．（1）解不等式()()21692xf x f x ->-⨯；（2）若函数()()()2F x f x f x m =--在区间[]1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）原不等式即为2221692x x x ->-⨯，设t =2x ，则不等式化为t ﹣t 2＞16﹣9t ，即t 2﹣10t +16＜0，解得28t <<，即228x <<，∴1＜x ＜3，∴原不等式的解集为()1,3．（2）函数()F x 在[]1,1-上有零点，∴()0F x =在[]1,1-上有解，即()()2m f x f x =-在[]1,1-有解．设()()()2112224x x f x f x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，∵[]1,1x ∈-，∴1222x≤≤，∴()124x ϕ-≤≤．∵()()2m f x f x =-在[]1,1-有解，∴124m -≤≤，故实数m 的取值范围为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（3）由题意得()()()()()()22x x f x g x h x fx g x h x -⎧=+=⎪⎨-=-+-=⎪⎩，解得()()222222x xx xg x h x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．由题意得()()220ag x h x +≥，即()()()222222222222022x xxxx x x xa a -----+--+=-+≥对任意[]1,2x ∈恒成立，令22x x k -=-，[]1,2x ∈，则31524k ≤≤．则得2202k ak ++≥对任意的315,24k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴122a k k ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意的315,24k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵()122G k k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()max 317212G k G ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ∴1712a ≥-，∴实数a 的取值范围17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【解析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上，所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,过点()2,4P --的直线l的参数方程为2,4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，记直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.(1)求曲线C 和l 的直角坐标方程；(2)证明：,,PM MN PN 成等比数列.【解析】（1）由2sin 2cos ρθθ=，得22sin 2cos ρθρθ= ，所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =，由242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为2y x =-. （2）证明：将直线l的参数方程224x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22y x =中，得2400t -+=. 设,M N 两点对应的参数分别为12,t t，则有12t t +=1240t t =，所以()222121212440MN t t t t t t =-=+-=. 因为21240PM PN t t MN ⨯===，所以PM ，MN ，PN 成等比数列.C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【解析】（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥. （2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-a <<. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点．（1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值；（2）求二面角A CE B --的余弦值．【解析】因为DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，所以可以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为1AC AD ==，2AB =，所以()0,0,0A ，()1,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,1D ，因为点E 为线段BD 的中点，所以10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,2,0BC =-u u u v ，所以·4cos ,5AE BC AE BC AE BC 〈〉===-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45. （2）设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，因为()1,0,0AC =u u u v ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，所以1·0n AC u u u v =，1·0n AE =u u u v ，即0x =且102y z +=，取1y =，得0x =，2z =-，所以()10,1,2n =-是平面ACE 的一个法向量．设平面BCE 的法向量为()2,,n x y z =，因为()1,2,0BC =-u u u v ，10,1,2BE u u u v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2·0n BC =u u u v ，2·0n BE =u u u v ，即20x y -=且102y z -+=，取1y =，得2x =，2z =，所以()22,1,2n =是平面BCE 的一个法向量．所以121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉=== 由图可知二面角为钝角，所以二面角A CE B --的余弦值为5-. 23．（本小题满分10分）已知整数n ≥3，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有含有3个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，AC 3n ，设A 1，A 2，A 3，…，AC 3n 中所有元素之和为S n .(1) 求S 3，S 4，S 5，并求出S n ；(2) 证明：S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ＝6C 5n ＋2.【解析】当n ＝3时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 3＝1＋2＋3＝6，当n ＝4时，集合M 每个元素出现了C 23次，S 4＝C 23(1＋2＋3＋4)＝30，(2分)当n ＝5时，集合M 每个元素出现了C 24次，S 5＝C 24(1＋2＋3＋4＋5)＝90，所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了C 2n －1次，故S n ＝C 2n －1·n （n ＋1）2. (2) 证明：因为S n ＝C 2n －1·n （n ＋1）2＝（n ＋1）n （n －1）（n －2）4＝6C 4n ＋1. 则S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ＝6(C 44＋C 45＋C 46＋…＋C 4n ＋1)＝6(C 55＋C 45＋C 46＋…＋C 4n ＋1)＝6C 5n ＋2.。

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破——专题10 坐标系与参数方程 (解析版)

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题10坐标系与参数方程2020年江苏高考核心考点1.坐标系与参数方程是江苏高考必考题，考试大纲要求掌握参数方程与普通方程的转化。

2.江苏高考常对极坐标方程与直角坐标方程的互化。

2020年高考三轮冲刺卷理数答案

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2020年高考数学(文科) 历年真题模拟题高分必刷题之坐标系

