线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4
3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
线性代数与空间解析几何(哈工大
20
例5：证明 (a b)2 (a b)2 a2b2 证：由内积定义知 (a b)2 | a |2 | b |2 c，os2
21
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积）[abc] (a b)是c 个数值.
2．几何意义：[abc] V， 设 a,b不,c 共
面，| a b || a || b | sin(a, b) ， S oADB [abc] (a b) c，|当a b为|| c | cos
锐角 时， 右手a,b系,c
1
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念
现实生活中有这样的两种量：数量（标量）， 即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温 度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方 向的量，如：力、速度、加速度、电场强度 等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不 行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的 工具.
( a) (mb) m(a b)
3．注：（（2）1）称a 为b 并数0 不量见积得是因中结ab必果有是个向数0量. ， 也a 可b.
（ （34） ）数量a 积b无c不意满义足. 消去律即 事实上，所以.
a b a c, a 0 b c
15
例2：用向量的数量积，证明恒等式
| a b |2 | a b |2 2 | a |2 2 | b |2
6
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法.
1．定义：k Z, a ，0 则 是ka一个向量，与 共线a ，模 | ka || k || a与|, k 同0 向，a 时与 反向，k 0 . a 0a 0
0.线性代数课程简介
3
5．课程体系、内容 ．课程体系、 课程的内容主要包括：行列式，矩阵，几何向量， 维向量 维向量， 课程的内容主要包括：行列式，矩阵，几何向量，n维向量， 线性方程组（包括平面、直线位置关系） 特征值 特征值、 线性方程组（包括平面、直线位置关系）,特征值、特征向量与 相似矩阵，线性空间与线性变换，二次型与二次曲面. 相似矩阵，线性空间与线性变换，二次型与二次曲面 各部分内容之间的 相互关系如图所示： 相互关系如图所示：
2
3.课程的教学要求： 课程的教学要求： 课程的教学要求 使学生认识和理解现实生活中的“线性模型” 领会“ 使学生认识和理解现实生活中的“线性模型”；领会“数”与 掌握线性代数的核心内容， “形”的内在联系 ；掌握线性代数的核心内容，即 ：线性方程组 解的结构， 的解的存在条件 、解的结构，求解方法及线性方程组的几何背 矩阵在处理离散、 景；矩阵在处理离散、线性的问题中所起的作用与所扮演的角 二次型的几何背景、化简及应用. 色 ；二次型的几何背景、化简及应用 4.教学目标： 教学目标： 教学目标 通过本课程的教学要使学生比较系统地理解代数与几何的 基本概念和基本理论,掌握基本方法 掌握基本方法.逐步培育学生具有逻辑推 基本概念和基本理论 掌握基本方法 逐步培育学生具有逻辑推 理和抽象思维能力,空间直观和想象能力及综合运用所学的知识 理和抽象思维能力 空间直观和想象能力及综合运用所学的知识 分析和解决问题的能力.为学好后继课程打下坚实的基础 为学好后继课程打下坚实的基础. 分析和解决问题的能力 为学好后继课程打下坚实的基础
1
二、课程体系、课程内容 课程体系、 1． 教学定位 ． （1）线性代数与空间解析几何是我校理工科各专业必修 线性代数与空间解析几何是我校理工科各专业必修 的重要基础理论课，是理工科数学教学三门主要课程之一, 的重要基础理论课，是理工科数学教学三门主要课程之一,在 一般理工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、 一般理工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、 科学研究和各行各业中有广泛的应用. 科学研究和各行各业中有广泛的应用 （2）线性代数与解析几何是后继课程学习的需要； 线性代数与解析几何是后继课程学习的需要； （3）线性代数与解析几何是研究生考试的需要。 线性代数与解析几何是研究生考试的需要。 2.课程的特点： 课程的特点： 课程的特点 线性代数与空间解析几何融为一体。 线性代数与空间解析几何融为一体。代数中的许多概念 非常抽象，几何为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数 非常抽象，几何为抽象的代数提供了直观想象的空间 代数 为几何提供了便利的研究工具.代数与几何的融合能加强学生 为几何提供了便利的研究工具 代数与几何的融合能加强学生 对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法处理几何问题. 对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法处理几何问题
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何现代数学自古以来一直深受赞誉，它有着无与伦比的智慧，深刻地理解了许多自然界的秩序。
在经典的几何学中，线性代数和空间解析几何是一种重要的数学理论。
它们不但有助于我们深入理解数学，还可以应用到许多实际问题中。
线性代数是一种数学理论，有着十分丰富的内容，它着眼于研究向量空间，研究线性变换及其线性组合，并将这些结果应用到其他向量空间中。
它的主要内容有：多维向量的基础概念，线性方程组和矩阵的计算，线性变换的性质，特征值分解，矩阵运算，矩阵行列式，矩阵特征和Eigenvalue decomposition等。
这些内容都有助于研究者们用数学统一分析和处理各种复杂的实际问题。
空间解析几何是一种数学理论，主要涉及几何体的形状、大小、位置、形变，空间向量的表示、数量计算及构造，三维图形的建模等，它更加强调呈现几何对象的形状，揭示几何对象的实质，把抽象几何学转化为实际的几何问题求解。
同时它也是其他几何理论的基础，可以在研究立体几何、分析几何、微分几何、代数几何、拓扑学、曲面几何等领域发挥作用。
线性代数和空间解析几何有着密切的关系，它们之间的协同作用可以帮助研究者更深入地了解数学，并将它们用于解决实际问题。
如空间解析几何的结果可以用来解决线性代数的线性方程，反之亦然，两者的应用实例很多。
比如，空间解析几何可以应用于三维建模和图像处理，线性代数可以用来求解函数和拟合曲线。
在经济管理学中，线性代数和几何解析学可以用来研究金融机构的可操作性和有效性，研究多维数据的分析等。
在工程和物理学方面，线性代数和空间解析几何可以用于求解大量复杂的物理问题和工程设计，它们也可以应用于预测和控制方面，如控制系统设计、航空航天应用，甚至是自然灾害和资源量化分析等。
综上所述，线性代数和空间解析几何在现代社会生活中起着越来越重要的作用，它们不仅可以用于解决科学上的复杂问题，也可以用于经济、工程和物理等不同领域的科学研究，我们可以用它们来解决实际问题，从而实现社会的发展。
线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答：是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若A可逆， 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之，当|A|≠0时，因
