中考几何模型解题法
初中几何48个模型及题型讲解
初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
初中数学几何模型解题方法(一)
数学几何模型解题方法
数学几何作为初中数学的一个重要分支，对于学生来说可能是一个难点，尤
其是在解题过程中。
但是只要掌握了一定的解题方法，就能轻松解决数学几何的难题。
下面将详细介绍初中数学几何模型解题的方法。
1. 确定题目类型
首先，在解题之前需要仔细阅读题目，确定题目类型。
数学几何题目通常包
括求面积、周长、角度等内容，因此需要根据题目要求来确定解题思路。
2. 绘制图形
在解题过程中，绘制图形是非常重要的一步。
通过绘制图形可以更直观地理
解题目，并且可以帮助我们找出解题的关键点。
在绘制图形的过程中，要根据题目要求准确地画出各个几何图形，确保图形的准确性。
3. 利用几何公式
在解题过程中，需要熟练掌握各种几何公式，比如三角形的面积公式、周长
公式、角度关系等。
通过运用这些几何公式，可以更快地解决问题，提高解题效率。
4. 运用几何知识
除了几何公式，还需要灵活运用几何知识来解决问题。
比如利用相似三角形
的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等。
了解并掌握这些几何知识，可以帮助我们更快地找到解题的方法。
5. 多做几何题
最后，多做几何题也是提高解题能力的重要途径。
通过反复练习，可以加深对几何知识的理解，加强对解题方法的把握，提高解题的准确度和速度。
通过以上几个步骤，我们可以更好地解决初中数学几何模型的题目。
希望同学们能够认真学习，并在解题过程中灵活运用这些方法，提高自己的数学几何解题能力。
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。
掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。
本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
13. 平行四边形的面积和周长的求解：平行四边形的面积和周长的求解也是初中数学几何模型解题的重要内容，学生需要掌握相关公式及其应用。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
中考数学常见几何模型全等模型-倍长中线与截长补短
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆; 若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆. 3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD △△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE △△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，△BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，△6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，△1＜AD ＜5；故答案为：1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示． 同（1）得：△BMD △△CFD （SAS ），△BM ＝CF ，△DE △DF ，DM ＝DF ，△EM ＝EF ，（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明△//CE AB （已知）△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），△()A.A.S ABD ECD △△≌，△AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC △△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE △△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB （SAS ），△AC =BE =4， 在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△6-4＜2AD ＜6+4，△1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）结论：AD =AB +DC ．理由：如图②中，延长AE ，DC 交于点F ，△AB △CD ，△△BAF =△F ，在△ABE 和△FCE 中，AEB FEC BAE F BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△FCE （AAS ），△CF =AB ， △AE 是△BAD 的平分线，△△BAF =△F AD ，△△F AD =△F ，△AD =DF ，△DC +CF =DF ，△DC +AB =AD ；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，△E 是BC 的中点，△CE =BE ，△AB △CF ，△△BAE =△G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEB △△GEC （AAS ），△AB =GC ， △△EDF =△BAE ，△△FDG =△G ，△FD =FG ，△AB =DF +CF ，△AB =5，CF =2，△DF =AB -CF =3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD到E，使得DE AD=，连接CE，易证ABD ECD∆≅∆，得AB=，在ACE∆中，AC CE+>，2AB AC AD+>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于F，求证：AF EF=．