广义泊松_型回归模型的统计诊断_戴林送

网络出版时间：2013-11-29 09:48网络出版地址：/kcms/detail/11.2242.O1.20131129.0948.001.html广义泊松Ⅰ型回归模型的统计诊断戴林送1林金官2(1.安庆师范学院数学系,安徽,安庆,246011; 2.东南大学数学系,江苏,南京,211189)摘要: 本文研究广义泊松Ⅰ型回归模型的统计诊断方法.首先给出模型的极大似然估计, 相应地得到基于数据删除模型的诊断统计量; 其次研究基于Score检验的模型散度参数存在性与齐性的检验统计量; 然后通过模拟来研究这些统计量的有效性, 最后, 用一个医学上的数值实例来说明模型统计诊断方法的应用.关键词: 广义Poisson回归模型; 统计诊断; 数据删除; Cook距离; Score检验中图分类号: O212.1文献标识码: AStatistical Diagnostics on Generalized Poisson Regression ModelsLIN-SONG DAI1 JIN-GUAN LIN2(1. Department of mathematics, Anqing Normal College, Anqing, china;2. Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing, china)Abstract: In this paper, diagnostics for generalized Poisson regression model arepresented. Based on MLE, the case-deletion model is considered, and several diagnosticmeasures are derived and discussed. Furthermore, score tests for existence andhomogeneity of dispersion parameters are given. The power of score test and theeffectiveness of the diagnostic measures are investigated by Monte Carlo simulation.Finally, a numerical example in medicine is given to illustrate that the method isavailable.Keywords: Generalized Poisson regression model; Statistical diagnostic; Case-deletionmodel; Cook’s distance; Score test.0 引言泊松回归模型是以泊松分布为基础的，作为模型的一个假定，要求其因变量的数学期望与方差相等. 因而，当数据中存在偏大或偏小离差时，应用泊松回归模型就可能会低估或高估标准差(Wang and Famoye，1997)[1] ，进而导致对回归系数的误判，得出错误的结论. Consuland Jain(1973)[2] 综合泊松分布和偏大或偏小因素，提出了广义泊松分布，该分布目前已得到了深入细致的研究，并且已被证实适用于很多的现象(Consul，1989)[3]. 为将广义泊松分布应用于更多的领域，Consul and Famoye(1992)[4] 以及Famoye(1993)[5] 以广义泊松分布为基础，研究了相应的回归模型. 该回归模型因其适用于偏大、偏小离差数据以及过度(inflated)数据等得到了广泛的研究和应用，应用领域包括农业、经济、公共卫生、生物、医疗、道路安全、保险等等.统计诊断的任务就是要检测已知数据是否符合既定模型的假设条件，其典型问题就是检测数据中的强影响点或异常点(韦博成等，1991)[6].目前对线性回归模型统计诊断的研究已非常深入，理论成熟，应用也最为成功；对非线性模型和广义模型的诊断理论与实践，也有一些研究成果.对于广义泊松Ⅰ型回归模型，Famoye and Wang (2004)[7]给出了模型散度参数α的t统计量；Ismail and Jemain(2005)[8] 给出了散度参数α的似然比统计量. 本文将在他们的基础上研究广义泊松Ⅰ型回归模型的统计诊断问题.1 广义泊松Ⅰ型回归模型广义泊松分布主要有两种形式，分别记为 GPⅠ与 GPⅡ.相应地，回归模型也就有两种形式.本文主要讨论 GPⅠ对应的回归模型的统计诊断问题，对于 GPⅡ对应的回归模型统计诊断问题可以类似得到.