2014届高考数学理科试题大冲关：8.5直线、平面平行的判定及性质

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2014届高考数学试题大冲关直线、平面平行的判定及性质理

2014届高考数学理科试题大冲关：直线、平面平行的判定及性质一、选择题1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( ) A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n ⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β， m⊂γ.可以填入的条件有 ( ) A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是 ( )A．③④B．①③C．②③D．①②5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2C．3 D．06．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线( ) A ．只有1条B ．只有2条C ．只有4条D ．有无数条二、填空题 7．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________.9．已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α.其中正确命题的序号是________．三、解答题10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .11.如图，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面α.12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．详解答案一、选择题1．解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．答案：D2. 解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大．答案：C3．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：C4．解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．答案：C5．解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m 平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n 可在平面内；答案：D6．解析：据题意如图，要使过点A 的直线m 与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m 的平面与平面α的交线n 与直线m 平行，同理可得经过直线m 的平面与平面β的交线k 与直线m 平行，则推出n∥k ，由线面平行可进一步推出直线n 与直线k 与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m 只需过点A 且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．答案：A二、填空题7．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.答案：②④8．解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a 9．解析：①如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可令平面A 1B 1CD 为α，平面DCC 1D 1为β，平面A 1B 1C 1D 1为γ，又平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，则CD 与C 1D 1所在的直线分别表示a ，b ，因为CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a 、b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l ⊥α，④错误．答案：②③三、解答题10. 证明：分别过E 、F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连结MN . 因为BB 1∥CC 1，所以EM ∥FN .因为B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，所以AE ＝BF .由EM ∥BB 1得AEAB 1＝EM BB 1，由FN ∥CC 1得BFBC 1＝FN CC 1.所以EM ＝FN ，于是四边形EFNM 是平行四边形．所以EF ∥MN .又因为MN ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD .11. 证明：(1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥BD 且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD 且FG ＝12BD ，∴FG ∥EH 且FG ＝EH .∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、G 、H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′.∵α∥β，∴AD ′∥BD .又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α，又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.12．证明：存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD . 设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD 的中点，∴MF∥EC，BM∥OE.∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF⊂平面BMF，∴BF∥平面AEC.。

【步步高】2014届高考数学大一轮复习 8.5 直线、平面垂直的判定与性质试题(含解析)新人教A版

8.5 直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案 B3．若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不．正确的是( ) A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α∩β＝m，且n与α、β所成的角相等，则m⊥n解析容易判定选项A、B、C都正确，对于选项D，当直线m与n平行时，直线n与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D不正确．答案D4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( )A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b解析分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C 中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D. 答案 D5. 设l是直线，a，β是两个不同的平面（）A. 若l∥a，l∥β，则a∥βB. 若l∥a，l⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD. 若a⊥β,l∥a，则l⊥β答案 B6．如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有( )．A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A7．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( )．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B二、填空题8．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n ∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.答案①④9．结论“过一点作一个平面的垂线只能作一条”是_______的(填“正确”或“错误”)．解析理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的．答案正确10．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案3个11．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行．故填①②.答案①②12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(答案不唯一)三、解答题13．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析 (1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2) ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥BC 1AC ⊥BC 1AB 1与AC 相交 ≠⇒⎭⎪⎬⎪⎫BC 1⊥平面AB 1C B 1C ⊂平面AB 1C ⇒BC 1⊥B 1C ， ∴四边形BB 1C 1C 为菱形，∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点．连接A 1B ，与AB 1交于点E ，在三角形A 1BC 中，DE ∥A 1C ，∴A 1C ∥平面AB 1D .14．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明 (1)如图，连结AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12PC . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线，∴BN ＝12PC .∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形，又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连结PM 、MC ，∵∠PDA ＝45°，PA ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM .而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .15．如图所示是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．(1)若N 是BC 的中点，证明：AN ∥平面CME ；(2)证明：平面BDE ⊥平面BCD .证明 (1)连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，∴四边形ANME 为平行四边形， ∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ，∴AN ∥平面CME .(2)∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD .由(1)，知AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .【点评】解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有：第一步：根据条件合理转化．第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分．第三步：写出结论．16．如图所示，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析 (1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.。

