高考平面向量专题突破 2学生版
解密12 平面向量 (解析版)2025高考数学一轮二轮复习经典讲义分层训练同步习题含解析
解密12讲：平面向量【考点解密】考的一．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．考点二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb考点三.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .考点四．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点五．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．考点六．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.考点七.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π].考点八.平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积考点九.向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .考点十.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)【方法技巧】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【核心题型】题型一：平面向量的基础知识1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（）A ．单位向量都相等B ．平行向量不一定是共线向量C ．对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r rD ．若,a b 满足||||a b > 且a 与b同向，则a b > 【答案】C【分析】对于A ：根据单位向量的概念即可判断；对于B ：根据共线向量的定义即可判断；对于C ：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D ：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A ，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故错误；对于C ，若,a b 同向共线，||||||a b a b +=+r r r r，若,a b 反向共线，||||||a b a b +<+r r r r ，若,a b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知||||||a b a b +<+r rrr.综上可知对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r r，故正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a ，b 是单位向量，且1a b -=r r ，向量c 满足32c a b --= ，则c r 的最大值为（）A ．332B ．23C ．31+D ．231+【答案】A【分析】根据向量模的定义可得21a b ⋅=，进而求得3a b +=r r ，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.【详解】解：因为1a b -=r r ，所以21a b -= ，即2221a a b b -⋅+= ，又1a b ==r r ，所以21a b ⋅= ．所以()22223+=+=+⋅+=a b a ba ab b r rr r r r r r ．因为c c a b a b =--++ ，所以333322c c a b a b ≤--++=+=．故选：A ．3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（）A ．若,C AB D共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．若//a b 且//b c，则//a cC ．若G 为ABC 的外心，则0GA GB GC ++=D ．若O 为ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅【答案】D【分析】A 向量共线知向量所在直线平行或共线；B 由零向量与任意向量都平行；C 由向量相加不可能等于标量；D 利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.【详解】A ：若,C AB D共线，则A ，B ，C ，D 在同一直线上或//AB CD ，错误；B ：若b为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时,a c 不一定平行，错误；C ：若G 为ABC 的外心，有222GA GC GB == ，且GA GB GC ++ 不可能等于标量0，错误；D ：O 为ABC 的垂心，由OA OC CA -=，又OB CA ⊥，所以()0OB OA OC OB CA ⋅-=⋅= ，同理有()0OC OB OA OC AB ⋅-=⋅= ，()0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅= ，即有OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，正确.故选：D.题型二：平面向量的线性运算4．（2023·湖南永州·统考二模）设D 为ABC 所在平面内一点，3AD AB =，则（）A ．32CD CA CB =- B ．32CD CA CB=+ C ．23CD CA CB =-- D ．23CD CA CB=-+ 【答案】D【分析】运用平面向量加法规则计算.【详解】依题意作上图，则()222323CD CB BD CB AB CB AC CB AC CB CA CB =+=+=++=+=-+；故选：D.5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM=，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（）A ．34B ．1C ．43D ．4【答案】B【分析】由1122AM AB AC =+ 可得33x y AG AP AQ =+ ，根据三点共线向量性质可得133x y+=，再结合均值不等式即可求出结果．【详解】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC=+又2AG GM =，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ=+ 因为,,G P Q 三点共线，则133x y+=，化得()14x y ++=由()111111111122211414141x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=++≥⋅+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在ABC 中，BM BC λ= ，NC AC μ=，直线AM 交BN 于点Q ，23BQ BN =，则（）A ．1λμ+=B ．14λμ=C ．()()1231λμ--=D ．()()2311λμ--=【答案】C【分析】把BQ 用,BA BM表示，然后由三点,,A Q M 共线可得．【详解】由题意得，222()(1)333BQ BN BA AN BA AC μ⎡⎤==+=+-⎣⎦ 2(1)()(231)3BA BC BA BA BC μμμ⎡⎡⎤+--=+-⎦⎤⎣=⎣⎦22(1)33BA BM μμλ-=+⋅，因为Q ，M ，A 三点共线，故221133μμλ-+⋅=，化简整理得(1)(23)1λμ--=．故选：C ．题型三：平面向量的共线定理7．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的外心O 满足20OA OB OC ++=，2AB =uuu r ，则ABC 的面积为（）A ．222+B ．122+C ．2D ．2【答案】B【分析】从OA OB +这个条件可以考虑设AB 的中点为D ，从而得到,,O D C 三点共线可求.【详解】设AB 的中点为D ，则20OA OB OC ++=可化为202,OD OC += 即为2OC OD =-，∴,,O D C 三点共线且CD AB ⊥，ABC 为等腰三角形，由垂径定理得222OA OD AD =+ ，代入数据得222222R R ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,解之：2=1=1+2R CD ，，1122+1==21+=2222ABC S AB CD ⎛⎫∴⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y +的的最小值是（）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【分析】根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r，1m n +=，AE AB AC λμ=+ ，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r，1m n +=，AE AB AC λμ=+ ，1λμ+=，则AD AE m AB n AC AB AC λμ+=+++= 3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++ x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭1414422222663y x y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+++≥++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32x =，3y =时等号成立.所以12x y +的的最小值是43.