14.1勾股定理3.反证法
初中数学-勾股定理16种证明方法
勾股定理的16种证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++, 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、C三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2b a +. ∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）, 以c 为斜D 边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形,它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED,C∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S,则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC,交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ,垂足为M;再过点F 作FN ⊥PQ,垂足为N .∵ ∠BCA = 90º,QP ∥BC, ∴ ∠MPC = 90º, ∵ BM ⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90º,∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c, ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点在一条直线上,连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE,交AB 于点M,交DE 于点L . ∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB 的面积等于221a,ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证,矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ,即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB, 即 AB AD AC •=2.同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+,即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC,AF 交GT 于F,AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF,垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直,垂足为E,DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º,∠PAC = 90º, ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º,∠BCA = 90º, AD = AB = c,∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .K∴ DH = BC = a,AH = AC = b . 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º, ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF,TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形,上底TF=b ―a,下底BP= b,高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图）,则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 = ab b 212-, 985S S S +=,∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①,得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º,∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º,BT = BE = b, ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º,∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º,∴ ∠GHF = ∠DBC.R∵ DB = EB ―ED = b ―a, ∠HGF = ∠BDC = 90º,∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG,垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知 ∠ABE = ∠QAM,而AB = AQ = c,所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a,∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=,612S S a +=,8732S S S b ++=,又∵ 27S S =,58S S =,64S S =,∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c , 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 如图,以B 为圆心a 为半径作圆,交AB 及AB 的延长线分别于D 、E,则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º,点C 在⊙B 上,所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理,得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -,即222a cb -=,∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB,过点B 作BD ∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有BD AC BC AD DC AB •+•=•, ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b,∴ 222AC BC AB +=,即 222b a c +=,∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O,切点分别为D 、E 、F （如图）,设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+, ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+,即 ()222242c rc r ab b a ++=++,∵ab S ABC 21=∆,∴ ABC S ab ∆=42, 又∵ AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2,∴()ABC S rc r ∆=+442, ∴ ()ab rc r242=+,∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .假设222c b a ≠+,即假设 222AB BC AC ≠+,则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2,或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB,或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠A = ∠A,∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB,则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中, ∵ ∠B = ∠B, ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB,则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º,∴ ∠ADC ≠90º,∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以,222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b,斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a2222++=+;把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ）,把它们拼成如图所示形状,使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a,连结DA 、DC,则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º,CM = a, ∠AED = 90º, AE = b, ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º, ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC,CB ∥DA,则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,D D∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB,在ΔABF 和ΔADE 中,∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=, 6212S S S b ++=, 732S S a +=,76451S S S S S +===,∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
14.1勾股定理3.反证法
14.1.3 反证法
[归纳总结] 原则上来说，当直接证明问题有困难时考 虑采用反证法．一般地，当求证的结论出现“最(至) 多”“最(至)少”“不(相等、平行、垂直、相交)” ，就需要 运用反证法． 其次， 证明一个数是无理数通常也采用反证法．
14.1.3 反证法
例 2 用反证法证明： 如图 14－1－14，在△ABC 中，已 知∠C 是直角．求证：∠B 一定是锐角．
图 14－1－14
14.1.3 反证法
证明：假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角． 当∠B 是直角时， 则∠A＋∠B＋∠C>180°， 这与三角形的内 角和等于 180°矛盾； 当∠B 是钝角时， 则∠A＋∠B＋∠C>180°， 这与三角形的内 角和等于 180°矛盾． 综上所述，假设不成立． ∴∠B 一定是锐角．
14.1.3 反证法
新 知 梳 理
► 知识点一 反证法的定义 反面出发，引出矛盾 从命题结论的____ ____，从而证明命题的成 立，这种证明方法叫反证法． 知识点二 反证法证明命题的一般步骤 反证法是同学们新接触的一种间接证明的方法，其主要步 骤是： (1)假设结论的 反面 是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
14.1.3 反证法
[归纳总结] 注意： 用反证法证明时， 由于要假设待证命题 的结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的所有情况， 如果结论的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况，就 足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那 么就必须把所有的情况全部列出来，并且一一推出矛盾后，才 能肯定原结论是正确的．
14.1.3 反证法
八年级数学上册第十四章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法课件(新版)华东师大版
已知：如图两条相交直线a、b. 求证：a与b只有一个交点.
a b
●
●
A
A′
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A′ 因为两点确定一条直线，即经过点A和A′的直线有且只有一 条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点.