[基础题组练]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．3．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，所以当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cosπ3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝⎛⎭⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中， |OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.4．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.[综合题组练]1．(2019·沈阳质量检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值．解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，消去参数t 得x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，所以|OA |＝2sin α，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，所以|OB |＝4sin α，所以|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α，因为0<α<π，所以当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2.2．(2019·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.3．(综合型)(2019·河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标．解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0，因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5，因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，② 联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12或⎝⎛⎭⎫32，32. 又由于圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，点A 的极径为 ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3. 所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3. 4．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点；当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.。

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)，点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6，此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2，即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0，解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12，即12ρcos θ-32ρsin θ=12，又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。

2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案

2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案巩固训练(1)1. 点M 的直角坐标为(－3，3)，化为极坐标是________；点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－2π3，化为直角坐标是________．2. 极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为________________，极坐标方程ρsin 2 θ－2cos θ＝0表示的曲线是________．3. 以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4为圆心且经过极点的圆的极坐标方程为______________．4. 在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ和ρsin θ＝2的位置关系是__________．5. 极点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3的距离是________．6. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．7. 在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为____________．8. 在极坐标系中，已知P 为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上的任意一点．求点P 到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．9. 在极坐标系中，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，求r 的值．10. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．答案1. ⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3 (－2，－23) 解析：ρ＝（－3）2＋32＝23，tan θ＝3－3＝－3，θ在第二象限，故θ＝2π3，即点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3；由x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－23，故点P 的直角坐标为(－2，－23)．2. 一条直线或一个圆抛物线解析：由题意可得ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，故cos θ＝0或ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x ＝0或x 2＋y 2＝4y ，即该极坐标方程表示的曲线为一条直线或一个圆；ρsin 2θ－2cos θ＝0化为直角坐标方程为y 2－2x ＝0，即该极坐标方程表示的曲线为方程是y 2＝2x 的抛物线．3. ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 解析：点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4化为直角坐标为(2，－2)，则半径为r ＝（2）2＋（2）2＝2，所以该圆的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，化为极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.4. 相切解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.ρsin θ＝2化为直角坐标方程y ＝2，则该圆的圆心到直线的距离d ＝1＝r ，故该直线和圆相切．5. 62 解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3化为直角坐标方程为x ＋y －3＝0，则原点到直线的距离d ＝|0＋0－3|12＋12＝62.6.3 解析：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即圆心为(1，0)，则点(1，3)到圆心(1，0)的距离d ＝02＋（3）2＝ 3.7. 22 解析：曲线C 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点M 化为直角坐标为(23，2)，则切线长为l ＝（23）2＋02－4＝8＝22，故切线长为2 2.8. 解析：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －7＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝8，直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线距离d ＝|0－1－7|12＋12＝4 2.又因为P 为圆上的任意一点，故点P 到直线的距离的最小值为22，最大值为6 2.9. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0.曲线ρ＝r ，即圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝||0－3×0－21＋3＝1.因为直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，所以r ＝d ，即r＝1.10. 解析：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心(2，0)，半径为2的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A(4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线与圆的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6，连结OB. 因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝23，因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.随堂巩固训练(2)1. 若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为________．2. 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________________．3. 已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，则AB ＝________．4. 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝2（e t－e －t ）(t 为参数)的普通方程为______________．5. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．6. 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t2(t 为参数)，焦点为F ，直线x ＋2y －12＝0与该抛物线交于A ，B 两点，则△ABF 的面积为________．7. 直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．8. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a的取值范围是________________．9. 设P ，Q 分别为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝6－2t (t 为参数)和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)上的点，则PQ 的最小值为________．10. 已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．12. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．13. 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1) 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2) 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求点P 的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．