专题一---归纳猜想问题
高中数学总结归纳点拨 归纳——猜想——证明
归纳——猜想——证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。
在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。
这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳——猜想——证明”。
例1 数列{}n a 满足()2*n n S n a n N =-∈。
（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用k a 求得1k a +，在此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的k 换做1k +，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。
解析：（1）11a =，232a =，374a =，4158a =， 由此可猜想1212n n n a --=。
（2）下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边11a ==，右边1112112--==，猜想成立。
②假设n k =时猜想成立，即1212k k k a --=， 那么据已知2k k S k a =-， ①()1121k k S k a ++=+-， ②由②- ①可得112k k k a a a ++=-+，∴()11111212121112222k k k k k k k k a a ++++----=+=+==，即当1n k =+时猜想也成立。
根据①②可知，猜想对任何*n N ∈都成立。
评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳——猜想——证明”的基本方法，注重其应用。
例2 已知11123n a =+++…()1*n N n +∈，是否存在n 的整式()q n ，使得等式12a a ++…()()11n n a q n a -+=-，对于大于1的一切自然数n 都成立，并证明你的结论。
分析：假设存在()q n ，去探索()q n 等于多少。
归纳—猜想—证明
归纳—猜想—证明归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，1．什么是归纳法在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。
这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。
但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。
归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法归纳法有什么特点？来看两个问题。
问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？学生：一个个拿出来看一看。
教师：这一袋球都是白色的。
问题2：数列的通项公式()2255n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，可以得到什么结论？学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。
解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。
为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。
问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。
实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。
问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。
3培优辅导 观察、归纳与猜想(含答案)-
3.创造的基石──观察、归纳与猜想知识纵横当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。
20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350•多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。
例题求题【例1】(1)用●表示实圆,用○表示空心圆,现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下:●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问:前2001个圆中,有_______个空心圆. (2001年江苏省泰州市中考题)(2)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.(2003年舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆的个数不变;(2)每个三角形数可用若干个数表示.解:(1)667 提示:每9个圆一组中实圆个数循环出现,而空心圆每组3个;(2)(1+2+3+…+24)-(1+2+3+…+22)=47.【例2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交,最多有1个交点最多有3个交点最多有6个交点像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( )A.40个B.45个C.50个D.55个(2001年湖北省荆门市中考题) 思路点拨随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,•探讨每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系,是解本例的关键.解:选B.提示:每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数相同,问题就转化为求1+2+3+…+9的和.【例3】化简999n ⋅⋅⋅个×999n ⋅⋅⋅个+1999n ⋅⋅⋅个(第18届江苏省竞赛题)思路点拨 先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加明确.解:原式=102n【例4】古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如如下两行:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数,第1列是甲子,第3列是丙寅…,问当第二次甲和子在同一列时,该列的序号是多少? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解。
火线100天(四川专版)中考数学一轮复习 专题一 规律与猜想-人教版初中九年级全册数学试题
规律与猜想 学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力． 类型1 数式规律(2015·某某)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________． 【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·某某)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·某某)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·某某)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·某某)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·某某)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·某某)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·某某)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·某某)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·某某)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·某某)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·某某)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·某某)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“”的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·某某)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·某某)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】利用特殊直角三角形求出OP n的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n的坐标．【解答】∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC＝30°.又∵P n－1P n＝2n－1，P n Q n⊥OA，∴OQ n＝32(OP1＋P1P2＋P2P3＋…＋P n－1P n)＝32(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝32n2.