例1 下列矩阵A、B是否可逆？若可逆，求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解 因|A|＝１≠０， 故A可逆。
又因为A11=3，A12=-5，A21=-1，A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
线性代数与空间解析几何的相互应用分解
摘要在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何有很多相互应用之处.本文就线性代数与空间解析几何之间的相互应用做些初探.首先，线性代数在空间解析几何中的应用，包括，齐次线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何中的应用，三元一次线性方程组的解判断平面位置关系，二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线的一般方程中的应用.其次，空间解析几何在线性代数中的应用，包括，代数问题的几何化意义，线性代数概念及问题的几何解释，线性代数中解析几何的应用.通过本文的讨论来说明线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的.可以更确切一点的说空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广并使之抽象化.关键词：线性代数，解析几何，相互应用Each application of linear algebra and spaceanalytic geometryAbstractIn our learning process, can be found a lot of mutual application in linear algebra and space analytic geometry. This paper do some research on mutual between the application of linear algebra and space analytic geometry. Firstly, application, linear algebra in spatial analytic geometry including, application of homogeneous linear equations, the matrix rank in space in analytic geometry, three yuan for a solution of the linear equations determine the plane position, application of general equation theory and methods of two type to simplify two times, two times the surface curve. Secondly, the application, the space analytic geometry in linear algebra, geometry significance algebraic problems, geometric interpretation of linear algebra concepts and problems of the application of analytic geometry, linear algebra. Through the discussion of the paper to illustrate the linear algebra and space analytic geometry is the mutual connection, mutual promotion. Can be a little more precise to say is the space analytic geometry is the cornerstone of linear algebra and linear algebra is generalized, and space analytic geometry the abstraction.Keywords: linear algebra, analytic geometry, the use of each other目录一、引言 (1)二、线性代数在空间解析几何中的应用 (1)（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用 (1)（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系 (4)（三）二次型理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用 . 5（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用 (6)三、空间解析几何在线性代数中的应用 (9)（一）代数问题几何化意义 (9)（二）几个线性代数概念的几何化解释 (11)1.关于行列式的几何背景[6] (11)2.关于正交变换的几何意义 (13)3.关于正交化的几何解释 (13)（三）两个线性代数问题的几何解释 (13)1.线性相关与线性无关 (13)2.施密特正交化 (14)（四）线性代数中解析几何的应用 (15)四、结束语 (16)五、参考文献 (17)一、引言线性代数起源之一是解线性方程组.线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数,即使是解析几何,直线、平面方程都是线性的,平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关.在十七世纪,笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系，从而在几何与代数间建立了一座桥梁，用代数方法解决空间的几何问题,产生了解析几何.解析几何的产生，可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价：数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，运动进入了数学，有了变量，辩证法进入了数学，有了变量，微分和积分也就成了必要的了.人们也注意到，对于变量不多于三个的某些代数问题，如果将其解释为相应的几何问题,有助于代数问题的解决.当处理变量个数多于三个的问题时,直观的几何解释不再存在,但是数学家从几何学的经验中汲取直觉，把几何空间的矢量运算规律抽象出来，形成了有限维矢量空间理论，建立空间基的概念，将坐标系的概念推广到抽象的线性空间中，再将其中得到的理论应用于几何空间.历史上，几何与代数互为问题，互为方法，相互交融.解析几何为线性代数提供了一些几何背景,而线性代数又为解析几何提供了有力的工具.本文的目的就是浅谈线性代数与空间解析几何的相互应用.二、线性代数在空间解析几何中的应用（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用定理[2]：齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零.即只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零.即0≠D0212222111211==nn n n n n a a a a a a a a a D该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的.