答案1. －32 解析：由题意可得直线的普通方程为y ＝－32x ＋72，故直线的斜率为－32.2. y ＝x －2(2≤x ≤3) 解析：θ为参数，则sin 2θ∈[0，1]，x ∈[2，3]，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ，则⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝x －2，sin 2θ＝y ，故该直线的普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 52 解析：直线l 1化为普通方程为4x ＋3y －10＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －10＝0，2x －4y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝0，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12＋（0－2）2＝52.4. x 24－y216＝1(x ≥2) 解析：由参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t ＋2e －t ①，y ＝2e t －2e －t ②，把①和②平方相减得4x 2－y 2＝16，即x 24－y216＝1.又因为x ≥2e t ·e －t ＝2，故该参数方程的普通方程为x 24－y 216＝1(x ≥2)．5. 14 解析：由题意可得直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝22，所以直线被圆截得的弦长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 6. 25 解析：由题意得抛物线的普通方程为x 2＝4y ，则焦点F(0，1)，F 到直线的距离为d ＝|0＋2－12|12＋22＝2 5.由抛物线和直线的方程消y 得x 2＋2x －24＝0，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－24，所以AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝54（x 1－x 2）2＝55，所以S △ABF ＝12×25×55＝25.7. 相交解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离为d ＝|0－0－9|32＋（－4）2＝95<2＝r ，故直线与圆的位置关系是相交．8. [2－5，2＋5] 解析：曲线C 1的普通方程为x ＋2y －2a ＝0，即为一条直线，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，即为圆．因为直线与圆有公共点，所以d ＝|0＋4－2a|12＋22≤2，解得2－5≤a ≤2＋ 5. 9. 55 解析：直线的普通方程为2x ＋y －6＝0，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，故曲线C 表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，圆心到直线的距离为d ＝|2－2－6|22＋12＝65＝655，所以PQ 的最小值为655－5＝55.10. 12 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆心到直线的距离为d ＝22，所以AB ＝2r 2－d 2＝2，故S △ABC ＝12×22×2＝12.11. 解析：设点M ()2cos θ，23sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由题知OA ＝2，OB ＝23，所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大，最大值为2 6.12. 解析：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2) 方法一：将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t()t 为参数代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，所以t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.所以线段AB 的长为AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.方法二：由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，得直线l 的普通方程为3x－y ＋4＝0.由(1)知圆的圆心的坐标为(0，0)，半径R ＝4，所以圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）2＝2，故AB ＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3.13. 解析： (1) 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，故C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2) C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. 点A 坐标为()sin 2α，－cos αsin α，故当α变化时，点P 轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116，故点P 轨迹是以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．巩固训练(3)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ.(1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．答案1. 垂直解析：ρcos (θ－α)＝a 化为x cos α＋y sin α＝a ，θ＝α可化为x sin α－y cos α＝0.因为cos αsin α－sin αcos α＝0，所以这两条直线垂直．2. (3，－3) 解析：将直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝16得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6.将t 1，t 2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－23，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝0，所以AB 的中点坐标为(3，－3)．3. 14 解析：直线l 化为直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22，所以AB ＝24－12＝14.4. ρcos θ＝2 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为(0，2)，故过点(2，2)的圆的切线方程为x ＝2，化为极坐标方程是ρcos θ＝2.5. 4 解析：点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332，点B 化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故A ，B 两点间的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332－322＝4. 6. 22－2 解析：圆C 化为直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，直线l 化为直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故圆上的动点P 到直线l 的最短距离为d ＝|0－2－2|12＋12－2＝22－2. 7. 22 解析：射线化为直角坐标方程y ＝x(x ≥0)，圆化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，两式联立消y 得2x 2－4x ＝0，即x 2－2x ＝0，故射线与圆的交点为(0，0)，(2，2)，所以射线被圆截得的弦长为22＋22＝2 2.8. 1 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，故点到直线的距离d ＝|3－3＋2|1＋（－3）2＝1.9. 2 解析：直线化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，圆化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，两式联立消x 得4y 2＝1，所以直线与圆的交点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1，－12，故AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝2.10. (2，－4) 解析：曲线C 1化为直角坐标方程为x ＋y ＋2＝0.将曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(2，－4)．11. 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程．圆ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t 即2x －y ＝3，所以圆心在直线上．所以截得的弦长为3.12. 解析：(1) 消去参数t ，得直线的直角坐标方程为y ＝2x －3； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2) 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．13. 解析：(1) ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ两边同时除以ρ2，可得1＝364ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ，即1＝364x 2＋9y2，故直角坐标方程x 29＋y 24＝1. (2) 设点P(3cos θ，2sin θ)，则3x ＋4y ＝9cos θ＋8sin θ＝145sin (θ＋φ)，当sin (θ＋φ)＝1时，3x ＋4y 的最大值为145.巩固训练(4)1. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2. 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和的最小值为________．3. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是__________．4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1AF＋1BF ＝________．5. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，QF →＝3FP →，则直线l 的斜率为________．6. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，准线l ：x ＝－32，点M在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF ＝－3，则△AFM 的面积为________．7. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，与它的准线交于点P ，则ABAP ＝ ________．8. 过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．9. 已知P ，Q 是抛物线x 2＝1a y(a>0)上的两点，过P ，Q 两点的不同切线交于点M ，若△MPQ 是等边三角形，则△MPQ 的面积为________．10. 过抛物线y 2＝4x 的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．11. 