故选：B9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与圆O ：229x y +=相交于不同两点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若平面上一动点C 满足()0CP CQ λλ=> ，则OC OM ⋅的取值范围是（）A ．[)0,3B ．(0,32⎤⎦C ．[)0,9D ．(0,62⎤⎦【答案】C【分析】由题意，判断得点C 在线段PQ 外，从而得COM V 是直角三角形，进而表示出cos OM COM OC∠=，可得2OC OM OM ⋅= ，由03OM ≤<，可得OC OM ⋅的取值范围.【详解】因为()0CP CQ λλ=>，所以P ，Q ，C 三点共线，且点C 在线段PQ 外，因为点M 为线段PQ 的中点，所以OM PQ ⊥，即COM V 是直角三角形，所以cos OM COM OC∠=，由数量积的定义可得：2cos OM OC OM OC OM COM OC OM OM OC⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=，因为03OM ≤<，所以209OM ≤<，即09OC OM ≤⋅< ，故选:C.题型四：平面向量的基本定理10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED =，,DF FC AF =与BE 相交于点G ，记,AB a AD b == ，则=AG （）A ．341111a b + B ．631111a b +C ．451111a b+D ．361111a b+【答案】D【分析】根据题意过点F 作FN 平行于BC ，交BE 于点M ，先利用三角形相似求出65AG FG =，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】过点F 作FN 平行于BC ，交BE 于点M ，因为DF FC =，则F 为DC 的中点，所以MN AE 且11332248MN AE AD AD ==⨯=，因为NF AD =，所以3588MF NF MN AD AD AD =-=-=，由AEG FMG 可得：AE AG FM FG=，所以364558ADAG AE FG FM AD ===，因为666136()()11111121111AG AF AD DF AD AB AB AD ==+=+=+ ，所以361111AG a b =+，故选：D .11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在ABC 中，1,2AN AC P =是BN 的中点，若AP mAB nAC =+，则m n +=（）A ．12B ．1C ．32D ．34【答案】D【分析】利用向量的线性运算求得1124A AB A PC =+，由此求得,m n ，进而求得m n +.【详解】因为P 是BN 的中点，所以12BP BN =．所以11()22AP AB BP AB BN AB AN AB =+=+=+- 11112224AB AN AB AC =+=+ ，所以11,24m n ==，所以34m n +=．故选：D12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD=，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=- ，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先以AB AD uuu r uuu r、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=- 转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．设(01)DO DE λλ=<< ，(01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD ABλλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB ADμμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+ ，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+ 则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=- ，解之得4AB =uuu r ，即AB 的长为4故选：C题型五：平面向量的坐标运算13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点123,,,,,n A A A A 和数列{}{},n n a b 满足()()*111122π2πcos ,sin ,0,33n n n n n n n n n n n A A n a A A a A A b +++++⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭N uuuuur uuuuur uuuuuuu r ，若11,,n n a S T =分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和，则60602S T +=（）A ．20-B ．243C ．48320-D ．0【答案】D【分析】根据题意分析可得数列{}{},n n a b 均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.【详解】由题意可得：()32313133311313,,,,1,02222k k k k k k A A A A A A ---+⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。
高考平面向量专题突破 2学生版
平面向量【考情上线】1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。
平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x y x a =+=。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量（1） 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a ＝0⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别） （2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a ⇔=。
将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a =（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。
记作a ∥b 。
规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高中数学二轮讲义：专题2 第1讲 平面向量(学生版)
专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935(2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4(3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4)D ．(－4,6)(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．813．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.124．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3)5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56D ．1 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 39．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝111．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 212．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．。
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2学生版)
※知识点※1 角平分线定理
1 2 1 1 CD CB BD a BA a (b a) a b 3 3 3 3 【曹亚云·解析 7】排除法 由角平分线的性质可知，
CD
1 1 a b |a| |b|
第五章
一．基础题组
平面向量
1 【2012 全国，理 6】 ABC 中，AB 边的高为 CD．若 CB a ， CA b ， a b 0 ， | a | 1 ，
| b | 2 ，则 AD (
1 1 A． a b 3 3
二．能力题组
)
2 2 B． a b 3 3
3 3 C． a b 5 5
2 a b 0 a b 2 因为 a b 2 未必成立，所以排除选项 A
同理，可排除选项 C、D 2 2 1 4 2 1 2 2 2 1 B 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 显然 0 0 成立，故选 B 【曹亚云·解析 6】直接法 因为 CD 平分∠ACB，所以
D B C
CD CB BD
1 a BA 3 1 a (b a) 3 2 1 a b 3 3
※知识点※1 向量的分解；2 向量的加法 ※知识点※1 共线定理 ※知识点※1 向量的减法 ※知识点※1 合并同类项（初中）
【曹亚云·解析 2】在解析 1 的基础上， CD CA AD 【曹亚云·解析 3】在解析 1 的基础上， CD BD BC 【曹亚云·解析 4】在解析 1 的基础上， CD AD AC 【曹亚云·解析 5】因为 cos CD , CA
高考数学专题突破学生版-空间中点线面的位置关系(考点讲析)
理
线垂直于另一个平面.
