一种改进的粒子群算法_白艳敏

［2］周阳花,魏敏,孙伟.基于权重 QPSO 算法的 PID 控制器参数优化[J].计算 机 工
程与应用,2010,46(5):224-228.
［3］王 雪 峰,叶 中 行.基 于 PSO 的 最 优 投 资 组 合 计 算 方 法[J].工 程 数 学 学 报,2007,
24(1):31-36.
［4］Yuxin Zhao, Wei Zu, Haitao Zeng. A modified particle swarm optimization via
2
f2 (x)= (100(xi +1-xi ) +(xi -1) ) (-30≤xi ≤30)
i=1
40
科技信息
○本刊重稿○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2012 年 第 5 期
n
Σ2
（3）Rastrigin 函数：f3 (x)= (xi -10cos(2πxi )+10) (-10≤xi ≤10)
3 函数优化
图 2 LDWPSO 与 MPSO 的最优适应值变化趋势的比较
为了验证 MPSO 算法的有效性，在实验中选择下列三个基准函数
用 于 优 化 实 验 [1]：
n
Σ2
（1）Sphere 函数：f1 (x)= xi (-100≤xi ≤100)
i=1
（2）Rosenbrock 函数：
n
Σ 22
vi (t+1)=vi (t)+c1 *r1 *(pi best(t)-xi (t))+c2 *r2 *(gbest(t)-xi (t))
①
xi (t+1)=xi (t)+vi (t+1)
①被称为基本的 PSO 算法。
xi (t)=[xi1 (t), xi2 (t), …, xid (t)], xi (t)表 示 在 第 t 次 迭 代 中 粒 子 i 的 位
(t), …, pid (t)], pi best(t)表示在第 t 次迭代中第 i 个粒子经过的“最好”的
位置。 gbest(t)=[ g1 (t), g2 (t), …, gd (t)], gbest(t)表示在第 t 次迭代中整个
群体所经历过的最好的位置。 c1 , c2 是学习因子，是正常数。 r1 , r2 是[0,
Neurocomuting.2007,70:672-679.
表 1 Sphere、Rosenbrock、Rastrigin 函数的最优适应值，100 次试验的平均适应值
种群
最大迭
维数
规模
代次数
Sphere 函数
MPSO
LDWPSO
Rosenbrock 函数
MPSO
DWPSO
Rastrigin 函数
MPSO
LDWPSO
作者简介：白艳敏，女，河南 濮阳人，硕士研究生，研究方向为 粒子群算法及其应用研究。
30 10 20 30
50 10 20
50
7.09788×10-3 6.43443×10-3 9.78968 9.36976 1.38722×10-2 3.07800×10-2
※基金项目：数学天元基
100
1.73036×10-6 1.02732×10-5 19.05684 18.99530 1.77645×10-6 1.45888×10-5
金 (10826063 )； 甘 肃 省 教 育
200
2.16631×10-17
.97399×10-15 28.99538 28.98757 2.30930×10-17 3.90800×10-16
1．1 标准粒子群算法(LWDPSO)[1]
粒子群算法是 Eberhart 和 Kennedy 与 1995 年提出的一种 新 的 全
局优化算法，该算法是进化算法的一种，起源于鸟类捕食行为的模拟，
它采用速度—位置搜索模型。在该算法中，第 i 个粒子在第 t+1 次迭代
中的速度和位置是由下列公式更新的：
为了研究算法的可拓展性，对于不同维数的每个函数用不同的粒 子 群 体 （N=50,100,200 ）来 实 验 ，对 于 每 个 实 验 环 境 ，为 了 给 出 相 关 性 能 的 正 确 适 应 值 ， 把 算 法 运 行 100 次 ， 取 惯 性 权 重 从 0.9 线 性 递 减 到 0.4，学习因子 c1=c2=2.0，对 每 个 函 数 的 10、20、30 维 分 别 实 验 ，最 大 迭 代次数分别为 50、100、200 次，具体结果见表 1。
其中 ω 是线性递减的惯性权重，②称为标准粒子群算法。
PSO 算法的计算步骤：
第一步：根据优化问题，定义适应度函数，初始化粒子群，包括群
体规模，每个粒子的位置和速度；
第二步：计算每个粒子的适应值；
第三步：对每个粒子 i 比较它的适应值与它的个体极值 pibest，如
