空间向量求距离
用向量法求空间距离
ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。
再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。
一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。
[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。
图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。
空间向量求距离
B
b
na
A
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
一、求点到平面的距离
PA n d
n
P M
O
n
N
A
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
n2
2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
d | n BE| 2 11 .n11源自xDCFA
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD1 n C1 d
两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间 的距离。
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
《空间向量及其运算》距离
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的 角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方 向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n
(整理版)用向量方法求空间距离
用向量方法求空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．一．求点到平面的距离例１.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离． 解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-，(0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-．设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，那么M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++(1)a b c ++=，∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )．由⊥BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是0BM GE ⋅=，0BM EF ⋅=．∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--⋅-=⎧⎪+--⋅-=⎨⎪++=⎩整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． ∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴ 222226211||11111111BM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故点B 到平面EFG 的距离为11112． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了． 二．求两条异面直线间的距离 例2正方体ABCD －''''A B C D 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离．分析：设异面直线'DA 、AC 的公垂线是直线l ，那么线段'AA 在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设=''A B i ，=''C B j ，=B B 'k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系'B －xyz ，那么有'(1,0,0)A ，(1,1,1)D ，(1,0,1)A ，(0,1,1)C ．∴ '(0,1,1)DA =--，(1,1,0)AC =-，'(0,0,1)A A =．设n (,,)x y z =是直线l 方向上的向量，那么2221x y z ++=．∵ n 'DA ⊥，n AC ⊥，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=--100222z y x y x z y ，解得33=-==z y x 或33x y z ==-=-． 取n 333(,,)333=-，那么向量A A '在直线l 上的投影为 n ·A A ')33,33,33(-=·)1,0,0(33-=． 由两个向量的数量积的几何意义知，直线'DA 与AC 的距离为33． 说明：用向量法求两条异面直线间的距离，同样不必作出公垂线段.但缺点是运算量较大,在运算时要注意运算的准确性.。
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
高二数学空间向量解决空间距离问题
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
P
n
d
O
| AP n | d n
A
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
二、直线到平面的距离
| AP n | d n
A
l
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
1
A1 D
B1
E C y B
A x
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。 z D1 A1 D B B1 C y C1
D1
C1
B1
C
B
y
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设 n ( x, y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取 x＝1，得其中一个 n (1, 2, 3) z 3x, B 选 A1 E与 BD1的两点向量为D1 A1 1, 0, 0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n
空间向量法求点到直线的距离
空间向量法求点到直线的距离在数学中，空间向量法被广泛应用于计算点到直线的距离。
这种方法基于向量运算和空间几何原理，能够精确计算点与直线之间的距离，并且具有良好的几何直观性。
在本文中，我们将探讨空间向量法的基本原理和应用，以及它在几何分析和实际问题中的重要性。
1. 空间向量法的基本原理在空间中，点和直线都可以用向量来表示。