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ AB⊥MN
AB
⊥α
【典例 16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体 ABCD 中， ABC 是边长为 1 的正三角形，
8
ACD 是直角三角形， ABD CBD ， AB BD .
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ； (2)若点 E 为 BD 的中点，求点 B 到平面 ACE 的距离. 【典例 17】（2017 课标 1，文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量 a，b，则两异面直线所成角θ满足 cosθ＝ | a ·b | . | a || b |
热门考点 04 与线、面平行相关命题的判定
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
a α，b⊄α，a∥b a∥α
结论 a∥α
2. 面面平行的判定与性质
热门考点 03 异面直线所成的角
异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
②范围： (0, ] . 2
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
4
【典例 8】（2019·北京高考真题（文））已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
高中数学必修二 专题03 平面向量的应用(重难点突破)(含答案)
专题03 平面向量的应用一、考情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、经验分享1.向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则(1)|λa|＝|λ||a|；3.如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（3）三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 5、平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|. 6、平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 7、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b |≤|a||b|.8、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .9、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10、主要问题归类与方法：1）几何图形中的向量关系与计算问题方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标． 2）方法选择与优化建议：解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．三、题型分析（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.例1.（1）【四川省2020届高三适应性考试数学试题】在平面四边形中，满足，则四边形是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C 【解析】因为，所以，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形是菱形.（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则ABCD 0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=ABCD 0AB CD +=AB CD DC =-=ABCD ()0AB AD AC DB AC -⋅=⋅=ABCDA ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OB OA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0，可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2020届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的 中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD +C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.【变式训练2】．．（2020·北京高二学业考试）如果正的边长为1，那么等于A ．B ．C ．1D ．2【答案】B 【解析】 正的边长为1，，故选：B ．（二）平面向量的坐标运算（平行与垂直）：例2．【福建省宁德市2020届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ，∴145⋅=--=-a b ，故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能 【变式训练1】．（2020·上海外国语大学附属大境中学高二期末）已知为两个单位向量，那么下列四个命题中正确的是（ ） A ． B ．若，则C ．D ．【答案】D 【解析】若，则，且方向相同中，方向未规定；中，方向相同或相反，均不能得到，则错误； 中，，错误；中，， ，正确.故选：【变式训练2】．（2019·河南高三月考）设向量，，且，则实数的值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，解得：本题正确选项：【变式训练3】．（2020·浙江高三月考）设向量，若向量与向量垂直，则实数的值为（ ）,a b a b =//a b a b =1a b ⋅=22a b =a b =a b =,a b A ,a b B ,a b a b =,A B C []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=<>=<>∈-C D 221a a ==221b b==22a b ∴=D D ()4,2a =()2,1b k k =--a b ⊥k 1-123a b ⊥()()4221260a b k k k ∴⋅=-+-=-+=3k =D (1,2),(1,1)a b ==-a λb +a λA ．B ．1C ．D ．【答案】D【解析】由已知得，向量与向量垂直，.即，解得.故选D.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．例3．（1）（2020·河南高三月考）已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B431-5-(1,2)a b λλλ+=-+a λb +a ()0a b a λ∴+⋅=(1)1(2)20λλ-⨯++⨯=5λ=-ABC ∆G AB 8AC CB ⋅=-AB =【解析】设的中点为，则.因为的重心恰好在以边为直径的圆上，所以且，解得.（2）.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.AB M 2GA GB GM +=ABC ∆G AB 0GA GB ⋅=2.GC GM AC CB =-⋅()()AG GC CG GB =+⋅+2AG CG GC AG GB GC GB =⋅-+⋅+⋅2()GC GA GB GC =⋅+-2222GC GM GC GC =⋅-=-22||8AB =-=-||2AB=∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．【变式训练1】．（2020·黑龙江大庆一中高考模拟）已知向量，，且，则实数_____． 【答案】1 【解析】；故答案为：．【变式训练2】（2020·陕西省黄陵县中学高一期末）已知向量，，则与的夹角等于_______. 【答案】【解析】cos θ＝1||||2a b a b ⋅-==又由两向量夹角的范围是0[0,180]0150θ∴=.（四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a，或坐标公式||=a,8a m ＝（）3,2b -＝（）()a b b +⊥m ＝()3,6;a b m +=+()a b b +⊥()()•33120;a b b m ∴+=+-=1.m ∴=1(1,3a =-()3,1b =-a b 150（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.例4．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2020届高三5月校际联合考试数学试题）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为A ．1BC ．12D 【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ，所以向量a 在b 方向上的投影的数量为cos ,2⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.【变式训练1】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b ，则实数m =A ．2±B ．2C ．D【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2||(||cos )2m==⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b （此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）. 