∴Q n的坐标为(32n2·cos60°，32n2·sin60°)，即Q n的坐标为(34n2，34n2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·某某)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按照此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，以此得到P4，P5，P6，…，则点P2 015的坐标是( )A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n＋1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n ＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n.△A1B1P1、△A2B2P2、…、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n为( )A.n＋1 2n＋1B.n3n－1C.n2 2n－1D.n2 2n＋13．(2015·某某)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·某某)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n ＋2n （n ＋1）·2n ＋11n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221 类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n ，3，10 11 类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，02n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0) 7．48n （n ＋1）。
中考数学思想方法 【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想(学生版+解析版)
数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1.规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2. 猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
考查学生的归纳、概括、类比能力。
有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。
找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。
其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。
发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
专题：归纳与猜想
专题：归纳与猜想（一）归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】1． 【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 2． 〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23③3×34＝3－34④4×45＝4－45……⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次；⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
第44讲 怎样解“归纳——猜想——证明”类问题(解析版)-高考数学二轮复习
第44讲 怎样解“归纳——猜想——证明”类问题一、知识与方法1"归纳一猜想一证明”类问题从观察一些特殊的简单的问题人手,根据它们所体现的共同性质,运用不完全归纳法作出一般命题的猜想,然后从理论上证明(或否定)这种猜想,这个过程叫作“归纳一猜想一证明”.这一由特殊到一般的推理方法是数学归纳法证明的一种重要题型.2"归纳一猜想一证明”类问题的解题步骤 第一步:给出命题(与正整数有关)的结构. 第二步:要求计算出最初的几个初始值.第三步:通过已计算出的初始值,应用不完全归纳法发现其一般性规律,作出科学的猜想和判断.第四步:用数学归纳法对所作的猜想一一一般性结论作出完整科学的证明. 3高中阶段与数列结合的“归纳一猜想一证明"类问题是最常见的问题二、典型例题【例1】在数列{}n a 与{}n b 中,111,4a b ==,数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n nS +-1(3)0,2n n n S a ++=为n b 与1n b +的等比中项,*n ∈N .(1)求22,a b 的值;(2)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.【分析】运用“归纳一猜想一证明”求解数列问题的关键是准确求出数列的前几项,根据前几项的规律猜猜其通项公式,然后用数学归纳法证明,本题两个数列{}n a 、{}n b 交叉,是一种巧妙的结合.【解析】(1)由题设有121140,1a a a a +-==,解得23a =. 由题设又有222114,4a b b b ==,解得29b =.(2)由题设111(3)0,1,4n n nS n S a b +-+===,得223,9a b ==.进一步可得33446,16,10,25a b a b ====.猜想2*(1),(1),2n n n n a b n n +==+∈N 先证*(1),2n n n a n +=∈N . 当1n =时,11(11)12a ⨯+==,等式成立.当2n 时,用数学归纳法证明如下： (i)当2n =时,22(21)32a ⨯+==,等式成立. (i)和（ii ）假设当n k =时等式成立,即(1),22k k k a k +=. 则由题设,1(3)k k kS k S +=+(1),1(1)(2)k k k S k S --=+.(2)式(1)两边分别减去式(2)两边,整理得1(2)k k ka k a +=+, 从而122(1)(1)[(1)1]22k k k k k k k k a a k k +++++++==⋅=. 这就是说,当1n k =+时等式也成立。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
七年级数学找规律题
七年级数学找规律题归纳—猜想~~~找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.一、数字排列规律题1、观察下列各算式：1+3=4=2的平方，1+3+5=9=3的平方，1+3+5+7=16=4的平方…按此规律（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少？2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 __ __3、请填出下面横线上的数字。
1 123 5 8 ____ 214、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个数是什么？5、有一串数字 3 6 10 15 21 ___ 第6个是什么数？6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．47、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 _________个．二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个．2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）.三、数、式计算规律题1、已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102；由此规律知，第⑤个等式是．2、观察下面的几个算式：1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.…规律发现专题训练1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。
中考数学复习专题1-归纳猜想型问题
中考数学复习专题一：归纳猜想型问题归纳猜想型问题也是探索规律型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2012•沈阳）有一组多项式：a+b 2，a 2﹣b 4，a 3+b 6，a 4﹣b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．例2 （2012•珠海）观察下列等式：以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明． 考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例3 1．（2012•重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）A ． 50B ． 64C ．68 D ．72 例4 （2012•荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）A ． 8048个B ． 4024个C ． 2012个D ． 1066个考点三：猜想坐标变化例5（2012•德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为．例7 （2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为．考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题1规律探索猜想类试题(2021-2022学年)