已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1) 求抛物线的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．12. 已知过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0的直线与抛物线C ：y 2＝4x 交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1) 求证：y 1·y 2为定值；(2) 若△AOB 的面积为814，O 为坐标原点，求直线AB 的方程．13. 已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．答案与解析巩固训练1. x 2－y23＝1 解析：由题意得，抛物线的准线为x ＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e ＝ca ＝2，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x 2－y23＝1.2. 5 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F ，故点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和最小时，P ，A ，F 三点共线，d min ＝AF ＝（－1－1）2＋12＝ 5.3. 3 解析：由题意得F ⎝⎛⎭⎪⎫14，0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1.因为A ，B 位于x轴两侧，所以y 1y 2＝－2.故S △ABO ＋S △AFO ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝|2y 1＋y 1|＋18×|y 1|＝|2y 1＋98y 1|≥3，当且仅当2y 1＝98y 1时，取等号，此时△ABO 与△AFO 面积之和最小值3.4. 1 解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1.设过点F 的直线方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.令点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线性质可知AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.5. ±15 解析：过点P 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为P 1，设PF ＝k ，由抛物线性质可得PF ＝PP 1＝k ，QF ＝3k ，QP ＝4k ，在Rt △PQP 1中，QP 1＝（4k ）2－k 2＝15k ，则tan ∠QPP 1＝15，故直线l 的斜率为±15.6. 93 解析：由题意得抛物线C ：y 2＝6x ，焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.又因为k AF ＝－3，MA ⊥l ，所以∠MAF ＝60°，又由抛物线性质得AM ＝FM ，故△AFM 为等边三角形．又AF ＝2FO 12＝4FO ＝6，故S △AFM ＝12×6×6×sin 60°＝9 3.7. 23 解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83p ，即有x 1＋x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消去y并整理得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，AP ＝4p ，故AB AP ＝23.8. 163 解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y －1＝33x ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得14x 2－33x －1＝0，则x 1＋x 2＝433，x 1x 2＝－4，AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43（x 1－x 2）2＝43×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋16＝163.9. 334a 2 解析：由对称性可知点M 在y 轴上，则此时PM ，QM 的斜率分别为±3，y ＝ax 2，y′＝2ax ＝±3，故PQ ＝3a ，所以S △MPQ＝12×3a ×3a ×sin 60°＝334a 2.10. 16 解析：由抛物线过焦点弦公式得AB ＝4（sin 30°）2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，且p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y.(2) 设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是y ＝x 14x.由⎩⎨⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，所以x M ＝84－x 1，同理x N ＝84－x 2，所以MN ＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2. 设直线AB ：y ＝kx ＋1，因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，得MN ＝82|4k 2＋116－16k －4|＝82k 2＋1|4k －3|.设4k －3＝t ，t ≠0，所以k ＝3＋t4， ①当t>0时，MN ＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；②当t<0时， MN ＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝852，所以此时MN 的最小值为852，此时t ＝－253， k ＝－43.综上所述，MN 的最小值为85 2.12. 解析：(1) 当直线AB 垂直于x 轴时，y 2＝4×92＝18，得y 1＝32，y 2＝－32，所以y 1·y 2＝－18.当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，y 2＝4x ，得ky 2－4y －18k ＝0，由根与系数的关系可得y 1·y 2＝－18. 综上，y 1·y 2为定值．(2) 由(1)得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－18， AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1k 2×72＋16k 2.点O 到直线AB 的距离d ＝|－9k|4k 2＋4， S △OAB ＝12×1＋1k 2×72＋16k 2×|－9k|4k 2＋4＝814.解得k ＝±43. 直线AB 的方程为y ＝±43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，即4x ＋3y －18＝0或4x －3y －18＝0.【注】①分直线与x 轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x 轴垂直时直接求出y 1y 2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y 1y 2为定值；②利用弦长公式求出AB 的长度，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式求得k 值，则直线AB 的方程可求．13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C 的方程x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c>0，解得c ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2) 抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y′＝12x.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中y 1＝14x 21，y 2＝14x 22)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程xx 0－2y 0－2y ＝0的两组解，所以直线AB 的方程为xx 0－2y 0－2y ＝0.巩固训练（6）1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1) 化简：A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2) 用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______________．2. 在四面体OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可表示为____________(用a ，b ，c 表示)．3. 已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A ，B ，C ，D 四点中一定共线的三点是________．4. 在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(填序号)①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0; ④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.5. 已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝____________．(用向量a ，b ，c 表示)6. 已知G 是△ABC 的重心，O 是空间内与点G 不重合的任意一点，若OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________．7. 已知在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各式：(1) AG →＋13BE →－12AC →； (2) 12(AB →＋AC →－AD →)．8. 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1) 判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2) 判断点M 是否在平面ABC 内．9. 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1) OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2) PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.答案随堂巩固训练(7)1. (1) A 1A → (2) 12AB →＋12AD →＋AA 1→ 解析：(1) A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2) OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，故OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 2. 12a ＋14b ＋14c 解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .3. A ，B ，D 解析：由已知得BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以BD →与AB →共线，且有公共点B ，故A ，B ，D 三点共线．4. ③ 解析：若有MA→＝xMB →＋yMC →，则点M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则点M 与点A 、B 、C 共面，①②④不满足x ＋y ＋z ＝1，③满足MA →＝xMB →＋yMC →，故③正确．5. 3a ＋3b －5c 解析：因为EF→＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF→，两式相加，得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．因为E 是AC 的中点，所以EA →＋EC →＝0.