华师大版九年级数学下册教案：27.4 正多边形和圆
华东师大版九年级下册 数学 教案 27.4 正多边形与圆1
27.4 正多边形和圆一、教材分析本节内容是华东师大版九年级下册第二十七章第四节《正多边形和圆》的第一课的内容时，学习本节课之前学生已经掌握了圆的性质和与圆有关的三种位置关系。
这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用，本课时内容也是将圆及正多边形知识的总结和深化。
本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。
利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。
二、学情分析数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
九年级学生正处于思维能力培养和形成正确的人生观、世界观的重要时期，他们感受新事物的能力很强，思维活跃，想象力丰富，富于创造力，不时闪现的思维火花常常让我们感到惊喜，他们喜欢动手，希望得到更多从事数学活动的机会，有较强的表现欲和追求成功的欲望，在取得进步或获得成功时希望得到肯定的评价。
但受年龄等因素的影响，注意力不持久，对枯燥的数学问题缺乏兴趣，缺乏追求成功的韧性，这需要教师创设生动的问题情境，激起学生的探究欲望，在遇到困难时，引导学生团结协作，充分发挥集体智慧。
辅之以现代教学手段的音、画效果，激发学习积极性。
及时发现学生在学习中的不同进步，正确评价，充分发挥评价的激励性，帮助他们建立自信，提高学习的兴趣。
三、教学目标1.知识与技能（1）了解正多边形和圆的有关概念，了解正多边形和圆的关系（2）理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算。
2.过程与方法结合生活中正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题。
3．情感、态度与价值观通过观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体现了事物之间相互联系、相互作用的关系。
四、教学重点、难点1．重点：探索正多边形和圆的关系，弄清正多边形的半径、中心角、边心距和边长之间的关系2．难点：对正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的理解．五、教学策略与手段：采用探究式和讨论式教学，遵循因材施教，循序渐近的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
新华师大版九年级下册初中数学 27-4 正多边形和圆 教案
第二十七章圆27.4 正多边形和圆1、通过画图操作，了解正多边形可以通过切割圆得到；2、理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.1、什么是正多边形？怎样判定一个多边形是正多边形？2、正多边形有哪些性质？一、学习做一做（1）一个正n边形共有n条对称轴，它们交于一点，记作O。
（2）点O到正多边形各个顶点的距离相等，记作R，那么以O为圆心、R 为半径的圆就过正多边形各个顶点，它是该正五边形的外接圆。
（3）点O到各边的距离都相等，记为r，那么以点O为圆心、r为半径的圆就与正多边形的各条边相切，它是正多边形的内切圆。
二、学习正多边形的外接圆和内切圆1、任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。
2、正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
3、正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角。
三、在圆上切割正多边形1、如图，在⊙O中，，那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间有什么关系？2、小组活动。
（4人一组）在圆上切割一个正多边形。
3、班级展示。
4、老师总结。
把圆分成n (n＞2)等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的一个内接正n边形。
例利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。
解：内接正方形的作法：（1）用直尺任作圆的一条直径AC；（2）作与直径AC垂直的直径BD；（3）顺次连结所得到的圆上四点，则四边形ABCD即为所求作的正方形。
内接正六边形的作法：（1）用直尺任作圆的一条直径AD；（2）以点A为圆心，OD为半径作圆，与⊙O交于点B、F；（3）以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C、E；（4）顺次连结所得到的圆上的六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形。
本节课应掌握：正多边形的外接圆和内切圆.课本习题27.4第1、2、3题.。
华东师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 教案
课题：正多边形和圆2011新课标：“图形与几何”中由原来“了解正多边形与圆的有关概念”增加为“了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系”．教学目标知识与技能：1. 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并能应用它们进行有关的计算.3. 会应用正多边形和圆的有关关系画正多边形.过程与方法：结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体现了事物之间相互联系、相互作用的关系.教学重点、难点重点探索正多边形和圆的关系，弄清正多边形的半径、边心距、中心角和边长之间的关系.难点通过例题使学生理解四者：正多边形的半径、边心距、中心角和边长之间的关系. 教学设计：一、情境导入这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的利用正多边形得到的物体. 你能从这些图案中找出正多边形来吗？（多媒体显示图片，提出问题，关注学生能否发现正多边形与圆的关系）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆作出一个正多边形吗？引出课题——正多边形和圆（板书课题）设计意图：结合图案，欣赏生活中的正多边形，感受数学来源于生活，并从中感受数学的美．二、合作探究（一）正多边形的对称性1. 正多边形是轴对称图形吗？2. 正n边形共有几条对称轴，各是什么？3. 通过作图，你发现了什么？（学生画出教材图27.4.1中个正多边形的对称轴）设计意图：明确正多边形的对称性及对称轴，铺垫正多边形与圆的关系．（二）正多边形与圆的关系1. 通过画对称轴，你发现对称轴有什么特点？2. 正多边形的对称轴的交点到正多边形各边的距离相等吗？（学生观察、讨论、得出结论）（二）正多边形的有关概念1. 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心.2. 正多边形的半径：外接圆的半径3. 正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角.4. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.