基金项目: 安徽省优秀青年基金资助项目(2009SQRZ122).设随机变量i Y 服从GP Ⅰ分布，根据 Wang and Famoye （1997)[1]，i Y 的概率密度函数为()11(1)Pr()exp 01.11i i y y i i i i i i i i i i y y Y y y y αμμααμαμ−+⎛⎞⎛⎞+==−,=,,⎜⎟⎜⎟+!+⎝⎠⎝⎠" (1)其中，()exp()T i i i i x x μμβ==，1(1)(1)Ti i i k x x x −=,,,"，12()T k ββββ=,,,"为回归系数. 随机变量 i Y 的期望和方差分别为2()()(1)01i i i i i i i E Y x Var Y x i n μμαμ=,=+,=,,,."广义泊松Ⅰ型回归模型是泊松回归模型的自然推广，当0α=时，概率函数（1）就退化为泊松回归模型的概率函数. 0α>时，则有 ()()i i i i Var Y x E Y x >，此时，数据中存在偏大离差；当0α<时，则有 ()()i i i i Var Y x E Y x <，数据中存在偏小离差，因此，称参数α为散度参数. 当 0α<时，一般要求满足 (1)0i αμ+>，且(1)0i y α+>，这样才能保证概率函数（1）非负.记 ()T Tθαβ=,，假定 ()Ti i y x ,, 12i n =,,,"，为来自广义泊松Ⅰ型回归模型的数据集，则相应的对数似然函数为1(1)()log (1)log(1)log()11ni i i i i i i i i i y l y y y y μμαθααμαμ=⎧⎫⎛⎞+⎪⎪=+−+−−!.⎨⎬⎜⎟++⎪⎪⎝⎠⎩⎭∑ (2)()l θ 关于参数θ的Score 函数记为()()T TU U U αβθ=,，由exp()T i i x μβ=，通过计算得到i i i x μβμ∂/∂=，2T T i i i i x x μββμ∂/∂∂=，根据（2）式，有2121(1)()11(1).(1)ni i i ii i i i ii i n i i i i i y y y y U y y U x αβμμμαμααμμαμ==⎧⎫−−=−+−,⎨⎬+++⎩⎭⎧⎫⎡⎤−⎪⎪=⎨⎬⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑进一步，通过计算，我们得到 θ 的观测信息矩阵 ()II I II αααββαββθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=, (3)其中，22222231231231(1)2()()(1)(1)(1)()2(1)(12)()(1)ni i i i i i i i i i i nT T i i i i T i i nT i i i i i T i i y y y y l I y y l I x I y l I x x αααββαββμμμθαααμααμμθμαβαμαμαθμββαμ===⎧⎫−−−∂=−=+−,⎨⎬∂∂+++⎩⎭⎧⎫−∂=−==,⎨⎬∂∂+⎩⎭⎧⎫−+∂=−=.⎨⎬∂∂+⎩⎭∑∑∑于是，参数θ的极大似然估计 ˆˆˆ()T Tθαβ=, 可以由下面的迭代方程得到()()(1)()()()1ˆˆˆˆt t t t I U θθθθ+−=+, (4) 其中，ˆθ表示第 t 步的迭代值.2 数据删除模型对于广义泊松Ⅰ型回归模型，为了评价第i 个数据点 ()i i y x , 在回归分析中的作用与影响，可以通过比较第i 个数据点删除前后回归分析的结果的变化，来检测这个点是否为异常点或强影响点. 删除第i 个点后的模型可表示为 log 12Tj j x j i j n μβ=,≠,=,,,." (5)模型（5）通常称为数据删除模型（简记为CDM ）.记模型（5）的对数似然函数为 ()()i l θ ，参数θ的极大似然估计为()()()ˆˆ()ˆTTi i i αβθ=. 为了研究第i 个数据点对参数估计的影响，最直接的方法就是比较ˆθ与()ˆi θ的差异. 由于广义泊松Ⅰ型回归模型的参数没有显示解，且在数据量较大时，求删除每个数据点的参数估计()ˆi θ的工作量较大，因而，通常考虑参数估计的一步近似1()ˆi θ. 