同理，BF →＋DF →＝0，所以EF →＝12(AB →＋CD →)＝12[(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )]＝3a ＋3b －5c .6. 3 解析：由于G 是三角形ABC 的重心，则有GA →＋GB →＋GC →＝0，即OA→－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.又由题目已知OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 7. 解析：(1) AG →＋13BE →－12AC →＝AE →－12AC →＝12(AD →＋AC →)－12AC →＝12AD →＝AF →.(2) 12(AB →＋AC →－AD →)＝AH →－12AD →＝AH →＋FA →＝FH →. 8. 解析：(1) 由OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，得OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，所以MA→，MB →，MC →共面． (2) 由(1)知MA→，MB →，MC →共面，且共过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内． 9. 解析：(1) 如图所示．因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2) 因为PA→＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又PC→＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →，所以PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →，所以x ＝2，y ＝－2.巩固训练(8)1. 在△ABC 中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为____________________．2. 已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________．3. 已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则|a ＋b |＝________．4. 已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝________．5. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________________________________________________________________________.6. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．7. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥PABC 的体积为________．8. 如图，已知空间几何体ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1) 求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2) 若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM→⊥BF →，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1) 求|BN→|； (2) 求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3) 求证：A 1B ⊥C 1M.10. 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P →＝λA 1B →，且PC ⊥AB.求：(1) λ的值；(2) 异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．答案与解析随堂巩固训练(9)1. B(6，－4，5)，C(9，－6，10) 解析：由A(2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C(9，－6，10)．2. －2 解析：计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行，得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2.3. 19 解析：因为|a －b |＝7，所以|a |2＋|b |2－2a ·b ＝7.又因为|a |＝3，|b |＝2，所以a ·b ＝3，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝9＋4＋2×3＝19，则|a ＋b |＝19.4. 103 －6 解析：若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，所以x ＝103；若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，所以x ＝－6.5. －2或255 解析：cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或λ＝255.6. 459 解析：设正方体的棱长为2，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝4－4－13×3＝－19，故sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.7. 118 解析：以{BA →，BC →，BB 1→}为单位正交基底，建立空间直角坐标系(如图)，设BP →＝λBD 1→，可得P(λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|＝2λ（λ－1）＋λ22λ2＋（λ－1）2＝11＋13λ2－2λ，可求得当λ＝13时，∠APC最大，故V PABC ＝13×12×1×1×13＝118.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则BE →＝(3，0，1)，BF →＝(0，3，2)，BD 1→＝(3，3，3)，所以BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面．(2) 如图，设M(0，0，z)，则GM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－23，z .又BF →＝(0，3，2)．由题设得GM →·BF →＝0，得z ＝1. 所以M(0，0，1)．因为E(3，0，1)，所以ME→＝(3，0，0)．又BB 1→＝(0，0，3)，BC →＝(0，3，0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，所以ME ⊥BB 1，ME ⊥BC. 因为BB 1，BC平面BCC 1B 1，BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.9. 解析：(1) 建立以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系．由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，所以BN→＝(1，－1，1)，所以|BN→|＝12＋（－1）2＋12＝ 3. (2) 由(1)知A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，则BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝0－1＋46×5＝3010. (3) 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，C 1(0，0，2)则A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，即A 1B →与C 1M →的夹角为90°，所以A 1B ⊥C 1M.10. 解析：(1) 设正三棱柱的棱长为2，以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)，所以AB →＝(3，1，0)，CA 1→＝(0，－2，2)，A 1B →＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB→＝0，所以(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0，即(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0，得λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(2) 由(1)知CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1→＝(0，2，2)，所以cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.随堂巩固训练(10)1. 已知a ＝(1，1，2)，b ＝(－1，－1，3)，且(k a ＋b )∥(a －b )，则k ＝________．2. 已知a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，则m ，n 的值分别为________．3. 已知A(－3，5，－2)，向量a ＝(－1，1，1)，若在yOz 平面上找一点B ，使得AB→∥a ，则点B 的坐标为________．4. 已知a ＝(2，－1，1)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(11，5，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ的值为________．5. 已知M 1(2，5，－3)，M 2(3，－2，－5)，O 为坐标原点，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→＝4MM 2→，则向量OM →的坐标为__________．6. 若正三棱锥的三个侧面两两垂直，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________．7. 已知O 为坐标原点，OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OC →＝(1，1，2)，点M 在直线OC 上运动．当MA →·MB→取最小值时，求点M的坐标．8. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.9. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.答案与解析随堂巩固训练(10)1. －1 解析：由题意得k a ＋b ＝(k －1，k －1，2k ＋3)，a －b ＝(2，2，－1)．又(k a ＋b )∥(a －b )，所以k －12＝k －12＝2k ＋3－1，解得k＝－1.2. －6，2 解析：因为a ∥b ，所以－24＝3m ＝－1n ，解得m ＝－6，n ＝2.3. (0，2，－5) 解析：设点B(0，y ，z)，则AB→＝(3，y －5，z ＋2)．又因为AB →∥a ，所以3－1＝y －51＝z ＋21，解得y ＝2，z ＝－5，那么点B 的坐标为(0，2，－5)．4. 1 解析：由题意可知a ，b 不共线，令c ＝m a ＋n b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝11，－m ＋4n ＝5，m －2n ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，n ＝3，λ＝1，此时a ，b ，c 共面，λ的值为1. 5. ⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92 解析：由题意得M 1M 2→＝(1，－7，－2)，M 1M 2→＝4MM 2→，所以MM 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫14，－74，－12，OM →＝OM 2→－MM 2→＝(3，－2，－5)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－74，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92.6. 