洛阳市19-20学年高三上学期期中 考试文科数学
届河南省洛阳市高三上期中数学考试文科解析版
届河南省洛阳市高三(上)期中数学考试(文科)(解析版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：22016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）60512分）一、选择题（共分，满分小题，每小题AB=nm1A=Zm3m2B=N1n3∩）（≤）或＜≥ }，}{∈，则（．设集合{|∈﹣|?≤﹣Z A012B101 C021011 D}}，，．{，．{{，}，﹣}，．{﹣．，，=O12i13i 2）|与 +，和分别为对应向量则|（．在复平面内为极坐标原点，复数﹣+ 5A3BD C．．．．2xy=sin3﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（．把函数）（x=0 BDx=x= Cx=A ．﹣．．．10324a）项的积为，则以下命题为真命题的是（ }的前．已知等比数列{n aA的各项均为正数}．数列{n Ba的项．数列}中必有小于{n aC的公比必是正数{}．数列n1 aD中的首项和公比中必有一个大于{}．数列n tan25=α）的值为（，则．若 3C B DA．．．﹣．y=ln6 ．函数）的图象大致是（C ．D ．OAMABCAM=27?）的最小值是（中，若，（+．则为中线上的一个动点，在△）A2 B1 C1 D2．．﹣．﹣．8Rfxfx1=fx56αβ是锐]．定义在上的偶函数（（）且在）满足[（+上是增函数，），﹣，）角三角形的两个内角，则（Afsinfcos Bfsinfsin Cfsinfcos Dfβαααββ．（）＞（（（））＞（）））＜．（．．cosfcos βα）（）＞（9SABCSAABCBAC=120SA=AC=2AB=1°，则该四面体⊥平面，∠中，，，．在四面体﹣）的外接球的表面积为（第3页（共19页）C B DA11π．．．．a=010fx有三个不同的实数根，则（）﹣．已知函数，若方程a）的取值范围是（实数D01C03 02 A13 B），．））（．（．（（，，），．S=anS=2S=1411S）}的前项和，为等比数列{，则（，．已知数列201624n8n201610082532522 2 2DA22 B222 C﹣．．．．﹣﹣﹣x﹣Pe3y=x12PQy=xe，+，（分别是曲线上的动点，则．设点是自然对数的底数）和直线Q）两点间距离的最小值为（D AC B．．．．.2045分小题，每小题二、填空题：本大题共分，共=1ABCD3k=13．中，）（，．在矩形，﹣，则实数= a aa=3a=fa14fx．）的对应关系如表所示，数列{满足}）（，（，则．已知函数20161nn1n+3 x 1 2fx13 2 ）（15．．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为16mnβα是两条不重合的直线，给出下列四个命题：，，是两个不重合的平面，．设m=mnnnα∩βαβ①；?，则，若∥∥，mnnmββα②βαα；∥∥，，若，则?∥，? nm=mnnβα∩βα③αβ；，若⊥⊥?，⊥，，则mnmn ββα④α．∥⊥，∥，，则⊥．其中正确的命题序号为.70.6解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分小题，共三、解答题：本大题共17ABCABCabcbcosA=2cacosB π），，）的对边分别为，中，角（，，且满足﹣（+．在△1B 的大小；（）求角2b=4ABCac 的值．的面积为，求+（）若，△第4页（共19页）aa6nSS=4aa18a成等比数列．项和为，且，，}的前+，．已知等差数列{9n3523n 1a的通项公式；）求数列}{（n2aan项和．）如果的前≠（{，求数列}5123 x=xRaa1f19xx．+）∈﹣（﹣）（（+）．已知函数xa0f1）的极值；＜（（）若，求函数0f2ax2上零点的个数．（[（）在区间）当]，≤时，判断函数==cos2xcos2xcos2xsin2x20．．已知向量），﹣）（，，（1xcos4x=?；，求）∈（﹣，+（）若，22xbacbb=acbx=ac2ABC，若关于，，且边满足的三边，（，且边）设△所对应的角为m=m?的值．有且仅有一个实数根，求的方程+PADABCDABDC21PABCDPAD是等边三角，，△．如图，在四棱锥⊥平面﹣∥中，平面AB=2DC=4BD=2AD=8．形，已知，PADPCMBDM；上的一点，证明：平面是（Ⅰ）设⊥平面PABCD的体积．﹣（Ⅱ）求四棱锥2a2xalnxa=x22fxR ．）．已知函数+（）∈，其中﹣（+y=fx2f21a 的值；（）在点（，求，（）处的切线的斜率为）（Ⅰ）若曲线fx ）的单调区间．（Ⅱ）求函数（第5页（共19页）2016-2017（文（上）期中数学试卷学年河南省洛阳市高三科）参考答案与试题解析60512分）分，满分小题，每小题一、选择题（共An3B=21A=mZm3mB=nN1∩）}）≤或＜≥}，（{，则（．设集合∈{|∈|﹣≤﹣?Z 1 1A02 B101C01 D102}，}．．{{．{，，，﹣}}{．﹣，，，，补集及其运算．【考点】根据补集与交集的定义，进行计算即可．【分析】A=Zm2mZm3，【解答】解：∵集合≥{∈或|，全集为≤﹣} 1=22103A=mZm，}{﹣＜∴?}{，﹣∈|﹣，＜，Z2013nB=N1n=，，，又∵}{∈}|﹣{≤＜01AB=∩．），}{则（?Z C．故选：= 13i2i2O1）+||分别为对应向量与（和，则．在复平面内为极坐标原点，复数﹣+ 5 CD3B A．．．．复数的代数表示法及其几何意义．【考点】直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可．【分析】2i13i1O，与分别为对应向量+【解答】解：在复平面内为极坐标原点，复数﹣和+ 131A2B，），（），可得，（﹣==．|则| C．故选：2x3y=sin个单位后，所得函数图象的一条对称轴为．把函数﹣（）的图象向右平移）（x= Cx=x=0 ABx= D．．．﹣．y=Asinxφω）的图象变换．（函数+【考点】xy=Asinφω）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的（+【分析】由题意根据函数对称性，得出结论．2xy=siny=sin2x﹣解：把函数【解答】（（个单位后，可得）﹣）的图象向右平移cos2x =的图象，﹣kx=2x=kZx=0 π，，函数所得函数图象的一条对称轴为∈再令，求得，A．故选：页（共6第19页）4a1032） }的前项的积为{．已知等比数列，则以下命题为真命题的是（n aA的各项均为正数}．数列{n aB的项中必有小于．数列{}n Ca的公比必是正数．数列{}n1aD中的首项和公比中必有一个大于}．数列{n命题的真假判断与应用；等比数列的性质．【考点】Cq为真命题；由【分析】，故必是正数，故选项由等比数列的性质可知10a=2aaBAB项全为可以为负数，故可以前为假命题；对于选项，故可知，由于655q=1D、可得为假命题；对于选项，由均，可取1D 为假命题．不大于，故==32aaaa…．解：由等比数列的性质，【解答】10213q=2qCaa为真命题．，设公比为，故必是正数，故选项，则∴65AaA为假命题；可以为负数，故，由对于选项可知510B =2aaB项全为对于选项可以前，故，由为假命题；65D 可得，由对于选项，1Dq=1为假命题．、均不大于可取，故C．故选tan25=α）的值为（．若，则 3DAB C．．．．﹣同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切．【考点】tan2==3 tanαα，计算求得结果．【分析】求得由条件，再根据===tan2==3=tanαα则，∵，∴【解答】解：，﹣D．故选：y=ln 6）的图象大致是（．函数第7页（共19页）C B A．．．D．正弦函数的图象．【考点】x=ffx，可得函数））【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据（（﹣001lnByDx，从而）时，，，再根据当＜的图象关于轴对称，故排除∈（、C，从而得到答案．排除0xy=lnsinx0xxx0．