专题一规律探索猜想类规律探索与猜想是中考中常见题型之一,它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力,既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限,方法灵活,主要有数式规律、图形规律、坐标规律等,解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键.纵观遵义近五年中考,每年都会涉及一道规律探索问题，一般难度不大，预计20１８年遵义中考也有可能命一道中基础（选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破）数字规律【例1】（临夏中考)古希腊数学家把数1，3，6,１0,15,２1,…叫做三角形数,它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为ｘ2,…第n个三角形数记为x n，则x n＋x n+1＝____＿_＿_．【解析】根据三角形数得到ｘ1＝1，x2＝3=1+2，x3＝6=１＋２＋３,x4=10＝1＋２＋３＋4,ｘ5＝１5=1+2＋3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即ｘｎ＝１＋2+3+…+n=错误!未定义书签。
，xｎ＋1=错误!,然后计算ｘn＋ｘｎ＋1可得.【答案】(n＋1)2◆模拟题区1．（２017遵义二中二模)计算下列各式的值:92+１9;错误!;错误!；错误!.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得错误!未定义书签。
+１99…9,２０15个9））＝_＿102__0１5＿_.2．（2017遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第一行１４ 5…第二行 2 3 ６…第三行98７………表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1)对应;数5与(１,3)对应；数１4与（3,4)对应；根据这一规律,数2 014对应的有序数对为＿_(４５，１2)_＿.3．（2０17遵义十一中三模)已知：错误!未定义书签。
＝＼ｆ（1，3)；错误!=错误!;计算:错误!未定义书签。
=__错误!__；猜想：错误!未定义书签。
＝__错误!未定义书签。
_＿.4．（天水中考)观察下列运算过程:S=1＋3＋32＋33+…＋3２ 012+32 01３①，①×3得3S=3+32＋33+…+32 ０１3+32 014 ②,②－①得2S＝32014－1,S＝错误!未定义书签。
第15讲 归纳猜想——找规律
第15讲 归纳猜想——找规律在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是 (1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且 归纳 (2)猜想符合规律的一般性结论；(3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.题型一：数字类规律例1．观察下列各式数用含并把第n 项用含n 的式子表示、 (1) 0，3，8，15，24，……。
(2) 2，9，28，65.....(3) 2，4，8，16.......例2．填空(1) 4，16，36，64， ，144，196，… (第一百个数)(2) 2，1，1， ，13171113911，，， 。
例3．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是( )A ．1321B ．3601C ．4951D ．6601例1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．9例2．一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝3，a n ＝1-11n a (n 为不小于2的整数)，则a 2015的值为( ) A ．﹣21 B ．43 C ．3 D ．32例3． 观察图形，解答问题：(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：(2)请用你发现的规律求出图④中的数y 和图④中的数x ．例4． 对于实数a ，我们规定：用符号[]表示不大于的最大整数，称[]为a 的根整数，例如：[]＝3，[]＝3． （1）仿照以上方法计算：[]＝ ；[]＝ ． （2）若[]＝1，写出满足题意的x 的整数值 ．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[]＝3→[]＝1，这时候结果为1．（3）对120连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．图④ 图④ 图④ 三个角上三个数的积 1×(﹣1)×2＝﹣2 (﹣3)×(﹣4)×(﹣5)＝﹣60 三个角上三个数的和 1+(﹣1)+2＝2 (﹣3)+(﹣4)+(﹣5)＝﹣12 积与和的商 ﹣2÷2＝﹣1例1．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第④个图形有1颗棋子，第④个图形一共有6颗棋子，第④个图形一共有16颗棋子，…，则第④个图形中棋子的颗数为()A．226B．181C．141D．106例2．假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？答：．例3．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：(1)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐人；第二种摆放方式能坐人；(结果用含n的代数式直接填空)(2)一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由．例1．点1A 、2A 、3A 、…、 n A (n 为正整数)都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-例2．我国的农历，是按照“天干”与“地支”的搭配来纪年的．十个“天干”的顺序是：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二个“地支”的顺序是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥． 将一个天干和一个地支顺次循环逐一搭配起来，就出现了“甲子”、“乙丑”、“丙寅”等年，2018年春节后进入的农历“戊戌”年，就是由天干中的“戊”和地支中的“戌”搭配而来的． (1)公元2017年是农历“丁酉”年，2019年是农历“______”年． (2)______(填“会”或“不会”)出现“丁午”年．(3)19世纪末，“戊戌变法”是中国近代史上一次重要的政治改革，也是一次思想启蒙运动，促进了思想解放，对社会进步和思想文化的发展，促进中国近代社会的进步起了重要推动作用．那么历史上“戊戌变法”发生在公元______年．(4)从王老师的身份证号320821************可知王老师出生于1972年，那么他出生在农历______年．例3．某天，张老师给任教的一班40人，二班41人，共计81人出了这么一个题：如果一班在前，二班在后，按学号(从小到大)排成一个长列，从前往后“1，2，3”“1，2，3”“1，2，3”……报数，报到1和3的同学出列，报到2的同学到队尾继续参与报数，最后选定剩余的那位同学为两个班级的总数学课代表，那么请问张老师选择的总课代表是 班 号．(填哪个班级，多少学号)课后练习1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…现有等式A m＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2017＝()A．(31，47)B．(31，48)C．(32，47)D．(32，48)2．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3、6、9、12、…称为三角形数．类似地，图2中的棋子颗数4、8、12、16、…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．18B．20C．21D．243．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，a n＝(n为不小于2的整数)，则a100＝()A．B．2C．﹣1D．﹣24．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第④个图形一共有2个五角星，第④个图形一共有8个五角星，第④个图形一共有18个五角星，…，则第④个图形中五角星的个数为()A．84B．90C．94D．985．一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1＝b n，b2n+2＝b n+b n+1，若b0＝1，则b2015的值是()A．1B．6C．9D．196．如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(8，2)与(100，100)表示的两个数的积是()A．1B．C．D．7．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014＝69，(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是．8．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，点A2015表示数是．9．已知12＝1，112＝121，1112＝12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是．10．自然数按如表的规律排列：(1)求上起第10行左起第13列的数；(2)数127应排在上起第几行，左起第几列？(3)数2000应排在上起的第几行，左起第几列？11．已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1﹣2|，a3＝﹣|a2﹣3|，a4＝﹣|a3﹣4|…，依此类推，(1)直接写出a2，a3，a4，a5的值．(2)仔细观察(1)的结果，填写：a1﹣a2＝a2﹣a3＝a3﹣a4＝a4﹣a5＝…猜想：a n﹣1﹣a n＝．(3)探究a2013的值是多少？12．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…第n次倒出水量是升的…按照这种倒水的方法，这1升水经2006次后还有吗？如有，有多少升？13．现有一组有规律排列的数：1、﹣1、、﹣、、﹣、1、﹣1、、﹣、、﹣、…其中，1、﹣1、、﹣、、﹣这六个数按此规律重复出现．问：(1)第50个数是什么数？(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？。
