2013南平自主招生数学试题含答案定稿
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (文科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为)1,2(点代入直线方程，符合方程，即“2=x 且1-=y ”可推出“点P 在直线01:=++y x l 上”；而点P 在直线上，不一定就是)1,2(点，即“点P 在直线01:=++y x l 上”推不出“2=x 且1-=y ”．故“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的充分而不必要条件．3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A I 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16 【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为}3,1{=B A I ，有2个元素，所以子集个数为422=个．4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22．5．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0122O xy【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．7．若122=+y x ，则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为yx y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】本题考查的是程序框图．循环前：2,1==k S ；第1次判断后循环：3,3==k S ；第2次判断后循环：4,7==k S ；第3次判断后循环：5,15==k S ．故4=n ．9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为（ ） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10 【答案】C【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b '>'<ˆ,ˆ．故选C12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ，则=))4((πf f 【答案】2-【解析】本题考查的是分段函数求值．2)1(2)1()4tan())4((3-=-=-=-=f f f f ππ．14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为【答案】31【解析】本题考查的是几何概型求概率．013<-a ，即31<a ，所以31131==P ．15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于【答案】13-【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==a ce ，故答案为13-．16．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B NA ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号） 【答案】①②③【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数)(x f y =为单调递增函数．对于集合对①，可取函数)(2)(N x x f x ∈=，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数)31(2729≤≤--=x x y ，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数)10)(2tan(<<-=x x y ππ，是“保序同构”．故答案为①②③．三．解答题 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =．（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=o ． （1）当正视图方向与向量AD u u u r的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分． 解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD == 在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得43PD = 正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴MN AB P ，132MN AB ==，又CD AB P ,3CD = ∴MN CD P ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN P 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM P 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=，43PD =，所以83D PBC V -= 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE 在梯形ABCD 中，BE CD P ，且BE CD = ∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC P ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE P 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PB P ME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME P 平面PBC .又DE ME E =I ,∴平面DME P 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM P 平面PBC （Ⅲ）同解法一 19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分． 解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人）， 记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B ，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=22⨯ 生产能手 非生产能手 合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组15 25 40 合计 30 70 100所以得：2()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||5CO =． 所以22||2||2542MN CO d =-=-=.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+， 即22200202yx x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则： 222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =所以20142y +=，解得06y =±，此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =，33||2CO =，即圆C 的半径为33221（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90OPQ ∠=o，22OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若3OM =，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=o ，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，5OM =，22OP =， 由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒， 得2430MP MP -+=， 解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=，060α︒≤≤︒， 在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠， 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+，同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒()()()31sin 45sin 45cos 4522ααα=⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥⎣⎦()()()231sin 45sin 45cos 45ααα=︒++︒+︒+()()311cos 902sin 902αα=-︒++︒+⎡⎤⎣⎦331sin 2cos 2αα=++()31sin 230α=++︒因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为843-．22（本小题满分14分）已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分． 解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e '=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，得()10f '=，即10ae -=，解得a e =． （Ⅱ）()1x af x e'=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值． （Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+令()()()()111x g x f x kx k x e=--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤． 又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11x k x e-=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时，方程（*）可化为10x e =，在R 上没有实数解． ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =，则有()()1x g x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min g x e =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上，得k 的最大值为1．。
2013年湖南省五校联考自主招生数学试卷_20200625145105
则 a﹣b＜0，a＞0，
∴b＞0，a+b＞0， ∴
=2
﹣（a+b+2）+（a﹣b﹣3）
=2（b+1）﹣a﹣b﹣2+a﹣b﹣3
=﹣3．
11.
b≤3 且 b≠2 ．
12.
解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°=1260°，
∴每个内角为 140°，
又∵AB=BC，∠B=140°， ∴∠CAB=（180°﹣140°）÷2=20°， 连接 AH，作 HM，GN 分别垂直 AE 于 M，N． ∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°． ∴∠HAM=140°﹣2×20°﹣40°=60°， ∴∠AHM=30°， 设 AM=EN=x，MN=y， 四边形 HGNM 是矩形，所以 HG=y，即正九边形边长为 y， 在 Rt△AHM 中，∠AHM=30°， ∴AC=AH=2AM=2x， ∴AB+AC=y+2x， ∵AE=AM+MN+EN=2x+y， ∴AE=AB+AC=3． 故答案为：3．
14.
