新课标高一§1.2.1函数的概念(整节) - 人教版
人教版高中数学必修一课件：1.2.1 函数的概念(共21张PPT)
（5）实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞” 读作“无穷大”, “+∞” 读作 “正无穷大” “-∞”读作 “ 无穷大”
x≥a 的集合表示为 [ a, +∞ ) x＞a 的集合表示为 ( a, +∞ ) x≤a 的集合表示为 ( -∞, a ] x＜a 的集合表示为 ( -∞, a )
练习：
记作：y=f(x), x∈A
练习1：下列图形中，不可能是函数 y f (x)
的图象的是（ D ）
y
y
0
x
A
y。
0
x
B
y
0
x
C
0
x
D
2、判断下列关系式是否是函数？
1 y 2x 1 是
2 y x2 x 1 是
3 y 2 x R 是 x 2 y R? 否 4 y x 否
5 y x 3 2 x 否
（1）{x|5 ≤ x ≤ 6} 5, 6（2） {x|-1≤ x<3} 1,3 （3） {x| 1< x<10}1,10 （4） {x|-1< x ≤ 3} 1,3 (5) {x| x ≥ 6} 6, (6) {x|x≤ 9} ,9
函数的定义域是使得式子有意义的实数x的集合。
例3.求定义域
1) f ( x) 1 x2
2) f (x) 3x 2
3)
f (x) x 1 1 2x
4) f (x) 1 2x (x 5)0
f(x)分别为整式；分 式；二次根式；零 次幂或是由几个式 子组成时，定义域 是使各个式 子都 有意义的x的取值 集合。
课堂小结
本节课学习了以下内容： 1.函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，
高一数学 1.2.1 函数的概念 1课件 新人教A必修1
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区 间，表示为__[a_，__b_]___；
(2) 满 足 不 等 式 a ＜ x ＜ b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 __开__区__间___，表示为_(_a_，__b_)___； (3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合 叫做半开半闭区间，分别表示为 _[_a_，__b_)_，__(a_，__b_]__． 其中实数a、b表示区间的两端点．
x
知新益能
1．函数的概念 (1)设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有_唯__一__确__定___的数f(x)和它对应，那么就称f： A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作 ____y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A______. (2)在函数y＝f(x)中，x叫做_自__变__量___，x的取值范 围A叫做函数的_定__义__域___，与x值相对应的y值叫做 __函__数__值___ ， 函 数 值 的 集 合 {f(x)|x ∈ A} 叫 做 函 数 的 _值__域___，显然值域是集合B的子集．
考点三 求函数的定义域
求函数的定义域就是构造关于自变量x的不等式， 使f(x)的每一个组成部分都有意义．
例3 求下列函数的定义域．
(1)y＝x＋1－ 1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
【 思 路 点 拨 】 分析所给函数解析式 → 列不等式组 → 求x范围，得定义域
【解】 (1)1－x≥0，∴x≤1. ∴定义域为{x|x≤1}． (2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 5－x≥0 |x|－3≠0 ，解得 x≤5，且 x≠±3， 即函数定义域为{x|x≤5，且 x≠±3}．
数学人教A必修1第一章1.2.1 函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．比如，甲、乙两地相距30 km ，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h ，出发t 小时后行驶的路程是s km ，则s 是t 的函数，记为s ＝12t ，定义域是{t |0≤t ≤2.5}，值域为{s |0≤s ≤30}．对集合{t |0≤t ≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s |0≤s ≤30}中都有唯一的数s ＝12t 和它对应．对函数概念的理解①“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A ，而值域不一定是非空数集B ，而是非空数集B 的子集．例如，设集合A ＝{x |x ≠0，x ∈R }，B ＝R ，按照确定的对应关系f ：取倒数，对于集合A 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，于是y ＝f (x )＝1x就称为从集合A 到集合B 的一个函数．此时A 是函数y ＝1x的定义域，而值域D ＝{y |y ≠0，y ∈R }，显然D ≠B ，但D ⊆B ．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝12x -D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y解析：对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y =x ∈A ，y 值不唯一，故不符合．对于B 项，符合函数的定义．对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧 判断一个对应关系是否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y 是x 的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x ＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f(x)＝3x2－5x＋2．(1)求f(3)，(2)f-，f(a)，f(a＋1)；(2)若f(x)＝0，求x．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x的方程，求解即可．解：(1)f(3)＝3×32－5×3＋2＝14，f(2＝3×(22－5×(2＋2＝8＋52f(a)＝3a2－5a＋2，f(a＋1)＝3(a＋1)2－5(a＋1)＋2＝3a2＋a．(2)∵f(x)＝0，∴3x2－5x＋2＝0，解得x＝1或23x=．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点．实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )． 定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ]{x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ){x |a ＜x ≤b } 半开半闭区间 (a ，b ]{x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ，＋∞){x |x ＞a } 开区间 (a ，＋∞){x |x ≤a } 半开半闭区间 (－∞，a ]{x |x ＜a } 开区间 (－∞，a )R 开区间 (－∞，＋∞)称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x ∈[2，＋∞)，[0,6)[－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]．(4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1)[2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．．．．相同，并且对应关系释疑点满足什么条件的两个函数相等(1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是()A．f(m)＝2m－1(m＞2)B．f(x)＝2x－1(x∈R)C．f(x)＝2x＋1(x＞2)D．f(x)＝x－2(x＜－1)解析：对于A项，函数y＝f(m)与y＝g(x)的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(2)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1；(3)f(x)＝x，g(x)＝2x；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝2x．