九年级上数学《弧长和扇形的面积》课件2

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人教版九年级数学上册课件：弧长和扇形面积 (2)

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后以为）？
圆锥中的最短路径问题
如图，已知点 P 是圆锥母线 OM 上一点，OM =6，OP =4, 圆锥的侧面积为12π，一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行一周回到点P，则爬过的最短路线长为______.
圆锥中的最短路径问题
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
答案：2π．
扇形面积计算综合
如图，直径 AB 为 8 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B '，则图中阴影部分的面积是___________.
圆锥中的最短路径问题
圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，一只蜘蛛从底面圆周上的一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，则蜘蛛爬行的最短路径的长是________．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积．提示：可以先算非阴影部分的扇形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).

弧长及扇形的面积ppt课件

如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°，怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.

初中数学《弧长及扇形的面积》公开课课件

（1）要求扇子外围的弧长，需要知道哪些量？
（2）怎样求这把扇子一面用纸的面积？
圆心角度数，半径长度
大扇形面积—小扇形面积
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=

扇形 =

1
扇形 =
2
探求新知3——求弓形的面积
A
S阴影= S扇形-S△
B
S阴影=
2.观察该公式，它与我们学过的哪一个公式很类似？
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=

扇形 =

1
扇形 =
2
练习2
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为20，则该扇形的面积____.

2.已知扇形面积为
3
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=___.
探索新知1——弧长公式
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm)
思考：
展直长度指的是谁的长？
探求新知1——弧长公式
练习1
1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( C )
A. 2π
B. π
C. 4π
D. 12π
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
圆心角的度数n°
360°
180°90°ຫໍສະໝຸດ 60°1°n°
计算过程
扇形的弧长 l
探索新知1——弧长公式
活动（1）已知扇形半径为r，请计算不同圆心角度数所对的弧长，并填表。
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。

《弧长和扇形面积的计算》PPT课件

弧长和扇形面积的计算
- .
1．一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做________．2．在半径为r的圆中，设n°的圆心角所对弧的长为l，圆心角为n°的扇形面积为S，则：(1)弧长公式l＝________；(2)扇形面积公式为S＝________或S＝________．3．圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的________．圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的________．
扇形
母线
高CA3π来自4．(3分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．5．(3分)已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度．6．(3分)已知一扇形的弧长是4π，半径为3，那么这个扇形的面积是________．7．(3分)扇形的圆心角为120°，弧长为6π cm，那么这个扇形的面积为__________．
120
6π
27πcm2
1
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面圆的半径为________．
B
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
A
11．(2013·聊城)把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16 cm，那么钢丝大约需要加长( )A．102 cm B．104 cmC．106 cm D．108 cm12．如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于________．
13．如图，圆锥的母线长OA＝8，底面的半径r＝2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是________．

《弧长及扇形面积的计算》PPT课件2

九年级数学(上)第四章：对圆的进一步认识
- .
弧长及扇形面积的计算
某圆拱桥的半径是30m，桥拱所对的圆心角∠AOB=90°，你会求桥拱的长度吗？
小亮想的对吗？
把圆周等分成360份，每一份的弧叫做1°的弧；1°的弧所对的圆心角叫做1°的角。
探索弧长公式
设一圆为⊙O，半径为r。圆周长为多少? 圆周角为360°，则1°的圆心角所对的弧长为多少？ n°的圆心角所对的弧长为多少?
补充：制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即弧AB的长.
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为: l =________。
求弧ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，你会了吗？
练习1:如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径.
练习2:如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm, 求这个扇形的周长.
补充：如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. 1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米? 2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?

九年级上数学《24.4.1 弧长和扇形面积》课件

新课导入
在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？
不同
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700mm
● A
B ● 700mm
● C
R=900m 100 m ° O
j
● D
教学目标
【知识与能力】
• 会计算弧长及扇形的面积. • 会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题. • 知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系.
例题
某传送带的一个转动轮的半径为10cm。（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送 2 10 20cm ；
20 被传送 cm ； 360 18
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A
20 n 被传送 n cm 。 360 18
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A
举一反三
（1）弧长公式涉及三个量，弧长、圆心角的度数、弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。（2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解
扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．
（1）如图（1），这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；（2）如图（2），狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆 1 面积，1°的圆心角对应圆面积的，即
1 n 9 ，n°的圆心角对应的圆面积 n 360 40 40 40
360
课堂小结
知识要点
R 扇形面积公式 . n°
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为：

苏科版九年级数学上册弧长及扇形的面积(课件)