例1:若矢量a 同时垂直于三个不共面向量321,,a a a 则0=a .证明:设{}3,2,1,,,==i c b a a i i i i , {}z y x a ,,=321,,a a a 不共面0333222111≠∴c b a c b a c b a又 a 同时垂直于321,,a a a ,(*)000333222111 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++∴z c y b x a z c y b x a z c y b x a0333222111≠c b a c b a c b a故齐次线性方程组(*)只有零解,即,0===z y x 从而0=a例2：求由不共线三点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x B z y x A 所确定的平面π的方程.解:π∈A ,∴设π的方程为:0)()()(111=-+-+-z z c y y b x x a ,其中c b a ,,至少有一个不为零.同理,ππ∈∈C B , ,所以有:0)()()(0)()()(131313121212=-+-+-=-+-+-z z c y y b x x a z z c y y b x x a于是可得到一个关于c b a ,,的齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(131313121212111c z z b y y a x x c z z b y y a x x c z z b y y a x x∵c b a ,,不全为零,∴该方程组至少有一个非零解,由定理知,其系数行列式的值为零,即0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 此即π的方程.例3:求四点),,(),,,(),,,(),,,(444333222111z y x D z y x C z y x B z y x A 在同一平面上的充要条件.解:设D C B A ,,,共面于平面0=+++d cz by ax (c b a ,,不全为零),则有(*)0000444333222111 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++d cz by ax d cz by ax d cz by ax d cz by ax则(*)是关于变量d c b a ,,,的齐次线性方程组.又由于c b a ,,不全为零,故d c b a ,,,不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非零解的充分必要条件是: 01111444333222111=z y x z y x z y x z y x此亦为所求. 例4:试证三平面0=++z c y b x a i i i )3,2,1(=i 共线的充分必要条件是: 0333222111=c b a c b a c b a 证明:显然坐标原点)0,0,0(是三平面的一个公共点.于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点,也就是方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111z c y b x a z c y b x a z c y b x a有无非零解的问题,于是由定理知其充要条件是: 0333222111=c b a c b a c b a （二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用，下面以一个三元一次线性方程组为例[4].设空间中三个平面321,,πππ,其方程为:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()(333332222231111πππd z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a其系数矩阵为A ,增广矩阵为A ,那么方程组的解可以分为以下几个情形:1.如果r A r A r ==)()(,三个平面有公共点,方程组有解.①如果3=r ,方程的系数矩阵可逆,则方程存在唯一解,这时三个平面相交于一点.②如果2=r ,方程组的解等价于某两个线性无关的解,存在无穷多个解,此时三个平面相交于一条直线.③如果1=r ,三个方程组重合为一个方程组,方程组有无穷多解,三个平面重合.2. 当)()(A r A r ≠,三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知1)()()(1+=<≤A r A r A r .① 如果3)(,2)(==A r A r ,设()Ta a a A 321,,=,则分为两种情况: 如果A 的行矢量两两线性无关,则三个平面形成一个三棱柱.如果A 的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为1a 与2a 线性相关,则21,ππ,平行,与3π相交. ②如果2)(,1)(==A r A r ,三个平面互相平行,设()Ta a a A 321,,=.如果))(,(j i A A j i ≠线性无关,则三个平面互相平行但不重合.如果A 的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为1a ,2a ,则21,ππ重合,与3π平行.（三）二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用当我们从几何空间抽象出一般矢量空间后,又可以将其中得到的结论和方法应用于解决几何问题.在空间解析几何中,空间二次曲面用一个三元二次方程表示,这是线性代数中二次型的特例[4],所以,在线性代数中关于二次型的理论和方法又可以解决几何中二次曲面、二次曲线化简的问题.例1：证明二次曲面0332214244422=+---++z y x yz z y 为椭圆抛物面. 解:利用二次型理论化方程为标准方程,该曲面方程可写成：()()3322142420240000-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x z y x⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+22142,420240000,,33b A z y x x x b Ax x T T 其中或⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121021210001P 经计算得正交矩阵{},6,2,01diag AP P AP P T ==-使得 ,62,22z y AX X z y x P z y x T '+'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛有所以通过坐标旋转变换z y x z y x P b x b T T '-'-'-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=2361282 带入曲面方程，得：()12236222,332361282622222-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-='-'-'-'+'x z y z y x z y 即 再做坐标平移变换 ,23,22,1+''='+''='+''='z z y y x x 原曲面方程化为了标准方程x z y ''=''+''223从标准方程可以看出二次曲面为椭圆抛物面.同样，应用二次型理论可以化简二次曲线一般方程为标准方程，从而确定二次曲线的形状，这里不再进行讨论.（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果下面讨论矩阵的秩关于解析几何的几个定理及其应用[5].