【变式训练2】已知向量,a b 满足1=a ，,2t t b，-a b 与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．2B ．1CD ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ．又由-=a b 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得-=a b（五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．例5、已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·(a ＋2b )＝－5，则|c |的最小值为 ．【答案】．577【解析】解法1（基向量和定义法）：因为2|2|(2)a b a b +=+=2244a b ab ++==，设c 与a ＋2b 的夹角为θ，由c ·(a ＋2b )＝－5得：|||2|cos c a b θ⨯+=－5，即||c =1cos 0θ-≤<，所以，当cos 1θ=-时，|c |的最小值为577.解法2（坐标法）：建立平面直角坐标系，设 a (1,0)=，b 1,22⎛= ⎝⎭，c (,)x y =，因为c ·(a ＋2b )＝－5，所以(,)5x y ⋅=-，即250x ++=，所以点(,)C x y 为直线250x ++=上的动点，又|c |OP == （O 为坐标原点），所以|c |的最小值即为坐标原点到直线250x ++=的距离，即|c |min ==. 【变式训练1】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________． 【答案】13【解析】解法1(基底法) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝λAC →＋(1－λ)AB →，所以AM →·BC →＝[λAC →＋(1－λ)AB →]·(AC →－AB →)＝λ|AC →|2＋(λ－1)|AB →|2＋(1－2λ)AB →·AC →＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos 120°＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则(x －3，y)＝λ(－1－3，3)，即⎩⎨⎧x ＝3－4λ，y ＝3λ，故AM →·BC →＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.（六） 平面向量数量积中的隐圆问题通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程，通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．例6、已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________. 【答案】 7－23【解析】解法1 以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(3，0)，AC →＝⎝⎛⎭⎫32，332，设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，由AQ →＝23AP →＋13AC →，得AQ →＝⎝⎛⎭⎫23x ′＋12，23y ′＋32，即⎩⎨⎧x ＝23x ′＋12，y ＝23y ′＋32，所以⎩⎨⎧23x ′＝x －12，23y ′＝y －32，两式平方相加得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49(x ′2＋y ′2)，因为点P (x ′，y ′)在以A 为圆心的单位圆上，所以x ′2＋y ′2＝1，从而有⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49，所以点Q 是以M ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，R ＝23的圆上的动点，因此BQ min ＝BM －R ＝⎝⎛⎭⎫3－122＋⎝⎛⎭⎫0－322－23＝7－23.【变式训练1】 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是________． 【答案】[6－1，6＋1]【解析】如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，因为|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝1，所以|OD →|＝|OA →＋OB →|＝()2OA OB+＝222OA OA OB OB ++＝6，由|OA →＋CB →|＝1得|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OD →－OC →|＝|CD →|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC →|表示点C 到点O 的距离，从而|OD →|－1≤|OC →|≤|OD →|＋1，即6－1≤|OC →|≤6＋1，即|OC →|的取值范围是[6－1，6＋1]．【变式训练2】已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 【答案】[－9，0]【解析】思路分析1 注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将问题转化为研究MO →的模的问题来进行求解．思路分析2 注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．解法1 因为MA →＝MO →＋OA →，MB →＝MO →＋OB →，又OB →＝－OA →，因此MA →·MB →＝MO →2＋MO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝MO →2－OA →2＝MO →2－16.因为M 是弦CD 上的动点，所以MO max ＝4，此时点M 在圆上，MO min ＝16－9＝7，此时点M 为弦CD 的中点，故MA →·MB →∈[－9，0]．解法2 以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设M (x ，y )，则A (4，0)，B (－4，0)，从而MA →＝(4－x ，－y )，MB →＝(－4－x ，－y )，故MA →·MB →＝x 2＋y 2－16.又因为点M 为弦CD 上的动点，且CD ＝6，所以7＝16－9≤x 2＋y 2≤16，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．。
专题02 多题一解之两平面向量垂直篇(解析版)
专题02 多题一解之两平面向量垂直篇【知识储备】1、 两向量夹角的定义：已知两个非零向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠AOB＝θ叫作向量a 与b 的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°； 向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量数量积：a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则有：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r点拨：0a b ⋅=r r、12120x x y y +=都是等量关系，为建立方程提供了依据，因此常以该知识点为平台考查求值问题，特别是数量积的坐标表示为向量与解析几何相结合提供了强有力的依据，另外两向量垂直还有相应的等价说法，如直角三角形、两直线垂直、直径所对的圆周角为90o，在处理这些问题时都可以转化为数量积为零来处理。
【走进高考】1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（131；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．因为P 为C 上一点，且12=0⋅u u u r u u u u rPF PF ，12S =16△F PF ，所以22221x y a b+=，()()()()0---+--=c x c x y y ，1||2162y c ⋅=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222abc=+得422b y c=，又由①知22216y c =，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB⊥u u u u r u u u r，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，()220∴+-=t t t ．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.3．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=o ，则k =______．【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y得22(1)4k x x -=，即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+，即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-，由90AMB ∠=o，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-u u u r u u u r1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k ++=，121x x =与124y y k +=，124y y =-代入，得2k=．4．