定理1 对模型（5），其参数估计的一步近似可表示为1()22ˆ122()ˆ(1)()ˆˆ11(1)(1)(1)()ˆˆ11(1)(1)i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i y y y y y I I x y y y y y y I I x y αααβθβαββθμμμμαααμααμαμμμμμββαμααμαμ⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎡⎤−−−−=−+−+,⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤−−−−=−+−+⎢⎥++++⎣⎦⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎝⎠,其中，I αα为观测信息阵()I θ的逆阵中相应于I αα的分块阵，其他类似.证明: 由模型（5），可以得到CDM 的对数似然函数为()(1)()()log (1)log(1)log()11i i i i i i i i i i y l l y y y y μμαθθααμαμ⎧⎫⎛⎞+⎪⎪=−+−+−−!.⎨⎬⎜⎟++⎪⎪⎝⎠⎩⎭通过计算可以得到 ()()i l θ 关于 θ 关的一阶导数为()2()2()(1)()()11(1)()()(1)i i i i i i i i i i i i i i i i l y y y y l y l y l x θμμμθαααμααμθμθββαμ∂⎧⎫−−−∂=−+−,⎨⎬∂∂+++⎩⎭⎧⎫∂⎡⎤−∂⎪⎪=−.⎨⎬⎢⎥∂∂+⎪⎪⎣⎦⎩⎭由于参数θ的极大似然估计ˆˆˆ()T Tθαβ=,满足方程()0l θα∂∂=,()0l θβ∂∂=，所以()2ˆˆ()(1)()11(1)i i i i i i i i i ii l y y y y y θθμμμααμααμ∂⎧⎫−−−=−+−,⎨⎬∂+++⎩⎭ (6)()2ˆˆ()(1)i i i i i l y x θθμβαμ⎧⎫∂⎡⎤−⎪⎪=−.⎨⎬⎢⎥∂+⎪⎪⎣⎦⎩⎭ (7) 记观测信息阵 ()I θ 的逆阵为 1()II I II αααββαββθ⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=, 则根据1()1()ˆ()ˆˆˆ()i i l I θθθθθ−∂=+,∂ (8) 可以得到定理结论成立.定理1揭示了估计量ˆθ与()ˆi θ之间的关系，若ˆθ与()ˆi θ的差异很小说明第i 个数据点对模型影响不大，反之，则说明第i 个数据点对模型影响较大. 根据定理1我们可以得到()ˆˆi θθ−，但是作为一个向量，不便于比较大小，通常运用以下与()ˆˆi θθ−相关的数量或距离来刻画影响的大小.2.1 广义Cook距离Cook 于1977年对线性回归模型定义了度量影响的 Cook 距离之后，一些作者将其推广到了广义 Cook 距离，并研究了广义 Cook 距离在各种模型中的应用. 对于广义泊松Ⅰ型回归模型，广义 Cook 距离可以类似定义为()()ˆˆˆˆ()()T i i i GD M C θθθθ=−−/,其中，M 是正定的权矩阵，0C >为尺度因子.M 和 C 可以取各种不同的值，但是对比较ˆθ与()ˆi θ的差异的影响并不太大(Wei et al ，2009)[9].一个常用选择方法是取 ˆ()M I θ=, 1C =. 根据定理 1，我们有下面的广义 Cook 距离的一步近似公式，11()()ˆˆˆ()T i i i GD I l l θθθ−=, (9)其中，()()()()ˆ()ˆ()(())i i l l T Ti lθθαβθθ∂∂∂∂=, .另一方面，常常考虑第 i 个数据点 ()i i y x , 对参数 αβ, 的影响，由（6）、(7) 及（9）式，可以得到下面的关于参数 αβ, 的广义 Cook 距离，212122(1)()()11(1)()(1)(1)i i i i i i i i i i i Ti ii ii i i i i y y y y GD I y y y GD x I x ααββμμμααμααμμμβαμαμ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞−−−=+−,⎜⎟+++⎝⎠−−=.++2.2 似然距离在数据删除模型下，似然距离是与 Cook 距离同等重要的诊断统计量，并且是 Cook 距离的进一步推广. 对于广义泊松Ⅰ型回归模型，可以类似地定义第 i 个数据点关于估计量 ˆθ的似然距离为()()ˆˆ()2()()i i LD l l θθθ=−. 根据定理1，相应地有似然距离的一步近似公式，()11()ˆˆ()2()()i i LD l l θθθ=−. 