求数列中的最大项、最小项问题应用举例
求数列中的最大项、最小项问题应用举例作者：徐方来源：《考试周刊》2013年第93期在高三进行数列专题复习时，经常遇到求数列的最大项、最小项及求某一项的最大值或最小值等问题，本文结合具体例题将其几种类型及解法叙述如下.一、归纳—猜想—证明例1.在数列{a }中，a =2，a =λa +λ +（2-λ）·2 （n∈N ），其中λ>0.（1）证明：{ -（） }为等差数列，并求数列{a }的通项公式；（2）证明：存在k∈N ，使得≤ 对任意n∈N 均成立.解：（1）通过构造法易知a =（n-1）λ +2 ，n∈N ；（2）通过归纳猜想出数列{ }的第一项最大，下面证明：≤ .采用分析法证明，要证 < ，（n≥2）只要证即证（） [（n-1）（λ +4）-2nλ]+λ >0 (1)因为（n-1）（λ +4）-2nλ=n（λ -2λ+4）-（λ +4）≥2（λ -2λ+4）-（λ +4）=（λ-2）≥0，所以（1）式恒成立，即存在k=1，使得≤ 对任意n∈N 均成立.二、利用公式C ≥C C ≥C例2.已知数列{a }的前n项的和S =2n -3n，数列{b }是正项等比数列，满足a =-b ，b （a -a ）=b ，记c =a ·b ，问是否存在正整数M，使得对一切n∈N ，C ≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由.解：∵a =4n-5，b =（），c =（4n-5）·（）假设数列{c }中存在最大项c ，那么一定有C ≥C C ≥C ，即（4n-5）（）≥（4n-9）（）（4n-5）（）≥（4n-1）（），解得≤n≤ ，所以n=3，c = .因此存在正整数M，并且M的最小值为2.三、分奇偶项讨论例3.已知等差数列{a }的通项公式为a =2n+21，（n是奇数）-4n-1，（n是偶数），设{a }的前n项的和为S ，求当S 最大时n的值.解：分两种情况讨论：（1）S 最大，因为S =-2k +20k+23=-2（k-5） +73，所以当k=5时，S 最大.（2）S 最大，因为S =-2k +16k=-2（k-4） +32，所以当k=4时，S 最大.经比较知，使S 取最大值时的n值为5.四、利用函数的单调性例4.数列{a }的各项均为正数，S 为其前项n的和，对于任意n∈N ，总有a ，S ，a 成等差数列，有一正项数列{c }满足：a =（c ）（n∈N ），求数列{c }的最大项.解：由条件易知：a =n（n∈N ）∵n+1=（c ），∴c =（n+1）；lnc = .下研究数列{lnc }的单调性，构造函数f（x）= ，f′（x）= .显然，当x∈（e，+∞）时，f′（x）0，从而函数f（x）= 在区间（0，e）内是单调递增函数，∴c 或c 可能最大，经比较c >c ，所以数列{c }中的最大项为c = .五、利用或F（n+1）-F（n）讨论数列的单调性例5.已知函数f（x）=log 的图像过点A（2，1）和B（5，2），记a =3 ，n∈N ，问是否存在正数k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 对一切n∈N 均成立？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.解：由条件计算得：f（x）=log ，a =2n-1（n∈N ）设存在正数k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 对一切n∈N 均成立，则k≤ ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）设F（n）= ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）下面确定F（n）的单调性，并求出F（n）的最小值.∵ = >1∴F（n+1）>F（n）∵n∈N ，∴当n=1时，F（n） =F（1）= ，即k的最大值为 .六、分部讨论把目标函数分成性质不同的两部分，一部分是单调函数，另一部分是非单调函数，再转化成方法五去研究，最后综合在一起得出结论.例6.设数列{a }的前n项的积为T ，T =1-a ；数列{b }的前项和为S ，S =1-b ，若T （nb +n-2）≤kn对n∈N 恒成立，求实数k的取值范围.解：T = ，b =（），因为T （nb +n-2）≤kn对n∈N 恒成立，所以T （b + ）≤k对n∈N 恒成立，即 ·（）+ ≤k对n∈N 恒成立.分两部分：设f（n）= （），则当n∈N 时，f（n）单调递减，设g（n）= ，则g（n+1）= ，所以g（n）-g（n+1）= - = .因此当1≤n令l（n）=f（n）+g（n），经计算可知：l（1）l（4）>l（5）>l（6）>……所以l（3）最大，且l（3）= ，故k的取值范围为[ ，+∞）.七、图像法例7.数列{a }是公差为d的等差数列，它的前n项的和为S ，S =2S +4，b = ，若？坌∈N ，都有b ≤b 成立，求a 的取值范围.解：易知d=1，a =a +（n-1），∴b =1+ 且它的对称中心为（1-a ，1）.又∵？坌n∈N ，都有b ≤b 成立，∴b 是数列{b }的最大项，故：7八、线性规划法例8.设等差数列{a }前n项的和为S ，若S ≥10，S ≤15，则a 的最大值为多少？解：设{a }的首项为a ，公差为d，则有：2a +3d≥5a +2d≤3，根据线性规划可得a =a +4d 的最大值为5.总之，无论采用哪种方法，都要对问题进行认真分析，抓住问题的实质，选择恰当有效的方法.。
初中归纳猜想总结
初中归纳猜想总结初中阶段是学生开始接触猜想思维的重要时期，在各个学科中，猜想总结具有重要的教育和学习价值。
以下是初中阶段学生常见的归纳猜想及其总结。
1. 数学领域的归纳猜想与总结在数学学科中，归纳猜想是培养学生逻辑思维和抽象推理能力的重要方法。
有许多经典的数学猜想，如费马大定理、哥德巴赫猜想等，但初中阶段的数学归纳猜想更多地与基础知识和技巧紧密相关。
以下是一些常见的数学归纳猜想及其总结：a. 质数与合数- 归纳猜想：所有大于2的整数都可以写成两个质数的和。
- 总结：通过对自然数的分析和归纳，可以发现所有大于2的整数都可以被分解为两个质数的和，这就是哥德巴赫猜想的初步认识。
b. 偶数与奇数- 归纳猜想：任意两个奇数之和是一个偶数。
- 总结：通过观察和验证，我们可以发现任意两个奇数相加的结果都是一个偶数。
这个归纳猜想在数学计算中有重要的应用。
c. 平方数与立方数- 归纳猜想：任意连续三个自然数中，平方数和立方数最多只有一个重合。
- 总结：通过列举自然数的平方数和立方数，我们可以总结出这一规律，即连续三个自然数中平方数和立方数最多只有一个重合。
2. 科学领域的归纳猜想与总结科学学科中，猜想与实验相结合，培养学生的科学思维和观察能力。
以下是初中科学中常见的归纳猜想及其总结：a. 热传导与热对流- 归纳猜想：固体的热传导速度大于液体和气体的热对流速度。
- 总结：通过观察和实验，我们可以发现在相同条件下，固体的热传导速度明显快于液体和气体的热对流速度。
b. 植物对光的反应- 归纳猜想：植物没有光照会导致生长受到抑制。
- 总结：通过观察和实验，我们可以得出结论，植物的生长和发育需要光合作用，如果没有光照，植物会出现生长迟缓或停止生长的现象。
c. 静电现象- 归纳猜想：相同电荷之间会产生排斥力，不同电荷之间会产生吸引力。
- 总结：通过观察和实验，我们可以发现当两个带有相同电荷的物体靠近时，它们会产生相互排斥的现象，而带有不同电荷的物体靠近时会产生相互吸引的现象。
归纳——猜想——证明
归纳法：是从特殊事例推出一般原理的推理方法。
完全归纳法
不完全归纳法
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋 球是白球，还是黑球，请问怎么办？
答：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……十二个白球， 由此得到：这一袋球都是白球．
问题2：
在数列{an}中，a1
1,
an1
“如 2 2n +1 （n为非负整数）形式的数都是素数。”这是在
1640 年提出的一个猜想。
经过100年，到了1732年，瑞士数学家欧拉举出
一个反例：2 25+1=641×6700417
否定例这一猜想。
一、内容提要：
不完全归纳法 数学归纳法
①证明n n0时，命题成立(归纳奠基)； ②假利设用n归纳k(假k 设n和0 )时题，设命条题件成等立证；明
n k 1时命题成立(归纳递推)。 由①②可知，当n N，且n 等式、 不等式、 整除问题、 几何问题、 归纳、猜想、证明问题
二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练
1.用数学归纳法证明等 式
(n 1)(n 2)L (n n) 2n 1 3 5L (2n 1)
歌德巴赫猜想 1742年的一天，歌德巴赫在纸上写下了一串等式
6=2+2+2 9=3+3+3 12=2+5+5 7=2+2+3 10=2+3+5 13=3+5+5 8=2+3+3 11=3+3+5 14=2+5+7…
他按耐不住兴奋，写信告诉欧拉说，他想冒险发表 下列猜想：“大于5的任何自然数是3个素数之和。”
2019年浙江省中考《第34讲：归纳、猜想与说理型问题》总复习讲解