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，则y y =-124又y x 211=2，y x 222=2，故()y y x x 21212=4=4，1212+0=x x y y ，所以OA OB ⊥．即角AOB=90o，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，，圆M 的半径r =由于圆M过点(4,2)P -，因此AP BP =u u u r u u u r g ，故()()()()121244++2+2=0x x y y --即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4． 所以2mm --=210，解得m =1或m=-12．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为，圆M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M的，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．5．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．【解析】由题意得(),0F c ，直线2b y=与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得BF CF ⋅=u u u r u u ur，2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则22231044c a b -+=，由222ba c =-可得223142c a =，则ce a===．【典例分析】以两向量垂直为依据考查求值问题：【例】（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且=0ACBC ⋅u u u ru u u r，则实数a 的值为_________．【答案】0或6【解析】圆:C 的标准方程为22(1)(2)9x y ++-=，所以圆心为(1,2)C -，半径为3．因为AC BC⊥，所以圆心C 到曲线0=+-a y x=所以0a =或6．【练习】在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值． 【解析】（I ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为(3,)t ，则有,)22()1(32222t t +=-+解得1t =．则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a从而21212214,2a a x x a x x -++=-=①，由于OA OB⊥，可得,02121=+y y x x又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a以两向量垂直为依据解决线过定点问题：【例】（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r．（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u rQUOTE．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由2NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r ， 由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m mtn n --+-=，又由（1）知222mn +=，故330m tn +-=．FCBOyx所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，即OQ PF ⊥u u u r u u u r ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．两向量垂直联想到直角三角形：例、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→。
高考平面向量专题突破2学生版
平面向量【考情上线】平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。
平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x y x a =+=。
向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a＝0⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a ⇔=。
将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a =文档收集自网络，仅用于个人学习（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。
记作a ∥b。
规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高考100题平面向量：专题二 平面向量的模的问题
I．题源探究·黄金母题【例1】已知||3a = ||2b = ，a 与b 的夹角为30︒，求||a b + 、||a b -．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016年四川高考卷】在平面内，定点A B C D ，，，满足DA ＝DB ＝DC ,DA DB ⋅ ＝DB DC ⋅ ＝2DC DA ⋅=- ，动点P M ，满足1AP = ，PM =MC ，则2BM 的最大值是（）A．434B．494C．3734+D．37334-【答案】B【解析】甴已知易得120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，2DA DB DC === ．以D 为原点，直线DA为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3A B C --．设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=．又PM MC = ，∴13,22x y M ⎛-+ ⎝⎭，∴133,22x y BM ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ，∴()(2221334x y BM -++= ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y与点(1,--距离平方的14，∴()22max 149144BM ⎫=+=⎪⎭ ，故选B．【例3】【2015年湖南高考卷】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++ 的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B 【解析】由题意，得AC 为圆的直径，故可设(,),(,),(,)A m n C m n B x y --，则(2,)PA m n =- ，(2,)PB x y =- ，(2,)PC m n =--- ，所以(6,)PA PB PC x y ++=- ，于是||PA PB PC ++＝221x y +=上的动点到定点(6,0)距离的最大值，从而根据图形特征知当10x y =-⎧⎨=⎩时，PA PB PC ++ 的最大值为7，故选B．【例4】（2015年浙江高考文科）已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅= ．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅= ，则b =___________．【答案】3。
18版：高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题（步步高）
∴f(34π－θ)＝
3sin(π－θ)＝
3sin θ＝
30 4.
12345
2.(2016·山东)设 f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； 解答 f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2 3sin2x－(1－2sin xcos x) ＝ 3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－ 3cos 2x＋ 3－1＝2sin2x－π3＋ 3－1. 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2(k∈Z). 所以 f(x)的单调递增区间是 kπ－1π2，kπ＋152π(k∈Z)或kπ－1π2，kπ＋51π2k∈Z.
(2)求 cosA－π6的值. 解答
由(1)，得 sin B＝35，cos B＝45，sin C＝cos C＝ 22，
则 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102，
cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－102，
如图，画出 y＝sinx＋π3在[0，π]上的图象， 当直线 y＝m2 与其有两个交点时，m2 ∈ 23，1， 所以 m∈[ 3，2).
5.若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内
的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高点和最低
点，且O→M·O→N＝0(O
为坐标原点)，则
则 cosA－π6＝cos Acosπ6＋sin Asinπ6＝7
2－ 20
6 .
思维升华
根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有 关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进 行取舍.