|+≠}，【解答】解：∵函数≠≠，故函数的定义域为，∴{=lnfxy=f=lnx=fx （（﹣再根据）（）（）（）的解析式可得），BDfxy．故函数（轴对称，故排除）为偶函数，故函数的图象关于、1sinx1x00x01，∈（，∴，）时，∵＜当＜＜＜＜Cy=ln0A满足条件，，故排除＜，只有∴函数A．故选：AM=2AM7OABC?））（则+ ．的最小值是为中线上的一个动点，在△中，若，（2A1D1 B2 C．．﹣．．﹣平面向量数量积的运算．【考点】OABCAM上的一个动点，可得中，【分析】由题意画出草图分析，由于在△为中线2==2=2??，利||，则，而（）+≥|||+|?）的最小值．（+用均值不等式即可求得解：由题意画出草图：【解答】ABCBCM，中边由于点为△的中点，∴2= =??|+|）﹣||∴．（页）19页（共8第AMAOMO三点共线，上的一个动点，即、∵为中线、2==2”“，得≥（当且仅当||||+|时取等号）|∴1?，≤||||2=22??，|又|||﹣≥﹣2?．+（则）的最小值为﹣A．故选：658Rfxfx1=fxβα是锐．定义在]上的偶函数（（）满足[（）且在+上是增函数，），﹣，）角三角形的两个内角，则（fDcos fsin CfsinsinfAsinfcos Bffββαβαα．．））＜（．）．（（（）＞）＞）（（coscosfβα）（）＞（奇偶性与单调性的综合．【考点】120fx上单调递减，的周期函数，且在[【分析】根据已知条件能够得到]（，）是周期为100sincosfx1βαβ]，＞，从而根据再根据＞，）在为锐角三角形的两个锐角即可得到（＞[ ffsincosβα．）＜上的单调性即可得出）（（x2=f=fx1fxfx；）（）﹣）（【解答】解：由+（）得，+（x2f为周期的周期函数；（∴）是以65fxR上是增函数；，上的偶函数，且在∵[（]）是5fx6上为减函数；﹣∴，﹣（]）在[ fx01上为减函数；∴，（]）在[βα是锐角三角形的两个锐角；，∵βα；∴+＞0ββα＞∈﹣，∴sinsin1=cossincos0βααββ；），∴且＞∈（），（﹣fsinfcosβα．∴（（））＜C．故选：AB=1SA=AC=2ABCBAC=120SA9SABC°，则该四面体，﹣，∠中，⊥平面，．在四面体）的外接球的表面积为（D C A11Bπ．．．．球内接多面体；球的体积和表面积．【考点】ABCBC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的【分析】，利用正弦定理可得△求出半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．AC=2AB=1BAC=120°，，∠解：∵【解答】，=BC= ，∴第9页（共19页）于三角形为等腰三角形，=R=，则有该三棱锥的外接球的半径22=4S=4R= ππ×（）．∴该三棱锥的外接球的表面积为D．故选：a=0x10f有三个不同的实数根，则（．已知函数，若方程）﹣a）的取值范围是（实数1D0 3C02 A13 B0）．．（（，．（），），，．（）分段函数的解析式求法及其图象的作法．【考点】=axf 有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断【分析】结合方程）（xf）的图象即可获得解答．问题，进而结合函数（fx）的图象如下：（【解答】解：由题意可知：函数xa=0xf 有三个不同的实数解，）﹣由关于（的方程y=fxy=a）有三个不同的交点，与函数可知函数（a01 ．，）由图象易知：实数的取值范围为（D故选11SanS=2S=14S= ）为等比数列{ }的前，则项和，，（．已知数列2016n824n252253100820162 22 22 BD2 C2A2﹣．．．﹣﹣．﹣n 项和．等比数列的前【考点】Sannaq的数量关系，然后}的前项和，由前和项和公式求得{由【分析】为等比数列1nn再来解答问题．第10页（共19页）S=14SSan=2，{项和，}的前，【解答】解：∵数列为等比数列248nn=2①，∴=14②，88 =q3=2q①②，﹣（舍去）由÷或得到：=2，∴q1=2a，﹣（则）1253 =2=S2=．∴﹣2016 B．故选：x﹣PQ12Py=xey=x3e，+．设点，（分别是曲线上的动点，则是自然对数的底数）和直线Q）两点间距离的最小值为（ACD B ．．．．利用导数研究曲线上某点切线方程．【考点】x﹣2PPy=xey=x+的坐标，分析知道，过点进行求导，求出点【分析】对曲线直线与直线PP点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．平行且与曲线相切于点，从而求出x﹣Py=xe3Qy=x，是曲线上的任意一点，和直线上的动点+解：∵点【解答】x﹣3Py=xQy=xe平行的切线与直线两点间的距离的最小值，就是求出曲线，+上与直线求3y=x之间的距离．+x x ﹣﹣xe=1ey=1xx=01y=′′，﹣））（，解得由，令﹣（0y=0x=0P0，，时，点，（）当y=x30PQP0的距离，，，+两点间的距离的最小值，即为点（）到直线==d．∴min C．故选.4520分小题，每小题二、填空题：本大题共分，共3=14k=13ABCD ．（，﹣中，），，则实数．在矩形数量积判断两个平面向量的垂直关系．【考点】=0k ?的值．根据题意，画出图形，利用，列出方程，求出【分析】第11页（共19页）解：如图所示，【解答】3ABCD =1，）中，，﹣在矩形（，123=k11==k，，﹣﹣+））（﹣，﹣∴（3=1k11=0?，（﹣）×（+﹣）×∴k=4．解得4．故答案为：1==fa aa14fxa=3a．（），．已知函数，（）的对应关系如表所示，数列{则}满足201611nnn+3 1 2 xfx1 2 3 ）（数列与函数的综合．【考点】a=aa aa=3a．，求得，分别求得，【分析】由题意可知，，即可，2016214n3 a=3a=fa．【解答】解：，（）11nn+ =1a=fa3=f，）（∴）（12 =31=faa=f，（（））23 aa=f=f3=1，（（））34…=，∴n a=1．∴2016 1．故答案为：15．．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为第12页（共19页）由三视图求面积、体积．【考点】进一步利用几何体的体积公式求出结果．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，解：根据三视图得知：【解答】2的四棱锥，该几何体是以底面边长为的正方形，高为V==所以：故答案为：n16mβα是两条不重合的直线，给出下列四个命题：是两个不重合的平面，．设，，nmnn=mα∩βα①β；若，?，则，∥∥mnmnββαα②βα；?∥，若∥?∥，，，则n=mnnmβα∩β③αβα；?，则⊥，，⊥，若⊥mmnnβ④βαα．，，则⊥∥，∥⊥①③．其中正确的命题序号为命题的真假判断与应用．【考点】①由线面平行的性质定理可知该命题正确；【分析】mn ②是两条相交直线；和由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，③由面面垂直的性质定理可知该命题正确；nβ④内．可能在平面①①正确；【解答】解：对于，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故②，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，对于”“这个条件必不可少．没有这个条件，两平面就不一定平行，也两条相交直线在这个定理中②不正确；可以相交，故③③正确；对于，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故n④④β不正确．，内，故对于可能在平面①③．故答案为：.670.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：本大题共分小题，共BcoscBACabbcosA=2caABC17π），，（，且满足（中，角，，的对边分别为﹣+）．在△1B的大小；）求角（cb=42ABCa的值．+的面积为（）若，△，求余弦定理的应用；正弦定理．【考点】页（共第1319页）B1bcosA=2cacosπ，通过两角和与差的三角函数）（（+﹣【分析】（））利用正弦定理化简cosB，即可得到结果．