第34讲 归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第11讲后教学)类型一 通过数式变化产生规律例1 (2019·淄博)(1)填空：(a －b)(a ＋b)＝ ； (a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝ ； (a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝ ； (2)猜想：(a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋abn －2＋bn －1)＝ (其中n 为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．1．(1)(2019·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p ＝m 2－n ，若这列数为－1，3，－2，a ，－7，b …，则b ＝ .(2)(2019·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输入x ――→第1次y 1＝2x x ＋1――→第2次y 2＝2y 1y 1＋1――→第3次y 3＝2y 2y 2＋1――→…则第n 次运算的结果y n ＝ (用含字母x 和n 的代数式表示)．类型二 通过图形变化产生规律例2 (2019·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )A ．25B ．33C ．34D ．50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．2．(2019·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝____________________，…按此规律，写出tan ∠BA n C ＝____________________(用含n 的代数式表示)．类型三 通过平移、折叠产生规律例3 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n－1D n－2的中点为D n－1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n－1重合，折痕与AD交于点P n(n＞2)，则AP6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．3．如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为(用含n的代数式表示)．类型四通过旋转产生规律例4(2019·衢州)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为________．【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．4．(2019·东港模拟)如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 .类型五 以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题例5 (2019·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝ .【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．5．(1)如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是 .(2) (2019·达州)在直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3、…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…S n ，则S n 的值为____________________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则S ＝12a ＋b －1(史称“皮克公式”)．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形格中的类似问题进行探究：正三角形格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：则S 与a 、b 之间的关系为S ＝________(用含a 、b 的代数式表示)．【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．该题型采用特殊到一般探究问题的方法．是中考命题的一种方式．【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，△ABC 是斜边AB 的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A 1B 1D 1E 1(D 1、E 1在AB 上，A 1、B 1分别在AC 、BC 上)，再在△A 1B 1C 内按同样的方法作第2个内接正方形A 2B 2D 2E 2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长是________．第34讲 归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例1 (1)a 2－b 2，a 3－b 3，a 4－b 4； (2)a n－b n； (3)令S ＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S －1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S ＝342.例2 ∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝(3n ＋1)个；当3n ＋1＝100时，解得：n ＝33，故选：B.例 3 由题意得，AD ＝12BC ＝52，AD 1＝AD －DD 1＝158，AD 2＝5×3225，AD 3＝5×3327，…∴AD n ＝5×3n22n ＋1.故AP 1＝54，AP 2＝1516，AP 3＝5×3226…AP n ＝5×3n －122n.∴当n ＝6时，AP 6＝5×35212.故选A.例4 如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π，∵2019÷3＝672……1，∴翻滚2019次后AB 中点M 经过的路径长为672·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π＋233π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.故答案为(5，3)；⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.例5 ∵y＝－x(x －2)(0≤x≤2)，∴配方可得y ＝－(x －1)2＋1(0≤x≤2)，∴顶点坐标为(1，1)，∴A 1坐标为(2，0)，∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1＝A 1A 2，即C 2顶点坐标为(3，－1)，A 2(4，0)；照此类推可得，C 3顶点坐标为(5，1)，A 3(6，0)；C 4顶点坐标为(7，－1)，A 4(8，0)；C 5顶点坐标为(9，1)，A 5(10，0)；C 6顶点坐标为(11，－1)，A 6(12，0)；∴m＝－1.故答案为：－1.【变式拓展】1．(1)128 (2)2nx （2n－1）x ＋1 2.113 1n 2－n ＋1 3.145n （n ＋1）或65n （n ＋1） 4.1310 5.(1)－25 (2)22n －3【热点题型】【分析与解】根据8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S ＝a ＋2(b －1)． 填表如下：【错误警示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B，∴第一个内接正方形的边长＝3AB＝1；同理可得：第二个内接正方形的边长＝13A1B1＝19AB＝13；第三个内接正方形的边长＝13A2B2＝127AB＝19；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长＝13n AB＝13n－1，故答案为：13n－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知∠ABC=∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A.∠C=∠DB.∠CAB=∠DBAC.AC=BDD.BC=AD2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF.若∠ACF=2∠ABD,∠BFC=132°,则cosA 的值为 ( )A ．12B ．2C D ．4．下列运算正确的是（ ） A.a 5﹣a 3＝a 2 B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C.2212a2a -=D.（﹣2a ）3＝﹣8a 35．下列计算结果正确的是（ ）A.（﹣a）2•a6＝﹣a8B.（m﹣n）（m2+mn+n2）＝m3﹣n3C.（﹣2b2）3＝﹣6b6D.6．如图，在△OAB中，OA=AB，∠OAB=90°，E是OB的中点，反比例函数y=8x在第一象限的图象与AB交于点C，过点C作CD⊥AE于点D，则S△AOE-S△ADC值为（）A．B．3 C．4 D．7．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A.±B.4C.±或4D.4或－8．如图，⊙O ABCD为⊙O的内接矩形，， E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，则DF的最大值为（）9．