高二数学圆锥曲线的统一定义2
2.5 圆锥曲线的统一定义
选修2-1第2章圆锥曲线与方程(第10课时) 总第9份圆锥曲线的统一定义【教学目标】1、理解圆锥曲线的统一定义，理解其内在联系与区别；2、进一步熟悉焦点半径公式及弦长公式。
【教学重点】理解椭圆、双曲线、抛物线的第二定义，更好地理解它们之间的联系与区别。
【教学过程】一、复习：1、椭圆的第二定义：2、双曲线的第二定义：3、抛物线的定义：二、新授：比较上面三种圆锥曲线的定义，能得到什么结论？圆锥曲线的共同性质：平面内到一个定点F与到一定直线l (F不在l上)的距离之比是常数e的点的轨迹当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e=1时，它表示抛物线三、例题分析：例1：判断下列各动点的轨迹表示的曲线是否为圆锥曲线；若是，是哪一种圆锥曲线。
⑴定点F，定直线为L，LF∉，动点M到定点F的距离||MF与动点到定直线的距离d的比为2；⑵定点F，定直线为L，LF∉，动点M到定直线L的距离d与动点M到定点F的距离||MF的比为5；⑶到定点F和定直线为L的距离相等的点的轨迹；主备人 刁品喜 备课时间 2020-07-20 班级 学号 姓名 F L F L例2：判断方程：13922=-+-k y k x 表示何曲线。
例3：动点),(y x M 满足|2|)1()1(222++=-+-y x y x ，则),(y x M 的轨迹为 。
A 、椭圆B 、双曲线C 、线段D 、抛物线例4:一动点到定直线3x =的距离是它到定点(4,0)F 的距离的12，求这个动点的轨迹方程例5：过中心在原点的椭圆的左焦点F 作直线l 交椭圆与A 、B 两点。
已知:2:3AF BF =，且直线l 的倾斜角为4π。
⑴求椭圆的离心率⑵若椭圆的右顶点M 到直线l 的距离为5选修2-1第2章 圆锥曲线与方程(第10课时) 总第9份 例6：已知椭圆的中新在坐标原点，焦点在y 轴上，离心率23e =，焦点到准线的距离为52 ⑴求该椭圆的方程⑵设P 、Q 是椭圆上的点，上焦点F 在线段PQ 上，且有2QF PF =，求PQ 所在直线的方程。
高二数学圆锥曲线的统一定义
(2)4x y 16
2 2
(4)4 y x 16
2 2
(5) y 16x
2
(6) x 2 16y
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1(a b 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: 2 1(a 0, b 0) 2 a b
辨析
点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的 距离的比为1/2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹 是什么图形。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
高中数学圆锥曲线知识点
高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
2.5圆锥曲线的统一定义
—— 化“斜”为 “平” 普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修1-1)—tiger
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标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0) y 2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)
Hale Waihona Puke 图形焦点坐标准线方程
(c, 0)
a2 x c
a2 y c a2 x c
2
应用 3 ——统一定义求焦点弦长
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x2 y2 例 4 若椭圆 ＋ ＝1 内有一点 P(1， －1)， 为右焦点， F 4 3 椭圆上一点 M，使得 MP+2MF 最小，则点 M 的坐标 为 ．
变式：求椭圆上一点 M，使得|MP－MF|最大．
(0, c) (c, 0)
x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
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例 1 准线方程为 x＋y＝1，相应焦点为(1，1)的等轴 双曲线的方程为 .
