①知识研习

第一章集合与常用逻辑用语
课程解读
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩（Venn)图表达集合的关系及运算.
8.理解命题的概念.
9.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关
系.
10.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
11.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
12.理解全称量词与存在量词的意义.
13.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第一节集合
知识梳理
1.集合
（1）集合的分类有限集：⎧⎪
⎨
⎪⎩
有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合.
（2）集合元素的特性:确定性，互异性，无序性.
（3）集合的表示：
①列举法——把集合中的元素一一列举出来，写在{ }内表示集合的方法.
②描述法——把集合中元素的公共属性描述出来，写在{ }内表示集合的方法.
（4）常见数集的表示：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2.子集、交集、并集、补集
（1）设集合A与B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）.如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B（或B ⊇A）.不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作
A∩B，即A∩B={x｜x∈A且x∈B}.
（3）由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作
A∪B，即A∪B={x｜x∈A或x∈B}.
（4）在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记为U.如图，设A⊆U，由U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A在集合U中的补集，记作C U A={x｜x∈U
且
x ∉A}. 3.子集、真子集
（1）A ⊆A 指任何一个集合都是它本身的子集. （2）∅
⊆A 指空集是任何集合的子集（规定）.
（3）只有当A 为非空集合时，才有∅
⊆A ，即空集是任何非空集合的真子集.
（4）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A ⊆B ，A ⊇B ，则A=B. 4.交集
A ∩A=A ；A ∩B=
B ∩A （交换律）；A ∩∅=∅；A ∩B ⊆A ；A ∩B ⊆B ；若A ⊆B ，则A ∩B=A. 5.并集A ∪A=A ；A ∪B=B ∪A （交换律）；A ∪∅=A ；A ⊆A ∪B ；B ⊆A ∪B ；若A ⊆B ，则A ∪B=B. 6.补集(1)A ∪（
C U A ）=U ；A ∩（C U A ）=∅；C U （C U A ）=A ；C U ∅=U ；C U U=∅. (2)C U （A ∩B ）= C U A ∪C U B ，C U （A ∪B ）=C U A ∩C U B.
小试牛刀
1.已知A={y|y=x,x ∈R },B={y|y=x 2
,x ∈R },则A ∩B 等于 （ ） A.{x|x ∈R} B.{y|y ≥0} C.{(0,0),(1,1)} D. 解析：因为A={y|y ∈R },B={y|y ≥0},故选B. 答案：B
2.数集{2a,a 2
-a}中，a 的取值范围是 . 解析：由题意知2a ≠a 2
-a,解得a ≠0且a ≠3. 答案：{a|a ≠0且a ≠3}
3.满足M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},且M ∩{a 1,a 2,a 3}={a 1,a 2}的集合M 的个数是 . 解析：由已知得M={a 1,a 2}或M={a 1,a 2,a 4},故符合题意的有2个. 答案：2
4.若a 、b ∈R ，集合{1，a+b,a}={0,
a
b ,b},求b-a 的值.
解：由{1,a+b,a}={0,
a
b ,b}可知a ≠0,则有以下对应关系：
②①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
===+⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧===+.1,,
0,
1,,
0a
b a b b a b a a b
b a 由①得a=-1,b=1符合题意；②无解，所以b-a=2.
方法指津
1. 集合中元素的性质在解题中的应用集合的元素具有三个特性：其确定性可用来判断对象
的全体能否构成集合，或每个对象是否属于该集合；无序性表示两个集合只要元素相同则为同一个集合；而互异性则在集合元素中含有字母需要求解时有着取舍的作用. 例如：已知x 2
∈{1，0，x}，求实数x 的值.
解：若x 2
=0，则x=0，集合为{1，0，0}，不符合题意. 若x 2
=1，则x=±1，而x=1时不符合题意. 若x 2=x ，则x=0或x=1都不符合题意. 综上，x=-1.
2.子集的概念与性质在解题中的应用
（1）子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的.两个集合A 与B 之间的关系如下：
其中记号A ⊄B （或B
A ）表示集合A 不包含于集合
B （或集合B 不包含集合A ）.
（2）子集具有以下性质：
①A ⊆A ，即任何一个集合都是它本身的子集. ②如果A ⊆B ，B ⊆A ，那么A=B. ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C. ④如果A
B ，B
C ，那么A
C.
（3）包含的定义可以这样表述：如果由任一x ∈A 可以推出x ∈B ，那么A ⊆B （或B ⊇A ）.不包含的定义可以这样表述：两个集合A 与B ，如果集合A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么A
B （或B
A ）.
考点整合
考点一 集合的基本概念
【案例1】 现有三个实数的集合，即可以表示为{a ，a
b ，1}，也可表示为{a 2
,a+b,0}，则
a
2 010
+b
2 010
= .
解析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐.这时若能发现0这个特殊元素和a
b 中的a 不为0的隐含信息，
就能得到如下解法： 由已知得
a
b =0及a ≠0,所以b=0,于是a 2
=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知
a=1应舍去，因此a=-1,故a 2 010
+b
2 010
=(-1)
2 010
=1.
答案：1
点评：（1）利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征.
(2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验.