平分 BD，
解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 D，连接 AD，CD，则 AC 垂直
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）若对于所有的实数 x，
A．﹣3
B．3
恒为负数，且 ，则 M 的值为（ ） C．﹣2a+2b﹣3 D．4b+7
二、填空题：（每小题 4 分，共 32 分）
11．（4 分）若关于 x 的方程 =3 的解是非负数，则 b 的取值范围是 _________． 12．（4 分）如图，在正九边形 ABCDEFGHI 中，若 AB+AC=3，则对角线 AE= _________．
福建南平2013年中考数学试题（word版）
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2013年福建省南平市中考数学试卷(WORD版含答案)
数学试题 第1页（共4页）2013年福建省南平市初中毕业、升学考试数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；② 可以携带使用科学计算器，并注意运用计算器进行估算和探究； ③ 未注明精确度、保留有效数字等的计算问题不得采取近似计算．★参考公式：抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是，a b x 2-=顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1．21-的倒数是A ．－2B ．2C ．21-D ．212．如图是由六个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其主．视图的面积．．．．．是 A ．3 B ．4C ．5D ．6 3．下列图形中，不是．．中心对称图形的是 A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等边三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，∠ADE ＝48°， 则下列结论中不正确．．．的是 A ．∠B ＝48° B ．∠AED ＝66° C ．∠A ＝84° D ．∠B +∠C ＝96° 5．以下事件中，必然．．发生的是A ．打开电视机，正在播放体育节目B ．正五边形的外角和为180°C ．通常情况下，水加热到100℃沸腾D ．掷一次骰子，向上一面是5点 6．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确．．的是 A ． AD =AB B ．∠BOC =2∠D C ．∠D +∠BOC =90° D ．∠D =∠B（第6题图）ODCBA（第2题图）（第4题图）CE BDA数学试题 第2页（共4页）7A ．32，32B ．32，30C ．30，30D ．30，328．关于x 的一元二次方程02222=++-m x x 的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定9．给定一列按规律排列的数： ,174,103,52,21，则这列数的第6个数是A ．376B ．356C ．315D ．39710．如图，Rt △ABC 的顶点B 在反比例函数xy 12= 的图象上，AC 边在x 轴上，已知∠ACB =90°， ∠A =30°，BC =4，则图中阴影部分的面积是 A ．12 B ．34C ．3312-D ．32312-二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡．．．的相应位置）11．计算：327＝ ．12．甲、乙、丙、丁四位同学在5次数学测验中，他们成绩的平均数相同，方差分别为5.52=甲s ，5.42=乙s ，5.62=丙s ，3.42=丁s ，则成绩最稳定的同学是 ．13．写出一个第二象限内的点的坐标：（ ， ）． 14．分解因式：3632++a a = ． 15．计算：32)(b a ＝ ．16．长度分别为3cm，4cm ，5cm ，9cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．17．分式方程xx 332=-的解是 ．18．设点P 是△ABC 内任意一点．现给出如下结论：① 过点P 至少存在一条直线将△ABC 分成周长相等的两部分； ② 过点P 至少存在一条直线将△ABC 分成面积相等的两部分； ③ 过点P 至多存在一条直线将△ABC 分成面积相等的两部分；④ △ABC 内存在点Q ，过点Q 有两条直线将其平分成面积相等的四个部分. 其中结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） （第10题图）数学试题 第3页（共4页）三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡．．．的相应位置作答） 19．（1）（7分）计算：()91522--π+⨯-．（2）（7分）化简：2122442--++-a a a ．20．（8分）解不等式组：21．（8分）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD上，且BE =FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．22．（10分）初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）这次抽查的样本容量是 ； （2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？23．（10分）某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根.已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳绳10元. 设购买篮球x 个，购买篮球、 排球和跳绳的总费用为y 元. （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若购买上述体育用品的总费用为4 700元，问篮球、排球各买多少个？① ② ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-x x x 321052 EC DFA（第21题图）常用62.5%不常用 %不用%使用计算器情况的统计图使用计算器情况的统计图类别 人数（第22题图）数学试题 第4页（共4页）24．（10分）2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O ）表面约350 km 的圆形轨道上运行.当飞船运行到某地（P 点）的正上方（F 点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q （FQ 是⊙O 的切线）. 已知地球的半径约为6 400 km ．求：（1）∠QFO 的度数；（结果精确到0.01°）（2）地面上P ，Q 两点间的距离（PQ 的长）．（π取3.142，结果保留整数）25．（12分）在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，过E 作EF ⊥AC 于F ，G 为线段AE 的中点，连接BF 、FG 、GB . 设BCAB＝k ．（1）证明：△BGF 是等腰三角形；（2）当k 为何值时，△BGF 是等边三角形？（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论，探究：当△BGF 分别为锐角、直角、钝角三角形时，k 的取值范围.26．（14分）如图，已知点A （0，4），B （2，0）．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）已知点M 是线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长；（用含m 的式子表示）② 是否存在某一时刻，使得△ACM 与△AMO 相似？ 若存在，求出此时m 的值.G EA B C D F(（第24题图）（第26题图）数学试题 第5页（共4页）2013年福建省南平市初中毕业、升学考试数学试题参考答案及评分说明说明：（1） 解答右端所注分数，表示考生正确作完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2） 对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3） 如果考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4） 评分只给整数分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．C ； 9．A ； 10．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．3； 12．丁； 13．符合要求即可； 14．()213+a ； 15．36b a ；16．41(或0.25)； 17．9=x ；18．① ② ④．三、解答题（本大题共8小题，共86分）19．（1）解：原式＝3)1π(54--+⨯ ············································································· 4分 ＝31π20--+ ··················································································· 6分 ＝π16+ ······························································································· 7分 （2）解：原式)2)(2(2)2)(2()2(2)2)(2(4-++--+-+-+=a a a a a a a a ···························· 4分)2)(2()2(424-++--+=a a a a ·········································································· 5分)2)(2(2-+-=a a a ··················································································· 6分21+=a ·································································································· 7分 20．解：由①得 52<x ···································································································· 2分数学试题 第6页（共4页）25<x ··································································································· 3分 由②得 132－－>x x ·························································································· 4分131－>x ·························································································· 5分 3－>x ····························································································· 6分∴不等式组的解集为 253<<-x ····································································· 8分21．