04 平面向量问题(学生版)
专题04 平面向量问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．(2022·全国乙文) 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．(2022·全国甲理) 设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且|a |＝1，|b |＝3，则(2a ＋b )b ＝________．4．(2022·全国甲文) 已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ．记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝( ) A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2n D ．2m ＋3n6．(2022·新高考Ⅰ) 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋t b ，若<a ，c >＝<b ，c >，则t ＝( ) A ．－6 B ．－5 C ．5 D ．67．(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则P A →·PB →的取值范围是( )A ．[－5，3]B ．[－3，5]C ．[－6，4]D ．[－4，6] 【知识总结】 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .3．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 4．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【常用结论】 1．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 2．极化恒等式三角形模式如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 【同类问题】题型一 向量的线性运算1．(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →2．(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )C 形式1C形式2BC 图(2)A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b5．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝06．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．439．已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋ μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．2310．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．题型二 平面向量的平行与垂直11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．12．(2018·全国Ⅰ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 13．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－3514．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn＝________．15．已知O 为坐标原点，点A (6，3)，若点P 在直线OA 上，且|OP →|＝12|P A →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为_________．16．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 17．(2021·全国乙)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 18．(2020·全国Ⅰ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________． 19．(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．20．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．题型三 面向量数量积21．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．22．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－1223．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．324．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．25．在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC26．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．27．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－128．已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是_____． 29．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]30．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．。
2023年新高考数学临考题号押题 押第3题 平面向量 学生版+解析
押新高考卷3题平 面 向 量考点 3年考题考情分析平面向量2022年新高考Ⅰ卷第3题2022年新高考Ⅱ卷第4题2021年新高考Ⅰ卷第10题2021年新高考Ⅱ卷第15题2020年新高考Ⅰ卷第7题2020年新高考Ⅱ卷第3题高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．1. 向量的运算（1）两点间的向量坐标公式：()11,y x A ，()22,y x B ，=AB 终点坐标-始点坐标()1212,y y x x --=（2）向量的加减法()11,y x a =，()22,y x b =()2121y y x x b a ++=+∴，，()2121y yx x b a --=-，（3）向量的数乘运算()y x a ,=，则：()()y x y x a λλλλ,,==（4）向量的模()y x a ,=，则a 22y x +（5）相反向量已知),(y x a =，则),(y x a --=-；已知（6）单位向量()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222222,,,y x y y x x y x y y x x y x a 反向单位向量为同向单位向量为（7）向量的数量积[]πθθθ,0,∈⋅且与为其中b a b a()()21212211,,,y y x x b a y x b y x a +=⋅∴==，（8）向量的夹角 222221212121cos y x y x y y x x ba +⋅++θ（9）向量的投影b a ba ab b a ba b a θθ上的投影为在上的投影为在（10）向量的平行关系 1221//y x y x b a b a =⇔=⇔λ（11）向量的垂直关系002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a（12）向量模的运算2a 1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB =（ ）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +A．13BE CF--B．13BE-13．（2023·重庆·统考二模）已知点34x y+=（）A．4255a b+B．2516．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则A ．[]28,46B 17．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）为坐标原点，则+ OA OB A ．23C ．A ．2,23⎡⎤⎣⎦B ．押新高考卷3题平 面 向 量考点 3年考题考情分析平面向量2022年新高考Ⅰ卷第3题2022年新高考Ⅱ卷第4题2021年新高考Ⅰ卷第10题2021年新高考Ⅱ卷第15题2020年新高考Ⅰ卷第7题2020年新高考Ⅱ卷第3题高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．向量的运算（1）两点间的向量坐标公式：()11,y x A ，()22,y x B ，=AB 终点坐标-始点坐标()1212,y y x x --=（2）向量的加减法()11,y x a =，()22,y x b =()2121y y x x b a ++=+∴，，()2121y yx x b a --=-，（3）向量的数乘运算()y x a ,=，则：()()y x y x a λλλλ,,==（4）向量的模()y x a ,=，则a 22y x +（5）相反向量已知),(y x a =，则),(y x a --=-；已知（6）单位向量()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222222,,,y x y y x x y x y y x x y x a 反向单位向量为同向单位向量为（7）向量的数量积[]πθθθ,0,∈⋅且与为其中b a b a()()21212211,,,y y x x b a y x b y x a +=⋅∴==，（8）向量的夹角 222221212121cos y x y x y y x x ba +⋅++θ（9）向量的投影b a ba ab b a ba b a θθ上的投影为在上的投影为在（10）向量的平行关系 1221//y x y x b a b a =⇔=⇔λ（11）向量的垂直关系002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a（12）向量模的运算2a 1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB =（ ）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B【详解】的模为2，根据正六边形的特征，AP 在AB方向上的投影的取值范围是结合向量数量积的定义式，AB 等于AB 的模与AP 在ABAB的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上的中点，则CB=（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.