33 解析：以正三棱锥OABC 的顶点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为1，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，侧面OAB 的一个法向量为OC→＝(0，0，1)，底面ABC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫13，13，13，所以cos 〈OC→，n 〉＝33，故侧面与底面所成的二面角的余弦值为33.7. 解析：设OM→＝λOC →＝(λ，λ，2λ)，则 MA →·MB →＝(OA →－OM →)·(OB →－OM →)＝OA →·OB →－(OA →＋OB →)·OM →＋|OM →|2＝10－3λ－3λ－10λ＋λ2＋λ2＋4λ2＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，所以当MA →·MB →取最小值时，λ＝43，故OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则点N ，E 的坐标分别为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.因为点A ，M 的坐标分别为A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以NE →＝AM →且NE 和AM 不共线，所以NE ∥AM.又NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，所以AM ∥平面BDE.(2) 因为D(2，0，0)，F(2，2，1)，所以DF→＝(0，2，1)．所以AM →·DF→＝0，由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以AM →⊥DF →. 同理AM→⊥BF →，又DF ∩BF ＝F ，DF ，BF 平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF.9. 解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12A 1D 1→＋12D 1C 1→＝12b ＋12a .因为AC→＝AB →＋AD →＝a ＋b ，所以AC→＝2EG →，故AC →∥EG →，即EG ∥AC . 又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D →＝12b －12c ， B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →，所以EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C .又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ，EG ，EF 平面EFG ，AC ，B 1C 平面AB 1C ，所以平面EFG ∥平面AB 1C .巩固训练(11)1. 在二面角中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，则二面角的大小为____________．2. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为________．3. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AB ＝2AC ＝2a ，则AB 与平面PBC 所成角的正弦值为________．4. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是对角线BD 1上的点，且BE ∶ED 1＝1∶3，则AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．5. 已知l ∥α，且直线l 的一个方向向量为(2，m ，1)，平面α的一个法向量为⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2，则实数m ＝________．6. 已知△ABC 是等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝12AC ，则二面角P-BC-A 的大小是________．7. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ，则二面角APBC 的余弦值为________．8. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是线段BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1A 1DC 1的余弦值．9. 如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1) 求证：MN ∥平面ABCD ； (2) 求二面角D 1ACB 1的正弦值；(3) 设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．10. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1) 求证：D 1E ⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到平面ACD 1的距离； (3) 试求AE 等于何值时，二面角D 1ECD 的大小为π4.答案与解析随堂巩固训练(11)1. 30°或150° 解析：在二面角α-l-β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，所以cos 〈n 1，n 2〉＝0－14－23×94＝－32，则二面角α-l-β的大小为30°或150°. 2. 90° 解析：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，A 1P ＝t(0≤t ≤2)，A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，P(2，t ，2)，AM→＝(－2，0，1)，OP →＝(1，t －1，2)，所以AM →·OP →＝－2＋0＋2＝0，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为90°.3. 55 解析：如图，作AD ⊥PC ，连结BD ，因为PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以PA ⊥BC.又因为AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.因为AD 平面PAC ，所以BC ⊥AD.因为AD ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，BC ，PC 平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ，所以∠ABD 为直线AB 与平面PBC 所成的角．在Rt △PAC 中，由等面积可得AD ＝2a ×a 5a ＝25a 5，在Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝55，所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.4. 31111 解析：建立以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系，令该正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12.由正方体的性质取AB →为平面BCC 1B 1的一个法向量，AB →＝(2，0，0)，所以cos 〈AB →，AE →〉＝31111，故AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为31111.5. －8 解析：由题意得(2，m ，1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝4＋12m ＝0，解得m ＝－8.6. 30° 解析：取PC ，AC 的中点E ，F ，连结EF ，BF ，以点F 为原点，FB 所在直线为x 轴，FC 所在直线为y 轴，FE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，令△ABC 的边长为2，则P(0，－1，1)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A(0，－1，0)，所以PB→＝(3，1，－1)，PC →＝(0，2，－1)，BC →＝(－3，1，0)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －z ＝0，2y －z ＝0，－3x ＋y ＝0，即⎩⎨⎧z ＝2y ，x ＝33y ，取y ＝1，故平面PBC 的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，2，由题可知P A →为平面ABC 的一个法向量，则P A →＝(0，0，－1)，所以cos 〈n 1，P A →〉＝－32，故二面角PBCA 的大小为30°.7. －277 解析：令AD ＝1，则AB ＝2，由∠DAB ＝60°易知DB ＝3，所以DA ⊥DB.以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，所以PA →＝(1，0，－1)，PB→＝(0，3，－1)，PC →＝(－1，3，－1)．设平面APB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝3，得平面APB 的一个法向量为n ＝(3，3，3)．设平面PBC 的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝0，－a ＋3b －c ＝0，取b ＝3，得平面PBC 的一个法向量为m ＝(0，3，3)．令二面角APBC 的平面角为θ，由题可知θ为钝角，故cos θ＝－|cos 〈n ，m 〉|＝－|n ·m |n ||m ||＝－|3＋921×12|＝－277.8. 解析：(1) 因为在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)，所以A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝(1，2，－3)．设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1C 1→＝0，n 1·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3z 1，y 1＝0，取z 1＝1，则平面A 1C 1D 的一个法向量n 1＝(3，0，1).DB 1→＝(1，－2，3)，所以|cos 〈n 1，DB 1→〉|＝|n 1·DB 1→||n 1||DB 1→|＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) 由(1)得A 1B 1→＝(2，0，0)，DB 1→＝(1，－2，3)．设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·A 1B 1→＝0，n 2·DB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，得平面B 1A 1D 的一个法向量n 2＝(0，3，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝13065，所以二面角B 1A 1DC 1的余弦值的大小为－13065.9. 解析：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1，N(1，－2，1)，所以MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0.依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由此可得MN →·n ＝0.又因为直线MN 平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2) 由(1)得AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0.不妨设z 1＝1，可得平面ACD 1的一个法向量n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC→＝0.又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1), 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：坐标系与参数方程