2014高考数学考前押题直线、平面平行的判定与性质

2014高考数学考前押题：直线、平面平行的判定与性质直线与直线平行1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF. (2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值. (1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1, 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA=EF, 所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF.②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1. 又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1, 所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点, tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1, 即∠A 1B 1F=∠AA 1B, 故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H. 由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角. 在矩形AA 1B 1B 中1=2,得在Rt △BHC 1中,BC 1得 sin ∠BC 1H=1BH BC所以BC 1与平面B 1C 1EF2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF; (2)求棱锥FOBED 的体积.(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OB 12DE, OG=OD=2.同理,设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OC 12DF,OG ′=OD=2. 又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上, 所以G 与G ′重合. 在△GED 和△GFD 中, 由OB12DE 和OC 12DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点, 所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF. (2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE , 而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED 过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥FOBED 的高,且, 所以F OBED V =13FQ ·S 四边形OBED =32. 直线与平面平行1.如图,在四棱锥PABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;(3)求三棱锥DPBC的体积.解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN ∥AB,MN=12AB=3, 又CD ∥AB,CD=3, ∴MN ∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD 为平行四边形, ∴DM ∥CN.又DM 平面PBC, CN ⊂平面PBC, ∴DM ∥平面PBC. (3) D PBC V -=P DBC V -=13S △DBC ·PD,又S △DBC所以D PBC V -.2.如图,四棱锥PABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.证明:(1)取PA 的中点H,连接EH,DH.因为E 为PB 的中点, 所以EH ∥AB,EH=12AB. 又AB ∥CD,CD=12AB, 所以EH ∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH 是平行四边形. 所以CE ∥DH.又DH ⊂平面PAD,CE ⊄平面PAD, 因此CE ∥平面PAD.(2)因为E,F 分别为PB,AB 的中点, 所以EF ∥PA. 又AB ⊥PA, 所以AB ⊥EF, 同理可证AB ⊥FG.又EF ∩FG=F,EF ⊂平面EFG,FG ⊂平面EFG, 因此AB ⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.3.如图,在三棱锥SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.4.如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD 中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,AB.又因为PA ⊥平面ABCD, 所以PA ⊥AB,PA ⊥AC, PA ⊥AD.所以PB=PC=PD. 所以△PBC ≌△PDC.而M 、N 分别是PB 、PD 的中点, 所以MQ=NQ, 且AM=12PB=12PD=AN. 取线段MN 的中点E,连接AE,EQ,则AE ⊥MN,QE ⊥MN,所以∠AEQ 为二面角AMNQ 的平面角.由,故在△AMN 中,AM=AN=3,MN=12BD=3,得在直角△PAC 中,AQ ⊥PC,得,QC=2,PQ=4,在△PBC 中,cos ∠BPC= 2222PB PC BC PB PC +-⋅=56,得在等腰△MQN 中,MN=3,得在△AEQ 中得cos ∠AEQ=2222AE QE AQ AE QE +-⋅所以二面角AMNQ .5.如图,直三棱柱ABCA ′B ′C ′,∠BAC=90°,AA ′=1,点M,N 分别为 A ′B 和B ′C ′的中点.(1)证明:MN ∥平面A ′ACC ′;(2)求三棱锥A ′MNC 的体积.(锥体体积公式V=13Sh,其中S 为底面面积,h 为高) (1)证明:法一连接AB ′,AC ′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱,所以M 为AB ′的中点.又因为N 为B ′C ′的中点, 所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′,AC ′⊂平面A ′ACC ′, 所以MN ∥平面A ′ACC ′.法二取A ′B ′的中点P,连接MP,NP,AB ′,如图所示, 因为M,N 分别为AB ′与B ′C ′的中点, 所以MP ∥AA ′,PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′,PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP=P,所以平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN,所以MN ∥平面A ′ACC ′. (2)解:连接BN,如图所示,由题意知A ′N ⊥B ′C ′,平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′=B ′C ′, 所以A ′N ⊥平面NBC.又A ′N=12B ′C ′=1, 故A MNC V '-=N A MC V '-=12N A BC V '-=12A NBC V '-=16.6.如图,几何体EABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC ⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC. 证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°, 所以∠CBD=30°.因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60°, ∠ABC=90°, 因此∠AFB=30°, 所以AB=12AF. 又AB=AD,所以D 为线段AF 的中点,连接DM,由点M 是线段AE 的中点, 得DM ∥EF.又DM 平面BEC,EF ⊂平面BEC, 所以DM ∥平面BEC.7.如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,EF ∥,CE=EF=1.(1)求证:AF ∥平面BDE; (2)求证:CF ⊥平面BDE.证明:(1)设AC 与BD 交于点G.因为EF ∥AG, 且EF=1,AG=12AC=1, 所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF ∥EG.因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE. (2)连接FG.因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1, 所以四边形CEFG 为菱形. 所以CF ⊥EG.因为四边形ABCD 为正方形,所以BD ⊥AC. 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD, 且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD. 又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.8.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°,E 为线段AB 的中点,将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE,使平面A ′DE ⊥平面BCD,F 为线段A ′C 的中点.(1)求证:BF ∥平面A ′DE;(2)设M 为线段DE 的中点,求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值. (1)证明:如图所示,取A ′D 的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG ∥CD,FG=12CD,BE ∥CD,BE=12CD, 所以FG ∥BE,FG=BE,故四边形BEGF 为平行四边形,所以BF ∥EG. 因为EG ⊂平面A ′DE,BF ⊄平面A ′DE, 所以BF ∥平面A ′DE.(2)解:在平行四边形ABCD 中,设BC=a, 则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a. 连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE 中,可得 a.在△ADE 中,可得DE=a.在△CDE 中,因为CD 2=CE 2+DE 2,所以CE ⊥DE.在正三角形A ′DE 中,M 为DE 的中点,所以A ′M ⊥DE. 由平面A ′DE ⊥平面BCD, 可知A ′M ⊥平面BCD, 所以A ′M ⊥CE.取A ′E 的中点N,连接NM,NF, 则NF ∥CE.则NF ⊥DE,NF ⊥A ′M.因为DE 交A ′M 于点M,所以NF ⊥平面A ′DE, 则∠FMN 为直线FM 与平面A ′DE 所成的角.在Rt △FMN 中a,MN=12a,FM=a, 则cos ∠FMN=12, 所以直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值为12. 线面平行中探索性问题的解法1.如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB,PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由. 证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=12 EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=12 EG,所以Q为满足条件的点.2.如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则a,又a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角PACD的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角PACD的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.直线与平面平行如图五面体中,四边形ABCD 是矩形,DA ⊥平面ABEF,AB ∥EF,AB=12,AF=BE=2,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE; (2)求证:AM ⊥平面ADF. 证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC 与BD 交于点Q. 在△ACE 中,Q 为AC 中点, P 为AE 中点, ∴PQ ∥CE.又PQ ⊄平面BCE,CE ⊂平面BCE, ∴PQ ∥平面BCE.法二取AB 的中点G,连接PG,QG,如图所示, ∵Q 、G 分别为BD 、BA 的中点, ∴QG ∥AD. 又∵AD ∥BC, ∴QG ∥BC,∵QG ⊄平面BCE,BC ⊂平面BCE, ∴QG ∥平面BCE.同理可证,PG ∥平面BCE. 又PG ∩QG=G,∴平面PQG ∥平面BCE, ∴PQ ∥平面BCE. (2)∵M 为EF 中点,∴EM=MF=12, 又AB ∥EF,∴四边形ABEM 是平行四边形, ∴AM=BE=2.在△AFM 中∴AM ⊥AF.又DA ⊥平面ABEF,AM ⊂平面ABEF,∴DA ⊥AM. ∵DA ∩AF=A, ∴AM ⊥平面ADF.线面平行中探索性问题1.如图所示,四棱锥EABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出EFEA;若不存在,说明理由.(1)证明:取AB 中点O,连接EO,DO, ∵EA=EB,∴EO ⊥AB, ∵AB ∥CD,AB=2CD, ∴BO CD.又因为AB ⊥BC,所以四边形OBCD 为矩形, 所以AB ⊥DO. 因为EO ∩DO=O, 所以AB ⊥平面EOD. 所以AB ⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,EF EA =12,即F 为EA 中点时,有DF ∥平面BCE. 证明如下:取EB 中点G,连接CG,FG. 因为F 为EA 中点,所以FG 12AB, 因为AB ∥CD,CD=12AB,所以FG CD. 所以四边形CDFG 是平行四边形, 所以DF ∥CG.因为DF ⊄平面BCE,CG ⊂平面BCE, 所以DF ∥平面BCE.2.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积; (2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明. 解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱, 在△ADF 中,AD ⊥DF,DF=AD=DC=a, 所以该多面体的体积为12a 3,表面积为12a 2×a 2+a 2+a 2)a 2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD 为正方形,且N 为AC 的中点知B,N,D 三点共线,且AC ⊥DN. 又∵FD ⊥AD,FD ⊥CD,AD ∩CD=D,∴FD ⊥平面ABCD. ∵AC ⊂平面ABCD, ∴FD ⊥AC. 又DN ∩FD=D, ∴AC ⊥平面FDN, 又GN ⊂平面FDN, ∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC. 取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GH12CD. 又M 是AB 的中点,∴AM 12CD.∴GH ∥AM 且GH=AM,∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH.∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC,∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.综合检测1.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥ACDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.(1)证明:取AF 的中点Q, 连接QE 、QP, 则QP12DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC, 所以QPEC,即四边形PQEC 为平行四边形, 所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF, 故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC, 平面ABEF ∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x ≤4),FD=6-x. 故A CDF V - =13·12·2·(6-x)·x =13(6x-x 2) =13[-(x-3)2+9] =-13(x-3)2+3, ∴当x=3时,A CDF V -有最大值,最大值为3.2.如图所示,已知三棱柱ABCA 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.证明:(1)连接AC1,BC1,则AN=NC1,因为AM=MB,所以MN∥BC1.又BC1⊂平面BCC1B1,MN⊄平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.(2)将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面,A到A′的位置,此时A′BCB1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C即为PA+PC的最小值,此时BB1⊥A′C,∴BB1⊥PA′,BB1⊥PC,即BB1⊥PA,BB1⊥PC,∴BB1⊥平面PAC.3.如图所示,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB∥平面EFH;(2)求证:PD⊥平面AHF.证明:(1)∵E、H分别是PA、AB的中点,∴EH∥PB.又EH⊂平面EFH,PB⊄平面EFH,∴PB∥平面EFH.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥底面PAD.又∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.Rt△PAD中,PA=AD=2,F为PD的中点,∴AF⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF⊂平面AHF,AB⊂平面AHF,∴PD⊥平面AHF.4.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面,BC=4.(1)求证:BD⊥PC;(2)求直线AB与平面PDC所成的角;(3)设点E在棱PC上, PE=λPC,若DE∥平面PAB,求λ的值.(1)证明:由题意知,AB⊥∴BD=2,BC=4,∴则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,CF=3,∴tan∠,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB, ∴EF∥AB,如图所示, ∵AD=1,BC=4,BF=1,∴PEPC=BEBC=14,∴PE=14 PC,即λ=14.。