（2）如图（4），在ABC∆中，90,A D∠=︒是BC边的中点，E F、分别在边AB AC、上，DE DF⊥，若3,4BE CF==，求EF的长．（3）如图（5），AD是ABC∆的中线，,AB AE AC AF==，且90BAE FAC∠=∠=︒，请直接写出AD与EF的数量关系_ 及位置关系_ ．【答案】,CE AE；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD=，EF AD⊥【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD∆≅∆所以△BGD=△BED=△AEF=△DAC，△有AF=EF；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE△△CDG ，所以△FCG=△FCD+△GCD=△FCD+△EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG 易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG ,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD△△CAD ， △BG=AC ，△GBD=△ACD ，△DGB=△DAC ，又AF=AC ，△BG=AF ，△△ABG=△ABD+△GBD=△ABD+△ACD=180°-△ BAC=△EAF ，△在△ABG 和△EAF 中，AB AE ABG EAF BG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG△△EAF ，△EF=AG=2AD ，△EFA=△DGB=△DAC ，△△DAC+△PAF=180°-△FAC=180°-90°=90°，△△EFA+△PAF=90°，△△APF=90°，△EF△AD ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中解析几何题型及解题方法
初中解析几何题型及解题方法解析几何是初中数学中的一个重要部分，主要涉及直线、圆、抛物线、双曲线等图形的性质和特点。
以下是一些常见的初中解析几何题型及解题方法：1. 求直线的方程题型描述：给定直线上两点或一点及斜率，要求求出直线的方程。
解题方法：+ 两点式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$+ 点斜式：$y - y_1 = m(x - x_1)$2. 求圆的方程题型描述：给定圆上的三点或两点及半径，要求求出圆的方程。
解题方法：$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心，$r$ 是半径。
3. 直线与圆的位置关系题型描述：给定直线和圆的方程，要求判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。
解题方法：计算圆心到直线的距离，与半径比较。
4. 求抛物线的方程题型描述：给定抛物线上的两点或一点及焦点，要求求出抛物线的方程。
解题方法：标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。
如果知道焦点和准线，则可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。
5. 求最值问题题型描述：在给定的图形中，求某一点的坐标或某条线段的长度，使得该值最大或最小。
解题方法：使用配方法、顶点式、导数等方法求最值。
6. 实际应用题题型描述：给定生活中的实际问题，如最短路径、最大面积等，要求用解析几何知识求解。
解题方法：建立数学模型，转化为几何问题，然后使用解析几何的知识求解。
在解决解析几何问题时，除了掌握上述方法外，还需要培养自己的空间想象能力和逻辑推理能力。
同时，多做练习题也是提高解题能力的有效途径。
八大类几何模型+60种解题技巧
一、常见的八大类几何模型在解决几何题目时，我们经常会遇到一些常见的几何模型。
这些模型包括但不限于：直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直接相似三角形、等腰梯形、菱形、正方形和矩形。
1. 直角三角形直角三角形是一个内角为90度的三角形。
在求解直角三角形题目时，可以运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等方法。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。
在解决等腰三角形问题时，可以利用等角定理、等边角定理等。
3. 等边三角形等边三角形是指三边相等的三角形。
解决等边三角形问题时，可以利用等边三角形的性质，如高、中线等。
4. 直接相似三角形直接相似三角形是指对应角相等的两个三角形。
在对直接相似三角形进行解题时，可以利用相似三角形的性质，如边比例定理等。
5. 等腰梯形等腰梯形是指有两对对边相等的梯形。
解决等腰梯形问题时，可以运用梯形的性质以及各边的关系。
6. 菱形菱形是指四条边都相等的四边形。
在解决菱形问题时，可以利用菱形的性质，如对角线垂直平分、对角相等等。
7. 正方形正方形是指四条边相等且四个角均为直角的四边形。
解决正方形问题时，可以利用正方形的性质，如对角线相等、对角线垂直等。
8. 矩形矩形是指四边均为直角的四边形。
在解决矩形问题时，可以利用矩形的性质，如对角线相等、邻边互相垂直等。
二、60种解题技巧在解决几何题目时，我们还可以运用一些解题技巧来更快更准确地得出答案。
下面列举了60种解题技巧，以供参考。