思考：正多边形的边长、半径、边心距、中心角之间有什么关系？（投影正多边形，根据图形给出有关概念，在学生讨论、交流的基础上，得出结论）三、巩固应用1. 例1：有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积.（引导学生分析，明确题目要求，并画出图形，找到边心距、半径、边长的一半所在的直角三角形）设计意图：明确正多边形计算中的直角三角形，体现化归思想．练习：教材第67页练习.2.画正多边形生活中经常遇到正多边形，怎样画正多边形呢？例2：（教材66页例题）利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和正六边形.（引导学生怎样在图中作出正多边形，得出结论：把圆n等分，依次连接各分点所得的多边形是圆的一个内接正n边形）思考：（1）你能根据上面的作图作出正八边形和正三角形吗？（2）你还能用尺规作图作出哪些正多边形？（3）正六边形还有什么作法？设计意图：培养学生的作图能力．拓展：你能用尺规作出正七边形吗？你能用什么办法画七边形？（明确一般正多边形的画法：量角器）《正多边形与圆》的数学文化我国国旗上的五角星以及正六边形、正三角形等许多图形．早在古代，就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了，可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形，许多先人的尝试都以失败告终，这种局面持续了2000多年．到1796年，年仅19岁的数学家高斯解决并证明了这个问题，成为轰动数学界的伟大成就．正五边形的近似画法我国民间相传的正五边形的近似画法口诀是“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图所示．“九五顶五九”是正五边形的一条高，“八五两边分”是正五边形的一条对角线和一个底边，这三条线垂直相交，刚好是一个“士”字，把五个点连起来，刚好是一个正五边形．请你用民间相传的口诀，画一个边长为10cm的正五边形．四、课堂小结1. 本节课你收获了什么？2. 回顾本节课的知识点？你还有什么困惑？3. 作业：教材67页习题27.4.设计意图：巩固所学知识，加深认识，深化提高．。
华师大版数学九年级下册《27.4 正多边形与圆》教学设计
华师大版数学九年级下册《27.4 正多边形与圆》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《27.4 正多边形与圆》这一节主要介绍了正多边形与圆的关系。
通过本节课的学习，让学生理解并掌握正多边形的定义及其与圆的关系，能够运用这一知识点解决相关问题。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正多边形与圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形的基本概念和性质，对圆的性质也有了一定的了解。
但部分学生在理解正多边形与圆的关系方面可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生制定合适的学习目标，引导他们通过观察、思考、操作等活动，深入理解正多边形与圆的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解正多边形的定义，掌握正多边形与圆的关系，能够运用这一知识点解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、操作等活动，培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义及其与圆的关系。
2.难点：正多边形与圆在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，引导学生观察、思考正多边形与圆的关系。
2.动手操作法：让学生亲自动手绘制正多边形，观察其与圆的关系，培养学生的动手操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生探究、讨论，从而深入理解正多边形与圆的关系。
六. 教学准备1.课件：制作包含丰富图片和实例的课件，便于引导学生观察和思考。
2.学具：为每个学生准备一套绘图工具，以便他们在课堂上进行动手操作。
3.练习题：准备一些有关正多边形与圆的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的正多边形和圆的图片，如足球、车轮等，引导学生观察并思考：这些图形之间有什么共同特点？2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义，引导学生通过观察、思考，发现正多边形与圆的关系。
华师大版数学九年级下册27.4《正多边形和圆》教学设计
华师大版数学九年级下册27.4《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》这一节内容，主要让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。
教材通过引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已有了一定的几何知识基础，如对图形的认识，对多边形的性质等。
但学生对正多边形和圆的概念可能还比较陌生，因此，教师在教学中应注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义，正多边形的性质，圆的定义和性质。
2.难点：正多边形和圆的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识正多边形和圆。
2.自主探究法：引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，解决问题，培养学生的问题解决能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、正多边形和圆的模型。
2.学具：学生用书、练习本、彩笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的正多边形和圆的实例，如足球、篮球、硬币等，引导学生认识正多边形和圆，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现正多边形和圆的定义和性质，引导学生初步理解正多边形和圆的概念。
3.操练（10分钟）教师引导学生观察正多边形和圆的模型，让学生通过自主探究，发现正多边形和圆的性质。
4.巩固（10分钟）教师通过实例，让学生应用正多边形和圆的性质解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系。
华东师大版九年级数学下册教案：27.4 正多边形和圆