2014高考数学(理)一轮复习总教案：10.4 直线、平面平行的判定及其性质

10。

4直线、平面平行的判定及其性质典例精析题型一面面平行的判定【例1】如图,B为△ACD所在平面外一点，M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心。

（1）求证：平面MNG∥平面ACD;（2）若△ACD是边长为2的正三角形，判断△MNG的形状并求△MGN的面积.【解析】（1）证明：连接BM、BN、BG并延长分别交AC、AD、CD于E、F、H三点.因为M为△ABC的重心，N为△BAD的重心,所以BMME＝错误!＝2.所以MN∥EF，同理MG∥HE。

因为MN⊄平面ACD，MG⊄平面ACD，所以MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，因为MN∩MG＝M，所以平面MNG∥平面ACD。

(2）由（1)知,平面MNG∥平面ACD,错误!＝错误!＝2,所以错误!＝错误!＝错误!，因为EH＝错误!AD，EF＝错误!CD,所以错误!＝错误!＝错误!,所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!,又△ACD为正三角形。

所以△MNG为等边三角形，且边长为错误!×2＝错误!,面积S＝错误!×错误!＝错误!。

【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行.【变式训练1】如图,ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点,且它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE∶EB＝____________.【解析】错误!.设AE＝a，EB＝b，由EF∥AC，得EF＝错误!，同理EH＝错误!。

EF＝EH,所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!。

题型二线面平行的判定【例2】两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M ∈AC，N∈FB且AM＝FN。

求证:MN∥平面BCE。

【证明】方法一：如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，则MP∥AB，NQ∥AB.所以MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB.又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，所以MP＝NQ.故四边形MPQN为平行四边形。