下列命题中是真命题的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．旋转对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角D．圆的任意一条直径都是它的对称轴10．如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（）A ．图甲的主视图与图乙的左视图形状相同B ．图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同C ．图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同D ．图甲的主视图与图乙的主视图形状相同11．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．12．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，BO 交O 于点C ，点D 在O 上，若32ABO ∠=︒，则ADC∠的度数为（ ）A.48︒B.29︒C.36︒D.72︒二、填空题13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣c ＝0有一正一负两个实数根，则实数c 的值可以取_____（写出一个即可）．14．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为_____米．15．若一次函数3y kx =+（k 为常数，0k ≠），y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是_______（写出一个即可）. 16．若273a b b a +=-，则a b=_____． 17．如图，墙面AC 与地面BC 垂直，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了_____米.18．九年级（1）班共50名同学，图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为数），若将不低于29分的成绩评为优秀，则该班此次成绩达到优秀的同学的人数占全班人数的百分比是_____．三、解答题19．计算或化简：（1）2cos45°﹣（﹣0（2）先化简，再求值：（31x -﹣x ﹣1）÷2221x x x --+，其中x 20．一游客步行从宾馆C 出发，沿北偏东60°的方向行走到1000米的人民公园A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东45°方向的净业寺B 处，如图所示．（1）求这名游客从人民公园到净业寺的途中到宾馆的最短距离；（2）若这名游客以80米/分的速度从净业寺返回宾馆，那么他能在10分钟内到达宾馆吗？请通过计算说明理由．（假设游客行走的路线均是沿直线行走的）21．如图，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在BC ，CD 上，且CE CF =.（1）求证ABE ADF ≅.（2）若50B ︒∠=，AE BC ⊥，求AEF ∠的度数.22．如图，▱ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，求证：∠ADE ＝∠CBF ．23．企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：（1）宣传小组抽取的捐款人数为 人，请补全条形统计图；（2）统计的捐款金额的中位数是 元；（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于260件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3490元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.25．先化简，再求值222221b a ab a b a b a 2ab b -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，其中a=2sin45°，【参考答案】***一、选择题二、填空题13．114．515．-1（答案不唯一）16．11017．318．44%三、解答题19．（1）-2（2）﹣x 2﹣x+2【解析】【分析】（1）依次计算三角函数、零指数幂、二次根式，然后计算加减法；（2）先算括号里的，然后算除法．【详解】（1﹣﹣1﹣﹣1﹣2； （2）（31x -﹣x ﹣1）÷2221x x x --+ ＝231()11x x x ----÷22(1)x x -- ＝2(2)(2)(1)12x x x x x -+--⋅-- ＝﹣（x+2）（x ﹣1）＝﹣x 2﹣x+2当x）2+2＝﹣+2【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．（1）到宾馆的最短距离为（2）不能到达宾馆．【解析】【分析】（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到cos 45BC CH ︒=÷==，求得1080t ==>，于是得到结论． 【详解】（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，在Rt △ACH 中，∵∠ACH ＝30°，∴CH =，答：到宾馆的最短距离为（2）在Rt △CHB 中，∠BCH ＝45°，CH ＝，∴BC =，∴t 10=>， ∴不能到达宾馆．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．21．（1）证明见解析；（2）65°【解析】【分析】(1)利用菱形性质和SAS 即可证明；（2）由AE BC ⊥，B 50︒∠=，得90AEB ∠=40BAE ︒∠=，又由（1）ABE ADF △≌△，所以 40DAF BAE ∠=∠=.因为AD BC ∥，根据两直线平行，同旁内角互补可得130BAD ∠=，所以50EAF ∠=.再证明ABE ADF △≌△，所以AE AF =，65AEF ∠=【详解】（1）在菱形ABCD 中，AB BC CD DA ===，B D ∠=∠，∵CE CF =，∴BE DF =，∴ABE ADF △≌△（2） ∵AE BC ⊥，∴90AEB ∠=.∵B 50︒∠=，∴40BAE ︒∠=.∵ABE ADF △≌△，∴ 40DAF BAE ∠=∠=.∵AD BC ∥，∴130BAD ∠=，50EAF ∠=.∵ABE ADF △≌△，∴AE AF =，∴65AEF ∠=【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.22．详见解析【解析】【分析】先利用平行四边形的性质证得AD=CB ，∠A=∠C ，AB=CD ，得AE=CF ，证得△CFB ≌△AED 后即可得到∠ADE=∠CBF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ，又∵点E ，F 分别是AB ，CD 的中点∴AE ＝CF ＝12AB ＝12CD ， ∴△CFB ≌△AED （ASA ）．∴∠ADE ＝∠CBF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）50，见解析；（2）150；（3）72°；（4）84000（元）．【解析】【分析】（1）根据题意即可得到结论；求得捐款200元的人数即可补全条形统计图；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）用周角乘以100元所占的百分比即可求得圆心角；（4）根据题意即可得到结论．【详解】（1）12÷24%=50（人），捐款200元的人数为：50-4-10-12-6=18（人），补全条形统计图，（2）第25，26名捐款均为150元，故中位数为：150元；（3）1050×360°＝72°． （4）150（50×4+100×10+150×12+200×18+300×6）×500＝84000（元）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为44元时，每天获取的利润最大，3640W =最大元；（3）4456x ≤≤.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3490元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．【详解】（1）设y kx b =+y=k x+b ∴ 经过点(40,300),(55,150)4030055150k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得10700k b =-⎧⎨=⎩ 故y 与x 的关系式为：10700y x =-+（2）30＜44x ≤设利润为(30)(30)(10700)w x y x x =-⋅=--+221010002100010(50)4000w x x x =-+-=--+100-<∴x<50时，w 随x 的增大而增大，∴当44x =时，3640W =最大（2）由题意，得-10x+700≥260，解得x≤44，∴30＜x≤44，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=44时，w 最大=-10（44-50）2+4000=3640，答：当销售单价为44元时，每天获取的利润最大，最大利润是3640元；（3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3490，-10（x-50）2=-360，x-50=±6，x 1=56，x 2=44，如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，捐款后每天剩余利润不低于3490元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．25．