2.3 W-K 统计量对于任何统计量，都可以考虑删除第 i 个数据点前后该统计量的变化，从而了解这个数据点对该统计量的影响. W-K 统计量是从数据拟合观点提出的一种诊断统计量，表示删除第 i 个数据点前后拟合值的差异.对于广义泊松Ⅰ型回归模型，我们考虑以下 W-K 统计量，ˆˆ()121i j WK j k θ−==,,,+,"其中，j θ是参数θ的第j 个分量，()ˆj i θ是删除第i 个数据点后参数的估计量，ˆ()j Var θ 是参数θ的第j 个分量的方差，可以通过观测信息阵ˆ()I θ近似获得.根据定理 1，我们得到 W-K 统计量的一步近似，11ˆˆ()()()121T i j d I WK j k θθθ−==,,,+, "其中，(00100)Tj d =,,,,,,""为 1p ×向量，其第j 个分量为1，其余为 0..但是究 检验方法进行.(10) 记 α(11)且 0H 证明: 由模型 (1)，根据已得到的 Score 函数U α有22ˆˆ1ˆ()2n i i i i i i l U y y y ααααθθβθμμα⎛⎞⎜⎟⎡⎤⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎜⎟=⎝⎠∂|=|=−−+.∂∑ 根据 (2) 式，我们计算出 Fisher 信息矩阵为 ()J J J J J αααββαββθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=, 其中，22212()(12)(1)n i i i l J E ααμθααααμ=⎧⎫∂=−=,⎨⎬∂∂++⎩⎭∑2()0TTl J E J αββαθαβ∂=−==,∂∂ 221()(1)nT i i i T i i l J E x x ββμθββαμ=⎧⎫∂=−=.⎨⎬∂∂+⎩⎭∑记J αα为 Fisher 信息阵()J θ的逆阵中相应于J αα的分块阵，从而有1112ˆˆ1ˆ2n i i J J J J αααααααααααθθβμ−−−⎛⎞⎜⎟=⎝⎠=,|=|=Σ. 根据文献(Cox and Hinkley,1974)[10]，对假设检验问题 (10) ， Score 检验统计量可表示为ˆ()()()T l l SC J ααααθθθαα∂∂⎧⎫=.⎨⎬∂∂⎩⎭将()ˆˆl J ααθαααθθ∂∂|,| 代人，可以得到 (11) 式.根据文献(Cox and Reid,1987)[11]，当0H 成立时，SC α的渐近分布为 2(1)χ. 3.2 散度参数的齐性检验当模型 (1) 中散度参数 α 显著存在时，我们常常会考虑是否与 i 有关，这就是参数的齐性问题.根据 Cook and Weisberg (1983)[12] 和 Simonoff and Tsai (1994)[13]等的思想，我们对散度参数 α 重新参数化. 假定 ()i i i m m z αααρ==,, (12) 其中，α是未知常量参数，ρ是1q ×的未知向量，i z 是某协变量，m 是已知的二阶可微权函数.我们假定存在唯一的值0ρ使得对于任意的i 都有 0()1i m z ρ,=. 显然，如果 0ρρ=，则i αα=，且所有i Y 都有固定的散度参数.因此，散度参数的齐性检验就等价于检验:0000H H ρρρρ:=:≠. (13)对于假设检验问题 (13)，记 ()T T T ξρθ=,，ρ是兴趣参数，θ是多余参数，在0H 成立下，参数ξ的极大似然估计记为000ˆˆ()T TTρξθ=,，根据模型 (1) 和假定 (12) ，有下面的对数似然函数1(1)()log (1)log(1)log()11n i i i i i i i i i i i i i i y l y y y y μμαξααμαμ=⎧⎫⎛⎞+⎪⎪=+−+−−!.⎨⎬⎜⎟++⎪⎪⎝⎠⎩⎭∑ (14) 记222222223(1)()()11(1)(1)2()()(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i i i i i i iii ii i i i i i i i i i y y y y l M y y y y y l N y μμμξααμααμμμμξααμααμ−−−∂==+−,∂+++−−∂==−+.∂+++由 (14) 式有1()()n i i i m z l M ρξαρρ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭∂,∂=.