所以12m=，56n=，所以43m n+=，故选：D故选：B9．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量(1,3a = 值为（ ） A ．219B ．411C 【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案【详解】由题意，()14,51b c λλλ+=+- ，由a即()143510λλ++⨯-=，解得219λ=. 故选：A.A．13BE CF--B．13BE-【答案】C【分析】确定133 222 AD BD BE=-∴E是AM的中点.∥，NF 分别过C，N作CH AM因为AENF为平行四边形，所以1A ．4255a b +B ．25【答案】A【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解【详解】如图所示，过点E 分别作EM AB ⊥，AEB :V ，AEN ABE V :V ，AE AB = ，AN AE BE AB = ，AM 2AE BF BE ==，A ．[]28,46B 【答案】C 【分析】利用已知条件，把22PE PF PB BE⋅=- ，再根据【详解】如图可知,A ．2,23⎡⎤⎣⎦B ．而ABC V 是正三角形，则∠当点P 在弧BD 上时，0θ≤显然3,1,AO OP OAB ==∠。
2021高考数学二轮专题复习专题二第3讲 平面向量数量积的最值问题
第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13， 当且仅当t ＝12时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13.(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________．答案 5－213解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≤θ≤2π3， 则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6， 当θ＝π2－φ时，PC →·PA →取得最小值，为5－213. 数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．答案 6解析 由AB →·AC →＝－1，得|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，当且仅当|AB →|＝|AC →|＝2时等号成立，所以|BC →|min ＝ 6.2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332. 以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72. 又D ⎝⎛⎭⎪⎫1，332， 所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132.所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132. 3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．答案 －54解析 不妨设e ＝(1,0)，a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，故|a ＋b |＝1＋(m ＋n )2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，则mn ≤34， 所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54， 当且仅当m ＝n ＝32时等号成立， 所以a ·b 的最大值为－54. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________． 答案 2解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°， 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，－12≤x ≤32， 因为MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－32，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ，－32， 所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14. 设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32， 所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2.。
2023高考数学基础知识综合复习专题2平面向量的几何意义极化恒等式等和线 课件(共12张PPT)
4
a·b=
考点三
等和线
例 6 已知△AOB,点
解 由已知 =
P 在直线
||
AB 上,且满足=2t+t(t∈R),求 .
||
2
+
,点
1+2
1+2
P 在直线 AB 上,
2
+
=1,t=1.
1+2 1+2
得
2
3
1
3
可得 = + ,2 = ,
π
2
易得 sin(θ+4)∈[- 2 ,1],
故 ·∈[0,1+ 2].
例2已知单位向量e,平面向量a,b满足a·e=2,b·e=3,a·b=0,求|a-b|的
最小值.
解 由题意得,a在e上的投影数量为2,b在e上的投影数量为3,
建系如图:
设 A(2,m),B(3,n),a=(2,m),b=(3,n),m>0,n<0,
例 1 在平面直角坐标系中,已知
A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 1- 2 上一
个动点,求 ·的取值范围.
解 设 P(cos θ,sin θ),0≤θ≤π,=(1,1),=(cos θ,1+sin θ),
π
∴ ·=cos θ+1+sin θ= 2sin(θ+4)+1,θ∈[中线来表示,即 a·b=||2-|| .它揭
4
示了三角形的中线与边长的关系.
三、等和线
如图,平面内一组基底, 及任一向量 , =x+y .连接
AB,OP 相交于点 Q,则 x+y= ,过 P 作 AB 的平行线分别交
高考数学(理)三轮冲刺课时训练：平面向量(2)(含答案)
平面向量课时提升训练（2）1、在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且.，则的最小值为( )A． B． C． D．2、在边长为1的正三角形中，，，且，则的最大值为（）A． B． C． D．3、已知平面上不重合的四点，，，满足，且，那么实数的值为（A）（B）（C）（D）4、定义域为的函数的图象的两个端点为A,B,M图象上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”.若函数上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A. B. C. D.5、如图，平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且等于A. B. C. D.16、如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则的最小值是( )A． B. C. D.7、若内有一点,满足,且,则一定是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形8、Ｏ是平面上一定点，Ａ，B，Ｃ是平面上不共线的三个点，,则P点一定通ΔABC的 ( )A.重心B.内心C.垂心D.外心9、如图，中，,分别是边上的点，且,其中,若的中点分别为且,则的最小值是A. B. C. D.10、已知点是边长为的等边的外心，则等于A. B. C. D.11、如图，已知中,点在线段上, 点在线段上且满足,若,则的值为A． B． C. D．12、设ΔABC的三个内角为 A、B、C，，则角C等于（）A． B． C． D．13、已知，点C在ΔAOB内部，，则k等于（）A．1 B．2 C． D．414、下列命题中：①存在唯一的实数②为单位向量，且③④与共线，与共线，则与共线⑤若，其中正确命题序号是（）A．①⑤ B．②③ C．②③④ D．①④⑤15、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则( )A．9 B．6 C．4 D．316、O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：①；②；③：：=cosA：cosB：cosC; ④，使得。
第05讲 平面向量之极化恒等式(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案
第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。
而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
极化恒等式22()()4a b a b a b +--×=r r r r r r 恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中, ,AB a AD b==uuu r uuu r rr 则 22()()4AB AD AB AD a b +--×=uuu r uuu r uuu r uuu r r r 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--×==-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r r r极化恒等式的适用条件(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