6【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()()a b b a b a b +-+-•()2(a b)a a b --=1a b +，当a=2×2，=6． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知一个矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线的长为10cm ，则该矩形的周长为（ ）A ．20cmB ．C ．20（cmD ．10（cm2．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（ ）A ．46,68︒︒B ．45,71︒︒C ．46,70︒︒D ．47,68︒︒3．如图，点A 是双曲线y=k x上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y=-x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD=3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD=95，则k 的值为（ ）A ．-34B ．-3C ．-2D ．344．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a +=B ．3133273⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭C ．22122m m -=D ．()22222961a a a ÷=-+5．下列说法错误的是A ．Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，则AC=5；B ．极差能反映一组数据的变化范围；C ．经过点A （2，3）的双曲线一定经过点B （-3，-2）；D ．连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．6．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，AB ∥CD ，直线L 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2=75°，则∠1等于（ ）A.105°B.115°C.125°D.75°8．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当y 0>时，x 的取值范围是( )A ．x 1>-B ．x 1≥-C ．1x 3-≤≤D ．1x 3-<<9．下列计算正确的是（ ）A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=10．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则关于代数式a 2﹣2ab+b 2﹣c 2的值，下列判断正确的是（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．以上均有可能11．2016年西峡香菇年出口值达到4380000000亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中数学4380000000用科学记数法表示为( )A ．743810⨯B ．84.3810⨯C ．94.3810⨯D ．104.3810⨯12．由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.二、填空题13．已知一组数据﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的中位数是_____．14．若2y =+，则x=_______ ,y=___________ ．15在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．16．如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∠A ＝66°，∠ABC ＝90°，BC ＝AD ，∠C 的度数________．17．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上，若BC=6cm ，AD=4cm ，则正方形EFGH 的边长是______cm ．18．若关于x 的分式方程(1)5321m x m x +-=-+无解，则m ＝_____． 三、解答题19．先化简，再求值：2(3)(2)9x x x -++-，其中x =20．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，交BC 于点D ．（1）求证：BE ＝EF ；（2）若DE ＝4，DF ＝3，求AF 的长．21．计算：﹣12018+4cos45°﹣21()3-- 22．如图1，正△ABC 中，点D 为BC 边的中点，将∠ACB 绕点C 顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P 为线段A′C 上的一点，连接PD 与B′C、AC 分别交点点E 、F ，且∠PAC=∠EDC ．（1）求证：AP=2ED ；（2）猜想PA 和PC 的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AD 交B'C 于点G ，若AP=2，PC=4，求AG 的长．23．某校1200名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为____；（2）图①中“20元”对应扇形的圆心角的度数为_____°；（3）估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数．24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO.延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若3AE DE ==，求AF 的长.25．某个周末，小丽从家去园博园参观，同时妈妈参观结束从园博园回家，小丽刚到园博园就发现要下雨，于是立即按原路返回，追上妈妈后，两人一同回家(小丽和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走)如图是两人离家的距离y(米)与小丽出发的时间x(分)之间的函数图象，请根据图象信息回答下列问题：(1)求线段BC 的解析式；(2)求点F 的坐标，并说明其实际意义；(3)与按原速度回家相比，妈妈提前了几分钟到家？并直接写出小丽与妈妈何时相距800米．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．214．215．x≥﹣1 16．78°17．12 518．6，10三、解答题19．6＋【解析】【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝x2−6x＋9＋2x＋x2−9＝2x2−4x，当x=原式＝2x2−4x =6＋．【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）见解析；（2）AF＝214.【解析】【分析】（1）通过证明∠6=∠EBF 得到EB=EF ；（2）先证明△EBD ∽△EAB ，再利用相似比求出AE ，然后计算AE-EF 即可得到AF 的长．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠5，∴∠4＝∠5，∵BF 平分∠ABC ，∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF ，∴EB ＝EF ；（2）解：∵DE ＝4，DF ＝3，∴BE ＝EF ＝DE+DF ＝7，∵∠5＝∠4，∠BED ＝∠AEB ，∴△EBD ∽△EAB ，BE DE EA BE ∴=，即74EA 7=， ∴EA ＝494， ∴AF ＝AE ﹣EF ＝4921744-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．21．﹣【解析】【分析】先算乘方、特殊三角函数，二次根式化简，再算加减.【详解】解：﹣12018+4cos45°﹣21()3--﹣﹣1＝﹣﹣﹣1＝﹣．【点睛】考核知识点：含有锐角三角函数值的混合运算.22．（1）详见解析；（2）PA⊥PC.（3【解析】【分析】（1）易证得△CDE∽△CAP，得到12DE CDAP AC==，即可证得结论；（2）先证得A、D、C、P四点共圆，即可证得AC是共圆的直径，根据圆周角定理看证得∠APC=90°；（3）根据勾股定理求得等边三角形ABC的边长，由（1）的结论求得DE=1，根据勾股定理求得EC，然后通过证得△EDG∽△ECD，得到DG DECD EC=，进而即可求得AG的长．【详解】（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，∴∠DCE=∠ACP，∵∠PAC=∠EDC，∴△CDE∽△CAP，∴DEAP=CDAC，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∴点D为BC边的中点，∴CD=12BC=12AC，∴DEAP=CDAC=12，∴AP=2ED；（2）解：PA⊥PC，理由：连接AD，如图1，∵△ABC是等边三角形，BD=CD，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∵∠PAC=∠EDC ，∴A 、D 、C 、P 四点共圆，∵∠ADC=90°，∴AC 是共圆的直径，∴∠APC=90°，∴PA ⊥PC ；（3）解：如图2，∵AP=2，PC=4，∠APC=90°，∴∴DC=12∵AP=2ED ，∴ED=1，∵△CDE ∽△CAP ，∴∠CED=∠APC=90°，∴，∵∠EDG+∠EDC=90°∠EDC+∠ECD=90°，∴∠EDG=∠ECD ，∵∠CED=∠DEG=90°，∴△EDG ∽△ECD ， ∴DG CD =DE EC，∴GD=CD DE EC ⋅=12=2，∴ 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，证得A、D、C、P四点共圆是解题的关键．