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练坐标系与参数方程1、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝t （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋cos θ，y ＝2a ＋sin θ（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是21y t x t =+⎧⎨=⎩（t 是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(sin )4ρπθ=+．求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y aa =⎧⎨=+⎩（a 为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4pq =，试求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.4、（南通市2019届高三适应性考试）已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长．5、（南师附中2019届高三年级5月模拟）设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2a sin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．6、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)．（1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（2）已知A(﹣2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y )，求△ABM 面积的最大值．7、（苏州市2018高三上期初调研）在极坐标系中，设直线l 过点()3,,3,06A B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线():cos 0C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值.8、（南京市2019届高三第三次模拟）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1，以极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α－1(其中α为参数，r ＞0)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的值．9、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin()24ρθπ-=．求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的线段长．0、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π224，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．12、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在极坐标系中，已知直线l ：sin()03πρθ-=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于A ，B 两点，求AB 的长．13、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知点P 是曲线C:⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为3π,求点P 的坐标. 14、（常州市2019届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的参数方程为21,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+，求直线l 被曲线C 所截的弦长.15、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin()24ρθπ-=．求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的线段长．16、（苏州市2019届高三上学期期中调研）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程．17、（宿迁市2019届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为3cos ,()sin ,x y t ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为πsin()24ρθ-=．(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．18、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()4πρα++1＝0。