27．4正多边形和圆知识与技能1．了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长、边心距、中心、中心角等概念．2．会应用正多边形的有关知识解决圆的有关计算问题．3．会应用正多边形和圆的有关知识画多边形．过程与方法结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题．情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体现了事物之间是相互联系、相互作用的．重点探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．难点探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、创设情境，导入新课观察上图中美丽的图案，思考下面的问题：(1)这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能从中找出正多边形吗？(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作一个正多边形？多媒体出示正多边形的图片，让学生仔细观察回答问题．教师重点关注：在问题(1)中，学生能否找出正多边形；(2)能否发现正多边形和圆的关系．学生观察、分析、讨论、交流、发表各自见解．二、合作交流，探究新知1．探索发现：探索：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论．如果六、七……等分呢？如果将圆n等分呢？结论：将一个圆分成n 等份，依次连接各分点得到一个正n 边形．教师演示等分圆的过程，引导学生发现结论．教师提出问题，教师根据回答补充总结．学生探索分析、总结结论．(学生讨论解决)2．验证结论：我们以圆内接正六边形为例证明，如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．3．正多边形的有关概念：(1)中心、半径、中心角、边心距；(2)中心、半径、中心角、边心距之间的关系．4．正多边形的性质：①正多边形的一个内角等于（n －2）·180°n； ②中心角：360°n； ③正多边形的中心角等于外角的度数．教师：引导、点拨、点评：从正多边形的定义入手．教师提出正多边形的有关概念，结合图形让学生认识，教师让学生探究(2)，学生讨论完成(2)．学生推理验证．学生结合图形理解记忆．5．应用：(1)例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．如下图，解决问题．(2)画正多边形生活中经常遇到正多边形，怎么画正多边形呢？以正六边形为例．教师引导、点拨、分析：要计算地基的周长和面积，只要求正多边形的边长和边心距．因此，只要在正多边形的边、表示边心距的线段、半径构成的三角形中解决即可．教师让学生独立解决，教师给出正确的答案．教师引导学生画图找思路：(1)要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分，顺次连接各点即可；(2)正六边形的边长和圆的半径相等，于是在圆上顺次截等于半径的弦即可；(3)正三、正十二边形的画法．学生先自主、再合作，完成证明过程，养成良好的分析问题，解决问题的能力和习惯． 学生画图，交流画法，思考正三、正十二边形的画法．三、运用新知，深化理解例1 已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为____度．【分析】每个内角为108°，则每个外角为72°.根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心角为360°÷5＝72°.故填72.方法总结：本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．例2 已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S.解：连接OA 、OB ，过O 作OH⊥AB，则∠AOH＝180°6＝30°，∴AH ＝12R ，∴a ＝2AH ＝R.由勾股定理可得OH 2＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2，∴OH ＝32R ，∴S ＝12·a ·OH ×6＝12·R ·32R ·6＝3 32R 2. 【教学说明】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．四、课堂练习，巩固提高1．教材P 67练习．2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知学习这节课你有哪些收获？点评方法：在解决有关正多边形和圆的计算问题时，通常是正多边形的边、表示边心距的线段、半径构成直角三角形，运用垂径定理和勾股定理解决．六、布置作业1．学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”．2．教材P 67习题27.4第1～3题．。
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.4 正多边形与圆》教案_8
27.4 正多边形和圆教学目标【知识与技能】1.掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念.2.正多边形的画法.【过程与方法】通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和推理能力.【情感态度】在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识.【教学重点】圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念.【教学难点】圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念.教学过程一、情境导入,初步认识正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3解析：设正三角形的边长为a，所以它们之比为3∶2∶1.答案：A【教学说明】复习旧知识，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1.如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图.因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等,记为r.那么以点O为圆心,r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆.由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.【教学说明】学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念.2.怎样画特殊的正多边形？【归纳结论】利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆.从而作出相应的正多边形.三、运用新知，深化理解1.下列命题不正确的有_____（填所有正确答案的序号）.①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心③正方形外接圆的半径等于其边长④正五边形的中心角等于72°答案：①③2.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为.A.6，B. 3C.6，3D.答案：B3.已知⊙O上的一点A.(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12=30°.解：(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.(2)证明：连结OE、DE.∵∠AOD=3604︒=90°，∠AOE=3606︒=60°.∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.【教学说明】教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成.四、师生互动、课堂小结谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活.课后作业1.布置作业:教材“习题27.4”中第1 、2、3 题.2.完成同步练习册中本课时的练习.教学反思本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则“引导——探究——发现”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注.。