课外作业: • 《评价》单元测试
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应用 4 ——统一定义求最值
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上本作业：
3 1、抛物线 C：y2＝2px(p>0)上横坐标为 的点到焦点 F 的距离为 2． 2 （1）求抛物线方程； （2） 过抛物线 C 的焦点 F， 作相互垂直的两条弦 AB 和 CD， 求|AB|＋|CD| 的最小值． 2、长为 2a（a 是正常数）的线段 AB 的两端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上 滑动，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
圆锥曲线知识总结
圆锥曲线知识总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A． B．C． D．（）；②方程表示的曲线是__ __已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
例题讲解:①已知方程表示椭圆，则的取值范围为____②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线的定义与基本性质
圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。
圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。
设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。
- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。
例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。
二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a costy=b sint其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。
类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。
三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。
对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。
对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。
对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。
四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。
其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。
而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。
对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。
高中数学-圆锥曲线的统一定义
高中数学 圆锥曲线的统一定义教材：苏教版《选修2-1》2.5〔Page 51 —52〕XX 省XX 中学 宋健一． 教材分析：《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1〔苏教版〕2.5节的内容。
教材对本章总体设计思路是“总—分—总〞，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。
最后在学生对直线、圆与圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。
本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
二．目标分析：鉴于以上对教材的分析与学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标： 〔一〕知识和技能：通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以与圆锥曲线的统一定义的简单应用。
〔二〕过程与方法通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； 〔三〕情感与价值观通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程〔准线方程〕 教学手段：多媒体辅助教学教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导四．过程实录：F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于常数1的动点P 的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线〔如图〕.〔等待1分钟〕设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作)PF d 常数11. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢？师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比如，将条件中的“在平面内〞去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果.1的常数时，动点P的轨迹是什么曲线？.师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像.〔学生有点想法了〕师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化〔一分钟〕.师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么样的关联？生：可以看到当这个常数在〔0,1〕之间时，轨迹像椭圆，当这个常数大于1时，轨迹像双曲线。
高二数学(抛物线及标准方程(2))
求准线平行于x轴 4. 求准线平行于 轴，且截直线 y＝x－1所得的弦长为 10 ＝ － 的抛物 线的标准方程. 线的标准方程.
y y=x-1 x
x2＝5y或x2＝－ . 或 ＝－y.
O B A
过抛物线y 的焦点F作直线 5. 过抛物线 2＝4x的焦点 作直线 ，交 的焦点 作直线l， 抛物线于A 两点， 抛物线于 、B两点，求线段 的中点 两点 求线段AB的中点 M的轨迹方程. 的轨迹方程. 的轨迹方程 y A
关于x轴对称 关于 轴对称 （0,0） ） e=1
关于y轴对称 关于 轴对称
顶点
离心率
y 2 = 16 x.
思考：三角形的一个顶点在原点， 思考：三角形的一个顶点在原点，另两 个顶点A 在抛物线y 个顶点 、B在抛物线 2＝2px（p＞0为 在抛物线 （ ＞ 常数） 求这个正三角形的边长. 常数）上，求这个正三角形的边长. y
y =16x.
2
O F
x
典例讲解 2.如图，一个动圆 与一个定圆 外切， 与一个定圆C外切 2.如图，一个动圆M与一个定圆 外切， 如图 且与定直线l相切 则圆心M的轨迹是什 相切， 且与定直线 相切，则圆心 的轨迹是什 么？
M C
l
以点C为焦点的抛物线. 以点 为焦点的抛物线. 为焦点的抛物线
3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示， 3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示， 一种卫星接收天线的轴截面如图所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为 抛物线的接收天线， 抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点 已知接收天线的口径（直径） 处.已知接收天线的口径（直径）为 4.8m，深度为0.5 0.5m， 4.8 ，深度为0.5 ，试建立适当的坐标 求抛物线的标准方程和焦点坐标. 系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. A (0.5,2.4) y 方程： 11.52x 方程：y2＝11.52 焦点：（2.88， ：（2.88 焦点：（2.88，0）
圆锥曲线与方程知识总结
高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固知识网络知识要点梳理知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。
定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。
知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。
(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率：.知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。
(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。
圆锥曲线的统一定义 (2)
(2)求证:线段 的垂直平分线经过某个定点,并求出定点的坐标.
例3已知动点 的坐标 满足方程
,试确定动点 的轨迹形状.
[分级训练]:
A.基础训练
1.椭圆 的准线方程是 ( )
2.椭圆 上点 到右准线的距离等于 ,则点 到左准线距离是 ( )
3.设 是过双曲线左焦点的弦,那么以 为直径的圆必与双曲线的左准线 ( )
4.已知抛物线 上有一点 ,它到焦点 的距离为5,则 的面积( 为原点)为 ( )
B.能力培养
5.椭圆 上的点 的左准线的距离是 ,则点 到右焦点的距离是 .
6.双曲线 的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于 .
7.椭圆 的准线平行于 轴,则实数 的取值范围是 ( )
8.给出问题: 是双曲线 的焦点,点 在双曲线上,若 到焦点 的距离等于9,求点 到焦点 的距离..某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由 ,即 ,得 .
14.已知圆锥曲线 的离心率 为方程 的两根,则满足条件的圆锥曲线有 ( )
15.已知抛物线 ,点 是此抛物线上一动点,点 坐标为 ,求点 到点 的距离与到 轴距离之和的最小值.