1. 勾股定理2. 余弦定理3. 正弦定理4. 度角关系5. 弧度制下的两点间弧长相关关系6. 三角恒等变形7. 各角平分线8. 高度定理9. 中线定理10. 角平分线定理11. 等角定理12. 外角定理13. 内角定理14. 中位线定理15. 等腰三角形的性质16. 等边三角形的性质17. 相似三角形的三边对应比例关系18. 相似三角形的高度关系19. 相似三角形的边对应比例关系20. 相似三角形的面积关系21. 三角形高到底关系22. 三角形高乘底除以2的面积公式23. 三角形内切圆24. 三角形外接圆25. 正方形的性质26. 矩形的对角线关系27. 矩形的邻边互相垂直关系28. 长方形的面积公式29. 长方形的周长公式30. 菱形的性质31. 菱形对角线垂直平分32. 平行四边形的性质33. 平行四边形的对角线相等关系34. 平行四边形的对角互补35. 梯形的中位线关系36. 梯形的对角线垂直关系37. 梯形的高关系38. 圆的性质39. 圆周角的关系40. 圆心角的关系41. 切线关系42. 切线长定理43. 余弦定理的推广44. 余角关系45. 同位角关系46. 交叉线定理47. 锐角三角函数的关系48. 平行线夹角关系49. 余切函数的关系50. 同义形的面积公式51. 直角三角形斜边上的高52. 各角平分线角度关系53. 三角形中位线长度关系54. 三角形中位线平行长的关系55. 等角三角形三角函数的关系56. 三角形半周长乘外切圆内切圆面积关系57. 圆相关不等式58. 反证法59. 斜率性质60. 坐标系下平移关系解决几何问题时，首先要熟练掌握常见的八大类几何模型，然后灵活运用各种解题技巧，以便更加高效地解决问题。
初中必备的几何模型与解题通法
初中必备的几何模型与解题通法初中的几何学是数学中的一大分支，包括了平面几何和立体几何两个部分。
在学习初中几何学的过程中，掌握几何模型和解题通法是非常重要的。
本文介绍一些初中必备的几何模型和解题通法，帮助初中生更好地掌握几何学。
一、平面几何模型1. 直线段模型：直线段是平面几何中最基本的图形，通常用线段表示。
在解题中，可以利用线段的长度、垂直、平行等性质来推导出答案。
2. 角度模型：角度是指由两条线段或射线共同起点所夹的空间部分。
在解题中，可以利用角度的大小、补角、余角等性质来推导出答案。
3. 三角形模型：三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条线段所组成。
在解题中，可以利用三角形的角度、边长、面积等性质来推导出答案。
4. 四边形模型：四边形是由四条线段所组成的图形，包括了矩形、正方形、平行四边形等。
在解题中，可以利用四边形的对角线、内角和、面积等性质来推导出答案。
5. 圆模型：圆是由一条射线不断绕着一个固定点旋转所形成的图形。
在解题中，可以利用圆的直径、半径、弧度等性质来推导出答案。
二、立体几何模型1. 立方体模型：立方体是由六个正方形所组成的图形，具有六个平面、十二个棱、八个顶点。
在解题中，可以利用立方体的体积、表面积等性质来推导出答案。
2. 圆柱体模型：圆柱体是由一个圆与一个长方形所组成的图形，具有两个平面、两个底面、一个侧面。
在解题中，可以利用圆柱体的体积、表面积等性质来推导出答案。
3. 圆锥体模型：圆锥体是由一个圆锥面与一个圆所组成的图形，具有一个平面、一个底面、一个侧面。
在解题中，可以利用圆锥体的体积、表面积等性质来推导出答案。
4. 球体模型：球体是由一个固定点到平面上所有点的距离相等所形成的图形，具有一个球心、一个半径。
在解题中，可以利用球体的体积、表面积等性质来推导出答案。
三、解题通法1. 分析问题：在解几何题时，首先要明确问题的目标和限制条件，然后根据几何模型的性质进行分析。
2. 画图辅助：画图是解决几何问题的重要手段，可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的方法。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：16 全等与相似模型-半角模型(学生版)
专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG=90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-2 。
2024专题2.1轴对称---将军饮马模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
考点3-3
D
【例3-2】如图,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60º,M,N
2 5
是AC上两动点,且MN=2,则BM+BN的最小值为_____.
M
A
C
M
N
N
B
B´
课堂小结
将军饮马
知识梳理
将军饮马：这个将军饮的不是马,是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折,对称.
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直.
的最小值为_____.
D
A
H
B
E
G´
G
F C
M
强化训练
将军饮马
提升能力
5.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60º,将△ABD沿射线BD的方向平移
得到△A´B´D´,分别连接A´C,A´D,B´C,则A´C+B´C的最小值为_____.
3
A´´
造桥选址---一定两动(定长)
A´
A
B
B´
D´
B＇
将军沿A-P-B走路程最短.
P1A+P1B=_______
P1A+P1B´ ＞AB´
图形特征： 两定一动；
适用模型：将军饮马；
N 基本策略： 同侧化异侧、折线化直线；
基本方法： 一个动点一条河,一次对称跑不脱；
基本原理： 两点之间线段最短.
两点之间线段最短
模型分析
考点3-1
派生知识
核心知识
C
A
10
M(8/3,0)N(4,1)
A.如果动点G走过的路程最短为____,则点M、N的坐标为______________.