【创新方案】2014届高考数学一轮复习 7.4直线、平面平行的判定及其性质讲解与练习理新人教A版

第四节直线、平面平行的判定及其性质[备考方向要明了]考什么怎么考1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题. 1.直线与平面平行的判定与性质及平面与平面平行的判定与性质是高考的热点之一，考查线线、线面以及面面平行的转化，考查学生的空间想象能力及逻辑推理能力．2.从考查题型看，既有客观题又有主观题．客观题一般围绕线面平行的判定和性质定理的辨析设计试题；主观题主要是围绕线、面平行的判定和性质定理的应用设计试题，一般设计为解答题中的一问，如2012年某某T20(1)，某某T16(2)，某某T18(2)等.[归纳·知识整合]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b[探究] 1.如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？提示：不一定．只有当此直线在平面外时才有线面平行．2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？提示：不可以，对于任意一条直线而言，存在异面的情况．2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b[探究] 3.如果一个平面有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答案：平行．[自测·牛刀小试]1．下列命题中，正确的是( )A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：选D 由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D正确．2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析：选D 当直线l∥α或l⊂α时，满足条件．3．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a 平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②4．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：∵AM MB ＝ANND，∴MN ∥BD ，又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴MN ∥平面BDC . 答案：平行5．(教材习题改编)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱A 1C 1，B 1C 1，BC ，AC 的中点E 、F 、G 、H 的平面与平面________平行．解析：如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别为A 1C 1、B 1C 1、BC 、AC 的中点， ∴EF ∥A 1B 1，FG ∥B 1B ，且EF ∩FG ＝F ，A 1B 1∩B 1B ＝B 1 ∴平面EFGH ∥平面ABB 1A 1. 答案：ABB 1A 1线面平行的判定及性质[例1] 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .[自主解答] 法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD ，∴PM AB ＝QN DC，∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形， ∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .法二：如图所示，作PH ∥EB 交AB 于H ，连接HQ ，则AH HB ＝AP PE， ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ， ∴AH HB ＝AP PE ＝DQBQ，∴HQ ∥AD ，即HQ ∥BC . 又PH ∩HQ ＝H ，BC ∩EB ＝B ， ∴平面PHQ ∥平面BCE ，而PQ ⊂平面PHQ ， ∴PQ ∥平面BCE .本例若将条件“AP ＝DQ ”改为“AP PE ＝DQ QB”，则直线PQ 与平面BCE 还平行吗？解：平行．证明如下：如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK . ∵AD ∥BK ， ∴DQ BQ ＝AQ QK .又AP PE ＝DQQB，∴AP PE ＝AQ QK， ∴PQ ∥EK .又P Q ⃘平面BEC ，EK ⊂平面BEC ， ∴PQ ∥平面BEC . ——————————————————— 证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2，∴EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 22．(2013·某某模拟)如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE .证明：如图，取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綊AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .面面平行的判定与性质[例2] 如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：平面AD 1E ∥平面BGF .[自主解答] ∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点，∴D 1F 綊BE ， ∴四边形BED 1F 是平行四边形， ∴D 1E ∥BF .又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF . ∵FG 是△DAD 1的中位线， ∴FG ∥AD 1.又AD 1⃘平面BGF ，FG ⊂平面BGF ， ∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF . ———————————————————判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．3．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ . ∵M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .答案：223a4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .证明：如图所示，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内，∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .线面平行中的探索性问题[例3] (2013·某某模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[自主解答] 存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.———————————————————破解探索性问题的方法解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．5.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又CC1、CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.1个关系——三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．2种性质——线面、面面平行的性质(1)线面平行的性质：①直线与平面平行，则该直线与平面无公共点．②由线面平行可得线线平行．(2)面面平行的性质：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．3种方法——判定线面平行的方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的三种方法：(1)利用定义：判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行)；(2)利用线面平行的判定定理；(3)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.数学思想——转化与化归思想在证明平行关系中的应用线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行，欲证线面平行，可转化为证明线线平行．[典例] (2013·某某模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．[解] (1)结论：BC∥l，因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.设Q为CD的中点，如右图所示，连接NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD.又因为NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.[题后悟道]1．本题(1)将线面平行的判定定理和性质定理交替使用，实现了线线平行的证明；本题(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质，得到结论的证明．2．利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化，也要注意平面几何中一些平行的判断和性质的灵活应用，如中位线、平行线分线段成比例等，这些是空间线面平行关系证明的基础．[变式训练]如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C 由线面平行的性质可知C正确．2．下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两直线一定相交．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 对①，若a⊄α，则α与α相交或平行，故①错误；对②，当直线l与α相交时，也有直线l上的无数个点不在平面α内，故②错误；③正确；对④，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故④错误．3．(2013·某某九校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D 根据两平面平行的条件，可得选项D符合．4．如图，在正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P为所在棱的中点，则异面直线MP、AB在正方体以平面PBM为正面的正视图中的位置关系是( )A．相交 B．平行C ．异面D ．不确定解析：选B 在正视图中AB 是正方形的对角线，MP 是平行于对角线的三角形的中位线，所以两直线平行，故选B.5．设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或②或③解析：选C 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．6．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选B ①由平面ABC ∥平面MNP ，可得AB ∥平面MNP .④由AB ∥CD ，CD ∥NP ，得AB ∥NP ，所以AB ∥平面MNP .二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；② ⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α； ③ ⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α8．(2013·某某模拟)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：69．(2013·某某模拟)已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.答案：②④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．如图，一直空间四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是三角形ADC的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF ∥平面CDE .解：如图，连接AG 并延长，交CD 于点H ，则AG GH ＝21，连接EH . 在AE 上取一点F ，使得AF FE ＝21，连接GF ，则GF ∥EH ，又EH ⊂平面CDE ，∴C 1F ∥平面CDE .易知当AF ＝2FE 时，GF ∥平面CDE .11．(2013·某某模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求三棱锥E －BCD 的体积．解：(1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形，所以ED ∥AG ，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，所以V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC ，由(1)知，DE∥平面ABC ，所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 12．(2013·某某模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．证明：存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD 的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .1．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB的中点，给出四个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ，⑤OM ∥平面PCB .其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意知，OM ∥PD ，则OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA .2．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：分点P 在两个平面的一侧或在两个平面之间两种情况，由两平面平行得AB ∥CD ，截面图如图，由相似比得BD ＝245或24.答案：245或24 3．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形．∴O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又AP ⊄平面BMD ，OM ⊂平面BMD ，∴AP ∥平面BMD .又AP ⊂平面PAHG ，平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，∴AP ∥GH .。

2014年高考数学试题分类解析考点34 直线、平面平行的判定及其性质

考点34 直线、平面平行的判定及其性质1.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, 所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因为EF∥AD,FG∥BC,所以n·=0,n·=0.得取n=(1,1,0),所以sin θ=|cos<,n >|===.2．(2014·陕西高考文科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD 的体积.(2)证明:四边形EFGH 是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD 垂直于面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH 为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知,BD ⊥DC,BD ⊥AD,AD ⊥DC,BD=DC=2,AD=1,又BD ∩DC=D,所以AD ⊥平面BDC.所以四面体ABCD 的体积V=××2×2×1=.(2)因为BC ∥平面EFGH,平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH,所以BC ∥FG,BC ∥EH,所以FG ∥EH.同理EF ∥AD,HG ∥AD,所以EF ∥HG,所以四边形EFGH 是平行四边形.又因为AD ⊥平面BDC,所以AD ⊥BC,所以EF ⊥FG,所以四边形EFGH 是矩形.3．（2014·安徽高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH .(1)证明：;//EF GH(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.【解题提示】（1）由线面平行得出BC 平行于线线EF 、GH ；（2）设BD 相交EF 于点K ，则K 为OB 的中点，由面面垂直得出GK EF ^，再由梯形面积公式.2GH EF S GK +=计算求解。