令P(x1, y1, z1)为空间中的一个点，L为由直线上一点A(x0, y0, z0)和方向向量V(a, b, c)确定的直线。
为了计算点P到直线L的距离，我们首先需要找到直线L上距离P最近的一点Q。
根据向量的性质，向量PQ与直线L的方向向量V垂直。
我们可以通过向量的内积来确定这个垂直关系。
具体而言，向量PQ与方向向量V的内积为零，即(PQ)·V = 0。
展开计算后，我们得到以下方程：(x1 - x0) * a + (y1 - y0) * b + (z1 - z0) * c = 0这代表了点P到直线L的距离，我们可以将其作为基本公式用来计算点到直线的距离。
2. 空间向量法的应用空间向量法在几何分析中有着广泛的应用。
通过使用向量和内积的概念，可以精确计算点到直线的距离，从而解决许多与几何相关的问题。
在三维空间中，我们经常需要计算一条直线上某个点到另一条直线的最短距离。
利用空间向量法，我们可以轻松地解决这类问题。
空间向量法还在实际问题中发挥着重要作用。
在机器学习中，我们常常需要评估数据点与回归直线之间的距离，以确定模型的准确性。
空间向量法为我们提供了一种有效的计算方法，使得我们能够快速而准确地进行数据分析和模型评估。
3. 个人观点和理解对于我个人而言，空间向量法是一种非常强大和实用的数学方法。
它不仅可以解决几何分析中的许多问题，还可以应用于实际情境中。
通过利用向量运算和内积的思想，我们能够精确计算点到直线的距离，从而更好地理解几何关系和模型性能。
在学习和研究空间向量法时，我发现了它的简洁性和灵活性。
空间向量线到面的距离公式
空间向量线到面的距离公式
线到面的距离公式是Ax+By+Cz+D=0。
直线由无数个点组成。
直线是面的构成成分，其次构成身体。
没有端点，向两端无限延伸，长度不可估量。
直线是轴对称的。
对称轴有无数个，对称轴中的一个是对称轴自身，对称轴是（有无数个）所有垂直的直线。
如果将面的方程式设为Ax+By+Cz+D=0，将直线上的点设为（x0，y0，z0），则距离为│Ax0+By0+Cz0+D}/（A^2+B^2+C^2）^
（1/2）。
直线到平面的距离是指直线上的点和平面上的点之间的距离的最小值。
如果直线平行于平面，则该直线上的任何点到平面的距离都是直线到平面的距离。
如果直线与平面相交或直线在平面内，则直线到平面的距离为零
直线到平面的距离前提是直线和平面平行，到求同平面的距离为止直线任意一时，直线和平面的距离。
数学中的直线，两端没有端点，不能测量向两端无限延伸的长度。
在空间中沿同一方向或相反方向移动的点的轨迹，直线是轴对称的。
对称轴无数，其中一个是对称轴本身，有垂直于对称轴的任意直线。
因为在直线的任意一点上做垂线，所以可以认为直线分为相反方向的两条线，如果将一条线沿着这条垂线折叠，则两条线重合。
立体几何的向量方法-空间向量求距离
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
向量的表示与运算
向量的表示
空间中一个点可以表示为一个有序实数对(x,y,z)，与该点对应的向量可以表示为 $overrightarrow{OP} = (x,y,z)$。
向量的加法
对于任意两个向量$overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$和$overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的和为$overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$。
04
空间向量求距离的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
球面距离问题
总结词
利用向量方法求球面上的两点之间的最 短距离
VS
详细描述
将球面上的两点分别表示为向量，通过向 量的模长和夹角计算两点之间的距离。具 体步骤包括将球面距离转化为平面距离， 利用向量的模长和夹角公式计算距离。
平面距离问题
总结词
利用向量方法求平面上的两点之间的最短距 离
详细描述
将平面上的两点分别表示为向量，通过向量 的模长和夹角计算两点之间的距离。具体步 骤包括将平面距离转化为直线距离，利用向 量的模长和夹角公式计算距离。
异面直线间的距离问题
总结词
利用向量方法求异面直线间的最短距离
详细描述
将异面直线分别表示为向量，通过向量的模 长和夹角计算直线之间的距离。具体步骤包 括将异面直线间的距离转化为平面距离，利
用向量的模长和夹角公式计算距离。
直线到直线的距离公式空间向量
直线到直线的距离公式空间向量
直线到直线之间的距离，把三维空间定位看作是一个特定的几何体，两个直线就是它的对象，可以利用空间向量的方法计算出他们之间的距离。
首先要明确的是，两个直线之间的距离不受任何约束，只受两个直线的方向不同以及其夹角所决定，它可以是零，也可以是无限远。
空间向量需要两个直角坐标系，首先在坐标系中定义已知的两条直线，比如原点O、X轴向量和Y轴向量。
用A(x1,y1)和B(x2,y2)分别标记两条直线，将它们连接形成向量OA和OB，分别表示它们的起点和终点坐标。
距离可以计算为：
d=|OA-OB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
其中|OA-OB|是模的运算，即√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]表示两条直线之间的距离，它也可以通过叉乘运算求出，即OA xOB。
所以可以用空间向量公式实现两条直径之间的距离，即d=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²] 或 d=|OA×OB|。
当两条直线平行时，d=0，只有夹角α不为0，此时他们之间的距离才会不为零，不同的夹角α，他们之间的距离也是不同的。
而通过空间向量的方法，便可以根据需求，快速计算出直线到直线之间的距离，非常简便高效。
空间向量中点到直线的距离公式
在空间向量中，我们经常需要计算一个点到一条直线的距离。
这个问题在数学和物理学中经常会遇到，因为它涉及到了空间中点和直线的关系，而空间向量的概念为我们提供了一种简单而有效的处理方法。
在本文中，我将探讨空间向量中点到直线的距离公式，并共享一些个人观点和理解。
让我们回顾一下空间向量的基本概念。
在三维空间中，我们可以用一个坐标系来描述点和直线的位置关系。
点可以表示为一个三维向量，而直线则可以表示为一个参数方程或者一般方程。
在这两种表示方法中，我们都可以利用向量的运算来计算点到直线的距离。
现在让我们来具体讨论空间向量中点到直线的距离公式。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a=(a1, a2, a3)，另外空间中的一点P(x, y, z)。
我们的目标是计算点P到直线的距离。
根据向量的知识，我们可以得出点P到直线的距离公式为：d = |(P-P0) × a| / |a|这个公式其实是基于向量的投影运算得出的。
首先我们计算点P到直线上的点P0的向量PP0，然后计算PP0在直线方向向量a上的投影，最后求出投影向量的模。
这样就可以得到点P到直线的距离d。
在实际的应用中，这个距离公式非常有用。
不论是在物理学、工程学还是数学中，我们经常需要计算点到直线的距离，而这个公式提供了一个简单而有效的方法。
从个人角度来看，我认为空间向量中点到直线的距离公式是一种非常优雅的数学表达。