初中必备的几何模型与解题通法
初中必备的几何模型与解题通法
几何模型是指将几何问题转化为具有形质的几何图形，以更直观、更清晰地表达问题，更方便串联知识点、推理方法和解题思路的工具。
以下是初中必备的几何模型与解题通法：
1. 线段与角的模型：将线段及其长度、直线之间的角度转化为几何图形。
2. 三角形的模型：将三角形及其特性（如外角和等于一周、直角三角形和勾股定理）转化为几何图形。
3. 四边形的模型：将四边形及其特性（如平行四边形的对角线互相平分、菱形的对角线互相垂直且平分）转化为几何图形。
4. 圆及其部分的模型：将圆及其半径、直径、弧、扇形、焦点等转化为几何图形。
5. 空间几何模型：将空间几何问题转化为三维立体图形的形式，如平行六面体、正方体等。
解题通法：
1. 画图法：将几何问题转化为几何图形，利用图形特性加以分析。
2. 分类讨论法：根据几何题目的不同条件，将问题分类处理，分别得出不同的结论。
3. 推理法：根据较简单的情况推导出复杂情况的结论。
4. 数学归纳法：通过证明某个结论对于一个特殊情况成立，再从一个情况推导到下一个情况，得出一般性结论。
5. 特殊化方法：将几何问题中涉及到的参数带入到具体数值中进行分析，从而进一步解决问题。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.相似三角形定理：两个三角形中，三个对应的角相等，对应的边成比例。
2.相等三角形的性质：两个三角形中，三边分别相等，或者两边分别相等且夹角相等。
3.三角形中，一个内角和一边：根据一个三角形角度和一边的已知信息，可以推导出其他角度和边的关系。
4.三角形的面积计算公式：可以根据底边和高的关系来计算三角形的面积。
5.正方形的性质：四个内角都是直角，四条边相等。
6.正方形的对角线：两条对角线相等且垂直。
7.矩形的性质：四个内角都是直角，对角线相等。
8.矩形的面积：可以通过长和宽的长度相乘计算矩形的面积。
9.菱形的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分。
10.菱形的面积：可以通过对角线的乘积除以2来计算菱形的面积。
11.平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
12.平行四边形的面积：可以通过底边长度乘以高来计算平行四边形的面积。
13.梯形的性质：有两条平行边。
14.梯形的面积：可以通过上底和下底的和乘以高除以2来计算梯形的面积。
15.直角三角形的性质：有一个内角是直角。
16.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。
17.直角三角形的正弦定理：直角三角形的斜边和对应的直角边之间的正弦值成比例。
18.直角三角形的余弦定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和减去两倍直角边的乘积。
19.直角三角形的正切定理：直角三角形的两个直角边的商等于对应的正切值。
20.平行线与横截线的性质：平行线与横截线之间的对应角相等。
21.平面镜映射的性质：物体与其镜像之间的对应角相等。
22.等腰三角形的性质：两个底角相等。
23.等边三角形的性质：三个内角都是60度。
24.角平分线的性质：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
25.外角的性质：外角等于其对应的内角的补角。
26.平面图形的旋转：点、线、图形按一定角度旋转后，与原来的点、线、图形相对应。
27.平行线的判定：两条直线的斜率相等即为平行线。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.了解基本图形的性质，如正方形、长方形、三角形、圆等。
2. 利用相似三角形或等比例线段解决问题。
3. 利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题。
4. 利用平移、旋转、翻转的性质解决问题。
5. 利用圆的性质解决问题，如切线定理、弦切角定理等。
6. 利用三角形内部角的性质解决问题，如角平分线定理、外角定理等。
7. 利用平行线的性质解决问题，如平行线截割定理、平行四边形性质等。
8. 利用角度的概念解决问题，如同位角、对顶角等。
9. 利用中垂线的性质解决问题，如中垂线定理等。
10. 利用重心的性质解决问题，如重心定理等。
11. 利用向量的概念解决问题，如向量的加减、数量积等。
12. 利用相交线的性质解决问题，如对角线定理、相交弦定理等。
13. 利用相似形的性质解决问题，如面积比、周长比等。
14. 利用三角形的中线、角平分线、高线等性质解决问题。
15. 利用角度的平分线定理、角的外接圆等性质解决问题。
16. 利用正方形、长方形、菱形等图形的性质解决问题。
17. 利用圆锥、圆柱、圆台等图形的性质解决问题。
18. 利用立体几何的性质解决问题。
19. 利用等比例线段的性质解决问题，如中线定理等。
20. 利用三角形的外心、内心、垂心等点的性质解决问题。
21. 利用连线的性质解决问题，如割线定理等。
22. 利用三角形的面积公式解决问题。
23. 利用数学归纳法解决问题。
24. 利用解析几何解决问题。
25. 利用三角函数解决问题。
26. 利用平行四边形的性质解决问题。
27. 利用平面向量的性质解决问题。
28. 利用勾股定理的推广形式解决问题。
29. 利用相似三角形的性质解决问题，如三线共点定理等。
30. 利用相似形与等比例线段的性质解决问题。
31. 利用垂直线的性质解决问题，如垂心定理等。
32. 利用圆的弧长、扇形面积等性质解决问题。
33. 利用三角形的周长、面积等性质解决问题。
34. 利用对称和旋转的性质解决问题。
几何模型解题秘籍
几何模型解题秘籍一、几何模型解题秘籍的那些事儿咱都知道，几何模型解题那可是有不少小窍门的。
就说三角形模型吧，等腰三角形，那可是有着特殊的性质。
等腰三角形两腰相等，两底角也相等。
比如说在一个等腰三角形ABC 里，AB = AC，那角B和角C肯定是相等的。
这时候如果知道了一个角的度数，就能算出其他角的度数了。
这在解题的时候特别有用，像那种求角度总和或者角度比例的题目，要是发现了等腰三角形这个模型，就可以轻松入手啦。
还有四边形模型呢。
矩形，四个角都是直角，对边还相等。
这性质在计算矩形的周长、面积或者证明一些线段关系的时候，那就是大宝贝。
比如说有个矩形ABCD，AB = 5，BC = 3，那周长就是2×(5 + 3)=16，面积就是5×3 = 15。
要是在复杂的几何图形里能识别出矩形这个模型，就能把复杂的问题简单化。
圆形模型也不能小看。
圆的半径、直径、圆周率之间的关系那可是基础中的基础。