∂∂∑ 故假设检验问题 (13) 的 Score 函数为00ˆˆ1()()n i i i m z l M ξξρξαρρ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭∂,∂|=|.∂∂∑根据 (14) 式可以得到 ()l ξ 的二阶导数如下：222121231()()()()()()()()()()()2(1)ni i i i iT T T i n i i i i i i nT i i i i i T i i i m z m z m z l M N m z m z l M N m z y m z l x ρρρξααρρρρρρρρξαρραρρμμρξαρβαμρ===⎧⎫∂,∂,∂,∂=+,⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭⎧∂,∂,⎫∂=+,,⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎧⎫−∂,∂=−.⎨⎬∂∂+∂⎩⎭∑∑∑从而，在原假设 0H 成立下的 Fisher 信息矩阵为()()J J J J J ρρρθθρξθ⎡⎤=.⎢⎥⎣⎦其中，()J J J ρθραρβ=,，且22221222122()()()(12)(1)2()()()(12)(1)()0ni i i T T i i n i i i i i TTm z m z l J E m z l J E m z l J E J ρρραρββραμρρξρρααμρραμρξρραααμρξρβ==⎧⎫∂,∂,∂=−=,⎨⎬∂∂++∂∂⎩⎭⎧⎫∂,∂=−=,,⎨⎬∂∂++∂⎩⎭∂=−==.∂∂∑∑ 记J ρρ为 Fisher 信息阵()J ξ的逆阵中相应于J ρρ的分块阵，根据分块矩阵求逆公式，有1111(())()TJ J J J J J J J J J ρρααρρρρρθθρρρραραθ−−−−==−=−.根据文献(Cox and Hinkley,1974)[10]，对假设检验问题 (13) ，其Score 检验统计量可表示为ˆ()()()T l l SC J ρρρξξξρρ⎧⎫∂∂=.⎨⎬∂∂⎩⎭类似如定理 (2) 我们得到下面定理.定理3 对模型 (1) 和假定 (12) ，假设检验问题 (13) 的Score 检验统计量可表示为2111ˆ()()()()()n nT T i i ii i i m z m z SC M J J J J M ααρρρραραξρραρρ−==⎧∂,∂,⎫=−,⎨⎬∂∂⎩⎭∑∑ (16) 且0H 成立时，SC α的渐近分布为2()q χ.4 模拟研究下面通过 Monte Carlo 随机模拟方法来说明前面所介绍的统计量的有效性.4.1 CDM模型诊断统计量的随机模拟考虑广义泊松Ⅰ型回归模型 (1)，其中01log 12i i x i n μββ=+,=,,,."我们取01020502αββ=.,=.,=..首先从正态分布(01)U ,中产生400个随机数作为协变量i x 的值，从而构成已知矩阵[1]i X x =，接着根据所给的参数值和X 的值，从相应的广义泊松Ⅰ型回归模型中产生400个随机数y .现将X 的第129行对应0β的协变量值从原始的1改变为31−.，将X 的第329行对应1β的协变量值从原始的05349−.改变为71.，从而人为产生2个异常点.根据第3部分的统计量111i i i GD LD WK ,,，经过计算得到相应的数值， 结果列于图 1 中.其中，图形a 显示的是在原始产生的数据下对应的广义Cook 距离，从中可以发现第248号点是一个强影响点，另外第151号、第176号、第237号 和第307号 点也有较大影响. b—f 是在人为产生两个异常点之后的数据基础上得到的统计量图形，从图形 b 、c 可以看出，除了数据中已有的影响点被检测出来外，第129和329号两个人为的异常点也被成功检测出来，这说明相关统计量是有效的.图形d 、e 和f 分别是参数01αββ,, 对应的WK 统计量.图形d 来看，已有的影响点和人为的异常点都被成功地检测出来，说明参数α受协变量X 的影响明显但不是十分显著，因为人为影响点对应的 WK 值没有已有影响点的变化大. 图形 e 来看，人为的异常点第129号点被成功地检测出来，而人为的异常点第329号点未被成功地检测出来，说明对应于参数1β的协变量值i x 的改变对0β影响不显著.同样，图形 f 来看，人为的异常点第129号点未被成功地检测出来，说明对应于参数0β的协变量值 1 的异常对1β影响不显著. 从模拟结果可以看出，三种诊断统计量是有效的.