求出2ac=4，通过由余弦定理求解即可．（）利用三角形的面积求出B2cacos1bcosA=…π，（解：【解答】（））因为）（﹣+ 2sinCsinAcosBsinBcosA=…）所以﹣（﹣2sinCcosB AB=sin﹣+所以）（cosB=…﹣∴B=…∴2ac=4=…．（）由得2222 ac=a=accac=16b…﹣+由余弦定理得+（）+ac=2…+∴6anSS=4aaaa18成等比数列．}的前，且项和为，，，．已知等差数列{+9235n3n 1a的通项公式；}（{）求数列n an2a项和．，求数列（的前）如果{≠}51等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【考点】aaa1dS=4a6建，【分析】成等比数列．（，）根据等差数列的定义，设出公差+，利用且，23935 aad的通项公式；，即可得数列立关系式，求解公差{和}n12Sn项和．）求出等差数列{；数列}（的通项公式；裂项相消法求解前n 6aS=4a1ad，，，首项为）由题意：数列{是等差数列，设公差}解：【解答】（+351n=4a6=5a，+则：153 2d=6a…①+∴1 aaa成等比数列，，又∵9232 8da2dd=aa）∴（++））（（+1112 da=d…②∴1 d=2a=6d=0=2a②①．或由，，可得：，11 a=6aa=2n．{故得数列的通项公式为}或nnn a2a≠（）∵51=2n a∴n2 =n=nanS；++1n= ；}的通项公式：则：数列{第14页（共19页）n项和为：}数列的前{===；n．项和为{}的前故得数列23 aa119fxx=xxR．﹣（﹣+（．已知函数）（））+∈x01af）的极值；＜（（，求函数）若2a2fx0上零点的个数．）当，）在区间[（≤时，判断函数（]利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【考点】1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函【分析】（数的极值即可；2a02上的零点个数即可．（，）根据]的范围，求出函数的单调区间，从而求出在[1xx1f=ax′，）﹣）（【解答】解：（（））﹣（01a，，∴＜∵＜10fxx′，，解得：（）＞＜令＜xfx0x1′，＜，解得：令或＞（）＜f1x1∞∞）递减，，∴）递增，在（（）在（﹣）递减，在（，+，1f=x=f=ffx=a1；，﹣（））（）﹣∴（（））（极大值极小值2a1f0f21=2a1f=0=，﹣），＜（﹣（﹣（），﹣（（））（））0fx11a2递减，（[）在，，]]递增，在≤时，[0f=1f01=fa10202a=，故）＞（）﹣，﹣＜，（（））≤）﹣（（﹣1fx0121个零点，]]，（，∴（[）在上各有，202个零点．，]上[即在cos2x=20cos2x=sin2xcos2x．，（．已知向量，）（），﹣cos4xx 1=?；，﹣）若（∈（，），求+第15页（共19页）22xbb2ABCacb=acx=acb，若关于，且边满足（）设△，且边的三边，所对应的角为，m=m?的值．+的方程有且仅有一个实数根，求三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【考点】I）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到（【分析】，再，结合同角三角函数的关系算出cos4x的大小．进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出II）根据余弦定理与基本不等式算出，即函数（，从而可得=y=．再利用正弦函数的图象研究的定义域为y=y=x对应，有唯一的的单调性，与可得当时，或m的值．由此即可得到满足条件的实数，【解答】解：（Ⅰ）∵∴==，又∵；∴，由于，可得，∴由此可得：== ；2 b=ac，（Ⅱ）∵，∴由余弦定理可得：B是三角形的内角，∵，即∴页（共16第19页）I=，由（）可得，，可得∵由。
河南省洛阳市2020届高三年级第三次统一考试文科数学
洛阳市2019 — 2020学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题〉两部分，第 1卷1至2页，第II 卷2至4 页，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2 .考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1 .设集合 A = {??1 ??+2> 0},集合 B = {??! - 5 W2x+ 1 W3},则集合 A n??=2.已知直线？？？金in??+ 2??- 1 = 0 ,直线？？:？？ ？宽os??+ 3= 0，若？？ !??,贝U tan2??=3 .已知复数？满足|??=1 ,贝U |??1+ v3 ?|?的最小值为 A. 2B. 1C.v3D.法4 .命题?? '???1 0,都有？?? >-??+ 1,则命题？的否定为 A. ???> 0,都有？??< -??+ 1 B. ???< 0,都有？??>-??+ 1 C. ??? > 0, ???< -??0 + 1D. ??? < 0, ???< -??0 + 15 .已知正项等比数列｛??。
的前n 项和为？?，若？?=1 ,??-??=?,则？?= 8 46 .已知？？,?为两条不同直线，??例两个不同平面，则下列结论正确的为 A. ??//?? ??// ??则？？ // ??B. ??? ?? ??? ?? ?? //?? ??// ??则？？〃 ??C. m ±?? ??± ?? ??〃？?W ??± ??D. ??± ?? ??/ ?? ??// ??贝U??L?? 7 .已知？？??是偶函数，且在（0, + 8）上单调递增，则函数 ？？？?可以是9. 已知圆C: (x- a) 2+ ??= 4 (??>2)与直线？？ ??+ 2V 2 - 2 = 0相切，则圆 C 与直A1 3, - 2)B. (- 2,1) CR D.A.-4 B- 3 2 C.5 4D.51 B・8C. 31 1615DqA. ????= ?/-2??B.????=???+??,??C. ??(??= 1 ?? + cos ??D. ????= ??sin??8.已知点。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i ，则z 等于（）A. 2i B. 2i C. 12i D. 12i【答案】 B【解析】【分析】在等式12iz i 两边同时除以i ，可求出复数z .【详解】12iz i Q ，212iz i i ，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合3log 22Ax x ，29B x x ，则A B （）A.,32,U B. 3,11C. 2, D. ,32,3【答案】A【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用并集的定义可得出集合A B . 【详解】3log 220292,11Ax x x x ，29,33,B x x ，因此，,32,A B U U .故选：A.【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知实数x 、y 满足1341yx xy y ，则3x y 的最大值为（）A. 7B. 4C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】设3z x y ，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y ，观察该直线在x 轴上取得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可. 【详解】设3z x y ，作出不等式组1341yx x yy所表示的可行域如下图所示：联立13y xx y ，解得12x y ，得点1,2A ，平移直线3z x y ，当直线3z x y 经过点1,2A 时，直线3zx y 在x 轴上的截距最大，此时3z x y 取得最大值，即max 1327z . 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。