证法一：在□ABCD 中，AD =BC 且AD ∥BC ······································ 3分 ∵BE =FD ，∴AF =CE ··································· 6分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ···················· 8分证法二：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ················································································ 4分 ∴AE =CF ····················································································································· 5分 又∵在□ABCD 中，AD =BC ，BE=FD ，∴AF =EC ···················································· 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ··················································································· 8分 证法三：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ················································································ 4分 ∴∠AEB =∠CFD ········································································································ 5分 又∵在□ABCD 中，AF ∥EC ，∴∠CFD =∠BCF ∴∠AEB =∠BCF ······················· 6分 ∴ AE ∥FC ·················································································································· 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ··················································································· 8分 证法四：在□ABCD 中，AB =CD 且∠B =∠D ··························································· 3分 又∵BE =FD ，∴△ABE ≌△CDF ············································································ 4分 ∴∠AEB =∠CFD ，∠BAE =∠FCD又∵∠AEB+∠AEC =180°，∠CFD+∠CF A =180°，∴∠AEC =∠CF A ······················· 6分 ∵在□ABCD 中，∠BAD =∠BCD ，∴∠EAF =∠ECF ················································ 7分 ∴四边形AECF 是平行四边形 ···················································································· 8分 22．解：（1）160················································································································ 2分 BECDFA（第21题图）数学试题 第7页（共4页）（2）（补全统计图每空2分，共6分） ····································································· 8分（3）4116040= 答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是41 ·························································································································· 10分23．解：（1）依题意，得12010)60(5070⨯+-+=x x y ···················································· 3分420020+=x ·········································································· 5分 （2）当 y =4700时，4200204700+=x ····································································· 7分 解得 x ＝25 ······································································································· 9分∴排球购买 60－25＝35（个）答：篮球购买25个、排球购买35个. ···························································· 10分（第22题图）使用计算器情况的统计图使用计算器情况的统计图不用12.5%不常用 25 %常用62.5%数学试题 第8页（共4页）24．解：（1）∵FQ 是⊙O 的切线，∴△FQO 是直角三角形在Rt △FQO 中，∵OQ ＝6 400，FO=FP+OP =350+6 400=6 750 ············ 2分 ≈==∠75064006sin FO OQ QFO 0.9481 ································ 4分 ∴∠QFO ≈71.46°答：∠QFO 约71.46° ················································ 5分 （2）∵∠QFO =71.46°，∴∠FOQ =18.54° ························································· 7分 ∴PQ 的长=1806400π54.18⨯⨯ ······························ ····· 9分0712≈答：地面上P ，Q 两点间的距离约为2 071 km ········ 10分 25．（1）证明：∵EF ⊥AC 于点F ，∴∠AFE =90°又∵在Rt △AEF 中，G 为斜边AE 的中点， ∴AE GF 21=··································································· 2分 在Rt △ABE 中，同理可得AE BG 21= ··························· 3分 ∴GF =GB则△BGF 为等腰三角形 ·················································· 4分 （2）解：当△BGF 为等边三角形时，∠BGF =60°∵GF =GB =AG ，∴∠BGE =2∠BAE ，∠FGE =2∠CAE∴∠BGF =2∠BAC ∴∠BAC =30° ······································································· 6分 ∴∠ACB =60° ∴3tan =∠=ACB BCAB∴当k=3时，△BGF 为等边三角形 ········································································ 8分 （3）解：由（1）得△BGF 为等腰三角形，由（2）得∠BGF =2∠BAC∴当△BGF 为锐角三角形时，∠BGF<90°，∴∠BAC <45° 此时AB >BC ，k =BCAB>1 ····························································································· 9分 （第24题图）(GEA BC DF（第25题图）数学试题 第9页（共4页）当△BGF 为直角三角形时，∠BGF=90°，∴∠BAC =45° 此时AB =BC ，k =BCAB=1 ··························································································· 10分 当△BGF 为钝角三角形时，∠BGF>90°，∴∠BAC >45° 此时AB<BC ，k =BCAB<1 ··························································································· 11分 ∴0<k<1 ····················································································································· 12分 26．解：（1）设直线AB 的函数解析式为：y=kx+b∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（2，0） ∴⎩⎨⎧=+=04b 2k b ··················································· 2分解得：⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=－2x+4 ········ 4分 （2）① 依题意得抛物线顶点M （m , n ）∵在点M 在线段AB 上，∴n =－2m+4 ·········· 5分当x ＝0时，代入()n m x y +-=2得n m y +=2 ··························································· 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为（0, 422+-m m ） ·········································· 7分 ∴AC ＝OA －OC ＝4－（422+-m m ）＝m m 22+- ················································ 8分 ② 答：存在················································································································· 9分 作MD ⊥y 轴于点D ，则D 点坐标为（0，42+-m ）∴AD ＝OA －OD ＝4－(42+-m )＝2m ···································································· 10分 ∵M 不与点A 、B 重合，∴0＜m ＜2又∵MD ＝m ，∴m MD AD AM 522=+= ·························································· 11分 (另解：在Rt △AOB 中，根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB 又∵DM ∥OB ，∴ABAMAO AD =，∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ··········11分) ∵在△ACM 与△AMO 中，∠CAM ＝∠MAO ，∠MCA ＞∠AOM ··························· 12分（第26题图）。