果当前值好于 pibest，则替换 pibest，否则 pibest 等于当前位置 xi； 第四步：对每个粒子 i，比较它的适应值与全局极值 gbest，如 果 较
通大学青蓝人才工程项目 (QL- 05- 16A。
30
200
2.24884×10-19 9.43221×10-19 28.99023 28.99192 1.01250×10-15 2.66450×10-14
［责任编辑：江广霞］
100 10
50
4.72000×10-3 17.53903×10-3 9.074770 11.34218 3.94050×10-3 6.55240×10-2
i=1
为了证明本文算法在其他的优化问题上的有效性， 仍以二维的
Rosenbrock 函数为例进行仿真实验，如图 2 和图 3 所示： 图 2 显示了，在仿真实验中，给 予 LDWPSO 算 法 与 MPSO 算 法 相
同 的 迭 代 次 数 ， 对 它 们 最 优 适 应 值 进 行 比 较 ，MPSO 算 法 明 显 优 于 LDWPSO 算法, 在算法迭代过程中，MPSO 算法取得的最优适应值明显 小于 LDWPSO 算法优化所得的最优适应值，另外 MPSO 算法的优化过 程比 LDWPSO 算法更早的收敛于最优位置。 图 3 为 MPSO 对 Rastrigin 函数优化后所取得的最优适应值与所得的平均适应值的比较。
在表 1 中，对函数 Sphere、函 数 Rosenbrock、函 数 Rastrigin 分 别 进 行 100 次 实 验 获 得 的 最 优 适 应 值 的 平 均 值 ，正 如 表 中 所 示 ，被 测 试 的 基准函数函数用 MPSO 算法取得 的 最 优 适 应 值 明 显 优 于 LDWPSO 算 法 取 得 的 最 优 适 应 值 。 MPSO 算 法 取 得 的 最 优 适 应 值 明 显 优 于 LDWPSO 算法取得的最优适应值，并且随着迭代次数的增加所取得的 结果更加精确。
厅 科 研 项 目 (20868)； 兰 州 交
50
16.26279×10-3 2.23388×10-3 9.747190 34.27957 1.39712×10-2 5.02300×10-2
100
7.68045×10-7 4.10465×10-6 18.99603 18.99661 4.92994×10-5 9.49266×10-5
1 改进的粒子群算法
其 中 itmax 为 最 大 迭 代 次 数 ，iter 为 迭 代 次 数 ，ωmax 为 最 大 惯 性 权重，取值为 0.9，ωmin 为最小惯性权重，取值为 0.4，rand 为(0, 1)之间 满足均匀分布的随机数。 为了便于观察该算法的优劣性， 以二维的 Rastrigin 函 数 优 化 过 程 为 例 来 说 明 该 算 法 的 有 效 性 。 取 群 体 规 模 为 100，最大迭代次数为 100，r1, r2 为(0, 1)之间满足均匀分布的随机数， 取 c1=c2=2.0。 图 1 (a)-(d)分别显示了粒子的初始分布位置，经过第 33 次迭代后粒子的分布位置， 经过第 66 次迭代后粒子的分布位置以及 经 过 第 100 次 迭 代 后 粒 子 的 分 布 情 况 ， 其 中 绿 色 圆 点 代 表 粒 子 的 位 置，红色五角星代表整 布 的 随 机 数 。
1998 年 Eberhart 又对公式①进行了修正，引入了惯性权重因子。
vi (t+1)=ω*vi (t)+ci *r*1 (pi best(t)-xi (t))+c2 *r*(gbest(t)-xi (t))
②
xi (t+1)=xi (t)+vi (t+1)
2012 年 第 5 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○本刊重稿○
科技信息
一种改进的粒子群算法
白艳敏 （兰州交通大学数理与软件工程学院 甘肃 兰州 730070）
【摘 要】粒子群算法是一种新型的智能优化技术，该算法程序实现简单，可调整的参数少。本文针对粒子群优化算法易早熟收敛陷入局部 极值的事实，对粒子群优化算法的惯性权重进行适当改进，数值仿真结果说明该算法是非常有效的。
其改进模型如下：
if j≤0.7×itmax
ω(iter)= ωmax-((ωmax-ωmin)/itmax) ×iter
else
ω(iter)=rand
end
图 1 (a)-(d)表示在不同迭代次数的情况下，各个粒子的分布位置
从图 1 可以看出，随着迭代次数的增加，粒子群能稳定快速的向 最优点的位置聚集， 实验表明当随着所取迭代次数增加即为 200,500,1000,2000 时 ，粒 子 所 搜 索 到 的 位 置 更 加 精 确 ，搜 索 时 间 也 随 之延长。