图 1 CDM 模型统计量的散点图4.2 散度参数存在性检验的随机模拟下面运用随机模拟方法研究散度参数存在性检验的 Score 统计量的功效. 根据模型 (1)，假定01log 12i i x i n μββ=+,=,,,."我们取010604ββ=.,=..首先从正态分布(01)N ,中产生n 个随机数作为协变量i x 的值，从而构成已知矩阵[1]i X x =，接着根据所给的参数值和X 的值，从相应的广义泊松Ⅰ型回归模型中产生n 个随机数Y .将此过程重复5000 次，从而得到 5000 组数据()X Y ,.根据定理 2 的 (11) 式，计算得到Scroe 统计量SC α的值，并与水平005α=.时的临界值24000.05020.7950(0.0846)0.9984(0.2070)1.0000(0.4540)1.0000(0.8020)1.0000(0.9932)1.0000(1.0000)4.3 散度参数齐性检验的随机模拟下面用随机模拟方法研究散度参数齐性检验的Score 统计量的功效.根据模型 (1)，假定01log exp()12i i i i i x m x i n μββαααρ=+,===,,,."我们取0102105αββ=.,=,=..首先从正态分布(01)N ,中产生n 个随机数作为协变量i x 的值，从而构成已知矩阵[1]i X x =，接着根据所给的参数值和X 的值，从相应的广义泊松Ⅰ型回归模型中产生n 个随机数Y . 将此过程重复5000 次，从而得到 5000 组数据 ()X Y ,. 根据定理3的 (15) 式，计算得到Score 统计量SC ρ的值，并与水平005α=.时的临界值2(1)3841χ=.进行比较，从而得到相应的水平和功效，具体结果列于表 2 中.表 2 给出的是样本量在 80120160200400n =,,,,；002040608ρ=,.,.,.,. 时 Score 统计量SC ρ 的功效，表2中第一列为 0ρ=时的水平，我们发现当120n >时，经验水平接近于0.05.当01ρ<. 时功效相对较小，说明此时检验保守.另外，当样本量n 或ρ增大时，功效逐渐增大，并接近于1.说明检验统计量SC ρ是有效的.表 2 统计量 SC ρ在显著水平005.下的模拟功效n0= 020=. 040=. 060=. 080=.对于数据删除模型，根据统计量111i i i GD LD WK ,,的表达式，我们经过计算得到相应的数值，结果列于下面图2中.其中，图形a 显示的是各数据点对应的广义 Cook 距离，图形b 显示的是各数据点对应的似然比距离，图形c d ,显示的分别是参数α与1β 对应的各数据点 WK 距离，考虑到篇幅问题，参数0β对应的各数据点 WK 距离未列出.从图形中可以发现第17号点是一个强影响点，另外第14号和第15号点也有较大影响.第14号和第15号对模型的参数α有一定影响，第17号点对参数1β的影响较大.现在，考虑散度参数的存在性检验与齐性检验. 对于存在性检验，00H α:=，根据定理2的检验统计量，我们计算得出4005149SC α=.，表明模型散度参数显著不为0，这也表明广义泊松Ⅰ型回归模型比较适合分析数据.对于散度参数的齐性检验，假定α都和i 有关，1217i i m i αα=,=,,,."对于权函数i m 的选择，Chen (1983)[15] 指出，在参数齐性检验中，Score 检验统计量对权函数的选择并不敏感，因此，根据 Cook and Weisberg (1983)[12] 的建议，我们选择实际中常用的幂函数和指数函数作为权函数，即假定分别为 ()i i i i m exp x m x γρ=,=. 相应的散度参数的齐性检验就变成检验00H ρ:= 以及00H γ:=. 根据定理3 的检验统计量，我们计算出117388SC ρ=.以及105677SC γ=..与显著水平 005α=. 时的临界值2(1)3841χ=.进行比较，可以认为模型散度参数是非齐的.图 2 白血病数据CDM 的统计量散点图6 总结统计诊断是回归分析的一个重要内容.本文针对于广义泊松Ⅰ型回归模型给出了基于数据删除模型的几种诊断统计量以及模型散度参数的存在性与齐性检验的Score统计量.Score 检验的统计量是在原假设成立下给出的，因而在计算上提供较大的方便. 根据模拟和实例分析，这些诊断统计量和Score统计量是有效的，尤其在实例分析中，我们数据点个数仅17个，但根据模型以及相应的统计量得出的结果是不错的.虽然在参数齐性检验中，Score检验统计量对权函数的选择并不敏感，但我们认为根据各数据点对散度参数影响的散点图来确定权函数的分析是更加有力的，对于这方面的工作我们正在努力.