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
圆锥曲线的统一定义
[知识要点]:
1.动点 到定点 的距离与到定直线
的距离的比是常数 .则动点 的轨迹是椭圆.定直线 叫椭圆的准线,准线与长轴所在直线垂直.
上述定义中如将条件改作 ,则轨迹是双曲线.
2.圆锥曲线统一定义:平面内到一定点 和定直线 ( 不在 上)的距离的比是常数 的点的轨迹.
、右焦点分别为 ,左准线为 ,能否在双曲线的左支上找到一点 ,使得 是 到 的距离 与 的等比中项?
高二数学第二十讲 抛物线及圆锥曲线的统一定义
抛物线及圆锥曲线的统一定义【知识要点】一、抛物线1．定义；2．标准方程；3．几个概念二、圆锥曲线的统一定义1．椭圆的第二定义；2．双曲线的第二定义；3．抛物线的定义【经典例题】例1．求以直线0632=+-y x 与坐标轴的交点为焦点抛物线的准线方程．例2．已知焦点在x 轴上的抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为8，求此抛物线的标准方程，并求它的焦点坐标和准线方程．例3．在抛物线x y 22=上求一点，使其到焦点F 与到点（2，1）的距离之和最小例4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上一点（-3，m ）到焦点距离为5，求抛物线的方程．例5．已知点A （1，2），F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，P 为椭圆上的动点，当|PA|35+|PF|取得最小值时，求P 的坐标例6．已知双曲线1646422=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，求点P 到它的左准线的距离．【课堂训练】1．已知抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为-4的点到焦点的距离为10，那么抛物线的方程是（ ）A ．x y 82-=B ．x y 122-=C ．x y 162-=D ．x y 242-=2．已知抛物线x y 42=的焦点F ，定点P （4，-2），在抛物线上找一点M ，使 ∣PM ∣+∣MF ∣最小，则M 点的坐标为（ ）A ．（2，-2）B ．（1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，2）3．以原点为顶点，椭圆C ：13422=+y x 的左准线为准线的抛物线交椭圆C 的右准线于A 、B 两点，则 ∣AB ∣等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．设椭圆13422=+y x 的长轴两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的 斜率之积为（ ） A ．43-B ．34-C ．43D ．345．我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”设12222=+b y a x )0(>>b a 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°6．点M 到F （3，0）的距离比它到直线04=+x 的距离小1，则点M 的轨迹方程为___________ 7．若椭圆13422=+y x 内有一点P （1，-1），F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则点M 为_____________8．设双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果△PQF是直角三角形，那么双曲线的离心率e=________9．若椭圆)0(1)1(12222>=->=+n y nx m y m x 和双曲线有相同的焦点21,F F ，P 为椭圆与双曲线的公共点，求△21F PF 的面积．10．设圆锥曲线C 的焦点F （1，0）相应的准线是y 轴，过焦点F 并与x 轴垂直的弦长为22．（1）求圆锥曲线C 的方程（2）若圆锥曲线C 上有且只有两个不同的点关于过点F 的直线l 对称，求直线l 的斜率的取值范围．。
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d,PF1 , PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
课堂小结 1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想 作业 <<创新设计>>
练一练
1.动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离 之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1 2
x 4
2. 中心在原点,准线方程为x 的椭圆方程是
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
l l
l l
p x ( p 0) 2 2 p p y 2 px ( ,0) x ( p 0) 2 2 x 2 2 py p p y ( 0, ) ( p 0) 2 2