【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《直线、平面平行的判定与性质》Word版含解析

直线、平面平行的判定与性质(时间：45分钟分值：100分)基础热身1．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A ．a 平行于α内的所有直线 B ．α内有无数条直线与a 平行C ．直线a 上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 垂直 2．[2013·银川一模] 设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥αC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m 3．[2013·兰州二模] a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．② D ．①③④ 4．[2013·济南二模] 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β能力提升 5．[2013·合肥二模] α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )A ．α和β都垂直于平面γB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ． l ，m 是平面α内的直线，且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，m ∥β，l ∥β 6．[2013·贵阳二模] 设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动都共面7．[2013·重庆二模] 已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β 表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2 ＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2 8．[2013·沈阳三模] 如图K40－1，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③K40－1K40－29．如图K40－2，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台 10．[2013·武汉三模] 如图K40－3所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N的平面交上底面于PQ ，Q 在CD ．K40－3K40－411．[2013·广州三模] 如图K40－4所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 13．[2013·天津二模] 如图K40－5所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系是________．14．(10分)[2013·佛山质检] 如图K40－6，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，PB ＝BC ＝CA ＝4，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在P A 上，且AF ＝2FP .(1)求证：BE ⊥平面P AC ； (2)求证：CM ∥平面BEF.15．(13分)如图K40－7，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F －ABCD 的体积．难点突破16．(12分)[2013·银川二模] 如图K40－8所示，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝2，NB ＝1，MB 与ND 交于P 点，点Q 在AB 上，且BQ ＝23.(1)求证：QP ∥平面AMD ； (2)求七面体ABCDMN 的体积．【基础热身】1．A [解析] A 错误，a 与α内的直线平行或异面．2．D [解析] 条件A 中，增加l 与m 相交才能判断出α∥β，A 错．由条件B ，C 都有可能得到α与β相交，排除B 和C.选D.3．C [解析] ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．4．A [解析] 选项A 中，如图①，n ∥m ，m ⊥α⇒n ⊥α一定成立，A 正确；选项B 中，如图②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β，m 与n 互为异面直线，∴B 不正确；选项C 中，如图③，m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂α，∴C 不正确；选项D 中，如图④，m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，但α与β相交，∴D 不正确．【能力提升】5．D [解析] 利用面面平行的判定方法及平行间的转化可知D 正确．6．D [解析] 不论A ，B 如何移动，点C 均在与α，β距离相等的平面内，故选D.7．D [解析] 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.8．C [解析] ①中由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，∴点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ；③当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－FED 的体积达到最大．9．D [解析] ∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1，∴B 1C 1∥平面EFGH ，∴B 1C 1∥FG ，∴Ω是棱柱，故选D.10.223a [解析] 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝2AC ＝22a .11．M ∈线段FH [解析] 连接HNF ∥平面B 1BDD 1知当M 点满足在线段FH 上时，有MN ∥面B 1BDD 1.12．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为l ⊄α.13．平行 [解析] 取PD 的中点F ，连接EF ，AF .在△PCD 中，EF 綊12CD ，又∵AB ∥CD ，且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .14．证明：(1)∵PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ，∴AC ⊥PB ，由∠BCA ＝90°，可得AC ⊥CB ，又∵PB ∩CB ＝B ，∴AC ⊥平面PBC ，∵BE ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BE ，∵PB ＝BC ，E 为PC 中点，∴BE ⊥PC ， ∵PC ∩AC ＝C ，∴BE ⊥平面P AC.(2)取AF 的中点G ，连接CG ，GM ∵E 为PC 中点，F A ＝2FP ，∴EF ∥CG .∵CG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴CG ∥平面BEF . 同理可证：GM ∥平面BEF .又CG ∩GM ＝G ，∴平面CMG ∥平面BEF . ∵CM ⊂平面CMG ，∴CM ∥平面BEF .15．解：(1)证法一：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC . 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴GH ∥CD . ∵GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE . 证法二：连接EA ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴G 是AE 的中点，∴在△EAB 中，GH ∥AB . 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD .∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且F A ⊥AD ， ∴F A ⊥平面ABCD .∵AD ＝BC ＝6，∴F A ＝AD ＝6.又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD . ∵S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F －ABCD ＝13S ▱ABCD ·F A ＝13×82×6＝16 2.【难点突破】16．解：(1)证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ， ∴MD ∥NB ，∴BP PM ＝NB MD ＝12.又QB QA ＝232－23＝12，∴QB QA ＝BPPM.∴在△MAB 中，QP ∥AM .又QP ⊄平面AMD ，AM ⊂平面AMD ，∴QP ∥平面AMD .(2)连接BD ，AC 并交于点O ，则AC ⊥BD . ∵MD ⊥平面ABCD ，∴MD ⊥AC . 又BD ∩MD ＝D ，∴AC ⊥平面MNBD . ∴AO 为四棱锥A －MNBD 的高．又S 四边形MNBD ＝12×(1＋2)×22＝32，∴V A －MNBD ＝13×32×2＝2.又V C －MNBD ＝V A －MNBD ＝2，∴V 七面体ABCDMN ＝2V A －MNBD ＝4.。

2014高考数学(理)复习方案：第39讲直线、平面平行的判定与性质

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第39讲
直线、平面平行的判定与性质
►
探究点一
线面、面面平行的基本问题
点面讲考点
例 1 (1)[2012· 四川卷] 下列命题正确的是( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
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第39讲
直线、平面平行的判定与性质
[答案] (1)D (2)C [解析] (1)b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α，都可以． (2)①中当 α 与 β 不平行时，也能存在符合题意的 l，
点面讲考点
m. ②中 l 与 m 也可能异面. ③中，确. l∥γ l⊂β ⇒l∥m, 同理 l∥n，则 m∥n，正 β∩γ＝m
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第39讲
直线、平面平行的判定与性质
►
探究点二
线面平行的判定与性质
点面讲考点
例 2 [2011· 北京卷改编] 如图 7－39－1，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC， BC，PB 的中点． (1)求证：DE∥平面 BCP； (2)求证：四边形 DEFG 为矩形．
图 7－39－1
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第39讲
直线、平面平行的判定与性质
点面讲考点
证明：(1)因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DE∥PC. 又因为 DE⊄平面 BCP，PC⊂平面 BCP，所以 DE∥平面 BCP. (2)因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形 DEFG 为平行四边形．又因为 PC⊥AB，所以 DE⊥DG，所以四边形 DEFG 为矩形．

2014届高三数学(文)一轮总复习直线、平面平行关系的判定与性质

图形语言
符号语言
a b a //
a∥b
2. 平面与平面平行 ( 判定定理 1) 文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行( 简记为 “线面平行面面平行”)
图形语言
符号语言
b a // b // a b P a
变式训练 1 2:(2012 北京模拟)以下命题中真命题的个数是( ) (1)若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; (2)若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; (3)若直线 a∥b,b α ,则 a∥α ; (4)若直线 a∥b,b α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线.
第
节直线、平面平行关系的判定与性质
基础自主梳理
考向互动探究
最新考纲 1.以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.
1.若 l 上有无数个点到平面α 的距离相等, 则直线 l 与平面α 的位置关系是( D ) (A)l∥α (B)l 与α 相交 (C)l α (D)l∥α 或 l α
解:当 Q 为 CC1 的中点时, 平面 D1BQ∥平面 PAO. 证明:∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B 平面 PAO,PO 平面 PAO, QB 平面 PAO,PA 平面 PAO, ∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B QB=B,D1B、QB 平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