它通过向量的几何性质和运算方法，将一个看似复杂的问题简化为一组简单的计算步骤。
这个公式也蕴含着向量、几何和代数等多个数学概念，展现了数学的统一性和美感。
空间向量中点到直线的距离公式是一个非常有价值的工具，它为我们提供了一个简单而有效的方法来处理空间中点和直线的关系。
它也展现了数学的美感和统一性。
在今后的学习和工作中，我们可以更加灵活和深入地运用这个公式，来解决各种实际问题。
空间向量中点到直线的距离公式是一个非常有用的工具，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
直线到平面的距离公式空间向量
直线到平面的距离公式空间向量
一、直线到平面的距离公式
直线到平面的距离公式是表示由直线和平面之间距离的一种数学公式。
可以用来计算直线到平面的最短距离，可以使用距离公式在三维空间
中快速求解直线到平面的距离。
二、距离公式的表达式
直线到平面的距离公式表达式可以用如下形式来表示：
D=|\frac{(L-P)\cdot N}{|N|}|
其中，D表示最短距离；L为直线上任意一点的空间坐标；P为平面上
任意一点的空间坐标；N为平面的法向量。
三、距离公式求解步骤
(1)首先要求出直线l和平面的关系；
(2)然后对直线l的任意一点求出空间坐标Ll；
(3)对平面的任意一点求出空间坐标Pp；
(4)求出平面的法向量N；
(5)用求得的L、P、N代入距离公式，得出最短距离D；
四、距离公式的应用
距离公式是用来求解三维空间中直线到平面的距离。
它可以应用在计算机图形学等领域，比如可以使用该公式计算物体到地形的碰撞检测等。
点到面距离空间向量公式
点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。
- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。
- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。
- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。
2. 公式应用示例。
- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。
- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。
- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。
- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。
- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。
- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。
3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。
- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。
- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。
在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。
- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。
如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。
向量的投影——求空间距离的万能公式
向量的投影——求空间距离的万能公式数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（vector）。
向量有方向与大小，分为自由向量与固定向量。
数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中称为标量。
例如距离、质量、密度、温度等。
向量的运算的公式主要分为加法、减法、数乘、数量积、向量积、混合积等。
1、加法向量乘法的三角形法则，未知向量ab、bc，再并作向量ac，则向量ac叫作ab、bc 的和，记作ab+bc，即为存有：ab+bc=ac。
2、减法ab-ac=cb，这种排序法则叫作向量加法的三角形法则，直和为：共起点、连中点、指被减至。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa。
当λ\ue0时，λa的方向和a的方向相同，当λ4、数量积未知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ就是a与b的夹角）叫作a与b的数量内积或内积，记作a·b。
零向量与任一向量的数量四维0。
数量内积a·b的几何意义就是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
5、向量积向量a与向量b的夹角：未知两个非零向量，过o点搞向量oa=a，向量ob=b，向量内积示意图则∠aob=θ 叫作向量a与b的夹角，记作。
未知两个非零向量a、b，那么a×b叫作a与b的向量内积或外积。
向量内积几何意义就是以a和b为边的平行四边形面积，即s=|a×b|。
6、混合积取值空间三向量a、b、c，向量a、b的向量内积a×b，再和向量c作数量内积(a×b)·c，税金的数叫作三向量a、b、c的混合内积，记作(a,b,c)或(abc)，即为(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。
线面距离公式空间向量
线面距离公式空间向量
空间向量是指在空间中有方向和大小的物理量，其中，方向由向量的朝向指示，大小由向量的长度指示。
空间向量的计算是几何学中的基本操作，它为我们提供了一种计算空间中物体之间距离的方法。
其中，空间向量的线面距离是指向量与某一平面的距离，其计算公式为：距离=向量点乘法向量的模值的绝对值/法向量
的模值，其中，法向量模值表示平面法向量的大小，向量点乘法向量的模值表示向量与法向量的夹角余弦值。
空间向量线面距离公式可以用来计算多种形状的几何体之间的距离，例如：点到平面的距离，点到直线的距离，直线到平面的距离等。
使用该公式，我们可以快速地计算出两点之间的距离，从而避免手工计算的复杂和繁琐。
此外，空间向量线面距离公式还可以应用到实际的工程中，例如：在机械设计中，可以使用该公式来计算零部件之间的安装位置，以准确地实现零件的装配；在建筑设计中，可以使用该公式来计算梁与墙体的支撑距离，以确保梁的稳定性。
从上面可以看出，空间向量线面距离公式是几何学中重要的一种计算方法，它可以用来准确地计算几何体之间的距离，也可以应用到实际的工程中，以达到精确的设计效果。
向量的投影——求空间距离的万能公式
向量的投影——求空间距离的万能公式在线性代数中，向量的投影是一种重要的概念，可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
而空间距离是指两个向量之间的距离，也可以通过向量投影来计算。
下面将介绍向量的投影以及如何利用向量投影来求解空间距离的万能公式。
首先，我们来定义向量的投影。
设有两个非零向量a和b，向量a在向量b上的投影记作projba。