2013高中自主招生考试选拔试题(含答案)
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为 （得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合 不是好的集合， 是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合 、 、 、 等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： ，且 为 三等分点， 为 中点
我们观察操作，将某次操作前的三个数记为 ．因为 对称，不妨设操作 ．则操作后的三个数为 ， ， ．不难发现
也就是说，操作前后平方和不改变，所以经过有限此操作后，三个数的平方和为10不为2014．（得4分）
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数 的图象如何移动就得到 的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔 盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理数-含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则是的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. B. C. D.4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名， 据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A.588 B.480 C.450 D.1205.满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 106.阅读如图所示的程序框图，若编入的，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列的前10项和B.计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和D. 计算数列的前9项和7. 在四边形中，，,则该四边形的面积为（ ）A. B. C.5 D.10z i 21z +=i z {}a A ,1={}3,2,1=B ”“3=a ”“B A ⊆1422=-y x 5254552554{}2,1,0,1,-∈b a x 022=++b x ax 10=k {}12-n {}12-n {}1-2n{}1-2nABCD )2,1(=AC )2,4(-=BD 552绝密★启用前8. 设函数的定义域为R ，是的极大值点，以下结论 一定正确的是（）A. B.是的极小值点 C. 是的极小值点 D.是的极小值点 9. 已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列为等差数列，公差为B. 数列为等比数列，公比为C. 数列为等比数列，公比为D. 数列为等比数列，公比为10. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A. B.C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置. 11. 利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件‘3a-1>0’发生的概率为_________12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球 的表面积是13. 如图，在中，已知点在边上，,, , 则的长为14. 椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____15. 当时，有如下表达式： )(x f ()000≠x x )(x f )()(,0x f x f R x ≤∈∀0x -)-(x f 0x -)(-x f 0x -)-(-x f {}n a q m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(()*,N n m ∈{}n b m q {}n b m q 2{}n c 2m q {}n c mm q T S ,R S T )(x f y =)(i {}S x x f T ∈=)()(ii S x x ∈21,21x x <)()(21x f x f <N B N A ==*,{}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或{}R B x x A =<<=,10Q B Z A ==,01a ABC ∆D BC AC AD ⊥23,322sin ==∠AB BAC 3=AD BD ()01:2222>>=+Γb a by a x 21,F F c 2()c x y +=3Γ12212F MF F MF ∠=∠1,<∈x R x xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。
2013年福建南平一中高一自主招生化学试题(含答案)
2013年福建南平一中高一自主招生化学试题（满分：40分考试时间：35分钟）说明：1.本测试卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两个部分组成。
2.可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Cl—35.5 Ag—108第I卷（选择题，20分）一、选择题（每题2分，共20分。
每题只有一个选项符合题意）1．月球表面富含钛铁矿(主要成分是钛酸亚铁，FeTiO3)，可用于提取性能优良的“未来金属”——钛。
钛铁矿中钛元素的化合价为（）A．0 B．＋2 C．＋3 D．＋42．人体需要不断补充“燃料”，从而为生命活动提供能量。
下列是人们日常生活需要摄入的四种物质，其中主要充当人体所需“燃料”的是（）A．淀粉B．水C．维生素D．矿物质3．一定条件下，分解高锰酸钾、氯酸钾（化学式KClO3）、过氧化氢三种物质都可制得氧气。
由此说明上述三种物质中均含有（）A. 氧气B. 氧元素C. 氧分子D. 氧化物4．酸雨的破坏性很强，不仅对农作物、水生动物等有危害，而且对建筑物也会有损害。
酸雨对下列物质腐蚀作用最强的是（）A．水泥路面B．铜质塑像C．大理石雕像D．木制门窗5．将手绢浸入酒精溶液（酒精与水体积比为2︰1），取出拧干，点燃并轻轻抖动手绢，待火焰熄灭后，手绢完好无损。
实验时，手绢未燃烧的主要原因是（）A．手绢不是可燃物B．手绢未接触到氧气C．温度未达到手绢的着火点D．空气中氧气浓度较低6. Ｌa（镧）是一种活动性比铝强的金属元素，其盐易溶于水中。
混合下列选项中的两种物质，不能．．直接反应生成LaCl3的是（）A．La+HCl B．La2O3+HCl C．La(OH)3+HCl D NaCl+ La(NO3)37．浓硝酸需密封、低温、阴暗处保存。
硝酸的下列性质与其保存方法无直接关系．．．．．的是（） A．酸性B．挥发性 C．见光易分解D．受热易分解8．右图①、②、③分别为某些分子或原子的示意图，其中黑、白两种圆圈分别代表汞原子（Hg）和氧原子（O）。
福建省南平市2013年中考适应性考试数学试卷(解析版)
福建省南平市2013年中考适应性考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）1. （ 4分）（2013?南平模拟）•丄的倒数是（）3-3B . _ 1C . 3D. 11| 3考点：倒数分析：： 根据乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案. 解答：（解:根据题意得：-'X （- 3） =1,3可得-一的倒数为-3.3故选A .点评：本题考查了倒数的性质：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案，属于基础题.2. （ 4分）（2013?南平模拟）在统计学中，样本的方差可以近似地反映总体的（ ）A .平均状态B .分布规律C .波动大小D .最大值和最小值考点：方差.分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以样本的方差可以近似地反映总体的波动大小.解答：解：根据方差的意义知，方差是用来衡量一组数据波动大小的量.故选C .点评：本题考查方差的意义•方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组 数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.3. （ 4分）（2013?南平模拟）下列计算正确的是（ ）A . a 2?a 3=a 6B . a 2 - b 2=( a - b ) 2C .(3b 3)2=3b 6 D . 5(-a ) +( — a )32=a考点：冋底数幕的除法；冋底数幕的乘法；幕的乘方与积的乘方；完全平方公式 专题： 计算题.分析：丿1A 、 利用同底数幕的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B 、 利用平方差公式化简得到结果，即可做出判断；C 、 禾U 用积的乘方及幕的乘方运算法则计算得到结果，即可找出判断；D 、 利用同底数幕的除法法则计算得到结果，即可做出判断.解答：解：A 、a 2?a 3=a 5，本选项错误；2 2B 、 a - b = （a+b ） （a - b ）,本选项错误；C 、 （ 3b 3） 2=9b l 本选项错误；D 、 （- a ） 5十（-a ） 3= （- a ） 2=a 2，本选项正确， 故选D点评：此题考查了同底数幕的乘除法，积的乘方与幕的乘方，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.4. （4分）（2013?南平模拟）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A .圆B .正方形C.正六边形 D .等边三角形考点：中心对称图形分析：根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案.解答：解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、正方形是中心对称图形，故本选项错误；C、正六边形形是中心对称图形，故本选项错误；D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项正确；故选D.点评：本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.5. （4分）（2013?南平模拟）以下事件中，不可能发生的是（）A .打开电视，正在播广告B .任取一个负数，它的相反数是负数C .掷一次骰子，向上一面是2点D .经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯考点：随机事件分析：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，即发生的概率是0的事件.解答：解：A、C、D都是有可能发生，也由可能不发生的事件，是随机事件；B、•••任何一个负数数的相反数是正数，不存在一个负数的相反数是负数的数，.••是不可能事件.故选B .点评：解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法.关键是理解不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.6. （4分）（2013?南平模拟）已知O 01、。