【精品高考数学】2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破-专题02 立体几何+答案

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。

2.平面与平面的平行与垂直：熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。

3.多面体的表面积与体积：求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。

3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。

专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S ﹣ABC D 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2√3，则该棱锥的体积为．2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 cm 3． 3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ． 5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，PA PC ⊥，PB PC ⊥，2PA PB ==，则该三棱锥的体积为_______．6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是． 7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△AB C 中，AB ＝25AC 5∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是．9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为．10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为．11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，则四棱锥的侧面积是_________．13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为．14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABC D中，E为边AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—AB C中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面AB C．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE 3PBC ⊥平面AB C ．17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P ABC D 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形．（1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面；（2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P ﹣ABC D 中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB ⊥PD ，求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AD ∥BC ，E 为PA 的中点，当BE ∥平面PCD 时，求BCAD的值．19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P —ABC D 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；FEPDCBA（2）证明：BE⊥P C．20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q 分别为AB 1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习训练试题含答案

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)．解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__．解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2，所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意．故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__．解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34；当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时，因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值．解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集．解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)，所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2，即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集．解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)，所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2，即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__．解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝．解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__．解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16．解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ，所以26x ＋4＝28×23－3x ，所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0，所以4×2x －3×2x －8＝0，所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__．解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__．解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12，所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ，所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2．解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__．解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1，所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ，所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ，由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ，所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ，所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ，所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)，所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__．解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1，所以log a 1－ax 21－ax 1<0，所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0，所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象．解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编及答案

新数学高考《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知曲线C：2{2x y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（） A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果．【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为22(2))143x ''+=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（）A．BC．D．2【答案】B 【解析】【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-，将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==，故选B ．【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．4．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB ．C D．±【答案】D 【解析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

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2.江苏高考常对极坐标方程与直角坐标方程的互化。

专项突破一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2cos 323cos 22θθy x ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，则224x y y += 即：22(2)4x y +-=（2）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩，∴y =，1x >∴223x x +=解得0x =（舍）或x =公共点3)，极坐标3π)． 2. （江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB的长．【解析】由2)4cos(=-πθρ得2sin cos =+θρθρ，又θρθρsin ,cos ==y x ，可得l 的方程02=-+y x ，由曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==2212t y t x ，t 为参数消t 得C 的方程y x 82=，联立⎩⎨⎧==+yx y x 822，消y 得01682=-+y x ，设),(),,(2211y x B y x A得16,82121-=-=+x x x x ，所以16221=-=x x AB . 3. （江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ=(r ＞0)，直线l的方程为cos()4πρθ+=．设直线l 与曲线C相交于A ，B 两点，且AB＝r 的值．【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆．由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-=所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=．记圆心到直线l 的距离为d，则d ==()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =．4.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）已知点P 在曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x （θ为参数）上，直线 l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 223223（t 为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解析】直线 l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 223223（t 为参数），的普通方程为：x ﹣y ﹣6＝0． P 到直线l 距离为：√2=√2，其中tanα=34．当cos （θ+α）＝1时，表达式取得最小值：√22． 5.（江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷）在极坐标中，已知圆C 经过点)4P π，，圆心为直线sin 32πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】∵圆C圆心为直线sin 32πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=0θ，得1ρ=． ∴圆C 的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点)4P π，，∴圆C 的半径为PC =．∴圆C 经过极点．∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ．6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【解析】由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=7.（无锡市第一中学2018—2019学年度第二学期期初质量检测）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为（2，），且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．【解析】设圆C 上任意一点的极坐标P （ρ，θ），过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，P B ．则在直角三角形OP B 中，．所以，即为圆C 的极坐标方程．8.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二））在极坐标系中，求直线6πθ=(ρ∈R )被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长．【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==)6sin(46πθρπθ得323sin 4==πρ，所以直线6πθ=(ρ∈R )被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长为32.9.（2020年南通高考模拟（3月份）高考数学模拟试卷）已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=6，圆C 的参数方程为{x =10cosθy =10sinθ(θ为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长．【解析】（1）由ρsin(θ−π3)=6，得ρ(12sinθ−√33cosθ)=6，∴y −√3x =12，即√3x −y +12=0．圆的方程为x 2+y 2＝100．（2）圆心（0，0）到直线√3x −y +12=0的距离d =√(√3)2+1=6，y ＝10，∴弦长l =2√100−36=16．10.（2019～2020学年度南师附中高三年级第二学期期初调研测试）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝1的交点Q 的极坐标．【解析】将直线ρcosθ＝1与圆ρ＝2sinθ分别化为普通方程得，直线x ＝1与圆x 2+（y ﹣1）2＝1，易得直线x ＝1与圆x 2+（y ﹣1）2＝1切于点Q （1，1），所以交点Q 的极坐标是(√2，π4)．11.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．【解析】将1C 化为直角坐标方程为4380x y --=将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫ ⎪⎝⎭12.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=. 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 若直线l 与圆C 相切，求r 的值.【解析】由题意得直线的直角坐标方程20x -=，圆C 直角坐标方程222x y r +=，则1r ==. 13.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 4231（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ-=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长度.【解析】（1）直线l :⎩⎨⎧-=+-=ty t x 4231（t 为参数），消去t 得)1(342+-=-x y ，即4320x y +-=，曲线C ：)4cos(22πθρ-=，即θθρsin 2cos 2+=，又ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=，22cos 2sin ρρθρθ=+，故曲线C ：22220x y x y +--=；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由224320220x y x y x y +-=+--=⎧⎨⎩得4525x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩或2565x y ⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，所以2AB ==.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的距离22d ==，当s =min 5d =．所以当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l15.在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 是圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为16.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【解析】（1）设极点为O ．在△OA B 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =．（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=．。

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