14B.动力学-动量定理和动量矩定理

运动分析： v l , OM
2 m O ( m v ) ml l ml
由动量矩定理 d m O ( m v ) m O ( F ) 即
dt
微幅摆动时，sin , 并令
d 2 ( ml ) mgl sin dt
,
PA PB PA PB P / 2
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[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 v 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计） 解： m O ( F
(e)
)0 ,

系统的动量矩守恒。
0 m Av Ar m B (v v A )r
角速度 。
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解 将整个调速器视为研究对象。其所受外力有小球的重量 及轴承处的约束反力，这些力对转轴之矩均为零。由质点系的 动量矩守恒定律知，绳拉断前后系统对z 轴的动量矩不变。绳 拉断前系统对 z 轴的动量矩为 L 2 ( W a ) a 2 W a 2
z
g
Lz 2
W g
20
刚体对轴的转动惯量
1）定义： I z m i ri 2
若刚体的质量是连续分布，则 I z

r dm m
2
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它 的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位：kg· 2 。 m
Hale Waihona Puke 212）转动惯量的计算１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
单位： kg· 2/s。 ｍ
4
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩：L O m O ( m i v i ) ri m i v i
I z M z
(e)
d dt
( I z ) M
(e) z
或 Iz
d
2
dt
2
Mz
(e)
—刚体定轴转动微分方程
刚体定轴转动微分方程,与质点运动微分方程一样，可 以求解转动刚体动力学两类基本问题。即解决两类问题： ① 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 ② 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩），但
(e)
) M
(e) y
,
dL z dt
m z ( Fi
(e)
) M
(e) z
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上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一 固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力 对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能 改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒定律 ①当
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
I z ' I zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
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证明：设质量为m的刚体，质心为C， O ' z ' // Cz
轴作转动时的动量矩之和。
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[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3。
求系统对O轴的动量矩。
解： O L OA L
L OB L OC
I 1 1 ( I 2 2 m 2 v 2 R 2 ) m 3 v 3 R 2
v 3 v 2 R 2 2
1
§14.3 动量矩定理
在上节中我们建立了动量的概念，它虽是物体机械
运动强度的一种度量，但是用以度量转动物体的机械运动
强度时就会遇到困难。例如圆盘绕通过质心的固定轴转动 时，无论圆盘质量多大，转动多快，因其质心在固定转轴 上，它的速度始终为零，据此，圆盘的动量将恒等于零。 实际上圆盘在转动过程中，除转轴上各质点外，其余的质
I z m z
2
对于均质刚体， z 仅与几何形状有关，与密度无关。对
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已知 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
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LO
将 IO
PA g
v r
PB g
v r I O
LO
1 P 2 r 代入 , 得 2 g
r 2
g
( P A PB
P ) 2
由动量矩定理：
d dt g r
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
5
2）定轴转动刚体
L z m z ( m i v i ) m i ri I z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与
角速度的乘积。
L z m z ( m v C ) I C
3）平面运动刚体
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等 于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心
MO
(e)
0 时，
L O 常矢量。
② 当 M z ( e ) 0 时， L z 常量。
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[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。 解: 取整个系统为研究
对象，受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
MO
(e)
PA r PB r ( PA PB ) r
vA
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的， 均为 v 。
2
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AB 与铅垂轴固 [例5] 如图所示调速器中，长为 a 的水平杆 2
连，并绕 z 轴转动。其两端用铰链与长为 l 的细杆AC 、 BD 相连，杆 AC 、 BD 位于铅垂位置。当机构以角速度 0 绕铅垂 轴转动时，线被拉断。此后，杆 AC 、 BD 各与铅垂线成 角 。若不计各杆重量，且此时转轴不受外力矩作用，求此系统的
mO (F )0 (m z ( F ) 0)
则 m O ( m v ) 常矢量
( m z ( m v ) 常量 )
称为质点的动量矩守恒定律。
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[例2] 单摆，已知m，l，t =0时=0 ，从静 止开始释放。求单摆的运动规律。
解：将小球视为质点。受力分析；受力图 如图示。 m O ( F ) m O ( T ) m O ( m g ) mgl sin
8
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt m x ( m v ) m x ( F ), d dt m y ( m v ) m y ( F ), d dt m z (m v ) m z ( F )
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若
不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
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特殊情况：
① 若M z
(e)
mz (F
(e)
) 0 ，则 0 , 恒量，刚体作匀速转动
或保持静止。
② 若 M
(e) z
常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
将 I M (e ) 与 ma F 比较，刚体的转动惯量 I z 是刚体 z z 转动惯性的度量。
mv
dr dt
mv v mv 0 , r F mO (F )
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质
点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
LO ( I1 R2
2
1 2
R 1 1

I2 R2
2
m2 m3 ) R2 v3
7
2．质点的动量矩定理
由 d( m v ) dt F
d (m v ) dt rF
两边叉乘矢径 r , 有 r 左边可写成
r
而
d( m v ) dt

d dt
(r m v )
dr dt
3
一、质点系的动量矩定理
1．质点的动量矩
质点对点O的动量矩：m O ( m v ) r m v 矢量 m 质点对轴 z 的动量矩： z ( m v ) m O ( m v xy ) 代数量
m O ( m v ) 2 OAB
m z ( m v ) 2 OA ' B '
) M
(e) O
一质点系对固定点的动量矩定理
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质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得：
dL x dt m x ( Fi
(e)
) M
(e) x
,
dL y dt
m y ( Fi
0
g
2
0
绳拉断后系统对 z 轴的动量矩为
由动量矩守恒定律，得
2 W g
2
W g
( a l sin )
a 0 2
( a l sin )
2
于是解得绳拉断后系统的角速度为