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平面向量【考情上线】1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。
平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x y x a =+=。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量（1） 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a ＝0⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别） （2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a ⇔=。
将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a =（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。
记作a ∥b。
规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a -。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a； ③()0a a +-=；④若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
记为b a=。
相等向量经过平移后总可以重合。
aba b-C二、向量的线性运算1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC 。
规定：a a a =+=+00；（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。
注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
（3）向量加法的运算律：①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()()a b c a a c ++=++ 2.法向量的减（1） 定义：若a x b +=则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
（2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”① 三角形法则：当,a b 有共同起点时，a b -表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。
设,AB a AC b ==则a-b =AB AC CB -=.3.实数与向量的积（1） 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：① a a⋅=λλ；② 当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的。
（2） 数乘向量的运算律①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+。
三、向量共线定理1. 定理：若a 与b 是两个非零向量，则a b 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=，即//(0)a b b a a λ⇔=≠2. 推论：若a 与b 是两个非零向量，则a b 共线⇔存在两个均不为零的实数λμ、，使得0a b λμ+=，3. 应用：可以证明三点共线：AB AC A B C λ=⇒、、三点共线。
四、平面向量的基本定理1. 定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=。
我们把不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2. 注意：①要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，②当a 用基底21,e e写成2211e e aλλ+=时，称之为向量的分解， ③当若a 与b 是两个非零向量，则a b 共线⇔有且只有一个实数λ，使得12e e ⊥时，称2211e e aλλ+=为向量的正交分解。
3. 应用：①证明向量共面：若,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使p xa yb =+②证明四点共面：若,MA MB 不共线，存在实数对(,)x y 使,,,MP xMA yMB M P A B =+⇔四点共面， ③证明三点共线：若,MA MB 不共线，存在实数对(,)x y 使1,,MP xMA yMB x y P A B =++=⇔且三点共线。
五、平面向量的坐标表示与运算1. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 的横坐标，y 叫做作纵坐标。
规定：① (1,0)i =，(0,1)j =② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 2. 平面向量的坐标运算：①若1122(,),(,)a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±；②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--；③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)；④若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=；1212a b x x y y ⊥=+⑤若112(,),(,)a x yb x y ==， 则1212,a b x x y y =⇔==六、线段的定比分点从标公式设直线l 上有一条有向线段12PP 和一个不同于12,P P 的动点P ，若12||||PP PP λ=,即12(1)PP PP λλ=≠-,则称点P 为有向线段12P P 的定比分点，且称P 分有向线段成定比λ。
设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，则12121(1)1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩若1λ=，得到12P P 中点坐标121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 七、几个重要结论1. 2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+，22||||()()a b a b a b -=+- 2. 若G 为ABC ∆的重心⇔1231230(,)33x x x y y y GA GB GC G ++++++=⇔。
【例题讲解】考点一：向量的基本概念例 1. 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。
（1） 若向量a b 与同向，且||||a b >，则ab >；（2） 若向量||||a b =，则a b 与的长度相等且方向相同或相反； （3） 对于任意向量||||a b =，且a b 与的方向相同，则ab =；（4） 由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（5） 向量AB 与向量CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上；（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。
解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确. （2）不正确，由||||a b =只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。
（3）正确，因为||||a b =，且方向相同，由两向量相等的条件可得ab =（4）不正确，由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确。
（5）不正确，若向量AB 与向量CD 是共线向量，则向量AB 与CD 所在的直线平行或重合，因此，,,,A B C D 不一定共线。
（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。
例2. 判断下列各命题是否正确： （1） 若||||a b =，则ab =；（2） 单位向量都相等； （3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若a b =，bc =，则a c =；（6） 若//a b ，//b c ，则//a c ；（7） 若四边形ABCD 是平行四边形，则,AB DC BC DA ==解：（1）不正确，由||||a b =只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。
有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若0b =，则对两个不共线的向量a 与c ，也有//0,0//a c ，但//a c （7）不正确，考点二：向量的基本运算例3. 如图所示，已知,,,,,OA a OB b OC c OD d OE e OF f ======，试用,,,,,a b c d e f表示：（1）AD AB -; （2）AB CF +; （3）BF BD -.例4.如右图，以向量,OA a OB b ==为边作OADB ,1,3BM BC =13CN CD =,用,a b 表示,,OM ON MN考点三：共线向量例5. 设两个非零向量,a b 不共线， （1）若AB a b =+，28,3()BC a b CD a b =+=-，求证：,,A B D 三点共线。