定理1：已知两条直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111d z c y b x a d z c y b x a ⎩⎨⎧=+++=+++0044443333d z c y b x a d z c y b x a矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4444333322221111444333222111d d c b a d c b a d c b a c b a c b a c b a c b a c b a 和 的秩分别是r 和R ,则：①两条直线既不平行也不相交的充要条件是3=r ,4=R ； ②两条直线相交的充要条件是3==R r ；③两条直线平行且相异的充要条件是2=r ,3=R ；④两条直线重合的充要条件是2==R r ；定理2：已知面11111:d z c y b x a =++π与平面22222:d z c y b x a =++π，设线性方程组⎩⎨⎧=++=++22221111d z c y b x a d z c y b x a )1(的系数矩阵为A ，增广矩阵为A ,则 ①若秩)(A =秩()2=A ，平面1π与2π相交于一条直线； ②若秩)(A =秩()1=A ，平面1π与2π重合； ③若秩1)(=A ，但秩()A =2，平面1π与2π平行. 证明：考虑线性方程组)1(①若秩2)(=A ，且秩2)(=A ，此时方程组)1(有解，设它的一个特解为()0000,,z y x =γ，它的导出组 )2( 的系数矩阵A 的秩为2，而未知量有3个，因此方程组)2(有非零解，且基础解系里解的个数为123=-个设),,(321e e e =η，是导出组的一个基础解系，则方程组（1）的全部解为),,(3020100ke z ke y ke x k r +++=+η，其中k 取遍全体实数.从解析几何知，当k 取遍全体实数时，点),,(3020100ke z ke y ke x k r +++=+η的轨迹是通过点的且方向向量为η),,,(0000z y x r =一条直线，平面所以当秩2)(=A 时，平面1π与2π相交于一条直线. ②若秩1)(=A ，且秩1)(=A 此时方程组)1(有解，因为1111,,,d c b a 与),,,(2222d c b a 成比例，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000111122221111d c b a d c b a d c b a 所以方程组)1(的一般解为1111d z c y b x a =++这就是平面1π的方程,因此平面1π与2π，重合.③若秩1)(=A ,但秩2)(=A 此时方程组)1(无解，即平面1π与2π没有公共点，所以1π与2π平行.由于111,,c b a 不全为零，所以,因此只有上述三种情况. 定理3：已知三个平面：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a设r 和R 分别是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333322221111333222111,d c b a d c b a d c b a B c b a c b a c b a A的秩，则：①三个平面有唯一公共点的充要条件是3=r ；②三个平面两两相异且有唯一公共点的充要条件是2==R r ，且矩阵A 的任何两行不成比例；③三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是3,2==R r ，且矩阵A 的任何两行不成比例；④两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是3,2==R r ，且A 的两行成比例；⑤三个平面相互平行的充要条件是2,1==R r ，B 的任何两行不成比例；⑥两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是2==R r ，且B 的两行成比例；⑦两个平面重合，第三个与它们平行的充要条件是2,1==R r ，且B 的两行成比例；⑧三个平面重合的充要条件是1==R r ； 例 ：证明下列两条直线互相平行：⎩⎨⎧=++-=-+7272:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=--=-+028363:2z y x z y x L证明：由定理1的③只需证明3,2==R r .令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=112363112121A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=0112836371127121B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→000000150121150000150121A ()2==∴r A r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→00001300021507121141501300021507121B ()3==∴R B r ，故由定理:1③知，两条直线平行. 解析几何证明是：{}5,1,31221,2111,11121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=S {}15,3,91263,2133,11362---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧------=S故112,3S S S 即-=平行2S ，亦即两条直线平行.从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关系；直线与直线的位置关系是简单而方便的.三、空间解析几何在线性代数中的应用（一）代数问题几何化意义线性代数中有许多概念是非常抽象的,以至于学生在学习时被这些概念所困扰,因此可以用几何空间的例子化解学习线性代数时的困难[4].下面以向量空间为例来说明.在线性代数中所涉及到的向量空间是n R ,理解n 维向量空间的概念是较抽象的，其实它就是空间解析几何中3R 的推广.而对于3R 空间它有具体的几何意义，我们是熟悉的.这样把它推广到一般n 维空间，我们就很容易接受了.学生理解了一般向量空间的概念后,就会知道向量空间是一个非常广泛、非常抽象的概念,不仅n R 是n 维向量空间,n x R ][(次数不超过n 的实系数多项式的集合)也是n 维向量空间,不仅有有限维向量空间,还有无限维向量空间,如V ={)(x f |f 为定义在],[b a 的实函数}也是向量空间,这些现代数学思想,对我们今后进一步学习和应用数学,都是非常有益的.由于一般向量空间有着高度的抽象性,因此,我们在讨论这个概念及有关理论时,强调几何空间例子的引导作用,从而化解对抽象概念的理解,如:讨论一般向量空间定义时,用几何空间1R ,2R ,3R 作为例子；在讨论子空间定义时,用1R ,2R 是3R 的子空间作为例子；在讨论向量的线性相关性时,用两向量共线,三向量共面作为例子；在讨论向量空间基、维数、坐标时,用几何空间的仿射坐标系作为例子；在讨论向量空间的任一基可通过Schmidt 正交化算法构造一个标准正交基时,也是利用几何空间3R 中的三向量(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3),构造出一个标准正交基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(如图1),然后,合理的推出Schmidt 正交化算法.)3,3,3(),0,2,2(),0,0,1(321===v v v)0,0,1(11==vα，x)0,0,1(111==αα e),0,1,0(),0,2,0(),(),(),(22211112211222===-=-=αααααααe v v e e e v v )3,0,0(),(),(),(),(),(),(222231111332221333=--=--=αααεαααααv v v e e v e v v ,)1,0,0(333==ααe通过以上代数与几何的整合,说明向量空间V 作为一种代数结构,集合V 的对象是抽象的,V 上的加法与数乘两种运算有他们所满足的性质,即:加法公理和数乘公理,而向量空间的加法、数乘和基都是以几何空间中向量的加法、数乘及空间仿射坐标系为直觉图象发展起来的,使抽象有限维向量空间得到与几何空间仿射坐标系几乎同样的结构.n 维空间n R 是像三维空间3R 一样具体的几何对象,可以在其中谈论超平面以及展开多元微积分学,这是科学中一种普遍的思维方式.