2014高考调研理科数学课本讲解_8-4 直线、平面平行的判定及性质

；
a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l
.
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3．两平平的定理个面行判定 1 定：个面 ( 义两平 ) 2 判定：个面的 ( 定理一平内 ) 面行则两平平；平，这个面行 3 推：个面的 ( 论一平内 ) 平内面的
没有公共点
，这个面行称两平平；
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6．在正方体 AC BD
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－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1C，
B1C1，C1D1 方法一如图( 所示，连接 B1D1. 1 ) ∵P，N 分别是 D1C1，B1C1 的中点， ∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又 PN⊄平面 A1BD， ∴PN∥平面 A1BD.
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方法三如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE，交 AB 于点 M，连接 QM. ∴PM∥平面 BE . C 又∵平面 ABEF∩平面 BE ＝BE， C AP AM ∴PM∥BE，∴ ＝ . PE MB 又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ. AP DQ AM DQ ∴ ＝，∴ ＝ . PE BQ MB QB
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1．直线和平面平行的判定定理 1 定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； ( ) 2 判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ( ) 3 其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. ( )

直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a?αa ∩α=Aa||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////ab a b a 、.2.2.2平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝?，则a ∥β2、判定定理：判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

2.2.3 直线与平面平行的性质1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：若//,,,//a a b a b 则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形那么这两个平面平行．图形条件=α,b ?β，α∩b ＝Pα∥α，b ∥α?β∥αl ⊥αl ⊥β?β∥α结论//////条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βl⊥αα∥βa?β结论a∥b l⊥βa∥α1.解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。

一般结合反证法来证明；3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；基础习题1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若l∥,l∥β，则∥βB.若l∥，l⊥β，则⊥βC.若⊥β,l⊥, 则l⊥βD.若⊥β, l⊥, 则l⊥β1.【解析】 B2.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【解析】 C【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为1d ，平面2，3之间的距离为2d ．直线l 与1，2，3分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b m则“”是“ab ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．12l l ，23l l 13//l l B ．12l l ，23//l l 13l l C ．233////l l l 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1111AB AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点 D 不同于点C ），且ADDE F ，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE 平面11BCC B ；1A 1C （2）直线1//A F 平面ADE ．1B 【解析】（1）∵三棱柱ABC ﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ，∵AD ?平面ABC ，∴AD ⊥CC1又∵AD ⊥DE ，DE 、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD ⊥平面BCC1B1，∵AD ?平面ADE∴平面ADE ⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F 为B1C1的中点∴A1F ⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F ?平面A1B1C1，∴A1F ⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F ⊥平面BCC1B1又∵AD ⊥平面BCC1B1，∴A1F ∥AD∵A1F ?平面ADE ，AD ?平面ADE ，∴直线A1F ∥平面ADE ．【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面FDCABEABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 105．【例9】（2012北京）如图1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使1A F CD，如图2。

高考理科数学复习题解析直线平面平行的判定及其性质

高考数学复习第三节直线、平面平行的判定及其性质[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b[常用结论]线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．(8)垂直于同一平面的两条直线平行．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD 1∥平面ACE .]5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中是真命题的是________．(填上序号)② [对于①，m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；对于③，m ∥β或m ⊂β，故③错误；对于④，α∥β或α与β相交，故④错误．]直线与平面平行的判定与性质►考法1 直线与平面平行的判定【例1】如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD .[证明] (1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BCAE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.►考法2 直线与平面平行的性质【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D 两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[规律方法]判定线面平行的4种方法1利用线面平行的定义无公共点；2利用线面平行的判定定理a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；3利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β；4利用面面平行的性质α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.,注意：构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：MA∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．[解](1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，连接DM，M B.又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.平面与平面平行的判定与性质【例3】1111B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥G B.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.[拓展探究] 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1.BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D.所以平面A1BD1∥平面AC1D.[规律方法]判定平面与平面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)；注意：谨记空间平行关系之间的转化中点．求证：GH∥平面ABC.[证明]取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.平行关系中的存在性问题【例4】1111(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1∥DC1(图略)，∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，同理可证B1C∥平面DA1C1，又AB1∩B1C＝B1，∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1AB DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．∴A1D∥B1C.在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP(图略)，∵B1B C1C，∴B1B CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，则BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.[规律方法]解决存在性问题的一般方法解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件出现矛盾，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.1111在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解]法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1.∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥A B.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，∴AB ∥平面MNQ .D 项，作如图④所示的辅助线，则AB ∥CD ，CD ∥NQ ，∴AB ∥NQ .又AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，∴AB ∥平面MNQ .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ； (2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．[解] (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×22＋42×23＝4 3. 自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2014届高考数学一轮必备 8.4《直线、平面平行的判定及其性质》考情分析学案

8.4直线、平面平行的判定及其性质考情分析高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

基础知识1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：．2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：．3.两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒（2）两个平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

注意事项1.平行问题的转化关系：2. (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．题型一直线与平面平行的判定与性质【例1】在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( )A. BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B. EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C. HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D. EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案：B解析：如图，由题意，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD . ∴EF ∥HG ，且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．故选B.【变式1】如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE . 证明取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ， ∴FM 綉AE ，即四边形AFME 是平行四边形．∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ，∴AF ∥平面PCE .题型二平面与平面平行的判定与性质【例2】已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A. 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βB. 若α∥γ，β∥γ，则α∥βC. 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD. 若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β答案：C解析：由线面垂直的性质可知A 正确；由两个平面平行的性质可知B 正确；由异面直线的性质易知D 也是正确的；对于选项C ，α，β可以相交、可以平行，故C 错误，选C.【变式2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.题型三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.【变式3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N ，E 分别为PA ，PD 的中点，所以NE 綉12AD . 又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .重难点突破【例4】如图，在四棱台ABCDA 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD(2)如图，连结AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC . 由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ， CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD巩固提高1.对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是( )A. 若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥nB. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD. 若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n答案：D解析：由m ⊂α，n ∥α可知m 与n 不相交，又m 与n 共面，故m ∥n .2.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0 答案：C解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m .②中l 与m 也可能异面． ③中 ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．3. 如图中四个正方体图形，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 答案：B解析：图①中，设PN 中点为Q ，连MQ ，则AB ∥MQ ，所以AB ∥平面MNP ，图②，图③中，AB 与平面MNP 相交，图④中，AB ∥NP ，所以AB ∥平面MNP .故应选B.4. 若α、β是两个相交平面，点A 不在α内，也不在β内，则过点A 且与α和β都平行的直线( )A. 只有1条B. 只有2条C. 只有4条D. 有无数条答案：A解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．5.在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：面ABC、面ABD解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，且AM＝2ME，BE过N，且BN＝2NE.连接MN，则AB∥MN，∴MN平行于平面ABC和平面ABD.。