例2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课 1.反证法的概念 反证法是一种间接证明命题的基本方法，通常在证明一个数学命题 时，如果运用直接语法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法.
2.反证法证题的步骤 （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面 成立；
14.1.3 反证法
甲：在五一长假里， 我和爸爸、妈妈去 新加坡玩了整整6天， 真是太高兴了.
丙：是啊,5月 4号我确实和 甲在长安街逛 街！
乙：这不可能，5月4号上午 还看见你和丙在长安街逛街 呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天， 那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在苏州的观前街”矛盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
综合① 和②知假设不成立, 所以∠B一定是锐角.
训练2：证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行. 已知：如图，AB//EF，CD//EF， 求证：AB//CD
A C E B D F
A C E
B D F
O
证明：
证明勾股定理的三种方法
证明勾股定理的三种方法
勾股定理，又称“三角形关系”，指的是一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，也就是一个三边长a,b,c的直角三角形，若其中有一边的长度c是斜边，则有a^2 + b^2 = c^2.勾股定理是数学上最有名的定理之一，在很多地方有着广泛的应用，其证明方法也有许多种。
本文将介绍证明勾股定理的三种方法，即几何证明、反证法和平方展开法。
首先，介绍一种几何证明法。
几何法是把直角三角形抽象成一个直线和一个垂线，其中垂线的长度等于斜边的长度，将垂线的中点拉出直线的同侧，得到一个直角三角形，以此证明勾股定理。
显然，由新得到的直角三角形中，斜边的长度加上刚拉出的垂线的长度等于两个直角边的长度的和，即c + b = a，从而可以得出a^2 + b^2 = c^2。
其次，介绍反证法。
反证法是先假设勾股定理不成立，即a^2 + b^2 != c^2，然后推演出矛盾，从而证明勾股定理是正确的。
如果勾股定理不成立，则说明c > a + b，那么就有c > a，c > b，即斜边比两个直角边都要长，但这与直角三角形的定义矛盾，即没有一个直角三角形能满足该条件，因此a^2 + b^2 = c^2成立。
最后，介绍平方展开法。
由于a^2 + b^2 = (a + b)^2，即将直角边平方和展开得到的表达式，并令c = a + b，由勾股定理的定义可得，c^2 = a^2 + b^2，即证明勾股定理。
综上所述，通过以上三种方法可以很容易地证明勾股定理，它无论从几何证明上，还是从反证法和平方展开法上来说，都是极为明确
的。
这也表明，勾股定理的证明具有极强的科学价值，从古代中国以来，一直是数学史上的重要课题。
八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3反证法课件
第六页，共十四页。
若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是(bù shi)直角三 角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
若∠C是直角(zhíjiǎo)，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是 不可能的，即△ABC不是直角三角形.
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【归纳】 先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法.
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证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点， 不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与实矛盾.
定义或已知条件相矛盾。例1 求证：两条直线相交只有一个交点.。例2 求证：在一个三角 形中，至少有一个内角小于或等于60°.。证明：假设结论不成立，即：
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第14章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
14.1 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
3.反证法
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小故事 : (gùshì)
新课导入
路
边
苦
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取(zhāi qǔ)果子,只有王戎站 在12原/13/2地021不动.伙伴问他为什么不去摘？
内容(nèiróng)总结
14.1 勾股定理。王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边(lù biān)的李树上结满了果子.小 伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘。如果你当时也在场，
八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版
知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
第14章 14.1 14.1. 3 反证法
证明：假设 AB 与 CD 不平行，则直线 AB 与 CD 相 交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线(AB、 CD)都和直线 EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行相矛盾．所以假设不能成立．故 AB∥CD.