曾获诺贝尔物理学奖的日本物理学家汤川秀树,描述过这种思维方式[3]:“抽象不能单独起作用,在几何富有成果的科学思维中,直觉和抽象交互为用”.不但某种本质性东西必须从我们丰富的而多少有点儿模糊的直觉图形中抽象出来,而且同样真实的是,作为人类抽象能力的成果而建立起来的某一个概念也常常在时间的进程中变成我们直觉图象的一部分.从这种新建立起来的直觉,人们可以继续做出进一步的抽象.（二）几个线性代数概念的几何化解释1.关于行列式的几何背景[6]设),,(321a a a =α ，),,(321b b b =β ，),,(321c c c =γ两个向量的向量积可以用行列式写为:321321b b b a a a kj i =⨯βα，它在几何上表示的是与α，β向量都垂直且成右手系的向量.三个向量的混合积可以用行列式321321321)(),,(c c c b b b a a a =⋅⨯=γβαγβα表示为图1的平行六面体.此行列式的几何解释是它的绝对值等于他们3个向量为相邻棱所做的平 行六面体的体积（如图1）特别的，当0),,(=γβα时，由于平行六面体的体积为零.所以γβα,,0321321321⇔=c c c b b b a a a 共面.由此可得：过平面上两点),(11y x ，),(22y x 的直线方程为: 01112211=y x y x yx再推广到空间中有不在同一直线上的三点)3,2,1)((=i z y x i i i 的平面方程为:01111333222111=z y x z y x z y x z y x2.关于正交变换的几何意义在二次型化为标准型时，可以采用可逆变换或正交变换但由于可逆变换对应于仿射坐标系的变换，所以区别比较大.例如：1941222=++z y x ； 通过可逆变换化成1222='+'+'z y x ，即椭球面变成了球面.通过线性变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 021化成122='+'y x ，即椭球面变成了圆柱面.而正交变换保持向量长度和角度不变，因此几何图形不变.所以在讨论二次方程决定的图形时，必须用正交变换；如果只考虑它所属类型时，可以用可逆变换（当然包括正交变换）.还应注意正交变换中：①当正交阵的行列式表示为1时是旋转变换；②当正交阵的行列式为-1时，为镜面反射变换.3.关于正交化的几何解释线性无关的向量组可以由schmidt 正交化得到与其等价的正交组，它的几何解释为，如果有三个线性无关的向量1α，2α，3α则可通过schmidt 正交化得到相应的三个正交向量1β，2β，3β这里1β=1α，2β=2α2γ-，3β=33γα-，其中2γ为2α在1β上的投影向量；3γ为3α在1β、2β所确定的垂直投影向量.（三）两个线性代数问题的几何解释线性代数与几何紧密相关，线性代数中许多问题都有形象的几何解释，在线性代数教学中有效的融合几何背景，可以帮助学生更好的理解线性代数中较为抽象的问题.下面就线性代数中两个比较抽象的问题详细的给予几何解释[8]. 1.线性相关与线性无关线性代数中线性相关与线性无关的定义如下：定义： 给定向量组 S A ααα,,,:21 ，如果存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211=+++s s k k k ααα )1( 则称向量组 A 线性相关, 否则称为线性无关， 即当且仅当021====s k k k 时，)1( 式成立,向量组s ααα,,,21 线性无关.线性相关、线性无关的定义给出之后，接着又给出了若干判断线性相关的定理与推理，如：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.在解析几何中，也有线性相关和线性无关的定义，并有着形象的几何解释.两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面，可以用来理解线性相关这个抽象的定义.三维欧式空间中任何四个或四个以上向量总是线性相关的，可以用来理解向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关. 2.施密特正交化当向量空间中的基取做标准正交基时，可以通过向量的内积运算快速求出某个向量在此基下的坐标，因此在给出向量空间的基时常常取标准正交基.在实对称矩阵的对角化问题上，我们需要求正交矩阵使得实对称矩阵对角化.这两方面的问题都需要对向量组正交化，而用到的方法即为施密特正交化，具体过程如下： 设 r αα,,1 是向量空间 V 的一个基,11αβ=； （2）[][]1112122,,βββαβαβ-= （3）[][][][]222321113133,,,,βββαββββαβαβ--= （4） ……[][][][][][]111122221111,,...,,,,--------=r r r r r r r r r βββαββββαββββαβαβ （5） 此处的要求是记忆并应用公式，但学生不理解这个公式是怎么来的，此时可以以三个向量为例，利用几何背景来形象的理解此公式：（2）—（5）式是解析几何中将仿射标架变为直角标架的过程：（3）式中[][]11121,,βββαβ为2α在1β上的射影向量，因此 [][]1112122,,βββαβαβ-=垂直于1β； （4）式中[][][][]2223211131,,,,βββαββββαβ+为3α在1β，2β生成的平面上的射影向量，因此 [][][][]222321113133,,,,βββαββββαβαβ--=垂直于 1β，2β，类推；（5）式中[][][][][][]111122221111,,...,,,,-------r r r r r r r βββαββββαββββαβ可以理解为r α在1β，2β，3β， ，1-r β所生成平面的射影向量，而[][][][][][]111122221111,,...,,,,--------=r r r r r r r r r βββαββββαββββαβαβ （6）垂直于 1β,2β,...,1-r β通过这种简单形象的几何解释，可以更好的记忆和理解这个公式.线性代数与解析几何的联系远远不止于此，解析几何除了可以为线性代数中抽象问题提供几何直观外，线性代数也为解析几何提供了代数工具，两者相互渗透，因此充分重视两者的结合教学是非常必要的.（四）线性代数中解析几何的应用二次型与二次曲面和二次曲线的联系在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合，一个有心二次曲线的一般方程是：f cy bxy ax =++222 )1(为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）θθsin cos y x X -=；θθcos sin y x Y += )2(把方程)1(化为标准方程.在二次曲面的研究中也有类似情况.从代数角度看，所谓化标准方程就是用变量的线性代换)2(化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项.