弧长、扇形面积公式
l n r , s n r2
180 360
比较两个公式，说出它们的相同点和不同点？
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,你能用弧长和半径来表示扇形的面积吗？请与同学交流.
S扇＝
1 2
lR
练习
①已知圆弧的半径为3cm，所对的圆心角为60°，它的弧长为＿π＿＿＿。
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为＿9＿。
课堂反馈
例2、如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、 BO、2、CO为3，圆求心O︵，1O2a2、为 O︵2O半3、径O︵的3O1圆围两成两的相图切形于的点面O积1、S （图中阴影部分）。
A
O1
O3
B
O2 C
课堂反馈例3、如图，半圆的直径AB=40,C、D是这个半圆的三等分点.求AC、AD和C︵D围成的图形的面积.
之间的关系：
l n 2πR nπR
360
180
活学活用一
1．已知⊙O的半径为2，则周长为___4_π_____，1°圆心角所对的
π
π
弧长是____9_0____，30°圆心角所对的弧长是______3_____。
2．已知⊙O的半径为10，则周长为_2_0_π___，1°圆心角所对的弧
长是
π 18
2.7 弧长及扇形的面积
探究活动一
在半径为R的圆中 1.圆周长为___2_π_R___；
2. 1800 的圆心角所对的弧长为__π_R_； 3. 600 的圆心角所对的弧长为 13πR；
4. 10 的圆心角所对的弧长为＿181＿0π；R 5. n0 的圆心角所对的弧长为＿18n0＿π。R

人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径．核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个量．知识点 2 扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径．【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角分积析，：即先可用求形扇出形阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

《弧长和扇形面积》PPT课件人教版九年级数学

B
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×

l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的半径不变时，扇形面
的扇形面积与半径有关，
积与圆心角有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்

人教九上数学24.弧长与扇形面积公式课件

1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
.
2.已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A
流
解
A
B
惑
O
O
例题示范
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是60cm，其中水面高 930 cm, 求截面上有水部分的面积。
实制造弯形管道时，要先按中心际线计算“展直长度”，再下料，
应试计算图所示管道的展直长度L.
用
(
+1400 )mm
思考
什么是扇形？
并回答：
n°
B
扇形
A
o
O
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．
交
流
展
A
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的扇形面积为S，则
B 则贴纸部分的面积为（）
A．
B.
曲苑杂坛
A
B C．
D．
C O
8. 已知等边三角形ABC的边长为a，分别以 A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影
部分的面积S.
通过本节课的学习你有哪些收获？
作业：
1.课后作业：教材124--125页，习题 24.4第3、7题。
预习作业：见预习《圆锥侧面积》学案
有水部分的面积
= S扇- S△
A
0
D
B
C
例题示范
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是60cm，其中水面高30cm，

人教版数学九年级上册探究圆的弧长、扇形面积公式PPT优秀课件

●
B
C
人教版数学九九年年级级上上册册探2究4.圆4探的究弧圆长的、弧扇长形、面扇积形公面式积P公PT式优课秀件课件
探究扇形面积公式
问题2 同学们已经学习了扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．你能否类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式？
人教版数学九九年年级级上上册册探2究4.圆4探的究弧圆长的、弧扇长形、面扇积形公面式积P公PT式优课秀件课件
人教版数学九年级上册24.4探究圆的弧长、扇形面积公式课件
应用扇形面积公式
1、一个扇形的半径3cm，圆心角为40°，这个扇形的面
积是
？
2、扇形的面积6π，半径为6，则扇形的圆心角为 °，
弧AB的长度为
。
3、一个扇形的半径为5，弧长为10，则这个扇形的面积
为
。
人教版数学九年级上册24.4探究圆的弧长、扇形面积公式课件
1°的圆心角所对弧长是圆周长的
1 360
，为 2R R
360 180
（6）半径为 R 的圆中，2°的圆心角所对的弧长？
因为 1°的圆心角所对的弧长是
所对弧长是
2
R 180
．
R 180
,2°的圆心角
（7）半径为 R 的圆中，5°的圆心角所R 对的弧长？
因为 1°的圆心角所对的弧长是 180 ,5°的圆心角所
R
180
n
R 180
l nR
180
弧长的大小由哪些量决定？圆的大小（半径）、圆心角的度数．
人教版数学九九年年级级上上册册探2究4.圆4探的究弧圆长的、弧扇长形、面扇积形公面式积P公PT式优课秀件课件