2019--2020学年洛阳市高三期中考试数学(文科)分析及一轮复习备考建议
1．命题立意： 高三这四次统一考试（期中考试、一练、二练、三
练）试题的命制均以高考考纲范围为标准，全面考 查高考内容，认真贯彻“注意基础，突出知识体系 中的重点、难点，培养能力”的命题原则。 期中考试前后，一轮复习的进程基本过半，结合往 届高三一轮复习经验和本届高三教学状况，一轮复 习以基础知识、基本技能、基本方法为主，进行全 面系统的复习，所以这次命题试题着眼于考查现阶 段学生的基础知识及基本技能的掌握情况，也重视 对学生在数学思维能力及解题技能等方面发展状况 的评价，以扎实基本功、侧重通性通法考查、注重 渗透数学核心素养为初衷，命制的题目基本没有偏 题怪题，尽量保护文科学生的学习信心，并激励学 生继续学习的热情。
1.数据统计分析
此次考试除少部分艺体类考生参加集训未参加 之外，共有50097名考生参加，其中理科28477 人，文科21620人，文理科参加人数比大概为 1:1.3。
1.数据统计分析
我们从中着重看几个数据：
（1）总分平均分58.99，难度为0.4，表明此次 文科试卷对学生题具体分析：
第19题是一道多三角形问题，可从不同角度入手，利用 两个三角形的公共因素（公共角、互补角），或者利用 向量方法处理，或者利用平行四边形边角关系更为快捷。 是此次考试比较简答的解答题。
2.各题作答情况以及暴露问题具体分析：
第20题考查圆锥曲线，第1问的得分情况比较理想，有的用待定系数 法列方程组求解出a，b的值，有的根据椭圆定义先求出2a，进而求b。 对于第2问，学生作答主要存在以下几个问题：①计算能力有待进一 步加强，联立方程消元环节处理不好，虽然知道用向量法，但是两 向量数量积带入两根之和、之积后化简式子不到位扣分；②证明 ∠MON为钝角，有的学生想利用直线斜率但没有关于两直线所成角 解析几何方面的知识储备就开始胡编乱造，分析斜率之积的有，分 析斜率之差或斜率之差的绝对值的也有，总是不能很好地判出钝角 的结论，还有极个别程度较好的学生企图用夹角公式或到角公式解 决，也分析不到位，还有的学生打算通过表示出三角形MON的三边， 代入余弦定理判定，也是无果而终；③斜率不存在的情形没有交代， 还有个别学生设的是带横截距的直线方程，并认为其具有普遍性， 不考虑倾斜角为0时的情形；④没有交代M、O、N三点不共线，由数 量积为负直接过渡到判出钝角，这个步骤就涉及到两向量的“数量 积为负”与“夹角为钝角”不等价的问题了，就这一点，在平面向 量模块是强调过的。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得∁U M={2，3，5，6}，则（∁U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解答】解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．【考点】函数的值． 【专题】计算题．【分析】利用f （x ）=1+，f （x ）+f （﹣x ）=2即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）==1+，∴f （﹣x ）=1﹣，∴f （x ）+f （﹣x ）=2；∵f （a ）=，∴f （﹣a ）=2﹣f （a ）=2﹣=．故选C ．【点评】本题考查函数的值，求得f （x ）+f （﹣x ）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC 中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0， E ，F 为BC 边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B ．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sin πx （﹣2≤x ≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可．【解答】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=﹣∴sinα+cosα==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，=×R××R2=，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，求解即可．（II）运用得出数列，等比数列的性质得出b n=na n．a n=n﹣1，再利用错位相减求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n 项和为S n，∴当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，S n=，∵S1，S3，S2成等差数列∴2S3=S1+S2，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，解得：，q=1（舍去）（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵b n=na n．a n=n﹣1∴b n=na n=4n×（）n﹣1∴T n=4[1+2×（﹣）+3×（﹣）2+…+（n﹣1）（﹣）n﹣2+n（﹣）n﹣1]﹣T n=4[1×（﹣）+2×（﹣）2+3×（﹣）3+…+（n﹣1）（﹣）n﹣1+n（﹣）n]错位相减得出T n=4[1+（﹣）+（﹣）2+（﹣）3+n﹣1]nT n=4[﹣n×（）n]，T n=×（1﹣（﹣）n）n（﹣）nT n=（﹣）n n（﹣）n【点评】本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，【分析】根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．2016年3月9日。
【数学】河南省洛阳市2019-2020年高中三年级第一次统一考试文科数学有答案
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【高三】河南省洛阳市届高三上学期期中考试数学(文)试题(WORD版)
【高三】河南省洛阳市届高三上学期期中考试数学（文）试题（WORD版）试卷说明：洛阳市―一学年高三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本题共12个小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复数z满足（z－i）（1－i）＝1＋i，则z＝A．0 B．i C．－i D．2i2．设集合A＝{x｜－3x＋2＞0，x∈R}，集合B为函数y＝lg（3－x）的定义域，则A∩B＝ A．（0，1）∪（2，3） B．（－∞，1）∪（2，3） C．（－∞，1）∪（2，＋∞） D．（3，＋∞）3．下列说法错误的是A．若命题p：∈R，＋x＋1＜0，则：∈R，＋x＋1≥0 B．命题“若－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则－3x＋2≠0” C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“－3x＋2＞0”的充分不必要条件4．要得到函数y＝cos（2x＋）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．若曲线y＝的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0 B．x－4y－3＝0C．x＋4y－3＝0 D．4x＋y－3＝06．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A．π B．π C．π D．π7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x－y＋1的最大值为A．－1 B．0 C．2 D．38．已知sinα－cosα＝，α∈（0，），则sin2α＝ A．－ B． C．－ D．9．右图为一个算法的程序框图，则其输出结果是A．0 B．1C． D．10．设等差数列{}的前n项和为，已知 S2＋S6＝0，a4＝1，则a5＝ A．－2 B．－1 C．0 D．211．抛物线＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，｜AF｜＝3，则｜BF｜＝A． B． C． D．212．定义方程f（x）＝的实数根) 叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝2x，h（x）＝lnx，（x）＝（x≠0）的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞a＞c第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题。