2023九年级数学下册第27章圆27.4正多边形和圆教案(新版)华东师大版
为了促进学生参与和互动，我将设计以下教学活动：
（1）导入环节：通过展示生活中的正多边形和圆的实例，如蜂巢、足球场等，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。
（2）新课讲解：在讲授正多边形和圆的定义、性质和计算方法时，适时提问，鼓励学生积极参与，巩固所学知识。
（3）实践操作：让学生利用图形软件或实物模型，自主探索正多边形的性质，如中心角、外接圆等，加深对知识的理解。
2.正多边形和圆基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解正多边形和圆的基本概念、组成部分和原理。
过程：
讲解正多边形和圆的定义，包括其主要组成元素或结构。
详细介绍正多边形和圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。
3.正多边形和圆案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解正多边形和圆的特性和重要性。
2023九年级数学下册第27章圆27.4正多边形和圆教案（新版）华东师大版
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
课程基本信息
1.课程名称：九年级数学下册第27章《圆》27.4节《正多边形和圆》
2.教学年级和班级：九年级一班
3.授课时间：2023年4月10日
4.教学时数：1课时（45分钟）
核心素养目标分析
（2）视频：播放与正多边形和圆相关的实例视频，如蜂巢、足球场等，帮助学生直观地感受正多边形和圆在现实生活中的应用。
（3）在线工具：引导学生利用在线图形工具，如Desmos、GeoGebra等，进行正多边形的性质探索和实际问题解决。
（4）实物模型：准备正多边形的实物模型，让学生直观地观察和操作，加深对正多边形性质的理解。
②正多边形的外接圆：正多边形的外接圆的直径等于正多边形的边长，圆心是正多边形的中心。
2023九年级数学下册第27章圆27.4正多边形和圆教案新版华东师大版
27．4 正多边形和圆【知识与技能】1.掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．2.正多边形的画法．【过程与方法】通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和推理能力．【情感态度】在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识．【教学重点】圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．【教学难点】圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．一、情境导入，初步认识正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A．3∶2∶1B．4∶3∶2C．4∶2∶1 D．6∶4∶3解析：设正三角形的边长为a，则高32a，外接圆半径33a，边心距36a，所以它们之比为3∶2∶1.答案：A【教学说明】复习旧知识，为本节课的学习作准备．二、思考探究，获取新知1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．【教学说明】学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念．2．怎样画特殊的正多边形？【归纳结论】利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆．从而作出相应的正多边形．三、运用新知，深化理解1．下列命题不正确的有____(填所有正确答案的序号)．①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心③正方形外接圆的半径等于其边长④正五边形的中心角等于72°答案：①③2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为________．A．6，3 2 B．32，3C．6，3 D．62，3 2答案： B3．已知⊙O上的一点A.(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分．要证明DE是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.解：(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形．(2)证明：连结OE 、DE. ∵∠AOD＝360°4＝90°，∠AOE＝360°6＝60°. ∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边．【教学说明】 教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成．四、师生互动、课堂小结谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活．1.布置作业：教材“习题27.4”中第1 、2、3 题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．。
华东师大版九年级数学下册教案：27.4 正多边形和圆
学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
【应用新知】
活动一：教师演示课件，根据正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念进行相关计算．
教师提出问题：
(1)正多边形的中心角怎么计算？
(2)边长a，半径R，边心距r有什么关系？
师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答．
教师总结：正六边形中由两条半径和边组成的三角形为等边三角形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积再乘6即可．
变式训练
如图27－4－8，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是(A)
②正六边形的中心角为60°，说明两条半径和一边构成等边三角形．
1.将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法．
2．教学中，使学生明确圆内接正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性．
3．通过学生探索、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形.