参考文献[1] Wang W, Famoye F. Modeling household fertility decisions with generalized Poisson regression [J]. Journal of Population Economics, 1997, 10(3): 273-283.[2] Consul P C, Jain C. A generalization of the Poisson distribution [J]. Technometrics, 1973, 15(4), 791-799.[3] Consul P C. Generalized Poisson distribution: properties and application [M]. New York: Marcel Dekker, 1989.[4] Consul P C, Famoye F. Generalized Poisson regression model [J]. Communications inStatistics-Theory and Methods, 1992, 21:89-109.[5] Famoye F. Restricted generalized Poisson regression model [J]. Communications inStatistics-Theory and Methods, 1993, 22:1335-1354.[6] Wei B C, Lu G B, Shi J Q. Introduction to statistical diagnostics [M]. Nanjing: Southeast University Press, 1991.[7] Famoye F, Wang W. Censored generalized Poisson regression model [J]. Computational Statistics & Data Analysis.2004, 46: 547-560.[8] Ismail N, Jemain A A. Generalized Poisson regression: An alternative for risk classification [J]. Journal Technology.2005, 39-54.[9] Wei B C, LIN J G, XIE J F. Statistical Diagnostics [M]. Shanghai: Higher Education Press, 2009.[10] Cox D R, Hinkley D V. Theoretical Statistics [M]. London: Chapman and Hall, 1974.[11] Cox D R, Reid N. Parameter ortrhogonality and approximate conditional inference [J]. J.R. Statist. Soc. 1987, 49: 1-39．[12] Cook R D, Weisberg S. Diagnostic for heteroscedasticity in regression [J]. Biometrika, 1983, 70: 1-10.[13] Simonoff J S, Tsai C L. Improved tests for nonconstant variance in regression based on the modified profile likelihood [J]. Applied Statitics, 1994, 43: 357-370.[14] Pregibon D. Logistic regression diagnostics [J]. Ann Statist. 1981, 9:705-724.[15] Chen C F. Score Tests for Regression Models [J]. Journal of the American Statistical Association.1983, 78, 158-161.[16] 薛留根. 单指标模型的统计诊断[J].数理统计与管理, 2012,31(1): 55-78.[17] 薛留根. 单指标模型的统计诊断[J].数理统计与管理, 2012,31(2): 226-246.[18] 张香云, 赵旭. 广义Pareto模型统计推断及其应用[J].数理统计与管理, 2011,30(6):989-995.。