证明：假设 l1 不平行于 l2，即 l1 与 l2 相交于一 点 P，则∠1＋∠2＋∠P ＝ 180°(三角形内角和定理)， 所以∠1＋∠2 < 180°，这与 ∠1＋∠2＝180° 矛盾， 故 假设 不成立．
所以 l1∥l2.
6. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 解：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情 况： (1)两个底角都是直角，不妨假设∠B＝∠C＝90°，则∠A ＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＞180°，这与三角形的内角和 定理矛盾．∴∠B＝∠C＝90°这个假设不成立． (2)两个底角都是钝角，不妨设∠B、∠C 都是钝角，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，∴ 两个底角都是钝角这个假设不成立．故原命题正确．
1. 下列说法正确的是( C ) A．“垂直”的反面是“斜交” B．“成正比例”的反面是“成反比例” C．“不等”的反面是“相等” D．“点 O 在△ ABC 内”的反面是“点 O 在△ ABC 外”
2. 在用反证法证明时，推得与“三角形的外角和等
于 360°”相矛盾，这与下边哪一个相矛盾( D )
第14章 勾股定理 14.1 勾股定理
14.1.3 反证法
1. 不易用直接证法证明的简单问题，要用 反证 法．
2. 反证法的证明步骤是：先假设结论的 反面 是正 确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定 理、定义或已知条件相矛盾，从而说明 假设 不成立， 进而得出 原结论 正确．
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.3 反证法教案 (新版)华东师大版
B.∠A≥45°，∠B≥45°
C.∠<45°，∠B<45°
D.∠A≤45°，∠B≤45°
3.用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一个锐角都大于45°
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.
求证：a2＋b2≠c2.
问题：根据勾股定理及其逆定理，你能直接证明吗？
思考：假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的．所以a2＋b2≠c2是正确的.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 例题1，2
错题题号 当堂训练2
反思，更进一步提升.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
例1【教材p116页例5】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
例2【教材p116例6】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
【归纳总结】用反证法证明一个命题时，要先把文字命题转化为符号命题，写出已知和求证，再用反证法完成证明．证明过程的步骤主要是：
【知识网络】
3反证法
反证法
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2－讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个 数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2－讲
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
课堂新授
解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角 .
知3－练
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 .
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ ∠A ＋ 90° ＋ 90° ＝ ∠A ＋ 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. 易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即
a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1－练
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角， 或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6，7，8
B. 5，8，13
知2－练
C. 1.5，2，2.5
D. 21，28，35
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
第3课时 反证法
A.a≠b
B.a>b
C.a=b
D. a=b或a>b
2.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，
b⊥c，则a//b”时，应假设（ D ）
A.a不垂直于c
B.a、b都不垂直于c
C. a⊥b
D.a与b相交
A
练习
3.完成下列证明.
C
B
如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠一
定是锐角.
证明：假设结论不成立，则∠B是 直角 或 钝角 .
当∠B是 直角 时，则 ∠A=0°
，这
与 三角形内角角度大于零 矛盾；当∠B是 钝角 时，
则 ∠A为负数 ，这与 事实
矛盾.
综上所述，假设不成立.所以∠B一定是锐角.
练习
4.求证：在一个三角形中，如果两条边 不相等，那么它们所对的角也不相等.
证明：假设“它们所对的角相等”， 可得它们所对的边相等（等角对等边）， 这与条件矛盾，所以假设不成立，原结论 成立.
他运用了怎样的推理方法？
引语
王戎采用了逆向思维，也就是今天所学 的反证法，反证法是数学中常用的一种方法. 人们在探求某一问题的解决方法而正面求解 又比较困难时，常采用从反面考虑的策略， 往往能达到柳暗花明又一村的境界.
问题探究
自主学习
（1）反证法：在证明一个命题时，人们 有时先假设 结论 不成立，从这样的假设 出发，经过 推理论证 得出和已知条件矛 盾，或者与 公理、定理 等矛盾，从而 得出假设的结论不成立，即所求证的命题的 结论正确.这种证明方法叫做反证法.
综上所述，可知 a b.