2019-2020年高三上学期期中数学文科试卷及答案
2019-2020年高三上学期期中数学文科试卷及答案、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案的序号填涂在答卷上1 .已知U = 2,3,4,5 , M3,4,5 , N2,4,5，则（）A . B.C .D .2.已知等差数列中，a 7a? 16, a41,则a 12的值是（)A . 15B.30 C . 31 D . 643. 函数f (x) 2x2mx3,当x [2,）时是增函数，则m的取值范围是（A . [ —8, B.[8 , +s) C. (—8,— 8] D. ( — 8, 8]4.下列结论正确的是（)A .当x 0且x 1时,ig1x 2ig xB .C .的最小值为2D .当无最大值A .若,II,则//B .若C .若 //,,贝UD . 若6. 如图，在中，已知，贝U （）A. B.C .D .7. 已知正数x、y满足，则的最大值为（）A . 8 B. 16 C. 32&下列四种说法中，错误的个数是（）①.命题“ x R,均有x23x 2 0 ”的否定是:x R,使得x23x 2 0③.“若”的逆命题为真;④.的子集有3个A .个B. 1个D. 3个9•将函数图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到图象，再将图象沿轴向左平移个单位，得到图象，则图象的解析式可以是10 .函数的零点的个数是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11. ____________________________________________ 当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________________ 。
12. 已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何面积为___________ 。
体的表5.设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）a b ( 1,3), a b ( 1, 1)，则= ____________________ 。
2019年河南省洛阳市高三上学期期中考试数学【文】试题及答案
高考数学精品复习资料2019.520xx-20xx学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=（）A．0 B．1C．2D．32．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．23．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+a7=（）A．1 B．4C．8D．94．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．不能确定，与h有关5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B．0.5 C．2D．106．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（20xx）=（）A．2 B．﹣2 C．8D．﹣88．已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（）A．θ﹣B．+θC．﹣θD．θ9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件10．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7C．18 D．1311．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于_________．14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为_________．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为_________．16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是_________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．19．证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A 1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B 1﹣A1DC的体积===120．解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．21．解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．22．（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=223．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．24．解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。
2020-2021学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=i1−i，则|z|=()A. √2B. 1C. 12D. √222.已知集合M={x|0≤x≤2}，N={x∈N|x2−4x+3≤0}，则M∩N=()A. [1,2]B. (0,2]C. {0,1}D. {1,2}3.下列函数既是偶函数，又在(0,+∞)上为减函数的是()A. y=x12B. y=x−2C. y=x3D. y=x44.与双曲线x216−y29=1有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. 2595.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=7a1，则a5a2=()A. 2B. 3C. 32D. 536.若x，y满足约束条件{3x−y+3≥0x+y−3≤03x−5y−9≤0，则z=2x−2y的最大值为()A. 32B. 16C. 8D. 47.已知四个命题：p1：∃x0∈R，sinx0−cosx0≥√2；p2：∀x∈R，tanx=sinxcosx；p3：∃x0∈R，x02+x0+1≤0；p4：∀x>0，x+1x≥2．以下命题中假命题是()A.p1∨p4B. p2∨p4C. p1∨p3D. p2∨p38.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为()A. 4B. 83C. 5215D. 3041059.函数y=sinx|cosx|在[−π,π]上的图象大致是()A.B.C.D.10.