(1)你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？
(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边形呢？
师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解．
教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系．
创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生探索的热情，调动学生学习的积极性.
如图27－4－5，∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA.
∵ ＝ ＝3 ，∴∠C＝∠D.
华师版九年级数学下册教案：第27章 圆4 正多边形和圆
27．4正多边形和圆教学目标一、基本目标1．经历正多边形的形成过程,了解正多边形的有关概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形．3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并解决正多边形与圆有关的计算问题．二、重难点目标【教学重点】正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念,用量角器等分圆．【教学难点】正多边形与圆的有关计算．教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P65～P67的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．各条边相等,各个角也相等的多边形是正多边形．2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心,称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距；正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角．3．把圆分成n(n>2)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.4．如果正多边形的一个外角等于60°,那么它的边数为6.5．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2,则这个正多边形的边数为4.6．已知正六边形的外接圆半径为3 cm,那么它的周长为18 cm.7．你能用尺规作出正六边形吗？解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧,依次连结各等分点,则可作出正六边形．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC＝4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距．【互动探索】(引发学生思考)连结OD ,结合已知条件可得∠COD ＝60°,结合OC ＝OD 可得△COD 为等边三角形,从而可得CD ＝O C.在Rt △COG 中,由勾股定理即可求得边心距OG .【解答】连结O D.∵六边形ABCDEF 为正六边形．∴∠COD ＝360°6＝60°. ∵OC ＝OD ,∴△COD 为等边三角形,∴CD ＝OC ＝4.在Rt △COG 中,∵OC ＝4,GC ＝12BC ＝12×4＝2. ∴OG ＝OC 2－CG 2＝42－22＝23,∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°,边长为4,边心距为2 3.【互动总结】(学生总结,老师点评)在解决正多边形与圆的问题中,常通过作辅助线构造直角三角形求解．【例2】已知⊙O 的半径为2 cm,画圆的内接正三角形．【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分,所以它的中心角为120°,可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形,那么用尺规可以作出正三角形吗？【解答】(方法一)如图1,任取一点A ,连结OA ,用量角器或30°角的三角板度量,使∠BAO ＝∠CAO ＝30°,点B 、C 在圆周上,连结A 、B 、C 三点,即得△AB C.图1 图2 (方法二)如图2,用量角器度量,使∠AOB ＝∠AOC ＝120°,连结A 、B 、C 三点,即得△AB C. (方法三)如图3,用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦,任意顺次连结不相邻的三个点,如点A 、C 、E ,则△ACE 即为所求的三角形．图3 图4(方法四)在圆上任取一条直径AD,以D为圆心,2 cm为半径画弧,交⊙O于B、C两点,连结A、B、C三点,即得△AB C.【互动总结】(学生总结,老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种,还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法,如用量角器画圆心角∠BOC＝120°,OB、OC分别交⊙O于B、C 两点,再在⊙O上用圆规截取AC＝BC,连结A、B、C三点,即得△AB C.活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是(C)A．60°B．45°C．30°D．22.5°2．圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是(C) A．36°B．60°C．72°D．108°3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有(A)①在圆上依次截取等于半径的弦,就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径,就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分,六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分,再平分四条弧,就可以八等分圆周．A．4个B．3个C．2个D．1个4．正八边形共有8条对称轴．5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等.6．观察下面的图形,说一说是怎么画出来的？解：先画一个O为圆心,OA长为半径的圆,取圆的三等分点,分别以三等分点为圆心,OA长为半径画弧,交⊙O于A、B、C三点,即得该图形．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)正多边形的相关概念：(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距．(4)中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．练习设计请完成本课时对应训练！。
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.4 正多边形与圆》教案_17
正多边形和圆【教学目标】了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容。
【教学重难点】1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
【教学过程】一、复习引入：请同学们口答下面两个问题。