24-4弧长和扇形面积(第二课时)课件22-23学年人教版九年级数学上册

叫做圆锥的高。
ha
3. 连结圆锥_顶_ 点__和底面圆周上的任意一点的A O r B
线段叫做圆锥的母线。圆锥的母线有_无__数___条。
4. 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半
径、高线、母线长）
（1）l = 2，r=1 则 h=___3____
(2) l = 10, h = 8 则r=___6____
圆锥的全面积
R
A
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
n
h
l
B Or C
S全 =S侧+S底
rR r 2
典型例题
蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建 20个底面积为12 m2,高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡? (π取3.142，结果取整数).
34 5
=2.4.
S全3=S侧上+S侧下=πr3l2+πr3l3=π×2.4×3+π×2.4×4=16.8π.
课堂小结
重要图形
S
圆锥
的高
l
h
母线
A
OrB
侧面
展开图底
l
面
ro
重要结论
r2 + h2 = lS2圆锥侧 = πrl
S圆锥全 = S圆锥侧 + S圆锥底 = πrl + πr2
① 圆锥侧面展开图扇形的半径 = 母线长 l
② 圆锥侧面展开图扇形的弧长 = 底面圆周长
人教版
第二十四章：圆 24.4弧长和扇形面积
第二课时-圆锥的侧面积和全面积
学习目标
1. 体会圆锥侧面积的探索过程；（重点） 2. 会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单

弧长和扇形面积第二课时初中数学原创课件

24.4 弧长和扇形面积(2)
复习回顾
1. 半径为 3 的圆中，圆心角为 120 的弧长是 2 ，扇形面积是 3 .
l nR 120 3 2 180 180
S扇形 =
nR2 360
120 32 360
3
复习回顾
2. 半径为 6 的圆中，扇形面积为 9π，则它的弧长为 3 .
S扇形 =
h2 r2 l2.
B
O r A 圆锥的母线长都相等.
圆锥的侧面积和全面积
做一做：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，观察圆锥的侧面展开图.
圆锥的侧面展开图是扇形.
圆锥的侧面积和全面积
想一想：圆锥的侧面展开图是扇形，那扇形的半径与圆锥中哪一条线段相等，扇形的弧长与谁相等？
圆锥的侧面积和全面积
A 多少 cm？
过圆锥轴（高）的截面，即△ABC
B
C
分析：
曲面平面. 圆锥侧面扇形.
垂线段最短 BD.
BAC 1 BAB '. 2
A
B A
B
D
C
C B'
例题
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为 n ，
nl 2r , n r 360 10 360 120.
180
l
30
BAC 60 .
根据垂线段最短，
A
当 BD AC 时 BD 最短.
BD 15 3(cm).
B
B'
D
∴它爬行的最短路线长是15 3 cm. C
练习
3. 已知圆锥底面半径为 10 cm，母线长为 40 cm. 若一甲虫从圆锥底面圆上一点 A 出发，沿着圆锥侧面绕行到母线 PA 的中点 B ，它所走的最短路程长是多少 cm？

最新北师版九年级数学上册精品课件弧长及扇形的面积

点C把线段AB分成线段AC和BC,
AB为整条线段, AC为较长线段，BC为较短线段, 则：
较长线段整条线段
AC BC AB AC
较短线段较长线段
自主探索“黄金点”
● ●
A
D
C
●
●
B
1.线段AB 有没有除点C 以外的黄金点呢？ 2.点D 应满足怎样的条件？
感受人体的黄金点
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 ，越给人以美感．芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象
•
不如行动－智力操
第1 2节：据测定，当气温处于人体正常体温的黄节：当植物的枝干的夹角为137°28′时,通风和采光能达到最好效果 , 你知道这是为什么吗? 金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？（人体正常体温36℃-37℃）
孝心作业----我与妈妈的约定
妈妈：今天我们学习黄金分割了，老师说学好这一课，我可以把您变得更美丽，但首先您得告诉我一个秘密。身高h= cm, 下半身长x= cm，
x :h ≈
.
设计方案：
结论：最适合妈妈的高跟鞋是
cm。
妈妈的话： ____________________________________________________
.
19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形。