分析：求出函数f(x)与g(x)的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f(x)与g(x)的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，函数g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R，但是f(x)＝x，g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝|x|，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y＝f(x)，x∈A与函数u＝f(t)，t∈A是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合． ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y =(2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=+． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0)(0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)．辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域；②已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，指的是自变量x ∈[a ，b ]．一般地，若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域就是g (x )在区间[a ，b ]上的取值范围(即g (x )的值域)．其实质是由x 的取值范围，求g (x )的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例5－1】(1)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (x )的定义域；(3)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x －1)的定义域．解：(1)设2x ＋1＝t ，由于函数y ＝f (t )的定义域为[1,2]，故1≤t ≤2，即1≤2x ＋1≤2，解得0≤x ≤12，所以函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． (2)设2x ＋1＝t ，因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5，即3≤t ≤5，函数y ＝f (t )的定义域为[3,5]．由此得函数y ＝f (x )的定义域为[3,5]．(3)因为函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5．所以函数y ＝f (x )的定义域为[3,5]．由3≤2x －1≤5，得2≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域为[2,3]．点技巧 求抽象函数定义域有技巧 (1)正确理解函数的定义域就是自变量x 的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f 下括号内的范围是一样的，即f (t )，f (g (x ))，f (h (x ))中的t ，g (x )，h (x )的取值范围相同．【例5－2】若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．分析：f (x )＋f (－x )的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x ，－x 都在[－2,1]这个区间内，从而f (x )＋f (－x )有意义．解：由题意，得2121x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x ≤1． 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，值域是(－∞，0)(0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎡⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝⎛⎦⎤－∞，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域． (3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y －1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)22432x x y -+=；(6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}． ∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)0，1≥－1．∴函数y 1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求． 5142x y x -=+ 510(42)14442x x +--=+ 514(42)4442x x +-=+ 5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++， 当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭， 则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)． ∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12．∴函数y ＝x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝x域时，令t =将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数． ③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数．答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝的定义域是集合A ，函数g (x )＝的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}． 要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1．因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x +，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3． 又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝72． _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2． ∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2．故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值．令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)， 于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f + ＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024．答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x +． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现； (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1． 证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+． 由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+=…个．。
高中必修一数学1.2.1《函数的概念》ppt课件-人教版
练习：下面各组中的两个函数表示同一函数的是__①_
①f (x) x , g(x) x2 ②f (x) x2 1, g(x) x 1
x 1
③f(x) x 10 ,g(x) 1
④ f(x) x 2 2 x 1,g(t) t 2 2t 1
高中数学
问题四：区间的概念
集合表示
区间表示
高中数学
例已知函数f (x) x3 1 x2
(1)求函数的定义域 (2)求的f (3), f (2)值 3
(3)当a＞0时，求f (a), f (a-1)的值
说明：①对于函数y=ƒ(x)，如果不加说明，函数的 义域是指:使这式子有意义的x的取值范围.