投影的计算公式为：projba = (a · b / ，b，²) * b,其中，projba表示向量a在b上的投影，a · b表示a和b的点积，b，表示向量b的模长。
直观上理解，向量的投影就是将向量a在向量b上的“阴影”。
接下来，我们将利用向量投影来求解空间距离的万能公式。
设有两个向量a和b，我们需要计算它们之间的空间距离。
首先，我们可以利用向量的投影求解向量a在向量b上的投影向量projba。
然后，我们可以得到向量a在b的垂直方向上的分量，记作perpba，可以通过向量减法得到：perpba = a - projba.接下来，我们将向量perpba与向量b进行点积运算，得到向量a在b的垂直方向上的投影长度：dist = ，perpba， = ，a - projba，.这个长度就是向量a到向量b所定义的直线的距离，也即是两个向量之间的空间距离。
通过上述的过程，我们可以得到空间距离的万能公式：dist = ，a - (a · b / ，b，²) * b，.这个公式可以用于计算任何两个向量之间的空间距离。
具体来说，它包含了向量的模长、点积等概念，可以灵活地应用于各种向量运算和几何问题中。
需要注意的是，如果向量b为零向量，则空间距离无法计算，因为零向量没有模长。
此外，向量投影和距离的计算都有一个前提条件，那就是向量b不能为零向量，否则投影和距离都不存在。
最后，需要强调的是，向量的投影和空间距离是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
空间向量间的距离
空间向量间的距离可以通过以下公式计算：
空间向量的距离公式是：d= |n·MP| |n|，其中n是平面的法向量，MP是点P到平面的向量。
该公式用于计算空间中一点到平面的距离。
另外，点到平面的距离也可以通过向量运算计算，设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d= |a·n| |n|，即a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
此外，欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧式空间中两点间的距离公式。
它可用于计算两点之间的直线距离，也可以用于计算向量的距离。
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△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解： 如 C 图 x,y 建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(1 坐 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
设 C C nE E ,CA EB ( 1 1 的 , 1 , 00 ) A 公 即B , 1 x( 2 垂 , 2 , y4 ) 0线 ,n 的 (x,y,z)方 则 .A1 C向 1 z 向 B1 量
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
（6）两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD ,PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
一、求点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
n AB1 0
2x2y4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n(1 , 1 ,1 )
A
B
在两直 C ,A ,线 C A 上 (1 ,0),.各 0 x 取 E 点 y
C E 与 A B 1 的 距 离 d |n |n C |A |2 3 3.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面
D
C
n E F ， n E G 22xx24yy020 F
n(1,
1 ,1)
,BE(2,0,0)
A
33
E
d|nBE| 2 11.
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习1:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
SA AB BC a， AD 2a, 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离z 。
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
d|nBE| 2 11.
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AB1C
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
例:1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点
B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
E F ( 2 , 2 , 0 ) , E G ( 2 , 4 , 2 ) ,
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)x
直线DA1与AC的距离。
z
D1
C1A1B1D NhomakorabeaA xC y
B
练习6:如图,
ABC 是D正 方 SB 形 面 A ，BC ，DS 且A 与 面 ABC 所D成 的 45， 角S 点 为 到A 面BC 的D 距 离 1， 为A 求C 与 SD 的 距 离 。
z S
B
Ay
xC
D
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
与平面A1DC1的距离
Z D1
A1
B1
AD n C1 d n
D
A X
C Y B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
A
B
x
四、求异面直线的距离
A a M
n
N Bb
AB n d
n
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向
量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
AB n d
n
B
b
na
A
例4
一、回顾知识
1.距离定义
（1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离
两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间 的距离。
（4）两条异面直线间的距离
n
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA n | .
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
一、求点到平面的距离
PA n d
n
P M
O
n
N
A
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为