小结
用反证法证明的常见题型： （1）命题的结论以否定形式出现时； （2）命题的结论以“至多”“至少”的形 式出现时； （3）命题的结论以“无限”的形式出现时； （4）命题的结论以“唯一”“共点”“共 线”“共面”的形式出现时.
八年级数学 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 第3课时 反证法 数学
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经_过__直_线__外_一__点_,_有_且__只_有_一__条_直__线_平 行__于_已__知_直__线_____”矛盾.
所以假设不成立,即求证的命题正确.
第五页，共九页。
合作(hézuò)学习:
定理
求证:在同一平面(píngmiàn)内,如果两条直线都和第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
l1∥l2,
1
l1
2
l2
l3
第七页，共九页。
小结 : (xiǎojié)
反证法的一般(yībān)步骤:
先假设命 从假设出发 题不成立
矛盾
得出假设命题不 成立是错误的
即所求证的 命题正确
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
第3课时 反证法。中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么。王戎是怎样知道李子是苦的吗。 他是如何推断该命题的正确性的。在你的日常生活中也有类似的例子吗。求证:在同一平面内,如果一条直线和两条
No 平行(píngxíng)直线中的一条相交,那么和另一条也相交.。经过直线外一点,有且只有一条直线平行(píngxíng)于已知
直线
Image
12/10/2021
第九页，共九页。
妈妈:小华,听说(tīnɡ shuō)邻居小芳全家这几天下在 外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈 妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的? 在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两 个例子.
勾股定理.反证法(优质课)获奖课件
13.5.2 线段垂直平分线
新 知 梳 理
► 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的__ 距离相等 __．
►
知识点二
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
垂直平分线 到线段两端__ 距离相等 __的点在线段的__ __上．
13.5.2 线段垂直平分线
► 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且 到三个顶点的距离相等
14.1.3 反证法
新 知 梳 理
► 知识点一 反证法的定义 反面出发，引出矛盾 从命题结论的____ ____，从而证明命题的成 立，这种证明方法叫反证法． ► 知识点二 反证法证明命题的一般步骤 反证法是同学们新接触的一种间接证明的方法，其主要步 骤是： (1)假设结论的 反面 是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
14.1.3 反证法
[归纳总结] 原则上来说，当直接证明问题有困难时考 虑采用反证法．一般地，当求证的结论出现“最(至) 多”“最(至)少”“不(相等、平行、垂直、相交)” ，就需要 运用反证法． 其次， 证明一个数是无理数通常也采用反证法．
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
14.1.3 反证法
[归纳总结] 注意： 用反证法证明时， 由于要假设待证命题 的结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的所有情况， 如果结论的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况，就 足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那 么就必须把所有的情况全部列出来，并且一一推出矛盾后，才 能肯定原结论是正确的．
14.1.3 反证法
14.1.3 反证法
八年级数学上册 14.1 勾股定理 3 勾股定理-反证法教案 (新版)华东师大版
反证法
通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命在学习并了解和掌握勾股定理的基础上来学习数学的另一种推理
通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单c°，这与已知条件∠
C
三点可以作
一个圆，然后由这个假设出发推下去
O
垂直平分线的判定定理可以知道，
BC的垂直平分线l上，也就是说，
2
∠°，这与三角形
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从
．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。
材。
教案：14.1 勾股定理 第四课时 反证法-数学八年级上册
课 题：14.1 勾股定理第四课时 反证法＆.教学目标：1.知道什么是反证法，了解用反证法证题的步骤。
2.会用反证法证不易直接证法证明的简单问题。
3.通过利用反证法推证命题，体会逆向思维，培养学生的逆向思维能力及思考问题的全面性。
＆.教学重点、难点：重点：反证法推证命题的步骤。
难点：反证法的逻辑推理过程。
＆.教学过程：一、情景导入古时候有一个卖矛和盾的商人，卖矛的时候说他的矛是世界上最锐利的矛，什么样的盾都能戳破；卖盾的时候说他的盾是世界上最坚固的盾，什么样的矛都戳不破。
于是，就有人问他：“假设你说的都是真的，那么用你的矛戳你的盾，会如何呢？”这个商人无言以对。
提出疑问的人用的是一种什么样的逻辑方法呢？本节我们学习逻辑推理的另一种方法——反证法。