②函数定义域要写成集合或区间的形式。
③常见函数定义域的求法：
我们把这种关系也记作 f：A→B
高中数学
函数的有关概念
展
函数的定义：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合
有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→
集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做 的定义域；
{x a＜x＜b} (a , b)
{x a≤x≤b} [a , b]
{x a≤x＜b} [a , b)
{x a＜x≤b} (a , b]
{x x＜a} (－∞, a)
{x x≤a} (－∞, a]
{x x＞b} (b , +∞)
{x x≥b} [b , +∞) {x x∈R} (－∞,+∞)
高中数学
值域是集合B的子集
高中数学
简单函数的定义域和值域
(1 )y 2 x 1 (2)y x 2 2 x 1 (3)y 1
高中数学 1.2.1函数的概念课件1 新人教A版必修1
4
讨论研究，深化理解
1 . 【例1】已知函数 f ( x) x 3 x2
（1）求函数的定义域；
2 （2）求 f ( 3), f ( ) 的值； 3
（3）当 a 0 时，求 f ( a ), f (a 1) 的值．
5
即时训练，巩固新知
练习1
求函数 f ( x) 1 x x 3 1 的定义域. 练习2
2
创设情境，形成概念
炮弹飞行时间t的变化范围是数集
A {t 0 t 26}
炮弹距地面的高度h的变化范围是数集
B {h 0 h ，按照对 应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的 高度h和它对应.
2
创设情境，形成概念
相同的特点：
①都有两个非空数集A，B； ②两个数集之间都有一种确定的对应关系; ③对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 值和它对应.
《函数的概念》
1
回忆旧知，引出困惑
在一个变化过程中，有两个变 量x与y,如果对于x的每一个值，都有 唯一确定的y值和它对应，那么就说 y是x的函数,x叫自变量．
y 0( x R )是函数吗？
2
创设情境，形成概念
实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地 面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距 地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h=130t-5t2.(﹡)
2
创设情境，形成概念
函数的概念:
一般地，设A，B是非空的数集，如果 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，那么就称 f : A B 为从 集合A到集合B的一个函数，记作为从集合 A到集合B的一个函数，记作 y f ( x ), x A.
1.2.1函数的概念 课件-人教版高中数学必修一
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（三）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作f：A→B。
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读 作“无穷大”。满足x≥ a，x>a ，x ≤b，x<b的 实数的集合分别表示为[a， +∞)、(a，+∞)、(-∞， b]、(-∞，b)。
注意： ①区间是一种表示连续性的数集 ②定义域、值域经常用区间表示 ③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。 试用区间表示下列实数集
• 思考：
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量
x=a时对应的函数值，是一个常数。
• 思考：f(x)与f(x-a)的区别与练习？
它们有同一个对应关系，但施加的对象 不同，一个是x，一个是x-a，若以 x为自 变量，它们是不同的函数.