圆的周长公式 C = 2πr，面积公式S = πr²。
要是有个圆，半径是4，那周长就是2×π×4 = 8π，面积就是π×4² = 16π。
在一些和圆形有关的组合图形里，比如圆和三角形组合，圆和矩形组合，把圆的这些基本性质搞清楚了，解题就会容易很多。
相似三角形模型也是很重要的。
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
要是有两个三角形相似，一个三角形的边长是3、4、5，另一个相似三角形的一条边是6，那根据相似比就能算出其他边的长度了。
这在解决一些比例问题或者间接求长度的题目里非常好用。
在做几何题的时候，我们得学会从复杂的图形里把这些几何模型找出来。
有时候可能要添加辅助线，让这些模型能更明显地呈现出来。
比如说在一个三角形里，要证明两条线段相等，可能通过添加辅助线构造出等腰三角形模型，然后利用等腰三角形的性质就能证明了。
还有就是要多做一些几何模型相关的练习题。
通过练习，我们能更熟练地掌握这些模型的性质和应用。
初中数学几何模型与解题通法
初中数学几何模型与解题通法几何是初中数学中重要的一部分，它涉及到图形的构造、性质、变换等内容。
要想在几何学习中得心应手，不仅要掌握基本概念和定理，还要学会运用数学模型和解题通法。
一、数学模型在几何中的应用数学模型是数学中常用的一种工具，用数学语言描述出实际问题，从而帮助我们更好地理解和解决问题。
在几何中，数学模型也是很重要的，它可以帮助我们把几何问题抽象化，转化成易于计算的数学问题，以便更好地解决。
例如，在解决平行四边形的问题时，我们可以通过画图和实例分析来理解平行四边形的性质和关系。
但是，如果我们希望更深入地了解平行四边形的性质和关系，并且能够运用数学语言进行描述和计算，那么我们就需要用到数学模型。
对于平行四边形，我们可以用向量来描述它的性质和关系。
假设平行四边形ABCD的两条对边向量为a和b，则它的性质可以用以下公式来描述：ABCD是平行四边形，当且仅当a=b或者a=-b。
这个公式的意思是，如果平行四边形ABCD的两条对边向量相等或者相反，则它是平行四边形。
我们可以通过计算向量的大小和方向，来验证一个图形是否为平行四边形。
另外，数学模型还可以在几何建模中起到重要的作用。
几何建模是将实际问题转化为几何问题的过程，包括图形的构造和变形等。
在几何建模中，我们可以运用数学模型，将实际问题转化为数学问题，进而解决问题。
二、解题通法在几何中的应用解题通法是一种解决问题的基本方法，它可以帮助我们理清思路，确定解题方向，从而更好地解决问题。
在几何中，解题通法也是很重要的，它可以帮助我们提高解题效率，避免犯错。
例如，在解决圆的问题时，我们可以采用以下的解题通法：1.明确题目中所给出的条件和要求；2.根据圆的基本性质，列出相关定理和公式；3.通过画图和计算，解决问题。
这个解题通法的基本思路是，先确定问题的条件和要求，然后运用所学的定理和公式，最后通过画图和计算，解决问题。
当然，在实际解题过程中，我们也可以根据具体情况进行调整，采用不同的解题方法。
重要的几何模型之12345模型(解析版)-2024年中考数学常见几何模型
重要的几何模型之12345模型初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。
今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考(选填题)解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。
现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。
【模型解读】模型1、12345模型及其衍生模型【模型来源】2019年北京市中考如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=( )°(点A，B，P是网格交点)．该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=12，tan∠PBA=13，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】下面模型中12，13，2，3，43，34均为对应角的正切值。
∠α+∠β=45°；∠α+45°=∠GAF；∠DAF+45°=∠EAH；∠α+∠β=135°；∠α+∠β=90°；∠ADB+∠DBA=∠BAC；∠ADB+∠DBA=∠BAC；切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。
下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。
毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。
1(2022·四川乐山·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为()A.25B.3C.5D.2【答案】C 【分析】法1：先根据tan ∠A =12，tan ∠ABD =13，再由12345模型知：∠BDC =45°，从而可求出CD ．法2：先根据锐角三角函数值求出AC =25，再由勾股定理求出AB =5,过点D 作DE ⊥AB 于点E ，依据三角函数值可得DE =12AE ,DE =13BE ,从而得BE =32AE ，再由AE +BE =5得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD =5，从而可求出CD ．【详解】解法1：∵tan ∠A =12，tan ∠ABD =13，∴根据12345模型知：∠BDC =45°，∵∠C =90°，∴三角形BCD 为等腰直角三角形，∵BC =5，∴CD =BC =5解法2(常规解法)：在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，∴tan ∠A =BC AC=12∴AC =2BC =25, 由勾股定理得,AB =AC 2+BC 2=(25)2+(5)2=5过点D 作DE ⊥AB 于点E ，如图，∵tan ∠A =12，tan ∠ABD =13，∴DE AE =12,DE BE =13, ∴DE =12AE ,DE =13BE , ∴12AE =13BE ∴BE =32AE ∵AE +BE =5, ∴AE +32AE =5∴AE =2, ∴DE =1,在Rt ΔADE 中,AD 2=AE 2+DE 2∴AD =AE 2+DE 2=22+12=5∵AD +CD =AC =25, ∴CD =AC -AD =25-5=5,故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．