【创新方案】2014高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面平行的判定及性质

第四节直线、平面平行的判定及性质[知识能否忆起]一、直线与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αb∥a⇒a∥α2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β2．两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A 对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直 D．l∥α或l⊂α解析：选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案：平行或异面5．(2012·某某质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析：如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行1.平行问题的转化关系：线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．线面平行、面面平行的基本问题典题导入[例1] (2011·某某高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[自主解答] 因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝12AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2.所以EF＝ 2.[答案] 2本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.解：如图，∵GN∥平面AA1C1C，EG ∥平面AA 1C 1C ，又GN ∩EG ＝G ， ∴平面EGN ∥平面AA 1C 1C .∴当M 在线段EG 上运动时，恒有MN ∥平面AA 1C 1C .由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．以题试法1．(1)(2012·某某高三调研)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内解析：选C 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．(2)(2012·潍坊模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.直线与平面平行的判定与性质典题导入[例2] (2012·某某高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点．又因为点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)法一：连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．以题试法2．(2012·某某模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1CD ； (2)求证：EF ⊥AD 1.解：(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D ，在平面BB 1D 内，E ，F 分别为BD ，BB 1的中点， ∴EF ∥B 1D .又∵B 1D ⊂平面A 1B 1CD .EF ⊄平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD .(2)∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴AD 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1. 又A 1D ∩A 1B 1＝A 1， ∴AD 1⊥平面A 1B 1D . ∴AD 1⊥B 1D .又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1.平面与平面平行的判定与性质典题导入[例3] 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . [自主解答] (1)在正方形AA 1B 1B 中， ∵AE ＝B 1G ＝1， ∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E .∴四边形A 1GBE 是平行四边形． ∴A 1G ∥BE . 又C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F . ∴D 1F 綊EB .故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23. 又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.∴HG∥FB.∵GH⊄面FBED1，FB⊂面FBED1，∴GH∥面BED1F.由(1)知A1G∥BE，A1G⊄面FBED1，BE⊂面FBED1，∴A1G∥面BED1F.且HG∩A1G＝G，∴平面A1GH∥平面BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．以题试法3．(2012·东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MB所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MB，且平面AMND∩平面MB＝MN，所以AM⊥平面MB.因为BC⊂平面MB，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.1．(2013·某某模拟)已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是( )A．若n∥α，则α∥βB．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n解析：选D 由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n.2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a ∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则α∥β，b∥α，故排除C.3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．4．(2012·某某模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.5.(2012·某某模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD 上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC，CD的中点，则( ) A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．6．(2012·某某四校联考)在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： ①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a 与b 还可能异面、相交．答案：②④8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ， ∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD. ∴BD ＝245.如图2，同理可证AB ∥CD .∴PA PC ＝PB PD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．(2012·某某模拟)下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB 平行于平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到直线AB 与MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③10．(2013·某某模拟)如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F－BDE 的体积为3？解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM . 因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形，所以有BE ∥AM .而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，所以BE ∥平面ADF .(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°. 由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE .所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC .因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3，所以BC ＝32.综上当BC ＝32时，三棱锥F －BDE 的体积为 3.11.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形， ∴AD ∥CF .又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1. ∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ， ∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12．(2013·潍坊二模)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC＝CD ＝3.(1)证明：EO ∥平面ACD ； (2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； (3)求三棱锥E －ABD 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME . 在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点， ∴OM ∥AC .在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ，∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC . ∴平面EMO ∥平面ACD ，又∵EO ⊂平面EMO ， ∴EO ∥平面ACD .(2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC . 又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC . ∴AC ⊥平面BCDE . 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面BCDE . (3)由(2)知AC ⊥平面BCDE .又∵S △BDE ＝12×DE ×CD ＝12×2×3＝3，∴V E －ABD ＝V A －BDE ＝13×S △BDE ×AC ＝13×3×3＝3.1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线．2．(2012·某某二模)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC ，平面ABD3．(2012·东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积； (2)求证：GN ⊥AC ；(3)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ，所以该多面体的体积为12a 3.表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)连接DB ，FN ，由四边形ABCD 为正方形，且N 为AC 的中点知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN .又∵FD ⊥AD ，FD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴FD ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AC . 又DN ∩FD ＝D ， ∴AC ⊥平面FDN . 又GN ⊂平面FDN ， ∴GN ⊥AC .(3)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH . ∵G 是DF 的中点， ∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点， ∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM .∴四边形GHMA 是平行四边形． ∴GA ∥MH .∵MH⊂平面FMC，GA⊄平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．α∥β，l⊥α⇒l⊥β解析：选D 对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM綊FB綊12 EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．3．(2012·某某二中质检)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积．解：(1)证明：∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝60°.∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°. ∴CD ＝2 3.∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE ＝2. 则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥平面BCD .(2)∵EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG . ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， ∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ， ∴BH ⊥平面ACD . 由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.。