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1、正方形的边长为ａ，求阴影部分的面积
A
D
B
C
2、正方形的边长为ａ，求阴影部分的面积
A
D
B
C
3.等边三角形的边长为ａ，求阴影部分的面积
A
B
C
4.已知：下图中等腰直角三角形 ABC的直角边长均为2，求三个图中的阴影部分的面积。
A
A O
A
C
B
C
B C
O
B
5.已知：直角扇形OAB的半径为2，以 OA为直径为半圆和以OB为直径的圆相交于M、N两部分，则扇形OAB的面积为，半圆的面积为，M与N的面积哪个大？
如果两个轮是等圆呢？
1. 如图,一根 3m长的绳子, 5m 一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊, 羊的活动最大区域面积是 .
5
5m 4m
oA
5m
o 4m B
C
分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式。
。
连结OP。
S阴 S扇POB－S扇BMQ－S PMO
解：连结OP∵AO⊥OB， MP∥OA，∴MP ⊥ OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2 ∴∠1＝60º 。
3 PM , OP 3 2 60 2 2 而S扇POB R 360 3
，
，
解：能（或能求出阴影部分的面积）．设大圆与小圆的半径分别为R,r,平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合（如图）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
连OH , 则OH AB, 则OH r, AH BH 12
R r 12
2 2
2
1 2 2 S阴影 S半圆环 π( R r ) 72π 2
2、AB、CD是半径为ｒ圆O的两条互相垂直的直径，以B为圆心作弧CED，求阴影部分的面积
A
E C
O
D
B
C
b
A c
a B
【例3】如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以 OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交 AB ，于P 求 AB 与半圆弧及MP围成的阴影部分面积 S阴
C
D
O
A
B
例：如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一
把扇子扇面的面积大？
.如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB 是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于。
如图，半圆的直径 AB=2,弦CD∥AB,连 AC.AD,∠CAD=30º ,求阴影部分的面积。
O
R
A
r C
B
• 9.如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0, 2 3 ),OC与⊙D相交于点 C,∠OCA=30°,求图中阴影部分的面积
y B D O A C x
10.如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC为直径的圆交AC于点D, 则图中阴影部分的面积为______
分析：所求阴影部分是非常规图形，可转化为常规图形来解决．略解：连接OC.OD
S ACD S OCD ∠COD=60º
S阴影 S扇形OCD
60 1 2 1 360 6
C、D为半圆的三等分点，直径在AB＝ 40cm，求阴影部分的面积
D
C
A
O
B
△ABC内接于⊙O，已知⊙O的半径为3cm， ∠CAB ＝40°,OA∥ BC.求阴影部分的面积。
A C D
O
B
6.如图的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只上虫同时出发,以相同的速度从A点到B点, 甲虫沿大圆路线爬行,乙虫沿小圆路线爬行, 则下列结论正确的是( ) A.甲先到B点 B.乙先到B点; C.甲、乙同时到B点 D.无法确定
C F A3 G B
D E A A1 A2
8.如图是一管道的横截面示意图,某工厂想测量管道横截面的面积,工人师傅使钢尺与管道内圆相切并与外圆交于A、B两点,测量结果为AB=30cm, 求管道阴影部分的面积.
S PMO 1 3 OM PM 2 2
设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为：
S 扇BMQ
1 2 1 r 4 4
S阴 S扇POB－( S扇BMQ S PMO )
1 2 3 4 3 2
5 3 12 2
YSYZ
MIDDLE SCHOOL
公式复习
A O B
O
nR l 180
S 扇形
S 扇形
nR 2 360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
1 lR 2
热身练习
4 1、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这 3 个扇形的面积是( )．
2、（12年，四川内江）如图，这是中央电视台 “曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB=1200，OC长为8cm，CA长为12cm，则贴纸部分的面积为（） 2 2 2 112πcm2 C． 144πcm D． A． 64πcm B． 152πcm
3.（2012，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．
• 4.秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时, 秋千最高处踩板离地面2 米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为 ______ •
5.如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C、D分别是的三等分点, 则阴影部分的面积是________.
A
N M
O B
6、圆A与圆B外切于点P，它们的半径分别为 1和3，直线CD是两圆的公切线，求阴影面积
A
P
E B
C
D
皮带轮模型
• 如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m。（1）求皮带长（保留三个有效数字）；（2）如果小轮每分钟750转，求大轮每分钟约多少转？
解：连结OB,OC. ∵ OA∥ BC
C
∴ △OBC 与 △ABC同底等高， ∴S△ABC ＝ S△OBC，
B
A
∴S阴影＝ S扇形OBC。 ∵ ∠CAB ＝40°， ∴ ∠OBC ＝2∠CAB＝2×40°＝80°，
80 32 S扇形OBC ＝ 360
O
∴
π ＝ 2π(cm2).
如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦,与大圆的直径平行，与小半圆相切，且AB=24，问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．