23．（1）50；（2）72°；(3)720【解析】【分析】(1)用捐款金额为5元的人数除以捐款金额为5元的人数所占百分比即可得抽查的总人数；即样本容量；（2）根据总人数可求出捐款金额为20元的人数，即可求出其所占百分比，乘以360°即可得答案；（3）先求出捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数所占百分比，乘以1200即可得答案.【详解】（1）本次抽样调查的样本容量为：4÷8%=50故答案为：50（2）捐款金额为20元的人数为：50-4-16-12-8=10360°×1050=72°故答案为：72°（3）1210850++×1200＝720．答：估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数为720人．【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．(1)详见解析；【解析】【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解决问题．（2）先证明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接OD．∵BC为圆O的切线，∴∠CBO＝90°．∵AO平分∠BAD，∴∠OAB＝∠OAF．∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，∵∠BOC＝∠OAB＋∠OBA，∠DOC＝∠OAD＋∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，在△COB和△COD中，CO CO COB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BOC ≌△DOC ，∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵AE ＝DE ，∴AE DE =，∴∠DAE ＝∠ABO ，∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠ABO∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠DAE ，∵BE 是直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠DAE ＝∠ABO ＝30°，∴∠AFE ＝90°，在Rt △AFE 中，∵AE ＝3，∠DAE ＝30°，∴EF ＝12AE ＝32， ∴AF=．【点睛】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．25．(1)y ＝﹣50x+3000；(2)点F 的坐标为(20，2000)，其实际意义为：小丽出发20分钟时，在离家2000米处与妈妈相遇；(3)妈妈提前了10分钟到家，小丽与妈妈相距800米的时间是443分钟，763分钟和37分钟．【解析】【分析】(1)由图象可知，点A(30，3000)，点D(50，0)，用待定系数法求出AD 的解析式，再将C 点横坐标代入即可求得点C 的纵坐标，再由点B(0，3000)，同样可由待定系数法求得BC 的解析式；(2)待定系数法求出OA 的解析式，然后将其与BC 的解析式联立，可求得点F 的坐标，进而得其实际意义；(3)求出直线BC 与x 轴交点的横坐标，再与x 等于50相比较即可得妈妈提前回家的时间；小丽与妈妈相距800米有三种可能，分别求出即可．【详解】解：(1)由图象可知，点A(30，3000)，点D(50，0)设线段AD 的解析式为：y ＝kx+b ，将点A ，点D 坐标代入得300030050k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得k 150b 7500=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣150x+7500．将x ＝45代入上式得y ＝750，∴点C 坐标为(45，750)．设线段BC 的解析式为y ＝mx+n ，将(0，3000)和(45，750)代入得：300075045n m n =⎧⎨=+⎩ ，解得503000m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣50x+3000．答：线段BC 的解析式为y ＝﹣50x+3000．(2)设OA 的解析式为y ＝px ，将点A(30，3000)代入得：3000＝30p ，∴p ＝100，∴y ＝100x ．由503000100y x y x =-+⎧⎨=⎩ 解得202000x y =⎧⎨=⎩， ∴点F 的坐标为(20，2000)，其实际意义为：小丽出发20分钟时，在离家2000米处与妈妈相遇．(3)在y ＝﹣50x+3000中，令y ＝0得：0＝﹣50x+3000，∴x ＝60，60﹣50＝10，∴妈妈提前了10分钟到家．由|100x ﹣(﹣50x+3000)|＝800，得：x ＝443或x ＝763； 由(﹣150x+7500)﹣(﹣50x+3000)＝800，得x ＝37． 答：妈妈提前了10分钟到家，小丽与妈妈相距800米的时间是443分钟，763分钟和37分钟． 【点睛】本题是一次函数结合函数图象的综合应用，涉及到多次用待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，结合函数图象分析数据等，难度较大．。
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专题一归纳猜想问题
一．考点扫描：
专题概述：
归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能力．有利于培养学生思维的深刻性和创造性.
思路分析：
解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：
1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间
的关系；
2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性
和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；
3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.
二．典例精析：
考点一：数式归纳猜想题：
【例1】．（2013•淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是﹣2．
﹣4 a b c 6 b ﹣2 …
考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是﹣2可得b=﹣2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2013除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
解答：解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴﹣4+a+b=a+b+c，
解得c=﹣4，
a+b+c=b+c+6，
解得a=6，
所以，数据从左到右依次为﹣4、6、b、﹣4、6、b，
第9个数与第三个数相同，即b=﹣2，
所以，每3个数“﹣4、6、﹣2”为一个循环组依次循环，
∵2013÷3=671，
∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为﹣2．
故答案为：﹣2．
考点二：图形归纳猜想题：
【例2】. （2012宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。
考点三：数形结合归纳猜想题：
【例3】．（2012益阳）观察图形，解答问题：
考点四：类比归纳猜想题：
【例4】．（2013江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三
角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可） ①AF =AG =
2
1
AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． ●数学思考：
在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置
y
x
关系？请给出证明过程； ●类比探索：
在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．
三．专题精练：
1．（2013东营）如图，已知直线l ：y=
3
3
x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为 .
2．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计） 3．（2012•珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32，
6030
A C
B D A B
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×= ×25；
②×396=693×．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]
=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）
=11（10a+b）（10b+a）
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）
=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．。