【即时巩固1】 设含有三个实数的集合可表示为{a,a+d,a+2d},也可表示为{a,aq,aq 2
},其中a,d,q ∈R ,求常数q.
解：依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0,q ≠0,q ≠±1.
由两集合相等，有（1）⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+.
2,
2,2,22
aq d a aq d a aq d a aq d a ）或（ 由（1）得a+2a(q-1)=aq 2,因为a ≠0,所以q 2
-2q+1=0,所以q=1(舍去）. 由（2）得a+2a(q 2
-1)=aq,因为a ≠0,所以2q 2
-q-1=0,所以q=1或q=-2
1.
因为q ≠1,所以q=-2
1,综上所述,q=-
2
1.
考点二集合间的基本关系
【案例2】已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A，求实数m的取值范围.
解：A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},又A∪B=A，所以B⊆A.
①若B=∅,则2m-1<m+1,此时m<2.
②若B≠∅,则
2m-1m+1, m+1-2,
2m-1 5.
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≤
⎩
解上述不等式组，得2≤m≤3.
由①、②可得，适合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【即时巩固2】已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}是集合Q={x|-2≤x≤5}的子集，则实数a的取值范围是（）
A.a>1
B.a≤2
C.1<a≤2
D.1≤a<2
解析：当集合P为空集时，即2a+1<a+1,则a<0；
当集合P非空时，结合数轴易知P⊆Q，则
a+1-2,
2a+15,
2a+1a+1
≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≥
⎩
，则0≤a≤2.
综上可知，符合条件的a的取值范围为a≤2.
答案：B
考点三集合的基本运算
【案例3】 (2010·全国Ⅱ)设全集U={x∈N*|x<6},集合A＝{1,3},B={3,5},
则C U(A∪B)= （）
A.{1,4}
B.{1,5}
C.{2,4}
D.{2,5}
关键提示：本小题主要考查集合的概念及集合的基本运算，充分考查对全集、补集、并集等概念的理解.
解析：由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故C U(A∪B)={2,4}.
答案：C
点评：高考对集合运算的考查是一个热点，经常考查具体集合的运算，多数情况下会与求函数定义域、值域，解不等式、求范围等问题联系在一起.解答这类问题时要注意弄清楚集合
中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的间接关系转化为直接关系进行求解，同时，一定要善于运用数轴等工具帮助分析和运算. 【即时巩固3】 已知集合A={x|
13
≤x ≤3},不等式ax 2
-3x+3>0的解集为B.
（1）若a=-6，求A ∩B.（2）若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围. 解：（1）因为a=-6，由-6x 2
-3x+3>0,得-1<x<12
，即B={x|-1<x<
12
}，
所以A ∩B={x|
13
≤x<
12
}.
（2）若A ∩B ≠∅，则在[13
，3]内至少有一个值使ax 2
-3x+3>0成立，即在[
13
，3]内至少
有一个值使a>2
33x
x
-+
成立.
设f(x)= 2
2
33
1133(
)24
x
x x -
+
=--+
，当x ∈[
13
，3]时，
1x
∈[
13
，3]，
所以f(x)∈[-18,
34
]，所以a>-18.
考点四 集合与其他知识的交汇
【案例4】 已知集合A=［2，log 2t ］,集合B={x|x 2
-14x+24≤0},x,t ∈R ,且A ⊆B.
(1) 对于区间［a,b ］，定义此区间的“长度”为b-a ，若A 的区间“长度”为3，试求t 的
值；（2）某个函数f(x)的值域是B ，且f(x)∈A 的概率不小于0.6,试确定t 的取值范围. 解：(1)因为A 的区间“长度”为3，所以log 2t-2=3,即log 2t=5,t=32.
(2) 由x 2
-14x+24≤0,得2≤x ≤12,所以B=［2，12］，所以B 的区间“长度”为10. 设A 的区间“长度”为y ，因为f(x)∈A 的概率不小于0.6,所以
10
y ≥0.6，所以y ≥6，
log 2t-2≥6,解得t ≥28
=256.又A ⊆B ，所以log 2t ≤12,即t ≤212
=4 096, 所以t 的取值范围为［256，4 096］（或［28
，212
］）.
点评：本题将集合问题与概率中的几何概型巧妙地融合在一起，既考查了集合知识，又考查了几何概率问题，体现了集合的“知识交汇点”的特点.高考中经常以集合为载体设计一些创新性问题，应注意这方面问题的训练. 【即时巩固4】 设集合M={x|m ≤x ≤m+
34
},N={x|n-
13
≤x ≤n},且M 、N 都是集合{x|0≤x ≤
1}的子集，如果把b-a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 （ ）
A. 1
3
B.
2
3
C.
1
12
D.
5
12
解析：由已知可得
m0,
3
m+1
4
≥
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
,即0≤m≤
1
4
;
1
n-0,
3
n1
⎧
≥
⎪
⎨
⎪≤
⎩
,即
1
3
≤n≤1.取字母m的最小值0，
字母n的最大值1，可得M=[0，3
4
]，N=[
2
3
，1].所以M∩N=[0，
3
4
]∩[
2
3
，1]=[
2
3
，
3
4
]，
此时得集合M∩N的“长度”为3
4
-
2
3
=
1
12
，故应选C.
答案：C。