福建省南平市2012-2013学年八年级数学第一学期期末考试试卷 新人教版
某某省某某市2012-2013学年第一学期期末考试八年级数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题。
每小题3分，合计30分。
） 1、9的平方根等于() 。
A.±3 B.－2、下列运算中，计算结果正确的是（ ）。
A 、()523a a =B 、632a a a =⋅C 、2222a a a =+D 、()2222b a ab =3、下列图形，不是轴对称图形的是（ ）。
A 、B 、C 、D 、4、如果一次函数b x y +-=的图象经过点（0，-4），那么b 的值是（ ）。
A 、1 B 、-1 C 、4 D 、-45、一次函数y=2x-3的图象不经过（ ）。
A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6、如果(3m-4n)(A)=9m 2-16n 2，则A 表示的式子为（ ）。
A 、 -3m-4nB 、3m+4nC 、 -3m+4nD 、 3m-4n 7、已知等腰三角形的一边长为5，一边长为12，则等腰三角形的周长为（）。
A 、22B 、17C 、29D 、22或298、如图，△ABC ≌△DEF ，DF 和AC ，FE 和CB 是对应边.若∠A ＝100°，∠F ＝47°，则∠DEF 等于()。
A.100°B.53°C.47°D.33°9、已知一次函数y=kx+b 的图像如图所示，当x ＜0时，y 的取值是( )。
A 、y ＜‐2B 、y ＞‐2C 、y ＜‐3D 、y ＞‐310、如图：∆ABC 的边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于M 、N,∆∆ABC 的周长是（ ）cm 。
A 、14B 、16C 、18D 、20B N A -3第10题 第9题 二、填空题（本大题共10小题。
每小题3分，合计30分。
） 11、函数5-=x y 中，自变量的取值X 围是。
12、计算：389+-=。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(福建卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（福建卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2、【答案】A【解析】点P（2，-1）满足直线方程，所以在线上，反之不能推出点P的坐标必为（2，-1）.故选A【考点定位】考查了点与线的位置关系的判断及条件的判断，属于简单题.3、【答案】C【解析】其子集个数为个.【考点定位】考查集合的运算及子集个数的算法，属于简单题.4、【答案】B【解析】由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得，亦可根据渐近线倾斜角为450得到.【考点定位】本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.5、【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.6、【答案】B【解析】如图可行域为的内部，显然分别在点A和点B处取到最小值2和最大值4.【考点定位】简单的线性规划问题，牢记目标函数的几何意义即可.7、【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.8、【答案】B【解析】注意到S的值比较小，所以可以考虑依次循环可知n=4的时候S=15满足，亦可通过数列考虑S的表达式.【考点定位】属于程序框图中比较简单的考查方法，只要学生看懂图即可.9、【答案】B【解析】由平移得，两个图像都过点P，有，又，故，验证可得可取. 【考点定位】对于三角函数图像的考察，属于中等题，特别注意平移的量.10、【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.11、【答案】C【解析】散点图如右，显然后四个点都不在直线的左上方，所以回归直线斜率应该更小，纵截距更大，故选C.【考点定位】本题主要考查回归直线的概念，通过图像很容易得到正确答案.属于容易题.12、【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.13、【答案】-2【解析】，【考点定位】对于分段函数的考查属容易题.14、【答案】【解析】知，由几何概型知【考点定位】简单的几何概型的考查.15、【答案】【解析】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.16、【答案】①②③【解析】条件（i）说明S到T是一个一一映射，条件（ii）说明函数单调增.对于1可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于2可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于3可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构.【考点定位】本题考查学生对新概念的理解，转化和应用，属于难题.17、【答案】(I) (II)【解析】（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或．（2）因为数列的公差，且，所以；即，解得此数列的考查个人认为太过简单，只需要懂得等差等比数列的公式即可，所以只要注意计算就可以轻松拿到12分.【考点定位】本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．属于容易题.18、【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形为矩形，在中，由，,依勾股定理得：，从而又由平面得，从而在中，由，,得正视图如图所示：（2）取中点，连结，在中，是中点，∴，，又,∴，∴四边形为平行四边形，∴又平面，平面∴平面（3）又，，所以解法二：（1）同解法一（2）取的中点，连结,在梯形中，，且∴四边形为平行四边形∴，又平面，平面∴平面，又在中，平面,平面∴平面.又,∴平面平面，又平面∴平面（3）同解法一对于立体几何的考查所有关系的决断往往基于对公理定理推论掌握的比较熟练，又要善于做出一线辅助线加以证明，再者就是体积和表面积的计算公式要熟悉.【考点定位】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属容易题19、【答案】（I）（II）没有把握【解析】（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”对于独立性检验的考查要求学生会用公式，并且懂得算法过程并懂得结论的给出，应该算容易题，可往往学生会被这么长的题目所吓倒，再加上统计与概率的结合就会变为难点.此题比较容易出现计算和结论上的失误，而造成不必要的失分.【考点定位】本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．属于中等难度.20、【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为所以点到准线的距离，又．所以.（Ⅱ）设，则圆的方程为，即.由，得设，，则：由，得所以，解得，此时所以圆心的坐标为或从而，，即圆的半径为此题以圆为背景考查了解析几何中的常用方法（如设而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.【考点定位】本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．属于中等难度.21、【答案】(Ⅰ) 或（Ⅱ）当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为【解析】（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理得，，得，解得或．（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．此题通过正余弦定理巧妙的将面积最值问题通过三角函数呈现，而三角函数的化简过程又比较复杂，但还是有规律可循的，比如差异分析.这就要在平时注意积累，而且计算基本功要硬.【考点定位】本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思.计算难度比较大，属于难题.22、【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（Ⅰ）由，得．又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得．（Ⅱ），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．②当时，令，得，．，；，．所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值．（Ⅲ）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．又时，，知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当时，．直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解．①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．②当时，方程（*）化为．令，则有．令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为．所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．综上，得的最大值为．此题的一二问考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方.而第三问对于曲线是否无交点要懂得转化成函数零点或方程根的个数问题处理，这也是常规处理含参就比较麻烦，平时要多加练习.【考点定位】本小题主要考查函数与导数，两数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．属综合要求比较高的难题.。
初三南平数学试题及答案