二次型就是在这个基础上提出来的.就譬如说二次曲面吧.研究二次曲面：0222332211322331132112233322222111=+++++++++c x b x b x b x x a x x a x x a x a x a x a 的形状，就可以利用矩阵运算，把方程写为0),,(321=++=c x B Ax x x x x f T T 其中T x x x x ),,(321=，T b b b B ),,(321=，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，ji ij a a =，这里，3,2,1,=j i 再利用实对称矩阵可以正交相似对角化知，有正交变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321λλλAQ Q T ， QY x =，使得：即有233222211y y y AX X T λλλ++=，相应地，332211)(y b y b y b Y Q B X B T T '+'+'== 这样则0),,(),,(332211233221321321=+'+'+'++==c y b y b y b y y y y y g x x x f λλ 由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换，因此，方程中的常数项不变.于是就可剧此用解析几何讨论图形的形状.二次型化为标准型可以利用解析几何中二次曲线、二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线化为标准方程的化简可以运用线性代数中的二次型化为标准型的方法来化简，例如配方法、初等变换以及正交变换.四、结束语本文从多方面浅谈了线性代数与空间解析几何的关系及它们间的相互作用.其中包括齐次线性方程组、线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何的应用及空间解析几何代数问题的几何化意义等.从本文的例子看出线性代数与空间解析几何都有各自独特的地位，彼此促进.通过两者的整合，对今后知识的开发具有重要作用，同时也让我们的数学思维有进一步的提高.五、参考文献[1] Horn R A，Johnson C R．Matrix Analysis [M]．Cambridge：Cambridge UniversityPress，1985．[2]康生义，齐次线性方程组在空间解析几何中的应用几例，Jun15，2001，vol.3，No.6.[3]杜丽萍，王宏，佟玉霞，河北联合大学理学院，063009.[4]章晓，线性代数与解析几何结合教学探析，青岛科技大学理学院，Sep.2008,Vol.23,No.3.[5]杜键卫，线性代数与空间解析几何的整合，2003，vol.19，No.2.[6]解析几何中矩阵秩的应用，冯锡刚，山东省农业管理干部学院，济南，250100.[7]谢琳，张静修订.从几何直观理解行列式与carmer法则.高等数学研究，2009.02-15.[8]李丽，线性代数教学中两个问题的几何解释，安徽财经大学，统计与应用数学学院，Nov.2013,Vol.29,No.11.18。
线性代数在空间解析几何中的应用研究
线性代数在空间解析几何中的应用研究概述：线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组。
而解析几何是数学中研究几何图形的方法之一，它将代数的方法应用于几何问题的解析研究中。
线性代数在空间解析几何中扮演着重要的角色，本文将介绍线性代数在空间解析几何中的应用。
一、向量与直线的关系向量是线性代数的重要概念，它在解析几何中被广泛应用。
在二维平面中，可以用向量来表示直线的方向，通过向量的内积可以得到直线的夹角关系。
而在三维空间中，直线可以用两个向量来表示。
通过线性代数中向量的加减和数量积等运算，可以得到直线的表示式、方向向量以及点到直线的最短距离等重要信息。
二、平面与三角形的性质平面是解析几何中的一个核心概念，可以用方程或向量来表示。
线性代数中的矩阵和行列式运算可以帮助解析几何中平面的求解。
通过行列式的性质，可以判断平面是否相交，也可以求解出平面的法向量和点到平面的最短距离等。
在三角形的研究中，线性代数中向量的内积和叉积等运算可以计算出三角形的面积、重心、外心等重要性质。
三、空间曲线与曲面的方程在空间解析几何中，曲线和曲面的方程是重要的研究内容。
线性代数中的矩阵和矩阵变换可以用来描述曲线和曲面的方程。
通过变换矩阵的运算，可以将曲线和曲面的方程转化为简化形式，从而更好地研究其性质。
此外，线性代数中的特征值和特征向量可以用来研究曲线和曲面的特性，如曲线的曲率和曲面的法向量等。
四、几何变换与坐标系转换几何变换是解析几何中常见的操作，包括平移、旋转、缩放等。
这些变换可以通过线性代数中的矩阵运算来表示。
通过矩阵的乘法运算，可以实现不同坐标系之间的转换。
线性代数中的坐标变换矩阵可以用来描述物体在不同坐标系下的表示和操作，为解析几何提供了强大的工具。
总结：线性代数在空间解析几何中具有广泛的应用，它通过向量的加减、数量积和叉积等运算，帮助我们理解和分析直线、平面、曲线和曲面的性质。
此外，通过矩阵和行列式的运算，我们可以计算出几何图形的各种特性，并进行几何变换和坐标系转换。
线性代数与空间解析几何学习指导——典型例题精解
线性代数与空间解析几何学习指导——典型例题精解线性代数与空间解析几何学习是高中数学课程中重要的一部分，学习者需要通过不断探究、实践才能掌握。
于是，典型例题精解就成为了线性代数与空间解析几何学习的重要手册。
今天，这本手册将为高中学生介绍如何学习线性代数与空间解析几何，从而帮助他们通过深入理解来完成学习任务。
典型例题精解涉及以下内容：1.性代数：典型例题精解中，我们将研究如何利用类似行列式的方法，计算向量、矩阵、多项式和向量空间等问题。
我们还会学习如何解方程组、利用特殊矩阵解决特定问题等知识。
2.间解析几何学习：在典型例题精解中，我们将研究如何绘制空间几何图形，如直线、平面、面的基本形状，如平行四边形、梯形和三角形等，以及如何解决相关空间几何问题。
为了让大家更好地了解典型例题精解，让我们来看看以下实例。
第一个例题：求解 X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。
解法：由题意，X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。
等式可以表示为：X1 = 2*3 + 3*5 = 21X2 = 2*4 + 3*7 = 30X3 = 2*5 + 3*8 = 39即X1=21，X2=30，X3=39第二个例题：求出平面ABCD中，AB=4，AD=3，∠BAC=90°，AC 的长度。
解法：由∠BAC=90°，可知AC是一条直角线，又因为AB=4，AD=3，AC 为直角三角形的斜边，所以AC的长度可以用勾股定理求得：AC=√（4 + 3）=（16 + 9）=25 = 5因此，AC的长度为5。
以上就是线性代数与空间解析几何学习指导典型例题精解的简介，由此可见，典型例题精解对于学习者来说，有助于理解和掌握线性代数与空间解析几何学科的基础知识，解决学习中遇到的问题，在有效的控制学习时间和学习成本的基础上，进行高效学习。
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何线性代数和空间解析几何是数学中重要的两个分支学科，它们的研究领域可以追溯到古希腊时代。
它们的知识不仅重要，而且非常有用，可以帮助我们解决复杂的问题。
它们经常被应用到其他数学领域，尤其是计算机科学。
线性代数的研究重点是研究和处理线性方程组等线性方程。
它涉及向量空间、矩阵、行列式、向量空间线性变换、特征值、特征向量和其他主题。
在机器学习、深度学习和其他领域，线性代数是重要的理论基础。
空间解析几何是一种几何学，它研究和描述特定空间中点，线段，平面和曲面的关系和结构。