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值。
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系f • 思考：“按照某种确定的对应关系 ”
高中数学必修一1.2.1-1函数的概念新人教版A课件
3
（3）因为a>0,所以f（a），f（a-1）有意义
f(a) a1 1 a2
f( a 1 )a 1 3 1a 2 1
a 1 2
a 1
课堂练习：P21 练习1/2
高中数学必修一1.2.1-1函数的概念新人教版A
问题思考
z 设A={1,2,3}，B={1,4,8,9}，对应关系是f: 平方。问对应f:A B是否为从A到B的 一个函数？
z 这个函数的定义域是什么？值域C又是什 么？一般情况下,C与B之间有关什么关系？
z 两个函数相等的条件是什么？
高中数学必修一1.2.1-1函数的概念新人教版A
今后如无特别声明，已知函数即指B为函数值域。 于是函数有三要素，即：
定义域
函数 对应关系
值域
＊值域是由定义域和对应关系决定的。
＊如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致，就知这两个函数相等。
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
数%
请问：
(1)恩格尔系数与年份之间的关系是否和前两个事例中 的两个变量之间的关系相似？
(2)如何用集合与对应的语言来描述这个关系？
高中数学必修一1.2.1-1函数的概念新人教版A
思考
以上三个实例有那些公共的特点？
它们的关系可以描述为： 对于数集A中的每一个t，按照某种对应 关系f，在数集B中都有唯一确定的h和它 对应，记作：
f：A B
高中数学必修一1.2.1-1函数的概念新人教版A
所以得到函数的概念：
设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关 系f，使A的任何一个x，在B中都有唯一确定的
f(x)和它对应，那么就称 f：A B为从集
(新)人教版高中数学必修一1.2.1《函数的概念》精美课件(共41张PPT)
(3)y = 1- x + x -1
解：(3)使根式 1- x2 成立的实数集合是{x∣-1≤x ≤1}， 使根式 成立的实数集合是 {x ∣x ≧1或x ≤-1} x2 -1 所以此函数的定义域为
{x∣-1≤x ≤1} ∩ {x ∣x ≧1或x ≤-1}={x=1或x=-1}.
2
2
3.已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则f(x-2)的定 [1,6] 义域是_________.
思考表中恩格尔系数与时间（年）的关系？
注意： 时间t的变化范围是数集A={t︱1998≤t ≤2005} 恩格尔系数k的变化范围是数集 B={k︱37.9 ≤k ≤50.1}. 对于数集A中每个年份t，在数集B中都有唯一确 定的恩格尔系数与它对应. 对于集合A中的每个x，按照某种关系f，在数集 以上例子中，变量之间的关系有什么 B中都有唯一确定的y与它对应。 共同的特点呢？ 记作：f: A→B.
课堂小结
1.函数的概念 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到B的一个函数．记作 y=f(x),x∈A 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域， 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．
下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像.
y
2
y
2
0
2
x
0
2
x
×
y
y
2
×
2
0
2
x
0
2
x
思考
下列函数的定义域，对应关系，值域.
高中数学 1.2.1函数的概念 新人教A版必修1
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判断: • (1): y= 1 (x ∈ R )是 函 数 吗 ？
• (2): y=x与 y=x2是 同 一 个 函 数 吗 ？ x
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形成概念 1. 定义
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形成概念 1. 定义
设A、B是非空的数集，如果按照某 个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数，
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1.函数的概念
传统定义： 设在一个变化过程中有两个变量x与 y,如果对于x的每一个值，y都有唯 一的值与它对应，那么就说y是x的 函数,x是自变量。
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几类函数：
• 一次函数 • 反比例函数
• 二次函数
y=ax+b(a≠ 0)
y = k (k ≠0) x
y=ax2+bx+c(a≠ 0)
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2. 函数的三要素: 定义域A； 值域{f(x)|x∈A}； 对应法则f.
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2. 函数的三要素: 定义域A； 值域{f(x)|x∈R}； 对应法则f.
(1)函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数， (2) f (x)不是表示 f 与x的乘积； (2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具
体含义不一样；
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练习1.讨论下列对应是否是从集合A到 集合B的函数.