二、探究新知我们知道：在ABC ∆中，若c AB =，a BC =，b AC =，且︒=∠90C ，则222c b a =+. 问题：在ABC ∆中，若c AB =，a BC =，b AC =，且︒≠∠90C ，请问结论222c b a ≠+成立吗？为什么？解析：如果我们从条件︒≠∠90C 出发证明结论是很困难的，我们可采用下面的方法证明： 假设222c b a =+，由勾股定理的逆定理可知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C ，这与已知条件︒≠∠90C 矛盾.假设不成立，从而说明原结论222c b a ≠+成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。
＆.反证法的定义：首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。
探究1：通过例题，你能归纳出反证法证明的一般步骤吗？步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的；（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；（3）由矛盾判定假设不正确，从而得出原结论正确。
3 反证法(1)
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定 是（ C ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设 为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
当堂练习
1.试说出下列命题的反面： （1）a是实数; a不是实数 （2)a大于2; a小于或等于２ （3）a小于2; a大于或等于２ （4）至少有2个; 没有两个 （5）最多有一个; 一个也没有 （6）两条直线平行; 两直线相交 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个 三角形不是等腰三角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形 .
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
3.反证法
学习目标
情境引入
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想， 并能够运用反证法来证明一些问题.(重点) 2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点） 3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是 都是 大于 小于
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语 任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
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14.1.3 反证法
例 2 用反证法证明： 如图 14－1－14，在△ABC 中，已 知∠C 是直角．求证：∠B 一定是锐角．
图 14－1－14
14.1.3 反证法
证明：假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角． 当∠B 是直角时， 则∠A＋∠B＋∠C>180°， 这与三角形的内 角和等于 180°矛盾； 当∠B 是钝角时， 则∠A＋∠B＋∠C>180°， 这与三角形的内 角和等于 180°矛盾． 综上所述，假设不成立． ∴∠B 一定是锐角．直接证明问题有困难时考 虑采用反证法．一般地，当求证的结论出现“最(至) 多”“最(至)少”“不(相等、平行、垂直、相交)” ，就需要 运用反证法． 其次， 证明一个数是无理数通常也采用反证法．
14.1.3 反证法
新 知 梳 理
► 知识点一 反证法的定义 反面出发，引出矛盾 从命题结论的____ ____，从而证明命题的成 立，这种证明方法叫反证法． ► 知识点二 反证法证明命题的一般步骤 反证法是同学们新接触的一种间接证明的方法，其主要步 骤是： (1)假设结论的 反面 是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
14.1.3 反证法
重难互动探究
探究问题 用反证法进行证明
例 1 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于 90 °. 根据等腰三角形的两个底角相等，可知两个底角的和大于 或等于 180°， 则该三角形的三个内角的和一定大于 180°， 这与三角形的 内角和定理相矛盾，故假设不成立． 所以等腰三角形的底角是锐角．
14.1.3 反证法
[归纳总结] 注意： 用反证法证明时， 由于要假设待证命题 的结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的所有情况， 如果结论的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况，就 足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那 么就必须把所有的情况全部列出来，并且一一推出矛盾后，才 能肯定原结论是正确的．
14.1.3 反证法
14.1.3 反证法
探 究 新 知
活动1 知识准备
命题“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”
直线及直线外一点 的条件是____________________________ ， 过这个点只有一条直线与已知直线平行 结论是_______________________ ．
14.1.3 反证法
活动2
教材导学
知道什么是反证法 完成下列填空，想一想：当一个问题的反面不成立时，说明 了什么？ (1)命题“两条直线相交，只有一个交点”的结论是 只有一个交点__， 不止一个交点 _． __ 它的反面(即该结论的否定)是___ (2)命题“△ABC 中，∠A，∠B，∠C 中至少有一个角不大于 60°”的结论是∠ _ A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60 ___ ° ，其 反面是_ ∠A，∠B，∠C都大于60° ___． 你知道如果能够证明一个命题的结论的反面是错误的，那么 说明了这个命题是什么命题吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一