它主要研究直线、圆、椭圆、抛物线、曲线等，以及它们的交点、切线、曲率等。
在计算机图形学中，空间解析几何是一种基础，可以用来计算和绘制场景中几何图形。
线性代数和空间解析几何具有高度的应用价值，它们经常被用来解决实际生活中出现的复杂问题，及计算机科学和数学中的技术问题。
研究它们的历史也是重要的，古希腊人就开始研究这两个学科，曾有像欧几里得和费马这样的著名数学家。
从古至今，线性代数和空间解析几何在数学中的地位没有任何改变，这是数学家们发现其中的魅力所在。
在未来，它们都将在各个数学领域中发挥重要作用，并取得更大的发展。
在线性代数和空间解析几何方面，学习和掌握基本概念，定义，定理，证明，概率，建模等是很重要的。
要想从中受益，就必须了解基本概念，了解它们的应用。
另外，一定要花费足够的时间去研究它们，这样才能让自己更好地掌握这两个学科。
总之，线性代数和空间解析几何是十分重要的学科，它们在数学领域有着深远的影响。
在未来，它们将持续发挥重要作用，并取得新的进展。
要想学好它们，就必须具备基本知识，且要不断练习。
高考数学中的线性代数与解析几何
高考数学中的线性代数与解析几何高中数学是一个复杂而又深奥的学科，而线性代数与解析几何则是其中的一部分。
这两门学科是现代数学中的重要组成部分。
在高考中，这两门学科也占有非常重要的比例，因此它们的掌握程度将会直接影响到高中数学的学习成果和考试成绩。
接下来，我们将对线性代数和解析几何的内容和考试中的应用做一些简单的介绍和分析。
一、线性代数线性代数是一门研究线性方程组、矩阵、向量和线性变换等的基础性学科。
在高中数学中，线性代数主要包括矩阵、行列式、向量的内积与外积等知识点。
在高考中，矩阵与行列式是必考内容之一，它们在高考中所占比例也十分重要。
1、矩阵矩阵是一个矩形的数字或符号的集合，它是线性代数最基本的概念之一。
矩阵在高考中有很多应用，比如解线性方程组、表示向量的坐标、表示线性变换。
高考中对矩阵的考查主要包括矩阵的运算、矩阵的初等变换，矩阵求逆和矩阵的秩等方面。
2、行列式行列式也是线性代数中的一种重要的数学工具。
行列式不仅仅是一种数学工具，更是一种抽象的数学概念。
行列式在高考中的应用也十分广泛。
高考中对行列式的考查主要包括行列式的概念、性质和计算方法等方面。
二、解析几何解析几何是一门研究空间中几何对象及其性质的学科，它是高中数学中的一种重要的分支。
解析几何以解析方法研究空间中的几何问题，并使用代数语言将几何问题转化为代数问题进行研究。
在高考中，解析几何也占据着非常重要的地位，它是高考数学中的难点之一。
1、空间直角坐标系空间直角坐标系是解析几何中的一个重要概念。
空间直角坐标系是三维空间中的一个直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成。
在高考中，空间直角坐标系是解析几何的基础，许多解析几何的概念和解题方法都是建立在空间直角坐标系的基础之上的。
2、直线与平面解析几何研究的是空间中的几何对象，其中直线和平面是重要的研究对象。
在高考中，解析几何也主要考查直线和平面的方程以及它们的性质和应用。
同时，在解析几何中，直线与平面的交点也是重要的考察点之一。
线性代数与空间解析几何
00 对角矩阵;
A 00
12
aB1 ,a20000,aan2., ,an
,
零矩阵.
00 00 1n
18/19
思索题
矩阵与行列式有何区分? 答：(1)从形式上看矩阵行列数能够不一样， 但行列式不行，一定要行列数相等；
（2）矩阵是一张数表，而行列式表示 一个数，是能够比较大小。
19/19
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n 系数矩阵
am1 am1 amn
13/19
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
b1 b2
an1 an2 ann bn
2/19
2、产品调运方案
产地 B1 B2 … Bn 销地
A1
a11 a12 … a1n
┆
┆┆
┆
Am
am1 am2 … amn
3/19
二、矩阵定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成 行m 列n数表
a11 a12 a1n
矩阵A的
m , n元
5/19
比如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何
从解析几何和线性代数的观点来看，《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它可以帮助学生们更深入地了解几何学和线性代数学的概念。
本文将对线性代数和空间解析几何的基本概念进行简要介绍，并讨论这两个学科之间的联系。
线性代数是一门数学学科，主要研究线性方程组和其解的性质，以及线性变换之间的关系。
它研究向量空间中变换矩阵的性质，以及矩阵之间的乘法性质、特征值和特征向量等。
线性代数可以用来解决各种数学问题，包括统计分析、优化问题、概率论、数值分析、信号处理等。
空间解析几何是一门涉及几何形状和空间构造的学科。
它主要研究点、线段、平面和曲线的性质，以及空间中的特殊物体的构造。
它也研究几何形状的相关属性，比如各种角度、距离、面积和体积等。
线性代数和空间解析几何之间有着密切联系。
比如，当涉及到几何中的投影和变化时，就可以使用矩阵乘法，实现几何上的变换。
同样，空间解析几何中的投影也可以被表达为一个矩阵，通过矩阵乘法可以表达出投影的效果。
此外，解析几何中的空间变换也可以被表达为一个矩阵，并通过线性代数的思想来求解。
线性代数和空间解析几何的应用也很广泛。
比如，在工程设计中，人们需要进行精确的几何变换，而线性代数和空间解析几何就可以提供帮助。
此外，空间解析几何在视觉里程计中也得到了广泛的应用，它可以用来分析和处理机器在空间中的位置和行为。
《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它为学生们提供了深入了解几何学和线性代数学概念的机会。
它可以帮助学生们更好地掌握线性代数和空间解析几何的基本概念，并能在实际运用中体现出价值。
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何1、为什么要学习这门课？“线性代数与空间解析几何”对传统内容进行了重新处理，特别是代数与几何的结合，将矩阵的初等变换作为贯穿全书的计算和重要的理论推导工具，注重不同知识点与重要理论的内在本质联系，将几何空间、n维向量空间到抽象线性空间概念的建立从特殊到一般进行铺垫，精选了大量的应用实例，注重将数学建模思想融入课程教学等。
这使得“线性代数与空间解析几何”在理论体系的处理上更加科学简洁、深入浅出、可读性强、易教易学。
2、这门课的主要内容是什么？“线性代数与空间解析几何”主要内容包括矩阵及其初等变换、行列式、几何空间、“维向量空间、特征值与特征向量、二次型与二次曲面、线性空间与线性变换等。
本课程每章内容自成体系，完全满足教育部大学数学课程教学指导委员会制订的工科类线性代数与空间解析几何课程教学要求，也可以作为独立章节学习的参考资料。
3、学习这门课可以获得什么？在“线性代数与空间解析几何”的学习过程中，我们可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处，确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。
如通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。
也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。
又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。
线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。
欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。
总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。
可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。
4、这门课有什么特色？线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于费尔马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
线性代数与空间解析几何(144206)
一、单选题1.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A、k≤3B、k<3C、k=3D、k>3答案： A2.n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）。
A、充分必要条件B、充分而非必要条件C、必要而非充分条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B3.A、-6B、6C、2D、-2答案： B4.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A、1B、2C、3D、4答案： C5.下列排列中是奇排列的是( )。
A、4321B、1234C、2314D、4123答案： D6.A、m+nB、-(m+n)C、n-mD、m-n答案： D7.关于最大无关组，下列说法正确的是（ ）。
A、秩相同的向量组一定是等价向量组B、一个向量组的最大无关组是唯一的C、向量组与其最大无关组是等价的D、如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关答案： C8.设A,B是n阶方阵，A非零，且AB=0 ，则必有（）。
A、B=0B、BA=0C、(A+B)2=A2+B2D、|B|=0答案： D9.设A是m*n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）A、A的列向量线性无关B、A的列向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的行向量线性相关答案： A10.设非齐次线性方程组AX=β的系数行列式为零，则（）。
A、方程组有无穷多解；B、方程组无解；C、若方程组有解，则有无穷多解；D、方程组有唯一解 .答案： C11.设A,B是n阶方阵，则必有（）A、|A+B-1|=|A|+|B|-1B、|A+B|-1=B-1+A-1C、(AB)2=A2B2D、|A'B|=|BA|答案： D12.实二次型f=X'AX为正定二次型的充要条件是（）A、f的负惯性指数是0B、存在正交阵P使A=P'PC、存在可逆阵T使A=T'TD、存在矩阵B使A=B'B答案： C13.A、B、C、D、答案： D14.设 A 为 4 阶矩阵，且 | A |=2 ，则 | 2 A -1 |=（）A、4B、16C、1D、8答案： D15.设A是m*n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案： D16.若排列6 i 4 3 j 1为奇排列，则（）。
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一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）
(A) 1 + c 2 ； (B) c ( 1 2 3 )； (C) 1 + c ( 2 3 )； (D) 1 + c ( 2 3 ). 3、齐次线性方程组 A3×5X5=0 [ （A）只有零解； （B）无解； （C）有非零解； （D）不能确定. 4、下列方程中表示的曲面为圆锥面的是 [
2
2
2
2
.
1 0 5、已知矩阵 A ，则下列结论正确的是 2 2
(A) 矩阵 A2+E 的特征值为 1,3； (C) 矩阵 A 不与对角矩阵相似； 得 分 (B) 线性方程组 Ax=0 有非零解； (D) 矩阵 A 与对角矩阵相似.
[
]
.
三、 （本题满分 10 分）在 R3 中, 已知两组基：1= (1,-1,2)T, 2 = (1,1,-1)T,
3 = (-1,1,2)T, 和1 = (2,0,1)T , 2 = (0,2,1)T , 3 = (-1,1,2)T, 求基1 , 2 , 3 到基1 , 2 , 3 的过渡矩阵.
z x2 y2 3、曲线 2 在 xOy 平面上的投影柱面的方程为 2 2 x y z 2
阅卷人
1 a 2 3 4 1 2a 3 4 四、 （本题满分 10 分）计算行列式 . 1 2 3a 4 1 2 3 4a
得
分
六、 （本题满分 12 分）已知二次型
2 2 f 2 x12 3x 2 3 x3 2ax 2 x3 (a 0)
阅卷人
通过正交变换 x=Py 化成标准形 f y1 2 y 2 5 y 3 .
得 分 阅卷人
七、 （本题满分 6 分） 已知向量组(I) 1 , 2 , , s 与 (II) 1 , 2 , , s , 有相同的秩，证明向量 可由向量
组(I)线性表出.
第 2页，共 2页
2 2 2
(1) 求 a 的值；(2) 求正交变换 x=Py； (3) 证明二次型 f 为正定二次型.
得 分 阅卷人
x3 1 x1 x 2 2 x 3 3 有无穷多解. 五、 （本题满分 10 分）已知线性方程组 3x x ax 6 2 3 1
求 a 的值并求此方程组的通解.
.
7、若矩阵
4 1 5 6 与 相似, 则 x = x 1 1 y
1 2 的特征值是 _________ . 4
，y =
.
8、 矩阵 A 1
第 1页，共 2页
得 分
… … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … … …
授课教师
阅卷人
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
… … … … … 答 … … … … … 题 … … … … … 不 … … … … … 要 … … … … … 超 … … … … … 过 … … … … … 此 … … … … … 线 … … … … … …
考试时间 2009 年 学 题号 得分
1 2 2 4、若矩阵 3 3 1 的秩为 2，则 a = 1 a 3
.
.
阅卷人
5、已知向量 (1,2) T ， (2, 1) T ，则 ( T ) 2 6、已知 A 是 3 阶方阵且 | A | 2，则 | 2 A | ________ .
济南大学 2008～2009 学年第二学期课程考试试卷（A 卷）
… … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … … …
得
分
课
程
线性代数与空间解析几何 4 月 26 日
得 分 阅卷人
考试班级 姓 名 六 七 总 分
1、 向量组 a1 (1,1,1) T , a 2 (0,1,1) T , a3 (0,0,1) T , a 4 ( 2,1,0) T , a 5 (0,1, 2) T 的极大无 关组为 [ ]
号 一 二 三 四
( A) a1 , a 2 ; ( B) a1 , a 2 , a 3 ; (C ) a1 , a 2 , a 3 , a 4 ; ( D) a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
( A) z 2 x 2 2 y 2 ; ( B ) ( z 2) 2
0 2 0 1、 0 1 1 0 2 3
2、经过 O z 轴和点（1,1,1）的平面方程的为
1
x y x y ; (C ) y 4 x 2 ; ( D ) z 2 1 . 4 4