1．什么叫正多边形？(各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
)2．从你身边举出两三个正多边形的实例。
3．正n边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？其对称轴有几条？（正n边形都是轴对称图形，对称轴有n条；正n边形不一定是中心对称图形，当n是偶数时，是中心对称图形；当n是奇数时，不是中心对称图形。
）二、探索新知1．正多边形归纳：（1）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。
（2）两个圆是同心圆，叫做正多边形的中心。
正多边形对称轴的交点也是正多边形的中心。
（3）外接圆的半径叫做正多边形的半径。
（4）内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
（5）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系。
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的关系。
设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，则：（1）中心角的度数为：_________。
（2）每个内角的度数为：________。
（3）每个外角的度数为：____ _。
（4）周长为：_______，面积为：_________。
三、例题解析：例：已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长。
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27．4正多边形和圆
教学目标
一、基本目标
1．经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．
2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形．
3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形与圆有关的计算问题．
二、重难点目标
【教学重点】
正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念，用量角器等分圆．
【教学难点】
正多边形与圆的有关计算．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．各条边相等，各个角也相等的多边形是正多边形．
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距；正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．
3．把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.
4．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6.
5．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为4.
6．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18 cm.
7．你能用尺规作出正六边形吗？
解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则可作出正六边形．环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
【互动探索】(引发学生思考)连结OD ，结合已知条件可得∠COD ＝60°，结合OC ＝OD 可得△COD 为等边三角形，从而可得CD ＝O C.在Rt △COG 中，由勾股定理即可求得边心距OG .
【解答】连结O D.
∵六边形ABCDEF 为正六边形．
∴∠COD ＝360°6
＝60°. ∵OC ＝OD ，∴△COD 为等边三角形，
∴CD ＝OC ＝4.
在Rt △COG 中，∵OC ＝4，GC ＝12BC ＝12
×4＝2. ∴OG ＝OC 2－CG 2＝42－22＝23，
∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为2 3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解．
【例2】已知⊙O 的半径为2 cm ，画圆的内接正三角形．
【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分，所以它的中心角为120°，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？
【解答】(方法一)如图1，任取一点A ，连结OA ，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO ＝∠CAO ＝30°，点B 、C 在圆周上，连结A 、B 、C 三点，即得△AB C.
图1 图2
(方法二)如图2，用量角器度量，使∠AOB ＝∠AOC ＝120°，连结A 、B 、C 三点，即得△AB C.
(方法三)如图3，用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连结不相邻的三个点，如点A 、C 、E ，则△ACE 即为所求的三角形．
图3 图4
(方法四)在圆上任取一条直径AD ，以D 为圆心，2 cm 为半径画弧，交⊙O 于B 、C 两点，连结A 、B 、C 三点，即得△AB C.
【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC ＝120°，OB 、OC 分别交⊙O 于B 、C 两点，再在⊙O 上用圆规截取AC ＝BC ，连结A 、B 、C 三点，即得△AB C.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是( C )
A ．60°
B ．45°
C．30°D．22.5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(C) A．36°B．60°
C．72°D．108°
3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有(A)
①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；
②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；
③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；
④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆周．
A．4个B．3个
C．2个D．1个
4．正八边形共有8条对称轴．
5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等.
6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？
解：先画一个O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正多边形的相关概念：
(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
(4)中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
练习设计
请完成本课时对应训练！。