函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。

，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x ++⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，2()21f x x x =-+为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2) . 解：由303x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】 判断下列函数的奇偶性：(1). ()f x =(2) . 3()3sin(2);2f x x π=- (3). 021()1x f x x -=-。

解： (1).由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则();33f x x x ==+-.∴()();f x f x x-===-.∴()f x =为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

(2) .函数3()3sin(2)2f x x π=-定义域为R ， ∵3()3sin(2)3cos 22f x x x π=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，∴ 函数3()3sin(2)2f x x π=-为偶函数。

(3). 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，又∵022111()011x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，所以022111()011x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。

【例3】 判断下列函数的奇偶性：(1). 0.5()log (f x x =；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩解：(1) . 定义域为R ，∵220.50.5()()log (()1)log (1)f x f x x x x x -+=-+-++++20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()f x -与()f x 关系，但当直接找()f x -与()f x 关系困难时，可用定义的变形式：()()0=--x f x f ⇔函数f （x ）是偶函数；()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数。

(2) .函数的定义域为R ，当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=- 当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。

分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，令121x x ==，得(1)0f =，令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-= 取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-= 故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得4132a b+<，∴4131a a +<+，解得12a -<<。

又a Z ∈，∴0a =或1a =.若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z .∴1,1,0a b c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。

(2) . 解不等式：【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝. 答案：｛x ｜0＜x ＜2｝说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：【例7】已知f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ). 分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0). ∴lg(2)(0)()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨-+≥⎩。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

三、巩固训练： 一、选择题1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2.已知四个函数：①21log 1xy x+=-， ②11x x e y e -=+，③ y =3x +3-x ，④ y =lg(3x +3-x ).其中为奇函数的是A.②④B.①③C.①④D.①②3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为 A.－x (x －2) B. x （｜x ｜－2） C.｜x ｜(x －2) D.｜x ｜（｜x ｜－2） 二、填空题4.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.5.若1()21x f x a =+- (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.6.已知f (x )=ax 7－bx +2且f (－5)=17，则f (5)=_______________.7.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是_____________三、解答题 8.已知11()()2()G x f x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦且x =ln f (x )，判定G (x )的奇偶性。