【创新设计】2014版高考数学一轮复习 8.3 直线、平面平行的判定与性质理苏教版

8.3 直线、平面平行的判定与性质一、填空题1．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，给出下列四个结论：①若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α；②若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β；③若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β；④若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β.其中正确结论的序号是________．解析 ①选项不正确，n 还有可能在平面α内；②选项不正确，平面α还有可能与平面β相交；③选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项④正确．答案 ④2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．解析由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故填m ∥l 1，且n ∥l 2.答案 m ∥l 1且n ∥l 23.设m,n 是平面α内的两条不同直线;12l l ,是平面β内的两条相交直线.下面给出四个条件其中满足α∥β的一个充分而不必要条件是_______.①m ∥β且1l ∥α②m ∥1l 且n ∥2l③m ∥β且n ∥β④m ∥β且n ∥2l解析对于②:∵m ∥1l ,且n ∥2l ,又1l 与2l 是平面β内的两条相交直线,∴α∥β,而当α∥β时不一定推出m ∥1l 且n ∥2l ,也可能异面.故选②.答案②4．已知直线a 不平行于平面α，给出下列四个结论：①α内的所有直线都与a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点．以上正确命题的序号________．解析因为直线a 不平行于平面α，则直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内，所以选项①、②、③均不正确．答案 ④5．已知直线a ，b 和平面α，给出下列四个结论：①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α；④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ∥b .以上正确结论的序号是________．解析当a ∥α，b 在α内时，a 与b 的位置关系是平行或异面，故④不正确．答案 ①②③6．若平面α∥平面β，直线m ⊥α，直线m ⊥直线n ，则n 与β之间的位置关系是________．解析∵α∥β，m ⊥α，∴m ⊥β.又m ⊥n ，故n ⊂β或n ∥β.答案 n ⊂β或n ∥β7．过三棱柱ABC-A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC-A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．答案 ②9．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出下列六个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．解析 ②中a 、b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．答案 ①④⑤⑥10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点．点M 在四边形EFGH 内部运动(包括边界)，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析因为HN ∥平面B 1BDD 1，FH ∥平面B 1BDD 1，所以有平面FHN ∥平面B 1BDD 1.又M 在四边形EFGH 内部运动(包括边界)，所以当M ∈FH 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈FH11．对于平面M 与平面N ，有下列条件：①M 、N 都垂直于平面Q ；②M 、N 都平行于平面Q ；③M 内不共线的三点到N 的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥M ，m ∥N ；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥M ，m ∥M ；l ∥N ，m ∥N ，则可判定平面M 与平面N 平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M ∥N .答案 ②⑤12.已知m,n 是不同的直线αβ,,是不重合的平面,给出下列命题:①若m ∥α,则m 平行于平面α内的任意一条直线;②若α∥m n βαβ,⊂,⊂,则m ∥n;③若m n m αβ⊥,⊥,∥n,则α∥β;④若α∥m βα,⊂,则m ∥β.上面的命题中,真命题的序号是_____.(写出所有真命题的序号)解析①由m ∥α,则m 与α内的直线无公共点,∴m 与α内的直线平行或异面.故①不正确.②α∥β,则α内的直线与β内的直线无公共点,∴m 与n 平行或异面,故②不正确.③④正确.答案③④13．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M ，N 分别是BD 和AE 的中点，那么：①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN ，CE 异面，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③二、解答题14．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，如图所示，连接NG .∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE .又BG GA ＝CM MA ＝BN NF， ∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE .又MG ∩NG ＝G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面BCE .15．如图所示，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AA 1，CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF .若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM .解析连接AE ，在BE 上取点M ，使BE ＝4ME ，连接FM ，B 1M ，FB 1.在△BEA 中，∵BE ＝4ME ，AB ＝4AF ，∴MF ∥AE .又在平面AA 1C 1C 中，易证C 1D ∥AE ，∴C 1D ∥FM .∵C 1D ⊄平面FMB ，FM ⊂平面FMB ，∴C 1D ∥平面B 1FM .16．如图，在直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.问：在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？并证明你的结论．解析存在点P ，P 为A 1B 1的中点．证明如下：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ，∴DC 綉PB 1， ∴四边形DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.17．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线l 是平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线．求证：l ∥平面A 1BD . 证明 ∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，且平面A 1B 1C 1D 1∩平面AB 1D 1＝B 1D 1，平面ABCD ∩平面AB 1D 1＝l ，∴l ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴l ∥BD .又l ⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，∴l ∥平面A 1BD .18．如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析法一如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. ∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM綉FB綉12 EC，∴四边形OMBF为矩形，∴BM∥OF，又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綉BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．。

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2014届高考数学理科试题大冲关：直线、平面平行的判定及性质
一、选择题
1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，
已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正
确的是()
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有() A．①或②B．②或③
C．①或③D．①或②或③
4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y 是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x ∥y”为真命题的是()
A．③④B．①③
C．②③D．①②
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
其中真命题的个数是() A．1 B．2
C．3 D．0
6．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行
的直线 ( )
A ．只有1条
B ．只有2条
C ．只有4条
D ．有无数条
二、填空题
7．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：
①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；
②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；
③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；
④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，
B 1
C 1的中点，P 是上底面的棱A
D 上的一点，AP ＝a 3
，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________.
9．已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；
②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；
④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分
别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F .
求证：EF ∥平面ABCD .
11.如图，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、
B 、
C 、
D 四点，
E 、
F 、
G 、
H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；
(2)平面EFGH ∥平面α.
12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝2
a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，
使BF∥平面AEC？证明你的结论．
详解答案
一、选择题
1．解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．
答案：D
2. 解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-FED的体积达到最大．
答案：C
3．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
答案：C
4．解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．
答案：C
5．解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内；
答案：D
6．解析：据题意如图，要使过点A 的直线m 与平面α平行，则据线
面平行的性质定理得经过直线m 的平面与平面α的交线n 与直线m 平行，
同理可得经过直线m 的平面与平面β的交线k 与直线m 平行，则推出n ∥
k ，由线面平行可进一步推出直线n 与直线k 与两平面α与β的交线平行，
即要满足条件的直线m 只需过点A 且与两平面交线平行即可，显然这样的
直线有且只有一条．
答案：A
二、填空题
7．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.
答案：②④
8．解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3
，∴PQ ＝223
a . 答案：223
a 9．解析：①如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可令平面A 1B 1CD 为α，平面DCC 1D 1
为β，平面A 1B 1C 1D 1为γ，又平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD ，平面
A 1
B 1
C 1
D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，则CD 与C 1D 1所在的直线分别表示a ，b ，
因为CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，即α与γ不平
行，故①错误．②因为a 、b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b
∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l ⊥α，④错误．
答案：②③
三、解答题
10. 证明：分别过E 、F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连结MN . 因为BB 1∥CC 1，
所以EM ∥FN .
因为B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，
所以AE ＝BF .
由EM ∥BB 1得AE AB 1＝EM BB 1
，由FN ∥CC 1得BF BC 1＝FN CC 1
. 所以EM ＝FN ，于是四边形EFNM 是平行四边形．
所以EF ∥MN .又因为MN ⊂平面ABCD ，
所以EF ∥平面ABCD .
11. 证明：(1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，
∴EH ∥BD 且EH ＝12
BD . 同理，FG ∥BD 且FG ＝12
BD ， ∴FG ∥EH 且FG ＝EH .
∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、G 、H 共面．
(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，
设两平面交于过点A 的直线AD ′.
∵α∥β，∴AD ′∥BD .
又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.
∴EH ∥平面α，
同理，EF ∥平面α，
又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ，
EF ⊂平面EFGH ，
∴平面EFGH ∥平面α.
12．证明：存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD . 设BD ∩AC ＝O .
连接BF ，MF ，BM ，OE .
∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD 的中点， ∴MF ∥EC ，BM ∥OE .
∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .
∵MF ∩BM ＝M ，
∴平面BMF∥平面AEC. 又BF⊂平面BMF，
∴BF∥平面AEC.。