初三南平数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是不等式2x - 5 > 0的解集？A. x > 2.5B. x < 2.5C. x = 2.5D. x ≤ 2.5答案：A2. 计算下列二次根式中，正确的是：A. √(-4) = 2iB. √(-4) = -2iC. √(-4) 无实数解D. √(-4) = 4答案：C3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，那么第三边长可能是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 已知函数y = 2x + 1，当x = 2时，y的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 计算下列分数的值：\(\frac{3}{4} + \frac{2}{3}\) 等于：A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5答案：B6. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. -16C. 4D. -4答案：A7. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm答案：A8. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. 2, 3B. 2, -3C. -2, 3D. -2, -3答案：A9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C10. 计算下列三角函数值：sin(30°) 等于：A. 0.5B. 0.866C. 1D. 0答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：812. 一个等腰三角形的顶角是100°，那么它的一个底角是______。
答案：40°13. 计算下列表达式的值：(2x - 3)(x + 4) = ______。
答案：2x^2 + 5x - 1214. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
2013年试卷及答案
数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．9的算术平方根是A ．9B ．C ．3D ． 2．如下书写的四个汉字,其中为轴对称图形的是A ．B ．C 。
D.3．一副扑克牌,去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是8的概率是 A ．154B ．113C ．152D ．144．把代数式269ab ab a -+分解因式,下列结果中正确的是A ．2(3)a b +B ．(3)(3)a b b +-C ．2(4)a b -D ．2(3)a b - 5．函数y kx k =-与ky x=(0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是6．如图，AE BD ∥，1120240∠=∠=°，°，则C ∠的度数是Ａ．Ｂ．20°Ｃ．30°Ｄ．40°7．若22a a -=-,则的取值范围是A ．2a >B ．0a >C ．2a ≤D ．0a ≤ 8．右图中是左面正方体的展开图的是二、填空题（本题共16分，每小题4分) 9．函数23xy x -=-中，自变量的取值范围是 .10．甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客A ．B ．C ．D ．人数的方差大小关系为：2S 甲2S 乙．11．若把代数式257x x ++化为2()x m k -+的形式，其中、为常数,则k m -= .12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点 ，，，…和点，,…分别在直线(0)y kx b k =+>和轴上，已知点1(1,1)B ,2(3,2)B ，则点的坐标是 ， 点的坐标是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）132013tan 30()2)2-︒+-．14．解方程:21133x x x-+=--。
15．已知220x x +-=,求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．16．已知：如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，MN 是过点的一条直线，AM MN ⊥于，BN MN ⊥于。
2013年福建省南平一中自主招生 数学试题及答案
2013年福建省南平一中自主招生数学试题及答案（满分：100分 考试时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知6,5==+xy y x ,则=+22y x ( )A. 1B. 13C. 17D. 252．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为（ ） A ．π270cm 2 B ．π360cm 2 C ．π450cm 2 D ．π540cm 2 3.代数式5432--x x 的值等于7，则5342--x x 的值为（ ）A. 7B. 12C. 1D. -14．x 、y 都是正数,并且成反比，若x 增加了p ﹪，设y 减少的百分数为q ﹪，则q 的值为（ ）A.1001%p p + B. 100%p C. 100p p + D. 100100pp+5．下列命题：①若0=++c b a ，则042≥-ac b ；②若c a b +>，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根； ③若c a b 32+=，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若042≥-ac b ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.正确命题的个数有（ ）A.1B.2C.3D.46．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图 与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多．．有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个7．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）A ．π2B ．π4C ．32D ．48．父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为x ，送报人来的时间记为y ，若00:830:7≤≤x ，00:800:7≤≤y ，则父亲能拿不到报纸上班的概率为（ ）A.41B.31C.21D. 439．在平面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （2，0），若点C 在一次函数221+-=x y 的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的02=++c bx ax 半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是（ ）A. a 25 B.a 7 C. a 22 D.a 3二、填空题（每小题4分，共5小题） 11．分解因式：2242x x -+= ．12．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率是 ．13．对于实数b a 、定义一种运算“*”为：a b a b a )(+=*，则关于x 的方程0)(=**x m x )1(-≠m 的解是_________________．14．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB 54=，EC ＝2， P 是AB 边上的一个动点,则线段PE 的长度的最小值是__________．ABO PC（第10题图）A BCDE P俯视图 主视图（第6题图）第7题图B Aco15．如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），则结论：①2AF =；②5BF =；③5OA =；④3OB =中，正确结论的序号是 ． 三、解答题（6小题，满分50分） 16．（本题满分5分）计算：02)1(60tan 1132++︒---x + ︒-45cos 21417．（本题满分5分）先化简，再求值2113,124x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++-⎝⎭其中21x =-18．（本题满分10分） 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元部分仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．20. （本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ； （2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？xy OA F BP（第15题图）A B EF C D O （第19题图1） A BE F C D O （第19题图2） （第20题） DEQBA C P H2014年福建省南平一中自主招生数学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADCBCCADB二、填空题（每小题4分，共5小题）11．2)1(2-x ； 12．94； 13．1,0221+-==m mx x ；14．532； 15．①②③.三、解答题（共5小题，共50分）16．(本题满分5分)解：原式=222231)13(13-++--+ … ………3分 =3+2 ………………………………………5分17.解：原式=()()()()()()()212131222x x x x x x x x -+-++÷+++-=()()()()()2222122123x x x x x x x x x +--+++-+++=()()()()()322123x x x x x x -++-+++=21x x --+ …………4分 把21x =-代入上式得：原式=2122332122112-----==--+ …………5分18．（本题满分为10分）解：因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）×0.8＋300×0.9＝282.8解得，x ＝316………………………………………………………………4分 情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）………7分 情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．……10分 19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分） 解：（1）连结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ． …………………1分 ∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +． ………………………2分 ∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ． …………………………3分 ∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .…4分∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x ． ……………………6分 （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ，344822=-=OE …………………7分∴DF =)(21OE AO +=2+442-=2+23． …………………………9分（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744-） ………………………………10分 ∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ． …………………11分当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）． ……………………………12分∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB ． ……………………13分当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．……………………………14分∴DF =327221-=AE ． ………………………………………………15分20.本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） （1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠， ∴△DHQ ∽△ABC ．……………4分 （2）①如图1，当5.20≤<x 时，ED =x 410-，QH =x A AQ 43tan =∠， 此时x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=．当45=x 时，最大值3275=y ．……………6分②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =x A AQ 43tan =∠，此时x x x x y 4152343)104(212-=⨯-=．当5=x 时，最大值475=y ．……………8分 ∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x yy 的最大值是475． ……………9分 （3）①如图1，当5.20≤<x 时，若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 45cos =∠， DE =x 410-，∴x 410-=x 45，2140=x ． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………11分 ②如图2，当55.2≤<x 时， 若DE =DH ，104-x =x 45，1140=x ； ……………12分 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ；……………13分 若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，∴AD DH DH ED =，x xx x 24545104=-，103320=x ． ……………14分 ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. ……………15分DHQEBACP（图1）HQD EPBAC（图2）。
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
福建省南平一中自主招生数学学科参考答案
2017年福建省南平一中自主招生数学学科评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.A ；2.C ；3.C ；4.B ；5.D ；6.A ；7.D ；8.C ；9.D ；10.B .二、填空题（本大题5小题，共20分）11.3240；12.75°或15°；13.（π-33）；14.109-<p ；15.②④⑤ 三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分5分）解：原式=()()42381231----+……………………2分=42383231+---+ ……………………4分 =6- ……………………5分17．（本题满分5分）解： 235+=-m x mx()235+=-m x m ……………………2分（1）当5≠m 时，523-+=m m x ； ……………………4分（2）当5=m 时，此方程无解. ……………………5分18. （本题满分10分） (1)证明：连接DE 、OD ∵BD 为⊙O 的切线 ∴OD ⊥BD∴∠BDO =90° …………………1分 ∵∠BDC +∠BDO +∠ODA =180° ∴∠BDC +∠ODA =90° ∵OD =OA ∴∠A =∠ODA …………………2分 ∴∠BDC +∠A =90° ∵∠C =90°∴∠BDC +∠CBD =90°∴∠A =∠CBD ………………4分 ∵AE 为⊙O 的直径BC DEOA∴∠EDA =90°=∠C ……………………5分 ∴△ADE ∽△BCD ……………………6分 (2)在Rt △BCD 中，BC =4，BD =5∴3162522=-=-=BC BD CD ………………7分∴sin ∠CBD =53=BD CD ……………………8分 ∵ ∠A =∠CBD ∴sin A =sin ∠CBD =53……………………10分 19.（本题满分15分）解：如图，以点A 为原点建立坐标系，……………………1分∵DC =BA =10米∴点B 的坐标为（0，-10）∵斜坡的坡度i =1︰7，DE =14米 ∴BE =2米∴点D 的坐标为（14，-12）点C 的坐标为（14，-2） ……………4分设抛物线AC 的解析式为bx x y +=2981， 直线BD 的解析式为n mx y +=代入点的坐标可确定解析式为：x x y 729812-=；1071--=x y ……………10设抛物线上任一点M （M x ，M M x x 729812-），如右图过点M 作x 轴的垂线交BD 于F ， 则点F 的坐标为（M x ，1071--M x ） ∴()21979811071981107172981222+-=+-=++-=-=M M M M M M F M MF x x x x x x y y y ………………13分 ∴下垂的电线与坡面的最近距离为219米. ………………15分说明：AE MF(1)若以D 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为109812+=x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=； (2)若以C 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为2981x y =，直线BD 的解析式为1071--=x y ； (3)若以E 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为12729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为271+-=x y ； (4)若以B 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为10729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=. 20.（本题满分15分）解：（1）不存在． …………………1分若直线AC 平分△AOB 的面积，那么S △AOC =S △ABC两个三角形高相等， …………………3分 ∴OC =BC ，∵AO ≠AB ，∴AO +OC ≠BC +BA∴不存在． …………………4分（2）易得直线OA 的解析式为x y 43=，直线OB 的解析式为x y 43-=.…5分 设点P （4t ，3t ），则OP =5t∵直线PQ 为△AOB 的“等周线” ∴OQ =8-5t∴Q （t t 3524,4532+--） ……………………7分 从而524=-Q P y y ……………………8分（3）①设N （4，k ），则NB =k +3∵直线MN 为△AOB 的“等周线” ∴MB =8-（k +3）=5-k ∴OM =OB -MB =k设M （k 54，k 53-）……………………10分 ∵12=∆AOB S ，直线MN 为△AOB 的“等积线” ∴6=∆MNB S ……………………11分 ∴()6544321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k k 解得0,221==k k从而2=OM 或0=OM ………13分②如下图所示，共有三条既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线，它 们分别是l 1、l 2和x 轴. ……………………15分 说明：在示意图中，少画l 1和x 轴不扣分，少画l 2和多画不得分.。
2013年12月第2次直升班考试自主招生数学答案
评分标准（1）写出结论2分，证明过程4分（2）解方程正确4分，结论2分。
共12分 18、（1）证法（一）过D 作DN//AB 交AC 于N 点∵ ∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，∴∠CAD=∠EDB ，又∠AND=∠DBE=135°， AN=BD ，∴△AND ≌△DBE,∴DA=DE （6分） 证法（二）证A 、D 、B 、E 四点共圆(2)过E 作EM//BC 交AB 于M 点，则∠BME=∠MBD=45°，∴△BME 为等腰Rt △,设CD=a,则AC=BD=3a ，AB=a 23，BE=a 2,ME=2a,可证△MEF ≌△BDF,所以MF=BF=2a2，AM=225a，AM=5BF. （12分）19、评分标准：写出m的取值范围3分，原方程根的取值范围对一个给3分，共12分。
20、方法一：证出相似给6分，共12分。
方法二：得出MD的长6分，共12分。
21、（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴12362366b a b c c a a aa++==-=-．2分∵ a ＞0，c ＜0， ∴ 0c a<，0c a->．∴1023b a+>． 4分（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ，∴ 11 ,42.a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 6分2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0． 8分∴ 0m n <． 10分 ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<．（如图） 12分∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a=-，由抛物线的对称性可1222x x b a+=-，由（1）知123b a -<，∴12123x x +<．∴ 12221332x x <-<-，即116x <． 14分。