拋物线C：x2=8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与拋物线C交于A，B 两点，点D为拋物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为()A. 16√2B. 12√2C. 8√2D. 6√211.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB=√3，BC=1，PA=AC=2，则球O的表面积为()A. 2πB. 8πC. 32π3D. 64π312.已知函数f(x)=xe x−2−tx−t有两个零点a，b，且在区间(a,b)有且仅有2个正整数，则实数t的取值范围是()A. [23,e2) B. (23,e2) C. [34e,23) D. (34e,23)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果向量a⃗=(k,1)与b⃗ =(6,k+1)方向相同，那么实数k的值为______．14.曲线y=xe x在点(0,0)处的切线方程为．15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=−1f(x)，当x∈[0,3)时，f(x)=x−3x，则f(2020)=______．16.已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−32，下列四个结论：①f(x)的一个对称中心是(π6,−1)；②f(x))在(π12,5π12)上单调递增；③f(x)的图象向右移动π6个单位后，所得图象关于y轴对称；④f(x)=m在[0,π2]上恰有两个不等实根的充要条件为−32≤m<−1．其中所有正确结论的编号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π4，cosA+cos2A=0．(1)求角C；(2)若b2+c2=a+bc+2，求△ABC的面积．18.已知数列{a n}是递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，且S1+1，S2，S3+1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=1a n+1(a n−2)(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，在底面是正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于E，F为PA上一动点．(1)求证：BD⊥EF；(2)若F为PA的中点，PA=AB=4，求点P到平面EFD的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左，右焦点分別是F1，F2，过F1的直线AB与椭圆相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=x+t与椭圆相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求t的取值范围．21. 已知函数f(x)=ln 1x −ax 2+x(a >0)．(I)讨论f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)+f(x 2)>3−2ln2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0,1)，曲线C 1的参数方程为{x =2+2costy =2sint(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ>0)． (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积．23.已知函数f(x)=|x−12|+|x+12|，M为不等式f(x)<2的解集．(Ⅰ)求M；(Ⅱ)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由于复数z=i1−i ，则|z|=|i1−i|=|i||1−i|=√2=√22．故选D．根据复数的模的定义，利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，运算求得结果．本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模．2.【答案】D【解析】解：∵集合M={x|0≤x≤2}，N={x∈N|x2−4x+3≤0}={x∈N|1≤x≤3}={1,2，3}，∴M∩N={1,2}．故选：D．由集合M={x|0≤x≤2}，求出集合N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x12=√x，函数的定义域为[0,+∞)，不是偶函数，不符合题意，对于B，y=x−2，是幂函数，既是偶函数，又在(0,+∞)上为减函数，符合题意，对于C，y=x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意，对于D，y=x4，是幂函数，是偶函数，在区间(0,+∞)上为增函数，不符合题意，故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及区间(0,+∞)上的单调性，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：与双曲线x 216−y 29=1有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线为：y 29−x 216=1， 可得e =ca =√9+163=53．故选：B ．写出双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S 4=4a 1+4×32⋅d =7a 1，化简整理，得a 1=2d ，则a5a 2=a 1+4d a 1+d=2d+4d 2d+d=2，故选：A ．本题先设等差数列{a n }的公差为d ，然后根据等差数列的求和公式代入S 4=7a 1，通过计算可得a 1=2d ，再代入a 5a 2进一步计算可得结果．本题主要考查等差数列的基本计算，考查了转化思想，定义法，以及数学运算能力．本题属基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设m =x −2y ，则由m =x −2y 得y =x 2−m2，平移直线y =x2−m2，由图象可知当直线经过可行域的最下面的点A 时，z 取到最大值， 联立方程{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得{x =−2y =−3，即点A(−2,−3)，所以m 的最大值为−2−2×(−3)=−2+6=4， 所以z =2x−2y =24=16， 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，因为y 的系数小于0，所以当直线m =x −2y 过可行域的最下方的点时m 取到最大值，从而求出z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：已知四个命题：p 1：∃x 0∈R ，sinx 0−cosx 0=√2sin(x 0−π4)，当x 0=3π4时，sinx 0−cosx 0=√2，故正确；p 2：∀x ∈R ，tanx =sinxcosx ；必须满足x ≠kπ+π2(k ∈Z)，故错误；p 3：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1=(x 0+12)2+34>0，故错误； p 4：∀x >0，x +1x ≥2√x ⋅1x=2.故正确．故选：D．