空间向量求距离

∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
例:1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点
B 到平面 EFG 的距离.
D
C
n E F ， n E G 22xx24yy020 F
n(1,
1 ,1)
,BE(2,0,0)
A
33
E
d|nBE| 2 11.
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习1:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
SA AB BC a， AD 2a, 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离z 。
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
（6）两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
A
B
x
四、求异面直线的距离
A a M
n
N Bb
AB n d
n
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向
量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
AB n d
n
B
b
na
A
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
一、求点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
与平面A1DC1的距离
Z D1
A1
B1
AD n C1 d n
D
A X
C Y B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
直线DA1与AC的距离。
z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习6:如图,
ABC 是D正 方 SB 形 面 A ，BC ，DS 且A 与 面 ABC 所D成 的 45， 角S 点 为 到A 面BC 的D 距 离 1， 为A 求C 与 SD 的 距 离 。
z S
B
Ay
xC
D
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z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
E F ( 2 , 2 , 0 ) , E G ( 2 , 4 , 2 ) ,
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)x
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解： 如 C 图 x,y 建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(1 坐 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
设 C C nE E ,CA EB ( 1 1 的 , 1 , 00 ) A 公 即B , 1 x( 2 垂 , 2 , y4 ) 0线 ,n 的 (x,y,z)方 则 .A1 C向 1 z 向 B1 量
n
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA n | .
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
一、求点到平面的距离
PA n d
n
P M
O
n
N
A
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
一、回顾知识
1.距离定义
（1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离
两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间 的距离。
（4）两条异面直线间的距离
ห้องสมุดไป่ตู้
n AB1 0
2x2y4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n(1 , 1 ,1 )
A
B
在两直 C ,A ,线 C A 上 (1 ,0),.各 0 x 取 E 点 y
C E 与 A B 1 的 距 离 d |n |n C |A |2 3 3.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD ,PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
d|nBE| 2 11.
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AB1C