2(2023.成都市中考模拟)如图，正方形ABCD ，AB =2，点E 为AD 上一动点，将三角形ABE 沿BE 折叠，点A 落在点F 处，连接DF 并延长，与边AB 交于点G ，若点G 为AB 中点，则AE =．【答案】23【详解】解法1：延长EF 至H ,易证△BFH ≌△BCH (HL ),则∠EBH =45°，又因为HF =HC =HD ，所以∠CFD =90°，则∠CBH =∠FBH =∠FCD =∠ADG ，因为tan α=12，根据“12345”模型，易知故tan ∠ABF =13⇒AE =23解法2(常规解法)：如图，过点F 作AB 的平行线，分别交AD ,BC 于点M ,N ，∵四边形ABCD 是正方形，AB =2，∴AD =2，∠A =90°，四边形ABNM 是矩形，∴MN =AB =2,AM =BN ,∠BNF =∠FME =90°，∵点G 为AB 中点，∴AG =12AB =1，∵MN ∥AB ，∴△MDF ∼△ADG ，∴MF DM =AG AD=12，即DM =2MF ，设MF =x ，则DM =2x ,NF =2-x ，∴BN =AM =AD -DM =2-2x ，由折叠的性质得：BF =AB =2,EF =AE ,∠BFE =∠A =90°，∴∠EFM +∠BFN =90°，又∵∠BNF =90°，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠EFM =∠FBN ，在△EFM 和△FBN 中，∠FME =∠BNF =90°∠EFM =∠FBN，∴△EFM ∼△FBN ，∴EF BF =FM BN =EM FN，即EF 2=x 2-2x =EM 2-x ，解得EF =x 1-x ，EM =x 2-x 2-2x ，∴AE =x 1-x ，又∵AE +EM =AM ，∴x 1-x +x 2-x 2-2x =2-2x ，解得x =25或x =2，经检验，x =25是所列方程的解，x =2不是所列方程的解，∴AE =251-25=233(2023.湖北黄冈.中考真题)如图，矩形ABCD 中，AB =3,BC =4，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC ，BD 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧交于点P ，作射线BP ，过点C 作BP 的垂线分别交BD ,AD 于点M ，N ，则CN 的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A 【详解】解法1：因为AB =3,BC =4，所以tan ∠DBC =34，如图，根据“12345”模型，易知tan α=13，故CN =10ND =103CD =10。
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中考几何模型解题法研修课论文宋海平第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。
本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。
本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。
本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。
培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型一、精讲精练【模型一】夹角模型OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，则：∠AOC=90°+12∠B．BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，则：∠P=12∠A．图1FEDCBAAD 、CD 分别是∠EAC 、∠FCA 的角平分线，则： ∠D=90°-12∠B ．1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．2. （2011湖北黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________.3. （2011年山东临沂）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.（1）求证：AC =AD ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.FE DC B A【模型二】角平分线加垂直AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，BE ⊥CE ，则: BE =12CF ．ACEF图2O FECBAFE BAO M N4. （2011大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．【模型三】角平分线加平行线OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．ED CBA6. （2011山东滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G .（1）求证：EF =EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．弦图模型。
图2EABCDFG图1GFD CBE(A )一、 知识提要1. 弦图基本模型 模型一：cba模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE．ca b2.如图，梯形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，则AB的长为____________．EDCBA3.在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.【板块二】弦图模型之变形4.（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为.5.（2011锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）ACDA．3 B．4 C．5 D．66.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）GFEDCBAA．