直接利用三角函数的关系式的变换判断p1的结论，利用函数的定义域判断p2的结论，利用二次函数的配方法判定p3的结论，利用基本不等式的应用判定p4的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，配方法，基本不等式，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：第一次，s=4，k=1，k≥3否，第二次，s=4−43=83，k=2，k≥3否，第三次，s=83+45=5215，k=3，k≥3是，程序终止，输出s=5215，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】C【解析】解：由题知，定义域关于原点对称，∵y=f(x)=sinx|cosx|，∴f(−x)=sin(−x)|cos(−x)|=−sinx|cosx|=−f(x)，∴函数y=f(x)为奇函数，排除选项A和D；当x∈(0,π2)时，sinx>0，cosx>0，∴f(x)>0，排除选项B．故选：C．先根据函数奇偶性的概念可判断y=f(x)为奇函数，排除选项A和D；再对比选项B和C，只需要考虑x∈(0,π2)时，f(x)的正负性即可．本题考查三角函数的图象与性质，还涉及诱导公式和函数奇偶性的概念，对于函数图象的识别，一般可从函数的奇偶性、单调性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：拋物线C ：x 2=8y 的焦点为F(0,2)， 过F 且倾斜角为π4的直线l 的方程为y =x +2， 联立{y =x +2x 2=8y ，可得x 2−8x −16=0，解得x 1=4−4√2，x 2=4+4√2， 则|AB|=√2|x 1−x 2|=√2×8√2=16， 设D(m,m 28)，(4−4√2<m <4+4√2)，由D 到直线l 的距离d =|m+2−m 28|√2=|−(m−4)2+32|8√2，当m =4时，d 取得最大值328√2=2√2，所以△DAB 的面积的最大值为12×2√2×16=16√2， 故选：A ．求得抛物线的焦点坐标，可得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，求得D 到直线l 的距离的最大值，结合三角形的面积公式，可得所求最大值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图所示：由题意可知，PA⊥平面ABC，PA=AC=2，BC=1，AB=√3，∵AB2+BC2=AC2，由勾股定理得∠ABC=90°，取AC中点为G，即为△ABC的外心，作OG//PA交PA中垂线HO于O点，O点即为外接球球心，所以R2=(12AC)2+(12PA)2=2，则球O的表面积4πR2=8π．故选：B．过△ABC外心G作平面ABC的垂线，交PC于O，则O到P，A，B，C四点距离相等，即O为外接球的球心，进而求出球O的的半径，从而求出球O的表面积．本题考查多面体的外接球问题，考查球的表面积公式，确定外接球的球心位置是解题的关键，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意知函数f(x)=xe x−2−tx−t有两个零点a，b，等价于函数g(x)=xe x−2与函数ℎ(x)=t(x+1)的图象有两个不同的交点，又g′(x)=1−xe x−2，令g′(x)>0，可得x<1；令g′(x)<0，可得x>1，∴x=1是函数g(x)=xe x−2的极大值点，也是最大值点，且g(1)=e，由ℎ(x)=t(x+1)可知：ℎ(x)的图象为过定点(−1,0)的一条直线，如右图所示：若满足函数g(x)=xe x−2与函数ℎ(x)=t(x+1)的图象有两个不同的交点，且在区间(a,b)有且仅有2个正整数，∴{t>0g(1)>ℎ(1)g(2)>ℎ(2)g(3)≤ℎ(3)，解得：34e≤t<23，故选：C．(1)先由题设⇒函数g(x)=xe x−2与函数ℎ(x)=t(x+1)的图象有两个不同的交点，然后画出它们的图象，再根据在区间(a,b)有且仅有2个正整数，列出不等式，求出t的取值范围即可．本题主要考查借助于导数、函数图象研究函数的零点问题，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(k,1)与b⃗ =(6,k+1)共线且方向相同，∴(k,1)=λ(6,k+1)，λ>0，∴k=6λ，且1=(k+1)λ，解得k=2，或k=−3(不合题意，舍去)，故答案为：2．由题意可得(k,1)=λ(6,k+1)，λ<0，由此解得k值．本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到(k,1)=λ(6,k+1)，λ<0，是解题的关键．14.【答案】y=x【解析】【分析】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=e x+xe x，因此曲线y=xe x在x=0处的切线的斜率等于1，所以函数y=xe x在点(0,0)处的切线方程为y=x，故答案为：y=x．15.【答案】12【解析】【分析】本题考查函数的求值，注意分析函数的周期，属于基础题．根据题意，有f(x+6)=−1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，则有f(2020)=f(−2+337×6)=f(−2)=−1f(1)，由函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=−1f(x)，则有f(x+6)=−1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，则f(2020)=f(−2+337×6)=f(−2)=−1f(1)，当x∈[0,3)时，f(x)=x−3x，则f(1)=1−3=−2，则f(2020)=−1f(1)=12，故答案为：1216.【答案】③④【解析】解：函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−32=√32sin2x−1+cos2x2−32=sin(2x−π6)−2，①当2x−π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2+π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心是(kπ2+π12,−2)故错误．②令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得−π6+kπ≤x≤kπ+π3(k∈Z)，当k=0时，x∈[−π6,π3]，所以f(x))在(π12,5π12)上有增有减，故错误．③f(x)的图象向右移动π6个单位后，得到g(x)=sin[2(x−π6)−π6]−2=−cos2x−2，所得图象关于y轴对称；故正确．④f(x)=sin(2x−π6)−2，由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，sin(2x−π6)−2∈[−52,−1]，且f(x)在[0,π3]递增，[π3,π2]递减，且f(π2)=−32，则函数f(x)的图象和y=m在[0,π2]上恰有两个不等实根的充要条件为−32≤m<−1.故正确．故答案为：③④．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的对称中心，对称轴，单调性和函数的值域求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为cosA+cos2A=0，所以2cos2A+cosA−1=0，解得：cosA=12，cosA=−1，因为0<A<π，所以A=π3，又B=π4，所以C=5π12；(2)在△ABC中，因为A=π3，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc 又b2+c2=a+bc+2，所以a+2=a2，所以a=2，又因为，由正弦定理csinC =asinA得：c=3√2+√63，所以S△ABC=12acsinB=1+√33．【解析】本题考查两角和的正弦公式、二倍角公式，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，是中档题．(1)由二倍角公式可得2cos2A+cosA−1=0，解得求出A，再根据三角形的内角和求出C，(2)根据余弦定理求出a，再根据正弦定理求出c，根据三角形的面积公式计算即可．