(1).A=B=N*,对应关系f : x →y = x-3
(2).A =R,B=0,1, 对应关系f
:
x
→y
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1(x≥0) 0(x <0)
(3).A=B=R,对应关系f : x →y = x (4).A=Z,B=Q,对应关系f : x →y = 1
高一数学人：1.2.1函数的概念课件人教新课标
函数符号 y=f (x)的内涵是： “对于定义域内的任意x，在对应关系f的作用下得到y” 注意：一般情况下，对应关系f可用一个解析式表示，
但在一些情况下，对应关系f不便或不能用解析式 表示，这时，可用图象或表格等表示
如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系：
①定义域和对应法则是否确定
②根据所给对应法则，自变量 x在其定义域中的 每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值 y
(3)要使函数有意义，须使
x＋1≥0 3－x≠0
，∴x≥－1且x≠3，
∴定义域为：{x|x≥－1且x≠3}．
• 2．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形 的一条边长x之间的函数关系为________， 其定义域为________．
[答案] [解析]
S＝12x－x2 {x|0＜x＜12}
由题意得，矩形的另外一条边长为
例1、已知函数 f (x) x+3+ 1 , x+2
（1）求函数的定义域
(2)求f (3)，f ( 2)的值； 3
(3)当a 0时，求f (a), f (a 1)的值.
解：(1)要使函数有意义，
当且仅当
x x
3 2
0 0
解得x 3且x 2
所以，定义域为{x | x 3且x 2}
• [答案] (1)①③不是 ②④是 (2)①⑤
• [解析] (1)①A中的元素0在B中没有对应元 素，故不是A到B的函数；
• ②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应 关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个 确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B 的函数；
• ③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有 对应的元素，故此对应不是A到B的函数；
人教新课标版高中数学高一函数的概念
B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D.A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→ x
解析 A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中x＝1时，绝对值x －1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确.
解析 答案
命题角度2 给出图形判断是否为函数图象 例2 下列图形中不是函数图象的是
(2)y＝2 x－ 1－7x； 解 由x1≥－07，x≥0， 得 0≤x≤17， 所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为[0，17].
解答
x＋10 (3)y＝ x＋2 ； 解 由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以x>－2且x≠－1.
x＋10 所以函数 y＝ x＋2的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
解答
②求f(g(2))的值； 解 f(g(2))＝f(6)＝1＋1 6＝17. ③求f(a＋1)，g(a－1). 解 f(a＋1)＝1＋1a＋1＝a＋1 2. g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
解答
反思与感悟
f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达 式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可.
解答
类型四 对于f(x)，f(a)的理解 例5 (1)已知函数f(x)＝ x＋2 ，若f(a)＝4，则实数a＝_1_4__. 解析 f(a)＝ a＋2＝4， ∴a＋2＝16，a＝14.
解析 答案
(2)已知f(x)＝ 1 (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). 1＋x
①求f(2)，g(2)的值； 解 因为 f(x)＝1＋1 x，所以 f(2)＝1＋1 2＝13. 又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.1 函数的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第九页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
2．已知函数 f(x)＝xx＋－11，则 f(2)等于(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
解析： f(2)＝22＋－11＝3.故选 A.
答案： A
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第十页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第十四页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
(5)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，对应关系如下图所 示：
(6)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如下图所 示：
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第十五页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
5－x≥0
(2) 要 使 函 数 有 意 义 ， 需 满 足 2－x≠0 x＋1≠0
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第二十六页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为 0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根 号内的式子大于或等于0的实数的集合；
对应，故是集合A到集合B的函数．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引 第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
求函数的定义域 求下列函数的定义域，结果用区间表示 (1)y＝xx－－112－ 2＋x； (2)y＝ 5－x＋x2＋－1x0.
高一数学最新课件-新课标《函数的概念》整堂课人教版[原创] 精品
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例一：求下列函数的定义域：
1) f (x) 1 ２）f (x) x 3 x2
3) f(x)= x 3 + 1 x2
求函数的定义域依据：
练习: 课本P21 1
若f (x)是整式，则x R
对于式子 f (x) ,应使g(x) 0 g(x)
对于式子 f (x),应使f (x) 0
定义
名称
符号
数轴表示
{x|axb} 闭 区 间
[a,b]
x|a<x<b 开 区 间
(a,b)
x|ax<b 半 开 闭 区 间 [a,b)
x|a<x b 半 开 闭 区 间 (a,b]
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
实数集R可以用区间表示为（- ，+）.“”读作无穷大，“-”读作“负无穷大”， “+”读作“正无穷大”.