1对B．2对C．3对D．4对7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直1111线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点，求证：MC ：NC =AP ：PB ．相似基本模型三、 知识提要1. 相似基本模型1：“A ” 字型相似及其变形2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其变形四、 专项训练1. 四边形EFGH 是△ABC 内接正方形，BC =21cm ，高AD =15cm ，则内接正方形边长EF =______.IGHF ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠AED =∠B ，DE =6，AB =10，AE =8，则BC 的长度为（ ）A .B .C .3D .3. 如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC =90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于M ．已知BC =5，CF =3，则DM ：MC 的值为（ ）MFEDCB AA .5：3 B.3：5 C .4：3 D .3：44. 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 于E 点，连接EN 并延长交CD 于F 点，则DF ：AB 等于（ ）NMF ED CBAA .1：3B.1：4 C .2：5D .3：85. 如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AC 、BD 相交于点E ，弦CD =27，且BD =5，则DE 等于_________.6. 已知：如图，△ABC 中，AE ＝CE ，BC ＝CD ，求证：ED ＝3EF .C FEDBA7. 已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AB 的中点，直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交于M 、N 点，求证：MD ：ME ＝ND ：NE .NMD CBA巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．62. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小时，则∠AMN + ∠ANM 的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°N ME D CB A3.如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.MD C BA4.（2011福州）已知，如图，二次函数223(0)y ax ax a a=+-≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:l y x=+.（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.x5.已知四边形P ABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形P ABQ的周长最小时，a= ．P(a,0)Q(a+2,0) B(4,-1)A(1,-3)xyO【板块二】线段差最大6.（2009四川眉山）如图，已知直线112y x=+与y 轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)．(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使MA MC-的值最大，求出点M的坐标．大角夹半角模型原题剖析：如图，已知在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．模型提取：CABEF M N 图①题型对比：1.（2008天津）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．实战训练2. （2010重庆改编）边长为2的等边△ABC 的两边AB 、AC 上有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN =60°，∠BDC =120°，BD =DC . 探究：当M 、N 分别在AB 、AC 上移动时，△AMN 的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，CD =3，设AC =x 、CABE F MN 图②BD=y，求y关于x的表达式．4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠P AQ=100°．设BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式.5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，∠BAC= ∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC 的交点分别为D、E（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值范围．6. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求△ABC的面积．四点共圆【板块一】对角互补1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，求证：∠ANM=∠B．2.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．【板块二】同线段同侧所张的角相等3.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（）A．90°B．120°C．150°D．180°4.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，P A：PB=5：14．则PB=_________．5.如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：∠CFD=∠CAD．。