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2013南平自主招生数学试题（满分：100分 考试时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知6,5==+xy y x ,则=+22y x ( )A. 1B. 13C. 17D. 252．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为（ ） A ．π270cm 2 B ．π360cm 2 C ．π450cm 2 D ．π540cm 23.代数式5432--x x 的值等于7，则5342--x x 的值为（ ）A. 7B. 12C. 1D. -14．x 、y 都是正数，并且成反比，若x 增加了p ﹪，设y 减少的百分数为q ﹪，则q 的值为（ ） A.1001%p p + B. 100%p C. 100p p + D. 100100pp+5．下列命题：①若0=++c b a ，则042≥-ac b ；②若c a b +>，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根； ③若c a b 32+=，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若042≥-ac b ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.正确命题的个数有（ ）A.1B.2C.3D.4 6．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图 与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多．．有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个7．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）A ．π2B ．π4C ．32D ．4俯视图 主视图（第6题图）第7题图BAc o8．父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为x ，送报人来的时间记为y ，若00:830:7≤≤x ，00:800:7≤≤y ，则父亲能拿不到报纸上班的概率为（ ）A.41B.31C.21D. 439．在平面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （2，0），若点C 在一次函数221+-=x y 的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的02=++c bx ax 半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是（ ）A. a 25 B.a 7 C. a 22 D.a 3二、填空题（每小题4分，共5小题） 11．分解因式：2242x x -+= ．12．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率是 ．13．对于实数b a 、定义一种运算“*”为：a b a b a )(+=*，则关于x 的方程0)(=**x m x )1(-≠m 的解是_________________．14．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB 54=， EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的 最小值是__________．15．如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），则结论：①2AF =；②5BF =；③5OA =；④3OB =中，正确结论的序号是 ．ABO PC（第10题图）A BCDE PxyOA FB P （第15题图）三、解答题（6小题，满分50分） 16．（本题满分5分）计算：02)1(60tan 1132++︒---x + ︒-45cos 21417．（本题满分5分）先化简，再求值2113,124x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++-⎝⎭其中21x =- 18．（本题满分10分）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元部分仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？ 19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．20. （本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？A B EF C D O （第19题图1） A B E F C DO （第19题图2） （第20题）DEQB ACPH稿 纸 数学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共10题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADCBCCADB二、填空题（每小题4分，共5小题）11．2)1(2-x ； 12．94； 13．1,0221+-==m mx x ；14．532； 15．①②③.三、解答题（共5小题，共50分） 16．(本题满分5分)解：原式=222231)13(13-++--+ … ………3分 =3+2 ………………………………………5分17.解：原式=()()()()()()()212131222x x x x x x x x -+-++÷+++-=()()()()()2222122123x x x x x x x x x +--+++-+++=()()()()()322123x x x x x x -++-+++=21x x --+ …………4分 把21x =-代入上式得：原式=2122332122112-----==--+ …………5分18．（本题满分为10分）解：因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）×0.8＋300×0.9＝282.8解得，x ＝316………………………………………………………………4分 情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）………7分 情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．……10分 19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分） 解：（1）连结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ． …………………1分 ∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +． ………………………2分 ∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ． …………………………3分 ∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .…4分∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x ． ……………………6分 （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ，344822=-=OE …………………7分∴DF =)(21OE AO +=2+442-=2+23． …………………………9分（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744-） ………………………………10分 ∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ． …………………11分当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）． ……………………………12分∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB ． ……………………13分当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．……………………………14分∴DF =327221-=AE ． ………………………………………………15分 20.本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ，∴A HDQ ∠=∠，∴△DHQ ∽△ABC ．……………4分（2）①如图1，当5.20≤<x 时，ED =x 410-，QH =x A AQ 43tan =∠，此时x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=．当45=x 时，最大值3275=y ．……………6分②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =x A AQ 43tan =∠，此时x x x x y 4152343)104(212-=⨯-=．当5=x 时，最大值475=y ．……………8分∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x yy 的最大值是475． ……………9分（3）①如图1，当5.20≤<x 时，若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 45cos =∠， DE =x 410-，∴x 410-=x 45，2140=x ． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………11分 ②如图2，当55.2≤<x 时，DHQE BACP（图1）HQD EPB AC （图2）若DE =DH ，104-x =x 45，1140=x ； ……………12分 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ；……………13分 若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，∴AD DH DH ED =，x xx x 24545104=-，103320=x ． ……………14分 ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. ……………15分数学试题答题卡（满分：100分；考试时间：90分钟）题 号 一 二 三总 分 16 17 18 19 20 得 分一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分）11. 12. 13． 14. 15.三、计算题（第16、17题各5分，第18题10分，第19、20题各15分，共50分）16．计算：02)1(60tan 1132++︒---x + ︒-45cos 21417. 先化简，再求值2113,124x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++-⎝⎭其中21x =- 18．（本题满分10分） 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元部分仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？19．（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （4） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （5） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （6） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．ABEFC D O （第19题图1） A B E FC DO （第19题图2）20. （本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？（第20题）DEQB ACPH。