问题3：观察下列对应：
乖2
A
B
求平方
A
B
1
1
2
2
3
4
3
5
6
1
1
-1
2
4
-2
3
9
-3
(1)
(2)
求倒数
A
B
1
1
1
2
2
3
1
3
4
1
4
(3)
求倒数
A
B
1
1
1
2
2
3
1
3
4
1
0
4
A 开平方B
4
2
0
-2 0
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(*)
炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845} 从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间 t，按照对应关系(*)，在数集B中都有惟一的高度h和它 对应。
2013年8月22日星期四8时27分13秒
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判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合
×
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √ 4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素 √ 5、对于不同的x , y的值也不同
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问题：如何判断两个函数是否相同？ 【例2】 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1) y ( x )2
(3) y x 2
练习：P21）练习3
( 2) y 3 x 3 2 x ( 4) y x
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四、【要点小结】
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集 合 B的函数。 定义域 定义域 决定 值域 2.函数的三要素 值域 对应法则 对应法则f 3.会求简单函数的定义域和函数值 4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
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学习过程
一、【回忆过去】
思考？ 1、初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于 x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变 量，y是x的函数。
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2、请问：我们在初中学过哪些函数？
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(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧 空洞的面积从1979~2001年的变化情况：
根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B ={S|0≤S≤26}.并且，对于数集A中的每一 个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定 的臭氧层空洞面积S和它对应.
正比例函数：y kx(k 0)
k 反比例函数：y (k 0) x
一次函数：y kx b(k 0)
二次函数：y ax bx c(a 0)
2
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3、请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ x2 （ ）y x与y 2 是同一个函数吗？ x
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(2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (1)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
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这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无 穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别 表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
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二次函数
y ax2 bx c (a 0)
R
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问题： （1）试说明函数定义中有几个要素？
定义域、值域、对应法则 ①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是 一个整体； ②值域由定义域、对应法则惟一确定；
③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示 “y等于f与x的乘积。
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判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y x
0
0
x
(A) y
(B)
y
0
x
0 (D)
x
(C)
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环节4：区间的概念
请阅读课本P18关于区间的内容
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b]
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§1.2.1 函数的概念
学习目标
1、正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画 函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 2、通过实例领悟构成函数的三个要素；会求一些简单 函数的定义域和值域。 3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培 养学生的抽象概括能力。
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
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三、【例题演示】 【例1】已知函数 f ( x ) （1）求函数的定义域
解：要使函数有意义，
只要 x 3 0 x 3 x 3且x 2 x20 x 2
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注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值 域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端 点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
[5,6) [9, ) ( ,1] [5,2) ( ,9) ( 9,20)
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量√
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问题： （2）如何判断给定的两个变量之间是否具 有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？ ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对 应。
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环节2：函数的定义
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之 间的关系可以描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在 数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作 f: A→B.
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函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照 某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，
1 x3 x2
所以f ( x )的定义域为x | x 3，且x 2} {
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求 定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域 常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定 义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
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判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （2）|y|=x （4）y2 =x
（5） y2+x2=1
（6）y2-x2=1
(1)能 (4)不能
(2)不能
(3)能 (6)不能
(5)不能
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探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题，是使实际问题有意义的实数的集合
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函数 正比例 函数 反比例 函数 一次函数
对应法则
定义域
值域
y kx( k 0)
R
R
{ y | y 0}
k y ( k 0) {x | x 0} x
y kx b ( k 0)
R
R
4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a 4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a
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（2）求
2 f ( 3)、f ( ) 的值 3
（3）当 a 0 时，求 f (a )、f (a 1) 的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a 时，对 应的函数值用符号 f (a)表示。
格式省略 练习：P21）练习1、2
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记作
y=f(x) , x∈A
x与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
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环节3：回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值 域分别是什么？
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(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。