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵数列{a n}是递增的等差数列，∴d>0，∵S1+1，S2，S3+1成等比数列，a1=3，∴(6+d)2=4(10+3d)，解得：d=2，∴a n=2n+1；(2)∵b n=1a n+1(a n−2)=1(2n+3)(2n−1)=14(12n−1−12n+3)，∴T n=14(11−15+13−17+15−19+⋯+12n−3−12n+1+12n−1+12n+3)=14(1+13−12n+1−12n+3)=4n2+5n3(2n+1)(2n+3)．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d，即可求得a n；(2)先利用题设求得b n，再利用裂项相消法求得其前n项和．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵EF⊂平面PAC，∴BD⊥EF．(2)设点P到平面EFD的距离为h，又由(1)知DE⊥平面PAE．∵S△PEF=12S△PAE=12×12×8√2=2√2，S△EFD=12×2√2×2√3=2√6，V P−EFD=V D−PEF，∴13×2√6×ℎ=13×2√2×2√2，∴ℎ=2√63，即点P到平面EFD的距离为2√63．【解析】(1)根据PA⊥BD，AC⊥BD得出BD⊥平面PAC，进而证明BD⊥EF；(2)结合V P−EFD=V D−PEF，再利用等体积法求点P到平面EFD的距离．本题考查线线与线面位置关系证明，考查等体积法求点到面的距离，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．20.【答案】解：(1)有椭圆的定义知4a =8，∴a =2．∵ca =12，∴c =1， 从而b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =x +t 3x 2+4y 2−12=0， 消去y 得：7x 2+8tx +4t 2−12=0， 由韦达定理得：x 1+x 2=−8t 7,x 1x 2=4t 2−127，由△=64t 2−28(4t 2−12)>0，解得t 2<7，① ∵坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即x 1x 2+y 1y 2>0， 则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+t)(x 2+t)=2x 1x 2+t(x 1+x 2)+t 2=7t 2−247>0，解得t 2>247，②综合①②可得247<t 2<7，解得−√7<t <−2√427或2√427<t <√7，∴t 的取值范围是(−√7,−2√427)∪(2√427,√7)．【解析】(1)根据椭圆的定义可得4a =8，再结合离心率即可求出a ，b ，c ，进而求椭圆C 的方程；(2)直线与椭圆联立，判别式大于0得到关于t 的一个不等式，再把坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外转化为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即x 1x 2+y 1y 2>0，从而再得到关于t 的一个不等式，解不等式组即可求t 的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查点在圆外的等价转化，考查设而不求法的应用，考查学生的转化能力和与运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)函数f(x)的定义域为(0,−∞)，f ′(x )=−1x −2ax +1=−2ax 2+x −1xa >0，设g(x)=−2ax 2+x −1，Δ=1−8a ，(1)当a ≥18，Δ≤0，g(x)≤0，∴f ′(x )≤0，函数f(x)在(0,+∞)上递减， (2)当0<a <18时，Δ>0，f ′(x )=0可得x 1=1−√1−8a4a，x 2=1+√1−8a4a，若f ′(x )>0可得x 1<x <x 2，f(x)为增函数，若f ′(x )<0，可得0<x <x 1或x >x 2，f(x)为减函数， ∴函数f(x)的减区间为(0,x 1)，(x 2,+∞)；增区间为(x 1,x 2)； (II)由(I)当0<a <18，函数f(x)有两个极值点x 1，x 2， ∴x 1+x 2=12a，x 1x 2=12a ， f(x 1)+f(x 2)=−lnx 1−ax 12+x 1−lnx 2−ax 22+x 2 =−ln(x 1x 2)−a(x 12+x 22)+(x 1+x 2) =−ln(x 1x 2)−a(x 1+x 2)2+2ax 1x 2+(x 1+x 2) =−ln12a −a ×14a 2+2a ×12a=ln(2a)+14a+1 =lna +14a+ln2+1 设ℎ(a)=lna +14a +ln2+1， ℎ′(a )=1a −14a 2=4a−14a 2<0(0<a <18)，所以ℎ(a)在(0,18)上递减， ℎ(a)>ℎ(18)=ln 18+14×18+ln2+1=3−2ln2，所以f(x 1)+f(x 2)>3−2ln2；【解析】(I)先求出f(x)的定义域，对f(x)进行求导，求出f(x)的导数，令f ′(x )=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；(II)根据第一问知道函数的单调性，可得方程f ′(x )=0的两个根为x 1，x 2，代入f(x 1)+f(x 2)，对其进行化简，可以求证f(x 1)+f(x 2)的最小值大于3−2ln2即可；本题主要考查利用导数研究函数的最值问题及其应用，第二问是一道证明题难度比较大，考查了学生的计算能力，是一道中档题；22.【答案】(1)由{x =2+2costy =2sint(t 为参数)，消去参数t 得，(x −2)2+y 2=4，即C 1的普通方程为x 2+y 2−4x =0． ∵x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴C 1的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ，即ρ=4cosθ； (2)设点P ，Q 的极坐标分别为P(ρ1,π6)，Q(ρ2,π6)，将θ=π6分别代入ρ=4cosθ与ρ=2sinθ，得ρ1=2√3，ρ2=1． ∴|PQ|=|ρ1−ρ2|=2√3−1．点A(0,1)到曲线θ=π6(ρ>0)的距离d =|OA|sin π3=√32．∴S △APQ =12|PQ|⋅d =12⋅(2√3−1)⋅√32=32−√34．【解析】(1)把线C 1的参数方程中的参数消去，可得普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得C 1的极坐标方程；(2)把θ=π6分别代入ρ=4cosθ与ρ=2sinθ，求得P ，Q 的极径，得到|PQ|，再求出A 到曲线θ=π6(ρ>0)的距离，代入三角形面积公式得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)当x <−12时，不等式f(x)<2可化为：12−x −x −12<2，解得：x >−1， ∴−1<x <−12，当−12≤x ≤12时，不等式f(x)<2可化为：12−x +x +12=1<2， 此时不等式恒成立， ∴−12≤x ≤12，当x >12时，不等式f(x)<2可化为：−12+x +x +12<2， 解得：x <1， ∴12<x <1，综上可得：M =(−1,1)； 证明：(2)当a ，b ∈M 时，(a 2−1)(b 2−1)>0， 即a 2b 2+1>a 2+b 2，即a 2b 2+1+2ab >a 2+b 2+2ab ， 即(ab +1)2>(a +b)2， 即|a +b|<|1+ab|．【解析】(1)分当x <−12时，当−12≤x ≤12时，当x >12时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；(2)当a ，b ∈M 时，(a 2−1)(b 2−1)>0，即a 2b 2+1>a 2+b 2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。