继续道，“明蕙想代她舅舅讨回成本不遂，便威胁明柯一定要让她顶上宝音的位，这是明蕙向我坦白的真相。”“我没料到蕙 儿会做到这种地步，”老太太怆然道，“都是她那亲娘带坏了她！”“追究谁带的，不重要了。”苏小横道，“重要的是她这 步举动，既毒且蠢，毒犹可用，蠢毒则不可谅，你不会再用她了吧？”老太太点头，忽惊道：“她怎么肯跟你坦白这 些？”“我答应她：她肯坦白，我就接她母女出庵。”苏小横淡然道。“我不要她们回来！”老太太怒了。外事由苏小横担待， 内事由老太太作主，不是早就分好工了吗？明蕙母女，明显属于内务！“别担心，”苏小横安抚她，“不让她碍你眼就完了， 我叫她病死罢！”“唔？”老太太睁大眼睛看苏小横。“反正你不用她，给我用罢。”苏小横又道。“假说病死，你把她带 走？”老太太有点儿醒悟了，“可她中用吗？你派她干啥去？”“反正已是一枚废子，试试看用罢！”苏小横抚着她胳臂， “病好些了？”“总归一年比一年差。”老太太闷闷道，“到这个岁数了。”“不如你也上山来跟我修道？”苏小横建议。老 太太兜头又啐他：“你修的什么道！我知道你观里养的都是大姑娘！”“姹女，丹鼎，都是修道法门。”苏小横倒是脸也不红， “再说，你看，我身体比你硬朗，这你总不能否认吧？”老太太也不愿意承认。“算了，你舍不下府里的虚名烂锦。”苏小横 道。“没这些虚的烂的，你在山上也修不成偌大一观，还不得到人家座下侍候，一日三餐沿街叫化去！”老太太伶牙俐齿堵回 去。“你啊你啊，”苏小横不与她争一句之短长，仍然苦口婆心，“不上山也罢了，日常饮食，清淡些；能放下去的，都放下 去；多走动走动，别老闷在屋里，总是有益的。”老太太低头。他这些话原也不错，都是善意的，只是太善意，就生分了。他 和她之间，生分很久了。年轻时她脾气也是很不好的，动不动气噎胸膛、据理力争，争不过时甚至要伸手挠他。一开始，他也 不怎么让她，有时就用莽力，逼着她“床尾和”了。后来，他脾气越来越好，她吵到他面前，他也不过笑笑，真遇到大事，一 二三五，说得清清爽爽，见解委实的高于她，她不得不从。夫妻间相处嘛，原该如此，丈夫水平高于妻子、又肯容让妻子，妻 子使使小脾气、遇大事仍以丈夫意见为准绳，这才是理想家庭。可太过理想了，她渐渐觉得，她跟他的心隔得越来越远。一切 日常相处所须交流，靠规则和理智就可以应付，不必再动用感情了，交流成了应酬。他的感情淡了去，远了、散了，不再浪费 在她身上了。有一天，他说他要搬出去，上山修道。一向爱咋呼吵闹的她，什么都没说，像早已料到似的，就静静帮他收拾日 常所需一应物色，打点他出门。他修行所在的道观，还是
1.已知A（-1,1),B（1,0),点P在椭圆
x y 1 上运动，求|PA|+2|PB|的 4 3
2 2
最小值。Pຫໍສະໝຸດ A·OC ·
B
·
2. 已知P为双曲线 动点，F为双曲线的右焦点，若点A的坐标 为 (3,1) ，则 2 | PA | 3 | PF | 的最小值是__
y
x2 y2 1 右支上的一个 3
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a 8, b 6, c 10, e d a 4 2 4 56 2a 2 64 64 d 14 又 5 5 c 10 5 2 2a 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
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y 2 2 px
p ( ,0 ) 2
x 2 2 py ( p 0)
p (0， ) 2
p y 2
练一练
1 2
x 4
1. 中心在原点,准线方程为x 的椭圆方程是
x2 y2 1 4 3
1 4 ,离心率为 2
2. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 12 x
x y 1 4 3
2 2
1 4 ,离心率为 2
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 12 x
2
练一练
1.已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则 其中心到准线距离是 . 2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等 分,则此双曲线的离心率为 .
D
P A
O F
x
拓展延伸
x y 1.已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点 P( x0 , y0 )的坐标。
2 y 2.已知双曲线x 2 1左、右焦点分别为F1 , F2， 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且 2 2
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
a2 x c a2 y c a2 x c
y 2 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
| PF2 | e d
1 所以d= |PF2|=24 e
焦点的距离为14，求P点到右准线的距离. 2 2a 分析 : 两准线间距离为 c
2 2 x y 例1已知双曲线 1 上一点P到左 64 36
2
3. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等 分,则此双曲线的离心率为 .
焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
2 2 x y 例1已知双曲线 1 上一点P到左 64 36
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
圆锥曲线的统一定义
这样，圆锥曲线可以统一定义为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之 比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
已知椭圆
x2 y2 1上 25 16
一点P到右准线距离为10, 求P点 到左焦点的距离.
例2 若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛 2 物线 y 2 x 的焦点，点M 在抛物线上 移动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求 y 这时M 的坐标.
l
d
N
M o F x
A
1 2
练一练